Аналитическая запись условий равновесия произвольной пространственной системы сил представляет систему шести уравнений (5.3).

С механической точки зрения первые три уравнения устанавливают отсутствие поступательного, а последние три − углового перемещения тела. В случае ССС условия равновесия будут представлены системой первых трех уравнений. В случае системы параллельных сил система будет состоять также из трех уравнений: из одного уравнения суммы проекций сил на ту ось, параллельно которой ориентированы силы системы, и двух уравнений моментов относительно осей, непараллельных линиям действия сил системы.

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТЕЛА

Центром тяжести твердого тела называется точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц данного тела, при любом его расположении в пространстве.

Координаты центра тяжести, точки C (рис. 6.3) можно определить по следующим формулам:

Ясно, что чем мельче разбиение, тем точнее будет проведен расчет по формулам (6.7), (6.8). Однако при этом трудоемкость вычислений может быть достаточно большой. В инженерной практике применяются формулы определения центра тяжести тел правильной формы.

КИНЕМАТИКА

ЛЕКЦИЯ 6.

Кинематикой называют раздел механики, в котором рассматривают движение тел и

Точек без учета сил, приложенных к ним.

6.1. Способы задания движения точки

Рассматривать движение тел или точек можно только относительно какой- либо системы отсчета – реального или условного тела, относительно которого определяют положение и движение других тел.

Рассмотрим три, наиболее используемые при решении задач, системы отсчета и, соответствующие им, три способа задания движения точки. Их характеристика сводится к: а) описанию самой системы отсчета; б) определению положения точки в пространстве; в) указанию уравнений движения точки; г) установлению формул, по которым могут быть найдены кинематические характеристики движения точки.

Векторный способ

Данный способ используют, как правило, при выводе теорем и других теоретических положений. Его преимущество перед другими способами – компактность записи. В качестве системы отсчета в этом способе выступает центр О с тройкой единичных векторов – i, j, k (рис. 8.1). Положение в пространстве произвольной точки М определяется посредством радиуса-вектора, r. Таким образом, уравнением движения точки M будет однозначная функция радиуса-вектора от времени, t :

Сравнивая последние два определения, можно заключить, что траектория точки является одновременно годографом ее радиуса-вектора.

Введем понятие средней скорости, V ср (рис. 8.1):

и истинной (мгновенной) скорости, V:

Направление V совпадает с касательной, к траектории точки (рис. 8.1).

Ускорение точки – это векторная величина, характеризующая изменение скорости точки:

Естественный способ

ная зависимость между S и временем, t , представляет собой уравнение движения точки в естественном способе задания движения:

Скорость точки, направленная по оси t , определяется как:

Ускорение точки, а, находится в плоскости nt и может быть разложено на составляющие:

Физический смысл этого разложения заключается в следующем: линия действия касательной составляющей, а t , совпадает с линией действия вектора скорости, V , и отражает изменение только модуля скорости; нормальная составляющая ускорения, а n , характеризует изменение направления линии действия вектора скорости. Их численные значения могут быть найдены по следующим формулам:

где

– радиус кривизны траектории в данной точке.

Координатный способ

Этот способ наиболее часто используют при решении задач. Системой отсчета является тройка взаимно перпендикулярных осей x , y , z (рис. 8.3). Положение точки М определяется ее координатами x М , y М , z М .

Уравнения движения точки представляют собой однозначные функции этих координат от

а ее модуль:

Направление вектора скорости в пространстве можно аналитически определить с помощью направляющих косинусов:

Ускорение точки М можно установить по его проекциям на координатные оси:

Направление вектора ускорения в пространстве определяется направляющими косинусами.

Выше (6.5, случай 6) было установлено, что

Учитывая, что , , спроектируем формулы (6.18) на Декартовы оси координат. Имеем аналитическую форму уравнений равновесия произвольной пространственной системы сил :

(6.19)

Последние три уравнения имеют место из-за того, что проекция момента силы относительно точки на ось, которая проходит через эту точку, равна моменту силы относительно оси (формула (6.9)).

Вывод произвольной пространственной системы сил , которая приложена к твердому телу, мы должны составить шесть уравнений равновесия (6.19), потому имеем возможность с помощью этих уравнений определить шесть неизвестных величин .

