Vektor va nuqta mahsuloti vektorlar orasidagi burchakni hisoblashni osonlashtiradi. Ikki vektor berilgan bo'lsin $ \ overline (a) $ va $ \ overline (b) $, ular orasidagi yo'naltirilgan burchak $ \ varphi $. $ x = (\ overline (a), \ overline (b)) $ va $ y = [\ overline (a), \ overline (b)] $ qiymatlarini hisoblang. Keyin $ x = r \ cos \ varphi $, $ y = r \ sin \ varphi $, bu erda $ r = | \ overline (a) | \ cdot | \ overline (b) | $, va $ \ varphi $ - bu zarur burchak, ya'ni $ (x, y) $ nuqtasi $ \ varphi $ ga teng qutb burchagiga ega va shuning uchun $ \ varphi $ ni atan2 (y, x) sifatida topish mumkin.

Uchburchakning maydoni

Ko'ndalang mahsulot ikkita vektor uzunligining ular orasidagi burchak kosinusiga ko'paytmasini o'z ichiga olganligi sababli, ABC uchburchagining maydonini hisoblash uchun o'zaro faoliyat mahsulotdan foydalanish mumkin:

$ S_ (ABC) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AC)] | $.

To'g'ri chiziqqa tegishli nuqta

$ P $ nuqtasi va $ AB $ to'g'ri chiziq (ikkita $ A $ va $ B $ nuqtalari bilan berilgan) berilsin. Nuqta $AB $ chizig'iga tegishli yoki yo'qligini tekshirish kerak.

Agar $ AP $ va $ AB $ vektorlari kollinear bo'lsa, ya'ni $ [\ overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $ bo'lsa, nuqta $ AB $ to'g'ri chiziqqa tegishlidir.

Nuqtaning nurga tegishliligi

$ P $ nuqtasi va $ AB $ nurlari (ikki nuqta bilan berilgan - $ A $ nurining boshlanishi va $ B $ nurining nuqtasi) berilsin. Nuqtaning $AB $ nuriga tegishli ekanligini tekshirish kerak.

$ P $ nuqtasi $ AB $ chizig'iga tegishli bo'lgan shartga qo'shimcha shart qo'shish kerak - $ AP $ va $ AB $ vektorlari birgalikda yo'naltirilgan, ya'ni ular kollinear va ularning skalyar ko'paytmasi. manfiy emas, ya'ni $ (\ overline (AB), \ overline (AP )) \ ge 0 $.

Nuqta chiziq segmentiga tegishli

$ P $ nuqtasi va $ AB $ segmenti berilsin. Nuqta $AB $ segmentiga tegishli ekanligini tekshirish kerak.

Bunday holda, nuqta ikkala ray $ AB $ va ray $ BA $ ga tegishli bo'lishi kerak, shuning uchun quyidagi shartlarni tekshirish kerak:

$ [\ overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $,

$ (\ overline (AB), \ overline (AP)) \ ge 0 $,

$ (\ overline (BA), \ overline (BP)) \ ge 0 $.

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa

$ P $ nuqtasi va $ AB $ to'g'ri chiziq (ikkita $ A $ va $ B $ nuqtalari bilan berilgan) berilsin. $AB $ toʻgʻri chiziq nuqtasidan masofani topish kerak.

ABP uchburchagini ko'rib chiqing. Bir tomondan, uning maydoni $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | $.

Boshqa tomondan, uning maydoni $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) h | AB | $, bu erda $ h $ - $ P $ nuqtasidan tushgan balandlik, ya'ni $ dan masofa. P $ dan $ AB $ gacha. Qayerdan $ h = | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | / | AB | $.

Nur masofasiga ishora qiling

$ P $ nuqtasi va $ AB $ nurlari (ikki nuqta bilan berilgan - $ A $ nurining boshlanishi va $ B $ nurining nuqtasi) berilsin. Nuqtadan nurgacha bo'lgan masofani, ya'ni $ P $ nuqtadan nurning istalgan nuqtasigacha bo'lgan eng qisqa segment uzunligini topish kerak.

Bu masofa yoki $ AP $ uzunligiga yoki $ P $ nuqtasidan $ AB $ chizig'igacha bo'lgan masofaga teng. Hodisalarning qaysi biri sodir bo'lishini to'sin va nuqtaning nisbiy holatiga qarab aniqlash oson. Agar PAB burchagi o'tkir bo'lsa, ya'ni $ (\ overline (AB), \ overline (AP))> 0 $, u holda javob $ P $ nuqtadan $ AB $ to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa bo'ladi, aks holda. javob $ AB $ segmentining uzunligi bo'ladi.

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa

$ P $ nuqtasi va $ AB $ segmenti berilsin. $ P $ dan $ AB $ segmentigacha bo'lgan masofani topish kerak.

Agar perpendikulyar asos $P $ dan $AB $ chizigʻiga tushsa $AB $ segmentiga toʻgʻri kelsa, buni shartlar bilan tekshirish mumkin.

$ (\ overline (AP), \ overline (AB)) \ ge 0 $,

$ (\ overline (BP), \ overline (BA)) \ ge 0 $,

u holda javob $ P $ nuqtasidan $ AB $ chizig'igacha bo'lgan masofadir. Aks holda, masofa $ \ min (AP, BP) $ ga teng bo'ladi.

Vektorlarning nuqta mahsuloti

Biz vektorlar bilan ishlashda davom etamiz. Birinchi darsda Dummies uchun vektorlar vektor tushunchasini, vektorlar bilan amallarni, vektor koordinatalarini va vektorlar bilan eng oddiy vazifalarni ko'rib chiqdik. Agar siz ushbu sahifaga birinchi marta qidiruv tizimidan kelgan bo'lsangiz, yuqoridagi kirish maqolasini o'qishni tavsiya etaman, chunki materialni o'zlashtirish uchun siz men foydalanadigan atamalar va belgilar bo'yicha harakat qilishingiz, vektorlar bo'yicha asosiy bilimlarga ega bo'lishingiz kerak. elementar masalalarni hal qila oladi. Ushbu dars mavzuning mantiqiy davomi bo'lib, unda men vektorlarning nuqta mahsuloti qo'llaniladigan tipik vazifalarni batafsil tahlil qilaman. Bu JUDA MUHIM faoliyat.... Misollarni o'tkazib yubormaslikka harakat qiling, ular foydali bonus bilan birga keladi - amaliyot sizga o'rgangan materialingizni birlashtirishga yordam beradi va analitik geometriyadagi umumiy muammolarni hal qilishga yordam beradi.

