y=ƒ(x) funksiya x o nuqtaning qaysidir qo‘shnisida aniqlansin, bundan tashqari, x o nuqtaning o‘zi.

Funksiyaning nuqtadagi chegarasining ikkita ekvivalent ta’rifini shakllantiramiz.

Ta'rif 1 ("ketma-ketliklar tilida" yoki Geynega ko'ra).

A soni y \u003d ƒ (x) funktsiyasining chegarasi deb ataladi x 0 (yoki x® x o da), agar argumentning ruxsat etilgan qiymatlarining har qanday ketma-ketligi uchun x n, n ê N (x n ¹) x 0) ƒ(x n), n ê N funksiyaning mos qiymatlari ketma-ketligini x o ga yaqinlashtirish, A soniga yaqinlashadi

Bunday holda, yozing
yoki ƒ(x)->A da x→x o. Funktsiya chegarasining geometrik ma'nosi: x o nuqtasiga etarlicha yaqin bo'lgan barcha x nuqtalar uchun funktsiyaning tegishli qiymatlari A sonidan o'zboshimchalik bilan ozgina farq qilishini anglatadi.

Ta'rif 2 ("e tilida" yoki Koshidan keyin).

A soni funktsiyaning x o nuqtadagi (yoki x→x o da) chegarasi deyiladi, agar har qanday musbat e uchun musbat d soni shunday bo'lsaki, barcha x¹ x o uchun |x-x o |x-x o |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Funktsiya chegarasining geometrik ma'nosi:

agar A nuqtaning har qanday e-qo'shnisi uchun x o nuqtaning shunday d-qo'shnisi bo'lsa, shu d-mahalladan barcha x¹ ho uchun ƒ(x) funksiyaning tegishli qiymatlari e-qo'shnisida yotadi. A nuqtaning. Boshqacha qilib aytganda, y = ƒ(x) funksiya grafigining nuqtalari y=A+ e , y=A-e to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan eni 2e bo‘lgan chiziq ichida yotadi (110-rasmga qarang). . Shubhasiz, d ning qiymati e ni tanlashga bog'liq, shuning uchun d=d(e) ni yozamiz.

<< Пример 16.1

Buni isbotlang

Yechish: Ixtiyoriy e>0 ni oling, d=d(e)>0 ni toping, shunda hamma x uchun |x-3| tengsizlikni qanoatlantiradi.< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

d=e/2 ni olib, barcha x uchun |x-3| tengsizlikni qanoatlantirayotganini ko'ramiz.< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.

<< Пример 16.2

16.2. Bir tomonlama chegaralar

Funksiya chegarasini belgilashda x har qanday usulda x 0 ga intiladi, deb hisoblanadi: x 0 dan kichik (x 0 ning chap tomonida), x o dan katta (x o ning o‘ng tomonida) yoki o‘zgaruvchan x 0 nuqtasi atrofida.

X dan xo argumentiga yaqinlashish usuli funksiya chegarasining qiymatiga sezilarli ta'sir qiladigan holatlar mavjud. Shuning uchun bir tomonlama chegaralar tushunchasi kiritiladi.

A 1 raqami x o nuqtada chap tomonda joylashgan y \u003d ƒ (x) funksiyaning chegarasi deyiladi, agar biron bir e> 0 soni uchun d \u003d d (e)> 0 raqami mavjud bo'lsa, x uchun ê (x 0 -d; x o), tengsizlik |ƒ(x)-A|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>x 0 -0 yoki qisqacha: ƒ (x o- 0) \u003d A 1 (Dirichlet yozuvi) (111-rasmga qarang).

O'ngdagi funktsiya chegarasi xuddi shunday aniqlanadi, biz uni belgilar yordamida yozamiz:

Qisqacha aytganda, o'ngdagi chegara ƒ(x o +0)=A bilan belgilanadi.

Funktsiyaning chap va o'ngdagi chegaralari bir tomonlama chegaralar deyiladi. Shubhasiz, agar mavjud bo'lsa, unda ikkala bir tomonlama chegaralar mavjud va A=A 1 =A 2 .

Qarama-qarshi gap ham to'g'ri: agar ƒ(x 0 -0) va ƒ(x 0 +0) chegaralari mavjud bo'lsa va ular teng bo'lsa, unda chegara mavjud va A \u003d ƒ(x 0 -0).

Agar A 1 ¹ A 2 bo'lsa, unda bu yo'lak mavjud emas.

