Kvadrat tenglamalar 8-sinfda o'rganiladi, shuning uchun bu erda murakkab narsa yo'q. Ularni hal qilish qobiliyati juda muhimdir.

Kvadrat tenglama ax 2 + bx + c = 0 ko'rinishdagi tenglama bo'lib, bunda a , b va c koeffitsientlari ixtiyoriy sonlar, a ≠ 0 bo'ladi.

Muayyan yechim usullarini o'rganishdan oldin, barcha kvadrat tenglamalarni uchta sinfga bo'lish mumkinligini ta'kidlaymiz:

1. Ildizlari yo'q;
2. Ularning aynan bitta ildizi bor;
3. Ular ikki xil ildizga ega.

Bu kvadratik va chiziqli tenglamalar o'rtasidagi muhim farq, bu erda ildiz har doim mavjud va yagonadir. Tenglamaning nechta ildizi borligini qanday aniqlash mumkin? Buning uchun ajoyib narsa bor - diskriminant.

Diskriminant

ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tenglama berilsin.U holda diskriminant oddiygina D = b 2 - 4ac soni bo'ladi.

Bu formulani yoddan bilish kerak. Endi u qaerdan kelgani muhim emas. Yana bir narsa muhim: diskriminant belgisi bilan kvadrat tenglamaning nechta ildizi borligini aniqlashingiz mumkin. Aynan:

1. Agar D< 0, корней нет;
2. Agar D = 0 bo'lsa, aynan bitta ildiz mavjud;
3. Agar D > 0 bo'lsa, ikkita ildiz bo'ladi.

E'tibor bering: diskriminant negadir ko'pchilik o'ylaganidek, ularning belgilarini emas, balki ildizlar sonini ko'rsatadi. Misollarni ko'rib chiqing va siz hamma narsani o'zingiz tushunasiz:

Vazifa. Kvadrat tenglamalar nechta ildizga ega:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Birinchi tenglama uchun koeffitsientlarni yozamiz va diskriminantni topamiz:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Demak, diskriminant musbat, shuning uchun tenglama ikki xil ildizga ega. Ikkinchi tenglamani xuddi shu tarzda tahlil qilamiz:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant salbiy, ildizlar yo'q. Oxirgi tenglama qoladi:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant nolga teng - ildiz bitta bo'ladi.

E'tibor bering, har bir tenglama uchun koeffitsientlar yozilgan. Ha, bu uzoq, ha, zerikarli - lekin siz kelishmovchiliklarni aralashtirmaysiz va ahmoqona xatolarga yo'l qo'ymaysiz. O'zingiz uchun tanlang: tezlik yoki sifat.

Aytgancha, agar siz "qo'lingizni to'ldirsangiz" bir muncha vaqt o'tgach, barcha koeffitsientlarni yozishingiz shart emas. Siz bunday operatsiyalarni boshingizda bajarasiz. Aksariyat odamlar buni 50-70 ta echilgan tenglamadan keyin bir joyda qilishni boshlaydilar - umuman olganda, unchalik emas.

Kvadrat tenglamaning ildizlari

Endi yechimga o'tamiz. Diskriminant D > 0 bo'lsa, ildizlarni quyidagi formulalar yordamida topish mumkin:

Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun asosiy formula

D = 0 bo'lganda, siz ushbu formulalarning har qandayidan foydalanishingiz mumkin - siz bir xil raqamni olasiz, bu javob bo'ladi. Nihoyat, agar D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Birinchi tenglama:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ tenglama ikkita ildizga ega. Keling, ularni topamiz:

Ikkinchi tenglama:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ tenglama yana ikkita ildizga ega. Keling, ularni topamiz

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \o'ng))=3. \\ \end (tekislash)\]

Nihoyat, uchinchi tenglama:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ tenglama bitta ildizga ega. Har qanday formuladan foydalanish mumkin. Masalan, birinchisi:

Misollardan ko'rinib turibdiki, hamma narsa juda oddiy. Agar siz formulalarni bilsangiz va hisoblay olsangiz, hech qanday muammo bo'lmaydi. Ko'pincha xatolar formulaga manfiy koeffitsientlar kiritilganda yuzaga keladi. Bu erda, yana, yuqorida tavsiflangan texnika yordam beradi: formulaga tom ma'noda qarang, har bir qadamni bo'yash - va tezda xatolardan xalos bo'ling.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalar

Shunday bo'ladiki, kvadrat tenglama ta'rifda berilganidan biroz farq qiladi. Masalan:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Ushbu tenglamalarda atamalardan biri etishmayotganligini ko'rish oson. Bunday kvadrat tenglamalarni echish standart tenglamalarga qaraganda osonroq: ular hatto diskriminantni hisoblashning hojati yo'q. Shunday qilib, keling, yangi kontseptsiyani kiritamiz:

ax 2 + bx + c = 0 tenglama, agar b = 0 yoki c = 0 bo'lsa, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama deyiladi, ya'ni. o'zgaruvchan x yoki erkin elementning koeffitsienti nolga teng.

Albatta, bu koeffitsientlarning ikkalasi ham nolga teng bo'lganda juda qiyin holat bo'lishi mumkin: b \u003d c \u003d 0. Bunday holda, tenglama ax 2 \u003d 0 ko'rinishini oladi. Shubhasiz, bunday tenglama bittaga ega. ildiz: x \u003d 0.

