Зная корни уравнения разложить на множители. Квадратные уравнения

Квадратным трёхчленом относительно переменной x называют многочлен

где a, b и c - произвольные вещественные числа, причем

Полным квадратным уравнением относительно переменной x называют уравнение

ax 2 + bx + c = 0,

где a, b и c - произвольные вещественные числа, отличные от нуля .

Неполными квадратными уравнениями называют квадратные уравнения следующих типов:

Решение неполных квадратных уравнений

Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения на примерах.

Пример 1 . Решить уравнение

5x 2 = 0 .

Решение .

Ответ : 0 .

Пример 2 . Решить уравнение

Поскольку произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда, или первый сомножитель равен нулю, или второй сомножитель равен нулю, то из уравнения (4) получаем:

Ответ : .

Пример 3 . Решить уравнение

2x 2 - 5 = 0 .

Решение .

Ответ : .

Пример 4 . Решить уравнение

3x 2 + 11 = 0 .

(5)

Решение . Поскольку левая часть уравнения (5) положительна при всех значениях переменной x , а правая часть равна 0, то уравнение решений не имеет.

Ответ : .

Выделение полного квадрата

Выделением полного квадрата называют представление квадратного трёхчлена (1) в виде:

Для того, чтобы получить формулу (6), совершим следующие преобразования:

Формула (6) получена.

Дискриминант

Дискриминантом квадратного трёхчлена (1) называют число, которое обозначается буквой D и вычисляется по формуле:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Утверждение . В случае, когда , квадратный трёхчлен (1) разлагается на линейные множители. В случае, когда D < 0 , квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

Доказательство . В случае, когда D = 0 , формула (8) и является разложением квадратного трехчлена на линейные множители:

В случае, когда D > 0 , выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), можно разложить на множители, воспользовавшись формулой сокращенного умножения «Разность квадратов» :

D > 0 , разложение квадратного трехчлена (1) на линейные множители имеет вид

В случае, когда D < 0 , выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), является суммой квадратов и квадратный трёхчлен на множители не раскладывается.

Замечание . В случае, когда D < 0 , квадратный трехчлен всё-таки можно разложить на линейные множители, но только в области комплексных чисел , однако этот материал выходит за рамки школьного курса.

Формула для корней квадратного уравнения

Из формул (9) и (10) вытекает формула для корней квадратного уравнения .

Действительно, в случае, когда D = 0 , из формулы (9) получаем:

Следовательно, в случае, когда D = 0 , уравнение (1) обладает единственным корнем, который вычисляется по формуле

В случае, когда D > 0 , из формулы (10) получаем:

Таким образом, в случае, когда D > 0 , уравнение (1) имеет два различных корня , которые вычисляются по формулам

Замечание 1 . Формулы (12) и (13) часто объединяют в одну формулу и записывают так:

Замечание 2 . В случае, когда D = 0 , обе формулы (12) и (13) превращаются в формулу (11). Поэтому часто говорят, что в случае, когда D = 0 , квадратное уравнение (1) имеет два совпавших корня , вычисляемых по формуле (11), а саму формулу (11) переписывают в виде:

Замечание 3 . В соответствии с материалом, изложенным в разделе «Кратные корни многочленов» , корень (11) является корнем уравнения (1) кратности 2.

В случае, когда D = 0 , разложение квадратного трехчлена на линейные множители (9) можно переписать по-другому, воспользовавшись формулой (15):

Замечание 4 . В случае, когда D = 0 , корни x 1 и x 2 совпадают, и формула (17) принимает вид (16).

Прямая и обратная теоремы Виета

Раскрывая скобки и приводя подобные члены в правой части формулы (17), получаем равенство

ax 2 + bx + c = a (x - x 1) (x - x 2) = a [x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 ] = a x 2 - a (x 1 + x 2) x + a x 1 x 2 .

Отсюда, поскольку формула (17) является тождеством, вытекает, что коэффициенты многочлена

ax 2 + bx + c

равны соответствующим коэффициентам многочлена

a x 2 - a (x 1 + x 2) x + a x 1 x 2 .

Таким образом, справедливы равенства

следствием которых являются формулы

Формулы (18) и составляют содержание теоремы Виета (прямой теоремы Виета) .

Словами прямая теорема Виета формулируется так: - «Если числа x 1 и x 2 являются корнями квадратного уравнения (1), то они удовлетворяют равенствам (18)».

Обратная теорема Виета формулируется так: - «Если числа x 1 и x 2 являются решениями системы уравнений (18), то они являются корнями квадратного уравнения (1)».

Для желающих ознакомиться с примерами решений различных задач по теме «Квадратные уравнения» мы рекомендуем наше учебное пособие «Квадратный трехчлен» .

Графики парабол и решение с их помощью квадратных неравенств представлены в разделе «Парабола на координатной плоскости. Решение квадратных неравенств» нашего справочника.

На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике .

Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

АЛГЕБРА

9 класс

ТЕМА: «Функции и их свойства. Квадратный трехчлен»

УРОК 21

Тема: «Разложение квадратного трехчлена на множители. Решение упражнений»

Цели урока: выработать у учащихся умение раскладывать квадратный трехчлен на множители; закрепить знания в процессе решения различных заданий по указанной теме; развивать у учащихся познавательного интереса к предмету; воспитывать ответственность, внимание, тренировку памяти, развивать умение осуществлять самоконтроль .

Оборудование: учебник по алгебре Ю.Н. Макарычева ; дидактический материал для устной работы, самостоятельной работы.

План урока

Ход урока

I. Этап актуализации знаний. Мотивация учебной проблемы.

Организационный момент.

Проверка домашнего задания.

Сегодня на уроке мы проведем обобщение и систематизацию знаний по теме: “Разложение квадратного трехчлена на множители”. Выполняя различные упражнения, вы должны отметить для себя моменты, на которые вам необходимо уделить особое внимание при решении уравнений и практических задач. Это очень важно при подготовке к экзамену.

Запишите тему урока: “Разложение квадратного трехчлена на множители. Решение упражнений”.

II. Основное содержание урока. Формирование и закрепление у учащихся представления о формуле разложения квадратного трехчлена на множители.

Устная работа . Для успешного разложения квадратного трехчлена на множители нужно помнить как формулы нахождения дискриминанта и формулы нахождения корней квадратного уравнения, формулу разложения квадратного трехчлена на множители и применять их на практике.

Дискриминантом квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 называется выражение b 2 – 4 ac .
Его обозначают буквой D , т.е. D = b 2 – 4 ac .

Возможны три случая:

ах 2 + b х + с = 0 .

1. Найти коэффициенты а, b, с квадратного трехчлена – 2 х 2 + 5 х + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

2. Какая из формул является формулой для вычисления корней квадратного уравнения

x 2 + px+ q = 0 по теореме Виета?

1) x 1 + x 2 = p ,
x 1 · x 2 = q .

2) x 1 + x 2 = – p ,
x 1 · x 2 = q .

3) x 1 + x 2 = – p ,
x 1 · x 2 = – q .

3. Разложить квадратный трехчлен х 2 – 11 х + 18 на множители.

Ответ: ( х – 2)( х – 9)

4. Разложить квадратный трехчлен у 2 – 9 у + 20 на множители

Ответ: ( х – 4)( х – 5)

III. Формирование умений и навыков. Закрепление изученного материала.

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) 3 x 2 – 8 x + 2;
б) 6 x 2 – 5 x + 1;
в) 3 x 2 + 5 x – 2;
г) -5 x 2 + 6 x – 1.

2. Разложение на множители помогает нам при сокращении дробей.

3. Не используя формулу корней, найдите корни квадратного трехчлена:
а) x 2 + 3 x + 2 = 0;
б) x 2 – 9 x + 20 = 0.

4. Составьте квадратный трехчлен, корнями которого являются числа:
а) x 1 = 4; x 2 = 2;
б) x 1 = 3; x 2 = -6;

5. Выполнить упражнения в учебнике № 79, 80 стр. 30

Самостоятельная работа.

Самостоятельно по вариантам выполнить задание с последующей проверкой. На первые два задания необходимо дать ответ “Да” или “нет”. Вызываются по одному ученику от каждого варианта (они работают на отворотах доски). После того как самостоятельная работа выполнена на доске, проводится совместная проверка решения. Учащиеся оценивают свои работы.

1-й вариант:

1. D<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. Число 2 является корнем уравнения х 2 + 3х – 10 = 0.

3. Разложить квадратный трехчлен на множители 6 x 2 – 5 x + 1;

2-й вариант:

1. D>0. Уравнение имеет 2 корня.

2.Число 3 является корнем квадратного уравнения х 2 – х – 12 = 0.

3.Разложить квадратный трехчлен на множители 2 х 2 – 5 х + 3

Посмотрите на карточки “Продолжите или дополните утверждение”.

х 2

5. Если известны x 1 и x 2

IV. Проверка усвоения знаний. Рефлексия.

Урок показал, что вы знаете основной теоретический материал этой темы. Мы обобщили знания по теме: “Разложение квадратного трехчлена на множители. Решение упражнений”, убедились в ее необходимости, ведь она находит широкое применение при решении математических задач.

Ответы на вопросы.

1. Какую теорему мы сегодня повторили на уроке?

2. При решении задач на разложение квадратного трехчлена на множители нужно применять…

Выставление оценок.

Резервный материал.

Сократить дробь.

2. Разложить квадратный трехчлен на множители.

1) x 2 – 6x + 8;

2) x 2 + 6х – 7;

3) 3x 2 + 11х – 4;

4) 3x 2 + 7х + 8.

5) -7x 2 + 6x – 2;

6) -2x 2 + 16x – 33 .

3. Под детскую площадку отведен участок прямоугольной формы, длина которого на 4 м больше ширины. Площадь участка 165 кв.м. Найти длину участка.

V. Домашнее задание:

Повторить пункт 4, выполнить № 83 (г, д, е), 85 стр. 30.

Продолжите или дополните утверждение:

1. Чтобы найти корни квадратного трехчлена a х 2 +_____________________ надо решить уравнение вида _______________________