Формулы сокращенного умножения - это очень удобный инструмент для операций с многочленами. Как правило, это позволяет сократить сложные конструкции полиномов до небольшого выражения, представляемого двучленом. Либо же,в ином порядке - из произведения двух многочленов легко выводится компактный бином.

Такие действия бывают необходимыми при решении тривиальных уравнений и неравенств, а также при различных доказательных задачах.

В прошлых видеоуроках мы рассмотрели формулы разности квадратов и разности кубов. Попытаемся вывести формулу ещё более высокого порядка - найдем, чему равна разность выражений в четвертой степени:

Это выражение сравнительно легко преобразовать, подставив вместо х 4 и у 4 идентичные квадратные выражения (х 2) 2 и (у 2) 2:

х 4 - у 4 = (х 2) 2 - (у 2) 2

В итоге мы получаем разность квадратов, которую можно представить при помощи элементарной ФСУ как:

(х 2) 2 - (у 2) 2 = (х 2 + у 2)(х 2 - у 2)

С другой стороны, вторые скобки полученного выражения содержат разность квадратов, которую можно легко преобразовать:

(х 2 + у 2)(х 2 - у 2) = (х 2 + у 2)((х + у)(х - у))

Отсюда следует, что:

х 4 - у 4 = (х 2 + у 2)(х + у)(х - у)

Оставим основополагающую общую часть (х - у), остальные два выражения в скобках перемножим:

х 4 - у 4 = (х 2 + у 2)(х + у)(х - у) = (х - у)(х 3 + х 2 у + ху 2 + у 3)

Для чего необходимо выделять (х - у), будет показано позже. Итак, мы нашли ещё одну формулу для разности степенных выражений. Это равенство достаточно сложно для выражения - однако стоит понимать, что оно вполне логично вписывается в ряд подобных формул для определения разности квадратов и кубов. Сравним эти формулы между собой, для того, что бы найти общие закономерности:

х 2 - у 2 = (х - у)(х + у)

х 3 - у 3 = (х - у)(х 2 + 2ху + у 2)

х 4 - у 4 = (х - у)(х 3 + х 2 у + ху 2 + у 3)

На видео четко представлено, что разности переменных в различной степени имеют некоторые закономерности. Все выражения по правую сторону равенства состоят из произведения двух многочленов, причем один из них всегда имеет форму х - у (изначальная разность выражений). Второй же образован неким сложным полиномом, количество одночленов которого растет со степенью.

Для выведения общей формулы, которая поможет преобразовать в произведение полиномов разность переменных с любой степенью, важно понять общие тенденции в равенствах начального порядка. Заметим, что второй многочлен в нашем произведении представляет собой сумму попарных произведений двух выражений. Причем степени переменных находятся в обратной взаимосвязи. Чтобы было легче понять эти закономерности, перепишем равенство для разности выражений четвертой степени таким образом:

х 4 - у 4 = (х - у)(х 3 у 0 + х 2 у 1 + х 1 у 2 + х 0 у 3)

Любое число в нулевой степени обязательно равно единице. Поэтому к любой реальной переменной можно смело дописывать конструкцию с нулевой степенью. Помним так же, что любая переменная имеет степень - если она не указана, то равна единице. Эти правила обращения со степенями и позволили представить равенство в более понятном виде.

Обратим внимание, что количество членов в многочлене вторых скобок равно основной степени (которую имеют переменные в разности). По ряду многочлена, степень одного выражения алгебраически убывает, а степень второго - прибывает. При этом крайними точками для степеней являются 0 и старшая степень начальной разности выражений.

Пользуясь этими соображениями, выведем формулу для нахождения разности выражений пятой степени:

х 5 - у 5 = (х - у)(х 4 у 0 + х 3 у 1 + х 2 у 2 + х 1 у 3 + х 0 у 4)

Для начала, мы прописываем первый множитель (х - у) без изменений. Второй же многочлен будет представлять сумму пяти элементов (по старшей степени). Элементы, в свою очередь, образованы произведением переменных с алгебраическим, обратным и взаимосвязанным изменением степеней. В многочлене:

х 4 у 0 + х 3 у 1 + х 2 у 2 + х 1 у 3 + х 0 у 4

х понижает степень с 4 до 0, у повышает с 0 до 4. Для самопроверки полезно знать, что сумма степеней любого одночлена, в данном случае, будет равна все той же старшей степени - 5.

Остается лишь корректно записать формулу, избавившись от нулевых степеней:

х 5 - у 5 = (х - у)(х 4 + х 3 у + х 2 у 2 + ху 3 + у 4)

В общем плане, для любой степени n верно равенство:

(х) n - (у) n = (х - у)((х) n + (х) n-1 у…+х(у) n - 1 + у n)

Универсальная формула для нахождения суммы двух выражений с n-ной разностью выводится через преобразование вида:

х n + у n = х n - (-у n)

Пользуясь формулой для разности выражений, полученной выше, выводим равенство:

х n + у n = х n - (-у n) = (х + у)((х) n-1 - (х) n-2 у…- х(у) n - 2 + у n-1)

В силу того, что квадрат любого выражения ликвидирует его отрицательность, нельзя доступными средствами представить сумму квадратов (или любых четных степеней) переменных как произведение двух многочленов.

