Геометрические задачи (на разрезание)

Учебное занятие: Геометрические задачи (на разрезание)

Цель занятия:

развитие интереса к предмету

развитие творческих способностей учащихся

развития внимания, памяти, навыков самостоятельной и коллективной работы

развитие умственной самодеятельности, сообразительности и «смекалки»

Ход занятия:

Сегодня геометрические задачи (на разрезание) будут связаны с одной на вид простой геометрической фигурой.

Он давно знакомый мой,

Каждый угол в нем прямой.

Все четыре стороны

Одинаковой длины.

Вам его представить рад.

Как зовут его?

Главной заслугой квадрата стало использование его, как удобной единицы площади. Действительно, квадратами очень удобно замащивать плоские участки, а скажем, кругами такого не сделаешь без дыр и наложений. Часто математики вместо слов «нахождение площади» говорят «квадрирование».

Так, задача о нахождении площади круга называется задачей о квадратуре круга. Квадрат-главное действующее лицо в теореме Пифагора.

Задание №1

Задание №2

Квадрат на 20 равных треугольников

Разрезать квадратный кусок бумаги на 20 равных треугольников и сложить из них 5 равных квадратов.

Задание №3

Из креста – Квадрат

Крест, составленный из пяти квадратов, требуется разрезать на такие части, из которых можно было бы составить один квадрат.

Задание №4

Квадрат содержит 16 клеток. Разделите квадрат на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток.

Способов несколько.

Задание №5

Разрежьте квадрат 7×7 на пять частей и переложите их так, чтобы получилось три квадрата: 2×2, 3×3 и 6×6.

Задание №6

Разрежьте квадрат на 4 части одинаковой формы и размера так, чтобы в каждую часть попало ровно по одному заштрихованному квадрату.

Задание №7

Сколько всего квадратов на рисунке?

Разделить квадрат на более мелкие квадратики одинаковой площади очень просто: достаточно провести сетку равноотстоящих прямых, параллельных сторонам квадрата. Количество полученных квадратиков будет квадратом, да, да! Именно поэтому произведение двух одинаковых чисел назвали квадратом. А можно ли разрезать квадрат на несколько квадратиков, среди которых нет одинаковых?

Этот вопрос долго оставался нерешенным. Многие даже выдающиеся математики считали, что такое разрезание невозможно. Но в 1939 году было построено разбиение квадрата на 55 различных квадратов. В 1940 году были найдены два способа разбиения квадрата на 28 различных квадратов, за тем-на 26 квадратов, а в 1948 году было получено разбиение на 24 различных квадрата. В 1978 году было найдено разбиение 21 различный квадрат и доказано, что разбиение на меньшее число различных квадратов найти уже нельзя.

И закончим сегодняшнее занятие занимательной игрой, связанной тоже с квадратом, «Танграм»

На рисунке показан квадрат, разделенный на 7 частей, из которых можно складывать разнообразные фигуры из альбома, предоставленным учителем.

Стороны равны и все углы прямые. Можно без проблем сразу разделить квадрат на 4 равных квадрата или на 4 одинаковых треугольника. Но как разделить квадрат на шесть равных частей? Это можно сделать как с линейкой, так и без нее.

Вам понадобится

- линейка;
- карандаш;
- бумага.

Инструкция

Разделить квадрат на шесть частей – это значит получить в результате шесть геометрических фигур, а именно прямоугольников. Чтобы части получились одинаковыми, сначала сделайте разметку. Например, квадрат имеет сторону длиной 24 см. Линейкой отмерьте 12 см с одной стороны и 12 см с противоположной (параллельной). Соедините полученные точки линией, которая и разделит квадрат пополам на два прямоугольника размером 24х12 см.

Теперь продолжайте разметку, только уже на двух других сторонах (перпендикулярных уже размеченных). Обе стороны (относительно друг друга они параллельны) разделите на 3 части, при этом каждая из них получится по 8 см, соедините полученные точки линиями. Таким образом, получится 6 одинаковых прямоугольников размером 12х8 см.

Если нет под рукой линейки и карандаша, а квадрат необходимо разделить, то можно обойтись и без них. Для этого согните фигуру ровно посередине. Затем, не разгибая, сложите втрое полученный длинный прямоугольник, аккуратно подгоняя образующиеся стороны. В результате в сложенном виде прямоугольник, составляющий 1/6 часть квадрата, будет иметь размер 12х8 см. Разверните квадрат и по сгибам сделайте разметку ручкой.

