Yechim onlayn funksiya cheklovlari. Nuqtadagi funksiya yoki funksional ketma-ketlikning chegara qiymatini toping, hisoblang cheklovchi cheksizlikdagi funktsiya qiymati. raqamlar seriyasining yaqinlashuvini aniqlang va boshqa ko'p narsalarni bizning onlayn xizmatimiz tufayli amalga oshirish mumkin -. Biz sizga onlayn funksiya chegaralarini tez va aniq topish imkonini beramiz. Funktsiya o'zgaruvchisi va u intiladigan chegarani o'zingiz kiritasiz, bizning xizmatimiz siz uchun barcha hisob-kitoblarni amalga oshiradi va aniq va oddiy javob beradi. Va uchun onlayn chegarani topish so'zma-so'z ifodada doimiylarni o'z ichiga olgan sonli qatorlarni ham, analitik funksiyalarni ham kiritishingiz mumkin. Bunday holda, topilgan funksiya chegarasi ushbu konstantalarni ifodada doimiy argumentlar sifatida o'z ichiga oladi. Bizning xizmatimiz topishning har qanday murakkab muammolarini hal qiladi onlayn cheklovlar, funktsiyani va hisoblash uchun zarur bo'lgan nuqtani ko'rsatish kifoya funktsiya chegarasi. Hisoblash onlayn cheklovlar, natijani bilan solishtirganda ularni hal qilish uchun turli usullar va qoidalardan foydalanishingiz mumkin yechimni onlayn cheklash www.site saytida, bu vazifani muvaffaqiyatli bajarishga olib keladi - siz o'zingizning xatolaringiz va xatolaringizdan qochasiz. Yoki funktsiya chegarasining mustaqil hisob-kitoblariga qo'shimcha kuch va vaqt sarflamasdan, bizga to'liq ishonishingiz va natijamizdan ishingizda foydalanishingiz mumkin. Biz cheksizlik kabi chegara qiymatlarini kiritishga ruxsat beramiz. Raqamli ketma-ketlikning umumiy atamasini kiritishingiz kerak va www.sayt qiymatini hisoblab chiqadi onlayn chegara ortiqcha yoki minus cheksizlikka.

Matematik analizning asosiy tushunchalaridan biri bu funktsiya chegarasi Va ketma-ketlik chegarasi nuqtada va cheksizlikda to'g'ri hal qila olish muhimdir chegaralar. Bizning xizmatimiz bilan bu qiyin bo'lmaydi. Qaror qabul qilinmoqda onlayn cheklovlar soniya ichida javob aniq va to'liq bo'ladi. Hisob-kitoblarni o'rganish shundan boshlanadi chegaraga o'tish, chegaralar Oliy matematikaning deyarli barcha bo'limlarida qo'llaniladi, shuning uchun qo'lda server bo'lishi foydalidir onlayn echimlarni cheklash qaysi sayt.

Ushbu maqolada chegaralarni qanday topishni o'rganmoqchi bo'lganlar uchun biz bu haqda gaplashamiz. Biz nazariyani chuqur o'rganmaymiz, u odatda o'qituvchilar tomonidan ma'ruzalarda o'qiladi. Shunday qilib, "zerikarli nazariya" daftarlaringizda tasvirlangan bo'lishi kerak. Agar bunday bo'lmasa, siz ta'lim muassasasi kutubxonasidan yoki boshqa Internet manbalaridan olingan darsliklarni o'qishingiz mumkin.

Demak, chegara tushunchasi oliy matematika kursini o‘rganishda, ayniqsa, integral hisobiga duch kelganda va chegara va integral o‘rtasidagi bog‘liqlikni tushunganingizda juda muhimdir. Mavjud materialda oddiy misollar, shuningdek ularni hal qilish usullari ko'rib chiqiladi.