Тема: Многочлен и его корни.

Цель:

• повторить понятие одночлена и многочлена;
• квадратного трехчлена и его корней;
• дать определение корней многочлена.

I. Актуализация опорных знаний

Выбрать многочлены, одночлены:

3x 2 b; -ax 3 ; 2x+4y 2 ; 5a (bx+cy); ;

Какие из выражений являются квадратным трехчленом? Назвать коэффициенты:

2x 2 ; -x 2 +3x-4; x 3 -x 2 +x; x 2 -5;

Найти корни квадратного трехчлена:

II. Изучение нового материала – лекция

1. Определение многочлена n-степени с одной переменной

• члены многочлена
• коэффициенты многочлена

Выражение a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + . . . a n-1 x + a n , (1)

где a 0 , a 1 , a 2 , …, a n-1 , a n - числа, причем a 0 ≠0, х - переменная, называется многочленом n- степени с одной переменной.

Одночлены a 0 x n ; a 1 x n-1 ; a 2 x n-2 ; . . . a n-1 x; a n называются членами многочлена, числа a 0 , a 1 , a 2 , …, a n-1 , a n - его коэффициентами.

Обозначают многочлен (1) P n (x) или P(x).

2. Равные многочлены

Два многочлена P n (x) и Q n (x) называются равными, если соответственно равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Записывают P n (x) ≡ Q n (x)

3. Многочлен нулевой степени

Многочлен P 0 (x) ≡ а, где а R, а ≠ 0 считают многочленом нулевой степени.

4. Линейный двучлен

Многочлен P 1 (x) = x + b, где а ≠ 0 называют линейным двучленом.

5. Квадратный трехчлен

Многочлен P 2 (x) = ax 2 + bx + c, где а ≠ 0 называют квадратным трехчленом.

III. Операции с многочленами

Сумма многочленов

Суммой двух многочленов P n (x) и Q m (x) (n > m) называют многочлен Е n (х), коэффициенты которого равны сумме соответствующих коэффициентов многочленов P n (x) и Q m (x).

Произведение многочленов

Произведением многочленов P n (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + . . . a n-1 x + a n и Q m (x) = b 0 x m + b 1 x m-1 + b 2 x m-2 + . . . b m-1 x + b m называют многочлен

где

Коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы

Операции сложения и умножения многочленов подчиняются коммутативному, ассоциативному и дистрибутивному законам:

а) коммутативный:

P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x); P(x) ∙ Q(x) = Q(x) ∙ P(x);

б) ассоциативный:

P(x) + (Q(x) + Z(x)) = (P(x) + Q(x)) + Z(x);

P(x) ∙ (Q(x) ∙ Z(x)) = (P(x) ∙ Q(x)) ∙ Z(x);

дистрибутивный:

P(x) ∙ (Q(x) + Z(x)) = P(x)Q(x) + P(x)Z(x).

IV. Закрепление материала

Сократить дробь

2. Упростить выражение

3. Выполнить сложение (найти сумму многочленов P(x) и Q(x))

а)P(x) = 3x 2 +2x-4

Q(x) = -3x 2 +5x+2

б) P(x) = 4x 2 + x-8

Q(x) = 2x 3 -x+4

в)P(x) = x 5 -2x 3 + x-1

Q(x) = 3x 4 +x 2

Что можно сказать о степени суммы многочленов в зависимости от степени P(x) и Q(x)?

г) P(x) = 3x 2 +x

Q(x) = 4x 5 +3x 3 +2x 2 -3

д) P(x) = -1/2x 3 +3x 2 -x+12

Q(x) = 2x 4 -3x 2 +x-12

4. Выполнить умножение

а) P(x) = x 3 -3x 2 +3

Q(x) = 5x-2

б) P(x) = -x 2 +2x-4

Q(x) = 2x 3 -x 2 +x

5. Решить уравнение

a) x 6 -19x 3 -216=0

б) 2x 4 -3x 2 +5=0

V. Итоги урока VI. Домашнее задание

1. Найти сумму, разность и произведение многочленов

a) P(x) = 3x 3 -5x 2 -1

Q(x) = x 4 -x 3 -7x 2 +13x-6

б) P(x) = 2x 4 +7x 3 -2x 2 -13x+6

Q(x) = 2x 3 +5x 2 -x-1

2. Упростить

а) (x+1)(x+2)(x+5)(x+4)

б) 2(x-1)(x+2)(x-1/2)(x+3)

3. Решить уравнение

а) x 4 +2x 2 -8=0

б) x 6 -3x 3 +2=0

Урок 2

Тема: Разложение многочлена на множители.

