Правильный пятиугольник – это геометрическая фигура. Она имеет пять углов и равные стороны. Изображение пятиугольника широко применяют повсюду – начиная от канцтоваров и заканчивая огромными строениями, например «Пентагон» - министерство обороны США. Нарисовать его можно, не прибегая к измерению сторон линейкой.

Вам понадобится

• Альбомный лист, карандаш, циркуль, линейка и ластик.

Инструкция

Посередине листика проведите горизонтальную осевую линию. Поделите ее пополам и поставьте ножку циркуля в получившуюся точку. Затем сделайте круг произвольного диаметра. В его середине будет нарисован правильный пятиугольник.

В точке пересечения круга с горизонтальной линией, точке В, поставьте ножку циркуля и измерьте расстояние до противоположной стороны. Это будет размер диаметра фигуры. Теперь изобразите полукруг с радиусом, равным диаметру нарисованного круга. Края линии должны чуть-чуть заходить дальше верхней и нижней точек. Таким же образом нарисуйте полукруг с противоположной стороны. Через точки пересечения двух полукругов над верхней и под нижней точками проведите осевую вертикальную линию.

Ножку циркуля поставьте в точку В. Измерьте расстояние до точки О – места пересечения двух осевых линий. Нарисуйте полукруг с радиусом, равным длине отрезка ОВ. Отметьте точки пересечения с границей круга. Через них проведите вертикальную линию. Она будет пересекаться с горизонтальной осевой линией. В точку пересечения С поставьте ножку циркуля и измерьте расстояние до А. Изобразите круг с радиусом равным полученному расстоянию СА.

На месте пересечении круга с осевой горизонтальной линией поставьте точку D. Ножку циркуля поставьте в А и проведите полукруг с радиусом АD. Точки пересечения с кругом обозначьте Е и F.

Круг с центром в точке С пересекается с горизонтальной линией оси в точках D и условно с точкой М. В точке А поставьте ножку циркуля и проведите полукруг с радиусом АМ. Точки его пересечения с кругом, с центром О обозначьте Н и G. Таким образом точки А, F, H, G и Е будут являться вершинами правильного пятиугольника. Теперь соедините прямыми линиями попарно: AF, FH, HG, GE и EA. В результате получился нарисованный правильный пятиугольник AFHGE.

Обратите внимание

Как построить правильный пятиугольник? Какой способ самый простой? Самый простой- взять трафарет с пятиугольником и обвести. Второй по простоте- с линейкой и транспортиром. Третий- с линейкой, циркулем и калькулятором: 1)нарисовать окружность с радиусом равным стороне пятиугольника. 2)нарисовать такую же окружность с центром на одной из точек первой окружности.

Полезный совет

Как построить правильный пятиугольник - для того чтоб построить пятиугольник вам необходимо иметь под рукой: лист бумаги, простой карандаш, линейку, циркуль, ластик.. Теперь вам надо знать размеры вашего пятиугольника. Это будет центр вашего пятиугольника. Как нарисовать правильный пятиугольник с равными сторонами. После того как мы узнали что диаметр круга составляет двадцать сантиметров это информация нам сильно облегчает задачу.

Внимание, только СЕГОДНЯ!

Все интересное

Форма пятиконечной звезды повсеместно используется человеком с древних времен. Мы считаем ее форму прекрасной, так как бессознательно различаем в ней соотношения золотого сечения, т.е. красота пятиконечной звезды обоснована математически. Первым…

Задача вписать в окружность многоугольник нередко может поставить взрослого человека в тупик. Ребенку-школьнику необходимо объяснить ее решение, поэтому родители отправляются в серфинг по всемирной паутине в поисках решения. Инструкция …

Многоугольник называют вписанным, если все его вершины лежат на окружности. Вписать в окружность можно любой правильный многоугольник, в том числе и тот, у которого пять сторон. В классическом черчении для этого требуются некоторые дополнительные…

Длину окружности невозможно точно измерить линейкой, а потому ее деление на равные части является непростой задачей, особенно, если этих частей нечетное количество. Деление круга на пять частей осуществляется с помощью обычного циркуля или…

Задачи на осуществление построений правильных геометрических фигур тренируют пространственное восприятие и логику. Существует большое количество весьма простых задач подобного рода. Их решение сводится к модифицированию или комбинированию уже…

