Kuchlarning ixtiyoriy fazoviy sistemasi uchun muvozanat shartlarining analitik yozuvi oltita tenglamalar sistemasidir (5.3).

Mexanik nuqtai nazardan, dastlabki uchta tenglama translatsiyaning yo'qligini, oxirgi uchtasi esa tananing burchakli siljishini belgilaydi. CCC holatida muvozanat shartlari birinchi uchta tenglama tizimi bilan ifodalanadi. Parallel kuchlar tizimida tizim ham uchta tenglamadan iborat bo'ladi: tizim kuchlari yo'naltirilgan o'qga parallel bo'lgan kuchlar proyeksiyalari yig'indisining bir tenglamasi va o'qlarga nisbatan momentlarning ikkita tenglamasi. tizim kuchlarining ta'sir chiziqlariga parallel bo'lmagan.

TANANING OG'IRLIK MARKAZI

Qattiq jismning og'irlik markazi ma'lum bir jismning zarrachalarining tortishish kuchlarining natijaviy ta'sir chizig'i fazoning istalgan joyida o'tadigan nuqtadir.

Og'irlik markazining koordinatalari C nuqta (6.3-rasm) quyidagi formulalar bilan aniqlanishi mumkin:

Aniqki, bo'lim qanchalik nozik bo'lsa, (6.7), (6.8) formulalari bo'yicha hisoblash shunchalik aniq bo'ladi. Biroq, hisob-kitoblarning murakkabligi juda katta bo'lishi mumkin. Muhandislik amaliyotida muntazam shakldagi jismlarning og'irlik markazini aniqlash uchun formulalar qo'llaniladi.

KINEMATIKA

6-MA'RUZA

Kinematika mexanikaning jismlarning harakatini ko'rib chiqadigan bo'limidir

Ularga qo'llaniladigan kuchlarni hisobga olmagan holda ball.

6.1. Nuqtaning harakatini belgilash usullari

Jismlar yoki nuqtalarning harakatini faqat ba'zilariga nisbatan ko'rib chiqish mumkin mos yozuvlar tizimlari - real yoki shartli jism, unga nisbatan boshqa jismlarning holati va harakati aniqlanadi.

Keling, muammolarni hal qilishda eng ko'p ishlatiladigan uchta mos yozuvlar tizimini va ularga mos keladigan nuqta harakatini ko'rsatishning uchta usulini ko'rib chiqaylik. Ularning xarakteristikalari quyidagilarga qisqartiriladi: a) mos yozuvlar tizimining o'zi tavsifi; b) nuqtaning fazodagi o'rnini aniqlash; v) nuqta harakati tenglamalarini belgilash; d) nuqta harakatining kinematik xarakteristikalarini topish mumkin bo'lgan formulalarni o'rnatish.

Vektor usuli

Bu usul, qoida tariqasida, teoremalarni va boshqa nazariy qoidalarni chiqarishda qo'llaniladi. Boshqa usullardan ustunligi uning ixchamligidir. Ushbu usulda markaz mos yozuvlar tizimi sifatida ishlatiladi. HAQIDA uchlik birlik vektorlari bilan - i, j, k (8.1-rasm). Ixtiyoriy nuqtaning fazodagi joylashuvi M tomonidan belgilanadi radius vektori, r. Shunday qilib, nuqtaning harakat tenglamasi M vaqt radius-vektorining yagona qiymatli funktsiyasi bo'ladi, t :

Oxirgi ikkita ta'rifni taqqoslab, nuqtaning traektoriyasi bir vaqtning o'zida uning radius vektorining godografi degan xulosaga kelishimiz mumkin.

Biz kontseptsiyani taqdim etamiz o'rtacha tezlik, V qarang (8.1-rasm):

Va haqiqiy (oniy) tezlik, V:

Yo'nalish V nuqtaning traektoriyasiga tegish bilan mos tushadi (8.1-rasm).