16.3. Funktsiyaning x ® ∞ da chegarasi

(-∞;∞) oraliqda y=ƒ(x) funksiya aniqlansin. A raqami deyiladi funktsiya chegarasiƒ(x) da x→ ∞ , agar har qanday musbat e soni uchun shunday son M=M()>0 bo'lsa, barcha x uchun |x|>M tengsizlikni |ƒ(x)-A|<ε. Коротко это определение можно записать так:

Ushbu ta'rifning geometrik ma'nosi quyidagicha: "e>0 $ M>0 uchun, xê(-∞; -M) yoki x ê(M; +∞) uchun ƒ() funksiyaning mos qiymatlari. x) A nuqtaning e-qo'shnisiga tushadi, ya'ni grafik nuqtalari y \u003d A + e va y \u003d A-e to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan 2e enli chiziqda yotadi (112-rasmga qarang). ).

16.4. Cheksiz katta funksiya (b.b.f.)

y=ƒ(x) funksiya x→x 0 uchun cheksiz katta deb ataladi, agar M>0 har qanday son uchun d=d(M)>0 bo‘lsa, u barcha x uchun 0 tengsizlikni qanoatlantiradi.<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>M.

Masalan, y=1/(x-2) funksiya b.b.f. x->2 da.

Agar ƒ(x) x→x o tarzida cheksizlikka intiladi va faqat ijobiy qiymatlarni qabul qilsa, u holda yozamiz

agar faqat salbiy qiymatlar bo'lsa, unda

Butun son qatorida berilgan y \u003d ƒ (x) funktsiyasi, cheksiz deb ataladi x→∞ uchun, agar M>0 ixtiyoriy soni uchun shunday N=N(M)>0 son bo‘lsa, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x uchun |ƒ(x)|>M tengsizlik bajariladi. . Qisqa:

Masalan, y=2x b.b.f.ga ega. x→∞ da.

E'tibor bering, agar cheksizlikka moyil bo'lgan x argumenti faqat tabiiy qiymatlarni, ya'ni yukorni qabul qilsa, u holda tegishli b.b.f. cheksiz katta ketma-ketlikka aylanadi. Masalan, v n =n 2 +1, n ê N ketma-ketligi cheksiz katta ketma-ketlikdir. Shubhasiz, har bir b.b.f. bir mahallada x o nuqta bu mahallada chegaralanmagan. Buning aksi to'g'ri emas: cheklanmagan funksiya b.b.f bo'lmasligi mumkin. (Masalan, y=xsinx.)

Biroq, agar x→x 0 uchun limƒ(x)=A bo‘lsa, bu yerda A chekli son bo‘lsa, u holda ƒ(x) funksiya x o nuqtaga yaqin chegaralangan bo‘ladi.

Haqiqatan ham, funktsiya chegarasining ta'rifidan kelib chiqadiki, x → x 0 uchun |ƒ(x)-A|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

Ta'rif 1. Mayli E- cheksiz son. Agar biron bir mahalla to'plamning nuqtalarini o'z ichiga olsa E, nuqtadan farq qiladi A, Bu A chaqirdi marginal belgilash nuqtasi E.

Ta'rif 2. (Genrix Geyne (1821-1881)). Funktsiyaga ruxsat bering
to'plamda aniqlanadi X Va A chaqirdi chegara funktsiyalari
nuqtada (yoki qachon
, agar argument qiymatlarining har qanday ketma-ketligi uchun
, ga yaqinlashish , funktsiya qiymatlarining mos keladigan ketma-ketligi raqamga yaqinlashadi A. Yozing:
.

Misollar. 1) Funktsiya
ga teng chegaraga ega Bilan, raqamlar chizig'ining istalgan nuqtasida.

Darhaqiqat, har qanday nuqta uchun va argument qiymatlarining har qanday ketma-ketligi
, ga yaqinlashish va boshqa raqamlardan iborat , funktsiya qiymatlarining mos keladigan ketma-ketligi shaklga ega
, va biz bilamizki, bu ketma-ketlik ga yaqinlashadi Bilan. Shunung uchun
.

2) Funktsiya uchun

.

Bu aniq, chunki agar
, keyin va
.

3) Dirixle funktsiyasi
hech qanday nuqtada chegarasi yo'q.

Haqiqatan ham, ruxsat bering
Va
, va hammasi ratsional sonlardir. Keyin
Barcha uchun n, Shunung uchun
. Agar
va tamom ular irratsional sonlardir
Barcha uchun n, Shunung uchun
. 2-ta'rifning shartlari qoniqtirilmaganligini ko'ramiz
mavjud emas.

4)
.