Keling, boshqa holatlarni ko'rib chiqaylik. b \u003d 0 bo'lsin, keyin ax 2 + c \u003d 0 ko'rinishidagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani olamiz. Keling, uni biroz o'zgartiramiz:

Arifmetik kvadrat ildiz faqat manfiy bo'lmagan sondan mavjud bo'lganligi sababli, oxirgi tenglik (−c / a ) ≥ 0 bo'lgandagina ma'noga ega bo'ladi. Xulosa:

1. Agar ax 2 + c = 0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama (−c / a ) ≥ 0 tengsizlikni qanoatlantirsa, ikkita ildiz bo'ladi. Formula yuqorida keltirilgan;
2. Agar (−c / a)< 0, корней нет.

Ko'rib turganingizdek, diskriminant talab qilinmadi - to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarda murakkab hisob-kitoblar umuman yo'q. Aslida, (−c / a ) ≥ 0 tengsizligini eslash ham shart emas. X 2 qiymatini ifodalash va tenglik belgisining boshqa tomonida nima borligini ko'rish kifoya. Agar ijobiy raqam bo'lsa, ikkita ildiz bo'ladi. Salbiy bo'lsa, hech qanday ildiz bo'lmaydi.

Endi erkin element nolga teng ax 2 + bx = 0 ko'rinishdagi tenglamalar bilan shug'ullanamiz. Bu erda hamma narsa oddiy: har doim ikkita ildiz bo'ladi. Polinomni faktorlarga ajratish kifoya:

Qavsdan umumiy omilni chiqarish

Faktorlarning kamida bittasi nolga teng bo'lganda mahsulot nolga teng bo'ladi. Bu ildizlar qaerdan keladi. Xulosa qilib, biz ushbu tenglamalarning bir nechtasini tahlil qilamiz:

Vazifa. Kvadrat tenglamalarni yeching:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Hech qanday ildiz yo'q, chunki kvadrat manfiy songa teng bo'lishi mumkin emas.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Onlayn tenglamalarni yechish xizmati har qanday tenglamani echishga yordam beradi. Bizning saytimizdan foydalanib, siz nafaqat tenglamaga javob olasiz, balki batafsil yechimni, ya'ni natijani olish jarayonining bosqichma-bosqich ko'rinishini ham ko'rasiz. Bizning xizmatimiz o'rta maktab o'quvchilari va ularning ota-onalari uchun foydali bo'ladi. Talabalar testlarga, imtihonlarga tayyorlanishlari, bilimlarini sinab ko‘rishlari, ota-onalar esa bolalar tomonidan matematik tenglamalarni yechishlarini nazorat qilishlari mumkin bo‘ladi. Tenglamalarni yechish qobiliyati talabalar uchun majburiy talabdir. Xizmat sizga matematik tenglamalar sohasidagi bilimlaringizni mustaqil ravishda o'rganishga va yaxshilashga yordam beradi. Uning yordamida istalgan tenglamani yechish mumkin: kvadratik, kubik, irratsional, trigonometrik va hokazo.Onlayn xizmatning foydasi beqiyos, chunki to‘g‘ri javobdan tashqari, har bir tenglamaning batafsil yechimini olasiz. Onlayn tenglamalarni yechishning afzalliklari. Bizning veb-saytimizda istalgan tenglamani mutlaqo bepul onlayn tarzda yechishingiz mumkin. Xizmat to'liq avtomatik, kompyuteringizga hech narsa o'rnatishingiz shart emas, faqat ma'lumotlarni kiritishingiz kerak va dastur yechimni chiqaradi. Har qanday hisoblash xatolari yoki matn terish xatolari bundan mustasno. Biz bilan har qanday tenglamani onlayn yechish juda oson, shuning uchun har qanday tenglamalarni yechish uchun saytimizdan foydalaning. Siz faqat ma'lumotlarni kiritishingiz kerak va hisoblash bir necha soniya ichida yakunlanadi. Dastur mustaqil ravishda, inson aralashuvisiz ishlaydi va siz aniq va batafsil javob olasiz. Tenglamani umumiy shaklda yechish. Bunday tenglamada o'zgaruvchan koeffitsientlar va kerakli ildizlar bir-biriga bog'langan. O'zgaruvchining eng yuqori kuchi bunday tenglamaning tartibini belgilaydi. Shunga asoslanib, yechim topish uchun tenglamalar uchun turli usullar va teoremalardan foydalaniladi. Ushbu turdagi tenglamalarni yechish umumiy shaklda kerakli ildizlarni topishni anglatadi. Bizning xizmatimiz hatto eng murakkab algebraik tenglamani ham onlayn tarzda yechish imkonini beradi. Siz ko'rsatgan koeffitsientlarning raqamli qiymatlari uchun tenglamaning umumiy yechimini ham, shaxsiy echimini ham olishingiz mumkin. Saytda algebraik tenglamani yechish uchun faqat ikkita maydonni to'g'ri to'ldirish kifoya: berilgan tenglamaning chap va o'ng qismlari. O'zgaruvchan koeffitsientli algebraik tenglamalar cheksiz ko'p echimlarga ega va ma'lum shartlarni o'rnatish orqali echimlar to'plamidan alohidalari tanlanadi. Kvadrat tenglama. Kvadrat tenglama a>0 uchun ax^2+bx+c=0 ko'rinishga ega. Kvadrat shakldagi tenglamalarning yechimi x ning qiymatlarini topishni nazarda tutadi, bunda ax ^ 2 + bx + c \u003d 0 tengligi qondiriladi. Buning uchun diskriminantning qiymati D=b^2-4ac formula orqali topiladi. Agar diskriminant noldan kichik bo'lsa, tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q (ildizlar kompleks sonlar maydonidan), agar u nolga teng bo'lsa, unda tenglama bitta haqiqiy ildizga ega, agar diskriminant noldan katta bo'lsa, u holda tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega, ular quyidagi formula bo'yicha topiladi: D \u003d -b + -sqrt / 2a. Kvadrat tenglamani onlayn hal qilish uchun siz bunday tenglamaning koeffitsientlarini (butun sonlar, kasrlar yoki o'nlik qiymatlar) kiritishingiz kerak. Agar tenglamada ayirish belgilari mavjud bo'lsa, tenglamaning tegishli shartlari oldiga minus qo'yish kerak. Parametrga, ya'ni tenglama koeffitsientlaridagi o'zgaruvchilarga qarab, kvadrat tenglamani onlayn rejimda ham yechish mumkin. Umumiy echimlarni topish bo'yicha onlayn xizmatimiz bu vazifani mukammal darajada bajaradi. Chiziqli tenglamalar. Chiziqli tenglamalarni (yoki tenglamalar tizimini) yechish uchun amalda to'rtta asosiy usul qo'llaniladi. Keling, har bir usulni batafsil bayon qilaylik. O'zgartirish usuli. Tenglamalarni almashtirish usuli yordamida yechish uchun bir o‘zgaruvchini boshqalari bilan ifodalash kerak bo‘ladi. Shundan so'ng, ifoda tizimning boshqa tenglamalariga almashtiriladi. Demak, yechim usulining nomi, ya'ni o'zgaruvchi o'rniga uning qolgan o'zgaruvchilar orqali ifodalanishi almashtiriladi. Amalda, usul murakkab hisob-kitoblarni talab qiladi, garchi tushunish oson bo'lsa-da, shuning uchun bunday tenglamani onlayn tarzda echish vaqtni tejaydi va hisob-kitoblarni osonlashtiradi. Siz shunchaki tenglamadagi noma'lumlar sonini ko'rsatishingiz va chiziqli tenglamalardan ma'lumotlarni to'ldirishingiz kerak, keyin xizmat hisob-kitobni amalga oshiradi. Gauss usuli. Usul ekvivalent uchburchak sistemaga erishish uchun tizimning eng oddiy o'zgarishlariga asoslanadi. Undan noma'lumlar birma-bir aniqlanadi. Amalda siz bunday tenglamani batafsil tavsif bilan onlayn tarzda echishingiz kerak, buning yordamida siz chiziqli tenglamalar tizimini echish uchun Gauss usulini yaxshi o'rganasiz. Chiziqli tenglamalar tizimini to'g'ri formatda yozing va tizimni to'g'ri yechish uchun noma'lumlar sonini hisobga oling. Kramer usuli. Bu usul sistemaning yagona yechimiga ega bo'lgan hollarda tenglamalar tizimini yechadi. Bu erda asosiy matematik operatsiya matritsa determinantlarini hisoblashdir. Cramer usuli bo'yicha tenglamalarni echish onlayn tarzda amalga oshiriladi, siz to'liq va batafsil tavsif bilan darhol natijaga erishasiz. Tizimni koeffitsientlar bilan to'ldirish va noma'lum o'zgaruvchilar sonini tanlash kifoya. matritsa usuli. Bu usul A matritsadagi noma'lumlar koeffitsientlarini, X ustundagi noma'lumlar va B ustunidagi erkin hadlarni yig'ishdan iborat. Shunday qilib, chiziqli tenglamalar tizimi AxX=B ko'rinishdagi matritsa tenglamaga keltiriladi. Bu tenglama faqat A matritsaning determinanti nolga teng bo'lmasa, yagona yechimga ega bo'ladi, aks holda sistemada yechimlar yo'q yoki cheksiz sonli yechimlar mavjud. Tenglamalarni matritsa usulida yechish teskari A matritsani topishdan iborat.