Можно сделать разметку по-другому и получить также 6 одинаковых частей, только в этом случае они уже будут напоминать длинные узкие полоски. Сделайте на квадрате разметку. Длина стороны составляет 24 см, а всего нужно получить 6 частей, следовательно каждый фрагмент будет иметь ширину 4 см. Для этого отметьте с помощью линейки и карандаша точки через каждый 4 см с одной стороны квадрата. То же самое сделайте и с другой – противоположной (параллельной) стороны. Соедините полученные точки. Получилось 6 одинаковых, сильно вытянутых прямоугольников, которые имеют вид полосок размером 24х4 см.

Разбить квадрат на 6 равных квадратов невозможно. Его можно разделить на 6 равных прямоугольников. Также, любой квадрат можно разбить на 6 квадратов, 5 из которых будут одинаковыми, а один будет больше других.

Вам понадобится

- карандаш;
- линейка;
- ножницы.

Инструкция

Чтобы доказать невозможность деления квадрата на 6 равных квадратов, вырежьте 6 одинаковых квадратов из бумаги. Из них можно сделать две комбинации (6:1, 2:3), представляющие собой прямоугольники. Чтобы получить квадрат из равных между собой квадратов, возьмите такое число вырезанных квадратиков, которое является полным квадратом другого числа (2 =4, 3 =9, 4 =16, и т.д.). Это значит, что квадрат можно разделить только на 4, 9, 16, 25, и т.д., равных квадратов, а на 6 равных квадратов разделить никак нельзя.

Если нужно разделить на 6 равных геометрических фигур, это могут быть прямоугольники. Для этого две противоположные стороны квадрата поделите на три равных части и соедините соответствующие точки. Получиться должно два отрезка, перпендикулярных сторонам, которые вы делили на три равные части, и параллельных двум другим сторонам квадрата. Те две другие стороны разделите на пополам и проведите отрезок, соединяющий точки деления. В результате образуется 6 равных прямоугольников.

Найдите отношение сторон любого из получившихся прямоугольников. Оно составит 2:3, независимо от размеров большого квадрата. Например, если нужно поделить на 6 частей квадрат со стороной 12 см, то одну сторону поделите на 3 отрезка по 4 см, а вторую - на 2 отрезка по 6 см. Построив перпендикуляры к точкам деления, получите 6 прямоугольников со сторонами 4 и 6 см. Действительно, соотношение между сторонами прямоугольника - 2:3.

Чтобы разбить квадрат на 6 квадратов, 5 из которых равны между собой, а 1 больше других, проделайте следующее:

Поделите каждую из сторон квадрата на три равные части-
проведите отрезок, соединяющий две соответствующие точки деления на противоположных сторонах, он будет перпендикулярен этим сторонам-
проведите аналогичный отрезок, соединяющий точки деления двух других сторон квадрата-
на их пересечении получите квадрат со стороной, равной 2/3 от стороны исходного квадрата-
вне построенного квадрата останется один квадрат и два прямоугольника. Поделите прямоугольники пополам перпендикулярами из точек деления, лежащих на середине их больших сторон, получите еще 4 квадрата.

В результате вы получите 5 равных квадратов, стороны которых будут равны 1/3 стороны исходного квадрата и 1 квадрат, стороны которого равны 2/3 исходного квадрата. Например, чтобы поделить квадрат со стороной 12 см, вычислите и постройте сторону большего квадрата: 12 2/3=8 см, затем найдите сторону малых квадратов: 12 1/3=4 см.

Полезный совет

Для разметки возьмите острый простой карандаш - тогда геометрические фигуры получатся абсолютно одинаковыми по размеру.

Внимание, только СЕГОДНЯ!