Рассмотрим случай пространственной системы параллельных сил. Систему координат выберем так, чтобы ось Оz была параллельна линиям действия сил (рис. 6.11).

Таким образом, остались три уравнения:

Вывод . При решении задач на равновесие параллельной пространственной системы сил, которая приложена к твердому телу, мы должны составить три уравнения равновесия и имеем возможность с помощью этих уравнений определить три неизвестных величины .

На первой лекции по разделу «Статика» мы выяснили, что имеют место шесть разновидностей систем сил , которые могут встретиться в Вашей практике инженерных расчетов. Кроме того есть две возможности расположения пар сил: в пространстве и в плоскости. Сведем все уравнения равновесия для сил и для пар сил в одну таблицу (табл. 6.2), в которой в последней колонке отметим количество неизвестных величин, которые позволит определить система уравнений равновесия.

Таблица 6.2 – Уравнения равновесия разных систем сил

	Вид системы сил	Уравнения равновесия	Количество определяемых неизвестных
	Сходящаяся плоская
	Параллельная плоская ( оси 0у )	т. А 0ху
	Произвольная плоская (в плоскости 0ху)	т. А – произвольная, принадлежащая плоскости 0ху

Продолжение таблицы 6.2

Продолжение таблицы 6.2

Вопросы для самоконтроля по теме 6

1. Как найти момент силы относительно оси?

2. Какая зависимость существует между моментом силы относительно точки и моментом этой же силы относительно оси, которая проходит через эту точку?

3. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю? А когда он наибольший?

4. В каких случаях система сил приводится к равнодействующей?

5. В каком случае пространственная система сил приводится:

– к паре сил;

– к динамическому винту?

6. Что называется инвариантом статики? Какие Вы знаете инварианты статики?

7. Запишите уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил.

8. Сформулируйте необходимое и достаточное условие равновесия параллельной пространственной системы сил.

9. Изменится ли главный вектор системы сил при изменении центра приведения? А главный момент?

Тема 7. ФЕРМЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ

О R = 0 и M R x = R y = R z = 0 и M x = M y = M

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил.

Произвольную простран­ственную систему сил, как и плос­кую, можно привести к какому-нибудь центру О и заменить од­ной результирующей силой и парой с моментом. Рассуждая так, что для равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно былоR = 0 и M о = 0. Но векторы имогут обратиться в нуль только тогда, когда равны нулю все их проекции на оси координат, т. е. когдаR x = R y = R z = 0 и M x = M y = M z = 0 или, когда дей­ствующие силы удовлетворяют условиям

Таким образом, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и суммы их моментов относительно этих осей были равны нулю.

Принципы решения задач на равновесие тела под действием пространственной системы сил.

Принцип решения задач этого раздела остается тем же, что и для плоской системы сил. Установив, равновесие, какого тела будет рассматриваться, заменяют наложенные на тело связи их реакциями и составляют условия равновесия этого тела, рассма­тривая его как свободное. Из полученных уравнений определяются искомые величины.

Для получения более простых систем уравнений рекомендуется оси проводить так, чтобы они пересекали больше неизвестных сил или были к ним перпендикулярны (если это только излишне не усложняет вычисления проекций и моментов других сил).

Новым элементом в составлении уравнений является вычисление моментов сил относительно осей координат.

В случаях, когда из общего чертежа трудно усмотреть, чему равен момент данной силы относительно какой-нибудь оси, рекомендуется изобразить на вспомогательном чертеже проекцию рассматри­ваемого тела (вместе с силой) на плоскость, перпендикулярную к этой оси.

В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруд­нения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, реко­мендуется разложить силу на две взаимно перпендикулярные состав­ляющие (из которых одна парал­лельна какой-нибудь координат­ной оси), а затем воспользоваться теоремой Вариньона.

Пример 5.

Рама АВ (рис.45) удерживается в равновесии шарниром А и стержнем ВС . На краю рамы находится груз весом Р . Опреде­лим реакции шарнира и усилие в стержне.

Рис.45

Рассматриваем равновесие рамы вместе с грузом.

Строим расчётную схему, изобразив раму свободным телом и показав все силы, действующие на неё: реакции связей и вес груза Р . Эти силы образуют систему сил, произвольно расположенных на плоскости.

Жела­тельно составить такие уравнения, чтобы в каждом было по одной неиз­вестной силе.