7-sinf matematika kursida ular birinchi navbatda uchrashadilar ikki o'zgaruvchili tenglamalar, lekin ular faqat ikkita noma’lumli tenglamalar sistemasi kontekstida o‘rganiladi. Shuning uchun ham bir qator muammolar ko'zdan chetda qoladi, ularda ularni cheklovchi tenglama koeffitsientlari bo'yicha ma'lum shartlar kiritiladi. Bundan tashqari, "Natural yoki butun sonlardagi tenglamani yechish" kabi muammolarni hal qilish usullari ham e'tiborga olinmaydi, garchi bunday muammolar USE materiallarida va kirish imtihonlarida ko'proq uchraydi.

Qaysi tenglama ikki o‘zgaruvchili tenglama deb ataladi?

Demak, masalan, 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 yoki xy = 12 tenglamalari ikki o'zgaruvchili tenglamalardir.

2x - y = 1 tenglamasini ko'rib chiqing. U x = 2 va y = 3 da haqiqiy tenglikka aylanadi, shuning uchun bu o'zgaruvchan qiymatlar juftligi ko'rib chiqilayotgan tenglamaning yechimidir.

Shunday qilib, ikkita o'zgaruvchiga ega bo'lgan har qanday tenglamaning yechimi tartiblangan juftliklar to'plamidir (x; y), bu tenglama haqiqiy sonli tenglikka aylanadigan o'zgaruvchilarning qiymatlari.

