Квадрат представляет собой правильный четырехугольник (или ромб), в котором все углы являются прямыми, а стороны равны между собой. Как и у любого иного правильного многоугольника, у квадрата можно высчитать периметр и площадь . Если площадь квадрата уже известна, то найти его стороны, а затем и периметр не составит труда.

Инструкция

Площадь квадрата находится по формуле:
S = a
Это означает, что для того, чтобы вычислить площадь квадрата , нужно умножить длины двух его сторон друг на друга. Как следствие, если знать площадь квадрата , то при извлечении корня из данного значения можно узнать длину стороны квадрата .
Пример: площадь квадрата 36 см, чтобы узнать сторону данного квадрата , необходимо извлечь квадратный корень из значения площади. Таким образом, длина стороны данного квадрата 6 см

Для нахождения периметр а квадрата необходимо сложить длины всех его сторон. С помощью формулы это можно выразить так:
P = a+a+a+a.
Если извлечь корень из значения площади квадрата , а затем сложить получившуюся величину 4 раза, то можно найти периметр квадрата .

Пример: Дан квадрат с площадь ю 49 см. Требуется найти его периметр .
Решение:
Сначала необходимо извлечь корень площади квадрата : 49 = 7 см
Затем, вычислив длину стороны квадрата , можно вычислить и периметр : 7+7+7+7 = 28 см
Ответ: периметр квадрата площадь ю 49 см составляет 28 см

Обратите внимание

Для квадрата справедливы следующие определения:
Квадрат - это прямоугольник, который обладает равными между собой сторонами.
Квадрат - это особая разновидность ромба, у которого каждый из углов равен 90 градусам.
Являясь правильным четырехугольником, вокруг квадрата можно описать или вписать окружность. Радиус вписанной в квадрат окружность можно найти по формуле:
R = t/2, где t - сторона квадрата.
Если же окружность описана вокруг него, то ее радиус находится так:
R = (2*t)/2
Исходя из данных формул, можно вывести новые для нахождения периметра квадрата:
P = 8*R, где R - радиус вписанной окружности-
P = 4* 2*R, где R - радиус описанной окружности.
Квадрат является уникальной геометрической фигурой, поскольку он абсолютно симметричен, независимо от того, как и где провести ось симметрии.

Внимание, только СЕГОДНЯ!

Все интересное

Квадрат представляет собой геометрическую фигуру, состоящую из четырех сторон одинаковой длины и четырех прямых углов, каждый из которых равен 90°. Определение площади или периметра четырехугольника, причем любого, требуется не только при решении…

Задачи на вычисление площади той или иной геометрической фигуры приходится решать школьнику и студенту, землемеру и архитектору, закройщику и токарю. Площадь круга можно вычислить разными способами, в зависимости от того, какими данными вы…

Квадрат - правильный четырехугольник, у которого все стороны равны, и все углы прямые. Периметром квадрата называется сумма длин всех его сторон, а площадью – произведение двух сторон или квадрат одной стороны. Исходя из известных соотношений, через…

Квадрат - один из простейших плоских многоугольников правильной формы, все углы в вершинах которого равны 90°. Не так много параметров, определяющих размеры квадрата, можно назвать - это длина его стороны, длина диагонали, площадь, периметр и…

Периметром называют общую длину всех сторон геометрической фигуры. Обычно его находят методом сложения размеров сторон. В случае с правильным многоугольником периметр можно найти, умножив длину отрезка между вершинами на количество таких отрезков.…

Вписанной в многоугольник окружностью считается такая окружность, которая бы касалась всех без исключения сторон данного многоугольника. Одним из видов многоугольника является квадрат. Как же найти радиус вписанной в квадрат окружности? Вам…

Очень часто школьники делают запросы в поисковой системе: как найти объем квадрата. Ответ может быть только один: это невозможно. Квадрат - двумерная фигура (два параметра: длина и ширина). Для вычисления объема необходимо наличие третьей…

Хоть слово «периметр» и произошло от греческого обозначения окружности, им принято называть суммарную длину границ любой плоской геометрической фигуры, включая квадрат. Вычисление этого параметра, как правило, сложности не представляет и…

Квадратом называется прямоугольник с равными сторонами. Это, пожалуй, самая простая фигура в планиметрии. Благодаря высокой степени симметрии этой фигуры, чтобы рассчитать площадь квадрата, достаточно всего одной его характеристики. Это может быть…

