Uzaydaki bir nokta, onun projeksiyonlarından herhangi ikisi tarafından belirlenir. Verilen iki projeksiyona dayanarak üçüncü bir projeksiyon oluşturmak gerekiyorsa, bir noktadan projeksiyon düzlemine olan mesafeleri belirlerken elde edilen projeksiyon iletişim hatlarının bölümlerinin yazışmalarını kullanmak gerekir (bkz. Şekil 2.27 ve Şekil 2.28). .

Birinci oktanttaki problemlerin çözümüne örnekler

A 1 verildiğinde; bir 2	A 3 Oluştur
A 2 verildiğinde; bir 3	A 1 Yapısı
A 1 verildiğinde; bir 3	A 2 Oluştur

A noktasını oluşturmak için algoritmayı ele alalım (Tablo 2.5)

Tablo 2.5

A noktasını oluşturmak için algoritma
verilen koordinatlarda A ( X = 5, sen = 20, z = -9)

Sonraki bölümlerde görüntüleri ele alacağız: yalnızca ilk çeyrekteki düz çizgiler ve düzlemler. Her ne kadar dikkate alınan tüm yöntemler herhangi bir çeyrekte uygulanabilir.

sonuçlar

Böylece, G. Monge'nin teorisine dayanarak, bir görüntünün (noktanın) uzamsal görüntüsünü düzlemsel bir görüntüye dönüştürmek mümkündür.

Bu teori aşağıdaki hükümlere dayanmaktadır:

1. Alanın tamamı karşılıklı olarak dik iki düzlem p 1 ve p 2 kullanılarak 4 çeyreğe veya üçüncü bir karşılıklı dik düzlem p 3 eklenerek 8 oktana bölünür.

2. Bu düzlemlerdeki uzamsal görüntünün görüntüsü dikdörtgen (dik) bir projeksiyon kullanılarak elde edilir.

3. Uzamsal bir görüntüyü düzlemsel bir görüntüye dönüştürmek için, p 2 düzleminin sabit olduğu ve p 1 düzleminin eksen etrafında döndüğü varsayılır. X böylece pozitif yarı düzlem p1, negatif yarı düzlem p2 ile, negatif kısım p1 - pozitif kısım p2 ile birleştirilir.

4. p 3 düzlemi eksen etrafında döner z(düzlemlerin kesişme çizgisi) p 2 düzlemiyle aynı hizaya gelene kadar (bkz. Şekil 2.31).

Görüntülerin dikdörtgen izdüşümü ile p 1, p 2 ve p 3 düzlemlerinde elde edilen görüntülere projeksiyon denir.

P 1, p 2 ve p 3 düzlemleri, üzerlerinde gösterilen çıkıntılarla birlikte düzlemsel karmaşık bir çizim veya diyagram oluşturur.

Görüntünün izdüşümlerini eksenlere bağlayan çizgiler X, sen, z, projeksiyon iletişim hatları olarak adlandırılır.

Uzaydaki görüntüleri daha doğru bir şekilde belirlemek için, p 1, p 2, p 3 karşılıklı üç dik düzlemden oluşan bir sistem kullanılabilir.

Sorunun durumuna göre görüntü için p 1, p 2 veya p 1, p 2, p 3 sistemini seçebilirsiniz.

P 1 , p 2 , p 3 düzlemleri sistemi Kartezyen koordinat sistemine bağlanabilir, bu da nesneleri yalnızca grafiksel veya (sözlü olarak) değil aynı zamanda analitik olarak (sayıları kullanarak) tanımlamayı mümkün kılar.

Görüntüleri, özellikle noktaları tasvir etmenin bu yöntemi, aşağıdaki gibi konumsal sorunları çözmeyi mümkün kılar:

• noktanın projeksiyon düzlemlerine göre konumu (genel konum, düzleme ait, eksen);
• noktanın çeyreklerdeki konumu (noktanın bulunduğu çeyrekte);
• noktaların birbirine göre konumu (projeksiyon düzlemlerine ve izleyiciye göre daha yüksek, daha düşük, daha yakın, daha uzak);
• noktanın projeksiyonlarının projeksiyon düzlemlerine göre konumu (eşit uzaklık, daha yakın, daha uzak).

Metrik görevler:

• projeksiyonun projeksiyon düzlemlerinden eşit uzaklığı;
• projeksiyon düzlemlerinden projeksiyon mesafesinin oranı (2–3 kat, daha fazla, daha az);
• bir noktanın projeksiyon düzlemlerinden uzaklığının belirlenmesi (bir koordinat sistemi tanıtılırken).

Kendini Düşünme Soruları

1. Düzlemlerin eksen olduğu kesişim çizgisi z?

2. Düzlemlerin eksen olduğu kesişim çizgisi sen?

3. Bir noktanın önden ve profilden izdüşümü arasındaki izdüşüm bağlantı çizgisi nasıl konumlandırılır? Göstermek.

4. Bir noktanın projeksiyonunun konumunu hangi koordinatlar belirler: yatay, ön, profil?

5. F (10; –40; –20) noktası hangi çeyrekte yer almaktadır? F noktası hangi projeksiyon düzleminden en uzaktadır?

6. Hangi çıkıntının hangi eksene olan uzaklığı bir noktanın p 1 düzlemine olan uzaklığını belirler? Bu mesafe noktanın hangi koordinatıdır?

Uzaydaki bir noktanın konumu, yatay ve önden, önden ve profil gibi iki dik projeksiyonuyla belirlenebilir. Herhangi iki ortogonal projeksiyonun birleşimi, bir noktanın tüm koordinatlarının değerini bulmanızı, üçüncü bir projeksiyon oluşturmanızı ve bulunduğu oktant'ı belirlemenizi sağlar. Tanımlayıcı geometri dersindeki birkaç tipik probleme bakalım.

A ve B noktalarının belirli bir karmaşık çizimi için gereklidir:

Öncelikle A noktasının A(x,y,z) şeklinde yazılabilen koordinatlarını belirleyelim. A noktası - A" noktasının x, y koordinatlarına sahip yatay izdüşümü. A" noktasından x, y eksenlerine dikler çizelim ve sırasıyla A x, A y'yi bulalım. A noktasının x koordinatı, artı işaretli A x O bölümünün uzunluğuna eşittir, çünkü A x, x ekseninin pozitif değerleri bölgesinde yer alır. Çizimin ölçeğini dikkate alarak x = 10'u buluyoruz. Y koordinatı, eksi işaretli A y O bölümünün uzunluğuna eşittir, çünkü t. A y, negatif değerlerin bölgesinde yer alır. y ekseni. Çizimin ölçeği dikkate alındığında y = –30. A noktasının - A"" noktasının önden izdüşümünün koordinatları x ve z'dir. A"" noktasından z eksenine dikmeyi bırakalım ve A z'yi bulalım. A noktasının z koordinatı, eksi işaretli A z O segmentinin uzunluğuna eşittir, çünkü A z, z ekseninin negatif değerleri bölgesinde yer alır. Çizim ölçeği dikkate alındığında z = –10. Böylece A noktasının koordinatları (10, –30, –10) olur.

