Полиномы с рациональными коэффициентами и полиномы с целыми коэффициентами тесно связаны между собой, ибо каждый полином с рациональными коэффициентами может быть превращен в полином с целыми коэффициентами посредством умножения на общий знаменатель коэффициентов. Изучение кольца полиномов с целыми коэффициентами интересно также потому, что есть простейший пример кольца полиномов над факториальным кольцом.

1. Рациональные корни полиномов с целыми коэффициентами.

Теорема 1. Если несократимая дробь является корнем полинома аохп с целыми коэффициентами, то ее числитель является делителем свободного члена, а знаменатель q - делителем старшего коэффициента.

Доказательство. Пусть Тогда . Таким образом, число делится на в кольце целых чисел. По условию q и взаимно просты, следовательно, делится на . Аналогично, из равенства

заключаем, что делится на

Доказанная теорема дает возможность найти рациональные корни полинома с целыми (следовательно, и с рациональными) коэффициентами в конечном числе действий. Именно, нужно найти все делители свободного члена и все делители старшего коэффициента, составить из них несократимые дроби и испытать посредством подстановки в полином. Если во всех случаях испытание даст отрицательный результат, то это значит, что полином не имеет рациональных корней. Сделанное в теореме предположение о неравенстве нулю свободного члена не ограничивает общности: если свободный член и, быть может, еще несколько младших коэффициентов обращаются в 0, то можно вынести из полинома надлежащую степень так, чтобы после вынесения остался полином с отличным от нуля свободным членом.

Этот полином будет иметь те же ненулевые корни, что и исходный.

Отметим следующее следствие. Если то все рациональные корни полинома являются целыми числами, именно, делителями свободного члена.

Пример. . Кандидатами в корни, согласно теореме, являются числа 1, -1, 3, -3, 1/3, -1/3. Подстановка в полином дает, что корнями являются 3 и 1/3.

2. Редукция полиномов с целыми коэффициентами по числовому модулю.

Пусть - целое положительное число. Два полинома называются сравнимыми по модулю , если все коэффициенты их разности делятся на . Полиномы разбиваются на классы сравнимых по модулю m. Все коэффициенты полиномов из одного класса определены с точностью до целых кратных , т. е. класс естественно отождествляется с полиномом, коэффициенты которого принадлежат кольцу вычетов Совершенно ясно, что если , то . Поэтому для классов по модулю естественным образом определяются сложение и умножение, и эти действия совпадают с действиями сложения и умножения полиномов с коэффициентами из кольца вычетов

Особый интерес представляет редукция по простому модулю, так как в результате редукции получаются полиномы над полем и их множество образует область целостности.

Полином из называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэффициентов равен 1. Так, полином примитивен, а не примитивен.

Предложение 2 (лемма Гаусса). Произведение двух примитивных полиномов есть примитивный полином.

Доказательство. Пусть примитивные полиномы. Допустим, что их произведение не примитивно. Обозначим через какой-либо простой делитель наибольшего общего делителя коэффициентов Тогда (черточка обозначает результат редукции). Так как кольцо полиномов над полем есть область целостности, один из сомножителей должен равняться нулю, а это значит, что все коэффициенты или делятся на , что противоречит предположению о примитивности.

3. Теорема Гаусса и факториальность кольца Z[x].

Предложение 3. Пусть - примитивный полином, b - рациональное число такое, что имеет целые коэффициенты. Тогда b - целое число.

Доказательство. Пусть b - несократимая дробь. По условию, все числа - целые .

Числа с и d взаимно просты, следовательно, все - делятся на d, что возможно только при в силу примитивности f.

Теорема 4 (теорема Гаусса). Если полином с целыми коэффициентами раскладывается на два множителя над полем рациональных чисел, то он может быть разложен на множители с целыми коэффициентами, именно, представлен в виде произведения целого числа на произведение примитивных полиномов.

Отсюда следует, что если полином с целыми коэффициентами приводим над полем рациональных чисел, то он приводим и над кольцом целых чисел.

Доказательство. Пусть где - полиномы с рациональными, быть может дробными, коэффициентами. Обозначим через общие знаменатели коэффициентов полиномов . Тогда , где h и h имеют уже целые коэффициенты. Пусть - наибольшие общие делители коэффициентов полиномов и соответственно. Тогда , где и - уже примитивные полиномы. Тогда

По лемме Гаусса есть примитивный полином и, согласно предложению о, рациональное число в действительности целое. Итак, , где b - целое число, и - примитивные полиномы. Теорема доказана.