Haqiqatan ham, o'zboshimchalik bilan ketma-ketlikni oling
, ga yaqinlashish

soni 2. Keyin . Q.E.D.

Ta'rif 3. (Koshi (1789-1857)). Funktsiyaga ruxsat bering
to'plamda aniqlanadi X Va bu to'plamning chegara nuqtasidir. Raqam A chaqirdi chegara funktsiyalari
nuqtada (yoki qachon
, agar mavjud bo'lsa
bo'ladi
, shunday qilib, argumentning barcha qiymatlari uchun X tengsizlikni qondirish

,

tengsizlik

.

Yozing:
.

Koshining ta'rifi mahallalar yordamida ham berilishi mumkin, agar e'tibor bersangiz, a:

funksiyaga ruxsat bering
to'plamda aniqlanadi X Va bu to'plamning chegara nuqtasidir. Raqam A chegara deb ataladi funktsiyalari
nuqtada , agar mavjud bo'lsa - nuqta qo'shnisi A
teshilgan bor - nuqta qo'shnisi
, shu kabi
.

Ushbu ta'rifni rasm bilan tasvirlash foydalidir.

Misol 5.
.

Haqiqatan ham, olaylik
o'zboshimchalik bilan va toping
, hamma uchun shunday X tengsizlikni qondirish
tengsizlik
. Oxirgi tengsizlik tengsizlikka teng
, shuning uchun biz uni olish uchun etarli ekanligini ko'ramiz
. Da'vo isbotlangan.

adolatli

Teorema 1. Geyne va Koshi bo'yicha funksiya limitining ta'riflari ekvivalentdir.

Isbot. 1) Mayli
Cauchy tomonidan. Xuddi shu son Geynega ko'ra chegara ekanligini isbotlaylik.

Keling, olamiz
o'zboshimchalik bilan. 3-ta'rifga ko'ra, mavjud
, hamma uchun shunday
tengsizlik
. Mayli
shunday ixtiyoriy ketma-ketlikdir
da
. Keyin raqam bor N hamma uchun shunday
tengsizlik
, Shunung uchun
Barcha uchun
, ya'ni.

Geynega ko'ra.

2) Keling
Geynega ko'ra. Keling, buni isbotlaylik
va Koshiga ko'ra.

Buning aksini taxmin qiling, ya'ni. Nima
Cauchy tomonidan. Keyin bor
har qanday uchun shunday
bo'ladi
,
Va
. Ketma-ketlikni ko'rib chiqing
. Belgilanganlar uchun
va har qanday n mavjud

Va
. Bu shuni anglatadiki
, Garchi
, ya'ni. raqam A chegara emas
nuqtada Geynega ko'ra. Biz qarama-qarshilikni qo'lga kiritdik, bu fikrni tasdiqlaydi. Teorema isbotlangan.

Teorema 2 (chegaraning o'ziga xosligi bo'yicha). Agar biror nuqtada funktsiya chegarasi mavjud bo'lsa , keyin u yagona.

Isbot. Agar chegara Geyne ma'nosida aniqlangan bo'lsa, unda uning o'ziga xosligi ketma-ketlik chegarasining yagonaligidan kelib chiqadi. Agar chegara Koshi tomonidan aniqlangan bo'lsa, uning o'ziga xosligi Koshi va Geyn tomonidan chegara ta'riflarining ekvivalentligidan kelib chiqadi. Teorema isbotlangan.

Ketma-ketliklar uchun Koshi mezoniga o'xshab, funktsiya chegarasining mavjudligi uchun Koshi mezoni mavjud. Uni shakllantirishdan oldin biz beramiz

Ta'rif 4. Funktsiya deb aytishadi
nuqtadagi Koshi shartini qanoatlantiradi , agar mavjud bo'lsa
mavjud

, shu kabi
Va
, tengsizlik
.

Teorema 3 (Chekning mavjudligi uchun Koshi mezoni). Funktsiyani bajarish uchun
nuqtada bor edi chekli chegara, bu nuqtada funksiya Koshi shartini qondirishi zarur va etarli.

Isbot.Zaruriyat. Mayli
. Biz buni isbotlashimiz kerak
nuqtada qanoatlantiradi Koshi holati.

Keling, olamiz
o'zboshimchalik bilan va qo'yish
. Cheklov ta'rifi bo'yicha mavjud
, har qanday qiymatlar uchun shunday
tengsizliklarni qondirish
Va
, tengsizliklar
Va
. Keyin

Ehtiyoj isbotlangan.

Adekvatlik. Funktsiyaga ruxsat bering
nuqtada qanoatlantiradi Koshi holati. Uning fikri borligini isbotlash kerak tugatish chegarasi.

