Limitlarni yechish usullari. Noaniqliklar.
Funktsiyaning o'sish tartibi. O'zgartirish usuli

4-misol

Chegarani toping

Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun oddiyroq misol. Taklif etilgan misolda, yana noaniqlik (ildizdan yuqori o'sish tartibi).

Agar "x" "minus cheksizlik" ga moyil bo'lsa

Ushbu maqolada uzoq vaqtdan beri "minus cheksizlik" sharpasi aylanib yuribdi. Polinomlar bilan chegaralarni ko'rib chiqing. Yechish tamoyillari va usullari, bir qator nuanslar bundan mustasno, darsning birinchi qismida bo'lgani kabi bir xil bo'ladi.

Amaliy vazifalarni hal qilish uchun zarur bo'lgan 4 ta chipni ko'rib chiqing:

1) Limitni hisoblang

Cheklovning qiymati faqat muddatga bog'liq, chunki u o'sishning eng yuqori tartibiga ega. Agar , keyin cheksiz katta modul EVEN kuchiga manfiy son, bu holda - to'rtinchisida, "ortiqcha cheksizlik" ga teng: . Doimiy ("ikki") ijobiy, Shunung uchun:

2) Limitni hisoblang

Mana yana oliy daraja hatto, Shunung uchun: . Lekin oldida "minus" bor ( salbiy doimiy -1), shuning uchun:

3) Limitni hisoblang

Limitning qiymati faqat ga bog'liq. Maktabdan eslaganingizdek, g'alati darajadan "minus" "chiqib chiqadi", shuning uchun cheksiz katta modul manfiy sonni ODD quvvatga"minus cheksizlik" ga teng, bu holda: .
Doimiy ("to'rt") ijobiy, degani:

4) Limitni hisoblang

Qishloqdagi birinchi yigit yana bor g'alati daraja, bundan tashqari, bag'rida salbiy doimiy, bu degani: Shunday qilib:
.

5-misol

Chegarani toping

Yuqoridagi fikrlardan foydalanib, biz bu erda noaniqlik bor degan xulosaga kelamiz. Numerator va maxraj bir xil o'sish tartibida, ya'ni chegarada chekli son olinadi. Biz javobni barcha qovurilganlarni tashlab o'rganamiz:

Yechim ahamiyatsiz:

6-misol

Chegarani toping

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. To'liq yechim va javob dars oxirida.

Va endi, ehtimol, eng nozik holatlar:

7-misol

Chegarani toping

Katta shartlarni hisobga olgan holda, biz bu erda noaniqlik bor degan xulosaga kelamiz. Numerator maxrajga qaraganda yuqori o'sish tartibiga ega, shuning uchun biz darhol chegara cheksizlik deb aytishimiz mumkin. Lekin qanday cheksizlik, "ortiqcha" yoki "minus"? Qabul qilish bir xil - numerator va denominatorda biz kichik narsalardan xalos bo'lamiz:

Biz qaror qilamiz:

Numerator va maxrajni ga bo'ling

15-misol

Chegarani toping

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Dars oxirida tugatishning taxminiy namunasi.

O'zgaruvchan almashtirish mavzusi bo'yicha yana bir nechta qiziqarli misollar:

16-misol

Chegarani toping

Birini chegaraga almashtirish noaniqlikka olib keladi. O'zgaruvchini almashtirish allaqachon taklif qilinmoqda, lekin avval biz formuladan foydalanib tangensni aylantiramiz. Darhaqiqat, nega bizga tangens kerak?

E'tibor bering, shuning uchun. Agar u to'liq aniq bo'lmasa, sinus qiymatlariga qarang trigonometrik jadval. Shunday qilib, biz darhol omildan xalos bo'lamiz , qo'shimcha ravishda biz ko'proq tanish noaniqlik 0:0 ni olamiz. Bizning chegaramiz ham nolga intilsa yaxshi bo'lardi.

Keling, almashtiramiz:

Agar , keyin

Kosinus ostida bizda "x" bor, bu ham "te" orqali ifodalanishi kerak.
O'zgartirishdan biz ifodalaymiz: .

Biz yechimni yakunlaymiz:

(1) almashtirishni amalga oshirish

(2) Kosinus ostidagi qavslarni kengaytiring.

(4) Tashkil etish birinchi ajoyib chegara, sonni sun'iy ravishda ko'paytiring va ning o'zaro.

