Funksiya chegarasining Geyne bo‘yicha (ketma-ketliklar bo‘yicha) va Koshi bo‘yicha (epsilon va delta mahallalari bo‘yicha) ta’riflari berilgan. Ta'riflar cheklangan va cheksiz nuqtalarda ham ikki tomonlama, ham bir tomonlama chegaralar uchun qo'llaniladigan universal shaklda berilgan. a nuqtasi funksiyaning chegarasi emasligi haqidagi ta'rif ko'rib chiqiladi. Geyne va Koshi bo'yicha ta'riflarning ekvivalentligini isbotlash.

Tarkib

Shuningdek qarang: Bir nuqtaning qo'shnisi
Funksiyaning oxirgi nuqtadagi chegarasini aniqlash
Funksiyaning cheksizlikdagi chegarasini aniqlash

Funktsiya chegarasining birinchi ta'rifi (Geyne bo'yicha)

(x) x nuqtada 0 :
,
Agar
1) x nuqtaning shunday teshilgan qo'shnisi bor 0
2) har qanday ketma-ketlik uchun ( x n ), x ga yaqinlashish 0 :
, uning elementlari mahallaga tegishli,
keyingi ketma-ketlik (f(xn)) ga yaqinlashadi:
.

Bu erda x 0 a esa chekli sonlar yoki cheksizlikdagi nuqtalar bo‘lishi mumkin. Mahalla ikki tomonlama yoki bir tomonlama bo'lishi mumkin.

.

Funktsiya chegarasining ikkinchi ta'rifi (Koshi bo'yicha)

a soni f funksiyaning chegarasi deyiladi (x) x nuqtada 0 :
,
Agar
1) x nuqtaning shunday teshilgan qo'shnisi bor 0 funksiya aniqlangan;
2) har qanday musbat son e uchun > 0 d e soni mavjud > 0 , e ga qarab, x nuqtaning teshilgan d e mahallasiga tegishli barcha x uchun 0 :
,
funktsiya qiymatlari f (x) a nuqtaning e - mahallalariga tegishli:
.

nuqta x 0 a esa chekli sonlar yoki cheksizlikdagi nuqtalar bo‘lishi mumkin. Mahalla ham ikki tomonlama, ham bir tomonlama bo'lishi mumkin.

Biz ushbu ta'rifni borliq va universallikning mantiqiy belgilaridan foydalanib yozamiz:
.

Ushbu ta'rifda uchlari bir xil masofada joylashgan mahallalar qo'llaniladi. Ekvivalent ta'rifni nuqtalarning ixtiyoriy qo'shnilari yordamida ham berish mumkin.

O'zboshimchalik bilan qo'shnilar yordamida ta'rif
a soni f funksiyaning chegarasi deyiladi (x) x nuqtada 0 :
,
Agar
1) x nuqtaning shunday teshilgan qo'shnisi bor 0 funksiya aniqlangan;
2) har qanday mahalla U uchun (a) a nuqta x nuqtaning shunday teshilgan qo'shnisi bor 0 , bu x nuqtaning teshilgan qo'shnisiga tegishli barcha x uchun 0 :
,
funktsiya qiymatlari f (x) U mahallasiga tegishli (a) a:
.

Borliq va universallikning mantiqiy belgilaridan foydalanib, bu ta’rifni quyidagicha yozish mumkin:
.

Bir tomonlama va ikki tomonlama chegaralar

Yuqoridagi ta'riflar universaldir, chunki ular har qanday turdagi mahalla uchun ishlatilishi mumkin. Agar biz oxirgi nuqtaning chap qo'l bilan teshilgan qo'shnisidan foydalanganda, biz chap qo'l chegarasining ta'rifini olamiz. Agar biz cheksizlikdagi nuqtaning qo'shniligini qo'shni sifatida ishlatsak, u holda cheksizlikdagi chegara ta'rifini olamiz.

Geynega ko'ra chegarani aniqlash uchun bu ga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlikka qo'shimcha cheklov qo'yilganligini, uning elementlari nuqtaning tegishli teshilgan qo'shnisiga tegishli bo'lishi kerakligini kamaytiradi.

Koshi chegarasini aniqlash uchun har bir holatda nuqta qo'shnisining tegishli ta'riflaridan foydalangan holda ifodalarni va tengsizliklarga aylantirish kerak.
"Nuqtaning qo'shnisi" ga qarang.

a nuqtani funksiyaning chegarasi emasligini aniqlash

Ko'pincha a nuqtasi funktsiyaning chegarasi emasligi shartidan foydalanishga ehtiyoj bor. Keling, yuqoridagi ta'riflarga inkorlar tuzamiz. Ularda biz f funksiyasi deb faraz qilamiz (x) x nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisida aniqlanadi 0 . a va x nuqtalari 0 chekli sonlar ham, cheksiz masofali ham bo'lishi mumkin. Quyida aytilganlarning barchasi ikki tomonlama va bir tomonlama chegaralarga taalluqlidir.

Geynega ko'ra.
Raqam a emas funktsiya chegarasi f (x) x nuqtada 0 : ,
agar shunday ketma-ketlik mavjud bo'lsa ( x n ), x ga yaqinlashish 0 :
,
elementlari mahallaga tegishli bo'lgan,
qanday ketma-ketlik (f(xn)) ga yaqinlashmaydi:
.
.

Koshiga ko'ra.
Raqam a emas funktsiya chegarasi f (x) x nuqtada 0 :
,
agar shunday ijobiy raqam bo'lsa e > 0 , shuning uchun har qanday musbat d soni uchun > 0 , x nuqtaning teshilgan d mahallasiga tegishli x mavjud 0 :
,
funktsiyaning qiymati f (x) a nuqtaning e mahallasiga tegishli emas:
.
.