B noktasının koordinatları B(x, y, z) şeklinde yazılabilir. B noktasının - B" noktasının yatay izdüşümünü düşünün. X ekseni üzerinde yer aldığından B x = B" ve koordinat B y = 0 olur. B noktasının apsis x'i, B x parçasının uzunluğuna eşittir. O artı işaretli. Çizim ölçeği dikkate alındığında x = 30. B noktasının ön izdüşümü t'dir ve B˝ x, z koordinatlarına sahiptir. B"" noktasından z eksenine bir dik çizelim ve böylece B z'yi bulalım. B noktasının uygulamalı z'si, B z O bölümünün uzunluğuna eksi işaretli olarak eşittir, çünkü B z, z ekseninin negatif değerleri bölgesinde yer alır. Çizimin ölçeğini dikkate alarak z = –20 değerini belirliyoruz. Yani B'nin koordinatları (30, 0, -20)'dir. Gerekli tüm yapılar aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.

Nokta projeksiyonlarının inşası

P3 düzlemindeki A ve B noktaları aşağıdaki koordinatlara sahiptir: A""" (y, z); B""" (y, z). Bu durumda, A"" ve A""" ortak bir z koordinatına sahip oldukları için z eksenine aynı dik konumda bulunurlar. Benzer şekilde B"" ve B""" de z eksenine ortak bir dik konumda bulunur. A noktasının profil izdüşümünü bulmak için, daha önce bulunan karşılık gelen koordinatın değerini y ekseni boyunca çizeriz. Şekilde bu, A y O yarıçaplı dairesel bir yay kullanılarak yapılır. Bundan sonra, A y'den, A"" noktasından z eksenine geri getirilen dikeyle kesişene kadar bir dik çizin. Bu iki dikmenin kesişme noktası A""" nın konumunu belirler.

B""" noktası z ekseni üzerinde yer alır, çünkü bu noktanın y ordinatı sıfırdır. Bu problemde B noktasının profil izdüşümünü bulmak için yalnızca B""'den z eksenine bir dik çizmeniz gerekir. bu dikmenin z ekseniyle kesişme noktası B """dir.

Noktaların uzaydaki konumunun belirlenmesi

P 1, P 2 ve P 3 projeksiyon düzlemlerinden oluşan mekansal düzeni, oktanların konumunu ve düzeni diyagramlara dönüştürme sırasını görsel olarak hayal ederek, A noktasının III oktanında bulunduğunu doğrudan belirleyebilirsiniz. ve B noktası P2 düzleminde yer almaktadır.

Bu sorunu çözmek için başka bir seçenek de istisnalar yöntemidir. Örneğin A noktasının koordinatları (10, -30, -10)'dur. Pozitif apsis x, noktanın ilk dört oktantta yer aldığına karar vermemizi sağlar. Negatif bir y-ordinatı, noktanın ikinci veya üçüncü oktantta olduğunu gösterir. Son olarak, negatif uygulamalı z, A noktasının üçüncü oktantta bulunduğunu gösterir. Aşağıdaki tablo yukarıdaki mantığı açıkça göstermektedir.

Oktantlar	Koordinat işaretleri
	X	sen	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

B noktasının koordinatları (30, 0, -20). B noktasının ordinatı sıfır olduğundan bu nokta P2 projeksiyon düzleminde yer alır. T.B'nin pozitif apsisi ve negatif uygulaması üçüncü ve dördüncü oktanların sınırında yer aldığını göstermektedir.

P 1, P 2, P 3 düzlemleri sistemindeki noktaların görsel görüntüsünün oluşturulması

Önden izometrik bir projeksiyon kullanarak III oktantın mekansal düzenini oluşturduk. Yüzleri P 1, P 2, P 3 düzlemleri olan ve açısı (-y0x) 45 ° olan dikdörtgen bir üçyüzlüdür. Bu sistemde x, y, z eksenleri boyunca olan bölümler bozulma olmadan doğal boyutta çizilecektir.

A noktasının (10, -30, -10) yatay izdüşümü A ile görsel bir görüntüsünü oluşturmaya başlayalım. Apsis ve ordinat ekseni boyunca karşılık gelen koordinatları çizdikten sonra A x ve A y noktalarını buluruz. sırasıyla A x ve A y'den x ve y eksenlerine yeniden oluşturulan A noktasının konumunu belirler. A'dan z eksenine paralel olarak negatif değerlerine doğru uzunluğu 10 olan AA segmentine doğru uzanarak A noktasının konumunu buluyoruz.

B noktasının (30, 0, -20) görsel görüntüsü benzer şekilde oluşturulmuştur - P2 düzleminde x ve z eksenleri boyunca karşılık gelen koordinatları çizmeniz gerekir. Bx ve Bz'den yeniden oluşturulan dikmelerin kesişimi B noktasının konumunu belirleyecektir.

Bir noktanın koordinat açısı projeksiyonlarının üç düzlemine yansıtılması, görüntüsünün yatay projeksiyon düzlemi olan H düzleminde elde edilmesiyle başlar. Bunu yapmak için, H düzlemine dik olarak A noktasından (Şekil 4.12, a) bir projeksiyon ışını geçirilir.

Şekilde H düzlemine dik olan nokta Oz eksenine paraleldir. Kirişin H düzlemiyle kesişme noktası (a noktası) keyfi olarak seçilir. Aa segmenti, A noktasının H düzleminden hangi mesafede bulunduğunu belirler, böylece A noktasının projeksiyon düzlemlerine göre şekildeki konumunu açıkça gösterir. A noktası, A noktasının H düzlemine dikdörtgen bir izdüşümüdür ve A noktasının yatay izdüşümü olarak adlandırılır (Şekil 4.12, a).

V düzlemindeki A noktasının görüntüsünü elde etmek için (Şekil 4.12,b), V projeksiyonlarının ön düzlemine dik olan A noktasından bir projeksiyon ışını geçirilir. Şekilde V düzlemine dik olan nokta Oy eksenine paraleldir. . H düzleminde, A noktasından V düzlemine olan mesafe, Oy eksenine paralel ve Ox eksenine dik olan aa x parçasıyla temsil edilecektir. Yansıyan ışının ve görüntüsünün aynı anda V düzlemi yönünde gerçekleştirildiğini hayal edersek, ışının görüntüsü Ox eksenini a x noktasında kestiğinde ışın V düzlemini a noktasında kesecektir." Çizim V düzlemindeki a x noktasından, çıkıntı yapan ışın Aa'nın V düzlemindeki görüntüsü olan Ox eksenine dik a noktasından, çıkıntı yapan ışınla kesişme noktasında a noktası elde edilir." A noktası, A noktasının önden izdüşümüdür, yani V düzlemindeki görüntüsüdür.