Один из первых способов построения правильного шестиугольника описал древнегреческий ученый Евклид в своем известном труде «Начала». Предложенный Евклидом способ не единственно возможный. Вам понадобитсяциркуль, линейка,…

Построение любого правильного многоугольника строится по принципу вписывания этой фигуры в окружность. Двенадцатиугольник не является исключением, поэтому его построение будет невозможным без применения циркуля. Вам понадобитсяЦиркуль,…

Правильный многоугольник - это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Вокруг правильного многоугольника можно описать окружность. Именно эта окружность и помогает в его построении. Одним из правильных многоугольников,…

Задача построения правильного пятиугольника сводится к задаче деления окружности на пять равных частей. Поскольку правильный пятиугольник - это одна из фигур, содержащая в себе пропорции золотого сечения, его построением издавна интересовались…

Пентаграмма, или заключенная в круг пятилучевая звезда, известна с древнейших времен. Многие народы считали ее священной, она до сих пор используется в различных ритуалах. Начертить пентаграмму можно с использованием простейших инструментов. Вам…

Без изучения техники этого процесса не обойтись. Существует несколько вариантов выполнения работы. Как нарисовать звезду с помощью линейки, помогут понять самые известные методы этого процесса.

Разновидности звезд

Существует множество вариантов внешнего вида такой фигуры, как звезда.

Еще с древних времен пятиконечная ее разновидность использовалась для начертания пентаграмм. Это объясняется ее свойством, которое позволяет сделать рисунок, не отрывая ручки от бумаги.

Существуют также шестиконечные, восьмиконечные хвостатые кометы.

Пять вершин традиционно имеет морская звезда. Такой же формы нередко встречаются изображения рождественского варианта.

В любом случае, чтобы нарисовать пятиконечную звезду поэтапно, необходимо прибегнуть к помощи специальных инструментов, так как изображение от руки вряд ли будет выглядеть симметрично и красиво.

Выполнение чертежа

Чтобы понять, как нарисовать ровную звезду, следует осознать суть этой фигуры.

Основой для ее начертания является ломаная линия, концы которой сходятся в начальной точке. Она образовывает правильный пятиугольник - пентагон.

Отличительными свойствами такой фигуры являются возможности вписания ее в окружность, а также окружности в этот многоугольник.

Все стороны пентагона равны между собой. Понимая, как правильно выполнить чертеж, можно осознать суть процесса построения всех фигур, а также разнообразных схем деталей, узлов.

Для достижения такой цели, как нарисовать звезду с помощью линейки, необходимо владеть знаниями о простейших математических формулах, являющихся основополагающими в геометрии. А также потребуется умение считать на калькуляторе. Но самое главное - это логическое мышление.

Работа не является сложной, но она потребует точности и скрупулезности. Потраченные усилия будут вознаграждены хорошим симметричным, а потому и красивым изображением пятиконечной звезды.

Классическая техника

Самый известный способ того, как нарисовать звезду при помощи циркуля, линейки и транспортира, является достаточно несложным.

Для этой методики понадобится несколько инструментов: циркуль или транспортир, линейка, простой карандаш, ластик и лист белой бумаги.

Чтобы понять, как красиво нарисовать звезду, действовать следует последовательно, этап за этапом.

Можно в работе воспользоваться специальными вычислениями.

Расчет фигуры

Приступая к рисованию круг следует поделить на 5 равных частей. Угол каждой будет составлять 72 градуса. Тяжело высчитанные идеально показатели нанести на круг вручную.

Поэтому необходимо построить правильный пятиугольник. Для этого используют систему "золотых чисел" прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2, а гипотенузой, равной квадратному корню из 5.

В решении можно отталкиваться от вычислений радиуса основной окружности или длины сторон пентагона. В последнем варианте верхние точки лучей звезды станут располагаться на одинаковых промежутках вершин пятиугольника.

Арифметически поставленная задача решается неточно (присутствуют определенные округления результатов), что объясняется методикой использования иррациональных чисел. Поэтому геометрически начертить правильную, симметричную звезду все же проще.

Начальный этап построения

Задумываясь над тем, как нарисовать звезду с помощью линейки, следует, прежде всего, начертить окружность. Ее допускается выполнить при помощи циркуля, транспортира или же обычной чашки. Приложив ее верхний обод к листу бумаги, его край нужно обвести карандашом.