Mustaqil yechim uchun vazifa:

17-misol

Chegarani toping

To'liq yechim va javob dars oxirida.

Bu ularning sinfidagi oddiy vazifalar edi; amalda hamma narsa yomonroq va bundan tashqari kamaytirish formulalari, boshqacha foydalanish kerak trigonometrik formulalar, shuningdek, boshqa fokuslar. Kompleks chegaralar maqolasida men bir nechta haqiqiy misollarni tahlil qildim =)

Bayram arafasida biz yana bitta noaniqlik bilan vaziyatga oydinlik kiritamiz:

"Cheksizlik kuchiga bir" noaniqlikni yo'q qilish

Bu noaniqlik "xizmat qilinadi" ikkinchi ajoyib chegara, va o'sha darsning ikkinchi qismida biz ko'p hollarda amaliyotda uchraydigan standart echimlar misollarini batafsil ko'rib chiqdik. Endi ko'rgazma ishtirokchilari bilan rasm tugatiladi, bundan tashqari, darsning yakuniy vazifalari chegaralarga - "hiylalar" ga bag'ishlanadi, bunda 2-ajoyib chegarani qo'llash kerakdek tuyuladi, garchi bu umuman bo'lmasa ham. hol.

2-ajoyib chegaraning ikkita ishchi formulasining kamchiligi shundaki, argument "plyus cheksizlik" ga yoki nolga moyil bo'lishi kerak. Ammo argument boshqa raqamga moyil bo'lsa-chi?

Umumjahon formulasi yordamga keladi (bu aslida ikkinchi ajoyib chegaraning natijasidir):

Noaniqlikni quyidagi formula bilan bartaraf etish mumkin:

Bir joyda men allaqachon kvadrat qavslar nimani anglatishini tushuntirdim. Hech qanday maxsus narsa yo'q, qavslar faqat qavslardir. Odatda ular matematik belgilarni aniq ta'kidlash uchun ishlatiladi.

Keling, formulaning asosiy nuqtalarini ajratib ko'rsatamiz:

1) Bu haqida faqat noaniqlik haqida va boshqa emas.

2) "x" argumenti moyil bo'lishi mumkin ixtiyoriy qiymat(va nafaqat nolga yoki ), xususan, "minus cheksizlik" ga yoki to har kim yakuniy raqam.

Ushbu formuladan foydalanib, siz darsning barcha misollarini echishingiz mumkin Ajoyib chegaralar, bu 2-e'tiborli chegaraga tegishli. Masalan, chegarani hisoblaymiz:

Ushbu holatda , va formula bo'yicha :

To'g'ri, men sizga buni qilishni maslahat bermayman, an'anaga ko'ra, siz hali ham yechimning "odatiy" dizaynidan foydalanasiz, agar uni qo'llash mumkin bo'lsa. Biroq formuladan foydalanib tekshirish juda qulay 2-ajoyib chegaraga "klassik" misollar.

Funktsiya chegarasi- raqam a ba'zi bir o'zgaruvchan qiymatning chegarasi bo'ladi, agar uning o'zgarishi jarayonida bu o'zgaruvchi cheksiz yaqinlashsa a.

Yoki boshqacha aytganda, raqam A funksiyaning chegarasi hisoblanadi y=f(x) nuqtada x0, agar funktsiyaning aniqlanish sohasi nuqtalarining har qanday ketma-ketligi uchun , teng emas x0, va qaysi bir nuqtaga yaqinlashadi x 0 (lim x n = x0), funktsiyaning mos qiymatlari ketma-ketligi raqamga yaqinlashadi A.

Chegarasi cheksizlikka intiluvchi argument bilan chegaralangan funksiyaning grafigi L:

Ma'nosi A hisoblanadi funksiyaning chegarasi (chegara qiymati). f(x) nuqtada x0 har qanday nuqtalar ketma-ketligi uchun ga yaqinlashadi x0, lekin o'z ichiga olmaydi x0 uning elementlaridan biri sifatida (ya'ni teshilgan mahallada x0), funksiya qiymatlari ketma-ketligi ga yaqinlashadi A.

Koshi bo'yicha funksiya chegarasi.