Profil projeksiyon düzlemindeki A noktasının görüntüsü (Şekil 4.12, c), W düzlemine dik çıkıntı yapan bir ışın kullanılarak oluşturulur.Şekilde W düzlemine dik olan, Ox eksenine paraleldir. A noktasından H düzlemindeki W düzlemine uzanan ışın, Ox eksenine paralel ve Oy eksenine dik bir aa y parçasıyla temsil edilecektir. Oz eksenine paralel ve Oy eksenine dik Oy noktasından, çıkıntı yapan ışın aA'nın bir görüntüsü oluşturulur ve çıkıntı yapan ışınla kesişme noktasında a noktası elde edilir." A noktası", A noktasının profil izdüşümüdür. yani W düzlemindeki A noktasının görüntüsü.

a" noktası, a noktasından (V düzleminde çıkıntı yapan Aa" ışınının görüntüsü) Ox eksenine paralel bir a"a z parçası çizilerek ve a z noktasından Oy'ya paralel bir a"a z parçası çizilerek oluşturulabilir. çıkıntı yapan ışınla kesişene kadar eksen.

Projeksiyon düzlemlerinde A noktasının üç projeksiyonunu aldıktan sonra, koordinat açısı, Şekil 2'de gösterildiği gibi bir düzleme genişletilir. 4.11,b'de, A noktasının ve çıkıntı yapan ışınların izdüşümleri ile A noktası ve çıkıntı yapan Aa, Aa" ve Aa" ışınları kaldırılır. Birleştirilmiş projeksiyon düzlemlerinin kenarları çizilmez, yalnızca Oz, Oy ve Ox, Oy 1 projeksiyon eksenleri çizilir (Şekil 4.13).

Noktanın ortogonal çiziminin analizi, A noktasının uzaydaki konumunu karakterize eden üç mesafenin - Aa", Aa ve Aa" (Şekil 4.12, c), projeksiyon nesnesinin kendisi - A noktası - atılarak belirlenebileceğini göstermektedir, bir koordinat açısında tek bir düzleme dönüştü (Şekil 4.13). a"a z, aa y ve Oa x parçaları karşılık gelen dikdörtgenlerin karşıt kenarları olarak Aa"ya eşittir (Şekil 4.12c ve 4.13). A noktasının profil projeksiyon düzleminden bulunduğu mesafeyi belirlerler. a"a x, a"a y1 ve Oa y parçaları, A noktasından yatay projeksiyon düzlemine olan mesafeyi tanımlayan Aa parçasına eşittir; aa x, a"a z ve Oa y 1 parçaları Aa parçasına eşittir ", A noktasından projeksiyonların ön düzlemine olan mesafeyi tanımlar.

Projeksiyon eksenlerinde bulunan Oa x, Oa y ve Oa z bölümleri, A noktasının X, Y ve Z koordinatlarının boyutlarının grafik bir ifadesidir. Noktanın koordinatları, karşılık gelen harfin indeksi ile gösterilir. . Bu bölümlerin boyutunu ölçerek noktanın uzaydaki konumunu belirleyebilir, yani noktanın koordinatlarını ayarlayabilirsiniz.

Diyagramda a"a x ve aa x bölümleri Ox eksenine dik bir çizgi olarak, a"a z ve a"a z - bölümleri Oz eksenine dik olarak yerleştirilmiştir. Bu çizgilere projeksiyon bağlantı çizgileri denir. projeksiyon eksenleri sırasıyla ax ve a z noktalarında A noktasının yatay izdüşümü ile profil 1'i birleştiren projeksiyon bağlantı çizgisinin a y noktasında "kesildiği" ortaya çıktı.

Aynı noktanın iki projeksiyonu her zaman aynı projeksiyon bağlantı hattı üzerinde, projeksiyonların eksenine dik olarak yerleştirilir.

Uzaydaki bir noktanın konumunu temsil etmek için, onun iki çıkıntısı ve belirli bir başlangıç ​​noktası (O noktası) yeterlidir. 4.14, b bir noktanın iki izdüşümü onun uzaydaki konumunu tamamen belirler.Bu iki izdüşümü kullanarak A noktasının profil izdüşümünü oluşturmak mümkündür.Bu nedenle gelecekte profil izdüşümüne ihtiyaç yoksa diyagramlar iki projeksiyon düzlemi üzerinde inşa edilebilir: V ve H.

Pirinç. 4.14. Pirinç. 4.15.

Bir noktanın çizimini oluşturma ve okumayla ilgili birkaç örneğe bakalım.

Örnek 1. Diyagramda belirtilen J noktasının koordinatlarının iki projeksiyonda belirlenmesi (Şekil 4.14). Üç bölüm ölçülür: OB X bölümü (X koordinatı), b bölümü X b (Y koordinatı) ve b bölümü X b" (Z koordinatı). Koordinatlar şu sırayla yazılır: X, Y ve Z, harften sonra noktanın belirlenmesi, örneğin B20; 30; 15.

Örnek 2. Verilen koordinatlarda bir nokta oluşturma. C noktası C30 koordinatlarıyla verilmiştir; 10; 40. Ox ekseninde (Şekil 4.15), projeksiyon bağlantı çizgisinin projeksiyon ekseniyle kesiştiği cx noktasını bulun. Bunu yapmak için, X koordinatı (boyut 30), orijinden (O noktası) Ox ekseni boyunca çizilir ve x'li bir nokta elde edilir. Bu noktadan Ox eksenine dik bir projeksiyon bağlantı çizgisi çizilir ve Y koordinatı (boyut 10) bu noktadan itibaren döşenir, bir c noktası elde edilir - C noktasının yatay izdüşümüdür. Z koordinatı (boyut 40) şu şekildedir: Projeksiyon bağlantı çizgisi boyunca cx noktasından itibaren yerleştirilen c" noktası elde edilir - C noktasının önden projeksiyonu.

Örnek 3. Verilen projeksiyonları kullanarak bir noktanın profil projeksiyonunun oluşturulması. D noktasının projeksiyonları verilmiştir - d ve d". O noktasından Oz, Oy ve Оу 1 projeksiyon eksenleri çizilir (Şekil 4.16, a). D noktası d" noktasının profil projeksiyonunu oluşturmak için bir projeksiyon bağlantı hattı Oz eksenine dik olarak çizilir ve Oz ekseninin hemen arkasında devam eder. D noktasının profil izdüşümü bu çizgi üzerinde yer alacaktır, d noktasının yatay izdüşümünün bulunduğu Oz ekseninden aynı uzaklıkta olacaktır: Ox ekseninden, yani dd x mesafesinde. d z d" ve dd x bölümleri aynıdır, çünkü aynı mesafeyi tanımlarlar - D noktasından projeksiyonların ön düzlemine olan mesafe. Bu mesafe, D noktasının Y koordinatıdır.