Albatta, agar a nuqta funksiyaning chegarasi bo'lmasa, bu uning chegarasi bo'lishi mumkin emas degani emas. Ehtimol, chegara bor, lekin u ga teng emas. Funktsiya nuqtaning teshilgan qo'shnisida aniqlangan bo'lishi ham mumkin, lekin chegarasi yo'q.

Funktsiya f(x) = sin(1/x) x → 0 kabi chegarasi yo'q.

Masalan, funktsiya da belgilangan, lekin chegara yo'q. Tasdiqlash uchun biz ketma-ketlikni olamiz. Bir nuqtaga yaqinlashadi 0 : . Chunki, keyin.
Keling, ketma-ketlikni olaylik. Shuningdek, u nuqtaga yaqinlashadi 0 : . Lekin o'shandan beri.
Shunda chegara hech qanday a soniga teng bo'la olmaydi. Darhaqiqat, uchun , qaysi bilan ketma-ketlik bor. Shuning uchun, nolga teng bo'lmagan har qanday raqam chegara emas. Ammo bu ham chegara emas, chunki ketma-ketlik mavjud.

Geyne va Koshi bo'yicha chegara ta'riflarining ekvivalentligi

Teorema
Funksiya chegarasining Geyn va Koshi ta’riflari ekvivalentdir.

Isbot

Isbotda biz funktsiya nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisida (cheklangan yoki cheksizlikda) aniqlangan deb faraz qilamiz. a nuqta ham chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin.

Heine isboti ⇒ Koshi

Birinchi ta'rifga ko'ra (Geyne bo'yicha) funktsiya nuqtada a chegarasiga ega bo'lsin. Ya'ni, nuqtaning teshilgan mahallasiga tegishli bo'lgan va chegarasi bo'lgan har qanday ketma-ketlik uchun
(1) ,
ketma-ketlikning chegarasi:
(2) .

Funktsiyaning bir nuqtada Koshi chegarasi borligini ko'rsataylik. Ya'ni, har kim uchun hamma uchun mavjud.

Buning aksini faraz qilaylik. (1) va (2) shartlar bajarilsin, lekin funksiyada Koshi chegarasi yo'q. Ya'ni, shunday mavjudki, har qanday uchun mavjud bo'ladi , shunday qilib
.

ni oling, bu erda n - natural son. Keyin mavjud va
.
Shunday qilib, ga yaqinlashuvchi ketma-ketlikni tuzdik, lekin ketma-ketlikning chegarasi a ga teng emas. Bu teorema shartiga zid keladi.

Birinchi qism isbotlangan.

Koshi isboti ⇒ Geyne

Funktsiya ikkinchi ta'rifga ko'ra (Koshi bo'yicha) nuqtada a chegarasiga ega bo'lsin. Ya'ni, har qanday odam uchun bu mavjud
(3) Barcha uchun .

Funktsiyaning Geynega ko'ra nuqtada a chegarasi borligini ko'rsataylik.
Keling, ixtiyoriy raqamni olaylik. Koshi ta'rifiga ko'ra, raqam mavjud, shuning uchun (3) amal qiladi.

Teshilgan mahallaga tegishli va ga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlikni oling. Konvergent ketma-ketlikning ta'rifiga ko'ra, har qanday kishi uchun shunday mavjud
da .
Keyin (3) dan shunday keladi
da .
Bu har qanday ga tegishli bo'lgani uchun
.

Teorema isbotlangan.

Adabiyotlar:
L.D. Kudryavtsev. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 2003 yil.

Shuningdek qarang:

Funktsiya chegarasining xususiyatlarini isbotlashda, biz funktsiyalarimiz aniqlangan va isbotlash jarayonida paydo bo'lgan teshilgan mahallalardan avvalgi xatboshiga kirishda ko'rsatilgan xususiyatlardan tashqari, haqiqatan ham hech narsa talab qilinmasligiga ishonch hosil qildik. 2. Bu holat quyidagi matematik ob'ektni ajratib ko'rsatish uchun asos bo'lib xizmat qiladi.

A. Baza; ta'rifi va asosiy misollari

Ta'rif 11. X to'plamning kichik to'plamlaridan iborat B to'plami, agar ikkita shart bajarilsa, X to'plamdagi baza deb ataladi:

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, B to'plamining elementlari bo'sh bo'lmagan to'plamlar bo'lib, ularning istalgan ikkitasining kesishishi bir xil to'plamning qaysidir elementini o'z ichiga oladi.

Keling, tahlilda eng ko'p qo'llaniladigan ba'zi asoslarni ko'rsatamiz.

Agar buning o'rniga ular yozadilar va aytadilarki, x katta qiymatlar o'ngdan yoki tomondan (mos ravishda, chapdan yoki kichikroq qiymatlar tomonidan) a ga intiladi. Qachon o'rniga qisqa rekord qabul qilinadi

Yozuv o'rniga ishlatiladi Bu a degan ma'noni anglatadi; E to‘plamdan a ga intiladi, a dan katta (kam) qoladi.

buning o'rniga ular yozadilar va x ning ortiqcha cheksizlikka (mos ravishda, minus cheksizlikka) moyilligini aytadilar.