Yechim misollari

1-misol

Hisoblang a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Yechim

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Biz ko'pincha ushbu cheklovlarni hal qilish uchun yordam so'rab bizga yuboramiz. Biz ularni alohida misol sifatida ajratib ko'rsatishga qaror qildik va bu chegaralarni, qoida tariqasida, shunchaki eslab qolish kerakligini tushuntirishga qaror qildik. Agar muammoingizni hal qila olmasangiz, uni bizga yuboring. Biz batafsil yechimni taqdim etamiz. Siz hisob-kitoblarning borishi bilan tanishishingiz va ma'lumot to'plashingiz mumkin bo'ladi. Bu sizga o'qituvchidan o'z vaqtida kredit olishingizga yordam beradi!

Javob

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac (1 )(x) = 0 $$

Shakl noaniqligi bilan nima qilish kerak: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

3-misol

$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ yeching.

Yechim

Har doimgidek, biz $ x $ qiymatini chegara belgisi ostidagi ifodaga almashtirishdan boshlaymiz. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Keyingisi nima? Natija qanday bo'lishi kerak? Bu noaniqlik bo'lgani uchun, bu hali javob emas va biz hisoblashni davom ettiramiz. Numeratorlarda ko'phad mavjud bo'lganligi sababli, biz tanish $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ formulasidan foydalanib, ko'paytiruvchilarga ajratamiz. Esingizdami? Ajoyib! Endi davom eting va uni qo'shiq bilan qo'llang :) Biz $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ sonini olamiz Yuqoridagi transformatsiyani hisobga olgan holda biz hal qilishni davom ettiramiz: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Javob

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Oxirgi ikki misoldagi chegarani cheksizlikka olib chiqamiz va noaniqlikni ko'rib chiqamiz: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

5-misol

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ hisoblang

Yechim

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Nima qilsa bo'ladi? Qanday bo'lish kerak? Vahima qilmang, chunki imkonsiz narsa mumkin. Hisoblagichdagi ham, X maxrajidagi qavslarni chiqarib, keyin uni qisqartirish kerak. Shundan so'ng, chegarani hisoblashga harakat qiling. Urinish... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ 2-misoldagi ta'rifdan foydalanib va ​​cheksizlikni x o'rniga qo'yib, biz quyidagilarni olamiz: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty))))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Javob

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Limitlarni hisoblash algoritmi

Shunday qilib, tahlil qilingan misollarni qisqacha umumlashtiramiz va chegaralarni echish algoritmini tuzamiz:

1. Chegara belgisidan keyingi ifodadagi x nuqtani almashtiring. Agar ma'lum bir raqam yoki cheksizlik olingan bo'lsa, u holda chegara butunlay hal qilinadi. Aks holda, bizda noaniqlik mavjud: "nol nolga bo'linadi" yoki "cheksizlikka bo'lingan cheksizlik" va ko'rsatmalarning keyingi paragraflariga o'ting.
2. "Nolni nolga bo'lish" noaniqligini bartaraf qilish uchun siz pay va maxrajni faktorlarga ajratishingiz kerak. O'xshashni kamaytiring. Ifodadagi x nuqtani chegara belgisi ostida almashtiring.
3. Agar noaniqlik "cheksizlikka bo'lingan cheksizlik" bo'lsa, u holda biz eng katta darajadagi numeratorda ham, x maxrajida ham chiqaramiz. Biz x ni qisqartiramiz. Biz chegara ostidagi x qiymatlarni qolgan ifodaga almashtiramiz.

Ushbu maqolada siz Hisoblash kursida tez-tez ishlatiladigan limitlarni echish asoslari bilan tanishdingiz. Albatta, bu imtihonchilar tomonidan taklif qilinadigan barcha turdagi muammolar emas, balki faqat eng oddiy chegaralardir. Kelgusi maqolalarda biz boshqa turdagi vazifalar haqida gapiramiz, lekin oldinga o'tish uchun siz ushbu darsni o'rganishingiz kerak. Agar ildizlar, darajalar bo'lsa, nima qilish kerakligini muhokama qilamiz, cheksiz kichik ekvivalent funktsiyalarni, ajoyib chegaralarni, L'Hopital qoidasini o'rganamiz.

Agar siz o'zingiz chegaralarni aniqlay olmasangiz, vahima qo'ymang. Biz har doim yordam berishdan xursandmiz!