Grafiksel olarak d z d" segmenti, dd x segmentinin yatay projeksiyon düzleminden profil düzlemine aktarılmasıyla oluşturulur. Bunu yapmak için Ox eksenine paralel bir projeksiyon bağlantı çizgisi çizin, Oy ekseni üzerinde bir d y noktası elde edin (Şekil 1). Daha sonra Od y segmentinin boyutunu Oy eksenine 1 aktarın, O noktasından Od y segmentine eşit yarıçaplı bir yay çizerek Oy ekseni 1 ile kesişme noktasına kadar (Şekil 4.16, b) ), dy 1 noktasını elde ederiz. Bu nokta, Şekil 4.16, c'de gösterildiği gibi, d y noktasından Oy eksenine 45° açı yapan düz bir çizgi çizilerek de oluşturulabilir. d y1 noktasından, projeksiyon bağlantı çizgisi Oz eksenine paraleldir ve üzerinde d" noktasını elde eden d"dx segmentine eşit bir parça uzanır.

D x d segmentinin değerinin çıkıntıların profil düzlemine aktarılması, çizimin sabit düz çizgisi kullanılarak yapılabilir (Şekil 4.16, d). Bu durumda, projeksiyon bağlantı çizgisi dd y, Oy 1 eksenine paralel noktanın yatay izdüşümünden sabit bir düz çizgi ile kesişinceye kadar ve ardından izdüşümün devamı ile kesişene kadar Oy eksenine paralel olarak çizilir. bağlantı hattı d"d z.

Noktaların projeksiyon düzlemlerine göre konumunun özel durumları

Bir noktanın projeksiyon düzlemine göre konumu, ilgili koordinatla, yani projeksiyon bağlantı hattının Ox ekseninden karşılık gelen projeksiyona kadar olan bölümünün boyutuyla belirlenir. İncirde. 4.17 A noktasının Y koordinatı, aa x - A noktasından V düzlemine olan mesafe parçası tarafından belirlenir. A noktasının Z koordinatı, a "a x - A noktasından H düzlemine olan mesafe tarafından belirlenir. koordinatların sıfır olması durumunda nokta projeksiyon düzleminde yer alır Şekil 4.17, projeksiyon düzlemlerine göre noktaların farklı konumlarının örneklerini gösterir.B noktasının Z koordinatı sıfırdır, nokta H düzlemindedir.Önden izdüşümü şöyledir: Ox ekseninde ve bx noktasıyla çakışır C noktasının Y koordinatı sıfırdır, nokta V düzleminde bulunur, yatay izdüşümü c Ox eksenindedir ve cx noktasıyla çakışır.

Bu nedenle, eğer bir nokta izdüşüm düzlemindeyse, o zaman bu noktanın izdüşümlerinden biri izdüşüm ekseni üzerinde yer alır.

İncirde. Şekil 4.17'de D noktasının Z ve Y koordinatları sıfıra eşittir, dolayısıyla D noktası Ox projeksiyon ekseninde yer alır ve iki projeksiyonu çakışır.

Projeksiyon aparatı

Projeksiyon aparatı (Şekil 1) üç projeksiyon düzlemi içerir:

π 1 – yatay projeksiyon düzlemi;

π 2 – projeksiyonların ön düzlemi;

π3– profil projeksiyon düzlemi .

Projeksiyon düzlemleri karşılıklı olarak diktir ( π 1^ π2^ π3) ve bunların kesişim çizgileri eksenleri oluşturur:

Düzlemlerin kesişimi π 1 Ve π2 bir eksen oluşturmak 0X (π 1∩ π2 = 0X);

Düzlemlerin kesişimi π 1 Ve π3 bir eksen oluşturmak 0Y (π 1∩ π3 = 0Y);

Düzlemlerin kesişimi π2 Ve π3 bir eksen oluşturmak 0Z (π2∩ π3 = 0Z).

Eksenlerin kesişme noktası (OX∩OY∩OZ=0) başlangıç ​​noktası (nokta 0) olarak kabul edilir.

Düzlemler ve eksenler birbirine dik olduğundan, böyle bir aparat Kartezyen koordinat sistemine benzer.

Projeksiyon düzlemleri tüm alanı sekiz oktata böler (Şekil 1'de bunlar Romen rakamlarıyla gösterilmiştir). Projeksiyon düzlemleri opak kabul edilir ve izleyici her zaman BEN-th oktant.

Projeksiyon merkezleriyle ortogonal projeksiyon S1, S2 Ve S3 sırasıyla yatay, ön ve profil projeksiyon düzlemleri için.

A.

Projeksiyon merkezlerinden S1, S2 Ve S3 yansıtan ışınlar ortaya çıkıyor ben 1, ben 2 Ve ben 3 A

- 1 A;

- bir 2– bir noktanın önden izdüşümü A;

- bir 3– bir noktanın profil projeksiyonu A.

Uzayda bir nokta koordinatlarıyla tanımlanır A(x,y,z). Puanlar bir x, Evet Ve bir z sırasıyla eksenlerde 0X, 0Y Ve 0Z koordinatları göster x, y Ve z puan A. İncirde. Şekil 1 gerekli tüm gösterimleri verir ve noktalar arasındaki bağlantıları gösterir. A uzay, projeksiyonları ve koordinatları.

Nokta diyagramı

Bir noktanın grafiğini elde etmek için A(Şekil 2), projeksiyon aparatında (Şekil 1) düzlem π 1 1 0X π2. Daha sonra uçak π3 nokta projeksiyonu ile bir 3, eksen etrafında saat yönünün tersine döndürün 0Z düzlemle aynı hizaya gelinceye kadar π2. Düzlem dönüşlerinin yönü π2 Ve π3Şekil 2'de gösterilmiştir. 1 ok. Aynı zamanda düz A 1 A x Ve A 2 A x 0X dik bir 1 bir 2 ve düz çizgiler A 2 A x Ve A 3 Ax Ortak bir eksende yer alacak 0Z dik bir 2 bir 3. Aşağıda bu satırları sırasıyla adlandıracağız dikey Ve yatay iletişim hatları.

Projeksiyon aparatından diyagrama geçerken yansıtılan nesnenin kaybolduğu ancak şekli, geometrik boyutları ve uzaydaki konumu ile ilgili tüm bilgilerin korunduğu unutulmamalıdır.

A(x Bir, y Bir, z Birx Bir, y Bir Ve z bir aşağıdaki sırayla (Şekil 2). Bu diziye nokta diyagramı oluşturma yöntemi denir.

1. Eksenler dik olarak çizilir ÖKÜZ, OY Ve OZ.

2. Eksen üzerinde ÖKÜZ xA puan A ve noktanın konumunu alın bir x.

3. Noktadan bir x eksene dik ÖKÜZ

bir x eksen boyunca OY koordinatın sayısal değeri çizilir ve bir puan A 1 Diyagramda.

bir x eksen boyunca OZ koordinatın sayısal değeri çizilir z bir puan A bir 2 Diyagramda.

6. Noktadan bir 2 eksene paralel ÖKÜZ yatay bir iletişim hattı çizilir. Bu çizgi ile eksenin kesişimi OZ noktanın konumunu verecektir bir z.

7. Bir noktadan yatay bir iletişim hattında bir z eksen boyunca OY koordinatın sayısal değeri çizilir ve bir puan A ve noktanın profil izdüşümünün konumu belirlenir bir 3 Diyagramda.