Nuqtaning tezlashishi - bu nuqta tezligining o'zgarishini tavsiflovchi vektor kattalik:

tabiiy yo'l

orasidagi munosabat S va vaqt t , - harakatni aniqlashning tabiiy usulidagi nuqta harakati tenglamasi:

Nuqta tezligi, eksa bo'ylab yo'naltirilgan t , quyidagicha aniqlanadi:

nuqta tezlashishi, A, samolyotda joylashgan nt va tarkibiy qismlarga bo'linishi mumkin:

Ushbu kengayishning jismoniy ma'nosi quyidagicha: tangens komponentining ta'sir chizig'i, da , tezlik vektorining ta'sir chizig'iga to'g'ri keladi, V , va faqat tezlik modulidagi o'zgarishlarni aks ettiradi; tezlashuvning normal komponenti, a n , tezlik vektorining ta'sir chizig'i yo'nalishining o'zgarishini tavsiflaydi. Ularning raqamli qiymatlarini quyidagi formulalar yordamida topish mumkin:

Qayerda

- traektoriyaning ma'lum bir nuqtada egrilik radiusi.

Koordinata usuli

Ushbu usul ko'pincha muammolarni hal qilishda qo'llaniladi. Malumot tizimi o'zaro perpendikulyar o'qlarning uchligidir x , y , z (8.3-rasm). Nuqta pozitsiyasi M uning koordinatalari bilan belgilanadi x M , y M , z M .

Nuqta harakati tenglamalari bu koordinatalarning bir qiymatli funksiyalaridir

va uning moduli:

Kosmosdagi tezlik vektorining yo'nalishini yo'nalish kosinuslari yordamida analitik aniqlash mumkin:

nuqta tezlashishi M uning koordinata o'qlaridagi proyeksiyalari bilan aniqlanishi mumkin:

Kosmosdagi tezlanish vektorining yo'nalishi yo'nalish kosinuslari bilan aniqlanadi.

Yuqorida (6.5, 6-holat) aniqlandi

Sharti bilan; inobatga olgan holda , , formulalarni (6.18) Dekart koordinata o'qlariga proyeksiya qilamiz. Bizda ... bor ixtiyoriy fazoviy kuchlar sistemasi muvozanat tenglamalarining analitik shakli:

(6.19)

Oxirgi uchta tenglama shu nuqtadan oʻtuvchi oʻqdagi nuqtaga nisbatan kuch momentining proyeksiyasi oʻqga nisbatan kuch momentiga teng boʻlganligi sababli sodir boʻladi (formula (6.9)).

Xulosa kuchlarning ixtiyoriy fazoviy tizimi, qattiq jismga qo'llaniladigan, biz tuzishimiz kerak oltita muvozanat tenglamalari(6.19), shuning uchun ushbu tenglamalar yordamida biz aniqlash imkoniyatiga egamiz oltita noma'lum.

Vaziyatni ko'rib chiqing parallel kuchlarning fazoviy tizimi. Biz koordinata tizimini tanlaymiz, shunda eksa Oz kuchlarning ta'sir chiziqlariga parallel edi (6.11-rasm).

Shunday qilib, uchta tenglama qoldi:

Xulosa. Balans muammolarini hal qilishda parallel fazoviy kuchlar tizimi, qattiq jismga qo'llaniladigan, biz tuzishimiz kerak uchta muvozanat tenglamasi va bu tenglamalar yordamida bizda imkoniyat bor uchta noma'lum miqdorni aniqlang.

"Statik" bo'limidagi birinchi ma'ruzada biz borligini bilib oldik olti turdagi kuch tizimlari, bu sizning muhandislik hisob-kitoblaringiz amaliyotida yuzaga kelishi mumkin. Bundan tashqari, juft kuchlarni joylashtirishning ikkita imkoniyati mavjud: kosmosda va tekislikda. Keling, kuchlar va kuchlar juftlari uchun barcha muvozanat tenglamalarini bitta jadvalga keltiramiz (6.2-jadval), uning oxirgi ustunida muvozanat tenglamalari tizimi aniqlashga imkon beradigan noma'lum miqdorlar sonini qayd etamiz.