Цель:

• повторить разложение на множители квадратного трехчлена;
• сформировать навык деления многочлена на многочлен «уголком» и использования схемы Горнера для деления многочлена на линейный двучлен.

I. Повторение изученного материала – в виде самостоятельной работы

1. Решить уравнения

x 2 -10x+21=0
5y 2 +9y-2=0

2. Сократить дробь

3. Разложить на множители

x 2 -8x+15=0
x 2 -10x+21=0

x 2 -9=0
x 2 -16=0

II. Изучение нового материала – лекция

1. Деление многочлена на многочлен

P(x): Q(x) =Z(x) и R 1 (x) – остаток

P(x) = Q(x)Z(x)+R 1 (x) при R 1 (x)=0; P(x)Q(x) – без остатка.

Схема Горнера для деления многочлена

A 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + . . . a n-1 x + a n на линейный двучлен x-a

. . .
. . .

В частном получаем многочлен (n-1) степениa 0 x n-1 + b 1 x n-2 + b 2 x n-3 + . . . + b n-2 x + b n-1 и остаток b n = ab n-1 + a n Например:(2x 4 -2x 2 +3x-1) : (x-2) = (2x 3 +4x 2 +6x+15) остаток 45

	2	0	-2	3	-1
2	2	2*2+0=4	2*4+(-2)=6	2*6+3=15	2*15+(-1)=29
	2x 3	4x 2	6x	15	R=29

3. Деление «углом».

Метод неопределенных коэффициентов

(3x 2 + 5x-2) : (x-3)Пусть (ax + b) – некоторое частное, число с – остаток,
тогда
3x 2 + 5x - 2 = (x-3)(ax + b) + c3x 2 + 5x - 2 = ax 2 + (b-3a) x-3b + c

остаток 40.

III. Закрепление.

1. Выполнить деление «углом».

P(x) = x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1 на Q(x) = x 2 – x + 1

2. Методом неопределенных коэффициентов найти неполное частное и остаток от деления Р(х) на Q(x), выполнить проверку, используя деление «углом».

P(x) = х 3 -19х-3

3. С помощью схемы Горнера поделить многочлен P(x) на линейный двучлен Q(x)

P(x) = 2х 4 -х 3 -9х 2 + 13х-5

Найти остаток от деления многочлена P(x) на двучлен Q(x)

P(x) = х 6 -4х 4 + х 3 -2х 2 + 5

IV. Итоги урока. V. Домашнее задание.

1. Выполнить деление «углом».

P(x) = х 4 + 2х 3 -3х 2 + 5х-2 Q(x) = х 2 -2х-2

2. Методом неопределенных коэффициентов найти неполное частное и остаток от деления Р(х) на Q(x), выполнить проверку, используя деление «углом».

P(x) = х 3 -16х 2 + 11х + 6; Q(x) = х 2 -1С помощью схемы Горнера поделить многочлен P(x) на линейный двучлен Q(x) P(x) = 2х 5 -6х 4 -3х 2 + 4х Q(x) = х + 2

3. Найти остаток от деления многочлена P(x) на двучлен Q(x)

P(x) = х 6 -х 5 -х 4 + 3х 3 -2х 2 + 5х-4Q(x) = х + 2

Урок 3

Тема: Решение задач. Самостоятельная работа.

Цель: способствовать развитию навыков основных приемов деления многочлена на многочлен; контроль знаний учащихся.

I. Решение упражнений.

1. Найти остаток от деления многочлена на двучлен

а) 2х 3 -5х 2 + 3х + 7 на х-2

б) х 4 + х 3 + х 2 -2х + 4 на х + 3

в) х 2 + 5х + 6 на х-2

2. Доказать, что данный многочлен делится на данный двучлен без остатка

2х 4 -3х 3 -7х 2 + 6х + 8 на х-2

2х 3 -х-5х 2 + 1 на х + 1/2

3. Доказать тождество

2х 4 + 7х 3 -2х 2 -13х + 6 = (х-1)(х + 2)(х + 3)(2х-1)

(рассмотреть разность правой и левой части и показать, что эта разность равна 0, подставляя х = 0; х = ± 1; х = ± 2.

Сделать вывод о разложении многочлена n – степени на множители:

a 0 x n + a 1 x n-1 + . . . + a n = a 0 (x - α 1)(x - α 2) . . . (x - α n ), где α 1 ; α ; α n - корни этого множителя.

II. Самостоятельная работа (см. Приложение1)III. Итоги урока IV. Домашнее задание Задание другого варианта самостоятельной работы.

Урок 4

Тема: Теорема Безу и обобщенная теорема Виета.

Цель: рассмотреть теорему Безу и обобщенную теорему Виета; учить раскладывать многочлен на множители, пользуясь теоремой Безу.

I. Анализ самостоятельной работы

Разобрать задания, в которых были допущены ошибки.