Vektorlarni qo'shish, vektorni songa ko'paytirish.... Matematiklar boshqa hech narsa o'ylab topmagan deb o'ylash soddalik bo'lardi. Ko'rib chiqilgan harakatlardan tashqari, vektorlar bilan bir qator boshqa operatsiyalar mavjud, xususan: vektorlarning nuqta mahsuloti, vektorlarning vektor mahsuloti va vektorlarning aralash mahsuloti... Vektorlarning skalyar mahsuloti bizga maktabdan tanish, qolgan ikkita mahsulot an'anaviy ravishda oliy matematika kursi bilan bog'liq. Mavzular sodda, ko'p muammolarni hal qilish algoritmi stereotip va tushunarli. Yagona narsa. Ma'lumotlarning munosib miqdori mavjud, shuning uchun hamma narsani bir vaqtning o'zida o'zlashtirishga, hal qilishga harakat qilish istalmagan. Bu, ayniqsa, choynaklar uchun to'g'ri keladi, ishoning, muallif o'zini matematikadan Chikatilo kabi his qilishni xohlamaydi. Xo'sh, matematikadan emas, albatta, ham =) Ko'proq tayyor bo'lgan talabalar materiallardan tanlab foydalanishlari mumkin, qaysidir ma'noda etishmayotgan bilimlarni "olish" mumkin, siz uchun men zararsiz graf Drakula bo'laman =)

Va nihoyat, keling, eshikni biroz ochib, ikkita vektor bir-biriga duch kelganida nima sodir bo'lishini ishtiyoq bilan ko'raylik.

Vektorlarning nuqta mahsulotini aniqlash.
Nuqta mahsulotining xususiyatlari. Oddiy vazifalar

Nuqta mahsuloti tushunchasi

Avvalo haqida vektorlar orasidagi burchak... O'ylaymanki, hamma vektorlar orasidagi burchak nima ekanligini intuitiv ravishda tushunadi, lekin har holda, biroz batafsilroq. Erkin nolga teng bo'lmagan vektorlarni ko'rib chiqing va. Agar siz ushbu vektorlarni ixtiyoriy nuqtadan kechiktirsangiz, ko'pchilik allaqachon tasavvur qilgan rasmni olasiz:

Men bu erda vaziyatni faqat tushunish darajasida bayon qilganimni tan olaman. Agar sizga vektorlar orasidagi burchakning qat'iy ta'rifi kerak bo'lsa, iltimos, darslikka murojaat qiling, ammo amaliy muammolar uchun biz, qoida tariqasida, bunga muhtoj emasmiz. Shuningdek, BU YERDA VA BOSHQALAR Men amaliy ahamiyati pastligi sababli nol vektorlarni e'tiborsiz qoldiraman. Men saytning ilg'or tashrif buyuruvchilari uchun maxsus band qildim, ular meni quyidagi bayonotlarning nazariy jihatdan to'liq emasligi uchun tanqid qilishi mumkin.

0 dan 180 darajagacha (0 dan radiangacha) qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Analitik jihatdan bu fakt qo‘sh tengsizlik ko‘rinishida yoziladi: yoki (radianlarda).

Adabiyotda burchak belgisi ko'pincha e'tibordan chetda qoladi va oddiygina yoziladi.

Ta'rifi: Ikki vektorning skalyar ko'paytmasi bu vektorlar uzunliklarining ular orasidagi burchak kosinusiga ko'paytmasiga teng SON:

Bu allaqachon juda qattiq ta'rif.

Biz asosiy ma'lumotlarga e'tibor qaratamiz:

Belgilash: nuqta mahsuloti bilan yoki oddiygina belgilanadi.

Amaliyot natijasi NUMBER: Vektor vektorga ko'paytiriladi va natijada son bo'ladi. Haqiqatan ham, agar vektorlarning uzunliklari raqamlar bo'lsa, burchakning kosinusu son bo'lsa, ularning mahsuloti ham raqam bo'ladi.

Faqat bir nechta isitish misollari:

1-misol

Yechim: Biz formuladan foydalanamiz ... Ushbu holatda:

Javob:

Kosinus qiymatlarini quyidagi manzilda topish mumkin trigonometrik jadval... Men uni chop etishni maslahat beraman - bu minoraning deyarli barcha bo'limlarida talab qilinadi va ko'p marta talab qilinadi.

Sof matematik nuqtai nazardan, nuqta mahsuloti o'lchovsizdir, ya'ni natija, bu holda, shunchaki raqam va tamom. Fizika masalalari nuqtai nazaridan, skalar mahsulot har doim ma'lum bir jismoniy ma'noga ega, ya'ni natijadan keyin u yoki bu jismoniy birlik ko'rsatilishi kerak. Kuchning ishini hisoblashning kanonik misolini har qanday darslikda topish mumkin (formula aynan nuqta mahsulotidir). Quvvat ishi Joul bilan o'lchanadi, shuning uchun javob juda aniq yoziladi, masalan,.

2-misol

Agar toping , vektorlar orasidagi burchak esa.

Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun misol, javob o'quv qo'llanmaning oxirida.

Vektorlar orasidagi burchak va nuqta mahsulot qiymati

1-misolda nuqta ko'paytmasi ijobiy, 2-misolda esa manfiy bo'lib chiqdi. Keling, nuqta mahsulotining belgisi nimaga bog'liqligini bilib olaylik. Biz formulamizga qaraymiz: ... Nolga teng bo'lmagan vektorlarning uzunliklari har doim ijobiy bo'ladi:, shuning uchun belgi faqat kosinus qiymatiga bog'liq bo'lishi mumkin.

Eslatma: Quyidagi ma'lumotlarni yaxshiroq tushunish uchun qo'llanmada kosinus grafigini o'rganish yaxshiroqdir Funksiya grafiklari va xossalari... Kosinus segmentda qanday harakat qilishini ko'ring.

Yuqorida aytib o'tilganidek, vektorlar orasidagi burchak ichida farq qilishi mumkin , va quyidagi holatlar mumkin:

1) Agar in'ektsiya vektorlar orasida achchiq: (0 dan 90 darajagacha), keyin , va nuqta mahsuloti ijobiy bo'ladi hamkorlikda boshqargan, keyin ular orasidagi burchak nolga teng deb hisoblanadi va nuqta mahsuloti ham ijobiy bo'ladi. Chunki formula soddalashtirilgan:.

2) Agar in'ektsiya vektorlar orasida to'mtoq: (90 dan 180 darajagacha), keyin , va shunga mos ravishda, nuqta mahsuloti manfiy:. Maxsus holat: agar vektorlar qarama-qarshi yo'nalish, keyin ular orasidagi burchak hisobga olinadi joylashtirilgan: (180 daraja). Nuqta mahsuloti ham salbiy, chunki

Qarama-qarshi bayonotlar ham to'g'ri:

1) Agar, u holda bu vektorlar orasidagi burchak o'tkirdir. Shu bilan bir qatorda vektorlar ko'p yo'nalishli.

2) Agar, u holda berilgan vektorlar orasidagi burchak to'g'ri burchakli bo'ladi. Shu bilan bir qatorda vektorlar qarama-qarshi yo'naltirilgan.