Buning o'rniga belgi ishlatiladi

Qachonki biz o'rniga (agar bu tushunmovchilikka olib kelmasa) ketma-ketlik chegarasi nazariyasida odat bo'lganidek, biz yozamiz,

E'tibor bering, barcha sanab o'tilgan asoslar bazaning har qanday ikkita elementining kesishishining o'zi ushbu bazaning elementi bo'lib, faqat bazaning ba'zi elementini o'z ichiga olmaydi. Haqiqiy o'qda berilmagan funktsiyalarni o'rganishda boshqa asoslar bilan uchrashamiz.

Shuni ham ta'kidlaymizki, bu erda ishlatiladigan "baza" atamasi matematikada "filtr asosi" deb ataladigan narsaning qisqacha ifodasidir va quyida keltirilgan bazaviy chegara zamonaviy frantsuzlar tomonidan yaratilgan filtr chegarasi tushunchasini tahlil qilish uchun eng muhim qismdir. matematik A. Kartan

b. Asosiy funktsiya chegarasi

Ta'rif 12. X to'plamdagi funksiya bo'lsin; B - X da asos. Agar A nuqtaning istalgan qo'shnisi uchun tasviri qo'shnilikda joylashgan asos elementi mavjud bo'lsa, son funktsiyaning B asosiga nisbatan chegarasi deyiladi.

Agar A funktsiyaning B asosga nisbatan chegarasi bo'lsa, u holda yozamiz

Mantiqiy simvolizmda baza bo'yicha chegaraning ta'rifini takrorlaymiz:

Raqamli qiymatlarga ega funktsiyalarni ko'rib chiqayotganimiz sababli, ushbu asosiy ta'rifning quyidagi shaklini yodda tutish foydali bo'ladi:

Bu formulada ixtiyoriy V(A) mahallasi o‘rniga biz simmetrik (A nuqtaga nisbatan) qo‘shni (e-mahalla) olamiz. Haqiqiy qiymatli funktsiyalar uchun bu ta'riflarning ekvivalentligi shundan kelib chiqadiki, yuqorida aytib o'tilganidek, nuqtaning har qanday qo'shnisi xuddi shu nuqtaning qandaydir simmetrik qo'shnilarini o'z ichiga oladi (isbotni to'liq bajaring!).

Funksiyaning bazaga nisbatan chegarasining umumiy ta’rifini berdik. Yuqorida tahlilda eng keng tarqalgan asoslarning misollari ko'rib chiqildi. Ushbu asoslarning u yoki bu asoslari paydo bo'lgan aniq bir muammoda umumiy ta'rifni hal qilish va uni ma'lum bir baza uchun yozib olish kerak.

Baza misollarini ko'rib chiqib, biz, xususan, cheksizlik qo'shnisi tushunchasini kiritdik. Agar biz ushbu kontseptsiyadan foydalansak, chegaraning umumiy ta'rifiga muvofiq, quyidagi konventsiyalarni qabul qilish maqsadga muvofiqdir:

yoki, qaysi bir xil,

Odatda, kichik qiymat orqali. Yuqoridagi ta'riflarda bu, albatta, bunday emas. Qabul qilingan konventsiyalarga muvofiq, masalan, biz yozishimiz mumkin

Ixtiyoriy bazaning chegarasi umumiy holatda isbotlangan deb hisoblanishi uchun biz 2-bo'limda maxsus baza uchun isbotlagan chegaralar haqidagi barcha teoremalarni tegishli ta'riflarni berish kerak: nihoyat doimiy, nihoyat chegaralangan va. berilgan funktsiyalar bazasi uchun cheksiz kichik.

Ta'rif 13. Funktsiya B asosda yakuniy doimiy deyiladi, agar bazaning istalgan nuqtasida raqam va shunday element mavjud bo'lsa.

Ta'rif 14. Funktsiya B asosda chegaralangan yoki B asosda chegaralangan deb ataladi, agar uning istalgan nuqtasida c soni va asosning shunday elementi mavjud bo'lsa.

Ta'rif 15. Agar funktsiya B asosi bilan cheksiz kichik deb ataladi

Ushbu ta'riflardan va chegara teoremalarini isbotlash uchun faqat baza xossalari kerakligi haqidagi asosiy kuzatishdan so'ng, 2-bo'limda o'rnatilgan limitning barcha xossalari har qanday baza ustidagi limitlar uchun amal qiladi deb taxmin qilishimiz mumkin.

Xususan, biz endi funksiyaning at yoki at yoki at chegarasi haqida gapirishimiz mumkin

Bundan tashqari, biz sonli to'plamlarda funktsiyalar aniqlanmagan hollarda ham chegaralar nazariyasini qo'llash imkoniyatini ta'minladik; bu kelajakda ayniqsa qimmatli bo'ladi. Misol uchun, egri chiziq uzunligi - bu egri chiziqlarning ayrim sinfida aniqlangan sonli funktsiya. Agar biz bu funktsiyani siniq chiziqlarda bilsak, chegaraga o'tish orqali biz uni murakkabroq egri chiziqlar uchun, masalan, aylana uchun aniqlaymiz.

Hozirgi vaqtda kuzatuv va u bilan bog'liq ravishda kiritilgan baza tushunchasining asosiy foydasi shundaki, ular bizni chegaraga o'tishning har bir aniq turi uchun chegara teoremalarini tekshirish va rasmiy isbotlashdan qutqaradi yoki bizning hozirgi terminologiyamizda, har bir muayyan turdagi bazalar uchun

Nihoyat, ixtiyoriy bazis ustidagi chegara tushunchasiga ko‘nikish uchun funksiya chegarasining keyingi xossalarini umumiy shaklda isbotlaymiz.

y=ƒ(x) funksiya x o nuqtaning qaysidir qo‘shnisida aniqlansin, bundan tashqari, x o nuqtaning o‘zi.