II. Изучение нового материала – лекция - корень многочлена (х = а; Р(а) = 0)- теорема Безу: остаток от деления многочлена Р(х) на линейный двучлен (х--а) равен значению этого многочлена при х = а, т.е. Р(а)- рассмотреть 1 задание 2 варианта из самостоятельной работы и проверить его с помощью теоремы Безу- следствия из теоремы:

1) если х = а корень многочлена Р(х), то Р(х) (х-а)

2) если Р(х) (х-а), то а – корень многочлена Р(х)

3) если многочлен Р(х) делится на (х-а) к, но не делится на (х-а) к+1 , то число а называют корнем кратности к многочлена Р(х)

4) при к=1 корень называется простым.

5) Многочлен n-степени имеет не более чем n корней.

Обобщенная теорема Виета:Пусть х 1 ; х 2 … х n – корни многочленаР(х) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a n-1 x + a n

Рациональные корни многочленаР(х) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a n-1 x + a n с целыми коэффициентами имеют вид x = , где m – делитель свободного члена a n , p – делитель старшего коэффициента a 0- приведенный многочлен с целыми коэффициентами (a 0 = 1) не может иметь дробных корней. Целые корни такого многочлена являются делителями его свободного члена.III. Закрепление.

1) Доказать, что Р(х) делится на Q(x) без остатка

a) Р(х) = х 8 -5х 6 -3х 2 + 7

б) Р(х) = х 50 -2х 49 + х 3 -х-6

2) Решить у доски и в тетрадях: при каком значении а остаток от деления Р(х) на Q(x) равен R, если Р(х) = х 3 -3х 2 + 5х + а;

3) Разложить на множители

а) х 3 -7х 2 + 16х-12

б) х 4 -2х 3 + 5х 2 -8х + 4

IV. Итоги урока V. Домашнее задание

1. Разложить на множители

а) х 4 -3х 3 + х 2 -3х-2

б) х 5 + х 4 -6х 3 -14х 2 -11х-3

2. При каком значении а многочлен 2х 5 -3х 3 + 11х 2 -х + а при делении на х + 2 дает в остатке 3?

3. Найти остаток от деления Р(х) на Q(x)

Р(х) = 3х 4 -2х 3 + 5х 2 -х + 2 Q(x) = х-1

Урок 5

Тема: Решение упражнений. Подготовка к контрольной работе.

Цель: развивать навыки деления многочленов, разложения многочленов на множители, применения теоремы Безу и решению задач.

I. Актуализация опорных знаний 2 человека у доски выполняют задания на карточках: В это время проводится устный опрос:- что называется корнем многочлена?- если многочлен Р(х) делится без остатка на: (х + 1); (х-4); (х-5); (х + 2), то его корень равен…- что значит разложить многочлен на множители?- сколько корней может иметь многочлен n-степени?- каким образом можно найти корни приведенного многочлена? Р(х) = х 3 -8х 2 + 13х-6 класс решает уравнение х 3 -8х 2 + 13х-6 = 0Затем делается проверка работ по карточкам.II. Решение упражнений - найти корни многочлена Р(х) и разложить на множители:

а) Р(х) = х 4 -3х 3 -14х 2 -20х-24

б) Р(х) = х 3 -19х-30

в) Р(х) = 2х 3 -3х 2 -11х + 15

г) Р(х) = 2х 4 -х 3 -9х 2 + 13х-5

Решить уравнение:

а) х 3 -4х 2 + х + 6 = 0

б) х 4 -2х 3 + 5х 2 -8х + 4 = 0

Найти сумму и произведение корней многочлена Р(х)

а) Р(х) = х 5 -2х 4 -4х 3 + 4х 2 -5х + 6

б) Р(х) = 3х 3 -17х 2 + 13х-2

Представить многочлен Р(х) в виде многочлена Р(х - а), еслиР(х) = х 4 -4х 3 + 7х 2 -12х + 12; а = -2 III. Итоги урока VI. Домашнее задание

1. х 3 -х 2 -21 +45

2. х 3 -х 2 -8х + 12 = 0

3. Р(х) = х 4 -3х 3 -8х 2 + 12х + 16

Урок 6

Тема: Контрольная работа по теме «Многочлены» (см.

И т.д. носит общеобразовательный характер и имеет большое значение для изучения ВСЕГО курса высшей математики. Сегодня мы повторим «школьные» уравнения, но не просто «школьные» – а те из них, которые повсеместно встречаются в различных задачах вышмата. Как обычно, повествование пойдёт в прикладном ключе, т.е. я не буду заострять внимание на определениях, классификациях, а поделюсь с вами именно личным опытом решения. Информация предназначена, прежде всего, для начинающих, но и более подготовленные читатели тоже найдут для себя немало интересных моментов. И, конечно же, будет новый материал, выходящий за рамки средней школы.