Ammo uchinchi holat alohida qiziqish uyg'otadi:

3) Agar in'ektsiya vektorlar orasida Streyt: (90 daraja), keyin nuqta mahsuloti nolga teng:. Qarama-qarshilik ham to'g'ri: agar, keyin. Bayonot ixcham tarzda quyidagicha tuzilgan: Ikki vektorning skalyar ko'paytmasi, agar bu vektorlar ortogonal bo'lsa, nolga teng bo'ladi... Qisqa matematik belgilar:

! Eslatma : takrorlang matematik mantiq asoslari: ikki tomonlama mantiqiy oqibat belgisi odatda "o'shanda va faqat keyin", "agar va faqat agar" o'qiladi. Ko'rib turganingizdek, o'qlar ikkala yo'nalishda ham yo'naltirilgan - "bundan kelib chiqadi va aksincha - bundan kelib chiqadi." Aytgancha, bir tomonlama kuzatish belgisidan qanday farq bor? Belgisi da'vo qiladi faqat shu"Bu shundan kelib chiqadi" va buning aksi haqiqat emas. Masalan: lekin har bir hayvon pantera emas, shuning uchun bu holda ikonkadan foydalanib bo'lmaydi. Shu bilan birga, belgi o'rniga mumkin bir tomonlama belgidan foydalaning. Masalan, masalani hal qilishda biz vektorlar ortogonal degan xulosaga kelganimizni aniqladik: - bunday yozuv to'g'ri bo'ladi va undan ham ko'proq mos keladi .

Uchinchi holat katta amaliy ahamiyatga ega. chunki u vektorlarning ortogonal yoki yo'qligini tekshirishga imkon beradi. Bu muammoni darsning ikkinchi qismida hal qilamiz.

Nuqta mahsulotining xususiyatlari

Keling, ikkita vektor bo'lgan vaziyatga qaytaylik hamkorlikda boshqargan... Bunday holda, ular orasidagi burchak nolga teng bo'lib, nuqta hosilasi formulasi quyidagi shaklni oladi:.

Agar vektor o'ziga ko'paytirilsa nima bo'ladi? Vektorning o'zi bilan ko'proq yo'naltirilganligi aniq, shuning uchun biz yuqoridagi soddalashtirilgan formuladan foydalanamiz:

Raqam chaqiriladi skalyar kvadrat vektor, va sifatida belgilanadi.

Shunday qilib, vektorning skalyar kvadrati berilgan vektor uzunligining kvadratiga teng:

Ushbu tenglikdan vektor uzunligini hisoblash formulasini olishingiz mumkin:

Bu noaniq ko'rinadi, ammo darsning vazifalari hamma narsani o'z o'rniga qo'yadi. Muammolarni hal qilish uchun bizga ham kerak nuqta mahsulot xususiyatlari.

Ixtiyoriy vektorlar va har qanday sonlar uchun quyidagi xususiyatlar amal qiladi:

1) - almashtiriladigan yoki kommutativ skalyar mahsulot qonuni.

2) - tarqatish yoki tarqatuvchi skalyar mahsulot qonuni. Oddiy qilib aytganda, siz qavslarni kengaytirishingiz mumkin.

3) - kombinatsiya yoki assotsiativ skalyar mahsulot qonuni. Doimiy nuqta nuqta mahsulotidan olinishi mumkin.

Ko'pincha, barcha turdagi xususiyatlar (bu ham isbotlanishi kerak!) Talabalar tomonidan keraksiz axlat sifatida qabul qilinadi, ularni faqat eslab qolish va imtihondan so'ng xavfsiz tarzda unutish kerak. Ko'rinib turibdiki, bu erda nima muhim, hamma birinchi sinfdan mahsulot omillarni qayta tartibga solishdan o'zgarmasligini biladi: Men sizni ogohlantirishim kerak, yuqori matematikada bunday yondashuv bilan yog'ochni sindirish oson. Shunday qilib, masalan, joy o'zgartirish xususiyati uchun haqiqiy emas algebraik matritsalar... uchun ham to'g'ri emas vektorlarning vektor mahsuloti... Shuning uchun, hech bo'lmaganda, nima qilish mumkin va mumkin emasligini tushunish uchun oliy matematika kursida duch keladigan har qanday xususiyatlarni o'rganish yaxshiroqdir.

3-misol

.

Yechim: Birinchidan, vektor bilan vaziyatni aniqlab olaylik. Har holda bu nima? vektorlarning yig'indisi va aniq belgilangan vektor bo'lib, u bilan belgilanadi. Vektorlar bilan harakatlarning geometrik talqinini maqolada topish mumkin Dummies uchun vektorlar... Vektorli bir xil maydanoz vektorlar yig'indisi va.

Shunday qilib, shart bo'yicha nuqta mahsulotini topish talab qilinadi. Nazariy jihatdan, siz ishchi formulani qo'llashingiz kerak , lekin muammo shundaki, biz vektorlarning uzunligi va ular orasidagi burchakni bilmaymiz. Ammo shart vektorlar uchun shunga o'xshash parametrlarni beradi, shuning uchun biz boshqa yo'ldan boramiz:

(1) Vektor ifodalarni almashtiring.

(2) Biz qavslarni polinomlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra kengaytiramiz, maqolada qo'pol tilni burish mumkin Kompleks sonlar yoki Kasrli ratsional funksiyani integrallash... Men o'zimni takrorlamayman =) Aytgancha, skalyar mahsulotning taqsimlash xususiyati qavslarni kengaytirishga imkon beradi. Bizning huquqimiz bor.

(3) Birinchi va oxirgi shartlarda vektorlarning skalyar kvadratlarini ixcham yozamiz: ... Ikkinchi muddatda biz skalyar mahsulotning o'zgaruvchanligidan foydalanamiz:.

(4) Biz shunga o'xshash shartlarni beramiz:.

(5) Birinchi atamada biz yaqinda aytib o'tilgan skalyar kvadrat formulasidan foydalanamiz. Oxirgi muddatda, mos ravishda, xuddi shu narsa ishlaydi:. Biz ikkinchi muddatni standart formulaga muvofiq kengaytiramiz .

(6) Biz bu shartlarni almashtiramiz , va yakuniy hisob-kitoblarni DIQQAT QILING.

Javob:

Nuqta mahsulotining manfiy qiymati vektorlar orasidagi burchakning to'liq bo'lmaganligini bildiradi.

Vazifa odatiy, bu erda mustaqil hal qilish uchun misol:

4-misol

Vektorlarning nuqta mahsulotini toping va agar ma'lum bo'lsa .

Endi yana bir umumiy vazifa, faqat vektor uzunligi uchun yangi formula uchun. Bu yerdagi belgilar bir-biriga mos tushadi, shuning uchun aniqlik uchun uni boshqa harf bilan qayta yozaman:

5-misol

Agar vektor uzunligini toping .

Yechim quyidagicha bo'ladi:

(1) Vektor ifodasini keltiring.

(2) Biz uzunlik formulasidan foydalanamiz:, butun ifoda esa "ve" vektori vazifasini bajaradi.

(3) Biz yig'indining kvadrati uchun maktab formulasidan foydalanamiz. Bu erda qanday ishlayotganiga e'tibor bering: - aslida, bu farqning kvadratidir va aslida shunday. Qiziq bo'lganlar vektorlarni joylarda o'zgartirishlari mumkin: - atamalarni qayta tartibga solishgacha xuddi shunday bo'lib chiqdi.

(4) Qolganlari oldingi ikkita muammodan allaqachon tanish.

Javob:

Biz uzunlik haqida gapirayotganimiz sababli, o'lchamni - "birliklar" ni ko'rsatishni unutmang.

6-misol

Agar vektor uzunligini toping .

Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun misol. Toʻliq yechim va oʻquv qoʻllanmasining oxirida javob bering.