Birinchi ajoyib chegara quyidagi tenglik deb ataladi:

\begin(tenglama)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(tenglama)

$\alpha\to(0)$ uchun bizda $\sin\alpha\to(0)$ borligi sababli, biz aytamizki, birinchi ajoyib chegara $\frac(0)(0)$ shaklining noaniqligini ochib beradi. Umuman olganda, (1) formulada $\alpha$ oʻzgaruvchisi oʻrniga sinus belgisi ostida va maxrajda ikkita shart bajarilgan taqdirda har qanday ifodani joylashtirish mumkin:

1. Sinus belgisi ostidagi va maxrajdagi iboralar bir vaqtning o'zida nolga moyil bo'ladi, ya'ni. $\frac(0)(0)$ shaklidagi noaniqlik mavjud.
2. Sinus belgisi ostidagi va maxrajdagi ifodalar bir xil.

Birinchi ajoyib chegaradan olingan xulosalar ham tez-tez ishlatiladi:

\begin(tenglama) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(tenglama) \begin(tenglama) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(tenglama) \begin(tenglama) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(tenglama)

Ushbu sahifada o'n bitta misol echilgan. 1-misol (2)-(4) formulalarni isbotlashga bag'ishlangan. №2, №3, №4 va №5 misollar batafsil izohlar bilan yechimlarni o'z ichiga oladi. 6-10-misollarda sharhlar kam yoki yo'q yechimlar mavjud, chunki oldingi misollarda batafsil tushuntirishlar berilgan. Yechishda ba'zi trigonometrik formulalar qo'llaniladi, ularni topish mumkin.

Shuni ta'kidlaymanki, trigonometrik funktsiyalarning mavjudligi $\frac (0) (0)$ noaniqligi bilan birgalikda birinchi ajoyib chegara qo'llanilishi kerak degani emas. Ba'zan oddiy trigonometrik o'zgarishlar etarli - masalan, qarang.

№1 misol

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha) ekanligini isbotlang. (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ ekan, u holda:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\o'ng| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Chunki $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ va $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , Bu:

$$ \lim_(\alfa\to (0))\frac(\sin(\alfa))(\alpha\cos(\alfa)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alfa\to (0)) \ frac (\ sin (\ alfa)) (\ alfa)) (\ displaystyle \ lim_ (\ alfa \ to (0)) \ cos (\ alfa)) =\ frac (1) (1) =1. $$

b) $\alpha=\sin(y)$ o'rnini bosamiz. $\sin(0)=0$ ekan, $\alpha\to(0)$ shartidan bizda $y\to(0)$ bo'ladi. Bundan tashqari, $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$ boʻlgan nol mahallasi mavjud, shuning uchun:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\o'ng| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ tengligi isbotlangan.

c) $\alpha=\tg(y)$ o'rnini bosamiz. $\tg(0)=0$ ekan, $\alpha\to(0)$ va $y\to(0)$ shartlari ekvivalentdir. Bundan tashqari, $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ bo'lgan nol mahallasi mavjud, shuning uchun a) nuqta natijalariga tayanib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\o'ng| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ tengligi isbotlangan.

a), b), c) tengliklari ko'pincha birinchi ajoyib chegara bilan birga ishlatiladi.

№2 misol

Hisoblash limiti $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

$\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ va $\lim_( x \to (2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, ya'ni. va kasrning numeratori va maxraji bir vaqtning o'zida nolga moyil bo'ladi, keyin bu erda biz $\frac(0)(0)$ shaklining noaniqligi bilan shug'ullanamiz, ya'ni. bajarildi. Bundan tashqari, sinus belgisi ostidagi va maxrajdagi iboralar bir xil (ya'ni, qanoatlangan) ekanligini ko'rish mumkin:

Shunday qilib, sahifaning boshida sanab o'tilgan ikkala shart ham bajariladi. Bundan kelib chiqadiki, formula qo'llaniladi, ya'ni. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\o'ng))(\frac(x^2-4)(x+ 7) ))=1$.

Javob: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\o'ng))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

№3 misol

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ toping.