Keling, olamiz
o'zboshimchalik bilan. 4-ta'rifga ko'ra, mavjud
, shundayki, tengsizliklardan
,
shunga amal qiladi
- beriladi.

Keling, avval buni har qanday ketma-ketlik uchun ko'rsatamiz
, ga yaqinlashish , ketma-ketlik
funktsiya qiymatlari yaqinlashadi. Haqiqatan ham, agar
, keyin, ketma-ketlik chegarasining ta'rifi tufayli, berilgan uchun
raqam bor N, har qanday uchun shunday

Va
. Chunki
nuqtada Koshi shartini qanoatlantiradi, bizda bor
. Keyin, ketma-ketliklar uchun Koshi mezoniga ko'ra, ketma-ketlik
birlashadi. Keling, bunday ketma-ketliklarning barchasini ko'rsataylik
bir xil chegaraga yaqinlashadi. Buning aksini taxmin qiling, ya'ni. ketma-ketliklar nima
Va
,
,
, shu kabi. Keling, ketma-ketlikni ko'rib chiqaylik. ga yaqinlashishi aniq , shuning uchun, yuqorida aytilganlarga ko'ra, ketma-ketlik yaqinlashadi, bu mumkin emas, chunki pastki ketma-ketliklar
Va
turli chegaralarga ega Va . Olingan qarama-qarshilik shundan dalolat beradi =. Shuning uchun, Geyne ta'rifiga ko'ra, funktsiya nuqtaga ega tugatish chegarasi. Yetarlilik va demak, teorema isbotlangan.

(x) x nuqtada 0 :
,
Agar
1) x nuqtaning shunday teshilgan qo'shnisi bor 0
2) har qanday ketma-ketlik uchun ( x n ), x ga yaqinlashish 0 :
, uning elementlari mahallaga tegishli bo'lgan,
keyingi ketma-ketlik (f(xn)) ga yaqinlashadi:
.

Bu erda x 0 a esa chekli sonlar yoki cheksizlikdagi nuqtalar bo‘lishi mumkin. Mahalla ikki tomonlama yoki bir tomonlama bo'lishi mumkin.

.

Funktsiya chegarasining ikkinchi ta'rifi (Koshi bo'yicha)

a soni f funksiyaning chegarasi deyiladi (x) x nuqtada 0 :
,
Agar
1) x nuqtaning shunday teshilgan qo'shnisi bor 0 funksiya aniqlangan;
2) har qanday musbat son e uchun > 0 d e soni mavjud > 0 , e ga qarab, x nuqtaning teshilgan d e mahallasiga tegishli barcha x uchun 0 :
,
funktsiya qiymatlari f (x) a nuqtaning e - mahallalariga tegishli:
.

nuqta x 0 a esa chekli sonlar yoki cheksizlikdagi nuqtalar bo‘lishi mumkin. Mahalla ham ikki tomonlama, ham bir tomonlama bo'lishi mumkin.

Biz ushbu ta'rifni borliq va universallikning mantiqiy belgilaridan foydalanib yozamiz:
.

Ushbu ta'rifda uchlari bir xil masofada joylashgan mahallalar qo'llaniladi. Ekvivalent ta'rifni nuqtalarning ixtiyoriy qo'shnilari yordamida ham berish mumkin.

O'zboshimchalik bilan qo'shnilar yordamida ta'rif
a soni f funksiyaning chegarasi deyiladi (x) x nuqtada 0 :
,
Agar
1) x nuqtaning shunday teshilgan qo'shnisi bor 0 funksiya aniqlangan;
2) har qanday mahalla U uchun (a) a nuqta x nuqtaning shunday teshilgan qo'shnisi bor 0 , bu x nuqtaning teshilgan qo'shnisiga tegishli barcha x uchun 0 :
,
funktsiya qiymatlari f (x) U mahallasiga tegishli (a) a:
.

Borliq va universallikning mantiqiy belgilaridan foydalanib, bu ta’rifni quyidagicha yozish mumkin:
.

Bir tomonlama va ikki tomonlama chegaralar

Yuqoridagi ta'riflar universaldir, chunki ular har qanday turdagi mahalla uchun ishlatilishi mumkin. Agar biz oxirgi nuqtaning chap qo'l bilan teshilgan qo'shnisidan foydalanganda, biz chap qo'l chegarasining ta'rifini olamiz. Agar biz cheksizlikdagi nuqtaning qo'shniligini qo'shni sifatida ishlatsak, u holda cheksizlikdagi chegara ta'rifini olamiz.