Итак, уравнение…. Многие с содроганием вспоминают это слово. Чего только стОят «навороченные» уравнения с корнями... …забудьте о них! Потому что дальше вам будут встречаться самые безобидные «представители» этого вида. Или занудные тригонометрические уравнения с десятками методов решения. Если честно, я и сам их не особо любил…. Без паники! – далее вас ожидают преимущественно «одуванчики» с очевидным решением в 1-2 шага. Хотя и «репейник», безусловно, цепляется – здесь нужно быть объективным.

Как ни странно, в высшей математике гораздо чаще приходится иметь дело с совсем примитивными уравнениями наподобие линейного уравнения .

Что значит решить это уравнение? Это значит – найти ТАКОЕ значение «икс» (корень), которое обращает его в верное равенство. Перебросим «тройку» налево со сменой знака:

и сбросим «двойку» в правую часть (или, то же самое – умножим обе части на ) :

Для проверки подставим завоёванный трофей в исходное уравнение :

Получено верное равенство, значит, найденное значение действительно является корнем данного уравнения. Или, как ещё говорят – удовлетворяет данному уравнению.

Обратите внимание, что корень можно записать и в виде десятичной дроби:
И постарайтесь не придерживаться этого скверного стиля! Причину я повторял неоднократно, в частности, на первом же уроке по высшей алгебре .

Кстати, уравнение можно решить и «по-арабски»:

И что самое интересное – данная запись полностью легальна! Но если Вы не преподаватель, то так лучше не делать, ибо оригинальность здесь наказуема =)

А теперь немного о

графическом методе решения

Уравнение имеет вид и его корень – есть «иксовая» координата точки пересечения графика линейной функции с графиком линейной функции (осью абсцисс) :

Казалось бы, пример настолько элементарен, что разбирать тут больше нечего, однако из него можно «выжать» ещё один неожиданный нюанс: представим то же самое уравнение в виде и построим графики функций :

При этом, пожалуйста, не путайте два понятия : уравнение – это уравнение, а функция – это функция! Функции лишь помогают найти корни уравнения. Коих может быть два, три, четыре и даже бесконечно много. Ближайшим примером в этом смысле является всем известно квадратное уравнение , алгоритм решения которого удостоился отдельного пункта «горячих» школьных формул . И это не случайно! Если вы умеете решать квадратное уравнение и знаете теорему Пифагора , то, можно сказать, «пол высшей математики уже в кармане» =) Преувеличено, конечно, но и не так далеко от истины!

А поэтому не поленимся и прорешаем какое-нибудь квадратное уравнение по стандартному алгоритму :

, значит, уравнение имеет два различных действительных корня:

Легко убедиться, что оба найденных значения действительно удовлетворяют данному уравнению:

Что делать, если вы вдруг позабыли алгоритм решения, и под рукой нет средств/рук помощи? Такая ситуация может возникнуть, например, на зачёте или экзамене. Используем графический метод! И тут есть два пути: можно поточечно построить параболу , выяснив тем самым, где она пересекает ось (если пересекает вообще) . Но лучше поступить хитрее: представим уравнение в виде , начертим графики более простых функций – и «иксовые» координаты их точек пересечения, как на ладони!



Если окажется, что прямая касается параболы, то уравнение имеет два совпавших (кратных) корня. Если окажется, что прямая не пересекает параболу, значит, действительных корней нет.

Для этого, конечно, нужно уметь строить графики элементарных функций , но с другой стороны эти умения по силам даже школьнику.

И вновь – уравнение – это уравнение, а функции , – это функции, которые лишь помогли решить уравнение!

И тут, кстати, уместно будет вспомнить ещё одну вещь: если все коэффициенты уравнения умножить на ненулевое число, то его корни не изменятся .

Так, например, уравнение имеет те же самые корни. В качестве простейшего «доказательства» вынесу константу за скобки:
и безболезненно её уберу (разделю обе части на «минус два») :

НО! Если мы рассматриваем функцию , то здесь уже избавляться от константы нельзя! Допустимо разве что вынесение множителя за скобки: .

Многие недооценивают графический метод решения, считая его чем-то «несолидным», а некоторые и вовсе забывают о такой возможности. И это в корне ошибочно, поскольку построение графиков иногда просто спасает ситуацию!

Ещё один пример: предположим, вы не помните корни простейшего тригонометрического уравнения: . Общая формула есть в школьных учебниках, во всех справочниках по элементарной математике, но они вам недоступны. Однако решить уравнение критически важно (иначе «двойка»). Выход есть! – строим графики функций :



после чего спокойненько записываем «иксовые» координаты их точек пересечения:

Корней бесконечно много и в алгебре принята их свёрнутая запись:
, где ( – множество целых чисел ) .

И, не «отходя от кассы», пару слов о графическом методе решения неравенств с одной переменной. Принцип такой же. Так, например, решением неравенства является любое «икс», т.к. синусоида почти полностью лежит под прямой . Решением неравенства является множество промежутков, на которых куски синусоиды лежат строго выше прямой (оси абсцисс) :

или, если короче:

А вот множество решений неравенства – пусто , поскольку никакая точка синусоиды не лежит выше прямой .

