Рассмотрим теперь несколько более сложные конструктивные задачи. Начнем с построения правильного десятиугольника.
Предположим, что правильный десятиугольник вписан в круг радиуса 1 (рис. 32); обозначим его сторону через х. Так как центральный угол, под которым эта сторона х видна из центра круга, содержит 36°, то остальные два угла большого треугольника содержат каждый по 72°, и, значит, пунктирная линия, делящая пополам угол A, разбивает треугольник ОАВ на два равнобедренных треугольника с равными боковыми сторонами длины х. Радиус круга, таким образом, составляется из отрезков х
и 1-х
. Так как треугольник ОАВ подобен меньшему из двух треугольников, на которые он разбивается, то мы получаем Эта пропорция приводит к квадратному уравнению х 2 + х - 1 = 0,
решение которого имеет вид 
(Другое решение нас не интересует, так как оно соответствует отрицательному значению х
.) Из полученной формулы ясно, что отрезок х
может быть построен геометрически. Имея же отрезок х
, мы сможем построить правильный десятиугольник, откладывая по окружности десять раз хорду х
. Отсюда уже легко получить и правильный пятиугольник, соединяя вершины десятиугольника через одну.
Вместо того чтобы строить √5 тем методом, который указан на рис. 31, мы можем также построить гипотенузу прямоугольного треугольника со сторонами 1 и 2. Затем придется отнять единичный отрезок и то, что получится, разделить пополам.
Отношение в рассмотренной задаче было названо "золотым", так как, по мнению греческих математиков, прямоугольник, стороны которого находятся в этом отношении, эстетически особенно приятен для глаза. Значение отношения приблизительно равно 1,62.
Из всех правильных многоугольников легче всего построить шестиугольник. Так как длина стороны такого шестиугольника, вписанного в круг, равна радиусу круга, то сам шестиугольник строится без затруднений, если отложим шесть раз по окружности отрезок, равный радиусу.
Имея правильный n-угольник, можно сразу же получить и правильный 2n-угольник, деля пополам дуги между соседними вершинами n-угольника. Начиная с диаметра круга (правильного вписанного "двуугольника"), мы построим последовательно 4, 8, 16, ..., 2 n -угольники. Таким же образом, начиная с шестиугольника, мы получим 12, 24, 48, ... -угольники, а начиная с "десятиугольника,- 20, 40, ... -угольники.
Если s n обозначает длину стороны правильного n-угольника, вписанного в единичный круг (т. е. круг с радиусом 1), то сторона правильного вписанного 2n-угольника будет иметь длину
Доказывается это следующим образом (рис. 34): s n = DE = 2DC, s 2n = DB и АВ = 2. Площадь прямоугольного треугольника ABD равна или, с другой стороны, Так как 
то, подставляя и сравнивая между собой два выражения для площади, мы получаем:
Остается решить квадратное уравнение относительно х = s 2 2n и при выборе корня принять во внимание, что х должно быть меньше 2.
Из этой формулы, так как длина S 4 (сторона квадрата) равна √2, следует, что
В качестве общей формулы мы получаем (при n>2).
Задача 1: Как разрезать прямоугольник 4 × 9 на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат? Решение: Задача 2: Дан круг и отмечена точка внутри него. На какое минимальное количество частей можно разрезать этот круг так, чтобы из получившихся частей можно было сложить круг, в котором отмеченная точка является центром. Решение: Вырежем круг с диаметром AO (вернее чуть больше) и повернём его на 180.Задача 3: Разрежьте уголок, составленный из трёх клеток (), на четыре равные по форме части.Задача 4: С помощью разрезаний и перекладываний сделайте из фигуры «крест» фигуру «конфета» (см. рисунок).
a) с помощью разрезаний и перекладываний;
b) с помощью только разрезаний. Решение:
Задача 7: a) Можно ли разрезать квадрат на 100 равных четырёхугольников, не являющихся прямоугольниками? б) Можно ли разрезать квадрат на 2000 равных треугольников?Задача 8: Можно ли сложить квадрат из фигурок ? Фигурки можно брать в неограниченном количестве. А если длинная сторона уголка равна n клеткам?Задача 9: Можно ли замостить плоскость одинаковыми a) пятиугольниками; б) шестиугольниками; в) семиугольниками?Задача 10: Разрежьте квадрат на два одинаковых а) пятиугольника; б) шестиугольника; в) 2n-угольника; г) 2n + 1-угольника. Можно ли разрезать так прямоугольник? Для каких еще фигур годится этот алгоритм?Задача 11: Можно ли разрезать на четыре остроугольных треугольника a) какой-нибудь пятиугольник; б) правильный пятиугольник?Задача 12:На картинках приведены фигуры на клетчатой бумаге. Ваша задача - разрезать каждую фигуру на две одинаковых (по форме и размерам) части.