Все интересное

Детские поделки, аппликации, лепка из пластилина, оригами – все это не только интересно, но и полезно, поскольку развивает художественные навыки, вкус, мелкую моторику. Дети любят строить домики. Их можно сделать из кубиков и пластилина. Можно…

Построение разнообразных геометрических фигур – занятие не только увлекательное, но и полезное. Эллипсы, круги, прямоугольники, многоугольники и квадраты могут потребоваться вам для воплощения в жизнь каких-то дизайнерских решений, оформительских…

Вписать квадрат в окружность легко можно с помощью чертежных инструментов. Но эта задача решается даже при полном их отсутствии. Необходимо только помнить некоторые свойства квадрата.
Вам…

Квадрат - правильный четырехугольник, у которого все стороны равны, и все углы прямые. Периметром квадрата называется сумма длин всех его сторон, а площадью – произведение двух сторон или квадрат одной стороны. Исходя из известных соотношений, через…

Периметром называют общую длину всех сторон геометрической фигуры. Обычно его находят методом сложения размеров сторон. В случае с правильным многоугольником периметр можно найти, умножив длину отрезка между вершинами на количество таких отрезков.…

Квадрат представляет собой четырехугольник, состоящей из четырех, одинаковых по длине, сторон и четырех прямых углов. В случае необходимости из квадрата можно получить разные геометрические фигуры, например, те же квадраты, только меньшего размера,…

Квадрат - один из простейших правильных многоугольников. Если есть лист из тетради в клеточку, то построение этой фигуры не вызовет никаких вопросов. Та же задача с использованием нелинованной бумаги отнимет немного больше времени. А если при этом…

Квадратом называется прямоугольник с равными сторонами. Это, пожалуй, самая простая фигура в планиметрии. Благодаря высокой степени симметрии этой фигуры, чтобы рассчитать площадь квадрата, достаточно всего одной его характеристики. Это может быть…

Программные задачи.

1. Закрепить счет в пределах 10 (прямой и обратный). Находить последующее, предыдущее число.

2.Познакомить с деление квадрата на четыре равные части разными способами

3.Учить называть части и сравнивать целое и часть.

4.Упражнять в умении видеть в окружающих предметах формы знакомых геометрических фигур.

5.Совершенствовать умение ориентироваться на листе бумаги, определять стороны, углы и середину листа.

Демонстрационный материал. Ножницы, 2 квадрата, фланелеграф, лист бумаги, по углам и сторонам которого изображены прямые линии и круги разного цвета, в центре листа нарисована точка.

Раздаточный материал. Квадраты, ножницы, листы бумаги, цветные карандаши.

Ход занятия

1. - Дети, сегодня в гости к нам пришёл Буратино. Он забыл, как надо считать до 10 и обратно. Поможем ему?

Дети считают до 10 и обратно. (2-3 ребёнка).

Дети, он не знает соседей числа 5. Кто подскажет Незнайке? Назовите соседей числа 7. Назовите соседей числа 3.

Дети называют соседей чисел.

2. Игровое упражнение «Раздели квадрат на части»

Дети, Буратино принёс вам квадрат и хочет, чтобы вы ему помогли разделить на четыре равные части для него и его друзей: Мальвины, Артемона и Пьеро.

На сколько частей мы уже умеем делить квадрат? (предложить двум вызванным детям разделить квадрат на две равные части разными способами и объяснить свои действия)

Какие фигуры у вас получились? (прямоугольники и треугольники)

Как можно назвать каждую часть? Что больше целый квадрат или его часть?

Что меньше: одна вторая квадрата или целый квадрат? Как получить четыре равные части? Правильно, надо каждую половину разрезать еще пополам.

3. Игровое упражнение «Раздели квадрат и покажи его части»

У каждого ребёнка на столах лежит квадрат и ножницы.

Дети, разделите квадраты на четыре равные части любым способом. Спрашиваю, как разделить квадрат на четыре равные части. Дети делят квадраты на четыре равные части.

Давайте, поиграем. Я буду давать задания, а вы показывать части квадрата. Составьте целый квадрат из четырёх частей. Покажите одну четвёртую (одну вторую, две четвёртых, три четвёртых) часть.

4. Физкультминутка: «Быстро встаньте, улыбнитесь».
Быстро встаньте, улыбнитесь,
Выше, выше потянитесь.
Ну-ка, плечи распрямите,
Поднимите, опустите.
Вправо, влево повернулись,
Рук коленями коснулись.
Сели-встали, сели-встали.
И на месте побежали.
Два хлопка над головой,
Два хлопка перед собой.
Две руки за спину спрячем,
И на двух ногах поскачем.
Молодцы. Присаживайтесь на места.