Очевидно, что результат остается верным, если есть произведение нескольких полиномов с рациональными коэффициентами, именно, после вынесения общих знаменателей коэффициентов и наибольших общих делителей коэффициентов получившихся полиномов мы получим, что f есть произведение целого числа на произведение примитивных полиномов, отличающихся от полиномов исходного разложения лишь числовыми множителями. Очевидно, что примитивные полиномы могут быть ассоциированы, только если они совпадают или отличаются множителем -1.

Теорема 5. Любой полином с целыми коэффициентами может быть представлен в виде произведения простых чисел и неприводимых над Q примитивных полиномов. Такое разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей и присоединения к сомножителям множителя -1.

Действительно, от разложения полинома на неприводимые множители над Q мы можем, в силу теоремы Гаусса, перейти к разложению , где b - целое число, а примитивные полиномы отличаются от полиномов лишь числовыми множителями.

Тем самым сомножители определены однозначно, с точностью до порядка следования сомножителей (который совпадает с порядком следования и множителей ±1. В свою очередь, целое число b, которое равно, в силу леммы Гаусса, наибольшему общему делителю коэффициентов полинома f, однозначно разлагается на простые множители.

Ясно, что простые числа и примитивные неприводимые полиномы являются неразложимыми элементами кольца Тем самым доказана

Теорема 6. Кольцо полиномов с целыми коэффициентами факториально.

4. Задача о приводимости полинома над полем рациональных чисел.

Поставленную задачу достаточно исследовать для полиномов с целыми коэффициентами, ибо любой полином из ассоциирован с полиномом из . Теорема Гаусса позволяет дать способ разложения полинома с целыми коэффициентами на два множителя или убедиться в его неприводимости над Q. Способ этот теоретически прост, но практически довольно громоздок. Опишем его.

Пусть дан полином . Допустим, что он приводим над Q. Тогда существует, согласно теореме Гаусса, его разложение на два множителя с целыми коэффициентами: . Сумма степеней и равна , значит, степень одного из них, положим, , не превосходит . Мы знаем, что полином, степень которого не превосходит k, вполне определяется, если для него известно значение, согласно решению задачи об интерполяции. Возьмем целых значений для

Если произойдет такое счастливое обстоятельство, что одно из выбранных чисел окажется корнем полинома f, то задача решена, приводим, и мы можем написать его разложение на два сомножителя. Положим теперь, что при . Из равенств

заключаем, что числа нам «почти» известны. Действительно, - целые числа, так что является одним из делителей известного нам числа Для имеется конечное число возможностей. Обозначим через h число делителей числа Составим таблицы

расставляя в нижние строки наборы из всевозможных делителей чисел . Число таких таблиц конечно и равно ибо место в нижней строке можно заполнить способами.

Построим для каждой таблицы интерполяционный полином. Если f приводим, то его множитель f 1 найдется среди построенных полиномов. Поэтому, построив интерполяционные полиномы, нужно выбросить те, у которых имеется хотя бы один дробный коэффициент (ибо искомый f 1 имеет целые коэффициенты), а полиномы с целыми коэффициентами испытать посредством деления на них полинома . Если испытание в каком-то случае даст положительный результат, то полином f приводим, и мы нашли его разложение на два множителя. Если же испытание во всех случаях даст отрицательный результат, то полином f неприводим. Тем самым поставленная задача решена в конечном числе действий.

Если многочлен

Доказательство

Пусть все коэффициенты многочлена являются целыми числами, и пусть целое число a является корнем этого многочлена. Так как в этом случае то отсюда следует, что коэффициент делится на a.

Замечание . Эта теорема фактически позволяет находить корни многочленов высших степеней в том случае, когда коэффициенты этих многочленов − целые числа, а корень − рациональное число. Теорему можно переформулировать так: если нам известно, что коэффициенты многочлена − целые числа, а корни его − рациональны, то эти рациональные корни могут быть только вида где p является делителем числа (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).

Теорема о целых корнях, заключающая в себе

Если целое число α - корень многочлена с целыми коэффициентами, то α - делитель его свободного члена.

Доказательство. Пусть:

P (x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

многочлен с целыми коэффициентами и целое число α −его корень.

Тогда по определению корня выполняется равенство P (α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

Вынося общий множитель α за скобки, получим равенство:

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , откуда

a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)

Так как числа a 0 , a 1 ,…a n-1 , an и α −целые, то в скобке стоит целое число, и, следовательно, a n делится, на α, что и требовалось доказать.

Доказанная теорема может быть сформулирована и следующим образом: всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.
На теореме основан алгоритм поиска целых корней многочлена с целыми коэффициентами: выписать все делители свободного члена и поочерёдно выписать значения многочленов этих чисел.

