Tenglamalar tizimini almashtirish usuli yordamida yechish
Keling, tenglamalar tizimi nima ekanligini eslaylik.
Ikki o'zgaruvchiga ega bo'lgan ikkita tenglamalar tizimi bir-birining ostiga yozilgan, jingalak qavs bilan birlashtirilgan ikkita tenglamadir. Tizimni yechish deganda bir vaqtning o'zida birinchi va ikkinchi tenglamalarni yechadigan raqamlar juftligini topish tushuniladi.
Ushbu darsda biz almashtirish usuli kabi tizimlarni yechish usuli bilan tanishamiz.
Keling, tenglamalar tizimini ko'rib chiqaylik:
Ushbu tizimni grafik tarzda hal qilishingiz mumkin. Buning uchun biz har bir tenglamaning grafiklarini bitta koordinatalar tizimida tuzib, ularni quyidagi shaklga aylantirishimiz kerak:
Keyin tizimning yechimi bo'ladigan grafiklarning kesishish nuqtasining koordinatalarini toping. Lekin grafik usul har doim ham qulay emas, chunki past aniqlikda, hatto kirish imkonsizligida ham farqlanadi. Keling, tizimimizni batafsil ko'rib chiqishga harakat qilaylik. Endi shunday ko'rinadi:
Siz tenglamalarning chap tomonlari teng ekanligini sezishingiz mumkin, ya'ni o'ng tomonlari ham teng bo'lishi kerak. Keyin tenglamani olamiz:
Bu biz hal qila oladigan bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan tanish tenglama. Noma'lum shartlarni chap tomonga, ma'lumlarini esa o'ngga o'tkazamiz, ko'chirishda + va - belgilarini o'zgartirishni unutmang. Biz olamiz:
Endi x ning topilgan qiymatini tizimning istalgan tenglamasiga almashtiramiz va y qiymatini topamiz. Bizning tizimimizda y = 3 - x ikkinchi tenglamadan foydalanish qulayroq; almashtirishdan keyin biz y = 2 ni olamiz. Endi bajarilgan ishni tahlil qilamiz. Birinchidan, birinchi tenglamada y o'zgaruvchini x o'zgaruvchisi bilan ifodaladik. Keyin hosil bo'lgan ifoda - 2x + 4 ikkinchi tenglamaga y o'zgaruvchisi o'rniga almashtirildi. Keyin hosil bo'lgan tenglamani bitta x o'zgaruvchisi bilan yechib, uning qiymatini topdik. Va nihoyat, biz boshqa y o'zgaruvchisini topish uchun x ning topilgan qiymatidan foydalandik. Shu o'rinda savol tug'iladi: y o'zgaruvchini ikkala tenglamadan birdaniga ifodalash kerakmidi? Albatta yo'q. Biz tizimning faqat bitta tenglamasida bir o'zgaruvchini boshqasi bilan ifodalashimiz va ikkinchisida mos keladigan o'zgaruvchi o'rniga undan foydalanishimiz mumkin. Bundan tashqari, har qanday tenglamadan istalgan o'zgaruvchini ifodalashingiz mumkin. Bu erda tanlov faqat hisobning qulayligiga bog'liq. Matematiklar bu protsedurani ikki o'zgaruvchili ikkita tenglamalar tizimini almashtirish usuli yordamida echish algoritmi deb atashgan.Mana bu qanday ko'rinishga ega.
1. Tizim tenglamalaridan birida o‘zgaruvchilardan birini boshqasi bilan ifodalang.
2.Tizimning boshqa tenglamasiga mos oʻzgaruvchi oʻrniga olingan ifodani qoʻying.
3.Bir o‘zgaruvchili hosil bo‘lgan tenglamani yeching.
4.Birinchi bosqichda olingan ifodaga o‘zgaruvchining topilgan qiymatini qo‘ying va boshqa o‘zgaruvchining qiymatini toping.
5.Javobni uchinchi va to‘rtinchi bosqichda topilgan sonlar juftligi ko‘rinishida yozing.
Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Tenglamalar tizimini yeching:
Bu erda birinchi tenglamadan y o'zgaruvchisini ifodalash qulayroqdir. Biz y = 8 - 2x ni olamiz. Olingan ifoda ikkinchi tenglamada y ga almashtirilishi kerak. Biz olamiz:
Bu tenglamani alohida yozamiz va yechamiz. Birinchidan, qavslarni ochamiz. Biz 3x - 16 + 4x = 5 tenglamani olamiz. Tenglamaning chap tomonidagi noma'lum, o'ng tomonidagi ma'lum bo'lgan hadlarni to'playmiz va shunga o'xshash hadlarni keltiramiz. Biz 7x = 21 tenglamani olamiz, shuning uchun x = 3.