6.2-jadval - Har xil kuchlar sistemalari uchun muvozanat tenglamalari

	Quvvat tizimining turi	Muvozanat tenglamalari	Belgilangan noma'lumlar soni
	Birlashtiruvchi tekislik
	Parallel tekislik (o'q 0 da)	v. A 0xy
	O'zboshimchalik bilan tekis (0xy tekisligida)	v. A- o'zboshimchalik bilan, tekislikka tegishli 0xy

6.2-jadvalning davomi

6.2-jadvalning davomi

6-mavzu bo'yicha o'z-o'zini nazorat qilish uchun savollar

1. O'qqa nisbatan kuch momenti qanday topiladi?

2. Kuchning nuqtaga nisbatan momenti bilan shu nuqtadan o‘tgan o‘qqa nisbatan bir xil kuch momenti o‘rtasida qanday bog‘liqlik mavjud?

3. Qaysi hollarda o'qqa nisbatan kuch momenti nolga teng? Qachon eng buyuk?

4. Qanday hollarda kuchlar sistemasi natijaga keltiriladi?

5. Kuchlarning fazoviy tizimi qanday holatda berilgan?

- bir juft kuchga;

– dinamik vintgami?

6. Statik invariant deb nimaga aytiladi? Statik invariantlar haqida nimalarni bilasiz?

7. Kuchlarning ixtiyoriy fazoviy sistemasi uchun muvozanat tenglamalarini yozing.

8. Parallel fazoviy kuchlar sistemasi muvozanatining zarur va yetarli shartini tuzing.

9. Qisqartirish markazi o'zgarganda kuchlar tizimining asosiy vektori o'zgaradimi? Va asosiy nuqta?

7-mavzu. FERMALAR. SA'YAT TA'RIFI

HAQIDAR= 0 va M R x= R y= R z = 0 va M x= M y= M

Kuchlarning ixtiyoriy fazoviy tizimi uchun muvozanat shartlari.

Yassi kuchlar kabi ixtiyoriy fazoviy kuchlar tizimini biron bir markazga olib kelish mumkin HAQIDA va bitta natijaviy kuch va juftni moment bilan almashtiring. Bu kuchlar tizimining muvozanati uchun bir vaqtning o'zida zarur va etarli bo'lgan tarzda bahslash. R= 0 va M o \u003d 0. Ammo vektorlar faqat ularning koordinata o'qlaridagi barcha proyeksiyalari nolga teng bo'lganda yo'q bo'lib ketishi mumkin, ya'ni. R x= R y= R z = 0 va M x= M y= M z = 0 yoki ta'sir qiluvchi kuchlar shartlarni qondirganda

Demak, kuchlarning ixtiyoriy fazoviy sistemasining muvozanati uchun barcha kuchlarning uchta koordinata o’qining har biriga proyeksiyalari yig’indisi va ularning bu o’qlarga nisbatan momentlari yig’indisi nolga teng bo’lishi zarur va yetarlidir.

Fazoviy kuchlar tizimi ta'sirida jismning muvozanatiga oid masalalarni yechish tamoyillari.

Ushbu bo'limning muammolarini hal qilish printsipi kuchlarning tekis tizimi bilan bir xil bo'lib qoladi. Qaysi jismning muvozanatini o'rnatgandan so'ng, ular tanaga o'rnatilgan bog'lanishlarni o'zlarining reaktsiyalari bilan almashtiradilar va uni erkin deb hisoblab, ushbu jismning muvozanati uchun shartlarni yaratadilar. Olingan tenglamalardan kerakli miqdorlar aniqlanadi.

Oddiyroq tenglamalar tizimini olish uchun o'qlarni ular ko'proq noma'lum kuchlarni kesishishi yoki ularga perpendikulyar bo'lishi uchun chizish tavsiya etiladi (agar bu boshqa kuchlarning proyeksiyalari va momentlarini hisoblashni keraksiz ravishda qiyinlashtirmasa).

Tenglamalarni shakllantirishning yangi elementi - bu koordinata o'qlariga nisbatan kuchlarning momentlarini hisoblash.

Umumiy chizmadan ma'lum bir o'qqa nisbatan berilgan kuch momenti qanday ekanligini ko'rish qiyin bo'lgan hollarda, yordamchi chizmada ko'rib chiqilayotgan jismning tekislikka proyeksiyasini (kuch bilan birga) tasvirlash tavsiya etiladi. bu o'qga perpendikulyar.