$\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ va $\lim_(x\to(0))x=0$ ekan, biz $\frac( shaklidagi noaniqlik bilan ishlaymiz. 0 )(0)$, ya'ni, bajarildi. Biroq sinus belgisi ostidagi va maxrajdagi ifodalar mos kelmaydi. Bu yerda maxrajdagi ifodani kerakli shaklga moslashtirish talab qilinadi. Bizga $9x$ iborasi maxrajda bo'lishi kerak - shunda u haqiqatga aylanadi. Asosan, bizda maxrajdagi $9$ omili etishmayapti, uni kiritish unchalik qiyin emas, maxrajdagi ifodani $9$ ga koʻpaytirish kifoya. Tabiiyki, $9 $ ga ko'paytirishni qoplash uchun siz darhol $ 9 $ ga bo'lishingiz va bo'lishingiz kerak:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\o'ng| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin) (9x))(9x) $$

Endi maxrajdagi va sinus belgisi ostidagi iboralar bir xil. $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ chegarasi uchun ikkala shart ham qondiriladi. Demak, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Va bu shuni anglatadiki:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Javob: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

4-misol

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ toping.

$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ va $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ ekan, bu yerda biz buning noaniqligi bilan ishlaymiz. $\frac(0)(0)$ shaklida. Biroq, birinchi ajoyib chegaraning shakli buziladi. $\sin(5x)$ ni o'z ichiga olgan hisoblagich maxrajda $5x$ ni talab qiladi. Bunday vaziyatda eng oson yo'li hisoblagichni $5x$ ga bo'lish va darhol $5x$ ga ko'paytirishdir. Bundan tashqari, biz $\tg(8x)$ ni $8x$ ga ko'paytiruvchi va bo'luvchi maxraj bilan shunga o'xshash amalni bajaramiz:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\o'ng| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

$x$ ga kamaytirsak va $\frac(5)(8)$ doimiy qiymatini chegara belgisidan chiqarsak, biz quyidagilarni olamiz:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

E'tibor bering, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ birinchi ajoyib chegara uchun talablarni to'liq qondiradi. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ topish uchun quyidagi formula qo'llaniladi:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to) (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Javob: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

№5 misol

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ toping.

$\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (esda tutingki, $\cos(0)=1$) va $\ lim_(x\to(0))x^2=0$ bo'lsa, u holda biz $\frac(0)(0)$ ko'rinishining noaniqligi bilan shug'ullanamiz. Biroq, birinchi ajoyib chegarani qo'llash uchun siz sinuslarga (formulani qo'llash uchun) yoki tangenslarga (formulani keyin qo'llash uchun) o'tish orqali hisoblagichdagi kosinusdan xalos bo'lishingiz kerak. Buni quyidagi o'zgartirish bilan qilishingiz mumkin:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\o'ng)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Keling, chegaraga qaytaylik:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\o'ng| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\chap(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\o'ng) $$

$\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ kasr allaqachon birinchi ajoyib chegara uchun zarur bo'lgan shaklga yaqin. Keling, $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ kasr bilan biroz ishlaylik, uni birinchi ajoyib chegaraga moslashtiramiz (hisob qilaylik, hisob va sinus ostidagi ifodalar mos kelishi kerak):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\o'ng)^2$$

Keling, ko'rib chiqilgan chegaraga qaytaylik:

$$ \lim_(x\to(0))\chap(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\o'ng) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\o'ng)^2\o'ng)=\\ =25\cdot\lim_(x\to() 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\o'ng)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Javob: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

№6 misol

$\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ chegarasini toping.

$\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ va $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$ ekan, keyin biz $\frac(0)(0)$ noaniqligi bilan ishlaymiz. Keling, uni birinchi ajoyib chegara yordamida ochamiz. Buning uchun kosinuslardan sinuslarga o'tamiz. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$ ekan, u holda:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Berilgan sinuslar chegarasidan o'tsak, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\o'ng| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\) frac(\sin(3x))(3x)\o'ng)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\o'ng)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\chap(\frac(\sin(3x))(3x)\o'ng)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Javob: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

№7 misol

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ limitini hisoblang $\alpha\neq\ beta $.