Endi, topilgan x qiymatidan foydalanib, siz quyidagilarni topishingiz mumkin:
Javob: bir juft raqamlar (3; 2).
Shunday qilib, biz ushbu darsda ikkita noma'lumli tenglamalar tizimini shubhali grafik usullarga murojaat qilmasdan, analitik, aniq usulda echishni o'rgandik.
Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati:
- Mordkovich A.G., Algebra 7-sinf 2 qism, 1-qism, Umumiy ta'lim muassasalari uchun darslik / A.G. Mordkovich. - 10-nashr, qayta ko'rib chiqilgan - Moskva, "Mnemosyne", 2007.
- Mordkovich A.G., Algebra 7-sinf 2 qismli, 2-qism, Ta'lim muassasalari uchun muammoli kitob / [A.G. Mordkovich va boshqalar]; tomonidan tahrirlangan A.G. Mordkovich - 10-nashr, qayta ko'rib chiqilgan - Moskva, "Mnemosyne", 2007 yil.
- U. Tulchinskaya, Algebra 7-sinf. Blits so'rovi: umumiy ta'lim muassasalari talabalari uchun qo'llanma, 4-nashr, qayta ko'rib chiqilgan va kengaytirilgan, Moskva, Mnemosyne, 2008 yil.
- Aleksandrova L.A., Algebra 7-sinf. Umumiy ta'lim muassasalari o'quvchilari uchun yangi shakldagi tematik test ishlari, tahririyati A.G. Mordkovich, Moskva, "Mnemosyne", 2011 yil.
- Aleksandrova L.A. Algebra 7-sinf. Umumiy ta’lim muassasalari o‘quvchilari uchun mustaqil ishlar, tahririyati A.G. Mordkovich - 6-nashr, stereotipik, Moskva, "Mnemosyne", 2010 yil.
Keling, buni aniqlaylik Tenglamalar sistemasini almashtirish usuli yordamida qanday yechish mumkin?
1) sistemaning birinchi yoki ikkinchi tenglamasidan noma’lumni ifodalang X yoki da(biz uchun nima qulayroq bo'lsa);
2) noma'lum o'rniga boshqa tenglamaga (noma'lum ifodalanmagan tenglamaga) almashtiring. X yoki da(agar ifodalangan bo'lsa X, o'rniga o'zgartiring X; ifodalangan bo'lsa da, o'rniga o'zgartiring da) natijaviy ifoda;
3) Olingan tenglamani yeching. topamiz X yoki y;
4) Noma’lumning natijaviy qiymatini almashtiring va ikkinchi noma’lumni toping.
Qoida yozilgan. Endi uni tenglamalar sistemasini yechishda qo‘llashga harakat qilaylik.
1-misol.
Keling, tenglamalar tizimini batafsil ko'rib chiqaylik. Biz birinchi tenglamadan ifodalash osonroq ekanligini ta'kidlaymiz da.
ifodalaymiz da:
–2u = 11 – 3x
y = (11 – 3x)/(–2)
y = –5,5 + 1,5x
Endi uning o'rniga ikkinchi tenglamani diqqat bilan almashtiramiz da ifoda -5,5 + 1,5x.
Biz olamiz: 4x – 5(–5,5 + 1,5x) = 3
Keling, bu tenglamani yechamiz:
4x + 27,5 - 7,5x = 3
–3,5x = 3 – 27,5
–3,5x = –24,5
x = –24,5/(–3,5)
Buning o'rniga y = – 5,5 + 1,5x ni ifodaga almashtiramiz X biz topgan qiymat. Biz olamiz:
y = – 5,5+ 1,5 7 = –5,5 + 10,5 = 5.
Javob: (7; 5)
Bu qiziq, lekin agar biz birinchi tenglamadan ifoda qilsak, yo'q da, A X, javob o'zgaradimi?
Keling, ifodalashga harakat qilaylik X birinchi tenglamadan.
x = (11 + 2y)/3
Keling, o'rniga almashtiraylik X ikkinchi tenglamaga (11 +2u)/3 ifodasini keltirsak, bitta noma'lum tenglamani olamiz va uni yechamiz.