Ma'nosi A bo'ladi funktsiya chegarasi f(x) nuqtada x0 agar biron-bir forvard qabul qilingan manfiy bo'lmagan raqam uchun ε manfiy bo'lmagan mos keladigan raqam topiladi δ = δ(ε) har bir dalil uchun shunday x, shartni qondirish 0 < | x - x0 | < δ , tengsizlik | f(x) A |< ε .

Agar siz chegaraning mohiyatini va uni topishning asosiy qoidalarini tushunsangiz, bu juda oddiy bo'ladi. Bu funktsiyaning chegarasi f(x) da x intilish a teng A, shunday yozilgan:

Bundan tashqari, o'zgaruvchi moyil bo'lgan qiymat x, nafaqat son, balki cheksizlik (∞), ba'zan +∞ yoki -∞ bo'lishi mumkin yoki umuman chegara bo'lmasligi mumkin.

Qanday qilib tushunish uchun funktsiya chegaralarini toping, yechimlar misollarini ko'rish yaxshidir.

Biz funktsiya chegaralarini topishimiz kerak f(x) = 1/x da:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Birinchi chegaraning yechimini topamiz. Buning uchun siz shunchaki almashtirishingiz mumkin x u intilayotgan raqam, ya'ni. 2, biz olamiz:

Funktsiyaning ikkinchi chegarasini toping. Bu erda 0 o'rniga sof shaklda almashtiring x mumkin emas, chunki 0 ga bo'linib bo'lmaydi. Ammo biz nolga yaqin qiymatlarni olishimiz mumkin, masalan, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 va hokazo, funksiya qiymati bilan f(x) ortadi: 100; 1000; 10000; 100000 va boshqalar. Shunday qilib, qachon ekanligini tushunish mumkin x→ 0 chegara belgisi ostida joylashgan funksiyaning qiymati cheksiz ortadi, ya'ni. cheksizlikka intiling. Bu degani:

Uchinchi chegara haqida. Oldingi holatda bo'lgani kabi bir xil vaziyatni almashtirish mumkin emas ∞ uning eng sof shaklida. Biz cheksiz o'sish holatini ko'rib chiqishimiz kerak x. Biz navbat bilan 1000 ni almashtiramiz; 10000; 100000 va shunga o'xshash, biz funktsiyaning qiymatiga egamiz f(x) = 1/x kamayadi: 0,001; 0,0001; 0,00001; va hokazo, nolga moyil. Shunung uchun:

Funktsiyaning chegarasini hisoblash kerak

Ikkinchi misolni echishni boshlasak, biz noaniqlikni ko'ramiz. Bu erdan biz hisoblagich va maxrajning eng yuqori darajasini topamiz - bu x 3, biz uni pay va maxrajdagi qavslardan chiqaramiz va keyin uni qisqartiramiz:

Javob

Birinchi qadam bu chegarani topish, o'rniga 1 qiymatini qo'ying x, natijada noaniqlik paydo bo'ladi. Buni hal qilish uchun biz numeratorni omillarga ajratamiz, biz buni kvadrat tenglamaning ildizlarini topish orqali qilamiz. x 2 + 2x - 3:

D \u003d 2 2 - 4 * 1 * (-3) \u003d 4 +12 \u003d 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2± 4) / 2→ x 1 \u003d -3;x2= 1.

Shunday qilib, raqam quyidagicha bo'ladi:

Javob

Bu uning o'ziga xos qiymatining ta'rifi yoki funktsiya tushadigan ma'lum bir sohadir, bu chegara bilan cheklangan.

Cheklovlarni aniqlash uchun quyidagi qoidalarga amal qiling:

Mohiyatni va asosiyni tushunib, qaror qabul qilish qoidalarini cheklash, siz ularni qanday hal qilish haqida asosiy tushunchaga ega bo'lasiz.

Tur va shakl noaniqligi chegaralarni yechishda hal qilinishi kerak bo'lgan eng keng tarqalgan noaniqliklardir.

Talabalarga duch keladigan chegaralar bo'yicha ko'pgina vazifalar shunchaki noaniqliklarni keltirib chiqaradi. Ularni ochish yoki aniqrog'i, noaniqliklarga yo'l qo'ymaslik uchun chegara belgisi ostida ifoda shaklini o'zgartirishning bir nechta sun'iy usullari mavjud. Bu usullar quyidagilardan iborat: son va maxrajni oʻzgaruvchining eng yuqori kuchiga boʻlinish, konjugat ifoda bilan koʻpaytirish va kvadrat tenglamalar yechimlari va qisqartirilgan koʻpaytirish formulalaridan foydalangan holda keyingi kamaytirish uchun faktorlarga ajratish.