Biz nuqta mahsulotidan foydali narsalarni siqib chiqarishni davom ettiramiz. Keling, formulamizga yana qaraylik ... Proportsional qoidaga ko'ra, vektorlarning uzunliklarini chap tomonning maxrajiga qaytaramiz:

Va biz qismlarni almashtiramiz:

Ushbu formulaning ma'nosi nima? Agar siz ikkita vektorning uzunligini va ularning nuqta mahsulotini bilsangiz, bu vektorlar orasidagi burchakning kosinusini va shuning uchun burchakning o'zini hisoblashingiz mumkin.

Nuqta mahsuloti raqammi? Raqam. Vektorlarning uzunliklari raqamlarmi? Raqamlar. Demak, kasr ham ma'lum sondir. Va agar burchakning kosinusu ma'lum bo'lsa: , keyin teskari funktsiyadan foydalanib, burchakning o'zini topish oson: .

7-misol

Vektorlar orasidagi burchakni toping va agar ma'lum bo'lsa.

Yechim: Biz formuladan foydalanamiz:

Hisob-kitoblarning yakuniy bosqichida maxrajdagi irratsionallikni bartaraf etish usuli qo'llanildi. Mantiqsizlikni yo'q qilish uchun men son va maxrajni ko'paytirdim.

Shunday qilib, agar , keyin:

Teskari trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini topish mumkin trigonometrik jadval... Garchi bu kamdan-kam hollarda bo'lsa ham. Analitik geometriya muammolarida qandaydir bema'ni ayiq ko'proq paydo bo'ladi va burchakning qiymatini taxminan kalkulyator yordamida topish kerak. Aslida, biz bunday rasmni bir necha bor ko'ramiz.

Javob:

Shunga qaramay, o'lchamni - radian va darajani ko'rsatishni unutmang. Shaxsan men bila turib "barcha savollarni o'chirish" uchun uni ham, bunisini ham ko'rsatishni afzal ko'raman (agar, albatta, shartga ko'ra, javobni faqat radyanlarda yoki faqat darajalarda ko'rsatish talab qilinmasa).

Endi siz o'zingiz qiyinroq vazifani engishingiz mumkin bo'ladi:

7-misol *

Vektorlarning uzunliklari va ular orasidagi burchak berilgan. Vektorlar orasidagi burchakni toping,.

Vazifa ko'p bosqichli kabi qiyin emas.
Keling, yechim algoritmini tahlil qilaylik:

1) Shartga ko'ra, vektorlar orasidagi burchakni topish kerak va shuning uchun formuladan foydalanish kerak. .

2) Nuqta hosilasini toping (3, 4-misollarga qarang).

3) Vektor uzunligi va vektor uzunligini toping (5, 6-misollarga qarang).

4) Yechimning oxiri 7-misolga to'g'ri keladi - biz raqamni bilamiz, ya'ni burchakning o'zini topish oson:

Qo'llanma oxirida qisqacha yechim va javob.

Darsning ikkinchi qismi bir xil nuqta mahsulotiga qaratilgan. Koordinatalar. Bu birinchi qismga qaraganda osonroq bo'ladi.

Vektorlarning nuqta mahsuloti,
ortonormal asosda koordinatalar bilan berilgan

Javob:

Aytishga hojat yo'q, koordinatalar bilan shug'ullanish ancha yoqimli.

14-misol

Vektorlarning nuqta mahsulotini toping va agar

Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun misol. Bu erda siz operatsiyaning assotsiativligidan foydalanishingiz mumkin, ya'ni hisoblamang, lekin darhol uchlikni skalyar ko'paytmadan chiqarib oling va oxirgi marta ko'paytiring. Dars oxirida yechim va javob.

Paragrafning oxirida vektor uzunligini hisoblashning provokatsion misoli:

15-misol

Vektorlarning uzunliklarini toping , agar

Yechim: yana oldingi bo'limning usuli o'zini taklif qiladi:, lekin boshqa yo'l bor:

Vektorni toping:

Va uning uzunligi ahamiyatsiz formulaga muvofiq :

Bu erda nuqta mahsuloti haqida gap bo'lishi mumkin emas!

Bu vektor uzunligini hisoblashda biznesdan tashqarida:
STOP. Nega vektor uzunligining aniq xususiyatidan foydalanmaslik kerak? Vektor uzunligi haqida nima deyish mumkin? Bu vektor vektordan 5 marta uzun. Yo'nalish qarama-qarshi, lekin bu muhim emas, chunki gap uzunlik haqida. Shubhasiz, vektorning uzunligi mahsulotga teng modul vektor uzunligi uchun raqamlar:
- modulning belgisi raqamning mumkin bo'lgan minusini "yeydi".

Shunday qilib:

Javob:

Koordinatalar bilan berilgan vektorlar orasidagi burchakning kosinus formulasi

Endi vektorlar orasidagi burchak kosinusining ilgari olingan formulasini vektorlar koordinatalari bo'yicha ifodalash uchun to'liq ma'lumotga egamiz:

Tekislik vektorlari orasidagi burchakning kosinusu va ortonormal asosda berilgan, formula bilan ifodalanadi:
.

Fazoviy vektorlar orasidagi burchak kosinusu ortonormal asosda berilgan, formula bilan ifodalanadi:

16-misol

Uchburchakning uchta uchi berilgan. Toping (cho'qqi burchagi).

Yechim: Shartga ko'ra, chizishni bajarish shart emas, lekin baribir:

Kerakli burchak yashil yoy bilan belgilangan. Biz darhol burchakning maktab belgilanishini eslaymiz: - alohida e'tibor o'rtacha harf - bu bizga kerak bo'lgan burchakning tepasi. Qisqasi, uni oddiygina yozish ham mumkin edi.

Chizmadan ko'rinib turibdiki, uchburchakning burchagi vektorlar orasidagi burchakka to'g'ri keladi va boshqacha qilib aytganda: .

Aqliy jihatdan amalga oshirilgan tahlilni qanday amalga oshirishni o'rganish maqsadga muvofiqdir.

Vektorlarni toping:

Keling, nuqta mahsulotini hisoblaylik:

Va vektorlarning uzunliklari:

Burchakning kosinusu:

Bu men choynaklarga tavsiya qiladigan vazifani bajarish tartibi. Ilg'or o'quvchilar hisob-kitoblarni "bir qatorda" yozishlari mumkin:

Bu erda "yomon" kosinus qiymatiga misol. Olingan qiymat yakuniy emas, shuning uchun denominatordagi irratsionallikdan xalos bo'lishning ahamiyati yo'q.

Keling, burchakning o'zini topamiz:

Agar siz chizilgan rasmga qarasangiz, natija juda ishonchli. Tekshirish uchun burchakni transportyor bilan ham o'lchash mumkin. Monitor qopqog'ini shikastlamang =)

Javob:

Javobda buni unutmang uchburchakning burchagi haqida so'radi(va vektorlar orasidagi burchak haqida emas), aniq javobni ko'rsatishni unutmang: va burchakning taxminiy qiymati: kalkulyator yordamida topiladi.