Этот контур необходимо проводить очень тонко, так как он впоследствии будет убираться ластиком.

Построение звезды

Рисуя звезду поэтапно, следует разделить окружность на 5 равных частей. Это можно осуществить при помощи главного правила геометрии.

Измеряется при помощи линейки. Полученная величина умножается на 6,28. Итоговый результат и станет расстоянием, используемым для обозначения вершин звезды.

Все точки равномерно нанести на окружность, используя рассчитанное значение.

Чтобы понять, как нарисовать звезду поэтапно, следует выполнять все действия по четко рассчитанным величинам, не округляя их. Иначе работа получится недостаточно правильная и эстетичная.

Вершины, размеченные ранее, соединяются друг с другом.

Придание фигуре объема

Для обеспечения объемности фигуры необходимо нарисовать основные грани. Для этого все точки острых углов соединяют с противоположными им

На этом этапе рисования правильной звезды проступают контуры готовой фигуры.

Если все сделано правильно, полученное изображение будет ровным. Это можно проверить визуально, вращая лист бумаги и оценивая форму. Она будет неизменной при каждом повороте.

Основные контуры наводятся при помощи линейки и простого карандаша более четко. Все вспомогательные линии убираются.

Чтобы понять, как нарисовать звезду поэтапно, следует проводить все действия вдумчиво. В случае ошибки можно подправить рисунок ластиком или провести все манипуляции заново.

Оформление работы

Готовую форму можно украсить самыми разнообразными способами. Главное - не нужно бояться экспериментировать. Фантазия подскажет оригинальный и красивый образ.

Можно разукрасить нарисованную ровную звезду простым карандашом или использовать самые разнообразные цвета и оттенки.

Чтобы разобраться в том, как нарисовать правильную звезду, необходимо придерживаться идеальных линий во всем. Поэтому самый популярный вариант оформления заключается в разделении каждого луча фигуры на две равные части линией, исходящей от вершины до центра.

Можно не разделять стороны звезды линиями. Допускается просто закрасить каждый луч фигуры более темным оттенком с одного бока.

Такой вариант также будет ответом на вопрос о том, как нарисовать правильную звезду, ведь все ее линии будут симметричны.

По желанию при эстетическом оформлении фигуры можно добавить орнамент или другие всевозможные элементы. Добавив кружочки к вершинам, можно получить звезду шерифа. Применив плавную растушевку теневых сторон, можно получить морскую звезду.

Эта техника является самой распространенной, так как без особых усилий позволяет понять, как нарисовать пятиконечную звезду поэтапно. Не прибегая к сложным математическим вычислениям, возможно получить правильное, красивое изображение.

Рассмотрев все способы того, как нарисовать звезду с помощью линейки, можно выбрать для себя более подходящий. Наиболее популярным является геометрический поэтапный метод. Он достаточно несложный и эффективный. Применив фантазию и воображение, можно из полученной правильной, красивой формы создать оригинальную композицию. Вариантов оформления рисунка существует великое множество. Но ведь всегда можно придумать свой собственный, самый необычный и запоминающийся сюжет. Главное - не стоит бояться экспериментировать!

Правильные многоугольники уже в глубокой древности считались символом красоты и совершенства. Это и понятно: ведь из всех многоугольников с заданным числом сторон наиболее приятен для глаза правильный многоугольник, у которого равны все стороны и равны все углы.

Практическая задача построения таких многоугольников с помощью циркуля и линейки имеет давнюю историю. Евклид в своем труде по геометрии приводит способы построения правильных треугольника, четырехугольника (квадрата), пятиугольника и пятнадцатиугольника, а также всех многоугольников, которые получаются из них удвоением числа сторон (не обязательно однократным). Следовательно, древние греки могли строить правильные многоугольники с числом сторон, равным

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, ...

Долгое время математиков особенно занимал вопрос о построении правильного семиугольника. Лишь в 1796 г. К. Ф. Гаусc доказал принципиальную невозможность этого построения с помощью только циркуля и линейки. Более того, им было доказано, что среди правильных многоугольников с нечетным числом сторон построить можно только такие, для которых число сторон является либо простым числом вида 2 2 m + 1, m = 0, 1, 2, ... (которых в настоящее время известно всего пять: 3, 5, 17, 257 и 65 537 ), либо произведением нескольких таких различных чисел. Таким образом, начатый выше список нельзя дополнить числами 7, 9, 11, 13, 14, а можно лишь продолжить следующим образом:

17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, ...