Ikki noma'lumli tenglama quyidagicha bo'lishi mumkin:

A) bitta yechim bor. Masalan, x 2 + 5y 2 = 0 tenglama yagona yechimga ega (0; 0);

b) bir nechta echimlarga ega. Masalan, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ning 4 ta yechimi bor: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) yechimlari yo'q. Masalan, x 2 + y 2 + 1 = 0 tenglamaning yechimlari yo'q;

G) cheksiz ko'p echimlarga ega. Masalan, x + y = 3. Bu tenglamaning yechimlari yig'indisi 3 ga teng bo'lgan sonlar bo'ladi. Bu tenglamaning yechimlari to'plamini (k; 3 - k) shaklida yozish mumkin, bu erda k har qanday haqiqiy sondir.

Ikki o'zgaruvchili tenglamalarni yechishning asosiy usullari - faktoring ifodalariga asoslangan usullar, to'liq kvadratni ajratib ko'rsatish, kvadrat tenglamaning xususiyatlaridan foydalanish, chegaralangan ifodalar va baholash usullari. Tenglama, qoida tariqasida, noma'lumlarni topish tizimini olish mumkin bo'lgan shaklga aylantiriladi.

Faktorizatsiya

1-misol

Tenglamani yeching: xy - 2 = 2x - y.

Yechim.

Faktoring maqsadlari uchun shartlarni guruhlaymiz:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Har bir qavsdan umumiy omilni chiqaring:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Bizda:

y = 2, x har qanday haqiqiy son yoki x = -1, y har qanday haqiqiy son.

Shunday qilib, javob (x; 2), x € R va (-1; y), y € R shaklidagi barcha juftliklardir.

Manfiy bo'lmagan sonlarning nolga tengligi

2-misol

Tenglamani yeching: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Yechim.

Guruhlash:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Endi har bir qavsni kvadratlar ayirmasi formulasi yordamida yig'ish mumkin.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Ikki manfiy bo'lmagan ifodaning yig'indisi faqat 3x - 2 = 0 va 2y - 3 = 0 bo'lganda nolga teng.

Shunday qilib, x = 2/3 va y = 3/2.

Javob: (2/3; 3/2).

Baholash usuli

3-misol

Tenglamani yeching: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Yechim.

Har bir qavs ichida to'liq kvadratni tanlang:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Baholash qavs ichidagi iboralarning ma'nosi.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 va (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, u holda tenglamaning chap tomoni har doim kamida 2 bo'ladi. Tenglik mumkin, agar:

(x + 1) 2 + 1 = 1 va (y - 2) 2 + 2 = 2, shuning uchun x = -1, y = 2.

Javob: (-1; 2).

Ikkinchi darajali ikkita o'zgaruvchili tenglamalarni yechishning yana bir usuli bilan tanishamiz. Bu usul tenglama sifatida qaraladi ba'zi o'zgaruvchilarga nisbatan kvadrat.

4-misol

Tenglamani yeching: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Yechim.

Tenglamani x ga nisbatan kvadratik qilib yechamiz. Diskriminantni topamiz:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Tenglama faqat D = 0 bo'lganda, ya'ni y = 4 bo'lganda yechimga ega bo'ladi. Dastlabki tenglamaga y ning qiymatini almashtiramiz va x = 3 ekanligini topamiz.

Javob: (3; 4).

Ko'pincha ikkita noma'lum tenglamalarda ko'rsatiladi o'zgaruvchilarga cheklovlar.

5-misol

Tenglamani butun sonlarda yeching: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Yechim.

Tenglamani x 2 = -5y 2 + 20x + 2 ko'rinishida qayta yozamiz. Hosil bo'lgan tenglamaning o'ng tomoni 5 ga bo'linganda 2 qoldiqni beradi. Demak, x 2 5 ga bo'linmaydi. Lekin kvadrat 5 ga bo'linmaydigan sonning 1 yoki 4 qoldig'ini beradi. Shunday qilib, tenglik mumkin emas va hech qanday yechim yo'q.

Javob: ildiz yo'q.

6-misol

Tenglamani yeching: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Yechim.

Keling, har bir qavsdagi to'liq kvadratlarni tanlaymiz:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Tenglamaning chap tomoni har doim 3 dan katta yoki teng. Tenglik mumkin, agar |x| – 2 = 0 va y + 3 = 0. Shunday qilib, x = ± 2, y = -3.

Javob: (2; -3) va (-2; -3).

7-misol

Tenglamani qanoatlantiruvchi manfiy butun sonlar juftligi (x; y) uchun
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, yig'indini hisoblang (x + y). Eng kichik miqdorga javob bering.

Yechim.

To'liq kvadratlarni tanlang:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. X va y butun sonlar bo'lgani uchun ularning kvadratlari ham butun sonlardir. Ikkita butun sonning kvadratlari yig'indisi 37 ga teng, agar biz 1 + 36 ni qo'shsak, olamiz. Shuning uchun:

(x - y) 2 = 36 va (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 va (y + 2) 2 = 36.

Bu sistemalarni yechib, x va y manfiy ekanligini hisobga olib, yechimlarni topamiz: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Javob: -17.

Ikki noma'lumli tenglamalarni echishda qiyinchiliklarga duch kelsangiz, umidsizlikka tushmang. Bir oz mashq qilsangiz, har qanday tenglamani o'zlashtira olasiz.