2.Дополнительная теорема о целых корнях

Если целое число α−корень многочлена P(x) с целыми коэффициентами, то α-1−делитель числа P(1), α+1−делитель числа P(-1)

Доказательство. Из тождества

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)

вытекает, что для целых чисел b и c число bⁿ-cⁿ делится на b∙c. Но для любого многочлена P разность

P (b)-P(c)= (a 0 bⁿ+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c+a n)=

=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)

и, следовательно, для многочлена P с целыми коэффициентами и целых чисел b и c разность P(b)-P(c) делится на b-c.

Затем: при b = α , с=1, P (α)-P (1)= -P(1), а значит, P(1) делится на α-1. Аналогично рассматривается второй случай.

Схема Горнера

Теорема: Пусть несократимая дробь p/q является корнем уравнения a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n =0 c целыми коэффициентами, тогда число q является делителем старшего коэффициента a0, а число р является делителем свободного члена a n .

Замечание 1 . Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Замечание 2 .Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни, если они существуют - целые.

Корень многочлена. Корнем многочлена f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n является x = c , такое, что f (c)=0 .

Замечание 3. Если x = c корень многочлена , то многочлен можно записать в виде: f(x)=(x−c)q(x) , где это частное от деления многочлена f(x) на одночлен x - c

Деление многочлена на одночлен можно выполнить по схеме Горнера:

Если f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a 0 ≠0 , g(x)=x−c , то при делении f (x) на g (x) частное q(x) имеет вид q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , где b 0 =a 0 ,

b k =c b k − 1 +a k , k=1, 2, ,n−1. Остаток r находится по формуле r=c b n − 1 +a n

Решение: Коэффициент при старшей степени равен 1, поэтому целые корни уравнения надо искать среди делителей свободного члена: 1; 2; 3; 4; 6; 12. используя схему Горнера, найдем целые корни уравнения:

Если один корень подобран по схеме Горнера. то можно дальше решать так x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3

Как мы уже отмечали, одной из важнейших задач в теории многочленов является задача отыскания их корней. Для решения этой задачи можно использовать метод подбора, т.е. брать наугад число и проверять, является ли оно корнем данного многочлена.

При этом можно довольно быстро "натолкнуться" на корень, а можно и никогда его не найти. Ведь проверить все числа невозможно, так как их бесконечно много.

Другое дело, если бы нам удалось сузить область поиска, например знать, что искомые корни находятся, скажем, среди тридцати указанных чисел. А для тридцати чисел можно и проверку сделать. В связи со всем сказанным выше важным и интересным представляется такое утверждение.

Если несократимая дробь l/m (l,m - целые числа) является корнем многочлена f (x) с целыми коэффициентами, то старший коэффициент этого многочлена делится на m, а свободный член - на 1.

В самом деле, если f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, где an, an-1,...,a1, a0 - целые числа, то f (l/m) =0, т.е аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +a1l/m+a0=0.

Умножим обе части этого равенства на mn. Получим anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

Отсюда следует:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Видим, что целое число anln делится на m. Но l/m - несократимая дробь, т.е. числа l и m взаимно просты, а тогда, как известно из теории делимости целых чисел, числа ln и m тоже взаимно просты. Итак, anln делится на m и m взаимно просты с ln, значит, an делится на m.

Доказанная тема позволяет значительно сузить область поиска рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Продемонстрируем это на конкретном примере. Найдем рациональные корни многочлена f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8. Согласно теореме, рациональные корни этого многочлена находятся среди несократимых дробей вида l/m, где l - делитель свободного члена a0=8, а m - делитель старшего коэффициента a4=6. при этом, если дробь l/m - отрицательная, то знак "-" будем относить к числителю. Например, - (1/3) = (-1) /3. Значит, мы можем сказать, что l - делитель числа 8, а m - положительный делитель числа 6.

Так как делители числа 8 - это ±1, ±2, ±4, ±8, а положительными делителями числа 6 будут 1, 2, 3, 6, то рациональные корни рассматриваемого многочлена находятся среди чисел ±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. напомним, что мы выписали лишь несократимые дроби.

Таким образом, мы имеем двадцать чисел - "кандидатов" в корни. Осталось только проверить каждое из них и отобрать те, которые действительно являются корнями. Но опять-таки придется сделать довольно много проверок. А вот следующая теорема упрощает эту работу.

Если несократимая дробь l/m является корнем многочлена f (x) с целыми коэффициентами, то f (k) делится на l-km для любого целого числа k при условии, что l-km?0.

Для доказательства этой теоремы разделим f (x) на x-k с остатком. Получим f (x) = (x-k) s (x) +f (k). Так как f (x) - многочлен с целыми коэффициентами, то таким является многочлен s (x), а f (k) - целое число. Пусть s (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Тогда f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0). Положим в этом равенстве x=l/m. Учитывая, что f (l/m) =0, получаем

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0).