Что-нибудь не понятно? Срочно штудировать уроки о множествах и графиках функций !

Разминаемся:

Задание 1

Решить графически следующие тригонометрические уравнения:

Ответы в конце урока

Как видите, для изучения точных наук совсем не обязательно зубрить формулы и справочники! И более того, это принципиально порочный подход.

Как я уже обнадёжил вас в самом начале урока, сложные тригонометрические уравнения в стандартном курсе высшей математики приходится решать крайне редко. Вся сложность, как правило, заканчивается уравнениями вроде , решением которого являются две группы корней, происходящие от простейших уравнений и . С решением последнего сильно не парьтесь – посмотрите в книжке или найдите в Интернете =)

Графический метод решения может выручить и в менее тривиальных случаях. Рассмотрим, например, следующее «разношёрстное» уравнение:

Перспективы его решения выглядят... вообще никак не выглядят, однако стОит только представить уравнение в виде , построить графики функций и всё окажется невероятно просто. Чертёж есть в середине статьи о бесконечно малых функциях (откроется на соседней вкладке) .

Тем же графическим методом можно выяснить, что уравнение имеет уже два корня, причём один из них равен нулю, а другой, судя по всему, иррационален и принадлежит отрезку . Данный корень можно вычислить приближённо, например, методом касательных . Кстати, в некоторых задачах, бывает, требуется не отыскать корни, а выяснить, есть ли они вообще . И здесь тоже может помочь чертёж – если графики не пересекаются, то корней нет.

Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами.
Схема Горнера

А теперь я предлагаю вам обернуть свой взор в средние века и прочувствовать неповторимую атмосферу классической алгебры. Для лучшего понимания материала рекомендую хоть чуть-чуть ознакомиться с комплексными числами .

Они самые. Многочлены.

Объектом нашего интереса будут наиболее распространённые многочлены вида с целыми коэффициентами . Натуральное число называют степенью многочлена , число – коэффициентом при старшей степени (или просто старшим коэффициентом) , а коэффициент – свободным членом .

Данный многочлен я буду свёрнуто обозначать через .

Корнями многочлена называют корни уравнения

Обожаю железную логику =)

За примерами сходим в самое начало статьи:

С нахождением корней многочленов 1-й и 2-й степеней нет никаких проблем, но по мере увеличения эта задача становится всё труднее и труднее. Хотя с другой стороны – всё интереснее! И как раз этому будет посвящена вторая часть урока.

Сначала буквально пол экрана теории:

1) Согласно следствию основной теоремы алгебры , многочлен степени имеет ровно комплексных корней. Некоторые корни (или даже все) могут быть в частности действительными . При этом среди действительных корней могут встретиться одинаковые (кратные) корни (минимум два, максимум штук) .

Если некоторое комплексное число является корнем многочлена, то и сопряжённое ему число – тоже обязательно корень данного многочлена (сопряжённые комплексные корни имеют вид ) .

Простейший пример – квадратное уравнение, которое впервые встретилось в8 (вроде) классе, и которое мы окончательно «добили» в теме комплексных чисел . Напоминаю: квадратное уравнение имеет либо два различных действительных корня, либо кратные корни, либо сопряжённые комплексные корни.

2) Из теоремы Безу следует, что если число является корнем уравнения , то соответствующий многочлен можно разложить на множители:
, где – многочлен степени .

И опять же, наш старый пример: поскольку – корень уравнения , то . После чего нетрудно получить хорошо знакомое «школьное» разложение .

Следствие теоремы Безу имеет большую практическую ценность: если мы знаем корень уравнения 3-й степени , то можем представить его в виде и из квадратного уравнения легко узнать остальные корни. Если нам известен корень уравнения 4-й степени , то есть возможность разложить левую часть в произведение и т.д.

И вопроса здесь два:

Вопрос первый . Как найти этот самый корень ? Прежде всего, давайте определимся с его природой: во многих задачах высшей математики требуется отыскать рациональные , в частности целые корни многочленов, и в этой связи далее нас будут интересовать преимущественно они…. …они такие хорошие, такие пушистые, что их прямо так и хочется найти! =)

Первое, что напрашивается – метод подбора. Рассмотрим, например, уравнение . Загвоздка здесь в свободном члене – вот если бы он равнялся нулю, то всё было бы в ажуре – выносим «икс» за скобки и корни сами «вываливаются» на поверхность:

Но у нас свободный член равен «тройке», и поэтому мы начинаем подставлять в уравнение различные числа, претендующие на звание «корень». Прежде всего, напрашивается подстановка единичных значений. Подставим :

Получено неверное равенство, таким образом, единица «не подошла». Ну да ладно, подставляем :

Получено верное равенство! То есть, значение является корнем данного уравнения.

Для отыскания корней многочлена 3-й степени существуют аналитический метод (так называемые формулы Кардано) , но сейчас нас интересует несколько другая задача.