Jarayondan zavqlanganlar burchaklarni hisoblashlari va kanonik tenglikning to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qilishlari mumkin

17-misol

Uchburchak fazoda uning uchlari koordinatalari bilan aniqlanadi. va tomonlari orasidagi burchakni toping

Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun misol. Toʻliq yechim va oʻquv qoʻllanmasining oxirida javob bering

Qisqa yakuniy bo'lim proektsiyalarga bag'ishlangan bo'lib, unda skalyar mahsulot ham "aralashtirilgan":

Vektordan vektorga proyeksiya. Vektorning koordinata o'qlariga proyeksiyasi.
Vektorning yo'nalish kosinuslari

Vektorlarni ko'rib chiqing va:

Biz vektorni vektorga proyeksiya qilamiz, buning uchun vektorning boshi va oxirini o'tkazib yuboramiz perpendikulyarlar vektor uchun (yashil nuqtali chiziqlar). Vektorga perpendikulyar tushayotgan yorug'lik nurlarini tasavvur qiling. Keyin segment (qizil chiziq) vektorning "soyasi" bo'ladi. Bunda vektorning vektorga proyeksiyasi segmentning UZUNLIGI ga teng. Ya'ni, PROKEKSIYON - SON.

Bu NUMBER quyidagicha belgilanadi: "katta vektor" vektorni bildiradi QAYSI loyiha, "kichik pastki chiziq vektori" vektorni bildiradi USTIDA qaysi prognoz qilinmoqda.

Yozuvning o'zi shunday o'qiydi: "vektorning proyeksiyasi" a "vektorga" bh "".

Agar "bs" vektori "juda qisqa" bo'lsa nima bo'ladi? Biz "bo'l" vektorini o'z ichiga olgan to'g'ri chiziq chizamiz. Va "a" vektori allaqachon proyeksiya qilinadi "bh" vektorining yo'nalishi bo'yicha, oddiygina - "bo'l" vektorini o'z ichiga olgan to'g'ri chiziqda. Agar "a" vektori o'ttizinchi shohlikda qoldirilsa, xuddi shunday bo'ladi - u baribir "bh" vektorini o'z ichiga olgan to'g'ri chiziqqa osongina proyeksiyalanadi.

Agar burchak vektorlar orasida achchiq(rasmdagi kabi), keyin

Agar vektorlar ortogonal, keyin (proyeksiya - o'lchamlari nolga teng deb qabul qilingan nuqta).

Agar burchak vektorlar orasida to'mtoq(rasmda vektorning o'qini aqliy ravishda o'zgartiring), keyin (bir xil uzunlikdagi, lekin minus belgisi bilan olingan).

Keling, ushbu vektorlarni bir nuqtadan kechiktiramiz:

Shubhasiz, vektor harakat qilganda, uning proyeksiyasi o'zgarmaydi.

Ta'rif 1

Vektorlarning skalyar ko'paytmasi bu vektorlarning dyni va ular orasidagi burchakning kosinuslari ko'paytmasiga teng sondir.

a → va b → vektorlar ko‘paytmasining yozuvi a →, b → ko‘rinishga ega. Keling, formulaga aylantiramiz:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^. a → va b → vektorlarning uzunliklarini, a →, b → ^ berilgan vektorlar orasidagi burchakni bildiradi. Agar kamida bitta vektor nolga teng bo'lsa, ya'ni uning qiymati 0 ga teng bo'lsa, natija ham nolga teng bo'ladi, a →, b → = 0.

Vektorni o'ziga ko'paytirishda biz uning uzunligi kvadratini olamiz:

a →, b → = a → b → cos a →, a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Ta'rif 2

Vektorni o'z-o'zidan skalyar ko'paytirish skalyar kvadrat deyiladi.

Formula bo'yicha hisoblangan:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^.

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → yozuvi npb → a → a → b → ustidagi son proyeksiyasi ekanligini ko‘rsatadi, npa → a → mos ravishda b → ning a → ga proyeksiyasi.

Ikki vektor uchun mahsulot ta'rifini tuzamiz:

Ikki vektorning a → b → skalyar ko‘paytmasi vektor uzunligining a → proyeksiyasi b → yo‘nalishi bo‘yicha a → yoki b → uzunligining a → proyeksiyasiga ko‘paytmasi deyiladi.

Koordinatalarda nuqta mahsuloti

Nuqta mahsulotini hisoblash berilgan tekislikdagi yoki fazodagi vektorlarning koordinatalari orqali amalga oshirilishi mumkin.

Tekislikdagi, uch o‘lchamli fazodagi ikkita vektorning skalyar ko‘paytmasi berilgan a → va b → vektorlarning koordinatalarining yig‘indisi deyiladi.

Dekart sistemasida berilgan a → = (a x, a y), b → = (b x, b y) vektorlarining skalyar ko‘paytmasini hisoblashda quyidagilardan foydalaning:

a →, b → = a x b x + a y b y,

uch o'lchovli makon uchun quyidagi ifoda qo'llaniladi:

a →, b → = a x b x + a y b y + a z b z.

Aslida, bu nuqta mahsulotining uchinchi ta'rifi.

Keling, buni isbotlaylik.

Isbot 1

Isbot uchun a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = ax bx + ay by vektorlari uchun a → = (ax, ay), b → = (bx, by) Dekart bo‘yicha. tizimi.

Vektorlarni kechiktirish kerak

O A → = a → = a x, a y va O B → = b → = b x, b y.

U holda A B → vektorining uzunligi A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y) ga teng bo'ladi.

O A B uchburchakni ko'rib chiqing.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) kosinus teoremasiga asoslangan holda to'g'ri.

Shartga ko'ra, O A = a →, O B = b →, A B = b → - a →, ∠ A O B = a →, b → ^ ekanligini ko'rish mumkin, shuning uchun vektorlar orasidagi burchakni topish formulasini boshqacha yozamiz.

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

Keyin birinchi ta'rifdan kelib chiqadiki, b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), demak (a →, b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2).

Vektorlarning uzunligini hisoblash formulasini qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:
a →, b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + 2 ga) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax bx + ay tomonidan

Keling, tenglikni isbotlaylik:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- mos ravishda uch o'lchovli fazo vektorlari uchun.

Koordinatali vektorlarning skalyar ko'paytmasi vektorning skalyar kvadrati uning mos ravishda fazodagi va tekislikdagi koordinatalarining kvadratlari yig'indisiga teng ekanligini aytadi. a → = (a x, a y, a z), b → = (b x, b y, b z) va (a →, a →) = a x 2 + a y 2.

Nuqtali mahsulot va uning xossalari

a →, b → va c → uchun amal qiladigan nuqta mahsulot xususiyatlari mavjud:

1. kommutativlik (a →, b →) = (b →, a →);
2. distributivlik (a → + b →, c →) = (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) = (a →, b →) + (a → , c →);
3. birikma xossasi (l a →, b →) = l (a →, b →), (a →, l b →) = l (a →, b →), l har qanday son;
4. skalyar kvadrat har doim noldan katta (a →, a →) ≥ 0, bu erda (a →, a →) = 0 a → nolga teng bo'lgan holatda.

1-misol

Xususiyatlarni tekislikdagi nuqta mahsulotining ta'rifi va haqiqiy sonlarni qo'shish va ko'paytirish xususiyatlari tufayli tushuntirish mumkin.

