Эти формулы связывают интеграл по фигуре с некоторым интегралом по границе данной фигуры.

Пусть функции непрерывны в области D ÌOxy и на ее границе Г ; область D – связная; Г – кусочно-гладкая кривая. Тогда верна формула Грина :

здесь слева стоит криволинейный интеграл I рода, справа – двойной интеграл; контур Г обходится против часовой стрелки.

Пусть Т – кусочно-гладкая ограниченная двусторонняя поверхность с кусочно-гладкой границей Г . Если функции P (x ,y ,z ), Q (x ,y ,z ), R (x ,y ,z ) и их частные производные I порядка непрерывны в точках поверхности Т и границы Г , то имеет место формула Стокса :

(2.23)

слева стоит криволинейный интеграл II рода; справа – поверхностный интеграл II рода, взятый по той стороне поверхности Т , которая остается слева при обходе кривой Г .

Если связная область W ÌOxyz ограничена кусочно-гладкой, замкнутой поверхностью Т , а функции P (x ,y ,z ), Q (x ,y ,z ), R (x ,y ,z ) и их частные производные первого порядка непрерывны в точках из W и Т , то имеет место формула Остроградского-Гаусса :

(2.24)

слева – поверхностный интеграл II рода по внешней стороне поверхности Т ; справа – тройной интеграл по области W .

Пример 1. Вычислить работу силы при обходе точки ее приложения окружности Г : , начиная от оси Ox , по часовой стрелке (рис. 2.18).

Решение. Работа равна . Применим формулу Грина (2.22), ставя знак “-” справа перед интегралом (так как обход контура – по часовой стрелке) и учитывая, что P (x ,y )=x -y , Q (x ,y )=x +y . Имеем:
,
где S D – площадь круга D : , равная . В итоге: – искомая работа силы.

Пример 2. Вычислить интеграл , если Г есть окружность в плоскости z =2, обходимая против часовой стрелки.

Решение. По формуле Стокса (2.23) исходный интеграл сведем к поверхностному интегралу по кругу Т :
T :

Итак, учитывая, что , имеем:

Последний интеграл есть двойной интеграл по кругу D ÌOxy , на который проектировался круг Т ; D : . Перейдем к полярным координатам: x =r cosj, y =r sinj, jÎ, r Î. В итоге:
.

Пример 3. Найти поток П Т пирамиды W : (рис. 2.19) в направлении внешней нормали к поверхности.

Решение. Поток равен . Применяя формулу Остроградского-Гаусса (2.24), сводим задачу к вычислению тройного интеграла по фигуре W -пирамиде:

Пример 4. Найти поток П векторного поля через полную поверхность T пирамиды W : ; (рис. 2.20), в направлении внешней нормали к поверхности.

Решение. Применим формулу Остроградского-Гаусса (2.24) , где V – объем пирамиды. Сравним с решением непосредственного вычисления потока ( – грани пирамиды).

,
так как проекция граней на плоскость Oxy имеет нулевую площадь (рис. 2.21),

(Остроградский Михаил Васильевич (1861–1862) – русский математик,

академик Петерб. А.Н.)

(Джордж Грин (1793 – 1841) – английский математик)

Иногда эту формулу называют формулой Грина, однако, Дж.

Грин предложил в 1828 году только частный случай формулы.

Формула Остроградского – Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.

Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рисунке, то криволинейный интеграл по контуру L можно записать в виде:

Если участки АВ и CD контура принять за произвольные кривые, то, проведя аналогичные преобразования, получим формулу для контура произвольной формы:

Эта формула называется формулой Остроградского – Грина.

Формула Остроградского – Грина справедлива и в случае многосвязной области, т.е. области, внутри которой есть исключенные участки. В этом случае правая часть формулы будет представлять собой сумму интегралов по внешнему контуру области и интегралов по контурам всех исключенных участков, причем каждый из этих контуров интегрируется в таком направлении, чтобы область D все время оставалась по левую сторону линии обхода.

Пример. Решим пример, рассмотренный выше, воспользовавшись формулой Остроградского – Грина.

Формула Остроградского – Грина позволяет значительно упростить вычисление криволинейного интеграла.

Криволинейный интеграл не зависит от формы пути, если он вдоль всех путей, соединяющих начальную и конечную точку, имеет одну и ту же величину.

Условием независимости криволинейного интеграла от формы пути равносильно равенству нулю этого интеграла по любому замкнутому контуру, содержащему начальную и конечную точки.

Это условие будет выполняться, если подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции, т.е. выполняется условие тотальности.

(Остроградский Михаил Васильевич (1861-1862) – русский математик,

академик Петерб. А. Н.)

(Джордж Грин (1793 – 1841) – английский математик)

Иногда эту формулу называют формулой Грина, однако, Дж. Грин предложил в 1828 году только частный случай формулы.

Формула Остроградского – Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегралом, т. е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.

Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рисунке, то криволинейный интеграл по контуру L можно записать в виде:

Если участки АВ и CD контура принять за произвольные кривые, то, проведя аналогичные преобразования, получим формулу для контура произвольной формы:

Эта формула называется Формулой Остроградского – Грина .

Формула Остроградского – Грина справедлива и в случае многосвязной области, т. е. области, внутри которой есть исключенные участки. В этом случае правая часть формулы будет представлять собой сумму интегралов по внешнему контуру области и интегралов по контурам всех исключенных участков, причем каждый из этих контуров интегрируется в таком направлении, чтобы область D все время оставалась по левую сторону линии обхода.

Пример. Решим пример, рассмотренный выше, воспользовавшись формулой Остроградского – Грина.

Формула Остроградского – Грина позволяет значительно упростить вычисление криволинейного интеграла.

Криволинейный интеграл не зависит от формы пути, если он вдоль всех путей, соединяющих начальную и конечную точку, имеет одну и ту же величину.

Условием независимости криволинейного интеграла от формы пути равносильно равенству нулю этого интеграла по любому замкнутому контуру, содержащему начальную и конечную точки.

Связь между дв. Инт. По области Д и криволин. Инт. По области L устанавливают формулу Остроградского-Грина.

Пусть на плоскости OXY задана область Д огр. Кривой пересекающееся с прямыми параллельными корд. Осям не более чем в 2 точках, т. е. область Д правильная.

Т1.Если ф. P(x,y), Q(x,y) непрерывно вместе со своими чанными производными ,

Области Д то справедлива форм. (ф.Остр.-Гр.)

L граница области Д и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении.До- во.

Т2.Если = (2), то подинтегр. Выражение P*dx+Q*dy явл. Полным диф. Функции U=U(x,y).

P*dx+Q*dy =U(x.y)

Удовлетворяет условию (2) можно найти используя ф.

Зам.1 Чтобы не спутать переменную интегр. X с верхним преднлом ее обозн. Другой буквой.

Зам. 2 в качестве нач точки(x0,Y0) обычно берут точку (0.0)

Условие независимости криволинейного инт. 2-го рода от пути интегр.

Пусть т. А (X1, Y1), В(X2, Y2),. Пусть произв. точки области Д. Точки А и B можно соеденить различными линиями. По каждой из них кр. Инт. будет иметь свое значение если же значение по всем кривым одинаково, то интеграл не зависит, от вида пути инт., в этам сл достаточно отметить первонач. Точку А (X1, Y1) и конечную В(X2, Y2).

Т. Для того, чтобы кр. Инт.

Не зависит от пути инт. Области Д в кот. Ф. P(X,Y), Q(X,Y) непрерывны вместе со своими производными и необходимо, чтобы в каждой точке области = Док-во

Кр. Инт. 2-го рода не зависит отпути интегрирования

Зам. = отсюда получаем, что

Пов. Инт. 1-го рода.Его св. и выч.

Пусть в точках пов. S С ПЛ. S пространства oxyz опред. Непрерывная ф. f(x,y.z) .

Разобьем пов. S на n частей Si, ПЛ. КАЖДОЙ ЧАСТИ дельта Si, а диаметр Di i=1..m в каждой части Si выберем произвольную точку Mi от (xi, yi, zi) и cоставим сумму . Сумма называется интегральной для ф. f(x,y.z) по поверхности S если при интегр. Сумма имеет предел, то он наз. Пов интегралом 1-го рода от ф. f(x,y.z) по поверхности S и обозначается =

Свойства пов. Инт.

2) 3) S=s1+s2, Тогда 4) f1<=f2 , т о 5) 6) 7) Ф. f непрерывна на поверхности S , то на этой поверхности сущ. Точка M(x0,y0,z0) S, такая, что .

Выч пов инт 1-го рода сводиться к вычисленею2-го инт по обл Д, кот явл проекцией пов S на плоскость oxy, если пов s задана Ур z=z(x,y) то по винт равен .

Если S задано в виде y=y(x, z), то …

Пов инт 2-го рода

Пусть задана двусторонняя пов, после обхода такой пов не пересекая ее границы направление нормали к ней не меняется. Односторонныя пов: является Лист Мебиуса. Пусть в точке рассматриваемой двусторонней поверхности S в прстранстве oxyz определена ф. F(x,y,z). Выбронную сторону поверхности разбиваем на части Si i=1..m и проектируем их на корд плоскости. При этом пл пов ,берем со знаком «+», если выбрана верхняя сторона пов (если нормаль образует острый угол с oz, выб со зн «–» если выбрана нижняя сторона пов(ТУПОЙ УГОЛ)). Составим инт сумму Где – пл пов Si –части при если он сущ и не зависит от способа разбиения поверхности на части и от выбора точек в них, наз по инт 2-ого рода от ф. f(x,y,z) по пов s и обозначается: по опред пов интеграл будет = пределу интегр суммы. Аналогично опред инт по пов s

, тогда общим видоим пов инт 2-го рода служит инт где P, Q, R непрерывные функции опред в точках двусторонней пов s. Если S замкнутая пов, то по инт по внешней стороне обозначается и по внутренней стороне . ds. Где ds элемент площади пов S , а cos , cos cos напр cos нармали n. Выбранной стороны пов.