Savollaringiz bormi? Ikki o'zgaruvchili tenglamalarni qanday yechish kerakligini bilmayapsizmi?
Repetitor yordamini olish uchun - ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.

matematikani hal qilish uchun. Tez toping matematik tenglama yechimi rejimida onlayn. www.site veb-sayti ruxsat beradi tenglamani yeching deyarli har qanday berilgan algebraik, trigonometrik yoki onlayn transsendental tenglama. Turli bosqichlarda matematikaning deyarli har qanday bo'limini o'rganayotganda, qaror qabul qilish kerak onlayn tenglamalar. Darhol javob olish va eng muhimi aniq javob olish uchun sizga buni amalga oshirish imkonini beruvchi resurs kerak. www.saytga rahmat tenglamalarni onlayn yechish bir necha daqiqa vaqt oladi. Matematik masalalarni hal qilishda www.saytning asosiy afzalligi onlayn tenglamalar- berilgan javobning tezligi va aniqligi. Sayt har qanday narsani hal qila oladi onlayn algebraik tenglamalar, Trigonometrik tenglamalar onlayn, onlayn transsendental tenglamalar, shuningdek tenglamalar rejimida noma'lum parametrlar bilan onlayn. Tenglamalar kuchli matematik apparat bo‘lib xizmat qiladi yechimlar amaliy vazifalar. Yordam bilan matematik tenglamalar bir qarashda chalkash va murakkab ko‘rinadigan fakt va munosabatlarni ifodalash mumkin. noma'lum miqdorlar tenglamalar da muammoni shakllantirish orqali topish mumkin matematik shakldagi til tenglamalar Va qaror rejimida qabul qilingan vazifa onlayn www.site veb-saytida. Har qanday algebraik tenglama, trigonometrik tenglama yoki tenglamalar o'z ichiga olgan transsendental sizga osonlik bilan xosdir qaror onlayn va to'g'ri javobni oling. Tabiiy fanlarni o'rganar ekan, inson muqarrar ehtiyojga duch keladi tenglamalarni yechish. Bunday holda, javob aniq bo'lishi kerak va u darhol rejimda qabul qilinishi kerak onlayn. Shuning uchun, uchun matematik tenglamalarni onlayn yechish Sizning ajralmas kalkulyatoringizga aylanadigan www.site saytini tavsiya qilamiz algebraik tenglamalarni onlayn yechish, Trigonometrik tenglamalar onlayn, shuningdek onlayn transsendental tenglamalar yoki tenglamalar noma'lum parametrlar bilan. Turli xillarning ildizlarini topishning amaliy muammolari uchun matematik tenglamalar resurs www.. Yechish onlayn tenglamalar o'zingizdan foydalanib, olingan javobni tekshirish foydali bo'ladi tenglamalarni onlayn yechish www.site veb-saytida. Tenglamani to'g'ri yozish va darhol olish kerak onlayn yechim, shundan so'ng javobni sizning yechimingiz bilan tenglamaga solishtirishgina qoladi. Javobni tekshirish bir daqiqadan ko'proq vaqtni oladi, etarli tenglamani onlayn yechish va javoblarni solishtiring. Bu sizga xatolardan qochishga yordam beradi qaror va javobni o'z vaqtida to'g'rilang tenglamalarni onlayn yechish yoki algebraik, trigonometrik, transsendent yoki tenglama noma'lum parametrlar bilan.

Ushbu videoda biz bir xil algoritm yordamida echiladigan chiziqli tenglamalarning butun to'plamini tahlil qilamiz - shuning uchun ular eng oddiy deb ataladi.

Boshlash uchun, keling, aniqlaymiz: chiziqli tenglama nima va ulardan qaysi birini eng oddiy deb atash kerak?

Chiziqli tenglama - bu faqat bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan va faqat birinchi darajali tenglama.

Eng oddiy tenglama qurilishni anglatadi:

Boshqa barcha chiziqli tenglamalar algoritm yordamida eng oddiy tenglamalarga qisqartiriladi:

1. Qavslarni oching, agar mavjud bo'lsa;
2. Oʻzgaruvchisi boʻlgan shartlarni teng belgisining bir tomoniga, oʻzgaruvchisi boʻlmagan shartlarni ikkinchi tomoniga koʻchiring;
3. O'xshash atamalarni teng belgining chap va o'ng tomoniga keltiring;
4. Olingan tenglamani $x$ o'zgaruvchining koeffitsientiga bo'ling.

Albatta, bu algoritm har doim ham yordam bermaydi. Gap shundaki, ba'zida barcha bu hiyla-nayranglardan so'ng $x$ o'zgaruvchisining koeffitsienti nolga teng bo'lib chiqadi. Bunday holda, ikkita variant mavjud:

1. Tenglama umuman yechimga ega emas. Misol uchun, siz $0\cdot x=8$ kabi biror narsa olganingizda, ya'ni. chap tomonda nol, o'ngda esa nolga teng bo'lmagan raqam. Quyidagi videoda biz bu holatning mumkin bo'lgan bir nechta sabablarini ko'rib chiqamiz.
2. Yechim barcha raqamlardir. Bu mumkin bo'lgan yagona holat tenglama $0\cdot x=0$ konstruktsiyasiga qisqartirilganda bo'ladi. Qaysi $x$ ni almashtirsak ham, baribir “nol nolga teng”, ya’ni “nolga teng” bo‘lib chiqishi mantiqan to‘g‘ri. to'g'ri raqamli tenglik.

Va endi keling, bularning barchasi haqiqiy muammolar misolida qanday ishlashini ko'rib chiqaylik.

Tenglamalarni yechishga misollar

Bugun biz chiziqli tenglamalar bilan shug'ullanamiz va faqat eng oddiylari. Umuman olganda, chiziqli tenglama aynan bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan har qanday tenglikni anglatadi va u faqat birinchi darajaga boradi.