Kommutativlik xususiyatini isbotlang (a →, b →) = (b →, a →). Ta'rifdan bizda (a →, b →) = a y b y + a y b y va (b →, a →) = b x a x + b y a y bor.

Kommutativlik xususiyatiga ko'ra a x b x = b x a x va a y b y = b y a y tengliklari to'g'ri, shuning uchun a x b x + a y b y = b x a x + b y a y.

Bundan kelib chiqadiki (a →, b →) = (b →, a →). Q.E.D.

Taqsimlash har qanday raqamlar uchun amal qiladi:

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b →) = (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (a (n) →, b →)

va (a →, b (1) → + b (2) → +.. + b (n) →) = (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + . .. ... ... + (a →, b → (n)),

shuning uchun bizda bor

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b (1) → + b (2) → +... + b (m) →) = (a ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (a (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (a (n) →, b (m) →)

Misollar va echimlar bilan nuqta mahsuloti

Bunday rejaning har qanday muammosi nuqta mahsulotiga tegishli xususiyatlar va formulalar yordamida hal qilinadi:

1. (a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) = a → n p a → b → = b → n p b → a →;
3. (a →, b →) = a x b x + a y b y yoki (a →, b →) = a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a →, a →) = a → 2.

Keling, ba'zi bir yechim misollarini ko'rib chiqaylik.

2-misol

a → ning uzunligi 3 ga, b → uzunligi 7 ga teng. Agar burchak 60 gradus bo‘lsa, nuqta ko‘paytmasini toping.

Yechim

Shartga ko'ra, bizda barcha ma'lumotlar mavjud, shuning uchun biz quyidagi formula bo'yicha hisoblaymiz:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Javob: (a →, b →) = 21 2.

3-misol

Berilgan vektorlar a → = (1, - 1, 2 - 3), b → = (0, 2, 2 + 3). Nuqta mahsuloti nima.

Yechim

Ushbu misolda koordinatalar bo'yicha hisoblash formulasi ko'rib chiqiladi, chunki ular muammo bayonotida ko'rsatilgan:

(a →, b →) = ax bx + ay by + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Javob: (a →, b →) = - 9

4-misol

A B → va A C → nuqta hosilasini toping. Koordinata tekisligida A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) nuqtalar berilgan.

Yechim

Boshlash uchun vektorlarning koordinatalari hisoblanadi, chunki nuqtalarning koordinatalari shart bilan berilgan:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Koordinatalar yordamida formulani almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

Javob: (A B →, A C →) = 28.

5-misol

a → = 7 m → + 3 n → va b → = 5 m → + 8 n → vektorlari berilgan, ularning ko‘paytmasini toping. m → 3 ga teng va n → 2 birlikka teng, ular perpendikulyar.

Yechim

(a →, b →) = (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). Distributiv xususiyatni qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + ( 3 n →, 8 n →)

Mahsulot belgisi uchun koeffitsientni chiqaramiz va olamiz:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) = = 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) = = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

Kommutativlik xususiyatiga ko'ra biz quyidagilarni o'zgartiramiz:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n → ) + 24 (n →, n →)

Natijada biz quyidagilarni olamiz:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

Endi oldindan belgilangan burchak bilan nuqta mahsuloti uchun formulani qo'llaymiz:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m →) , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos p 2 + 24 2 2 = 411.

Javob: (a →, b →) = 411

Agar raqamli proyeksiya mavjud bo'lsa.

6-misol

a → va b → nuqta hosilasini toping. Vektor a → koordinatalari a → = (9, 3, - 3), proyeksiyasi b → koordinatali (- 3, - 1, 1).

Yechim

Gipotezaga ko'ra, a → vektorlari va b → proyeksiyasi qarama-qarshi yo'naltirilgan, chunki a → = - 1 3 · npa → b → →, shuning uchun b → proyeksiyasi npa → b → → uzunligiga to'g'ri keladi va " belgisi bilan. -":

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Formulani almashtirib, biz quyidagi ifodani olamiz:

(a →, b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33.

Javob: (a →, b →) = - 33.

Vektor uzunligini yoki sonli proyeksiyani topish zarur bo'lgan ma'lum nuqta mahsuloti bilan bog'liq muammolar.

7-misol

A → = (1, 0, l + 1) va b → = (l, 1, l) berilgan skalyar ko'paytma uchun l qanday qiymatni olish kerak -1 ga teng bo'ladi.

Yechim

Formula koordinatalar ko'paytmalarining yig'indisini topish kerakligini ko'rsatadi:

(a →, b →) = 1 l + 0 1 + (l + 1) l = l 2 + 2 l.

Bizda (a →, b →) = - 1 mavjud.

l ni topish uchun tenglamani hisoblaymiz:

l 2 + 2 l = - 1, demak, l = - 1.

Javob: l = - 1.

Nuqta mahsulotining jismoniy ma'nosi

Mexanika nuqta mahsulotini qo'llash bilan shug'ullanadi.

A ni o'zgarmas kuch F → M nuqtadan N ga ko'chirilgan jism bilan ishlaganda, F → va MN → vektorlari uzunliklarining ular orasidagi burchak kosinusiga ko'paytmasini topish mumkin, ya'ni ish teng bo'ladi. kuch va siljish vektorlarining mahsulotiga:

A = (F →, M N →).

8-misol

5 ntonga teng kuch ta'sirida moddiy nuqtaning 3 metrga harakati o'qga nisbatan 45 graduslik burchakka yo'naltiriladi. A toping.

Yechim

Ish kuch vektori va siljishning mahsuloti bo'lganligi sababli, F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 ° shartiga asoslanib, biz A = (F →,) ni olamiz. S →) = F → S → cos (F →, S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2.

Javob: A = 15 2 2.

9-misol

F → = (3, 1, 2) kuchi ta'sirida M (2, - 1, - 3) dan N (5, 3 l - 2, 4) ga o'tuvchi moddiy nuqta 13 J ga teng ishni bajardi. Hisoblang. harakat uzunligi.

Yechim

M N → vektorining berilgan koordinatalari uchun bizda M N → = (5 - 2, 3 l - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) = (3, 3 l - 1, 7).

F → = (3, 1, 2) va MN → = (3, 3 l - 1, 7) vektorlari bilan ishlashni topish formulasidan foydalanib, biz A = (F ⇒, MN →) = 3 3 + 1 ( ) ni olamiz. 3 l - 1) + 2 7 = 22 + 3 l.

Gipotezaga ko'ra, A = 13 J, ya'ni 22 + 3 l = 13 degan ma'noni anglatadi. Demak, l = - 3, demak, M N → = (3, 3 l - 1, 7) = (3, - 10, 7).

M N → siljish uzunligini topish uchun formulani qo'llang va qiymatlarni almashtiring:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

Javob: 158.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar ham bo'ladi, siz javoblarni ko'rishingiz mumkin.

Agar masalada vektorlarning uzunligi ham, ular orasidagi burchak ham “kumush laganda” berilgan bo‘lsa, masalaning sharti va uning yechimi quyidagicha ko‘rinadi:

1-misol. Berilgan vektorlar. Vektorlarning uzunliklari va orasidagi burchak quyidagi qiymatlar bilan ifodalansa, ularning nuqta mahsulotini toping:

Boshqa ta'rif ham to'g'ri, bu 1 ta'rifga to'liq teng.