В нашей задаче это точка А , где приложены неизвестные и; точкаС , где пересекаются линии действия неизвестных сил и; точкаD – точка пересечения линий действия сил и. Со­ставим уравнение проекций сил на осьу (на ось х проектировать нельзя, т.к. она перпендикулярна прямой АС ).

И, прежде чем составлять уравнения, сделаем еще одно полезное заме­чание. Если на расчётной схеме имеется сила, расположенная так, что плечо её находится непросто, то при определении момента рекоменду­ется предварительно разложить вектор этой силы на две, более удобно направленные. В данной задаче разложим силу на две:и(рис.37) такие, что модули их

Составляем уравнения:

Из второго уравнения находим . Из третьегоИ из первого

Так как получилось S <0, то стержень ВС будет сжат.

Случаю такого равновесия сил соответствуют два условия равновесия

М= Мо = 0, R* = 0.

Модули главного момента Мо и главного вектора R* рассматриваемой системы определяются по формулам

Mo= (M x 2 + M y 2 + +M z 2) 1/2 ; R*= (X 2 + Y 2 +Z 2) 1/2 .

Они раны нулю только при следующих условиях:

M x = 0, M y =0, M z = 0, X=0, Y=0, Z=0,

которым соответствуют шесть основных уравнений равновесия сил, произвольно расположенных в пространстве

=0; =0;

=0; (5-17)

=0 ; =0.

Три уравнения системы (5-17) слева называются уравнениями моментов сил относительно осей координат, а три справа- уравнениями проекций сил на оси.

При помощи этих формул уравнение моментов можно представить в виде

å (y i Z i - z i Y i)=0; å(z i Х i - x i Z i)=0 ; å(x i Y i - y i X i)=0 . (5-18)

где x i , y i , z i - координаты точек приложения силы Р; Y i , Z i , X i - проекции этой силы на оси координат, могущие иметь любые направления.

Существуют и другие системы шести уравнений равновесия сил, произвольно расположенных в пространстве.

Приведение системы сил к равнодействующей силе.

Если главный вектор системы сил R* не равен нулю, а главный момент Мо или равен нулю, или направлен перпендикулярно к главному вектору, то заданная система сил приводится к равнодействующей силе.

Возможны 2 случая.

1-й случай.

Пусть R*¹ 0; Mo = 0 . В этом случае силы приводят к равнодействующей, линия действия которой проходит через центр приведения О, а сила R* заменяет собой заданную систему сил, т.е. является ее равнодействующей.

2-й случай.

R*¹ 0; Mo¹ 0 и Мо ⊥ R*. (рис.5.15).

После приведения системы сил к центру О получена сила R* , приложенная в этом центре и равная главному вектору сил, и пара сил, момент которой М равен главному моменту Мо всех сил относительно центра приведения, причем Мо ⊥ R*.

Выберем силы этой пары R’ и R равными по модулю главному вектору R* , т.е. R= R’ = R*. Тогда плечо этой пары следует взять равным ОК= = М О /R* .Проведем через точку О плоскость I, перпендикулярную к моменту пары сил М . Пара сил R’ , R должна находиться в этой плоскости. Расположим эту пару так, чтобы одна из сил пары R’ была приложена в точке О и направлена противоположно силе R* . Восставим в плоскости I в точке О перпендикуляр к линии действия силы R* , и в точке К на расстоянии ОК= М О /R* от точки О приложим вторую силу пары R .

Отрезок ОК откладываем в такую сторону от точки О, чтобы, смотря навстречу вектору момента М, видеть пару стремящуюся вращать свою плоскость против движения часовой стрелки. Тогда силы R* и R’ , приложенные в точке О, уравновесятся, а сила R пары, приложенная в точке К, заменит собой заданную систему сил, т.е. будет ее равнодействующей. Прямая, совпадающая с линией действия этой силы, является линией действия равнодействующей силы. Рис. 5.15 показывает различие между равнодействующей силой R и силой R* , полученной при приведении сил к центру О.

Равнодействующая R системы сил, приложенная в точке К, имеющая определенную линию действия, эквивалентна заданной системе сил, т.е. заменяет собой эту систему.

Сила же R* в точке О заменяет заданную систему сил только в совокупности с парой сил с моментом М= Мо .

Силу R* можно приложить в любой точке тела, к которой приведены силы. От положения точки зависит только модуль и направление главного момента Мо .