Geynega ko'ra chegarani aniqlash uchun bu ga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlikka qo'shimcha cheklov qo'yilganligini, uning elementlari nuqtaning tegishli teshilgan qo'shnisiga tegishli bo'lishi kerakligini kamaytiradi.

Koshi chegarasini aniqlash uchun har bir holatda nuqta qo'shnisining tegishli ta'riflaridan foydalangan holda ifodalarni va tengsizliklarga aylantirish kerak.
"Nuqtaning qo'shnisi" ga qarang.

a nuqtani funksiyaning chegarasi emasligini aniqlash

Ko'pincha a nuqtasi funktsiyaning chegarasi emasligi shartidan foydalanishga ehtiyoj bor. Keling, yuqoridagi ta'riflarga inkorlar tuzamiz. Ularda biz f funksiyasi deb faraz qilamiz (x) x nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisida aniqlanadi 0 . a va x nuqtalari 0 chekli sonlar ham, cheksiz masofali ham bo'lishi mumkin. Quyida aytilganlarning barchasi ikki tomonlama va bir tomonlama chegaralarga taalluqlidir.

Geynega ko'ra.
Raqam a emas funktsiya chegarasi f (x) x nuqtada 0 : ,
agar shunday ketma-ketlik mavjud bo'lsa ( x n ), x ga yaqinlashish 0 :
,
elementlari mahallaga tegishli bo'lgan,
qanday ketma-ketlik (f(xn)) ga yaqinlashmaydi:
.
.

Koshiga ko'ra.
Raqam a emas funktsiya chegarasi f (x) x nuqtada 0 :
,
agar shunday ijobiy raqam bo'lsa e > 0 , shuning uchun har qanday musbat d soni uchun > 0 , x nuqtaning teshilgan d mahallasiga tegishli x mavjud 0 :
,
funktsiyaning qiymati f (x) a nuqtaning e mahallasiga tegishli emas:
.
.

Albatta, agar a nuqta funksiyaning chegarasi bo'lmasa, bu uning chegarasi bo'lishi mumkin emas degani emas. Ehtimol, chegara bor, lekin u ga teng emas. Funktsiya nuqtaning teshilgan qo'shnisida aniqlangan bo'lishi ham mumkin, lekin chegarasi yo'q.

Funktsiya f(x) = sin(1/x) x → 0 kabi chegarasi yo'q.

Masalan, funktsiya da belgilangan, lekin chegara yo'q. Tasdiqlash uchun biz ketma-ketlikni olamiz. Bir nuqtaga yaqinlashadi 0 : . Chunki, keyin.
Keling, ketma-ketlikni olaylik. Shuningdek, u nuqtaga yaqinlashadi 0 : . Lekin o'shandan beri.
Shunda chegara hech qanday a soniga teng bo'la olmaydi. Darhaqiqat, uchun , qaysi bilan ketma-ketlik bor. Shuning uchun, nolga teng bo'lmagan har qanday raqam chegara emas. Ammo bu ham chegara emas, chunki ketma-ketlik mavjud.

Geyne va Koshi bo'yicha chegara ta'riflarining ekvivalentligi

Teorema
Funksiya chegarasining Geyn va Koshi ta’riflari ekvivalentdir.

Isbot

Isbotda biz funktsiya nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisida (cheklangan yoki cheksizlikda) aniqlangan deb faraz qilamiz. a nuqta ham chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin.

Heine isboti ⇒ Koshi

Birinchi ta'rifga ko'ra (Geyne bo'yicha) funktsiya nuqtada a chegarasiga ega bo'lsin. Ya'ni nuqta qo'shnisiga tegishli bo'lgan va chegaraga ega bo'lgan har qanday ketma-ketlik uchun
(1) ,
ketma-ketlikning chegarasi:
(2) .

Funktsiyaning bir nuqtada Koshi chegarasi borligini ko'rsataylik. Ya'ni, har kim uchun hamma uchun mavjud.

Buning aksini faraz qilaylik. (1) va (2) shartlar bajarilsin, lekin funksiyada Koshi chegarasi yo'q. Ya'ni, shunday mavjudki, har qanday uchun mavjud bo'ladi , shunday qilib
.

ni oling, bu erda n - natural son. Keyin mavjud va
.
Shunday qilib, ga yaqinlashuvchi ketma-ketlikni tuzdik, lekin ketma-ketlikning chegarasi a ga teng emas. Bu teorema shartiga zid keladi.

Birinchi qism isbotlangan.