Квадрат представляет собой правильный четырехугольник или ромб, у которого все стороны равны и образуют между собой углы в 90 градусов. Диагональ квадрата - отрезок, который соединяет между собой два противоположных угла квадрата.
Найти…

Периметром называют общую длину границы фигуры чаще всего на плоскости. Квадрат - правильный четырехугольник или ромб, у которого все углы прямые, или параллелограмм, у которого все стороны и углы равны. Вам понадобитсяЗнания по…

Квадрат – красивая и простая плоская геометрическая фигура. Это прямоугольник с равными сторонами. Как же найти периметр квадрата, если известна длина его стороны? Инструкция1Прежде всего, стоит вспомнить, что периметр есть ни что иное как сумма…

Цели исследования Выявить зависимость между периметрами фигур и их площадью. Гипотеза Чем больше периметр, тем больше площадь фигуры. Что нужно выяснить: Какие свойства периметра и площади фигур? Как связаны периметры и площади прямоугольников? Какая фигура имеет наибольшую площадь при заданном периметре? Какие единицы измерения площади используются для измерения земли?

Мы знаем: Периметр – сумма длин всех сторон многоугольника Периметр – сумма длин всех сторон многоугольника Площадь фигуры – величина, показывающая сколько места занимает фигура на плоскости. Площадь фигуры – величина, показывающая сколько места занимает фигура на плоскости. Свойства: Свойства: 1. Равные фигуры имеют равные площади; 2. Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей; 3. За единицу площади принимают площадь квадрата со стороной, равному единичному отрезку

Если у одой фигуры больше периметр, чем у второй, то ее площадь больше, меньше или по-разному? Заметили, если периметр одного прямоугольника больше, то и его площадь больше чем у других. Но если периметры равны то площади могут быть различны От чего зависят площади прямоугольников, если их периметры равны? Сначала мы рассмотрим прямоугольники Сначала мы рассмотрим прямоугольники

Какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь? Решение этой задачи было известно ещё математикам Древней Греции. Оно изложено в книге Евклида, где доказывается, что, если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше.

Как Пахом покупал землю (Задача Льва Толстого) - А цена какая будет?- говорит Пахом. - Цена у нас одна: 1000 руб.за день. Не понял Пахом. - Какая же это мера – день? Сколько в ней десятин будет? Мы этого, - говорит, не умеем считать. А мы за день продаем: сколько обойдешь в день, то и твое, а цена дню 100 рублей… Какой хочешь круг забирай, только до захода солнца приходи к тому месту, с какого взялся. Что обойдешь все твое Какой путь должен выбрать Пахом, чтобы получить большую площадь земли?

Для измерения земли используются следующие единицы: Метрические единицы площади 100 квадратных метров – а (ар): 100 квадратных метров – а (ар): 1 ар = 100 м2; 1 ар = 100 м2; Квадрат со стороной 100 метров – Квадрат со стороной 100 метров – га (гектар): 1 га = м2; 1 га = м2; Неметрические единицы площади

Вывод 1. Если периметр одного прямоугольника больше, то и его площадь больше, чем у других. 2. Ели периметры прямоугольников равны, то площади могут быть различны. 3. Из всех прямоугольников с равными периметрами наибольшую площадь имеет квадрат. 4. У равновеликих фигур чем больше вершин, тем больше периметр.

Исследование площади прямоугольника данного периметра

Учитель математики МБОУ г.Шахты Ростовской области «Гимназия имени А.С.Пушкина»

Аннотация

Данная методическая разработка представляет собой описание опыта её автора, связанного с применением метода исследовательской работы с учащимися на уроках математики и во время внеклассных занятий по предмету.

Цель исследования

Выявить зависимость между изменением длины одной из сторон прямоугольника и площадью при заданном периметре прямоугольника.

Гипотеза

С изменением длины одной из сторон прямоугольника при заданном периметре изменится и площадь этого прямоугольника.

Как связаны периметры и площади прямоугольников?

Какой прямоугольник имеет наибольшую площадь при заданном периметре?

Что нужно выяснить:

Мы знаем:

Периметр – сумма длин всех сторон многоугольника.

Площадь фигуры – величина, показывающая сколько места занимает фигура на плоскости

Если у одной фигуры больше периметр, чем у второй, то её площадь больше, меньше или по-разному?

Сначала мы рассмотрим прямоугольники.

Заметили, если периметр одного прямоугольника больше, то и его площадь больше чем у других.