Momentni hisoblashda mos keladigan tekislikdagi yoki ushbu proyeksiyaning elkalarida kuchning proyeksiyasini aniqlashda qiyinchiliklar yuzaga kelgan hollarda, kuchni ikkita o'zaro perpendikulyar komponentga (ulardan biri parallel) ajratish tavsiya etiladi. har qanday koordinata o'qi) va keyin Varignon teoremasidan foydalaning.

5-misol

Ramka AB(45-rasm) sharnir yordamida muvozanatda saqlanadi A va novda Quyosh. Ramkaning chetida og'irlik bor R. Menteşe reaktsiyalarini va novdadagi kuchni aniqlaymiz.

45-rasm

Biz ramkaning muvozanatini yuk bilan birga ko'rib chiqamiz.

Biz hisoblash sxemasini quramiz, ramkani erkin tana sifatida tasvirlaymiz va unga ta'sir qiluvchi barcha kuchlarni ko'rsatamiz: bog'lanish reaktsiyalari va yukning og'irligi. R. Bu kuchlar tekislikda o'zboshimchalik bilan joylashgan kuchlar tizimini tashkil qiladi.

Bunday tenglamalarni har birida bitta noma'lum kuch bo'lishi uchun tuzish maqsadga muvofiqdir.

Bizning muammomizda bu nuqta A, bu erda noma'lumlar va qo'llaniladi; nuqta BILAN, bu erda noma'lum kuchlarning ta'sir chiziqlari va kesishadi; nuqta D- kuchlar ta'sir chiziqlarining kesishish nuqtasi va. O’qga kuchlarning proyeksiyalari tenglamasini tuzamiz da(o'q uchun X loyihalash mumkin emas, chunki u chiziqqa perpendikulyar AC).

Va tenglamalarni yozishdan oldin, biz yana bir foydali izoh beramiz. Agar dizayn sxemasida uning yelkasi oson bo'lmasligi uchun joylashgan kuch mavjud bo'lsa, u holda momentni aniqlashda avval ushbu kuchning vektorini qulayroq yo'naltirilgan ikkiga ajratish tavsiya etiladi. Bu masalada biz kuchni ikkiga ajratamiz: va (37-rasm) ularning modullari

Biz tenglamalarni tuzamiz:

Ikkinchi tenglamadan biz topamiz . Uchinchidan Va birinchidan

Xo'sh, bu qanday bo'ldi S<0, то стержень Quyosh siqiladi.

Bunday kuchlar muvozanatining holati ikkita muvozanat shartiga mos keladi

M = oy= 0, R* = 0.

Asosiy moment modullari Mo va asosiy vektor R* Ko'rib chiqilayotgan tizim formulalar bilan aniqlanadi

Mo= (M x 2 + M y 2 + + M z 2) 1/2 ; R*= (X 2 + Y 2 + Z 2) 1/2.

Ular faqat quyidagi sharoitlarda nolga teng:

M x = 0, M y =0, M z = 0, X=0, Y=0, Z=0,

kosmosda o'zboshimchalik bilan joylashgan kuchlar muvozanatining oltita asosiy tenglamalariga mos keladi

=0; =0;

=0; (5-17)

=0 ; =0.

Chapdagi tizimning uchta tenglamasi (5-17) deyiladi koordinatalar o'qlariga nisbatan kuchlar momentlarining tenglamalari va o'ngda uchtasi - o'qdagi kuchlarning proyeksiyalari tenglamalari.

Bu formulalar yordamida momentlar tenglamasini quyidagicha ifodalash mumkin

å (y i Z i - z i Y i)=0; å(z i X i - x i Z i)=0 ; å(x i Y i - y i X i)=0 .(5-18)

Qayerda x i, y i, z i- P kuchini qo'llash nuqtalarining koordinatalari; Y i , Z i , X i - bu kuchning har qanday yo'nalishga ega bo'lishi mumkin bo'lgan koordinata o'qlariga proyeksiyalari.

Kosmosda o'zboshimchalik bilan joylashgan kuchlar muvozanati uchun oltita tenglamaning boshqa tizimlari ham mavjud.