Koshi isboti ⇒ Geyne

Funktsiya ikkinchi ta'rifga ko'ra (Koshi bo'yicha) nuqtada a chegarasiga ega bo'lsin. Ya'ni, har qanday odam uchun bu mavjud
(3) Barcha uchun .

Funktsiyaning Geynega ko'ra nuqtada a chegarasi borligini ko'rsataylik.
Keling, ixtiyoriy raqamni olaylik. Koshi ta'rifiga ko'ra, raqam mavjud, shuning uchun (3) amal qiladi.

Teshilgan mahallaga tegishli va ga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlikni oling. Konvergent ketma-ketlikning ta'rifiga ko'ra, har qanday kishi uchun shunday mavjud
da .
Keyin (3) dan shunday keladi
da .
Bu har qanday ga tegishli bo'lgani uchun
.

Teorema isbotlangan.

Adabiyotlar:
L.D. Kudryavtsev. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 2003 yil.

Funktsiya chegarasining xususiyatlarini isbotlashda, biz funktsiyalarimiz aniqlangan va isbotlash jarayonida paydo bo'lgan teshilgan mahallalardan avvalgi xatboshiga kirishda ko'rsatilgan xususiyatlardan tashqari, haqiqatan ham hech narsa talab qilinmasligiga ishonch hosil qildik. 2. Bu holat quyidagi matematik ob'ektni ajratib ko'rsatish uchun asos bo'lib xizmat qiladi.

A. Baza; ta'rifi va asosiy misollari

Ta'rif 11. X to'plamning kichik to'plamlaridan iborat B to'plami, agar ikkita shart bajarilsa, X to'plamdagi baza deb ataladi:

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, B to'plamining elementlari bo'sh bo'lmagan to'plamlar bo'lib, ularning istalgan ikkitasining kesishishi bir xil to'plamning qaysidir elementini o'z ichiga oladi.

Keling, tahlilda eng ko'p qo'llaniladigan ba'zi asoslarni ko'rsatamiz.

Agar buning o'rniga ular yozadilar va aytadilarki, x katta qiymatlar o'ngdan yoki tomondan (mos ravishda, chapdan yoki kichikroq qiymatlar tomonidan) a ga intiladi. Qachon o'rniga qisqa rekord qabul qilinadi

Yozuv o'rniga ishlatiladi Bu a degan ma'noni anglatadi; E to‘plamdan a ga intiladi, a dan katta (kam) qoladi.

buning o'rniga ular yozadilar va x ning ortiqcha cheksizlikka (mos ravishda, minus cheksizlikka) moyilligini aytadilar.

Buning o'rniga belgi ishlatiladi

Qachonki biz o'rniga (agar bu tushunmovchilikka olib kelmasa) ketma-ketlik chegarasi nazariyasida odat bo'lganidek, biz yozamiz,

E'tibor bering, barcha sanab o'tilgan asoslar bazaning har qanday ikkita elementining kesishishining o'zi ushbu bazaning elementi bo'lib, faqat bazaning ba'zi elementini o'z ichiga olmaydi. Haqiqiy o'qda berilmagan funktsiyalarni o'rganishda boshqa asoslar bilan uchrashamiz.

Shuni ham ta'kidlaymizki, bu erda ishlatiladigan "baza" atamasi matematikada "filtr asosi" deb ataladigan narsaning qisqacha ifodasidir va quyida keltirilgan bazaviy chegara zamonaviy frantsuzlar tomonidan yaratilgan filtr chegarasi tushunchasini tahlil qilish uchun eng muhim qismdir. matematik A. Kartan

b. Asosiy funktsiya chegarasi

Ta'rif 12. X to'plamdagi funksiya bo'lsin; B - X da asos. Agar A nuqtaning istalgan qo'shnisi uchun tasviri qo'shnilikda joylashgan asos elementi mavjud bo'lsa, son funktsiyaning B asosiga nisbatan chegarasi deyiladi.

Agar A funktsiyaning B asosga nisbatan chegarasi bo'lsa, u holda yozamiz

Mantiqiy simvolizmda baza bo'yicha chegaraning ta'rifini takrorlaymiz:

Raqamli qiymatlarga ega funktsiyalarni ko'rib chiqayotganimiz sababli, ushbu asosiy ta'rifning quyidagi shaklini yodda tutish foydali bo'ladi:

Bu formulada ixtiyoriy V(A) mahallasi o‘rniga biz simmetrik (A nuqtaga nisbatan) qo‘shni (e-mahalla) olamiz. Haqiqiy qiymatli funktsiyalar uchun bu ta'riflarning ekvivalentligi shundan kelib chiqadiki, yuqorida aytib o'tilganidek, nuqtaning har qanday qo'shnisi xuddi shu nuqtaning qandaydir simmetrik qo'shnilarini o'z ichiga oladi (isbotni to'liq bajaring!).