Noktaların özellikleri

Uzaydaki tüm noktalar özel ve genel konum noktalarına bölünmüştür.

Belirli konumdaki noktalar. Projeksiyon aparatına ait noktalara belirli konumdaki noktalar denir. Bunlar projeksiyon düzlemlerine, eksenlere, orijinlere ve projeksiyon merkezlerine ait noktaları içerir. Belirli konum noktalarının karakteristik özellikleri şunlardır:

Metamatematiksel – bir, iki veya tüm sayısal koordinat değerleri sıfıra ve (veya) sonsuza eşittir;

Diyagramda, bir noktanın iki veya tüm izdüşümleri eksenlerde ve (veya) sonsuzda bulunur.

Genel konum noktaları. Genel konum noktaları, projeksiyon aparatına ait olmayan noktaları içerir. Örneğin nokta A incirde. 1 ve 2.

Genel durumda, bir noktanın koordinatlarının sayısal değerleri, onun projeksiyon düzlemine olan mesafesini karakterize eder: koordinat X uçaktan π3; koordinat sen uçaktan π2; koordinat z uçaktan π 1. Koordinatların sayısal değerlerine ilişkin işaretlerin, noktanın projeksiyon düzlemlerinden uzaklaştığı yönü gösterdiğine dikkat edilmelidir. Bir noktanın koordinatlarının sayısal değerleri için işaretlerin kombinasyonuna bağlı olarak, hangi oktanda olduğuna bağlıdır.

İki Görüntü Yöntemi

Uygulamada tam projeksiyon yönteminin yanı sıra iki görüntü yöntemi de kullanılmaktadır. Bu yöntemin nesnenin üçüncü projeksiyonunu ortadan kaldırması bakımından farklılık gösterir. İki görüntü yönteminin projeksiyon aparatını elde etmek için profil projeksiyon düzlemi, projeksiyon merkezi ile birlikte tam projeksiyon aparatının dışında bırakılır (Şekil 3). Üstelik eksen üzerinde 0X bir referans noktası atanır (nokta 0 ) ve ondan eksene dik 0X projeksiyon düzlemlerinde π 1 Ve π2 eksen çizme 0Y Ve 0Z sırasıyla.

Bu cihazda tüm alan dört çeyreğe bölünmüştür. İncirde. 3 Romen rakamlarıyla gösterilirler.

Projeksiyon düzlemleri opak kabul edilir ve izleyici her zaman BEN-inci çeyrek.

Bir noktayı yansıtma örneğini kullanarak cihazın çalışmasını ele alalım. A.

Projeksiyon merkezlerinden S1 Ve S2 yansıtan ışınlar ortaya çıkıyor ben 1 Ve ben 2. Bu ışınlar noktadan geçer A ve projeksiyon düzlemleriyle kesişerek projeksiyonları oluşturulur:

- 1– bir noktanın yatay izdüşümü A;

- bir 2– bir noktanın önden izdüşümü A.

Bir noktanın grafiğini elde etmek için A(Şekil 4), projeksiyon aparatında (Şekil 3) düzlem π 1 noktanın ortaya çıkan projeksiyonu ile 1 bir eksen etrafında saat yönünde döndürme 0X düzlemle aynı hizaya gelinceye kadar π2. Düzlemin dönüş yönü π 1Şekil 2'de gösterilmiştir. 3 ok. Bu durumda iki görüntü yöntemiyle elde edilen bir noktanın diyagramında yalnızca bir tane kalır dikey iletişim hattı bir 1 bir 2.

Pratikte bir noktayı çizmek A(x Bir, y Bir, z Bir) koordinatlarının sayısal değerlerine göre gerçekleştirilir x Bir, y Bir Ve z bir aşağıdaki sırayla (Şekil 4).

1. Eksen çizilir ÖKÜZ ve bir referans noktası atanır (nokta 0 ).

2. Eksen üzerinde ÖKÜZ koordinatın sayısal değeri çizilir xA puan A ve noktanın konumunu alın bir x.

3. Noktadan bir x eksene dik ÖKÜZ dikey bir iletişim hattı çizilir.

4. Bir noktadan dikey bir iletişim hattında bir x eksen boyunca OY koordinatın sayısal değeri çizilir ve bir puan A ve noktanın yatay izdüşümünün konumu belirlenir 1 OYçizilmez ancak pozitif değerlerinin eksenin altında olduğu varsayılır ÖKÜZ ve negatif olanlar daha yüksektir.

5. Bir noktadan dikey iletişim hattında bir x eksen boyunca OZ koordinatın sayısal değeri çizilir z bir puan A ve noktanın önden projeksiyonunun konumu belirlenir bir 2 Diyagramda. Diyagramda eksenin olduğuna dikkat edilmelidir. OZçizilmez ancak pozitif değerlerinin eksenin üzerinde olduğu varsayılır ÖKÜZ ve negatif olanlar daha düşüktür.

Rekabet noktaları

Aynı çıkıntı yapan kiriş üzerindeki noktalara rakip noktalar denir. Çıkıntılı ışın yönünde, onlar için ortak bir çıkıntı vardır, yani. projeksiyonları aynıdır. Diyagramdaki rekabet eden noktaların karakteristik bir özelliği, aynı isimdeki izdüşümlerinin aynı tesadüf olmasıdır. Rekabet, bu projeksiyonların gözlemciye göre görünürlüğünde yatmaktadır. Başka bir deyişle, uzayda gözlemci için noktalardan biri görünür, diğeri görünmez. Ve buna göre çizimde: rakip noktaların izdüşümlerinden biri görünür, diğer noktanın izdüşümü görünmez.

İki rakip noktadan uzaysal projeksiyon modelinde (Şekil 5) A Ve İÇİNDE görünür nokta A Birbirini tamamlayan iki özelliğe göre. Zincire bakılırsa S 1 →A→B nokta A gözlemciye noktadan daha yakın İÇİNDE. Ve buna göre projeksiyon düzleminden uzakta π 1(onlar. z bir > z bir).

Pirinç. 5 Şekil.6

Noktanın kendisi görünüyorsa A, bu durumda projeksiyonu da görülebilir 1. Onunla örtüşen projeksiyonla ilgili olarak B1. Açıklık sağlamak ve gerekirse diyagramda noktaların görünmez izdüşümleri genellikle parantez içine alınır.

Model üzerindeki noktaları kaldıralım A Ve İÇİNDE. Uçaktaki çakışan projeksiyonları kalacak π 1 ve ayrı projeksiyonlar – açık π2. Koşullu olarak projeksiyonun merkezinde bulunan gözlemcinin (⇩) ön projeksiyonunu bırakalım S1. Daha sonra görüntü zinciri boyunca ⇩ → bir 2 → B2 buna karar vermek mümkün olacak z bir > z B ve noktanın kendisi görünür A ve onun projeksiyonu 1.