Kuchlar tizimini natijaviy kuchga keltirish.

Agar kuchlar tizimining asosiy vektori R* nolga teng emas, balki asosiy moment Mo yoki nolga teng yoki asosiy vektorga perpendikulyar yo'naltirilgan bo'lsa, u holda berilgan kuchlar tizimi natijaviy kuchga kamayadi.

2 ta holat mumkin.

1-holat.

Mayli R*¹ 0; Mo = 0 . Bunday holda, kuchlar natijaga olib keladi, uning ta'sir chizig'i qaytarilish markazi O dan o'tadi va kuch R* berilgan kuchlar tizimini almashtiradi, ya'ni. uning natijasidir.

2-chi holat.

R*¹0; Mo¹ 0 va Mo ⊥ R*. (5.15-rasm).

Kuchlar tizimini O markazga keltirgandan so'ng, kuch olinadi R* , bu markazda qo'llaniladigan va kuchlarning asosiy vektoriga teng va momenti bo'lgan bir juft kuch M asosiy momentga teng Mo mos yozuvlar markaziga nisbatan barcha kuchlar va Mo ⊥ R*.

Keling, ushbu juftlikning kuchli tomonlarini tanlaylik R' Va R asosiy vektorga mutlaq qiymatga teng R* , ya'ni. R= R' = R *. Keyin bu juftlikning kaldıracı OK = = ga teng olinishi kerak M O/R * .O nuqta orqali kuchlar juftligi momentiga perpendikulyar I tekislikni o'tkazamiz. M . Quvvat juftligi R' , R bu tekislikda bo'lishi kerak. Keling, bu juftlikni shunday tartibga keltiramizki, juftlik kuchlaridan biri R' O nuqtada qo'llanilgan va kuchga qarama-qarshi yo'naltirilgan R * . I tekislikda O nuqtada kuchning ta'sir chizig'iga perpendikulyarni tiklaymiz R * , va K nuqtada OK = masofada joylashgan M O/R * O nuqtadan biz juftlikning ikkinchi kuchini qo'llaymiz R .

Biz OK segmentini O nuqtadan shunday yo'nalishga qo'yamiz, shunda M moment vektoriga qarab, uning tekisligini soat miliga teskari yo'nalishda aylantirishga moyil bo'lgan juftlikni ko'ramiz. Keyin kuchlar R* Va R' , O nuqtasida qo'llaniladigan, muvozanatli bo'ladi va kuch R K nuqtada qo'llaniladigan juftlik berilgan kuchlar tizimini almashtiradi, ya'ni. uning natijasi bo'ladi. Bu kuchning ta'sir chizig'iga to'g'ri keladigan to'g'ri chiziq natijaviy kuchning ta'sir chizig'idir. Guruch. 5.15 natijaviy kuch o'rtasidagi farqni ko'rsatadi R va kuch R* markazga kuchlarni olib kelish orqali olingan O.

Natija R ma'lum bir harakat chizig'iga ega bo'lgan K nuqtasida qo'llaniladigan kuchlar tizimi berilgan kuchlar tizimiga teng, ya'ni. bu tizimni almashtiradi.

Kuch - bu R* O nuqtada berilgan kuchlar tizimini faqat momentga ega bo'lgan juft kuchlar bilan almashtiradi M = oy .

Kuch R* kuchlar olib kelingan tananing istalgan nuqtasida qo'llanilishi mumkin. Faqatgina asosiy momentning moduli va yo'nalishi nuqtaning holatiga bog'liq Mo .

Varignon teoremasi. Har qanday nuqtaga nisbatan natija momenti tashkil etuvchi kuchlarning shu nuqtaga nisbatan momentlarining geometrik yig'indisiga, har qanday o'qga nisbatan hosil qiluvchi kuchning momenti esa, bu nuqtaga nisbatan kuchlarni tashkil etuvchi momentlarning algebraik yig'indisiga teng. bu o'q.