Funksiyaning nuqtadagi chegarasining ikkita ekvivalent ta’rifini shakllantiramiz.

Ta'rif 1 ("ketma-ketliklar tilida" yoki Geynega ko'ra).

A soni y \u003d ƒ (x) funktsiyasining chegarasi deb ataladi x 0 (yoki x® x o da), agar argumentning ruxsat etilgan qiymatlarining har qanday ketma-ketligi uchun x n, n ê N (x n ¹) x 0) ƒ(x n), n ê N funksiyaning mos qiymatlari ketma-ketligini x o ga yaqinlashtirish, A soniga yaqinlashadi

Bunday holda, yozing
yoki ƒ(x)->A da x→x o. Funktsiya chegarasining geometrik ma'nosi: x o nuqtasiga etarlicha yaqin bo'lgan barcha x nuqtalar uchun funktsiyaning tegishli qiymatlari A sonidan o'zboshimchalik bilan ozgina farq qilishini anglatadi.

Ta'rif 2 ("e tilida" yoki Koshidan keyin).

A soni funktsiyaning x o nuqtadagi (yoki x→x o da) chegarasi deyiladi, agar har qanday musbat e uchun musbat d soni shunday bo'lsaki, barcha x¹ x o uchun |x-x o |x-x o |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Funktsiya chegarasining geometrik ma'nosi:

agar A nuqtaning har qanday e-qo'shnisi uchun x o nuqtaning shunday d-qo'shnisi bo'lsa, shu d-mahalladan barcha x¹ ho uchun ƒ(x) funksiyaning tegishli qiymatlari e-qo'shnisida yotadi. A nuqtaning. Boshqacha qilib aytganda, y = ƒ(x) funksiya grafigining nuqtalari y=A+ e , y=A-e to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan eni 2e bo‘lgan chiziq ichida yotadi (110-rasmga qarang). . Shubhasiz, d ning qiymati e ni tanlashga bog'liq, shuning uchun d=d(e) ni yozamiz.

<< Пример 16.1

Buni isbotlang

Yechish: Ixtiyoriy e>0 ni oling, d=d(e)>0 ni toping, shunda hamma x uchun |x-3| tengsizlikni qanoatlantiradi.< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

d=e/2 ni olib, barcha x uchun |x-3| tengsizlikni qanoatlantirayotganini ko'ramiz.< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.

<< Пример 16.2

16.2. Bir tomonlama chegaralar

Funksiya chegarasini belgilashda x har qanday usulda x 0 ga intiladi, deb hisoblanadi: x 0 dan kichik (x 0 ning chap tomonida), x o dan katta (x o ning o‘ng tomonida) yoki o‘zgaruvchan x 0 nuqtasi atrofida.

X dan xo argumentiga yaqinlashish usuli funksiya chegarasining qiymatiga sezilarli ta'sir qiladigan holatlar mavjud. Shuning uchun bir tomonlama chegaralar tushunchasi kiritiladi.

A 1 raqami x o nuqtada chap tomonda joylashgan y \u003d ƒ (x) funksiyaning chegarasi deyiladi, agar biron bir e> 0 soni uchun d \u003d d (e)> 0 raqami mavjud bo'lsa, x uchun ê (x 0 -d; x o), tengsizlik |ƒ(x)-A|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>x 0 -0 yoki qisqacha: ƒ (x o- 0) \u003d A 1 (Dirichlet yozuvi) (111-rasmga qarang).

O'ngdagi funktsiya chegarasi xuddi shunday aniqlanadi, biz uni belgilar yordamida yozamiz:

Qisqacha aytganda, o'ngdagi chegara ƒ(x o +0)=A bilan belgilanadi.

Funktsiyaning chap va o'ngdagi chegaralari bir tomonlama chegaralar deyiladi. Shubhasiz, agar mavjud bo'lsa, unda ikkala bir tomonlama chegaralar mavjud va A=A 1 =A 2 .

Qarama-qarshi gap ham to'g'ri: agar ƒ(x 0 -0) va ƒ(x 0 +0) chegaralari mavjud bo'lsa va ular teng bo'lsa, unda chegara mavjud va A \u003d ƒ(x 0 -0).

Agar A 1 ¹ A 2 bo'lsa, unda bu yo'lak mavjud emas.

16.3. Funktsiyaning x ® ∞ da chegarasi

(-∞;∞) oraliqda y=ƒ(x) funksiya aniqlansin. A raqami deyiladi funktsiya chegarasiƒ(x) da x→ ∞ , agar har qanday musbat e soni uchun shunday son M=M()>0 bo'lsa, barcha x uchun |x|>M tengsizlikni |ƒ(x)-A|<ε. Коротко это определение можно записать так:

Ushbu ta'rifning geometrik ma'nosi quyidagicha: "e>0 $ M>0 uchun, xê(-∞; -M) yoki x ê(M; +∞) uchun ƒ() funksiyaning mos qiymatlari. x) A nuqtaning e-qo'shnisiga tushadi, ya'ni grafik nuqtalari y \u003d A + e va y \u003d A-e to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan 2e enli chiziqda yotadi (112-rasmga qarang). ).

16.4. Cheksiz katta funksiya (b.b.f.)

y=ƒ(x) funksiya x→x 0 uchun cheksiz katta deb ataladi, agar M>0 har qanday son uchun d=d(M)>0 bo‘lsa, u barcha x uchun 0 tengsizlikni qanoatlantiradi.<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>M.

Masalan, y=1/(x-2) funksiya b.b.f. x->2 da.