Turlarning noaniqligi

1-misol

n 2 ga teng. Shuning uchun son va maxrajni hadga ajratamiz:

.

Ifodaning o'ng tomoniga izoh bering. O'qlar va raqamlar kasrlar almashtirilgandan keyin nimaga moyilligini ko'rsatadi n cheksizlik qiymatlari. Bu erda, 2-misolda bo'lgani kabi, daraja n maxrajda hisoblagichga qaraganda ko'proq bo'ladi, buning natijasida butun kasr cheksiz kichik qiymatga yoki "super kichik son" ga intiladi.

Javobni olamiz: cheksizlikka intiluvchi o'zgaruvchi bilan bu funksiyaning chegarasi .

2-misol .

Yechim. Bu erda o'zgaruvchining eng yuqori kuchi x 1 ga teng. Shuning uchun son va maxrajni hadga ajratamiz x:

.

Yechimning borishi haqida sharh. Numeratorda biz "x" ni uchinchi darajali ildiz ostida haydashimiz va uning boshlang'ich darajasi (1) o'zgarishsiz qolishi uchun biz uni ildiz bilan bir xil darajaga belgilaymiz, ya'ni 3. O'qlar va qo'shimchalar yo'q. Ushbu yozuvdagi raqamlar, shuning uchun aqliy ravishda harakat qilib ko'ring, lekin oldingi misolga o'xshab, "x" ning cheksizligini almashtirgandan so'ng, pay va maxrajdagi iboralar nimaga moyilligini aniqlang.

Biz javob oldik: cheksizlikka intiluvchi o'zgaruvchi bilan bu funksiyaning chegarasi nolga teng.

Turlarning noaniqligi

3-misol Noaniqlikni oching va chegarani toping.

Yechim. Numerator kublarning farqidir. Maktab matematika kursidagi qisqartirilgan ko'paytirish formulasidan foydalanib, uni faktorlarga ajratamiz:

Maxraj kvadrat uch a'zo bo'lib, biz uni kvadrat tenglamani yechish orqali faktorlarga ajratamiz (yana kvadrat tenglamalarni echish uchun havola):

O'zgartirishlar natijasida olingan ifodani yozamiz va funksiya chegarasini topamiz:

4-misol Noaniqlikni oching va chegarani toping

Yechim. Bu erda qism chegarasi teoremasi qo'llanilmaydi, chunki

Shuning uchun biz kasrni bir xil o'zgartiramiz: son va maxrajni binomial konjugatga maxrajga ko'paytirish va kamaytiruvchi x+1. 1-teoremaning xulosasiga ko'ra, biz ifodani olamiz, uni yechish orqali biz kerakli chegarani topamiz:

5-misol Noaniqlikni oching va chegarani toping

Yechim. To'g'ridan-to'g'ri qiymatni almashtirish x Berilgan funktsiyaga = 0 0/0 ko'rinishining noaniqligiga olib keladi. Uni ochish uchun biz bir xil o'zgarishlarni amalga oshiramiz va natijada biz kerakli chegarani olamiz:

6-misol Hisoblash

Yechim: chegara teoremalaridan foydalaning

Javob: 11

7-misol Hisoblash

Yechim: bu misolda son va maxraj chegaralari 0 ga teng:

; . Shunday qilib, biz qism chegarasi teoremasini qo'llash mumkin emasligini oldik.

Kasrni nolga moyil bo'lgan umumiy ko'rsatkichga kamaytirish uchun pay va maxrajni koeffitsientlarga ajratamiz va shuning uchun 3-teoremani qo'llash imkoniyatini yaratamiz.

Numeratordagi kvadrat trinomialni formula bo'yicha kengaytiramiz, bu erda x 1 va x 2 trinomialning ildizlari. Faktoring va maxraj, kasrni (x-2) ga kamaytiring, so'ngra 3-teoremani qo'llang.