Поскольку – есть корень нашего многочлена, то многочлен можно представить в виде и возникает Второй вопрос : как отыскать «младшего собрата» ?

Простейшие алгебраические соображения подсказывают, что для этого нужно разделить на . Как разделить многочлен на многочлен? Тем же школьным методом, которым делят обычные числа – «столбиком»! Данный способ я подробнейшим образом разобрал в первых примерах урока Сложные пределы , и сейчас мы рассмотрим другой способ, который получил название схема Горнера .

Сначала запишем «старший» многочлен со всеми , в том числе нулевыми коэффициентами :
, после чего занесём эти коэффициенты (строго по порядку) в верхнюю строку таблицы:

Слева записываем корень :

Сразу же оговорюсь, что схема Горнера работает и в том случае, если «красное» число не является корнем многочлена. Однако не будем торопить события.

Сносим сверху старший коэффициент:

Процесс заполнения нижних ячеек чем-то напоминает вышивание, где «минус единица» – это своеобразная «игла», которая пронизывает последующие шаги. «Снесённое» число умножаем на (–1) и прибавляем к произведению число из верхней ячейки:

Найденное значение умножаем на «красную иглу» и к произведению прибавляем следующий коэффициент уравнения:

И, наконец, полученное значение снова «обрабатываем» «иглой» и верхним коэффициентом:

Ноль в последней ячейке говорит нам о том, что многочлен разделился на без остатка (как оно и должно быть) , при этом коэффициенты разложения «снимаются» прямо из нижней строки таблицы:

Таким образом, от уравнения мы перешли к равносильному уравнению и с двумя оставшимися корнями всё ясно (в данном случае получаются сопряжённые комплексные корни) .

Уравнение , к слову, можно решить и графически: построить «молнию» и увидеть, что график пересекает ось абсцисс () в точке . Или тот же «хитрый» приём – переписываем уравнение в виде , чертим элементарные графики и детектируем «иксовую» координату их точки пересечения.

Кстати, график любой функции-многочлена 3-й степени пересекает ось хотя бы один раз, а значит, соответствующее уравнение имеет по меньшей мере один действительный корень. Данный факт справедлив для любой функции-многочлена нечётной степени.

И тут ещё хочется остановиться на важном моменте , который касается терминологии: многочлен и функция-многочлен – это не одно и то же ! Но на практике частенько говорят, например, о «графике многочлена», что, конечно, небрежность.

Однако вернёмся к схеме Горнера. Как я недавно упомянул, эта схема работает и для других чисел, но если число не является корнем уравнения , то в нашей формуле появляется ненулевая добавка (остаток):

«Прогоним» по схеме Горнера «неудачное» значение . При этом удобно использовать ту же таблицу – записываем слева новую «иглу», сносим сверху старший коэффициент (левая зелёная стрелка) , и понеслось:

Для проверки раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
, ОК.

Легко заметить, что остаток («шестёрка») – это в точности значение многочлена при . И в самом деле – что так:
, а ещё приятнее – вот так:

Из приведённых выкладок нетрудно понять, что схема Горнера позволяет не только разложить многочлен на множители, но и осуществить «цивилизованный» подбор корня. Предлагаю вам самостоятельно закрепить алгоритм вычислений небольшой задачей:

Задание 2

Используя схему Горнера, найти целый корень уравнения и разложить соответствующий многочлен на множители

Иными словами, здесь нужно последовательно проверять числа 1, –1, 2, –2, … – до тех пор, пока в последнем столбце не «нарисуется» нулевой остаток. Это будет означать, что «игла» данной строки – есть корень многочлена

Вычисления удобно оформить в единой таблице. Подробное решение и ответ в конце урока.

Способ подбора корней хорош для относительно простых случаев, но если коэффициенты и/или степень многочлена велики, то процесс может затянуться. А может быть какие-то значения из того же списка 1, –1, 2, –2 и рассматривать-то смысла нет? И, кроме того, корни ведь могут оказаться и дробными, что приведёт к уж совсем не научному тыку.

К счастью, существуют две мощные теоремы, которые позволяют значительно сократить перебор значений-«кандидатов» в рациональные корни:

Теорема 1 Рассмотрим несократимую дробь , где . Если число является корнем уравнения , то свободный член делится на , а старший коэффициент – на .

В частности , если старший коэффициент , то этот рациональный корень – целый:

И мы начинаем эксплуатировать теорему как раз с этой вкусной частности:

Вернёмся к уравнению . Так как его старший коэффициент , то гипотетические рациональные корни могут быть исключительно целыми, причём свободный член должен обязательно делиться на эти корни без остатка. А «тройку» можно разделить только на 1, –1, 3 и –3. То есть у нас всего лишь 4 «кандидата в корни». И, согласно Теореме 1 , другие рациональные числа не могут быть корнями данного уравнения В ПРИНЦИПЕ.

В уравнении «претендентов» чуть больше: свободный член делится на 1, –1, 2, – 2, 4 и –4.