Умножим обе части последнего равенства на mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

Отсюда следует, что целое число mnf (k) делится на l-km. Но так как l и m взаимно просты, то mn и l-km тоже взаимно просты, а значит, f (k) делится на l-km. Теорема доказана.

Вернемся теперь к нашему примеру и, использовав доказанную теорему, еще больше сузим круг поисков рациональных корней. Применим указанную теорему при k=1 и k=-1, т.е. если несократимая дробь l/m является корнем многочлена f (x), то f (1) / (l-m), а f (-1) / (l+m). Легко находим, что в нашем случае f (1) =-5, а f (-1) =-15. Заметим, что заодно мы исключили из рассмотрения ±1.

Итак рациональные корни нашего многочлена следует искать среди чисел ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3.

Рассмотрим l/m=1/2. Тогда l-m=-1 и f (1) =-5 делится на это число. Далее, l+m=3 и f (1) =-15 так же делится на 3. Значит, дробь 1/2 остается в числе "кандидатов" в корни.

Пусть теперь lm=- (1/2) = (-1) /2. В этом случае l-m=-3 и f (1) =-5 не делится на - 3. Значит, дробь - 1/2 не может быть корнем данного многочлена, и мы исключаем ее из дальнейшего рассмотрения. Выполним проверку для каждой из выписанных выше дробей, получим, что искомые корни находятся среди чисел 1/2, ±2/3, 2, - 4.

Таким образом, довольно-таки простым приемом мы значительно сузили область поиска рациональных корней рассматриваемого многочлена. Ну, а для проверки оставшихся чисел применим схему Горнера:

Таблица 10

Получили, что остаток при делении g (x) на x-2/3 равен - 80/9, т.е.2/3 не является корнем многочлена g (x), а значит, и f (x).

Далее легко находим, что - 2/3 - корень многочлена g (x) и g (x) = (3x+2) (x2+2x-4). Тогда f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Дальнейшую проверку можно проводить для многочлена x2+2x-4, что, конечно, проще, чем для g (x) или тем более для f (x). В результате получим, что числа 2 и - 4 корнями не являются.

Итак, многочлен f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 имеет два рациональных корня: 1/2 и - 2/3.

Напомним, что описанный выше метод дает возможность находить лишь рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Между тем, многочлен может иметь и иррациональные корни. Так, например, рассмотренный в примере многочлен имеет еще два корня: - 1±v5 (это корни многочлена х2+2х-4). А, вообще говоря, многочлен может и вовсе не иметь рациональных корней.

Теперь дадим несколько советов.

При испытании "кандидатов" в корни многочлена f (x) с помощью второй из доказанных выше теорем обычно используют последнюю для случаев k=±1. Другими словами, если l/m - "кандидат" в корни, то проверяют, делится ли f (1) и f (-1) на l-m и l+m соответственно. Но может случится, что, например, f (1) =0, т.е.1 - корень, а тогда f (1) делится на любое число, и наша проверка теряет смысл. В этом случае следует разделить f (x) на x-1, т.е. получить f (x) = (x-1) s (x), и проводить испытания для многочлена s (x). При этом не следует забывать, что один корень многочлена f (x) - x1=1 - мы уже нашли. Если при проверке "кандидатов" в корни, оставшиеся после использования второй теоремы о рациональных корнях, по схеме Горнера получим, что, например, l/m - корень, то следует найти его кратность. Если она равна, скажем, k, то f (x) = (x-l/m) ks (x), и дальнейшую проверку можно выполнять для s (x), что сокращает вычисления.

Таким образом, мы научились находить рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Оказывается, что тем самым мы научились находить иррациональные корни многочлена с рациональными коэффициентами. В самом деле, если мы имеем, например, многочлен f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2, то, приведя коэффициенты к общему знаменателю и внеся его за скобки, получим f (x) =1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Ясно, что корни многочлена f (x) совпадают с корнями многочлена, стоящего в скобках, а у него коэффициенты - целые числа. Докажем, например, что sin100 - число иррациональное. Воспользуемся известной формулой sin3?=3sin?-4sin3?. Отсюда sin300=3sin100-4sin3100. Учитывая, что sin300=0.5 и проводя несложные преобразования, получаем 8sin3100-6sin100+1=0. Следовательно, sin100 является корнем многочлена f (x) =8x3-6x+1. Если же мы будем искать рациональные корни этого многочлена, то убедимся, что их нет. Значит, корень sin100 не является рациональным числом, т.е. sin100 - число иррациональное.