Но если периметры равны, то площади могут быть различны.

От чего зависят площади прямоугольников, если их периметры равны?

Какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь?

Решение этой задачи было известно ещё математикам Древней Греции. Оно изложено в книге Евклида.

Периметр прямоугольника равен 24см, а его основание х (см). Задайте формулой зависимость площади S () прямоугольника от х.

Заполните таблицу:

х (см) – основание прямоугольника

х, см

При каком значении х у вас получится прямоугольник наибольшей площади? Каково наибольшее из полученных значений S?

• Выберите сами два каких-либо значения х и вычислите соответствующие значения S. Удалось ли вам получить значение S, большее, чем найденное ранее?

• Какую гипотезу (гипотеза – научное предположение) можно высказать на основании проведённого исследования о форме прямоугольника наибольшей площади, имеющего данный периметр?

1. Если периметры прямоугольников равны, то площади могут быть различны.

2. Из всех прямоугольников с равными периметрами наибольшую площадь имеет квадрат.

Алексеева Алина

Цель проекта : установить некоторые зависимости между площадью и периметром, увидеть их применение в практической ситуации, подтвердить или опровергнуть достоверность знаменитой задачи про царицу Дидону.

Скачать:

Предварительный просмотр:

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОТКРЫТАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

«В МИР ПОИСКА, В МИР ТВОРЧЕСТВА В МИР НАУКИ»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №2»

Г. Колпашево, Томской обл..

Исследовательская работа

Некоторые зависимости площадей и периметров.

Алексеева Алина, 6а класс

Руководитель:

учитель математики Парфенова Елена Витальевна

Колпашево

2016

Руководитель: Парфенова Елена Витальевна, учитель математики

Тема «Некоторые зависимости площадей и периметров»

Общеобразовательное учреждение МАОУ СОШ №2 г. Колпашева

Используемые медиаресурсы текстовый редактор WORD, редактор POWER POINT, ресурсы сети Интернет

Цель проекта : установить некоторые зависимости между площадью и периметром, увидеть их применение в практической ситуации, подтвердить или опровергнуть достоверность знаменитой задачи про царицу Дидону.

Задачи:

Повторить теорию по теме исследования

Провести необходимые исследования и опыты

Сделать выводы

Рассмотреть практическое применение полученных результатов

1)Актуальность темы

С понятием периметр и площадь мы знакомимся еще начальной школе. Эти важные понятия необходимы человеку на протяжении всей его жизни. И дело не только в том, что деятельность представителей некоторых профессий немыслима без прочных знаний по этой теме

(строители, инженеры, земледельцы, швеи, и т. д., труднее назвать сферу деятельности человека, где эти понятия не пригодятся). Понятия площади и периметра необходимы человеку в окружающей жизни постоянно, самый банальный пример - произвести ремонт в комнате, квартире, доме. И то и другое понятие связывают стороны многоугольников, следовательно, знание зависимостей между этими величинами очень важно для современного человека

2) Определение предмета исследования

Итак, вспомним хорошо известные нам факты.

П лощадь – величина, характеризующая размер поверхности, которую занимает геометрическая фигура. (Сколько места фигура занимает на плоскости).

Периметр – размер границ (контура) геометрической фигуры. (Сумма длин всех сторон).

Свойства

Равные фигуры имеют равные площади.

Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее фигур.

За единицу площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единичному отрезку.

3) Формулировка проблемы

Несмотря на всю важность, я не могу припомнить никаких зависимостей связывающих площади и периметры, которые бы мы изучали в школе

Самый простой пример, который заводит в тупик неискушенных обывателей

Есть два участка земли 60х100 и 50х120м. Вроде площадь одинаковая, а первый выгоднее купить - забор то на 20м короче строить! Шутки шутками, и с точки зрения математики все ясно, а вот логически как то странно, вроде периметр это замкнутая воображаемая нить, а то, что внутри нее не должно меняться, как ее не крути. Почему есть разница в периметрах? Так все-таки, есть ли какие - то зависимости, или площадь и периметр никак не зависят друг от друга?

1. Выдвижение гипотезы

Предполагаем, что некоторые зависимости существуют.

Можно даже предположить, что если площадь больше, то периметр больше,

чем сторон больше, тем периметр больше.

1. Проверка гипотезы

Исследования начнем с простой и хорошо знакомой нам фигуры –прямоугольника.

Исследование №1.