Agar ƒ(x) x→x o tarzida cheksizlikka intiladi va faqat ijobiy qiymatlarni qabul qilsa, u holda yozamiz

agar faqat salbiy qiymatlar bo'lsa, unda

Butun son qatorida berilgan y \u003d ƒ (x) funktsiyasi, cheksiz deb ataladi x→∞ uchun, agar M>0 ixtiyoriy soni uchun shunday N=N(M)>0 son bo‘lsa, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x uchun |ƒ(x)|>M tengsizlik bajariladi. . Qisqa:

Masalan, y=2x b.b.f.ga ega. x→∞ da.

E'tibor bering, agar cheksizlikka moyil bo'lgan x argumenti faqat tabiiy qiymatlarni, ya'ni yukorni qabul qilsa, u holda tegishli b.b.f. cheksiz katta ketma-ketlikka aylanadi. Masalan, v n =n 2 +1, n ê N ketma-ketligi cheksiz katta ketma-ketlikdir. Shubhasiz, har bir b.b.f. bir mahallada x o nuqta bu mahallada chegaralanmagan. Buning aksi to'g'ri emas: cheklanmagan funksiya b.b.f bo'lmasligi mumkin. (Masalan, y=xsinx.)

Biroq, agar x→x 0 uchun limƒ(x)=A bo‘lsa, bu yerda A chekli son bo‘lsa, u holda ƒ(x) funksiya x o nuqtaga yaqin chegaralangan bo‘ladi.

Haqiqatan ham, funktsiya chegarasining ta'rifidan kelib chiqadiki, x → x 0 uchun |ƒ(x)-A|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

Limitlar nazariyasi matematik analizning tarmoqlaridan biridir. Limitlarni echish masalasi juda keng, chunki har xil turdagi chegaralarni echishning o'nlab usullari mavjud. Bir yoki boshqa chegarani hal qilishga imkon beruvchi o'nlab nuanslar va fokuslar mavjud. Shunga qaramay, biz hali ham amalda eng ko'p uchraydigan cheklovlarning asosiy turlarini tushunishga harakat qilamiz.

Keling, chegara tushunchasidan boshlaylik. Lekin birinchi navbatda, qisqacha tarixiy ma'lumot. Bir paytlar 19-asrda frantsuz Avgustin Lui Koshi bo'lib, u matanning ko'plab tushunchalariga qat'iy ta'riflar berib, uning poydevorini qo'ygan. Aytishim kerakki, bu hurmatli matematik fizika-matematika fakultetlarining barcha talabalari orzu qilgan, orzu qilgan va tushida ham bo'ladi, chunki u matematik tahlilning juda ko'p sonli teoremalarini isbotladi va bir teorema ikkinchisidan qat'iyroq. Shu sababli, biz ko'rib chiqmaymiz Koshi chegarasini aniqlash, lekin ikkita narsani qilishga harakat qilaylik:

1. Cheklov nima ekanligini tushunib oling.
2. Limitlarning asosiy turlarini yechishni o'rganing.

Ba'zi ilmiy asossiz tushuntirishlar uchun uzr so'rayman, material hatto choynak uchun ham tushunarli bo'lishi muhim, bu aslida loyihaning vazifasidir.

Xo'sh, chegara nima?

Va darhol buvingizni nima uchun shag'allashingizga misol ....

Har qanday chegara uch qismdan iborat:

1) Taniqli chegara belgisi.
2) Cheklov belgisi ostidagi yozuvlar, bu holda . Kirishda "x birlikka intiladi" deb yozilgan. Ko'pincha - aniq, garchi amalda "x" o'rniga boshqa o'zgaruvchilar mavjud. Amaliy topshiriqlarda birlik o'rnida mutlaqo istalgan son, shuningdek, cheksizlik () bo'lishi mumkin.
3) Chegara belgisi ostida funksiyalar, bu holda .

Rekordning o'zi quyidagicha o'qiydi: "x birlikka intilganda funktsiyaning chegarasi".

Keling, keyingi muhim savolni tahlil qilaylik - "x" iborasi nimani anglatadi izlaydi birlikka? Va baribir "harakat qilish" nima?
Chegara tushunchasi, ta’bir joiz bo‘lsa, tushunchadir. dinamik. Keling, ketma-ketlikni tuzamiz: avval , keyin , , …, , ….
Ya'ni, "x izlaydi birga" ni quyidagicha tushunish kerak - "x" izchil ravishda qiymatlarni oladi birlikka cheksiz yaqin va amalda u bilan mos tushadi.

Yuqoridagi misolni qanday hal qilish mumkin? Yuqoridagilarga asoslanib, siz faqat funktsiyadagi birlikni chegara belgisi ostida almashtirishingiz kerak:

Shunday qilib, birinchi qoida: Har qanday cheklov berilganda, avval raqamni funksiyaga ulashga harakat qiling.

Biz eng oddiy chegarani ko'rib chiqdik, ammo bundaylari amalda ham uchraydi va kamdan-kam emas!

Infinity misoli:

Bu nima ekanligini tushunyapsizmi? Bu noaniq ko'payganda, ya'ni: avval, keyin, keyin, keyin va hokazo ad infinitum.

Va bu vaqtda funktsiyaga nima bo'ladi?
, , , …

Demak: agar , u holda funksiya minus cheksizlikka intiladi:

Taxminan aytganda, bizning birinchi qoidamizga ko'ra, biz "x" o'rniga cheksizlikni funktsiyaga almashtiramiz va javobni olamiz.