Kuchlarning ixtiyoriy fazoviy tizimi bilan muvozanat masalalarini yechish usullari ko'rib chiqiladi. Uch o'lchamli fazoda novdalar tomonidan qo'llab-quvvatlanadigan plastinkaning muvozanati masalasini echish misoli keltirilgan. Muvozanat tenglamalarini tuzishda o'qlarni tanlash tufayli masalaning yechimini qanday soddalashtirish mumkinligi ko'rsatilgan.

Tarkib

Kuchlarning ixtiyoriy fazoviy tizimi bilan muvozanat masalalarini yechish tartibi

Kuchlarning ixtiyoriy fazoviy tizimiga ega qattiq jismning muvozanati masalasini hal qilish uchun to'rtburchaklar koordinatalar tizimini tanlash va unga nisbatan muvozanat tenglamalarini tuzish kerak.

Uch o'lchovli fazoda taqsimlangan ixtiyoriy kuchlar tizimi uchun muvozanat tenglamalari ikkita vektor tenglamadir:
jismga ta'sir etuvchi kuchlarning vektor yig'indisi nolga teng
(1) ;
kuchlar momentlarining boshiga nisbatan vektor yig'indisi nolga teng
(2) .

Oxyz bizning tanlagan koordinata sistemamiz bo'lsin. (1) va (2) tenglamalarni ushbu tizim o'qiga proyeksiya qilib, oltita tenglamani olamiz:
xyz o'qidagi kuchlarning proyeksiyalari yig'indisi nolga teng
(1.x) ;
(1.y) ;
(1.z) ;
koordinata o'qlariga nisbatan kuchlarning momentlari yig'indisi nolga teng
(2.x) ;
(2.y) ;
(2.z) .
Bu erda biz tanaga n ta kuch, shu jumladan tayanchlarning reaktsiya kuchlari ta'sir qilishini ko'rib chiqamiz.

Bir nuqtada tanaga komponentlar bilan ixtiyoriy kuch qo'llanilsin. Keyin ushbu kuchning koordinata o'qlariga nisbatan momentlari formulalar bilan aniqlanadi:
(3.x) ;
(3.y) ;
(3.z) .

Shunday qilib, ixtiyoriy fazoviy kuchlar tizimi bilan muvozanat uchun muammoni hal qilish tartibi quyidagicha.

1. Biz tayanchlarni tashlaymiz va ularni reaktsiya kuchlari bilan almashtiramiz. Agar qo'llab-quvvatlash novda yoki ip bo'lsa, u holda reaktsiya kuchi novda yoki ip bo'ylab yo'naltiriladi.
2. Biz to'rtburchaklar koordinata tizimini tanlaymiz Oxyz .
3. Kuch vektorlarining koordinata o'qlaridagi proyeksiyalarini, va ularning qo'llanilishi nuqtalarini topamiz. Kuch qo'llash nuqtasi kuch vektori orqali o'tkaziladigan to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanishi mumkin. Bunday siljishdan momentlarning qiymatlari o'zgarmaydi. Shuning uchun biz kuchlarni qo'llashni hisoblash uchun eng qulay nuqtalarni tanlaymiz.
4. Kuchlar (1.x,y,z) uchun uchta muvozanat tenglamasini tuzamiz.
5. Har bir kuch uchun (3.x,y,z) formulalar bo'yicha kuch momentlarining koordinata o'qlariga proyeksiyalarini topamiz.
6. Kuchlar momentlari (2.x, y, z) uchun uchta muvozanat tenglamasini tuzamiz.
7. Agar o'zgaruvchilar soni tenglamalar sonidan ko'p bo'lsa, muammo statik jihatdan noaniqdir. Buni statik usullar bilan hal qilib bo'lmaydi. Materiallarning qarshiligi usullarini qo'llash kerak.
8. Olingan tenglamalarni yechamiz.

Hisob-kitoblarni soddalashtirish

Ayrim hollarda (2) tenglama o‘rniga ekvivalent muvozanat shartidan foydalanib, hisob-kitoblarni soddalashtirish mumkin.
Ixtiyoriy AA' o'qiga nisbatan kuchlar momentlarining yig'indisi nolga teng.:
(4) .

Ya'ni, siz koordinata o'qlariga to'g'ri kelmaydigan bir nechta qo'shimcha o'qlarni tanlashingiz mumkin. Va bu o'qlar bo'yicha (4) tenglamalar tuzing.