Разные задачи на разрезания7 класс - 2011 год
Разрежьте прямоугольник со сторонами 4 и 9 на наименьшее число частей так, чтобы сложить из них квадрат.
Задача
Легко можно разрезать квадрат на два равных треугольника или два равных четырехугольника. А как разрезать квадрат на два равных пятиугольника или два равных шестиугольника?
Подсказка
Подумайте, будут ли искомые многоугольники выпуклыми.
Решение
Разумеется, искомые многоугольники не могут быть выпуклыми. Одно из возможных решений показано на рисунке.
Ответ: См. рисунок.
Задача
Разрежьте квадрат на 3 части, из которых можно сложить треугольник с 3 острыми углами и тремя различными сторонами.
Решение
Смотрите рисунок: квадрат разрезан на три части: белую, бирюзовую и зеленую.
Задача
Можно ли испечь такой торт, который может быть разделён одним прямолинейным разрезом на 4 части?
Подсказка
Заметьте, торт не обязательно должен быть выпуклой фигурой.
Решение
Если бы торт был выпуклой фигурой, этого сделать было бы нельзя, но ведь нигде не сказано, что он должен быть таким. Можно, например, испечь торт в виде буквы "Ш" и разрезать так, как показано на рисунке.
Ответ: См. рисунок.
Задача
У двух человек было два квадратных торта. Каждый сделал на своем торте по 2 прямолинейных разреза от края до края. При этом у одного получилось три куска, а у другого - четыре. Как это могло быть?
Подсказка
Обратите внимание, разрезы могут пересекаться.
Решение
Это могло получиться, если в первом случае разрезы не пересекались, а во втором - пересеклись. Например, если в первом случае они были параллельны друг другу, а во втором - перпендикулярны.
Задача
Разрежьте квадрат на три части, из которых можно сложить треугольник с тремя острыми углами и тремя различными сторонами.
Ответ: См. рисунок (равные части заштрихованы одинаково).
Задача
Разрежьте изображённую на левом рисунке фигуру на две одинаковые части.
Ответ:См. рисунок.
Задача
Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на две части, из которых можно сложить треугольник.
Ответ: См. рисунок. 
Задача
У Кая есть ледяная пластинка в форме "уголка" (см. рисунок). Снежная Королева потребовала от Кая разрезать ее на четыре равные части. Как ему это сделать?
Решение
Надо разрезать этот уголок на четыре маленьких уголка так, как показано на рисунке:
Задача
Разрежьте фигуру (см. рисунок) на две одинаковые (совпадающие при наложении) части.
Задача
Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на две равные части.
Решение
Задача
Разрежьте данную фигуру (см. рисунок) на три равных фигуры.
Решение
Исходная фигура состоит из восемнадцати клеток, следовательно, каждая из трех фигур, на которые нужно ее разбить, должна состоять из шести клеток. Перебором устанавливаем, что 5 клеток искомой фигуры должны лежать в одном ряду.
Задача
Разрежьте уголок, изображенный на рисунке на четыре таких же уголка вдвое меньшего размера.
Решение
Задача
В Волшебной Стране свои волшебные законы природы, один из которых гласит: «Ковер-самолет будет летать только тогда, когда он имеет прямоугольную форму». У Ивана-царевича был ковер-самолет размером 9×12. Как-то раз Змей Горыныч подкрался и отрезал от этого ковра маленький коврик размером 1×8. Иван-царевич очень расстроился и хотел было отрезать еще кусочек 1×4, чтобы получился прямоугольник 8×12, но Василиса Премудрая предложила поступить по-другому. Она разрезала ковер на три части, из которых волшебными нитками сшила квадратный ковер-самолет размером 10×10. Сможете ли Вы догадаться, как Василиса Премудрая переделала испорченный ковер?
Подсказка
Подумайте, как стал выглядеть ковер-самолет после того, как Змей Горыныч отрезал от него кусок.
Решение
После того как Змей Горыныч испортил ковер, Иван-царевич мог отрезать от этого ковра кусочек размером 1х4 и превратить его в ковер размером 8×12. Это значит, что после ухода Змея Горыныча ковер выглядел так, как показано на рис. 1. Василиса Премудрая разрезала этот ковер так, как показано на рис. 2, и сшила так, как показано на рис. 3.
Задача
Разрежьте изображённый на рисунке пятиугольник на две одинаковые (совпадающие при наложении) части.