Batafsil tushuntirishlar avvalroq berilgan edi, ammo bu erda biz yana $\frac(0)(0)$ ning noaniqligi borligini ta'kidlaymiz. Formuladan foydalanib, kosinuslardan sinuslarga o‘tamiz

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Yuqoridagi formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\o'ng| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\o'ng)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\o'ng))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alfa-\beta)(2)\o'ng))(x)\o'ng)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\o'ng))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\o'ng))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\o'ng)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\o'ng))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \ frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\o'ng))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alfa^2)(2). $$

Javob: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alfa(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

8-misol

$\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ chegarasini toping.

$\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (esda tutingki, $\sin(0)=\tg(0)=0$) va $\ lim_(x\to(0))x^3=0$ bo'lsa, bu erda biz $\frac(0)(0)$ ko'rinishining noaniqligi bilan shug'ullanamiz. Keling, buni quyidagicha ajratamiz:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\o'ng| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\o'ng))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \ frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\o‘ng)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\o‘ng) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$

Javob: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

№9 misol

$\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$ chegarasini toping.

$\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ va $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, u holda $\frac(0)(0)$ ko'rinishining noaniqligi mavjud. Uni kengaytirishga o'tishdan oldin, o'zgaruvchini yangi o'zgaruvchi nolga moyil bo'ladigan tarzda o'zgartirish qulay (formulalarda $\alpha \to 0$ o'zgaruvchisi ekanligini unutmang). Eng oson yo'li $t=x-3$ o'zgaruvchisini kiritishdir. Biroq, keyingi o'zgartirishlar qulayligi uchun (bu foydani quyidagi yechim jarayonida ko'rish mumkin) quyidagi almashtirishni amalga oshirishga arziydi: $t=\frac(x-3)(2)$. Shuni ta'kidlaymanki, bu holda ikkala almashtirish ham qo'llaniladi, faqat ikkinchi almashtirish sizga kasrlar bilan kamroq ishlash imkonini beradi. $x\to(3)$ bo'lgani uchun, keyin $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\chap|\frac (0)(0)\o'ng| =\left|\begin(hizalangan)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(hizalangan)\o'ng| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to (0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin) (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\o'ng) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Javob: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

№10 misol

Chegarani toping $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.

Yana biz $\frac(0)(0)$ noaniqligi bilan shug'ullanamiz. Uni kengaytirishga o'tishdan oldin, o'zgaruvchini yangi o'zgaruvchi nolga moyil bo'ladigan tarzda o'zgartirish qulay (formulalarda o'zgaruvchi $\alpha\to(0)$ ga teng ekanligini unutmang). Eng oson yo'li $t=\frac(\pi)(2)-x$ o'zgaruvchisini kiritishdir. Chunki $x\to\frac(\pi)(2)$, keyin $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\o'ng)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(hizalangan)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(hizalangan)\o'ng| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\o'ng))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to() 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\o'ng)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Javob: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\o'ng)^2) =\frac(1)(2)$.

№11 misol

Cheklovlarni toping $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\) pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Bunday holda, biz birinchi ajoyib chegaradan foydalanishimiz shart emas. Iltimos, diqqat qiling: birinchi va ikkinchi chegaralarda faqat trigonometrik funktsiyalar va raqamlar mavjud. Ko'pincha, bunday turdagi misollarda chegara belgisi ostida joylashgan ifodani soddalashtirish mumkin. Bunday holda, aytib o'tilgan soddalashtirish va ayrim omillarni kamaytirishdan so'ng, noaniqlik yo'qoladi. Men bu misolni faqat bitta maqsad bilan keltirdim: chegara belgisi ostida trigonometrik funktsiyalarning mavjudligi birinchi ajoyib chegara qo'llanilishini anglatmasligini ko'rsatish.