Bunday inshootlar taxminan bir xil tarzda hal qilinadi:

1. Avvalo, agar mavjud bo'lsa, qavslarni ochishingiz kerak (oxirgi misolimizda bo'lgani kabi);
2. Keyin shunga o'xshash narsalarni olib keling
3. Nihoyat, o'zgaruvchini ajratib oling, ya'ni. o'zgaruvchi bilan bog'liq bo'lgan hamma narsa - u mavjud bo'lgan atamalar - bir tomonga, usiz qolgan hamma narsa boshqa tomonga o'tkaziladi.

Keyin, qoida tariqasida, hosil bo'lgan tenglikning har bir tomoniga o'xshash narsalarni olib kelishingiz kerak va shundan keyin faqat "x" koeffitsientiga bo'linish qoladi va biz yakuniy javobni olamiz.

Nazariy jihatdan, bu yoqimli va sodda ko'rinadi, ammo amalda hatto tajribali o'rta maktab o'quvchilari ham juda oddiy chiziqli tenglamalarda haqoratli xatolarga yo'l qo'yishlari mumkin. Odatda, qavslarni ochishda yoki "ortiqcha" va "minuslar" ni hisoblashda xatolarga yo'l qo'yiladi.

Bundan tashqari, shunday bo'ladiki, chiziqli tenglamaning yechimlari umuman bo'lmaydi yoki yechim butun son chizig'i bo'ladi, ya'ni. har qanday raqam. Ushbu nozikliklarni bugungi darsimizda tahlil qilamiz. Ammo biz, siz allaqachon tushunganingizdek, eng oddiy vazifalardan boshlaymiz.

Oddiy chiziqli tenglamalarni yechish sxemasi

Boshlash uchun yana bir bor eng oddiy chiziqli tenglamalarni yechishning butun sxemasini yozishga ijozat bering:

1. Agar mavjud bo'lsa, qavslarni kengaytiring.
2. Yakka o'zgaruvchilar, ya'ni. "x" ni o'z ichiga olgan hamma narsa bir tomonga, "x"siz esa boshqa tomonga o'tkaziladi.
3. Biz shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz.
4. Biz hamma narsani "x" koeffitsientiga ajratamiz.

Albatta, bu sxema har doim ham ishlamaydi, u ma'lum nozikliklar va fokuslarga ega va endi biz ular bilan tanishamiz.

Oddiy chiziqli tenglamalarning haqiqiy misollarini yechish

№1 vazifa

Birinchi bosqichda bizdan qavslarni ochish talab qilinadi. Ammo ular bu misolda yo'q, shuning uchun biz bu bosqichni o'tkazib yuboramiz. Ikkinchi bosqichda biz o'zgaruvchilarni ajratishimiz kerak. E'tibor bering: biz faqat individual shartlar haqida gapiramiz. Keling, yozamiz:

Biz chap va o'ngda shunga o'xshash shartlarni beramiz, lekin bu erda allaqachon qilingan. Shuning uchun biz to'rtinchi bosqichga o'tamiz: omilga bo'ling:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Mana biz javob oldik.

Vazifa №2

Ushbu vazifada biz qavslarni kuzatishimiz mumkin, shuning uchun ularni kengaytiramiz:

Chapda ham, o'ngda ham taxminan bir xil qurilishni ko'ramiz, lekin keling, algoritmga muvofiq harakat qilaylik, ya'ni. sekvestr o'zgaruvchilari:

Mana bir nechtasi:

Bu qanday ildizlarda ishlaydi? Javob: har qanday uchun. Shuning uchun $x$ har qanday raqam ekanligini yozishimiz mumkin.

Vazifa №3

Uchinchi chiziqli tenglama allaqachon qiziqroq:

\[\chap(6-x \o'ng)+\chap(12+x \o'ng)-\chap(3-2x \o'ng)=15\]

Bu erda bir nechta qavslar bor, lekin ular hech narsa bilan ko'paytirilmaydi, faqat ularning oldida turli xil belgilar mavjud. Keling, ularni ajratamiz:

Bizga ma'lum bo'lgan ikkinchi bosqichni bajaramiz:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Keling, hisoblab chiqamiz:

Biz oxirgi bosqichni bajaramiz - biz hamma narsani "x" koeffitsientiga ajratamiz:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Chiziqli tenglamalarni yechishda eslash kerak bo'lgan narsalar

Agar biz juda oddiy vazifalarni e'tiborsiz qoldirsak, men quyidagilarni aytmoqchiman:

• Yuqorida aytganimdek, har bir chiziqli tenglamaning yechimi yo'q - ba'zida oddiygina ildizlar yo'q;
• Ildizlar bo'lsa ham, ularning orasiga nol kirishi mumkin - buning hech qanday yomon joyi yo'q.

Nol qolganlari bilan bir xil raqam, siz uni qandaydir kamsitmasligingiz kerak yoki agar siz nolga ega bo'lsangiz, unda siz noto'g'ri ish qildingiz deb o'ylamasligingiz kerak.

Yana bir xususiyat qavslarni kengaytirish bilan bog'liq. E'tibor bering: ularning oldida "minus" bo'lsa, biz uni olib tashlaymiz, ammo qavs ichida biz belgilarni o'zgartiramiz qarama-qarshi. Va keyin biz uni standart algoritmlarga muvofiq ochishimiz mumkin: biz yuqoridagi hisob-kitoblarda ko'rgan narsamizni olamiz.

Ushbu oddiy haqiqatni tushunish sizga o'rta maktabda ahmoqona va og'riqli xatolarga yo'l qo'ymaslikka yordam beradi, chunki bunday xatti-harakatlar odatiy holdir.