Ta'rif 2... Vektorlarning skalyar ko'paytmasi - bu vektorlardan birining uzunligi ikkinchi vektorning ko'rsatilgan vektorlarning birinchisi tomonidan aniqlangan o'qga proyeksiyasi bo'yicha ko'paytmasiga teng bo'lgan son (skalar). 2-ta'rifga muvofiq formula:

Keyingi muhim nazariy nuqtadan keyin ushbu formuladan foydalanib muammoni hal qilamiz.

Koordinatalar bo'yicha vektorlarning nuqta mahsulotini aniqlash

Agar ko'paytirilayotgan vektorlar ularning koordinatalari bilan berilgan bo'lsa, xuddi shu raqamni olish mumkin.

Ta'rif 3. Vektorlarning nuqta mahsuloti - bu ularning tegishli koordinatalarining juft ko'paytmalari yig'indisiga teng son.

Sirtda

Agar ikkita vektor va tekislikda ularning ikkitasi aniqlansa Dekart to'rtburchaklar koordinatalari

u holda bu vektorlarning skalyar ko'paytmasi ularning tegishli koordinatalarining juft ko'paytmalari yig'indisiga teng bo'ladi:

.

2-misol. Vektorning vektorga parallel o'qga proyeksiyasining son qiymatini toping.

Yechim. Vektorlarning nuqta mahsulotini ularning koordinatalarining juft ko‘paytmalarini qo‘shish orqali topamiz:

Endi biz hosil bo'lgan skalyar ko'paytmani vektor uzunligi va vektorning vektorga parallel bo'lgan o'qqa proyeksiyasi (formulaga muvofiq) ko'paytmasiga tenglashtirishimiz kerak.

Vektor uzunligini uning koordinatalari kvadratlari yig'indisining kvadrat ildizi sifatida topamiz:

.

Biz tenglama tuzamiz va uni yechamiz:

Javob. Istalgan raqamli qiymat minus 8 ga teng.

Kosmosda

Agar ikkita vektor va fazoda ularning uchta dekart to'rtburchak koordinatalari bilan aniqlangan bo'lsa

,

u holda bu vektorlarning skalyar mahsuloti ham ularning mos keladigan koordinatalarining juft ko'paytmalari yig'indisiga teng, faqat uchta koordinata mavjud:

.

Ko'rib chiqilayotgan usul bo'yicha nuqta mahsulotini topish muammosi nuqta mahsulotining xossalarini tahlil qilgandan keyin. Chunki topshiriqda ko'paytirilgan vektorlar qanday burchak hosil qilishini aniqlash kerak bo'ladi.

Vektor nuqta mahsulotining xususiyatlari

Algebraik xossalari

1. (siljish xususiyati: ularning nuqta mahsulotining kattaligi ko'paytirilayotgan vektorlarni almashtirishdan o'zgarmaydi).

2. (ko'paytiruvchining birikma xossasi: vektorning nuqta ko'paytmasi qaysidir omilga va boshqa vektorga ko'paytirilgan bu vektorlarning nuqta ko'paytmasining bir xil koeffitsientga ko'paytirilishiga teng).

3. (vektorlar yig'indisiga nisbatan taqsimlash xususiyati: uchinchi vektor bo'yicha ikkita vektor yig'indisining nuqta ko'paytmasi birinchi vektorning uchinchi vektorning va ikkinchi vektorning uchinchi vektorning nuqta ko'paytmalarining yig'indisiga teng).

4. (vektorning skalyar kvadrati noldan katta), agar nolga teng bo'lmagan vektor bo'lsa va agar nol vektor bo'lsa.

Geometrik xususiyatlar

O'rganilayotgan operatsiya ta'riflarida biz allaqachon ikkita vektor orasidagi burchak tushunchasiga to'xtalib o'tdik. Bu kontseptsiyaga aniqlik kiritish vaqti keldi.

Yuqoridagi rasmda umumiy kelib chiqishiga olib kelingan ikkita vektor ko'rinadi. Va e'tibor berish kerak bo'lgan birinchi narsa: bu vektorlar orasida ikkita burchak bor - φ 1 va φ 2 ... Ushbu burchaklardan qaysi biri vektorlarning nuqta mahsulotining ta'riflari va xossalarida ko'rinadi? Ko'rib chiqilayotgan burchaklarning yig'indisi 2 ga teng π va shuning uchun bu burchaklarning kosinuslari tengdir. Nuqta mahsulotining ta'rifi faqat burchakning kosinusini o'z ichiga oladi, uning ifoda qiymati emas. Ammo mulklarda faqat bitta burchak hisobga olinadi. Va bu oshib ketmaydigan ikkita burchakdan biri π , ya'ni 180 daraja. Rasmda bu burchak sifatida belgilangan φ 1 .

1. Ikki vektor chaqiriladi ortogonal va bu vektorlar orasidagi burchak to'g'ri chiziqdir (90 daraja yoki π / 2) agar bu vektorlarning nuqta mahsuloti nolga teng :

.

Vektor algebrasida ortogonallik ikki vektorning perpendikulyarligidir.

2. Ikki nolga teng bo'lmagan vektor hosil qiladi o'tkir burchak (0 dan 90 darajagacha yoki bir xil - kamroq π nuqta mahsuloti ijobiy .

3. Ikki nolga teng bo'lmagan vektor hosil qiladi to'g'ri burchak (90 dan 180 darajagacha, yoki, bir xil - ko'proq π / 2) agar va faqat ularning nuqta mahsuloti manfiy .

3-misol. Vektorlar koordinatalarda berilgan:

.

Berilgan vektorlarning barcha juftlarining nuqta mahsulotini hisoblang. Ushbu juft vektorlar qanday burchakni (o'tkir, to'g'ri, o'tmas) hosil qiladi?

Yechim. Tegishli koordinatalarning mahsulotlarini qo'shish orqali hisoblaymiz.

Salbiy raqam qabul qilindi, shuning uchun vektorlar o'tmas burchak hosil qiladi.

Biz ijobiy raqamni oldik, shuning uchun vektorlar o'tkir burchak hosil qiladi.

Biz nolga erishdik, shuning uchun vektorlar to'g'ri burchak hosil qiladi.

Biz ijobiy raqamni oldik, shuning uchun vektorlar o'tkir burchak hosil qiladi.

.

Biz ijobiy raqamni oldik, shuning uchun vektorlar o'tkir burchak hosil qiladi.

O'z-o'zini tekshirish uchun siz foydalanishingiz mumkin onlayn kalkulyator Vektorlarning nuqta mahsuloti va ular orasidagi burchakning kosinusu .

4-misol. Ikki vektorning uzunligi va ular orasidagi burchak berilgan:

.

Sonning qaysi qiymatida vektorlar ortogonal (perpendikulyar) ekanligini aniqlang.

Yechim. Polinomlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra vektorlarni ko'paytiramiz:

Endi har bir atamani hisoblaymiz:

.

Keling, tenglama tuzamiz (ko'paytmaning nolga tengligi), o'xshash shartlarni keltiramiz va tenglamani yechamiz:

Javob: Biz ma'noni oldik λ = 1,8, buning uchun vektorlar ortogonaldir.