4(11 + 2u)/3 – 5u = 3, tenglamaning ikkala tomonini 3 ga ko'paytiramiz, biz olamiz
4(11 + 2y) – 15y=9
44 + 8u – 15u = 9
–7u = 9 – 44
y = –35/(–7)
x = (11 +2y)/3 ifodasiga 5 ni qo‘yib, x o‘zgaruvchisini topamiz.
x = (11 +2 5)/3 = (11+10)/3 = 21/3 = 7
Javob: (7; 5)
Ko'rib turganingizdek, javob bir xil edi. Agar siz ehtiyotkor va ehtiyotkor bo'lsangiz, qanday o'zgaruvchini ifodalaganingizdan qat'iy nazar - X yoki da, siz to'g'ri javob olasiz.
Talabalar tez-tez so'rashadi: " Tizimlarni echishning qo'shish va almashtirishdan tashqari boshqa usullari bormi?»
O'zgartirish usulida ba'zi o'zgarishlar mavjud - noma'lumlarni solishtirish usuli .
1) Tizimning har bir tenglamasidan ikkinchisi orqali bir xil noma'lumni ifodalash kerak.
2) Olingan noma’lumlar solishtirilib, bitta noma’lumli tenglama olinadi.
3) Bitta noma’lumning qiymatini toping.
4) Noma’lumning natijaviy qiymatini almashtiring va ikkinchi noma’lumni toping.
2-misol. Tenglamalar tizimini yechish
Ikki tenglamadan biz o'zgaruvchini ifodalaymiz X orqali da.
Birinchi tenglamadan x = (13 – 6y) / 5, ikkinchi tenglamadan esa x = (–1 – 18y) / 7 ni olamiz.
Ushbu ifodalarni taqqoslab, biz bitta noma'lum tenglamani olamiz va uni yechamiz:
(13 – 6y) / 5 = (–1 – 18y) / 7
7 (13 – 6y) = 5 (–1 – 18y)
91 – 42u = –5 – 90u
–42u + 90u = –5 – 91
y = – 96 / 48
Noma'lum X qiymatini o‘rniga qo‘yib topamiz da uchun ifodalardan biriga X.
(13 – 6(– 2)) / 5= (13+12) / 5 = 25/5 = 5
Javob: (5; –2).
O'ylaymanki, siz ham muvaffaqiyatga erishasiz. Agar sizda biron bir savol bo'lsa, mening darslarimga keling.
veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.
Odatda tizim tenglamalari bir-birining ostidagi ustunga yoziladi va jingalak qavs bilan birlashtiriladi.
Ushbu turdagi tenglamalar tizimi, bu erda a, b, c- raqamlar va x, y- o'zgaruvchilar chaqiriladi chiziqli tenglamalar tizimi.
Tenglamalar tizimini yechishda tenglamalarni yechish uchun amal qiladigan xossalardan foydalaniladi.
Chiziqli tenglamalar tizimini almashtirish usuli yordamida yechish
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik 
1) O‘zgaruvchini tenglamalardan birida ifodalang. Masalan, ifoda qilaylik y Birinchi tenglamada biz tizimni olamiz:
2) oʻrniga sistemaning ikkinchi tenglamasini qoʻying y ifoda 3x-7:
3) Olingan ikkinchi tenglamani yeching:
4) Olingan yechimni sistemaning birinchi tenglamasiga almashtiramiz:
Tenglamalar tizimi yagona yechimga ega: juft raqamlar x=1, y=-4. Javob: (1; -4) , qavs ichida yoziladi, birinchi o'rinda qiymat x, Ikkinchisida - y.
Chiziqli tenglamalar sistemasini qo`shish yo`li bilan yechish
Oldingi misoldagi tenglamalar tizimini yechamiz qo'shish usuli.
1) O'zgaruvchilardan birining koeffitsientlari qarama-qarshi bo'ladigan tarzda tizimni o'zgartiring. Tizimning birinchi tenglamasini "3" ga ko'paytiramiz.
2) sistema a'zolarining tenglamalarini had bo'yicha qo'shing. Biz tizimning ikkinchi tenglamasini (har qanday) o'zgarishsiz qayta yozamiz.
3) Olingan yechimni sistemaning birinchi tenglamasiga almashtiramiz:
Chiziqli tenglamalar sistemasini grafik usulda yechish
Ikki o'zgaruvchili tenglamalar tizimining grafik yechimi tenglamalar grafiklarining umumiy nuqtalarining koordinatalarini topishga to'g'ri keladi.