Murakkab chiziqli tenglamalarni yechish

Keling, murakkabroq tenglamalarga o'tamiz. Endi konstruktsiyalar murakkablashadi va har xil o'zgarishlarni amalga oshirishda kvadrat funktsiya paydo bo'ladi. Biroq, siz bundan qo'rqmasligingiz kerak, chunki agar muallifning niyatiga ko'ra, chiziqli tenglamani yechsak, transformatsiya jarayonida kvadrat funktsiyani o'z ichiga olgan barcha monomiallar albatta kamayadi.

№1 misol

Shubhasiz, birinchi qadam qavslarni ochishdir. Buni juda ehtiyotkorlik bilan qilaylik:

Endi maxfiylikni olaylik:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Mana bir nechtasi:

Shubhasiz, bu tenglamaning yechimlari yo'q, shuning uchun javobda biz quyidagicha yozamiz:

\[\variety\]

yoki ildizlari yo'q.

№2 misol

Biz bir xil qadamlarni bajaramiz. Birinchi qadam:

Keling, o'zgaruvchisi bo'lgan hamma narsani chapga, usiz esa o'ngga siljitamiz:

Mana bir nechtasi:

Shubhasiz, bu chiziqli tenglamaning yechimi yo'q, shuning uchun biz uni quyidagicha yozamiz:

\[\varnothing\],

yoki ildizlari yo'q.

Yechimning nuanslari

Ikkala tenglama ham to'liq yechilgan. Ushbu ikkita ifoda misolida biz yana bir bor amin bo'ldikki, hatto eng oddiy chiziqli tenglamalarda ham hamma narsa unchalik oddiy bo'lmasligi mumkin: bitta yoki hech biri yoki cheksiz ko'p bo'lishi mumkin. Bizning holatlarimizda biz ikkita tenglamani ko'rib chiqdik, ikkalasida ham ildiz yo'q.

Lekin men sizning e'tiboringizni yana bir faktga qaratmoqchiman: qavslar bilan qanday ishlash va ularning oldida minus belgisi bo'lsa, ularni qanday kengaytirish kerak. Ushbu ifodani ko'rib chiqing:

Ochishdan oldin hamma narsani "x" ga ko'paytirish kerak. Iltimos, diqqat qiling: ko'paytiring har bir alohida atama. Ichkarida ikkita atama mavjud - mos ravishda ikkita atama va ko'paytiriladi.

Va bu oddiy ko'rinadigan, ammo juda muhim va xavfli o'zgarishlar tugagandan keyingina, qavsni undan keyin minus belgisi borligi nuqtai nazaridan ochish mumkin. Ha, ha: faqat hozir, o'zgartirishlar amalga oshirilganda, biz qavslar oldida minus belgisi borligini eslaymiz, ya'ni pastdagi hamma narsa faqat belgilarni o'zgartiradi. Shu bilan birga, qavslarning o'zi yo'qoladi va eng muhimi, oldingi "minus" ham yo'qoladi.

Ikkinchi tenglama bilan ham xuddi shunday qilamiz:

Men bu mayda-chuyda, arzimasdek ko‘ringan faktlarga bejiz e’tibor bermadim. Chunki tenglamalarni yechish har doim elementar o‘zgarishlar ketma-ketligi bo‘lib, oddiy harakatlarni aniq va malakali bajara olmaslik yuqori sinf o‘quvchilarining mening oldimga kelib, yana shunday oddiy tenglamalarni yechishni o‘rganishiga olib keladi.

Albatta, siz bu ko'nikmalarni avtomatizmga aylantiradigan kun keladi. Endi har safar juda ko'p o'zgarishlarni amalga oshirishingiz shart emas, siz hamma narsani bitta qatorga yozasiz. Ammo endigina o'rganayotganingizda, har bir harakatni alohida yozishingiz kerak.

Bundan ham murakkab chiziqli tenglamalarni yechish

Biz hozir hal qilmoqchi bo'lgan narsani eng oddiy vazifa deb atash qiyin, ammo ma'no o'zgarishsiz qolmoqda.

№1 vazifa

\[\left(7x+1 \o'ng)\left(3x-1 \o'ng)-21((x)^(2))=3\]

Birinchi qismdagi barcha elementlarni ko'paytiramiz:

Keling, chekinamiz:

Mana bir nechtasi:

Keling, oxirgi qadamni bajaramiz:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Mana bizning yakuniy javobimiz. Va yechish jarayonida bizda kvadratik funktsiyaga ega koeffitsientlar bo'lganiga qaramay, ular o'zaro bekor qilindi, bu esa tenglamani kvadrat emas, balki aniq chiziqli qiladi.

Vazifa №2

\[\chap(1-4x \o'ng)\chap(1-3x \o'ng)=6x\chap(2x-1 \o'ng)\]

Keling, birinchi qadamni ehtiyotkorlik bilan bajaramiz: birinchi qavsdagi har bir elementni ikkinchisidagi har bir elementga ko'paytiring. O'zgarishlardan keyin jami to'rtta yangi atama olinishi kerak:

Va endi har bir muddatda ko'paytirishni diqqat bilan bajaring:

Keling, "x" bilan atamalarni chapga, va bo'lmagan holda - o'ngga siljiymiz:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Mana shunga o'xshash atamalar:

Biz aniq javob oldik.