Chunki $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (esda tutingki, $\sin\frac(\pi)(2)=1$) va $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (esda tutingki, $\cos\frac(\pi)(2)=0$), keyin biz noaniqlik bilan ishlaymiz $\frac(0)(0)$ shaklida. Biroq, bu biz birinchi ajoyib chegaradan foydalanishimiz kerak degani emas. Noaniqlikni aniqlash uchun $\cos^2x=1-\sin^2x$ ekanligini hisobga olish kifoya:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\o'ng| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Demidovichning yechim kitobida ham shunday yechim bor (475-son). Ikkinchi chegaraga kelsak, ushbu bo'limning oldingi misollarida bo'lgani kabi, bizda $\frac(0)(0)$ shaklidagi noaniqlik mavjud. Nima uchun paydo bo'ladi? Buning sababi $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ va $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Biz ushbu qiymatlardan hisob va maxrajdagi ifodalarni o'zgartirish uchun foydalanamiz. Bizning harakatlarimiz maqsadi: son va maxrajdagi yig'indini ko'paytma sifatida yozing. Aytgancha, ko'pincha o'xshash shakldagi o'zgaruvchini o'zgartirish qulay bo'lib, yangi o'zgaruvchi nolga moyil bo'ladi (masalan, ushbu sahifadagi № 9 yoki 10-sonli misollarga qarang). Biroq, bu misolda, o'zgaruvchini almashtirishning ma'nosi yo'q, garchi agar xohlasangiz, $t=x-\frac(2\pi)(3)$ o'zgaruvchisini almashtirishni amalga oshirish oson.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\o'ng )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\chap(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\o'ng))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\o'ng))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac) (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3) ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\o'ng)\cdot\left( -\ frac (1) (2) \ o'ng)) =-\ frac (4) (\ sqrt (3)). $$

Ko'rib turganingizdek, biz birinchi ajoyib chegarani qo'llashimiz shart emas edi. Albatta, agar xohlasangiz, buni amalga oshirish mumkin (quyidagi eslatmaga qarang), lekin bu kerak emas.

Birinchi ajoyib chegara yordamida qanday yechim bo'ladi? ko'rsatish / yashirish

Birinchi ajoyib chegaradan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\o'ng))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ o'ng))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\ frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\o'ng) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\o'ng)\cdot\left(-\frac(1)(2)\o'ng)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Javob: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Limitlar barcha matematika talabalariga juda ko'p muammolarni keltirib chiqaradi. Cheklovni hal qilish uchun, ba'zida siz juda ko'p hiyla-nayranglardan foydalanishingiz va turli xil echimlardan ma'lum bir misol uchun mos keladiganini tanlashingiz kerak.

Ushbu maqolada biz sizning qobiliyatingiz chegaralarini tushunishga yoki nazorat chegaralarini tushunishga yordam bermaymiz, lekin biz savolga javob berishga harakat qilamiz: oliy matematikada chegaralarni qanday tushunish kerak? Tushunish tajriba bilan birga keladi, shuning uchun biz tushuntirishlar bilan chegaralarni hal qilishning batafsil misollarini keltiramiz.

Matematikada chegara tushunchasi

Birinchi savol: chegara nima va nima chegarasi? Raqamli ketma-ketliklar va funksiyalarning chegaralari haqida gapirish mumkin. Bizni funktsiya chegarasi tushunchasi qiziqtiradi, chunki talabalar aynan ular bilan tez-tez duch kelishadi. Lekin birinchi navbatda, chegaraning eng umumiy ta'rifi:

Aytaylik, qandaydir o'zgaruvchi bor. Agar o'zgarish jarayonida bu qiymat cheksiz ravishda ma'lum bir raqamga yaqinlashsa a , Bu a bu qiymatning chegarasi.

Ayrim oraliqda aniqlangan funksiya uchun f(x)=y chegara - bu raqam A , funksiya qachon moyil bo'ladi X ma'lum bir nuqtaga intilish A . Nuqta A funksiya aniqlangan intervalga tegishli.

Bu og'ir tuyuladi, lekin u juda oddiy yozilgan:

Lim- ingliz tilidan chegara- chegara.

Chegaraning ta'rifi uchun geometrik tushuntirish ham mavjud, ammo bu erda biz nazariyaga bormaymiz, chunki biz masalaning nazariy tomoniga qaraganda amaliy tomonga ko'proq qiziqamiz. Buni aytganda X ba'zi qiymatga intiladi, bu o'zgaruvchining raqam qiymatini olmasligini, lekin unga cheksiz yaqinlashishini bildiradi.

Keling, aniq bir misol keltiraylik. Qiyinchilik chegarani topishdir.