Заполним таблицу, считая площадь одной клеточки равной 1 см 2

В С

Таблица №1

Фигура
Площадь (S)
Периметр (P)

Исследуя результаты измерений, делаем вывод, что не всегда увеличение площади означает, что периметр тоже увеличивается. При одинаковом периметре и площади бывают разные! Отчего же так происходит?

Продолжим наблюдения.

Исследование №2.

Таблица №2

	Длина	Ширина	Площадь	Периметр
Прямоугольник
Прямоугольник
Прямоугольник
Прямоугольник
Прямоугольник
Прямоугольник
Прямоугольник

Замечаем, что при равных площадях периметры не равны, самый маленький периметр из всех прямоугольников с равными площадями у квадрата.

Вот какое замечательное свойство у квадрата! Среди всех прямоугольников одинаковой площади у него самый маленький периметр!!!

Очевидно, можно сделать вывод что, при наименьшем периметре самая выгодная площадь у квадрата.

Запомним это замечательное свойство квадрата, заключать в своих границах наибольшую площадь при постоянном периметре.

Таблица №3

Вывод: Похоже, что предположение о том, что чем больше сторон, тем больше периметр подтверждается.

1. Объяснение результатов

Отчего же возникают такие зависимости, в чем причина. Чтобы лучше разобраться в этом вопросе, проведем опыт.

Опыт.

Я взяла произвольный прямоугольник. Измерила его длину, ширину, площадь и периметр, результаты измерений занесла в таблицу №4

(1 строка).

Теперь разрезала фигуру повдоль пополам и составила новую фигуру

Таблица №4

	Длина	Ширина	Площадь	Периметр
До разрезания
После разрезания

-------

| | |

| | |

| | |

-------

----

----

----

Количество квадратиков не изменилось. Наблюдаем, что происходит со сторонами прямоугольника, когда периметр увеличивается.

У фигуры появились дополнительные стороны, которые стали границами, это дополнительные 20 см, и исчезла граница 5+5=10см. Итого 20-10=10 см. Вот и дополнительные 10 см. Периметр увеличится.

7. Основные выводы.

1. Итак, при наименьшем периметре самая выгодная площадь у квадрата. Замечательное свойство квадрата, заключать в своих границах наибольшую площадь при постоянном периметре.
2. Не всегда увеличение площади означает, что периметр тоже увеличивается. При одинаковом периметре и площади бывают разные!
3. Чем больше сторон, тем больше периметр подтверждается.

8. Практические задачи.

Задача 1. Периметр квадрата увеличили на 40, затем периметр полученного квадрата уменьшили на 40. У какого из квадратов площадь наименьшая

Ответ. Чем больше периметр квадрата, тем больше его площадь. 40 от периметра второго квадрата больше, чем 40 от периметра первого. Значит, наименьший периметр, а тогда и наименьшая площадь у третьего квадрата.

Задача 2. Мы разместили 15 дисков как показано на диаграмме. Периметр каждого диска равен 12 см.Чему равен внешний периметр этой фигуры?

Ответ. Задача интересная и для меня была трудная. Я сделала так. Сложила все половинки, их 9, значит периметр-54.Остались 3 угловых круга. Если соединить их центры линиями, то получится равносторонний треугольник. Сумма углов треугольника 180 градусов, (это половинка периметра диска).

т.е. 12х3-6=20. Так как я взяла 3 круга, то осталось 3 круга минус одна половинка, весь периметр равен 54+30-84

Задача 3 . Человек прикинул в уме, что он может выложить пол комнаты, имеющей квадратную форму, квадратной плиткой, и что ему не понадобится ни одну из них разрезать. Сначала рн положил плитки по краям комнаты и на это у него ушло 56 плиток.

Найдите, сколько всего ему надо иметь плиток, чтобы покрыть весь пол? Чему равна сумма цифр этого числа.

Ответ. Я из 56 вычла 4 угловые плитки, потом разделила 52 на4, получила плитки в одном ряду плюс 2 угловые, получилось 15, умножила на 15,получилось 225,сумма цифр 9.

Задача 4. Начертите какой-нибудь небольшой квадрат. Как надо изменить его стороны, чтобы построить квадрат, площадь которого была бы: 1)вчетверо больше? 2) в 9 раз больше? 3) в 16 раз больше?

Проверьте решение построением.