Funksiyaning bazaga nisbatan chegarasining umumiy ta’rifini berdik. Yuqorida tahlilda eng keng tarqalgan asoslarning misollari ko'rib chiqildi. Ushbu asoslarning u yoki bu asoslari paydo bo'lgan aniq bir muammoda umumiy ta'rifni hal qilish va uni ma'lum bir baza uchun yozib olish kerak.

Baza misollarini ko'rib chiqib, biz, xususan, cheksizlik qo'shnisi tushunchasini kiritdik. Agar biz ushbu kontseptsiyadan foydalansak, chegaraning umumiy ta'rifiga muvofiq, quyidagi konventsiyalarni qabul qilish maqsadga muvofiqdir:

yoki, qaysi bir xil,

Odatda, kichik qiymat orqali. Yuqoridagi ta'riflarda bu, albatta, bunday emas. Qabul qilingan konventsiyalarga muvofiq, masalan, biz yozishimiz mumkin

Ixtiyoriy bazaning chegarasi umumiy holatda isbotlangan deb hisoblanishi uchun biz 2-bo'limda maxsus baza uchun isbotlagan chegaralar haqidagi barcha teoremalarga tegishli ta'riflarni berish kerak: nihoyat doimiy, nihoyat chegaralangan va. berilgan funktsiyalar bazasi uchun cheksiz kichik.

Ta'rif 13. Funktsiya B asosda yakuniy doimiy deyiladi, agar bazaning istalgan nuqtasida raqam va shunday element mavjud bo'lsa.

Hozirgi vaqtda kuzatuv va u bilan bog'liq ravishda kiritilgan baza tushunchasining asosiy foydasi shundaki, ular bizni chegaraga o'tishning har bir aniq turi uchun chegara teoremalarini tekshirish va rasmiy isbotlashdan qutqaradi yoki bizning hozirgi terminologiyamizda, har bir muayyan turdagi bazalar uchun

Nihoyat, ixtiyoriy bazis ustidagi chegara tushunchasiga ko‘nikish uchun funksiya chegarasining keyingi xossalarini umumiy shaklda isbotlaymiz.

Bugun biz bir nuqtada chegarani topish uchun yangi muammolarni tanlashni ko'rib chiqamiz. Ko'pincha matematika bo'yicha maktab o'quv dasturining 11-sinfida ko'rib chiqiladigan qiymatlarni almashtirishning oddiy misollaridan boshlaylik.
Keyinchalik, noaniqliklar bilan chegaralarni, noaniqliklarni ochish usullarini, birinchi va ikkinchi muhim chegaralarni qo'llashni va ularning oqibatlarini to'xtatamiz va tahlil qilamiz.
Keltirilgan misollar mavzuni to'liq qamrab olmaydi, lekin ko'plab savollarga oydinlik kiritiladi.

Funktsiyaning nuqtadagi chegarasini toping:

Misol 46. Funksiyaning nuqtadagi chegarasi almashtirish orqali aniqlanadi

Kasrning maxraji nolga aylanmagani uchun maktabning har bir bitiruvchisi bunday masalani hal qila oladi.

47-misol
Yana bir vazifa, aslida 11-sinf uchun.

48-misol. Almashtirish usuli yordamida funksiya chegarasini aniqlaymiz
Bu shartdan kelib chiqadiki, agar o'zgaruvchi cheksizlikka moyil bo'lsa, funksiya chegarasi ikkiga teng.

49-misol. To'g'ridan-to'g'ri almashtirish x=2 nuqtadagi chegaraning yagonalikka (0/0) ega ekanligini ko'rsatadi. Bu shuni anglatadiki, hisoblagich ham, maxraj ham (x-2) ni o'z ichiga oladi.
Biz ko'phadlarni tub ko'paytmalarga ajratishni amalga oshiramiz va keyin kasrni belgilangan koeffitsientga (x-2) kamaytiramiz.
Qolgan kasr chegarasi almashtirish usuli bilan topiladi.

50-misol. Funksiyaning nuqtadagi chegarasi (0/0) tipdagi yagonalikka ega.
Ildizlar yig'indisiga ko'paytirish orqali ildizlardagi farqdan xalos bo'lamiz (qo'shilgan ifoda), biz polinomni kengaytiramiz.
Bundan tashqari, funktsiyani soddalashtirib, biz chegara qiymatini birlikda topamiz.