(заметим, что правильные многоугольники со слишком большим числом сторон по внешнему виду мало отличаются от обыкновенной окружности).

В настоящем параграфе мы предлагаем вам самим поискать способы построения правильных многоугольников, вписанных в данную окружность или имеющих заданную сторону. Не менее важное практическое значение имеют методы приближенного построения в тех случаях, когда точное построение циркулем и линейкой неосуществимо.

15.1. Вписанный n-угольник

Докажите, что для построения правильного n-угольника, вписанного в данную окружность, достаточно разделить эту окружность на n равных частей и полученные точки деления последовательно соединить кордами. Как можно приближенно разделить окружность на заданное число равных дуг?

15.2. Сокращение числа сторон

Дан правильный многоугольник, число сторон которого представляет собой произведение натуральных чисел k и m, где m>2. Как построить правильный m-угольник?

15.3. Удвоение числа сторон

В окружность вписан правильный многоугольник. Постройте правильный многоугольник, у которого число сторон вдвое больше, чем у исходного.

15.4. Заданный треугольник

Постройте правильный треугольник со стороной, равной заданному отрезку.

15.5. Вписанный шестиугольник

Впишите в данную окружность правильный шестиугольник.

15.6. Заданный шестиугольник

Постройте правильный шестиугольник, со стороной, равной заданному отрезку.

15.7. Вписанный треугольник

Впишите в данную окружность правильный треугольник.

15.8. Заданный квадрат

Постройте квадрат со стороной, равной заданному отрезку.

15.9. Вписанный квадрат

Впишите в данную окружность квадрат.

15.10. Вписанный восьмиугольник

Впишите в данную окружность правильный восьмиугольник.

15.11. Вписанный двенадцатиугольник

Впишите в данную окружность правильный двенадцатиугольник.

15.12. Вписанный шестнадцатиугольник

Впишите в данную окружность правильный шестнадцатиугольник.

15.13. Заданный восьмиугольник

Постройте правильный восьмиугольник со стороной, равной заданному отрезку.

15.14. Заданный двенадцатиугольник

Постройте правильный двенадцатиугольник со стороной, равной заданному отрезку.

15.15. Заданный шестнадцатиугольник

Постройте правильный шестнадцатиугольник со стороной, равной заданному отрезку.

15.16. "Золотое сечение"

Разделите отрезок на такие две неравные части, чтобы квадрат большей из них был равен произведению длины всего отрезка и меньшей его части.

15.17. Десятиугольник

Докажите, что сторона правильного вписанного в окружность десятиугольника равна большей части "золотого сечения";радиуса этой окружности. Впишите в данную окружность правильный десятиугольник.

5.18. Вписанный пятиугольник

Впишите в данную окружность правильный пятиугольник^

5.19. Звезда

Как построить пятиконечную звезду?

5.20. Пятнадцатиугольник

Впишите в данную окружность правильный пятнадцатиугольник.

5.21. Заданный пятиугольник

Постройте правильный пятиугольник со стороной, равной заданному отрезку.

15.22. Приближенное построение семиугольника

Нарисуем окружность и впишем в нее правильный треугольник. Затем, начиная от одной его вершины, последовательно сделаем на окружности шесть засечек раствором циркуля, равным половине стороны треугольника, и построим семиугольник с вершинами в полученных шести точках и в исходной точке.

Насколько точен предложенный способ построения правильного семиугольника?

15.23. Приближенное построение девятиугольника

Проведем окружность большого радиуса G центром в точке О (рис. 47), которую разделим на шесть равных частей точками А 1 , А 2 , А 3 , А 4 , А 5 , А 6 . С центрами в точках А 2 , А 4 и А 6 проведем дуги окружностей того же радиуса, образующие фигуру из трех "лепестков". Радиус А 1 О разделим на три части и через ближайшую к точке О точку деления проведем прямую, перпендикулярную этому радиусу. Отрезок ее ВС, содержащийся внутри лепестка, примем за сторону десятиугольника, вписанного в окружность радиуса ОВ.