Benzer şekilde birbiriyle yarışan noktaları da ele alalım İLE Ve Dπ 2 düzlemine göre görünüşte. Bu noktaların ortak çıkıntılı ışınından dolayı ben 2 eksene paralel 0Y, ardından yarışan noktaların görünürlüğünün bir işareti İLE Ve D eşitsizlikle belirlenir y C > y D. Bu nedenle o nokta D bir nokta kadar kapalı İLE ve buna göre noktanın projeksiyonu 2 noktanın projeksiyonu kapsamında olacaktır C2 uçakta π2.

Karmaşık bir çizimde rakip noktaların görünürlüğünün nasıl belirlendiğini düşünelim (Şekil 6).

Rastlantısal tahminlere bakılırsa 1≡1'DE noktaların kendileri A Ve İÇİNDE eksene paralel çıkıntı yapan bir kiriş üzerindedir 0Z. Bu, koordinatların karşılaştırılabileceği anlamına gelir z bir Ve z B bu noktalar. Bunu yapmak için, noktaların ayrı görüntülerini içeren ön projeksiyon düzlemini kullanıyoruz. Bu durumda z bir > z B. Bundan projeksiyonun görülebildiği sonucu çıkıyor 1.

Puanlar C Ve D söz konusu karmaşık çizimde (Şekil 6) de aynı çıkıntılı kiriş üzerindedir, ancak yalnızca eksene paraleldir 0Y. Bu nedenle karşılaştırmadan y C > y D C2 projeksiyonunun görünür olduğu sonucuna varıyoruz.

Genel kural. Rakip noktaların projeksiyonlarının eşleşmesi için görünürlük, bu noktaların koordinatlarının ortak bir projeksiyon ışınının yönünde karşılaştırılmasıyla belirlenir. Koordinatı büyük olan noktanın izdüşümü görülebilir. Bu durumda koordinatlar projeksiyon düzleminde noktaların ayrı görüntüleri ile karşılaştırılır.

BİR NOKTANIN PROJEKSİYONLARI.

İKİ PROJEKSİYON DÜZLEMİNDEN OLUŞAN ORTOGONAL SİSTEM.

Ortogonal projeksiyon yönteminin özü, bir nesnenin, bu düzlemlere dik (dik) ışınlar tarafından karşılıklı olarak iki dik düzlem üzerine yansıtılmasıdır.

Projeksiyon düzlemlerinden biri H yatay olarak, ikinci V ise dikey olarak yerleştirilmiştir. H düzlemine projeksiyonların yatay düzlemi, V'ye ön düzlem denir. H ve V düzlemleri sonsuz ve opaktır. Projeksiyon düzlemlerinin kesişme çizgisine koordinat ekseni adı verilir ve ÖKÜZ. Projeksiyon düzlemleri uzayı dört dihedral açıya (dörde) böler.

Ortogonal projeksiyonlar göz önüne alındığında, gözlemcinin ilk çeyrekte projeksiyon düzlemlerinden sonsuz büyük bir mesafede olduğu varsayılmaktadır. Bu düzlemler opak olduğu için gözlemci yalnızca aynı ilk çeyrekte yer alan noktaları, çizgileri ve şekilleri görebilecek.

Projeksiyonları oluştururken şunu hatırlamak gerekir: bir noktanın dik izdüşümüBelirli bir noktadan çizilen dikmenin tabanına düzlem denirbu uçağa.

Şekil bir noktayı göstermektedir A ve dik projeksiyonları 1 Ve bir 2.

Tam durak 1 isminde yatay projeksiyon puan A, nokta bir 2- o ön projeksiyon. Her biri bir noktadan çizilen bir dikmenin tabanıdır A sırasıyla uçakta H Ve V.

Kanıtlanabilir ki nokta projeksiyonuher zaman düz çizgiler üzerinde, dik olarak bulunureksen ekseniAH ve bu eksenle kesişenaynı noktada. Aslında ışınları yansıtan A1 Ve Abir 2 projeksiyon düzlemlerine dik bir düzlemi ve bunların kesişme çizgisini (eksen) tanımlayın AH. Bu düzlem kesişiyor H Ve V düz çizgiler halinde bir 1 birX Ve bir 1 birX, eksen ile hangi form ÖKÜZ ve bu noktada tepe noktasıyla birbirlerine dik açılarda AX.

Bunun tersi de doğrudur; projeksiyon düzlemlerinde noktalar verilmişseA 1 Ve A 2 , kesişen düz çizgiler üzerinde bulunur eksen ÖKÜZbelirli bir noktada dik açıda,o zaman bunlar bazılarının projeksiyonlarıdırA noktası. Bu nokta, noktalardan oluşturulan dikmelerin kesişimiyle belirlenir. A 1 Ve A 2 uçaklara H Ve V.

Projeksiyon düzlemlerinin uzaydaki konumunun farklı olabileceğini unutmayın. Örneğin, karşılıklı olarak dik olan her iki düzlem de dikey olabilir, ancak bu durumda bile, noktaların zıt çıkıntılarının eksene göre yönelimine ilişkin yukarıda kanıtlanmış varsayım geçerli kalır.

Yukarıdaki çıkıntılardan oluşan düz bir çizim elde etmek için düzlem H bir eksen etrafında dönme ile birleştirilir ÖKÜZ uçakla Vşekilde oklarla gösterildiği gibi. Sonuç olarak ön yarım düzlem H alt yarım düzlemle hizalanacak V ve arka yarım düzlem H- üst yarım düzlemli V.

Üzerinde gösterilen her şeyin yer aldığı projeksiyon düzlemlerinin belirli bir şekilde birbirleriyle birleştirildiği projeksiyon çizimine denir. diyagram(Fransızca epure'den - çizim). Şekil bir noktanın diyagramını göstermektedir A.

Uçakları birleştirmenin bu yöntemiyle H Ve V projeksiyonlar A 1 Ve A 2 eksene aynı dik konumda yer alacaktır ÖKÜZ. Bu durumda mesafe A 1 bir x — bir noktanın eksene yatay izdüşümünden ÖKÜZ A uçağa V ve mesafe A 2 bir x — bir noktanın önden projeksiyonundan eksene ÖKÜZ noktanın kendisine olan uzaklığa eşit A uçağa H.

Diyagramdaki bir noktanın zıt izdüşümlerini birleştiren düz çizgiler olarak adlandırmayı kabul edelim. projeksiyon iletişim hatları.

Diyagramdaki noktaların izdüşümlerinin konumu, verilen noktanın hangi çeyrekte bulunduğuna bağlıdır. Yani, eğer nokta İÇİNDE ikinci çeyrekte yer alırsa, düzlemler birleştirildikten sonra her iki çıkıntı da eksenin üzerinde yer alacak gibi görünecektir ÖKÜZ.

Eğer nokta İLEüçüncü çeyrekte ise, düzlemleri birleştirdikten sonra yatay projeksiyonu eksenin üzerinde ve ön projeksiyonu eksenin altında olacaktır. ÖKÜZ. Son olarak eğer nokta D dördüncü çeyrekte yer alıyorsa, her iki projeksiyonu da eksenin altında olacak ÖKÜZ. Şekil noktaları göstermektedir M Ve N, projeksiyon düzlemlerinin üzerinde yatıyor. Bu konumda nokta, çıkıntılarından biriyle çakışır, diğer çıkıntısı ise eksen üzerinde yer alır. ÖKÜZ. Bu özellik aynı zamanda atamaya da yansır: noktanın çakıştığı projeksiyonun yakınında indeks olmadan büyük harf yazılır.