Cheksizlik bilan boshqa misol:

Yana, biz cheksizlikka ko'tarila boshlaymiz va funktsiyaning harakatini ko'rib chiqamiz:

Xulosa: uchun, funksiya cheksiz ortadi:

Va yana bir qator misollar:

Iltimos, quyidagilarni o'zingiz uchun aqliy tahlil qilishga harakat qiling va chegaralarning eng oddiy turlarini eslang:

, , , , , , , , ,
Agar biror joyda shubha bo'lsa, siz kalkulyatorni olib, biroz mashq qilishingiz mumkin.
Bunday holda, ketma-ketlikni qurishga harakat qiling, ,. Agar , keyin , ,.

! Eslatma: qat'iy aytganda, bir nechta raqamlar ketma-ketligini qurish bilan bunday yondashuv noto'g'ri, ammo bu eng oddiy misollarni tushunish uchun juda mos keladi.

Quyidagi narsaga ham e'tibor bering. Yuqorida katta raqam yoki hech bo'lmaganda million bilan chegara berilgan bo'lsa ham: , keyin hammasi bir xil , chunki ertami-kechmi "x" shunday ulkan qiymatlarni qabul qila boshlaydiki, ular bilan solishtirganda million haqiqiy mikrob bo'ladi.

Yuqoridagilardan nimani eslash va tushunish kerak?

1) Har qanday chegara berilganda, avval biz funktsiyaga raqamni almashtirishga harakat qilamiz.

2) Siz eng oddiy chegaralarni tushunishingiz va darhol hal qilishingiz kerak, masalan , , va hokazo.

Bundan tashqari, chegara juda yaxshi geometrik ma'noga ega. Mavzuni yaxshiroq tushunish uchun sizga uslubiy material bilan tanishishingizni tavsiya qilaman Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari. Ushbu maqolani o'qib chiqqandan so'ng, siz nafaqat chegara nima ekanligini tushunasiz, balki funktsiya chegarasi umumiy bo'lgan qiziqarli holatlar bilan ham tanishasiz. mavjud emas!

Amalda, afsuski, sovg'alar kam. Va shuning uchun biz yanada murakkab chegaralarni ko'rib chiqishga murojaat qilamiz. Aytgancha, bu mavzuda bor intensiv kurs pdf formatida, bu ayniqsa tayyorlanish uchun juda oz vaqtingiz bo'lsa foydali bo'ladi. Ammo sayt materiallari, albatta, bundan ham yomoni emas:

Endi biz chegaralar guruhini ko'rib chiqamiz, qachon , va funksiya kasr bo'lib, ularning soni va maxrajida ko'phadlar bo'ladi.

Misol:

Limitni hisoblash

Bizning qoidamizga ko'ra, biz cheksizlikni funktsiyaga almashtirishga harakat qilamiz. Biz tepada nimani olamiz? Cheksizlik. Va quyida nima sodir bo'ladi? Shuningdek, cheksizlik. Shunday qilib, biz shaklning noaniqligi deb ataladigan narsaga egamiz. Biror kishi shunday deb o'ylashi mumkin va javob tayyor, lekin umumiy holatda bu umuman emas va qandaydir yechimni qo'llash kerak, biz hozir ko'rib chiqamiz.

Ushbu turdagi chegaralarni qanday hal qilish mumkin?

Avval biz numeratorga qaraymiz va eng yuqori quvvatni topamiz:

Numeratordagi eng yuqori quvvat ikkitadir.

Endi biz maxrajga qaraymiz va eng yuqori darajani topamiz:

Maxrajning eng yuqori kuchi ikkitadir.

Keyin hisob va maxrajning eng yuqori kuchini tanlaymiz: bu misolda ular bir xil va ikkitaga teng.

Demak, yechish usuli quyidagicha: noaniqlikni ochish uchun son va maxrajni eng yuqori darajaga bo‘lish kerak.

Mana, javob, va umuman cheksizlik emas.

Qaror qabul qilishda nima muhim?

Birinchidan, agar mavjud bo'lsa, noaniqlikni ko'rsatamiz.

Ikkinchidan, oraliq tushuntirishlar uchun yechimni to'xtatish maqsadga muvofiqdir. Men odatda belgidan foydalanaman, u hech qanday matematik ma'noga ega emas, lekin oraliq tushuntirish uchun yechim to'xtatilganligini anglatadi.

Uchinchidan, chegarada nima va qayerga moyilligini belgilash maqsadga muvofiqdir. Ish qo'lda tuzilgan bo'lsa, buni quyidagicha qilish qulayroqdir:

Eslatmalar uchun oddiy qalamdan foydalanish yaxshidir.

Albatta, siz bu haqda hech narsa qila olmaysiz, lekin keyin, ehtimol, o'qituvchi yechimdagi kamchiliklarni qayd qiladi yoki topshiriq bo'yicha qo'shimcha savollar berishni boshlaydi. Va sizga kerakmi?

2-misol

Chegarani toping
Yana pay va maxrajda biz eng yuqori darajada topamiz:

Numeratordagi maksimal daraja: 3
Maxrajdagi maksimal daraja: 4
Tanlang eng buyuk qiymat, bu holda to'rtta.
Bizning algoritmimizga ko'ra, noaniqlikni ochish uchun biz pay va maxrajni ga ajratamiz.
To'liq topshiriq quyidagicha ko'rinishi mumkin:

Numerator va maxrajni ga bo'ling

3-misol

Chegarani toping
Numeratordagi "x" ning maksimal darajasi: 2
Maxrajdagi "x" ning maksimal kuchi: 1 (shunday yozish mumkin)
Noaniqlikni aniqlash uchun pay va maxrajni ga bo'lish kerak. Toza yechim quyidagicha ko'rinishi mumkin:

Numerator va maxrajni ga bo'ling

Yozuv nolga bo'linishni anglatmaydi (nolga bo'linish mumkin emas), lekin cheksiz kichik songa bo'linish.