Yechimning nuanslari

Ushbu ikki tenglama haqida eng muhim eslatma: biz bir muddatdan ortiq bo'lgan qavslarni ko'paytirishni boshlashimiz bilanoq, bu quyidagi qoidaga muvofiq amalga oshiriladi: biz birinchi haddan birinchisini olamiz va har bir element bilan ko'paytiramiz. ikkinchisidan; keyin birinchi elementdan ikkinchi elementni olamiz va xuddi shunday ikkinchi elementning har bir elementiga ko'paytiramiz. Natijada biz to'rtta shartni olamiz.

Algebraik yig'indi haqida

Oxirgi misol bilan men o'quvchilarga algebraik yig'indi nima ekanligini eslatib o'tmoqchiman. Klassik matematikada $1-7$ deganda biz oddiy qurilishni nazarda tutamiz: biz bittadan yettini ayiramiz. Algebrada bu bilan biz quyidagilarni nazarda tutamiz: “bir” soniga yana bir son, ya’ni “minus yetti” qo‘shamiz. Bu algebraik yig'indi odatdagi arifmetik yig'indidan farq qiladi.

Barcha o'zgarishlarni, har bir qo'shish va ko'paytirishni amalga oshirayotganda, yuqorida tavsiflanganlarga o'xshash konstruktsiyalarni ko'rishni boshlaysiz, polinomlar va tenglamalar bilan ishlashda algebrada hech qanday muammo bo'lmaydi.

Xulosa qilib aytganda, keling, biz ko'rib chiqqanlardan ham murakkabroq bo'lgan yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik va ularni hal qilish uchun biz standart algoritmimizni biroz kengaytirishimiz kerak.

Kasrli tenglamalarni yechish

Bunday vazifalarni hal qilish uchun bizning algoritmimizga yana bir qadam qo'shish kerak bo'ladi. Lekin birinchi navbatda algoritmimizni eslatib o'taman:

1. Ochiq qavslar.
2. Alohida o'zgaruvchilar.
3. Shunga o'xshash narsalarni keltiring.
4. Koeffitsientga bo'ling.

Afsuski, bu ajoyib algoritm, uning barcha samaradorligiga qaramay, oldimizda kasrlar mavjud bo'lganda mutlaqo mos kelmaydi. Va biz quyida ko'rib chiqamiz, biz ikkala tenglamada chap va o'ng tomonda kasrga egamiz.

Bu holatda qanday ishlash kerak? Ha, bu juda oddiy! Buning uchun siz algoritmga yana bir qadam qo'shishingiz kerak, uni birinchi harakatdan oldin ham, undan keyin ham bajarish mumkin, ya'ni kasrlardan xalos bo'lish. Shunday qilib, algoritm quyidagicha bo'ladi:

1. Fraksiyalardan xalos bo'ling.
2. Ochiq qavslar.
3. Alohida o'zgaruvchilar.
4. Shunga o'xshash narsalarni keltiring.
5. Koeffitsientga bo'ling.

"Kasrlardan xalos bo'lish" nimani anglatadi? Va nima uchun buni birinchi standart qadamdan keyin ham, oldin ham qilish mumkin? Aslida, bizning holatlarimizda, barcha kasrlar maxraj jihatidan sonli, ya'ni. hamma joyda maxraj faqat sondir. Shuning uchun, agar biz tenglamaning ikkala qismini ushbu raqamga ko'paytirsak, biz kasrlardan xalos bo'lamiz.

№1 misol

\[\frac(\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \o'ng))(4)=((x)^(2))-1\]

Keling, bu tenglamadagi kasrlardan xalos bo'laylik:

\[\frac(\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \o'ng)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \o'ng)\cdot 4\]

E'tibor bering: hamma narsa bir marta "to'rt" ga ko'paytiriladi, ya'ni. Sizda ikkita qavs borligi ularning har birini "to'rt" ga ko'paytirish kerak degani emas. Keling, yozamiz:

\[\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \o'ng)\cdot 4\]

Endi uni ochamiz:

Biz o'zgaruvchini ajratishni amalga oshiramiz:

Biz shunga o'xshash atamalarni qisqartiramiz:

\[-4x=-1\chap| :\left(-4 \o'ng) \o'ng.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Biz yakuniy yechimni oldik, ikkinchi tenglamaga o'tamiz.

№2 misol

\[\frac(\left(1-x \o'ng)\left(1+5x \o'ng))(5)+(x)^(2))=1\]

Bu erda biz bir xil harakatlarni bajaramiz:

\[\frac(\left(1-x \o'ng)\left(1+5x \o'ng)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Muammo hal qilindi.

Aslida, men bugun aytmoqchi bo'lgan narsam shu edi.

Asosiy fikrlar

Asosiy topilmalar quyidagilardan iborat:

• Chiziqli tenglamalarni yechish algoritmini bilish.
• Qavslarni ochish qobiliyati.
• Agar biror joyda kvadratik funktsiyalaringiz bo'lsa, tashvishlanmang, ehtimol keyingi o'zgarishlar jarayonida ular kamayadi.
• Chiziqli tenglamalardagi ildizlar, hatto eng oddiylari ham uch xil bo'ladi: bitta ildiz, butun son chizig'i ildiz, umuman ildiz yo'q.

Umid qilamanki, bu dars sizga barcha matematikani qo'shimcha tushunish uchun oddiy, ammo juda muhim mavzuni o'zlashtirishga yordam beradi. Agar biror narsa aniq bo'lmasa, saytga o'ting, u erda keltirilgan misollarni hal qiling. Bizni kuzatib boring, sizni yana ko'plab qiziqarli narsalar kutmoqda!