Ayrıca bir noktanın iki projeksiyonunun çakıştığı da belirtilmelidir. Bu, noktanın ikinci veya dördüncü çeyrekte projeksiyon düzlemlerinden aynı mesafede olması durumunda gerçekleşecektir. İkincisi eksende bulunuyorsa, her iki projeksiyon da noktanın kendisi ile birleştirilir ÖKÜZ.

ÜÇ DÜZLEMLİ ORTOGONAL SİSTEM.

Yukarıda bir noktanın iki izdüşümünün onun uzaydaki konumunu belirlediği gösterilmiştir. Her şekil veya gövde bir nokta koleksiyonu olduğundan, bir nesnenin iki dik çıkıntısının (harf işaretlerinin varlığında) onun şeklini tamamen belirlediği iddia edilebilir.

Ancak bina yapılarını, makineleri ve çeşitli mühendislik yapılarını tasvir etme uygulamasında ek projeksiyonlar oluşturma ihtiyacı ortaya çıkmaktadır. Bunu yalnızca projeksiyon çizimini daha net ve okunabilir hale getirmek amacıyla yaparlar.

Üç projeksiyon düzleminin modeli şekilde gösterilmiştir. Üçüncü düzlem, dik ve H Ve V, harfle gösterilir K ve denir profil.

Noktaların bu düzlem üzerindeki izdüşümlerine profil adı verilecek ve büyük harflerle veya 3 indeksli rakamlarla gösterilecektir. (AH,BH,Cz, ...1z, 2z, 3 3...).

Çiftler halinde kesişen projeksiyon düzlemleri üç ekseni tanımlar: HAKKINDAX, HAKKINDAe Ve HAKKINDAZ, uzayda O noktasında başlayan dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi olarak düşünülebilir. Şekilde gösterilen işaret sistemi "sağ koordinat sistemine" karşılık gelir.

Üç projeksiyon düzlemi, alanı sekiz üçgen açıya böler - bunlar sözde oktanlar. Oktantların numaralandırılması şekilde verilmiştir.

Düzlemin diyagramını elde etmek için H Ve K düzlemle hizalanıncaya kadar şekilde gösterildiği gibi döndürün V. Dönme sonucunda ön yarım düzlem H alt yarım düzlemle birleştirildiği ortaya çıkıyor V ve arka yarım düzlem H- üst yarım düzlemli V. Bir eksen etrafında 90° döndürüldüğünde HAKKINDAZön yarım düzlem K sağ yarım düzlemle hizalanır V ve arka yarım düzlem K- sol yarım düzlemli V.

Tüm birleştirilmiş projeksiyon düzlemlerinin son görünümü şekilde verilmiştir. Bu çizimde eksenler HAKKINDAX Ve HAKKINDAZ, sabit bir düzlemde yatmak V, yalnızca bir kez tasvir edilmiştir ve eksen HAKKINDAe iki kez gösterildi. Bu, düzlemle birlikte dönme gerçeğiyle açıklanmaktadır. H, eksen HAKKINDAe diyagramda eksenle birleştirilmiştir HAKKINDAZ, ve düzlemle birlikte dönüyoruz K, aynı eksen eksenle aynı hizadadır HAKKINDAX.

Gelecekte, diyagramda eksenleri belirlerken negatif yarı eksenler (— HAKKINDAX, — HAKKINDAe, — HAKKINDAZ) belirtilmeyecektir.

BİR NOKTA VE YARIÇAPI-VEKTÖRÜNÜN ÜÇ KOORDİNATLARI VE ÜÇ izdüşümleri.

Koordinatlar sayılardırbelirlenecek noktayı eşleştirinuzaydaki konumunu değiştirmek veyayüzeyler.

Üç boyutlu uzayda bir noktanın konumu dikdörtgen Kartezyen koordinatlar kullanılarak belirlenir. x, y Ve z.

Koordinat X isminde apsis, en— koordine etmek Ve z — başvur. Apsis X belirli bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi belirler K, koordine y - uçağa V ve başvur z - uçağa H. Bir noktanın koordinatlarını ölçmek için şekilde gösterilen sistemi benimsedikten sonra, sekiz oktanın tamamındaki koordinat işaretlerinin bir tablosunu oluşturacağız. Uzaydaki herhangi bir nokta A, Koordinatlarla verilenler şu şekilde gösterilecektir: A(x, y,z).

Eğer x = 5, y = 4 ve z = 6 ise giriş aşağıdaki formu alacaktır. A(5, 4, 6). Bu nokta A, tüm koordinatları pozitif olan birinci oktanttadır

Nokta koordinatları A aynı zamanda yarıçap vektörünün koordinatlarıdır

OA kökenine gelince. Eğer Ben, J, k- sırasıyla koordinat eksenleri boyunca yönlendirilen birim vektörler x, y,z(resim), ardından

OA =HAKKINDAbir x ben+OAsenJ + OAzk , Nerede OA X, OA U, OA g - vektör koordinatları OA

Noktanın kendisinin ve projeksiyonlarının bir koordinat dikdörtgen paralel uçlu kullanılarak uzaysal bir model (şekil) üzerinde bir görüntüsünün oluşturulması önerilir. Öncelikle noktadan koordinat eksenleri üzerinde HAKKINDA segmentleri karşılık gelen şekilde eşit olarak yerleştirin 5, 4 ve 6 uzunluk birimleri. Bu segmentlerde (HAKKINDAbir x , HAKKINDAbir e , HAKKINDAbir z ), kenarlarda olduğu gibi dikdörtgen bir paralel boru inşa edilmiştir. Orijinin karşısındaki köşe noktası verilen noktayı belirleyecektir. A. Bir noktayı belirlemenin kolay olduğunu görmek kolaydır. Aörneğin paralel yüzün yalnızca üç kenarını oluşturmak yeterlidir HAKKINDAbir x , a x a 1 Ve A 1 A veya HAKKINDAbir e , bir ya bir 1 Ve A 1 A vb. Bu kenarlar, her bir bağlantının uzunluğu noktanın karşılık gelen koordinatı tarafından belirlenen bir koordinat sürekli çizgisi oluşturur.

Bununla birlikte, bir paralel boru oluşturmak yalnızca noktayı belirlemenize izin vermez A, ama aynı zamanda dik projeksiyonlarının üçü de.

Bir noktayı düzleme yansıtan ışınlar H, V, K paralel yüzün bu noktada kesişen üç kenarı A.

Bir noktanın ortogonal izdüşümlerinin her biri A, bir düzlemde yer aldığından yalnızca iki koordinatla belirlenir.