Ответ:

1) Стороны увеличить в 2 раза

2) Стороны увеличить в 3 раза

3) Стороны увеличить в 4 раза

Задача 5. Из 22 спичек сложить прямоугольник наибольшей площади.(Спички не ломать!) Так - как мне известно, что при постоянном периметре наибольшую площадь заключает в себе квадрат, но квадрата не получится, так как 22 не делится нацело на 4. а также при постоянном периметре площадь тем больше, чем меньше разница между сторонами, то наименьшая разница получится в случае когда стороны будут равны 5 см, 5 см. и 6 см, 6 см.

Задача 6. (Из книги Я. И. Перельмана) «Занимательная геометрия)

Из рассказа Л. Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно?»

Ответ.

Переведем задачу на математический язык. С точки зрения математики путь Пахома – это периметр. Путь, то есть периметр, должен быть как можно меньше, а площадь как можно больше, но возможно ли такое?

За день Пахом может пройти определенное расстояние, ни больше, ни меньше, задача - охватить этим расстоянием как можно больше площади.

Математическая постановка вопроса

Как наименьшим периметром обойти площадь. Что за фигура, получится при обходе?

Пахому надо было идти по квадрату. Ему бы пригодились знания, полученные в результате наших исследований. Кстати, не имея верной стратегии обхода Пахом старался отхватить как можно больше площади и переоценил свои силы, в финале рассказа он падает без сил и погибает.

Задача 6. Задача Дидоны. Финикийская царевна Дидона, спасаясь от своего брата, тирана Пигмалиона, отплыла из родного города Тира с небольшим отрядом своих сторонников. Было это, если верить легенде, около 825 года до нашей эры. Долго плыли царевна и ее спутники по Средиземному морю, пока не пристали к берегу Африки. Жили в тех местах нулидийцы. Пришельцы им были совершенно ни к чему. Но Дидоне некуда было деться, место ей понравилось, и царевна стала упрашивать нулидийского царя Ярба продать ей немного земли. Желая, видимо, отделаться от назойливой финикиянки, Ярб заломил баснословную цену за клочок земли, который можно окружить одной бычьей шкурой. К его удивлению и разочарованию, Дидона приняла это издевательское предложение, расплатилась и отправилась отмерить свою землю. Только она не стала расстилать шкуру на берегу. Как она это сделала?

Ответ. От учителя я слышала рассказ про Древнюю царицу Дидону, которая спасаясь от преследований своего родственника попросили убежища у Древнего царя. Она попросила совсем немного Земли, столько, сколько сможет охватит бычья шкура, но в отличии от Пахома, царевна была прекрасно знакома с математикой, поэтому она перехитрила Царя, разрезав шкуру быка на тонкие полоски и охватила полученным периметром столько Земли, что позволило ей организовать на ней свое царство.

Я попыталась примерно подсчитать, сколько же Земли могла охватить Дидона . Может быть древняя легенда, всего лишь красивый вымысел? Используя ресурсы Сети Интернет, я узнала, что шкура крупного быка может достигать площади 4, 5 м 2 . Одна полоска представляет из себя прямоугольник. Представим себе, что все полоски положили последовательно друг за другом, и так как шкура довольно прочна, попробуем взять ширину полоски 1 мм. Это я, считаю минимальная ширина, конечно на самом деле ширина, скорее всего, не менее 3мм, иначе полоски будут рваться. Получили прямоугольник, ширина которого 1мм. Подсчитаем длину. Если первоначально шкура имеет форму прямоугольника со сторонами 1500мм на 3000мм, тогда у нас будет 1500 полосок шириной 1мм, и общей длиной 1500х3000=4500000 мм=4500 метров

А теперь обратимся к древним источникам, в них говорится, что царевна смогла охватить 22 стадии, я узнала, что 1 стадия ~ 200 метров.

22* 200 =4400 метров!

Древняя легенда находит свое подтверждение! Мои расчеты с точностью до 100 метров совпали с историческими данными! Так как из проведенных выше исследований мне понятно, что при постоянном периметре самая выгодная площадь у квадрата, высчитаем сторону квадрата при периметре 4400 метров.

Данный периметр может охватить площадь примерно 1100мх1100м=1210000м 2 = 121 га вполне достаточная площадь земельного участка для города древности!

1. Подготовка к презентации

Для написания опыта были использованы возможности текстового редактора Word. Итоговый материал представлен в виде презентации, выполненной в редакторе Power Point.

1. Литература и Интернет - источники:

Я. И. Перельман, «Занимательная геометрия», Изд.: Терра-Книжный клуб (2008), 384 стр..