Ixtiyoriy fazoviy kuchlar sistemasining muvozanati muammosini yechish misoli

Plitaning muvozanati, uch o'lchovli fazoda, novdalar tizimi tomonidan saqlanadi.

Uch o'lchamdagi nozik bir xil gorizontal plitani qo'llab-quvvatlovchi novdalarning reaktsiyalarini toping. Rodni biriktirish tizimi rasmda ko'rsatilgan. Plastinkaga quyidagilar ta'sir qiladi: tortishish kuchi G; va AB tomoni bo'ylab yo'naltirilgan A nuqtada qo'llaniladigan P kuch.

Berilgan:
G= 28 kN; P= 35 kN; a = 7,5 m; b= 6,0 m; c= 3,5 m.

Muammoning yechimi

Birinchidan, biz bu muammoni kuchlarning ixtiyoriy fazoviy tizimiga qo'llaniladigan standart usulda hal qilamiz. Va keyin muvozanat tenglamalarini tuzishda o'qlarni tanlash tufayli tizimning o'ziga xos geometriyasiga asoslangan oddiyroq echimga ega bo'lamiz.

Muammoni standart usulda hal qilish

Garchi bu usul bizni ancha og'ir hisob-kitoblarga olib kelsa ham, u kuchlarning ixtiyoriy fazoviy tizimiga taalluqlidir va kompyuter hisoblarida foydalanish mumkin.

Keling, bog'lanishlarni olib tashlaylik va ularni reaktsiya kuchlari bilan almashtiramiz. Bu erda ulanishlar 1-6 rodlardir. Ularning o'rniga biz novdalar bo'ylab yo'naltirilgan kuchlarni kiritamiz. Kuchlarning yo'nalishlari tasodifiy tanlanadi. Agar biz biron bir kuchning yo'nalishini taxmin qilmasak, biz uning uchun salbiy qiymatga ega bo'lamiz.

Koordinatalar sistemasi Oxyz koordinatasini O nuqtada chizing.

Koordinata o'qlari bo'yicha kuchlarning proyeksiyalarini topamiz.

Kuch uchun bizda:
.
Mana a 1 - LQ va BQ orasidagi burchak. LQB to'g'ri burchakli uchburchakdan:
m;
;
.

Kuchlar , va z o'qiga parallel. Ularning tarkibiy qismlari:
;
;
.

Kuch uchun biz quyidagilarni topamiz:
.
Mana a 3 - QT va DT orasidagi burchak. QTD to'g'ri burchakli uchburchakdan:
m;
;
.

Kuch uchun:
.
Mana a 5 - LO va LA orasidagi burchak. LOA to'g'ri burchakli uchburchakdan:
m;
;
.

Kuch to'rtburchaklar parallelepipedning diagonali bo'ylab yo'naltiriladi. U koordinata o'qlari bo'yicha quyidagi proyeksiyalarga ega:
.
AQ diagonalining yo‘nalish kosinuslari:
m;
;
;
.

Biz kuchlarni qo'llash nuqtalarini tanlaymiz. Keling, ular kuch vektorlari orqali chizilgan chiziqlar bo'ylab harakatlanishi mumkinligidan foydalanamiz. Shunday qilib, kuch qo'llash nuqtasi sifatida siz TD chizig'ining istalgan nuqtasini olishingiz mumkin. T nuqtani olaylik, chunki u uchun x va z - koordinatalari nolga teng:
.
Xuddi shunday, biz qolgan kuchlarni qo'llash nuqtalarini tanlaymiz.

Natijada biz kuch komponentlarining quyidagi qiymatlarini va ularni qo'llash nuqtalarini olamiz:
; (B nuqtasi);
; (Q nuqtasi);
; (nuqta T );
; (O nuqta);
; (A nuqta);
; (A nuqta);
; (A nuqta);
; (K nuqta).

Biz kuchlar uchun muvozanat tenglamalarini tuzamiz. Koordinata o'qlaridagi kuchlarning proyeksiyalari yig'indisi nolga teng.

;

;

.