Yani yatay projeksiyon A 1 koordinatlarla belirlenir X Ve sen,ön projeksiyon A 2 — koordinatlar x vez, profil projeksiyonu A 3 — koordinatlar en Ve z. Ancak herhangi iki projeksiyon üç koordinat tarafından belirlenir. Bu nedenle iki projeksiyonlu bir noktayı belirtmek, üç koordinatlı bir noktayı belirtmekle eşdeğerdir.

Tüm projeksiyon düzlemlerinin birleştirildiği diyagramda (şekil) projeksiyonlar A 1 Ve A 2 eksene aynı dik olacak HAKKINDAX, ve projeksiyonlar A 2 Ve A 3 — eksene dik olan birinde OZ.

Tahminlerle ilgili olarak A 1 Ve A 3 , sonra düz çizgilerle bağlanırlar A 1 bir e Ve A 3 bir e , eksene dik HAKKINDAe. Ancak diyagramdaki bu eksen iki konumu kapladığından, segment A 1 bir e bir segmentin devamı olamaz A 3 bir e .

Nokta projeksiyonları oluşturma bir (5, 4, 6) diyagramda verilen koordinatlara göre aşağıdaki sırayla gerçekleştirin: her şeyden önce, apsis ekseninde koordinatların kökeninden bir bölüm çizilir HAKKINDAbir x =x(bizim durumumuzda x =5), daha sonra noktadan bir x eksene dik olarak çizin HAKKINDAX, işaretleri dikkate alarak bölümleri çiziyoruz a x a 1 = y(aldık A 1 ) Ve a x a 2 = z(aldık A 2 ). Noktanın profil projeksiyonunu oluşturmak için kalır A 3 . Noktanın profili ve önden çıkıntıları eksene aynı dik konumda yer alması gerektiğinden OZ , sonra aracılığıyla A 3 doğrudan gerçekleştirmek A 2 bir z ^ OZ.

Son olarak, son soru ortaya çıkıyor: eksenden ne kadar uzakta? HAKKINDAZ 3 mü olmalı?

Paralel yüzlü koordinat göz önüne alındığında (şekle bakın), kenarları bir z bir 3 = Ç bir e = a x a 1 = sen gerekli mesafenin olduğu sonucuna vardık bir z bir 3 eşittir sen.Çizgi segmenti bir z bir 3 y>0 ise OZ ekseninin sağına, y ise soluna yerleştirilir

Noktanın uzaydaki konumu değişmeye başladığında diyagramda ne gibi değişiklikler olacağını görelim.

Mesela bir nokta olsun bir (5, 4, 6) düzleme dik bir doğru üzerinde hareket edecek V. Böyle bir hareketle yalnızca bir koordinat değişecektir sen, bir noktanın bir düzleme olan mesafesini gösteren V. Koordinatlar sabit kalacak x vez , ve bu koordinatlar tarafından belirlenen noktanın izdüşümü, yani. A 2 konumunu değiştirmeyecektir.

Tahminlerle ilgili olarak A 1 Ve A 3 , sonra ilki eksene yaklaşmaya başlayacak HAKKINDAX, ikincisi - eksene HAKKINDAZ. Şekillerde noktanın yeni konumu, atamaya karşılık gelir A 1 (A 1 1 A 2 1 A 3 1 ). Noktanın düzlem üzerinde olduğu anda V(y = 0), üç projeksiyondan ikisi ( A 1 2 Ve A 3 2 ) eksenlerin üzerinde yer alacaktır.

Taşındıktan BEN oktan II nokta uçaktan uzaklaşmaya başlayacak V, koordinat en negatif hale gelecek, mutlak değeri artacaktır. Arka yarı düzlemde yer alan bu noktanın yatay izdüşümü H, diyagramda eksenin üzerinde görünecektir HAKKINDAX, ve arka yarım düzlemde olan profil çıkıntısı K, diyagramda eksenin solunda olacaktır HAKKINDAZ. Her zamanki gibi bir bölüm bir zA 3 3 = y.

Sonraki diyagramlarda koordinat eksenlerinin projeksiyon iletişim hatları ile kesişme noktalarını harflerle göstermeyeceğiz. Bu, çizimi bir dereceye kadar basitleştirecektir.

Gelecekte koordinat eksenleri olmayan diyagramlar ortaya çıkacak. Pratikte nesneleri tasvir ederken yapılan şey budur. yalnızca görüntünün kendisi önemlidirNesnenin konumu, göreceli konumu değilözellikle projeksiyon düzlemleri.

Bu durumda projeksiyon düzlemleri yalnızca paralel ötelemeye (şekil) kadar bir doğrulukla belirlenir. Genellikle nesnenin tüm noktaları düzlemin üzerinde olacak şekilde kendilerine paralel hareket ettirilirler. H ve uçağın önünde V. X 12 ekseninin konumu belirsiz olduğundan, bu durumda diyagramın oluşumunun düzlemlerin koordinat ekseni etrafındaki dönüşüyle ​​ilişkilendirilmesine gerek yoktur. Düzlem diyagramına geçerken H Ve V noktaların zıt projeksiyonları dikey çizgiler üzerinde yer alacak şekilde birleştirilir.

A ve B noktalarının eksensiz diyagramı(çizim) Olumsuzuzaydaki konumlarını belirler,ancak kişinin göreceli yönelimlerini yargılamasına izin verir. Böylece, △x parçası noktanın yer değiştirmesini karakterize eder A noktaya göre İÇİNDE H ve V düzlemlerine paralel bir yönde yani △x noktanın ne kadar uzakta olduğunu gösterir. A noktanın solunda bulunur İÇİNDE. Bir noktanın V düzlemine dik yöndeki bağıl yer değiştirmesi △y parçasıyla, yani noktayla belirlenir. Veörneğimizde gözlemciye noktadan daha yakın İÇİNDE,△y'ye eşit bir mesafeye.

Son olarak, △z segmenti noktanın fazlalığını gösterir A noktanın üstünde İÇİNDE.

Tanımlayıcı geometride bir dersin akssız çalışmasının savunucuları, birçok problemi çözerken koordinat eksenleri olmadan da yapılabileceğine haklı olarak işaret etmektedir. Ancak bunların tamamen terk edilmesi tavsiye edilemez. Tanımlayıcı geometri, geleceğin mühendisini yalnızca çizimlerin yetkin bir şekilde uygulanması için değil, aynı zamanda mekansal statik ve mekanik problemlerinin en az yer kaplamadığı çeşitli teknik problemleri çözmeye hazırlamak için tasarlanmıştır. Ve bunun için şunu veya bu nesneyi Kartezyen koordinat eksenlerine göre yönlendirme yeteneğini geliştirmek gerekir. Bu beceriler aynı zamanda tanımlayıcı geometrinin perspektif ve aksonometri gibi bölümlerini incelerken de gerekli olacaktır. Bu nedenle, bu kitaptaki bazı diyagramlarda koordinat eksenlerinin görüntülerini kaydediyoruz. Bu tür çizimler yalnızca nesnenin şeklini değil aynı zamanda projeksiyon düzlemlerine göre konumunu da belirler.