Теорема Вариньона. Момент равнодействующей относительно любой точки равен геометрической сумме моментов составляющих сил относительно этой точки, а момент равнодействующей силы относительно любой оси равен алгебраической сумме моментов, составляющих сил относительно этой оси.

Рассмотрены методы решения задач на равновесие с произвольной пространственной системой сил. Приводится пример решения задачи на равновесие плиты, поддерживаемой стержнями в трехмерном пространстве. Показано, как за счет выбора осей при составлении уравнений равновесия, можно упростить решение задачи.

Содержание

Порядок решения задач на равновесие с произвольной пространственной системой сил

Чтобы решить задачу на равновесие твердого тела с произвольной пространственной системой сил, надо выбрать прямоугольную систему координат и, относительно нее, составить уравнения равновесия.

Уравнения равновесия, для произвольной системы сил, распределенных в трехмерном пространстве, представляют собой два векторных уравнения:
векторная сумма сил, действующих на тело, равна нулю
(1) ;
векторная сумма моментов сил, относительно начала координат, равна нулю
(2) .

Пусть Oxyz - выбранная нами система координат. Спроектировав уравнения (1) и (2) на оси этой системы, получим шесть уравнений:
суммы проекций сил на оси xyz равны нулю
(1.x) ;
(1.y) ;
(1.z) ;
суммы моментов сил относительно осей координат равны нулю
(2.x) ;
(2.y) ;
(2.z) .
Здесь мы считаем, что на тело действуют n сил, включая силы реакций опор.

Пусть произвольная сила , с компонентами , приложена к телу в точке . Тогда моменты этой силы относительно осей координат определяются по формулам:
(3.x) ;
(3.y) ;
(3.z) .

Таким образом, порядок решения задачи, на равновесие с произвольной пространственной системой сил, следующий.

1. Отбрасываем опоры и заменяем их силами реакций. Если опорой является стержень или нить, то сила реакции направлена вдоль стержня или нити.
2. Выбираем прямоугольную систему координат Oxyz .
3. Находим проекции векторов сил на оси координат, , и точек их приложения, . Точку приложения силы можно перемещать вдоль прямой, проведенной через вектор силы. От такого перемещения значения моментов не изменятся. Поэтому выбираем наиболее удобные для расчета точки приложения сил.
4. Составляем три уравнения равновесия для сил (1.x,y,z).
5. Для каждой силы, по формулам (3.x,y,z), находим проекции моментов силы на оси координат.
6. Составляем три уравнения равновесия для моментов сил (2.x,y,z).
7. Если число переменных больше числа уравнений, то задача статически неопределима. Методами статики ее решить нельзя. Нужно использовать методы сопротивления материалов.
8. Решаем полученные уравнения.

Упрощение расчетов

В некоторых случаях удается упростить вычисления, если вместо уравнения (2) использовать эквивалентное условие равновесия.
Сумма моментов сил относительно произвольной оси AA′ равна нулю :
(4) .

То есть можно выбрать несколько дополнительных осей, не совпадающих с осями координат. И относительно этих осей составить уравнения (4).

Пример решения задачи на равновесие произвольной пространственной системы сил

Равновесие плиты, в трехмерном пространстве, поддерживается системой стержней.

Найти реакции стержней, поддерживающих тонкую однородную горизонтальную плиту в трехмерном пространстве. Система крепления стержней показана на рисунке. На плиту действуют: сила тяжести G; и сила P, приложенная в точке A, направленная вдоль стороны AB.

Дано:
G = 28 kН ; P = 35 kН ; a = 7,5 м ; b = 6,0 м ; c = 3,5 м .

Решение задачи

Сначала мы решим эту задачу стандартным способом, применимым для произвольной пространственной системы сил. А затем получим более простое решение, основываясь на конкретной геометрии системы, за счет выбора осей при составлении уравнений равновесия.

Решение задачи стандартным способом

Этот метод хоть и приведет нас к довольно громоздким вычислениям, но он применим для произвольной пространственной системы сил, и может применяться в расчетах на ЭВМ.

Отбросим связи и заменим их силами реакций. Связями здесь являются стержни 1-6. Вводим вместо них силы , направленные вдоль стержней. Направления сил выбираем наугад. Если мы не угадаем с направлением какой-либо силы, то получим для нее отрицательное значение.