Koordinata o'qlari bo'yicha kuchlar momentlarining proyeksiyalarini topamiz.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;

Biz kuchlar momentlari uchun muvozanat tenglamalarini tuzamiz. Koordinata o'qlariga nisbatan kuchlar momentlarining yig'indisi nolga teng.


;


;


;

Shunday qilib, biz quyidagi tenglamalar tizimini oldik:
(P1) ;
(P2) ;
(P3) ;
(P4) ;
(P5) ;
(L6) .

Ushbu tizim oltita tenglama va oltita noma'lumga ega. Bundan tashqari, bu erda siz raqamli qiymatlarni almashtirishingiz va chiziqli tenglamalar tizimini hisoblash uchun matematik dastur yordamida tizimning echimini olishingiz mumkin.

Ammo, bu muammoni kompyuter texnologiyasidan foydalanmasdan hal qilishingiz mumkin.

Muammoni hal qilishning samarali usuli

Biz muvozanat tenglamalarini bir nechta usulda yozish mumkinligidan foydalanamiz. Siz o'zboshimchalik bilan koordinatalar tizimini va momentlar hisoblangan o'qlarni tanlashingiz mumkin. Ba'zan, o'qlarni tanlash tufayli, oddiyroq echiladigan tenglamalarni olish mumkin.

Keling, bundan foydalanaylik, muvozanatda, har qanday o'qga nisbatan kuchlar momentlarining yig'indisi nolga teng. Keling, AD o'qini olaylik. Ushbu o'qga nisbatan kuchlarning momentlari yig'indisi nolga teng:
(P7) .
Bundan tashqari, barcha kuchlar ushbu o'qdan tashqarida ekanligini unutmang. Shuning uchun ularning momentlari nolga teng. Faqat bitta kuch AD o'qini kesib o'tmaydi. Bundan tashqari, bu o'qga parallel emas. Demak, (A7) tenglama amal qilishi uchun N kuch 1 nol bo'lishi kerak:
N 1 = 0 .

Endi AQ o'qini olaylik. Unga nisbatan kuchlar momentlarining yig'indisi nolga teng:
(P8) .
Bu o'qdan tashqari barcha kuchlar kesib o'tadi. Kuch bu o'qga parallel bo'lmagani uchun (A8) tenglama bajarilishi uchun quyidagilar zarur:
N 3 = 0 .

Endi AB o'qini olaylik. Unga nisbatan kuchlar momentlarining yig'indisi nolga teng:
(P9) .
Bu o'qni va dan tashqari barcha kuchlar kesib o'tadi. Lekin N 3 = 0 . Shunung uchun
.
O'qga nisbatan kuchdan moment kuch qo'li va kuchning o'qga perpendikulyar bo'lgan tekislikdagi proyeksiyasining ko'paytmasiga teng. Yelka o'q va kuch vektori orqali o'tkaziladigan to'g'ri chiziq orasidagi minimal masofaga teng. Agar burilish ijobiy yo'nalishda bo'lsa, u holda moment ijobiy bo'ladi. Agar u salbiy bo'lsa, u salbiy. Keyin
.
Bu yerdan
kN.

Qolgan kuchlarni (P1), (P2) va (P3) tenglamalardan topish mumkin. (P2) tenglamadan:
N 6 = 0 .
(P1) va (P3) tenglamalardan:
kN;
kN

Shunday qilib, masalani ikkinchi usulda hal qilishda biz quyidagi muvozanat tenglamalaridan foydalandik:
;
;
;
;
;
.
Natijada, biz koordinata o'qlariga nisbatan kuchlarning momentlarini hisoblash bilan bog'liq noqulay hisob-kitoblardan qochib qutuldik va koeffitsientlarning diagonal matritsasi bilan chiziqli tenglamalar tizimini oldik, bu darhol hal qilindi.

N 1 = 0 ; N 2 = 14,0 kN; N 3 = 0 ; N 4 = -2,3 kN; N 5 = 38,6 kN; N 6 = 0 ;

Minus belgisi N kuch ekanligini ko'rsatadi 4 rasmda ko'rsatilgan tomonga qarama-qarshi tomonga yo'naltirilgan.