Насколько точен предложенный способ построения правильного девятиугольника?

15.24. Приближенное построение n-угольника

На диаметре АВ данной окружности как на стороне построим правильный треугольник АСВ (рис. 48). Возьмем на отрезке АВ точку D так, чтобы выполнялось равенство

Продолжим отрезок CD до пересечения его о окружностью в точке Е. Хорду АЕ примем за сторону n-угольника, вписанного в данную окружность.

Насколько точен предложенный способ построения правильного n-угольника?

Решения

15.1. Если все я сторон вписанного я-угольника стягивают равные дуги окружности, то сами стороны равны между собой. Кроме того, в этом случае каждый из углов между соседними сторонами n-угольника является вписанным и опирается на дугу, составленную из n-2 упомянутых одинаковых дуг. Следовательно, все эти углы также равны между собой. Таким образом, задача построения вписанного правильного n-угольника сведена к делению окружности на я равных дур.

Если под рукой имеется транспортир, то с его помощью 360° можно начертить центральный угол, равный . Отложив один такой угол от какого-нибудь радиуса OA 1 , мы получим радиус ОА 2 . Отложив от него еще один такой же угол, мы получим следующий радиус OA 3 и т. д. Точки A 1 , A 2 , ..., A n будут делить окружность на n частей, а уж в какой степени эти части окажутся равными, будет зависеть от точности, с которой откладывались требуемые центральные углы.

При отсутствии транспортира можно применить следующий способ приближенного деления окружности на заданное число n равных частей с помощью циркуля. Выберем раствор циркуля на глаз таким, чтобы он примерно соответствовал расстоянию между соседними вершинами будущего n-угольника, и отложим от любой точки А 6 на окружности n растворов циркуля в определенном направлении, получив последовательно точки A 1 , A 2 , ..., A n . Если точки A 0 и А n практически совпадают, то раствор циркуля выбран нами уже достаточно точно. Если же эти точки сколь-нибудь заметно различаются, то дугу A 0 A n разделим на n примерно равных частей и отметим ту точку деления A 0 , которая расположена ближе всего к точке A 0 (рис. 49). Подправим раствор циркуля так, чтобы он соответствовал расстоянию между точками A" 0 и A" 1 , и повторим все сначала, отложив n растворов циркуля от точки A" 0 и получив точки A" 1 , A" 2 , ..., A" n . Сравнив точки A" 0 и A" n , мы опять выясним, достаточно ли точным оказался раствор циркуля. Если еще нет, то подправим его еще раз и т. д. до тех пор, пока нужная точность не будет достигнута.

15.2. Пусть A 1 , A 2 , ..., A km - последовательные вершины исходного многоугольника. Тогда многоугольник с вершинами A 1 , A 2 , ..., A km будет правильным, поскольку эти вершины лежат на одной окружности (описанной около исходного многоугольника) и делят ее на равные дуги.

15.3. Проведем к каждой стороне данного многоугольника свой серединный перпендикуляр до его пересечения о дугой окружности, стягиваемой этой стороной. Так как полученные точки пересечения разделят каждую из дуг на две равные части, то эти точки вместе с вершинами исходного многоугольника образуют вершины требуемого многоугольника.

15.4. Пусть АВ - заданный отрезок. Проведем две дуги окружностей с центрами в точках A и B и радиусом AВ до пересечения их в точке С. Соединив точки A и B с точкой С, получим требуемый правильный треугольник ABC.

15.5. Возьмем на данной окружности с центром О произвольную точку A и раствором циркуля, равным ОА, отложим на окружности последовательно еще пять точек В, C, D, Е и F. Точки A, В, С, D, Е и F являются вершинами правильного шестиугольника. В самом деле, соединив эти точки последовательно друг с другом и с точкой О, мы получим пять равносторонних треугольников (рис. 50). Так как каждый из углов АОВ, ВОС, COD, DOE, EOF равен по 60°, то угол AOF также равен 60°, а, значит, окружность разделена на шесть равных дуг.

15.6. Раствором циркуля, равным длине данного отрезка, проведем окружность. Вписав в эту окружность шестиугольник способом, предложенным в решении задачи 15.5, мы получим правильный шестиугольник с заданной стороной.

15.7. Разделим данную окружность на шесть равных частей (см. задачу 15.5) и точки деления через одну последовательно соединим хордами. Получим правильный треугольник (см. задачу 15.2).