Проводим систему координат Oxyz с началом в точке O .

Находим проекции сил на оси координат.

Для силы имеем:
.
Здесь α 1 - угол между LQ и BQ . Из прямоугольного треугольника LQB :
м ;
;
.

Силы , и параллельны оси z . Их компоненты:
;
;
.

Для силы находим:
.
Здесь α 3 - угол между QT и DT . Из прямоугольного треугольника QTD :
м ;
;
.

Для силы :
.
Здесь α 5 - угол между LO и LA . Из прямоугольного треугольника LOA :
м ;
;
.

Сила направлена по диагонали прямоугольного параллелепипеда. Она имеет следующие проекции на оси координат:
.
Здесь - направляющие косинусы диагонали AQ :
м ;
;
;
.

Выбираем точки приложения сил. Воспользуемся тем, что их можно перемещать вдоль линий, проведенных через векторы сил. Так, в качестве точки приложения силы можно взять любую точку на прямой TD . Возьмем точку T , поскольку для нее x и z - координаты равны нулю:
.
Аналогичным способом выбираем точки приложения остальных сил.

В результате получаем следующие значения компонентов сил и точек их приложений:
; (точка B );
; (точка Q );
; (точка T );
; (точка O );
; (точка A );
; (точка A );
; (точка A );
; (точка K ).

Составляем уравнения равновесия для сил. Суммы проекций сил на оси координат равны нулю.

;

;

.

Находим проекции моментов сил на оси координат.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;

Составляем уравнения равновесия для моментов сил. Суммы моментов сил относительно осей координат равны нулю.


;


;


;

Итак, мы получили следующую систему уравнений:
(П1) ;
(П2) ;
(П3) ;
(П4) ;
(П5) ;
(П6) .

В этой системе шесть уравнений и шесть неизвестных. Далее сюда можно подставить численные значения и получить решение системы, используя математическую программу вычисления системы линейных уравнений.

Но, для этой задачи, можно получить решение без использования средств вычислительной техники.

Эффективный способ решения задачи

Мы воспользуемся тем, что уравнения равновесия можно составлять не единственным способом. Можно произвольным образом выбирать систему координат и оси, относительно которых вычисляются моменты. Иногда, за счет выбора осей, можно получить уравнения, которые решаются более просто.

Воспользуемся тем, что, в равновесии, сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю . Возьмем ось AD . Сумма моментов сил относительно этой оси равна нулю:
(П7) .
Далее заметим, что все силы, кроме пересекают эту ось. Поэтому их моменты равны нулю. Не пересекает ось AD только одна сила . Она также не параллельна этой оси. Поэтому, чтобы выполнялось уравнение (П7), сила N 1 должна равняться нулю:
N 1 = 0 .

Теперь возьмем ось AQ . Сумма моментов сил относительно нее равна нулю:
(П8) .
Эту ось пересекают все силы, кроме . Поскольку сила не параллельна этой оси, то для выполнения уравнения (П8) необходимо, чтобы
N 3 = 0 .

Теперь возьмем ось AB . Сумма моментов сил относительно нее равна нулю:
(П9) .
Эту ось пересекают все силы, кроме , и . Но N 3 = 0 . Поэтому
.
Момент от силы относительно оси равен произведению плеча силы на величину проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси. Плечо равно минимальному расстоянию между осью и прямой, проведенной через вектор силы. Если закручивание происходит в положительном направлении, то момент положителен. Если в отрицательном - то отрицательный. Тогда
.
Отсюда
kН .

Остальные силы найдем из уравнений (П1), (П2) и (П3). Из уравнения (П2):
N 6 = 0 .
Из уравнений (П1) и (П3):
kН ;
kН

Таким образом, решая задачу вторым способом, мы использовали следующие уравнения равновесия:
;
;
;
;
;
.
В результате мы избежали громоздких расчетов, связанных с вычислениями моментов сил относительно осей координат и получили линейную систему уравнений с диагональной матрицей коэффициентов, которая сразу разрешилась.

N 1 = 0 ; N 2 = 14,0 kН ; N 3 = 0 ; N 4 = -2,3 kН ; N 5 = 38,6 kН ; N 6 = 0 ;

Знак минус указывает на то, что сила N 4 направлена в сторону, противоположную той, которая указана на рисунке.