Ushbu misolni hal qilish uchun biz qiymatni almashtiramiz x=3 funksiyaga aylanadi. Biz olamiz:

Aytgancha, agar siz qiziqsangiz, ushbu mavzu bo'yicha alohida maqolani o'qing.

Misollarda X har qanday qiymatga moyil bo'lishi mumkin. Bu har qanday raqam yoki cheksizlik bo'lishi mumkin. Mana bir misol qachon X cheksizlikka intiladi:

Intuitiv ravishda aniqki, maxrajdagi son qanchalik katta bo'lsa, funktsiya shunchalik kichik qiymatni oladi. Shunday qilib, cheksiz o'sish bilan X ma'nosi 1/x kamayadi va nolga yaqinlashadi.

Ko'rib turganingizdek, chegarani hal qilish uchun siz faqat funktsiyaga intiladigan qiymatni almashtirishingiz kerak. X . Biroq, bu eng oddiy holat. Ko'pincha chegarani topish unchalik aniq emas. Chegaralar ichida turdagi noaniqliklar mavjud 0/0 yoki cheksizlik/cheksizlik . Bunday hollarda nima qilish kerak? Fokuslardan foydalaning!

Ichidagi noaniqliklar

Infinity/infinity shaklining noaniqligi

Cheklov bo'lsin:

Agar funktsiyada cheksizlikni almashtirishga harakat qilsak, biz sonda ham, maxrajda ham cheksizlikka ega bo'lamiz. Umuman olganda, bunday noaniqliklarni hal qilishda san'atning ma'lum bir elementi borligini aytish kerak: funktsiyani noaniqlik yo'qolgan tarzda qanday o'zgartirish mumkinligini payqash kerak. Bizning holatlarimizda biz hisoblagich va maxrajni ajratamiz X oliy darajadagi. Nima bo'ladi?

Yuqorida ko'rib chiqilgan misoldan bilamizki, maxrajda x ni o'z ichiga olgan atamalar nolga moyil bo'ladi. Keyin chegaraning yechimi:

Turlarning noaniqliklarini ochish uchun cheksizlik/cheksizlik son va maxrajni ga bo'ling X eng yuqori darajada.

Aytmoqchi! O'quvchilarimiz uchun endi 10% chegirma mavjud

Boshqa turdagi noaniqlik: 0/0

Har doimgidek, qiymat funksiyasiga almashtirish x=-1 beradi 0 son va maxrajda. Biroz diqqat bilan qarasangiz, hisoblagichda kvadrat tenglama borligini sezasiz. Keling, ildizlarni topamiz va yozamiz:

Keling, kamaytiramiz va olamiz:

Shunday qilib, agar siz noaniqlikka duch kelsangiz 0/0 - son va maxrajni koeffitsientlarga ajratish.

Misollarni echishni osonlashtirish uchun bu erda ba'zi funktsiyalar chegaralari bilan jadval mavjud:

L'Hopital qoidasi ichida

Ikkala turdagi noaniqlikni bartaraf etishning yana bir kuchli usuli. Usulning mohiyati nimada?

Agar chegarada noaniqlik bo'lsa, noaniqlik yo'qolguncha pay va maxrajning hosilasini olamiz.

Vizual ravishda L'Hopital qoidasi quyidagicha ko'rinadi:

Muhim nuqta : ayiruvchi va maxrajning hosilalari hisob va maxraj oʻrniga keladigan chegara mavjud boʻlishi kerak.

Va endi haqiqiy misol:

Oddiy noaniqlik mavjud 0/0 . Numerator va maxrajning hosilalarini oling:

Voila, noaniqlik tez va oqlangan tarzda yo'q qilinadi.

Umid qilamizki, siz ushbu ma'lumotni amalda qo'llaysiz va "Oliy matematikada chegaralarni qanday yechish mumkin" degan savolga javob topasiz. Agar biror nuqtada ketma-ketlik chegarasini yoki funktsiya chegarasini hisoblashingiz kerak bo'lsa, lekin bu ish uchun "mutlaqo" so'zidan vaqt yo'q bo'lsa, murojaat qiling. professional talabalar xizmati tez va batafsil yechim uchun.