15.8. Из концов данного отрезка АВ восставим перпендикуляры AM и BN по одну сторону от отрезка АВ (рис. 51) и отложим на них соответственно отрезки AD и ВС, равные отрезку АВ, Соединив точки С и D, получим квадрат ADCB. В самом деле, четырехугольник ADCB является параллелограммом (ибо его стороны AD и ВС равны и параллельны), ромбом (ибо АВ = ВС ) и прямоугольником (ибо ∠ ABC = 90°), а значит, квадратом.

15.9. Через центр окружности проведем два взаимно перпендикулярных диаметра АС и BD и их концы последовательно соединим хордами. Получим вписанный квадрат ABCD. Действительно, дуги АВ, ВС, CD и AD равны между собой, поскольку на них опираются равные центральные углы в 90° каждый.

15.10. Впишем в данную окружность квадрат (см. задачу 15.9) и удвоим число его сторон (см. задачу 15.3).

15.11. Удвоив число сторон правильного вписанного в данную окружность шестиугольника, мы получим правильный двенадцатиугольник, вписанный в ту же окружность (см. задачи 15.5 и 15.3).

15.12. Удвоив число сторон правильного вписанного в данную окружность восьмиугольника, мы получим правильный шестнадцатиугольник, вписанный в ту же окружность (см. задачи 15.10 и 15.3).

15.13. Из середины С данного отрезка АВ (рис. 52) восставим перпендикуляр и отложим на нем отрезок CD, равный 1 / 2 АВ. Затем на его продолжении отложим отрезок DO, равный AD. Тогда отрезок АО является радиусом окружности, описанной около правильного восьмиугольника со стороной АВ.

В самом деле, найдем величину угла АОС. Так как АС = CD, то треугольник ACD равнобедренный, и так как он прямоугольный, то угол ADC равен 45°. Поскольку AD = DO , то треугольник ADO равнобедренный и угол AOD равен и, следовательно, угол АОВ равен 45°, т. е. дуга АВ есть 1 / 8 часть окружности.

Теперь на окружности радиуса АО от любой точки последовательно отложим семь дуг, каждая из которых равна дуге АВ. Получим вершины правильного восьмиугольника.

15.14. Построим равносторонний треугольник АСВ со стороной, равной данному отрезку АВ. Через точку С проведем прямую, перпендикулярную отрезку АВ. Отложим на этой прямой отрезок СО, равный АВ (рис. 53). Тогда отрезок АО является радиусом окружности, описанной около правильного двенадцатиугольника со стороной АВ. Для подтверждения этого достаточно доказать, что угол АОВ равен 30°. Точка С равноудалена от точек А, В и О, т. е. является центром окружности, описанной около треугольника АОВ. Поэтому

Теперь на окружности радиуса AО от любой точки последовательно отложим 11 дуг, каждая из которых равна дуге АВ. Получим вершины правильного двенадцатиугольника.

15.15. Из середины С отрезка АВ восставим перпендикуляр (рис. 54) и на нем отложим отрезок CD9 равный 1 / 2 АВ, затем отрезок DE, равный AD, и отрезок ВО, равный АЕ. Тогда отрезок АО является радиусом окружности, описанной около правильного шестнадцатиугольника со стороной АВ.

Так же как и в задаче 15.13, находим, что

Построение правильного шестнадцатиугольника выполняется аналогично построению в предыдущих задачах.

Теперь на окружности радиуса АО от любой точки последовательно отложим 15 дуг, каждая из которых равна дуге АВ. Получим вершины правильного шестнадцатиугольника.

15.16. Пусть заданный отрезок АВ имеет длину а. Найдем длину х большей части "золотого сечения" отрезка АВ. Из пропорции

получаем

Следовательно, задача сводится к построению отрезка указанной длины х по отрезку длины а. Число равно длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами а и а / 2 , который можно построить с помощью циркуля и линейки. Для получения отрезка длины достаточно из гипотенузы построенного треугольника вычесть отрезок длины а / 2 . Следовательно, построение "золотого сечения" отрезка АВ можно произвести следующим образом (рис. 55):

1. из точки В восставим перпендикуляр BN к отрезку АВ, на нем отложим отрезок ВС длины 1 / 2 АВ;
2. соединим точки А и С и отложим на отрезке АС отрезок DC длины ВС;
3. отложим на отрезке АВ отрезок АЕ длины AD, тогда точка Е делит отрезок АВ в "золотом сечении".