5 Давайте посмотрим наше следующее задание.

Дети, Буратино приготовил вам дидактические и гры: «Назови похожий предмет».
Ребята, я буду называть предмет, а вы будете показывать мне соответствующую фигуру. Например: солнце круглой формы, значит поднимаем круг. Дальше вы сами подумайте и поднимите мне нужную форму.
Дверь (прямоугольник), крыша у домика (треугольник), кубик (квадрат), огурец (овал).

6. Давайте поиграем еще в одну интересную игру «Запомни и повтори»

У детей листы бумаги и цветные карандаши.

Давайте с вами выполним задания:

Вдоль верхней стороны листа проведите прямую линию красным карандашом (вдоль нижней стороны - зелёным карандашом, вдоль левой синим карандашом, вдоль правой - жёлтым карандашом);

В верхнем левом углу нарисуйте круг красным карандашом (в нижнем левом углу - синим карандашом, в верхнем правом - жёлтым карандашом, в нижнем правом - зелёным карандашом);

В середине листа поставьте точку красным карандашом.

После выполнения задания воспитатель спрашивает «Что и где вы нарисовали?» (Дети называют фигуру её цвет место расположение и сверяют свои работы с образцом воспитателя).

Дети, Незнайка и его друзья очень довольны, вы справились со всеми заданиями.

Давайте, ещё раз расскажем Буратино и его друзьям, чем мы сегодня занимались?

Предлагаю вашему вниманию способы и методы деления квадрата бумаги на равное колличество частей.

Один из идеалов оригами требует складывания исходного квадрата без предварительных чертежей и измерений. При таком складывании возникает проблема в случае, если необходимо сложить лист бумаги, например, втрое. Как это сделать, не прибегая к карандашу?

В данной статье рассматривается вопрос деления квадратного листа бумаги на две, три, четыре, ... десять равных частей.

Деление листа бумаги на две части не представляет сложности, поскольку реализуется просто складыванием базовой формы книжка.

Перейдем к более сложной задаче деления квадратного листа на три части. Эта задача уже не столь проста. Для ее решения нам потребуется теорема Хага. Сложим угол квадрата к середине противоположной стороны. В таком случае точка пересечения другой стороны, противоположной этому углу и стороны, прилегающей к нему, делит сторону в отношении один к двум. Таким образом, с помощью только складок мы нашли треть стороны квадрата.

Следующая задача - деление стороны квадрата на четыре равные части. Для этого достаточно их поделить пополам, а затем, каждую из половинок снова пополам. Именно так происходит, когда мы складываем базовую форму дверь.

Как легко догадаться, деление квадрата на пять частей с помощью складывания представляет собой гораздо более сложную задачу. Ее решение изображено на рисунке. Попробуйте сами доказать, что таким образом мы действительно разделим квадрат именно на пять частей.

Для того чтобы разделить сторону квадрата на шесть частей, нам достаточно разделить ее на три части, как было показано ранее. А, затем, каждую из частей разделить пополам.

Можно заметить, что особые сложности вызывает деление квадрата на количество частей, являющееся простым числом.

Приступим к делению стороны на семь одинаковых частей. Для этого сначала разделим квадрат на пять равных частей, а затем, сделаем действие, изображенное на картинке. Поделить квадрат на восемь равных частей совсем просто. Для этого достаточно поделить его на четыре равные части, а затем, каждую из них разделить еще пополам.

Для деления квадрата на девять равных частей, можно предложить два способа. Первый из них заключается в том, чтобы разделить сначала на три равные части, а потом повторить деление на три для маленького квадрата. Однако этот способ плох тем, что при его применении на практике трудно будет соблюсти достаточную точность, поскольку погрешности, совершенные на разных этапах складываются вместе.

Другой способ более оригинален и основан на развитии теоремы Хага, которое предложили Коджи и Мицуе Фушими. Заметим, что этот способ применялся при делении квадрата на семь и девять частей. Может быть он применим и для деления его на девять частей?

И, наконец, деление на десять частей представляет собой последовательное деление на пять частей, а затем деление пополам каждой из пяти частей.

ИСКУССТВО ОРИГАМИ

Уроки Оригами Темы и работы Оригами Мастер классы