Задача
Пете и Коле выдали две одинаковые фигуры, вырезанные из клетчатой бумаги. Известно, что в каждой фигуре меньше, чем 16 клеток. Петя разрезал свою фигуру на части из четырех клеток (см. рисунок слева), а Коля разрезал свою фигуру на уголки из трех клеток (см. рисунок справа). Приведите пример фигуры, которую могли выдать мальчикам. Покажите, как эту фигуру разрезал на части Петя, и как ее разрезал Коля.
Решение
Из условия задачи следует, что искомая фигура должна состоять из 12 клеток. Три возможных фигуры и способы их разрезания показаны на рисунке.
Задача
Когда Кай справился с этим заданием, Королева дала ему другую ледяную пластинку (см. рисунок). Как разрезать ее на две равные части?
Решение
Смотри рисунок:
Задача
Можно ли квадратный лист бумаги размером 2*2 сложить так, чтобы его можно было разрезать на 4 квадрата 1*1 одним взмахом ножницами?
Подсказка
Складывать квадрат разрешается не только по линиям сетки.
Решение
Сложим квадрат пополам по диагонали, а затем полученный равнобедренный прямоугольный треугольник - еще раз пополам (см. картинку). Теперь все 4 отрезка длины 1, по которым нужно разрезать квадрат 2*2 на 4 квадрата 1*1, совместились. Тем самым, сделав единственный разрез ножницами, получим 4 квадрата 1*1. На самом деле, аналогичная задача может быть решена и для разрезания квадрата n*n на единичные квадратики.
Ответ: можно.
Задача
Найти все прямоугольники, которые можно разрезать на 13 равных квадратов.
Ответ: прямоугольники с отношением сторон 13: 1. Квадраты, на которые разрезан прямоугольник, по условию равны. Поэтому каждая сторона прямоугольника разбита на равные части: одна сторона на m частей, а другая на n . Общее число квадратов равно mn , поэтому mn = 13. Но число 13 простое, поэтому одно из чисел m и n равно 1, а другое равно 13.
Задача
Можно ли разрезать на четыре остроугольных треугольника а) какой-нибудь выпуклый пятиугольник, б) правильный пятиугольник.
Подсказка
Б) Каждая сторона пятиугольника содержит сторону одного из треугольников. Все углы правильного пятиугольника тупые.
Решение
А) См. рисунок.
Б) Каждая сторона пятиугольника содержит сторону одного из треугольников. У пятиугольника пять сторон, а треугольников у нас четыре. Значит, какие-то две стороны пятиугольника содержат стороны одного и того же треугольника. Следовательно, угол между этими сторонами тупой. Противоречие с тем, что все треугольники должны быть остроугольными.
Ответ: а) Да; б) нет.
Задача
Разрежьте одну из фигур, приведенных на рисунке, на две части так, чтобы из них можно было сложить каждую из оставшихся. Нарисуйте, как вы разрезаете и как складываете.
Решение
Например, разрежем первую фигуру так, как показано на рисунке 5.2.1. Складываем вторую и третью фигуры так, как показано на рисунке 5.2.2.
Задача
Из двух квадратов один. Имеются два квадрата 3×3 и 1×1. Разрезать эти квадраты прямыми на части (не более трех), из которых можно было бы сложить один квадрат.
Решение
На рисунке задача решена в общем случае. Пунктиром указан нужный квадрат. Докажите равенство треугольников, занумерованных одинаковыми цифрами.
Задача
Существует ли четырехугольник, который можно разрезать двумя прямыми на 6 кусков?
Подсказка
Четырехугольник с таким условием должен обязательно быть невыпуклым.
Решение
Пример ясен из картинки. 
Ответ: существует.
Задача
Разделите круг тремя прямолинейными разрезами на: а) 4 части; б) 5 частей; в) 6 частей; г) 7 частей.
Ответ: например:
а) или
б) или
в) или
г)
Задача
Петя разрезал фигуру на две равные части, как показано на рисунке. Придумайте, как разрезать эту фигуру на две равные части другим способом.
Решение
Приведём ещё два возможных варианта разреза, кроме приведённого в условии.
Замечание . Рассмотренная в задаче фигура является примером несимметричной фигуры (не имеющей ни центра, ни оси симметрии), которую можно разрезать на две равных фигуры тремя различными способами. Интересно было бы ответить на следующий вопрос: существует ли несимметричная фигура, которую можно разрезать на две равные четырьмя или большим числом способов? Если вам удастся придумать пример такой фигуры, напишите, пожалуйста, об этом жюри Турнира им. Ломоносова по адресу [email protected]
Задача
Кафельная плитка имеет форму прямоугольного треугольника с катетами 1 дм и 2 дм. Можно ли из 20 таких плиток сложить квадрат?
Решение
На рисунке 1 показано, как это можно сделать.