15.17. Пусть АВ - сторона правильного вписанного в окружность десятиугольника. Тогда ∠ AОВ = 36° , а каждый из углов ОАВ и АВО равен 72° (рис. 56). Проведем биссектрису АС угла A треугольника АОВ. Так как ∠ AСВ = 72° , то из равнобедренных треугольников ABC и АСО получим AB = AС = ОС .

По свойству биссектрисы треугольника имеем ОС:ВС = АO:АВ. Поскольку АО = ОВ, АВ = ОС, то ОС:ВС = ОВ:ОС, т. е. ОС 2 = ВС*ОВ, а это и означает, что радиус ОВ разделен точкой С в "золотом сечении", причем ОС - большая часть радиуса (ибо ∠ ACB> ∠BAC, откуда ОС = АВ>ВС ).

Таким образом, разделив радиус ОВ данной окружности в "золотом сечении" (см. задачу 15.16) и взяв большую его часть ОС, мы найдем длину стороны А В правильного вписанного в эту окружность десятиугольника. Теперь от любой точки данной окружности последовательно отложим девять хорд, каждая из которых равна АВ. Один из конкретных способов построения стороны ОС = АВ требуемого десятиугольника приведен на рис. 57.

15.18. Разделим данную окружность на 10 равных частей (см. задачу 15.7). Тогда точки деления, взятые через одну, являются вершинами правильного пятиугольника (см. задачу 15.2). Впрочем, на рис. 57, где построен отрезок ОС, равный стороне правильного вписанного десятиугольника, имеется и отрезок CD, равный стороне требуемого пятиугольника.

15.19. Нарисуем некоторую окружность, разделим ее на 5 равных частей (см. задачу 15.18) и соединим точки деления через одну хордами друг с другом, как указано на рис. 58.

15.20. Поскольку 1 / 6 - 1 / 10 = 1 / 15 , то, отняв от дуги, равной 1 / 6 окружности, дугу, равную 1 / 10 окружности, мы получим остаток, равный 1 / 15 окружности. Это наблюдение позволяет вписать в окружность правильный пятнадцатиугольник (способы деления окружности на 6 и 10 частей описаны в задачах 15.5 и 15.17).

15.21. Из конца А и середины С заданного отрезка АВ восставим перпендикуляры АN и СМ и проведем окружность с центром А и радиусом АВ (рис. 59). Отложим на перпендикуляре AN отрезок AD длины АС и проведем отрезок BD. Отложим на отрезке BD отрезок DE длины AD и проведем окружность с центром В и радиусом BE до пересечения с первой окружностью в точке F. На прямой AF построим точку G на расстоянии АВ от точки В, Тогда центр О окружности, описанной около правильного пятиугольника со стороной АВ, лежит на пересечении прямой СМ с серединным перпендикуляром к отрезку BG. Действительно, окружность, описанная около треугольника ABG, является описанной и около требуемого пятиугольника, так как вписанный угол BAG равен центральному углу BAF, опирающемуся на сторону FB десятиугольника, вписанного в первую окружность (см. задачу 15.17), и, следовательно, равному 36°. Поэтому углы BOG и AOB равны 72° каждый. Остальные две вершины пятиугольника лежат на пересечениях описанной окружности с перпендикуляром СМ и с первой окружностью соответственно.

а значит, в результате шести откладываний дуги АЕ на окружности погрешность построений хотя и будет накапливаться, но не превзойдет 6(β - α). Таким образом, описанный способ позволяет строить "практически правильный" семиугольник.

15.23. Пусть D-точка пересечения отрезков ВС и OA 1 , Е - середина отрезка ОА 1 , a CF - перпендикуляр к прямой A 1 E (рис. 61). Тогда если OA 1 = R, то а из прямоугольных треугольников А 2 ОЕ и A 2 CF имеем

откуда получаем

По таблицам тангенсов находим

поэтому центральный угол BОС, который должен составлять у правильного девятиугольника 40°, в нашем случае отличается от нужного значения не более чем на 25". При этом погрешность у остальных углов также не превосходит 25": два других "лепестка" дают такие же углы, а углы между "лепестками" просто делятся пополам, отчего погрешность лишь уменьшается в два раза. Таким образом, полученный девятиугольник является "практически правильным".