Shunday qilib, shaklning noaniqligini oshkor qilganda, biz olishimiz mumkin chekli son, nol yoki cheksizlik.

Turi noaniqligi bilan chegaralar va ularni hal qilish usuli

Keyingi chegaralar guruhi hozirgina ko'rib chiqilgan chegaralarga biroz o'xshaydi: hisoblagich va maxrajda ko'phadlar mavjud, ammo "x" endi cheksizlikka emas, balki yakuniy raqam.

4-misol

Cheklovni hal qiling
Birinchidan, kasrda -1 ni almashtirishga harakat qilaylik:

Bunday holda, noaniqlik deb ataladigan narsa olinadi.

Umumiy qoida: agar sanoq va maxrajda ko'phadlar mavjud bo'lsa va shaklda noaniqlik bo'lsa, uni ochish uchun son va maxrajni koeffitsientlarga ajrating.

Buning uchun ko'pincha kvadrat tenglamani echishingiz va (yoki) qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanishingiz kerak. Agar bu narsalar unutilgan bo'lsa, sahifaga tashrif buyuring Matematik formulalar va jadvallar va uslubiy material bilan tanishish Issiq maktab matematika formulalar. Aytgancha, uni chop etish yaxshidir, bu juda tez-tez talab qilinadi va qog'ozdan ma'lumot yaxshiroq so'riladi.

Shunday qilib, keling, chegaramizni hal qilaylik

Numerator va maxrajni koeffitsientga ajratish

Numeratorni faktorlarga ajratish uchun kvadrat tenglamani yechish kerak:

Avval diskriminantni topamiz:

Va uning kvadrat ildizi: .

Diskriminant katta bo'lsa, masalan, 361, biz kalkulyatordan foydalanamiz, kvadrat ildiz funktsiyasi eng oddiy kalkulyatorda.

! Agar ildiz to'liq chiqarilmagan bo'lsa (vergul bilan kasr son olinadi), ehtimol diskriminant noto'g'ri hisoblangan yoki topshiriqda matn terish xatosi mavjud.

Keyinchalik, biz ildizlarni topamiz:

Shunday qilib:

Hammasi. Numerator faktorlarga ajratiladi.

Denominator. Denominator allaqachon eng oddiy omil bo'lib, uni soddalashtirishning hech qanday usuli yo'q.

Shubhasiz, uni qisqartirish mumkin:

Endi chegara belgisi ostida qolgan ifodada -1 ni almashtiramiz:

Tabiiyki, testda, testda, imtihonda yechim hech qachon bunday batafsil bo'yalmaydi. Yakuniy versiyada dizayn quyidagicha ko'rinishi kerak:

Numeratorni koeffitsientlarga ajratamiz.

5-misol

Limitni hisoblash

Birinchidan, "toza" yechim

Keling, son va maxrajni koeffitsientlarga ajratamiz.

Hisoblagich:
Denominator:



,

Ushbu misolda nima muhim?
Birinchidan, siz numerator qanday ochilganini yaxshi tushunishingiz kerak, avval biz 2 ni qavsga oldik, so'ngra kvadratlar farqi formulasidan foydalandik. Bu siz bilishingiz va ko'rishingiz kerak bo'lgan formuladir.

Tavsiya: Agar chegarada (deyarli har qanday turdagi) qavsdan raqamni olish mumkin bo'lsa, biz buni har doim qilamiz.
Bundan tashqari, bunday raqamlarni chegara belgisidan tashqariga olish tavsiya etiladi. Nima uchun? Shunchaki, ular to‘sqinlik qilmasin. Asosiysi, qaror qabul qilish jarayonida bu raqamlarni yo'qotmaslikdir.

E'tibor bering, yechimning yakuniy bosqichida men chegara belgisi uchun ikkilikni, keyin esa minusni oldim.

! Muhim
Yechim jarayonida bir turdagi fragment juda tez-tez uchraydi. Ushbu fraktsiyani kamaytiringbu taqiqlangan . Avval hisoblagich yoki maxraj belgisini o'zgartirishingiz kerak (qavs ichidan -1 qo'ying).
, ya'ni chegarani hisoblashda hisobga olinadigan minus belgisi paydo bo'ladi va uni umuman yo'qotishning hojati yo'q.

Umuman olganda, men ko'rdimki, bunday turdagi chegaralarni topishda ko'pincha ikkita kvadrat tenglamani echish kerak, ya'ni hisoblagichda ham, maxrajda ham kvadrat trinomiyalar mavjud.

Numerator va maxrajni qo`shma ifodaga ko`paytirish usuli

Biz shaklning noaniqligini ko'rib chiqishda davom etamiz

Keyingi turdagi chegaralar oldingi turga o'xshaydi. Yagona narsa, polinomlardan tashqari, biz ildizlarni qo'shamiz.

6-misol

Chegarani toping

Biz qaror qabul qilishni boshlaymiz.

Birinchidan, chegara belgisi ostidagi ifodada 3 ni almashtirishga harakat qilamiz
Yana bir bor takrorlayman - bu HAR QANDAY limit uchun qilinadigan birinchi narsa. Bu harakat odatda aqliy yoki qoralama ustida amalga oshiriladi.