Задача
Разрежьте изображённую фигуру на две части, из которых можно сложить целый квадрат 8×8.
Ответ: См. рисунок.
Задача
Внутри круга нарисована точка. Покажите, что можно разрезать круг на две части так, чтобы из них можно было составить круг, в котором отмеченная точка являлась бы центром.
Подсказка
Границей разреза должна быть дуга окружности с центром в нарисованной точке.
Решение
Пусть O - центр данного круга S, а A - нарисованная точка. Если A совпадает с O, то перекраивать нечего. Иначе проведем окружность S" с центром в A и радиусом, равным радиусу круга S. Эта окружность разобьет круг S на две части. Первая из этих частей содержит точки A и O и симметрична относительно серединного перпендикуляра m, проведенного к отрезку AO. Эту часть оставим на месте. Вторую часть (имеющую форму "месяца") переложим так, чтобы она заняла положение, симметричное своему начальному положению относительно m. После этого первая и вторая часть заполняют внутренность окружности S". Тем самым, требуемое перекраивание круга проделано.
Приведем также другое решение.
Сделаем разрез по окружности, проходящей через точки O и А и целиком лежащей в заданном круге. Получается два куска: один - круг, а другой - несимметричное кольцо. Теперь поворачиваем круг вокруг его центра до совпадения точки А с центром круга S - точкой O.
Задача
Каким наименьшим числом прямых можно разрезать все клетки шахматной доски 3*3?
Подсказка
Одной прямой точно не хватит.
Решение
Пример с двумя прямыми изображен на картинке. С другой стороны, одной прямой не хватит. В самом деле, нетрудно понять, что одна прямая не может пересечь даже три из четырех угловых клеток.
Ответ: двумя.
Задача
Снежная Королева предпочитает идеальные фигуры, поэтому она так любит квадраты. Она дала Каю крест (см. рисунок справа), чтобы тот разделил его на равные части и собрал из них квадрат. Как это можно сделать?
Решение
Пусть длина каждой стороны креста равна 1. Тогда необходимо так разрезать крест на части, чтобы из этих частей можно было собрать квадрат площади 5.
Соединим середины противоположных сторон, как на рисунке. Из четырех полученных фигур сложим искомый квадрат.
Задача
У Кая имеется кусок шахматной доски 7×7 клеток из драгоценного хрусталя и алмазный нож. Кай хочет, не теряя материала и проводя разрезы только по краям клеток, распилить доску на 6 частей так, чтобы из них сделать три новых квадрата, все разных размеров. Как это сделать?
Решение
Из квадрата 7×7 можно получить с помощью разрезаний только квадраты со сторонами 2, 3 и 6, так как число 49 раскладывается в сумму трех квадратов только одним способом: 49 = 36 + 9 + 4. Пример разрезания на шесть частей смотри на рисунке:
Здесь из зеленых частей можно сложить квадрат 6×6. Существует способ решить задачу, разрезав квадрат на пять частей:
Задача
Длины оснований трапеции равны m см и n см (m и n - натуральные числа, m не равно n). Докажите, что трапецию можно разрезать на равные треугольники.
Решение
Пусть m>n. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения и разобьём каждую сторону получившегося треугольника на m равных частей. Через точки деления проведём прямые, параллельные сторонам треугольника (см. рис. 8.1), и по теореме Фалеса получим разбиение треугольника на равные маленькие треугольники. Верхнее основание трапеции является одной из проведённых линий, так как его длина выражается целым числом сантиметров. Таким образом, мы получили разбиение трапеции на равные треугольники.
Рис. 8.1
Задача
В равнобокой трапеции одно из оснований в три раза больше другого. Угол при большем основании равен 45 o . Покажите, как разрезать трапецию на три части и сложить из них квадрат. Обоснуйте решение.
Решение
Пусть основание AD данной равнобокой трапеции ABCD в три раза больше основания BC , BAD = CDA = 45 o . Проведём высоты BE и CH . Тогда
AE = DH = = = BC.
В прямоугольном треугольнике CHD острый угол равен 45 o , значит, этот треугольник - равнобедренный. Треугольник BCH равен треугольнику CHD по двум катетам. Из треугольников ABH , BCH и CHD можно сложить квадрат ABHK .
Задача
Покажите как любой четырехугольник разрезать на три трапеции (параллелограмм тоже можно считать трапецией).
Решение
Пусть B - наибольший
внутренний угол данного четырехугольника ABCD. Проведем разрез BM из вершины B, параллельный стороне AD (точка M попадет внутрь четырехугольника). Из точки M проводим разрезы MN и MK, параллельные сторонам BC и CD соответственно (рис.). 