51-misol. Murakkab limitli masalani ko'rib chiqing.
Hozirgacha irratsionallik konjugat ifodaga ko'paytirish yo'li bilan bartaraf etilgan.
Bu erda, maxrajda biz kub ildizga egamiz, shuning uchun kublar farqi uchun formuladan foydalanishingiz kerak.
Boshqa barcha transformatsiyalar shartdan shartga takrorlanadi.
Biz polinomni tub omillarga ajratamiz,
keyin biz yagonalikni kirituvchi omilga kamaytiramiz (0)
va x=-3 ni almashtirib, nuqtadagi funksiyaning chegarasini topamiz

52-misol. Birinchi ajoyib chegara va uning oqibatlaridan foydalanib, (0/0) shaklning o'ziga xosligini ochib beramiz.
Birinchidan, sinuslar farqini trigonometrik formula bo'yicha yozamiz
sin(7x)-sin(3x)=2sin(2x)cos(5x).
Keyinchalik, biz kasrning soni va maxrajini muhim chegaralarni ta'kidlash uchun zarur bo'lgan iboralar bilan to'ldiramiz.
Biz chegaralar mahsulotiga o'tamiz va har bir omilning joylashishini baholaymiz.

Bu erda biz birinchi ajoyib chegaradan foydalandik:

va uning oqibatlari


bu yerda a va b ixtiyoriy sonlar.

53-misol. O'zgaruvchi nolga moyil bo'lganda noaniqlikni aniqlash uchun biz ikkinchi ajoyib chegaradan foydalanamiz.
Ko'rsatkichni ajratish uchun biz ko'rsatkichni 2-ajoyib chegaraga keltiramiz va chegara o'tishda qolgan hamma narsa eksponent darajasini beradi.


Bu erda biz ikkinchi ajoyib chegaraning natijasini ishlatdik:

Funktsiyaning nuqtadagi chegarasini hisoblang:

54-misol. Funksiyaning nuqtadagi chegarasini topish kerak. Oddiy qiymatlarni almashtirish bizda nolga bo'linish mavjudligini ko'rsatadi.
Uni ochish uchun biz ko'phadlarni oddiy omillarga ajratamiz va yagonalikni kirituvchi omil bo'yicha qisqartirishni amalga oshiramiz (x + 2) .
Biroq, numerator qo'shimcha ravishda (x+2) ni o'z ichiga oladi, ya'ni x=-2 da chegara nolga teng.

55-misol. Bizda kasr funksiyasi bor - numeratorda ildizlarning farqi, maxrajda - log.
To'g'ridan-to'g'ri almashtirish shaklning o'ziga xosligini beradi (0/0) .
O'zgaruvchi minus birga intiladi, ya'ni siz (x+1) shakl xususiyatlarini izlashingiz va undan xalos bo'lishingiz kerak.
Buning uchun ildizlar yig‘indisiga ko‘paytirish yo‘li bilan irratsionallikdan qutulamiz va kvadrat funktsiyani oddiy omillarga ajratamiz.
Barcha qisqartirishlardan so'ng, almashtirish usuli bilan biz nuqtadagi funktsiyaning chegarasini aniqlaymiz

Misol 56. Sublimit funktsiyasining ko'rinishidan birinchi chegara qo'llanilishi kerak degan noto'g'ri xulosaga kelish mumkin, ammo hisob-kitoblar hamma narsa ancha sodda ekanligini ko'rsatdi.
Avval maxrajdagi sinuslar yig‘indisini yozing sin(2x)+sin(6x)=2sin(4x)*cos(2x).
Keyinchalik, tg(2x) ni va qo'sh burchakning sinusini sin(4x)=2sin(2x)cos (2x) bo'yab qo'yamiz.
Biz sinuslarni soddalashtiramiz va almashtirish usuli bilan kasr chegarasini hisoblaymiz

Misol 57. Ikkinchi ajoyib chegaradan foydalanish qobiliyatining vazifasi:
xulosa shuki, siz ko'rsatkichni beradigan qismni tanlashingiz kerak.
Chegaraga o'tishda ko'rsatkichda qoladigan qolgan ko'rsatkich darajasini beradi.


Vazifalarni funktsiyalar va ketma-ketliklar chegaralarida tahlil qilish shu bilan tugamaydi.
Bundan ko'proq 150 tayyor javoblar funktsiyalar chegarasiga qadar, shuning uchun o'rganing va materiallarga havolalarni sinfdoshlar bilan baham ko'ring.