Графическая звезда – это пятиконечная фигура, которую сложно нарисовать от руки. Для того чтобы звездочка получилась аккуратной с пропорциональными ровными лучами, лучше изображать ее при помощи чертежных инструментов – линейки, транспортира, циркуля.

Как нарисовать звезду с помощью линейки и карандаша

Пятиконечная звезда состоит из пяти граней, которые образуются при соединении прямых отрезков в определенной точке. Существует способ, при котором, рассчитав и соединив точки в нужном порядке, получится звезда. Для работы возьмите: лист бумаги, карандаш, стерку, калькулятор.

• Установите нужную вам длину звезды. Предположим это – 12 см, обозначьте ее – Х.

• На листе бумаги проведите два параллельных луча, расстояние между которыми равно – 12: 1,55 = 7,7 см.

• Начертите перпендикуляр, проходящий через середину отрезков. На первой линии рисунка от центра к краям отложите одинаковые отрезки, рассчитанные по формуле: Х: 2 = 12: 2 = 6 см. Поставьте точки на их концах.

• На нижней линии сделайте то же самое, только длину частей рассчитывайте так: Х: 3 = 12: 3 = 4 см.

• На серединной линии отмерьте вверх: Х: 2,6 = 12: 2,6 = 4,6 см.

• Прорисуйте линии по точкам и звезда готова.

Как нарисовать звезду с помощью линейки и циркуля

В этом варианте вам понадобится не только карандаш, линейка, но и циркуль.

• Очертите на листе круг. Разбейте его на 4 части, проведя перпендикулярные диаметры, затем четвертушки поделите пополам.

• Получившиеся секции еще раз раздробите на две части. В нижних сегментах (смотрите рисунок) поставьте черточки посередине вторых от перпендикуляра восьмушек.

• Уберите наметку, оставив ориентиры, как на схеме.

• Удвойте в секторах черточки, расстояние между которыми в верхних сегментах по 1 см, в нижних – по 0,5 см.

• Соедините линиями звездную сетку по красным точкам.

• Сотрите круг, добавьте рисунку объема, проведя из середины звезды отрезки ко всем ее углам.

• Раскрасьте звездочку алым цветом, обведя грани и контур контрастным фломастером, вырежьте фигуру и украсьте самодельную открытку к 23 февраля или Дню Победы.

Как нарисовать звезду с помощью линейки и транспортира

Приготовьте бумагу, карандаш, линейку, циркуль, транспортир.

• Наметьте на бумаге круг и поделите его чуть заметными лучами на 4 доли.

• Поставьте транспортир в верхней части круга по вертикальному диаметру. Отмерьте по нему вправо и влево по 72º и проведите из центра круга к его дугам лучи.

• От левого луча снова возьмите 72º, и так до конца, пока круг не поделится на 5 частей.

• Сомкните линии, согласно шаблону.

• Сотрите все ненужные очертания. Все – работа выполнена. Теперь применяйте знания на практике – сделайте красочную аппликацию ночного неба или праздничного салюта.

Как нарисовать звезду с помощью линейки и вписанного пятиугольника

Несложно нарисовать звезду, вписав в окружность пятиугольник.

• Сделайте круг, разбейте его надвое два раза, затем дугу окружности поделите на глазок на 5 равных частей. Соедините места пересечения граней отрезками и получите правильный пятиугольник.

• Постройте треугольник, начиная от вертикальной линии.

• От верхних углов фигуры проведите отрезки к нижним углам. Начертите диагональ, параллельную диаметру наметки и соедините противоположные углы.

• Уберите посторонние линии, заштрихуйте рисунок карандашом.

Как нарисовать звезду с помощью линейки и неотрывной линии

Если у вас хороший глазомер, воспользуйтесь данным способом.

• На бумаге, начиная работать с нижней правой частью листа, нарисуйте большую птичку-галочку носиком вверх.

• Затем от левого окончания грани проведите отрезок и пересеките первую линию на одну треть от ее начала.

Способов построения звезды много и сложных, и простых, так что выбирайте наиболее подходящий вариант, рисуйте звезду сами и учите рисовать своих детей.