Yo'q qilinishi kerak bo'lgan shaklning noaniqligi olinadi.

Siz sezgan bo'lsangiz kerak, biz hisoblagichdagi ildizlarning farqiga egamiz. Va agar iloji bo'lsa, matematikada ildizlardan qutulish odat tusiga kiradi. Nima uchun? Va ularsiz hayot osonroq.

Ushbu maqolada chegaralarni qanday topishni o'rganmoqchi bo'lganlar uchun biz bu haqda gaplashamiz. Biz nazariyani chuqur o'rganmaymiz, u odatda o'qituvchilar tomonidan ma'ruzalarda o'qiladi. Shunday qilib, "zerikarli nazariya" daftarlaringizda tasvirlangan bo'lishi kerak. Agar bunday bo'lmasa, siz ta'lim muassasasi kutubxonasidan yoki boshqa Internet manbalaridan olingan darsliklarni o'qishingiz mumkin.

Demak, chegara tushunchasi oliy matematika kursini o‘rganishda, ayniqsa, integral hisobiga duch kelganda va chegara va integral o‘rtasidagi bog‘liqlikni tushunganingizda juda muhimdir. Mavjud materialda oddiy misollar, shuningdek ularni hal qilish usullari ko'rib chiqiladi.

Yechim misollari

1-misol

Hisoblang a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Yechim

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Biz ko'pincha ushbu cheklovlarni hal qilish uchun yordam so'rab bizga yuboramiz. Biz ularni alohida misol sifatida ajratib ko'rsatishga qaror qildik va bu chegaralarni, qoida tariqasida, shunchaki eslab qolish kerakligini tushuntirishga qaror qildik. Agar muammoingizni hal qila olmasangiz, uni bizga yuboring. Biz batafsil yechimni taqdim etamiz. Siz hisob-kitoblarning borishi bilan tanishishingiz va ma'lumot to'plashingiz mumkin bo'ladi. Bu sizga o'qituvchidan o'z vaqtida kredit olishingizga yordam beradi!

Javob

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac (1 )(x) = 0 $$

Shakl noaniqligi bilan nima qilish kerak: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

3-misol

$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ yeching.

Yechim

Har doimgidek, biz $ x $ qiymatini chegara belgisi ostidagi ifodaga almashtirishdan boshlaymiz. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Keyingisi nima? Natija qanday bo'lishi kerak? Bu noaniqlik bo'lgani uchun, bu hali javob emas va biz hisoblashni davom ettiramiz. Numeratorlarda ko'phad mavjud bo'lganligi sababli, biz tanish $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ formulasidan foydalanib, ko'paytiruvchilarga ajratamiz. Esingizdami? Ajoyib! Endi davom eting va uni qo'shiq bilan qo'llang :) Biz $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ sonini olamiz Yuqoridagi transformatsiyani hisobga olgan holda biz hal qilishni davom ettiramiz: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Javob

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Oxirgi ikki misoldagi chegarani cheksizlikka olib chiqamiz va noaniqlikni ko'rib chiqamiz: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

5-misol

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ hisoblang

Yechim

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Nima qilsa bo'ladi? Qanday bo'lish kerak? Vahima qilmang, chunki imkonsiz narsa mumkin. Hisoblagichdagi ham, X maxrajidagi qavslarni chiqarib, keyin uni qisqartirish kerak. Shundan so'ng, chegarani hisoblashga harakat qiling. Urinish... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ 2-misoldagi ta'rifdan foydalanib va ​​cheksizlikni x o'rniga qo'yib, biz quyidagilarni olamiz: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty))))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Javob

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Limitlarni hisoblash algoritmi

Shunday qilib, tahlil qilingan misollarni qisqacha umumlashtiramiz va chegaralarni echish algoritmini tuzamiz:

1. Chegara belgisidan keyingi ifodadagi x nuqtani almashtiring. Agar ma'lum bir raqam yoki cheksizlik olingan bo'lsa, u holda chegara butunlay hal qilinadi. Aks holda, bizda noaniqlik mavjud: "nol nolga bo'linadi" yoki "cheksizlikka bo'lingan cheksizlik" va ko'rsatmalarning keyingi paragraflariga o'ting.
2. "Nolni nolga bo'lish" noaniqligini bartaraf qilish uchun siz pay va maxrajni faktorlarga ajratishingiz kerak. O'xshashni kamaytiring. Ifodadagi x nuqtani chegara belgisi ostida almashtiring.
3. Agar noaniqlik "cheksizlikka bo'lingan cheksizlik" bo'lsa, u holda biz eng katta darajadagi numeratorda ham, x maxrajida ham chiqaramiz. Biz x ni qisqartiramiz. Biz chegara ostidagi x qiymatlarni qolgan ifodaga almashtiramiz.

Ushbu maqolada siz Hisoblash kursida tez-tez ishlatiladigan limitlarni echish asoslari bilan tanishdingiz. Albatta, bu imtihonchilar tomonidan taklif qilinadigan barcha turdagi muammolar emas, balki faqat eng oddiy chegaralardir. Kelgusi maqolalarda biz boshqa turdagi vazifalar haqida gapiramiz, lekin oldinga o'tish uchun siz ushbu darsni o'rganishingiz kerak. Agar ildizlar, darajalar bo'lsa, nima qilish kerakligini muhokama qilamiz, cheksiz kichik ekvivalent funktsiyalarni, ajoyib chegaralarni, L'Hopital qoidasini o'rganamiz.

Agar siz o'zingiz chegaralarni aniqlay olmasangiz, vahima qo'ymang. Biz har doim yordam berishdan xursandmiz!