Javob:

8-misol Hisoblash

Yechim:, uchun pay va maxraj cheksizlikka intiladi, shuning uchun 3-teoremani to'g'ridan-to'g'ri qo'llashda noaniqlikni ifodalovchi ifodani olamiz. Bunday noaniqlikdan xalos bo'lish uchun hisoblagich va maxrajni argumentning eng yuqori kuchiga bo'ling. Ushbu misolda siz bo'linishingiz kerak X:

Javob:

9-misol Hisoblash

Yechim: x 3:

Javob: 2

10-misol Hisoblash

Yechim: Numerator va maxraj cheksizlikka intiladi. Numerator va denominatorni argumentning eng yuqori kuchiga ajratamiz, ya'ni. x 5:

=

Kasrning numeratori 1 ga, maxraji 0 ga intiladi, shuning uchun kasr cheksizlikka intiladi.

Javob:

11-misol. Hisoblash

Yechim: Numerator va maxraj cheksizlikka intiladi. Numerator va denominatorni argumentning eng yuqori kuchiga ajratamiz, ya'ni. x 7:

Javob: 0

Hosil.

y = f(x) funksiyaning x argumentiga nisbatan hosilasi argumentning o'sishi nolga moyil bo'lganda, uning y o'sishning x argumentning x o'sishiga nisbati chegarasi chaqiriladi: . Agar bu chegara cheklangan bo'lsa, u holda funktsiya y = f(x) x nuqtada differentsiallanuvchi deyiladi. Agar bu chegara mavjud bo'lsa, biz funktsiyani aytamiz y = f(x) x da cheksiz hosilaga ega.

Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari:

1. (const)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Farqlash qoidalari:

a)

V)

1-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Yechim: Agar ikkinchi hadning hosilasini kasrni differensiallash qoidasi bilan topsak, unda birinchi had kompleks funksiya bo‘lib, hosilasi quyidagi formula bo‘yicha topiladi:

, Qayerda , Keyin

Yechishda quyidagi formulalar ishlatilgan: 1,2,10, a, c, d.

Javob:

21-misol. Funktsiyaning hosilasini toping

Yechim: ikkala atama ham murakkab funksiyalar bo‘lib, birinchisi uchun , , ikkinchisi uchun , keyin

Javob:

Hosil ilovalar.

1. Tezlik va tezlashtirish

s(t) funksiyasi tavsiflansin pozitsiya t vaqtda qandaydir koordinatalar sistemasidagi ob'ekt. U holda s(t) funksiyaning birinchi hosilasi oniy bo‘ladi tezlik ob'ekt:
v=s′=f′(t)
s(t) funksiyaning ikkinchi hosilasi oniy hisoblanadi tezlashuv ob'ekt:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Tangens tenglamasi
y−y0=f′(x0)(x−x0),
bu yerda (x0,y0) teginish nuqtasining koordinatalari, f'(x0) teginish nuqtasidagi f(x) funksiya hosilasining qiymati.

3. Oddiy tenglama
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

Bu yerda (x0,y0) normal chizilgan nuqtaning koordinatalari, f’(x0) f(x) funksiyaning berilgan nuqtadagi hosilasining qiymati.

4. Funktsiyaning o'sishi va kamayishi
Agar f'(x0)>0 bo'lsa, funksiya x0 nuqtada ortadi. Quyidagi rasmda funksiya x da ortib bormoqda x2.
Agar f'(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Agar f′(x0)=0 yoki hosila mavjud boʻlmasa, u holda bu xususiyat funksiyaning x0 nuqtadagi monotonlik xususiyatini aniqlashga imkon bermaydi.

5. Funktsiyaning mahalliy ekstremal qismi
f(x) funksiyasi mavjud mahalliy maksimal x1 nuqtada, agar x1 nuqtaning qo'shnisi mavjud bo'lsa, shu qo'shnilikdagi barcha x uchun f(x1)≥f(x) tengsizlik bajariladi.
Xuddi shunday f(x) funksiyasi ham bor mahalliy minimal x2 nuqtada, agar x2 nuqtaning qo'shnisi mavjud bo'lsa, bu qo'shnilikdagi barcha x uchun f(x2)≤f(x) tengsizlik bajariladi.

6. Kritik nuqtalar
x0 nuqtasi tanqidiy nuqta f(x) funksiya, agar undagi f'(x0) hosilasi nolga teng bo'lsa yoki mavjud bo'lmasa.

7. Ekstremum mavjudligining birinchi etarli belgisi
Agar f(x) funksiya qaysidir oraliqda (a,x1] barcha x uchun ortib borayotgan (f′(x)>0) va kamayuvchi (f′(x)) boʻlsa.<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) oraliqdagi barcha x uchun)