Chiziqli funktsiyaning grafigi to'g'ri chiziqdir. Tekislikdagi ikkita chiziq bir nuqtada kesishishi, parallel yoki mos kelishi mumkin. Shunga ko'ra, tenglamalar tizimi: a) yagona yechimga ega bo'lishi mumkin; b) yechimlari yo'q; v) cheksiz ko'p yechimga ega.
2) Tenglamalar sistemasining yechimi grafiklarning kesishish nuqtasi (agar tenglamalar chiziqli bo'lsa) hisoblanadi.
Tizimning grafik yechimi
Yangi o'zgaruvchilarni kiritish usuli
O'zgaruvchilarni o'zgartirish dastlabki tenglamalarga qaraganda oddiyroq tenglamalar tizimini echishga olib kelishi mumkin.
Tizimning yechimini ko'rib chiqing
Keling, almashtirishni tanishtiramiz
Keling, boshlang'ich o'zgaruvchilarga o'tamiz
Maxsus holatlar
Chiziqli tenglamalar tizimini yechmasdan, tegishli o'zgaruvchilarning koeffitsientlaridan uning yechimlari sonini aniqlash mumkin.
Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.
Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish
Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.
Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.
Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.
Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:
- Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.
Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:
- Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar haqida siz bilan bog'lanishimizga imkon beradi.
- Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
- Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
- Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.
Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish
Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.
Istisnolar:
- Agar kerak bo'lsa - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
- Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.
Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish
Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.
Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish
Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.
Ikkita noma'lum chiziqli tenglamalar tizimi bu ikki yoki undan ortiq chiziqli tenglamalar bo'lib, ular uchun barcha umumiy echimlarni topish kerak. Ikkita noma’lumda ikkita chiziqli tenglamalar tizimini ko‘rib chiqamiz. Ikki noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimining umumiy ko'rinishi quyidagi rasmda keltirilgan:
(a1*x + b1*y = c1,
( a2 * x + b2 * y = c2
Bu erda x va y noma'lum o'zgaruvchilar, a1, a2, b1, b2, c1, c2 - ba'zi haqiqiy sonlar. Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasining yechimi shunday juft sonlar (x,y) bo‘lib, agar bu raqamlarni sistema tenglamalariga almashtirsak, sistemaning har bir tenglamasi haqiqiy tenglikka aylanadi. Chiziqli tenglamalar tizimini yechish usullaridan birini, ya'ni almashtirish usulini ko'rib chiqing.
O'zgartirish usuli bilan yechish algoritmi
Chiziqli tenglamalar tizimini almashtirish usuli yordamida echish algoritmi:
1. Bitta tenglamani tanlang (raqamlar kichikroq bo'lganini tanlagan ma'qul) va undan bir o'zgaruvchini boshqasi bilan ifodalang, masalan, x ni y bilan ifodalang. (siz y dan x gacha ham foydalanishingiz mumkin).
2. Hosil bo‘lgan ifodani mos keladigan o‘zgaruvchi o‘rniga boshqa tenglamaga almashtiring. Shunday qilib, biz bitta noma'lum chiziqli tenglamani olamiz.
3. Olingan chiziqli tenglamani yeching va yechimni oling.
4. Olingan eritmani birinchi bandda olingan ifodaga almashtiramiz va eritmadan ikkinchi noma’lumni olamiz.
5. Olingan eritmani tekshiring.
Misol
Buni yanada aniqroq qilish uchun kichik bir misolni hal qilaylik.
1-misol. Tenglamalar tizimini yeching:
(x+2*y =12
(2*x-3*y=-18
Yechim:
1. Bu sistemaning birinchi tenglamasidan x o'zgaruvchini ifodalaymiz. Bizda x= (12 -2*y);
2. Bu ifodani ikkinchi tenglamaga almashtiring, 2*x-3*y=-18 ni olamiz; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;
3. Olingan chiziqli tenglamani yeching: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y =-18; -7*y = -42; y=6;
4. Olingan natijani birinchi xatboshida olingan ifodaga almashtiring. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;
5. Olingan yechimni tekshiramiz, buning uchun topilgan sonlarni dastlabki sistemaga almashtiramiz.
(x+2*y =12;
(2*x-3*y=-18;
{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;
{12 =12;
{-18=-18;
Biz to'g'ri tenglikni oldik, shuning uchun biz yechimni to'g'ri topdik.