Обратите внимание, что числа 1, –1 являются «завсегдатаями» списка возможных корней (очевидное следствие теоремы) и самым лучшим выбором для первоочередной проверки.

Переходим к более содержательным примерам:

Задача 3

Решение : поскольку старший коэффициент , то гипотетические рациональные корни могут быть только целыми, при этом они обязательно должны быть делителями свободного члена. «Минус сорок» делится на следующие пары чисел:
– итого 16 «кандидатов».

И здесь сразу появляется заманчивая мысль: а нельзя ли отсеять все отрицательные или все положительные корни? В ряде случаев можно! Сформулирую два признака:

1) Если все коэффициенты многочлена неотрицательны, то он не может иметь положительных корней. К сожалению, это не наш случай(Вот если бы нам было дано уравнение – тогда да, при подстановке любого значение многочлена строго положительно , а значит, все положительные числа (причём, и иррациональные тоже) не могут быть корнями уравнения .

2) Если коэффициенты при нечётных степенях неотрицательны, а при всех чётных степенях (включая свободный член) – отрицательны, то многочлен не может иметь отрицательных корней. Это наш случай! Немного присмотревшись, можно заметить, что при подстановке в уравнение любого отрицательного «икс» левая часть будет строго отрицательна, а значит, отрицательные корни отпадают

Таким образом, для исследования осталось 8 чисел:

Последовательно «заряжаем» их по схеме Горнера. Надеюсь, вы уже освоили устные вычисления:

Удача поджидала нас при тестировании «двойки». Таким образом – есть корень рассматриваемого уравнения, и

Осталось исследовать уравнение . Это легко сделать через дискриминант, но я проведу показательную проверку по той же схеме. Во-первых, обратим внимание, что свободный член равен 20-ти, а значит, по Теореме 1 из списка возможных корней выпадают числа 8 и 40, и для исследования остаются значения (единица отсеялась по схеме Горнера) .

Записываем коэффициенты трёхчлена в верхнюю строку новой таблицы и начинаем проверку с той же «двойки» . Почему? А потому что корни могут быть и кратны, пожалуйста: – это уравнение имеет 10 одинаковых корней. Но не отвлекаемся:

И здесь, конечно, я немного слукавил, заведомо зная, что корни рациональны. Ведь если бы они были иррациональными или комплексными, то мне светила бы безуспешная проверка всех оставшихся чисел. Поэтому на практике руководствуйтесь дискриминантом.

Ответ : рациональные корни: 2, 4, 5

В разобранной задаче нам сопутствовала удача, потому что: а) сразу отвалились отрицательные значения, и б) мы очень быстро нашли корень (а теоретически могли проверить и весь список ).

Но на самом деле ситуация бывает гораздо хуже. Приглашаю вас к просмотру увлекательной игры под названием «Последний герой»:

Задача 4

Найти рациональные корни уравнения

Решение : по Теореме 1 числители гипотетических рациональных корней должны удовлетворять условию (читаем «двенадцать делится на эль») , а знаменатели – условию . Исходя из этого, получаем два списка:

«список эль»:
и «список эм»: (благо, здесь числа натуральные) .

Теперь составим перечень всех возможных корней. Сначала «список эль» делим на . Совершенно понятно, что получатся те же самые числа. Для удобства занесём их в таблицу:

Многие дроби сократились, в результате чего получись значения, которые уже есть в «списке героев». Добавляем только «новичков»:

Аналогично – делим тот же «список эль» на :

и, наконец, на

Таким образом, команда участников нашей игры укомплектована:



К сожалению, многочлен данной задачи не удовлетворяет «положительному» или «отрицательному» признаку, и поэтому мы не можем отбросить верхнюю или нижнюю строку. Придётся работать со всеми числами.

Как ваше настроение? Да ладно, выше нос – есть ещё одна теорема, которую можно образно назвать «теоремой-убийцей»…. …«кандидатов», конечно же =)

Но сначала нужно прокрутить схему Горнера хотя бы для одного целого числа. Традиционно возьмём единицу. В верхнюю строку запишем коэффициенты многочлена и всё как обычно:

Поскольку четвёрка – это явно не ноль, то значение не является корнем рассматриваемого многочлена. Но она нам очень поможет.

Теорема 2 Если при некотором целом значении значение многочлена отлично от нуля: , то его рациональные корни (если они есть) удовлетворяют условию

В нашем случае и поэтому все возможные корни должны удовлетворять условию (назовём его Условием №1) . Данная четвёрка и будет «киллером» многих «кандидатов». В качестве демонстрации я рассмотрю несколько проверок:

Проверим «кандидата» . Для этого искусственно представим его в виде дроби , откуда хорошо видно, что . Вычислим «проверочную» разность: . Четыре делится на «минус два»: , а значит, возможный корень прошёл испытание.

Проверим значение . Здесь и проверочная разность составляет: . Разумеется, , и поэтому второй «испытуемый» тоже остаётся в списке.