Связь между двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом по границе L этой области устанавливает формула Остроградского – Грина, которая широко применяется в математическом анализе.

Пусть на плоскости Оху задана область D , ограниченная кривой, пересекающейся с прямыми, параллельными координатными осями не более чем в двух точках, т.е. область D – правильная.

Теорема 10.2. Если функции P (x ; y ) и Q (x ; y ) непрерывны вместе со своими частными производными ив областиD , то имеет место формула

(10.8)

где L – граница области D и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении (т.е. при движении вдоль кривой, область D остается слева).

Формула (10.8) называется формулой Остроградского – Грина.

Пусть
- уравнение дугиAnB , а
- уравнение дугиAmB (см. рис. 8). Найдем сначала
.По правилу вычисления двойного интеграла, имеем:

Или согласно формуле (10.6), Рис. 8.

Аналогично доказывается, что
(10.10)

Если из равенства (10.10) вычесть равенство (10.9), то получим формулу (10.8).

Замечание. Формула (10.8) справедлива и для произвольной области, которую можно разбить на конечное число правильных областей.

Пример 10.3. С помощью формулы Остроградского – Грина вычислить

где L – контур прямоугольника с вершинами А (3;2 ), В (6;2 ), С (6;4 ), D (3;4 ).

○ Решение: На рисунке 9 изображен контур интегрирования. Поскольку

по формуле (10.8) имеем:

10.4. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования

П
устьA (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2) – две произвольные точки односвязной области D плоскости Оху (плоскость D называется односвязной , если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит D (область без «дыр»)). Точки А и В можно соединить различными линиями (на рис. 10 это L 1 , L 2 и L 3). По каждой из этих кривых интеграл
имеет, вообще говоря, свое значение.

Если же его значения по всевозможным кривым AB одинаковы, то говорят, что интеграл I не зависит от вида пути интегрирования.

Рис. 10. В этом случае для интеграла I достаточно отметить лишь его начальную точку A (x 1 ; y 1 ) и его конечную точку B (x 2 ; y 2 ) пути. Записывают:

(10.11)

Каковы же условия, при которых криволинейный интеграл II рода не зависел от вида пути интегрирования?

Теорема 10.3. Для того, что бы криволинейный интеграл
не зависел от пути интегрирования в односвязной областиD , в которой функции P (x ; y ), Q (x ; y ) непрерывны вместе со своими частными производными, необходимо и достаточно, что бы в каждой точке этой области выполнялось условие=(10.12)

Докажем достаточность условия (10.12). Рассмотрим произвольный замкнутый круг AmBnA (или L ) в области D (см. рис. 11). Для него имеет место формула Остроградского – Грина (10.8) В силу условия (10.12) имеем:
, или
. Учитывая свойства криволинейного интеграла, имеем:

, т.е.

Полученное равенство означает, что криволинейный интеграл не зависит о пути интегрирования.

Рис.11. В ходе доказательства теоремы получено, что если выполняется условие =, то интеграл по замкнутому кругу равен нулю:

Верно и обратное утверждение.

Следствие 10.1. Если выполняется условие (10.12), то подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функцииu = u (x ; y ), т.е.

Тогда (см. (10.11))

Формула (10.14) называется обобщенной формулой Ньютона – Лейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала.

Следствие 10.2. Если подынтегральное выражение Pdx + Qdy есть полный дифференциал и путь интегрирования L замкнутый, то
.

Замечания:

В качестве начальной точки (x 0 ; y 0) обычно берут точку (0;0) – начало координат (см. пример 10.5).

= ,=,=;

Пример 10.4. Найти

Решение: Здесь P = y , Q = x , == 1. Согласно вышеприведенной теореме, интеграл не зависит от пути интегрирования. В качестве пути интегрирования можно взять отрезок прямой y = x , дугу параболы y = x 2 и т. д. или воспользоваться формулой (10.14). Так как ydx + xdy = d(xy) , то

Пример 10.5. Убедиться, что выражение представляет собой полный дифференциал функцииU (x ; y ) и найти ее.

Решение: Для того чтобы указанное выражение являлось полным дифференциалом, необходимо выполнение условий (10.12):

Условия выполнены, следовательно, А так как полный дифференциал имеет вид

,

то верны соотношения

(10.16)

Интегрируем по х первое из уравнений, считая у постоянным, при этом вместо постоянно интегрирования следует поставить
- неизвестную функцию зависящую только оту :

Подставляя полученное выражение во второе уравнение (10.16), найдем
:

Таким образом,

Отметим, что функцию U проще найти, используя формулу (10.15).