5-misol. vektor ekanligini isbotlang vektorga ortogonal (perpendikulyar).

Yechim. Ortogonallikni tekshirish uchun vektorlarni va ko'phadlarni ko'paytiramiz, buning o'rniga muammo bayonotida berilgan ifodani qo'yamiz:

.

Buni amalga oshirish uchun birinchi ko'phadning har bir a'zosini ikkinchisining har bir a'zosiga ko'paytirish va hosil bo'lgan mahsulotlarni qo'shish kerak:

.

Natijada, kasr hisobiga kamayadi. Natija quyidagicha:

Xulosa: ko'paytirish natijasida biz nolga erishdik, shuning uchun vektorlarning ortogonalligi (perpendikulyarligi) isbotlangan.

Muammoni o'zingiz hal qiling va keyin yechimni ko'ring

6-misol. vektorlarning uzunliklari berilgan va bu vektorlar orasidagi burchak π /4. Qaysi qiymatda ekanligini aniqlang μ vektorlar va o'zaro perpendikulyar.

O'z-o'zini tekshirish uchun siz foydalanishingiz mumkin onlayn kalkulyator Vektorlarning nuqta mahsuloti va ular orasidagi burchakning kosinusu .

Vektorlarning nuqta mahsuloti va n o'lchovli vektorlar mahsulotining matritsali tasviri

Ba'zan ko'paytirilayotgan ikkita vektorni matritsalar shaklida ifodalash ravshanlik uchun foydalidir. Keyin birinchi vektor satr matritsasi, ikkinchisi esa ustun matritsasi sifatida ifodalanadi:

Keyin vektorlarning skalyar mahsuloti bo'ladi bu matritsalarning hosilasi :

Natija biz allaqachon ko'rib chiqqan usul bilan olingan natija bilan bir xil. Bitta bitta raqam olinadi va satr matritsasining ustun matritsasi bo'yicha mahsuloti ham bitta raqamdir.

Mavhum n o'lchovli vektorlarning mahsulotini matritsa shaklida tasvirlash qulay. Shunday qilib, ikkita to'rt o'lchovli vektorning ko'paytmasi to'rt elementli satr matritsasi va to'rt elementli ustun matritsasining ko'paytmasi bo'ladi, ikkita besh o'lchovli vektorning mahsuloti besh elementli qator matritsasining ko'paytmasi bo'ladi. ustun matritsasi ham besh elementli va hokazo.

7-misol. Juft vektorlarning nuqta hosilalarini toping

,

matritsani tasvirlashdan foydalanish.

Yechim. Birinchi vektor juftligi. Birinchi vektorni satr matritsasi, ikkinchisini esa ustun matritsasi sifatida ifodalaymiz. Ushbu vektorlarning nuqta mahsulotini satr matritsasining ustun matritsasiga ko'paytmasi sifatida topamiz:

Xuddi shunday, biz ikkinchi juftlikni ifodalaymiz va topamiz:

Ko'rib turganingizdek, natijalar 2-misoldagi bir xil juftliklar natijalari bilan bir xil.

Ikki vektor orasidagi burchak

Ikki vektor orasidagi burchakning kosinus formulasini chiqarish juda chiroyli va ixchamdir.

Vektorlarning nuqta mahsulotini ifodalash

(1)

koordinata shaklida birinchi navbatda birlik vektorlarining skalyar ko'paytmasini topamiz. Ta'rifi bo'yicha vektorning nuqta mahsuloti:

Yuqoridagi formulada yozilgan narsa quyidagilarni anglatadi: vektorning nuqta mahsuloti o'z-o'zidan uning uzunligi kvadratiga teng... Nolning kosinasi birga teng, shuning uchun har bir ortning kvadrati bittaga teng bo'ladi:

Vektorlardan beri

ular juft perpendikulyar bo'lsa, birlik vektorlarning juft ko'paytmalari nolga teng bo'ladi:

Endi vektor ko'phadlarni ko'paytirishni bajaramiz:

Tenglikning o'ng tomonida birlik vektorlarining mos keladigan skalyar mahsuloti qiymatlarini almashtiramiz:

Ikki vektor orasidagi burchakning kosinus formulasini olamiz:

8-misol. Uch ochko berilgan A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Burchakni toping.

Yechim. Vektorlarning koordinatalarini toping:

,

.

Burchakning kosinus formulasiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

Demak, .

O'z-o'zini tekshirish uchun siz foydalanishingiz mumkin onlayn kalkulyator Vektorlarning nuqta mahsuloti va ular orasidagi burchakning kosinusu .

9-misol. Ikki vektor berilgan

Ularning orasidagi yig‘indi, ayirma, uzunlik, nuqta hosilasi va burchakni toping.

2. Farq

Leksiya: Vektor koordinatalari; vektorlarning nuqta mahsuloti; vektorlar orasidagi burchak

Vektor koordinatalari

Shunday qilib, yuqorida aytib o'tilganidek, vektorlar o'z boshlanishi va oxiriga ega bo'lgan yo'naltirilgan segmentdir. Agar boshi va oxiri ba'zi nuqtalar bilan ifodalangan bo'lsa, u holda tekislikda yoki fazoda ularning o'z koordinatalari mavjud.

Har bir nuqta o'z koordinatalariga ega bo'lsa, biz butun vektorning koordinatalarini olishimiz mumkin.

Aytaylik, bizda vektorning boshi va oxiri quyidagi belgilar va koordinatalarga ega bo'lgan vektor mavjud: A (A x; Ay) va B (B x; By)

Ushbu vektorning koordinatalarini olish uchun vektor oxirining koordinatalaridan boshining tegishli koordinatalarini ayirish kerak:

Kosmosdagi vektorning koordinatalarini aniqlash uchun quyidagi formuladan foydalaning:

Vektorlarning nuqta mahsuloti

Nuqta mahsulotini aniqlashning ikki yo'li mavjud:

• Geometrik usul. Uning so'zlariga ko'ra, nuqta mahsuloti ushbu modullar qiymatlarining ular orasidagi burchak kosinusiga tengdir.

• Algebraik ma'nosi. Algebra nuqtai nazaridan ikkita vektorning nuqta mahsuloti mos vektorlarning ko'paytmalari yig'indisi natijasida olingan ma'lum miqdordir.

Agar vektorlar kosmosda berilgan bo'lsa, siz shunga o'xshash formuladan foydalanishingiz kerak:

Xususiyatlari:

• Agar ikkita bir xil vektorni skalyar ravishda ko'paytirsangiz, ularning nuqta mahsuloti manfiy bo'lmaydi:

• Agar ikkita bir xil vektorning skalyar ko'paytmasi nolga teng bo'lsa, bu vektorlar nolga teng deb hisoblanadi:

• Agar vektor o'z-o'zidan ko'paytirilsa, skalyar mahsulot uning modulining kvadratiga teng bo'ladi:

• Skayar ko'paytma kommunikativ xususiyatga ega, ya'ni skalyar mahsulot vektorlarni almashtirishdan o'zgarmaydi:

• Nolga teng bo'lmagan vektorlarning skalyar ko'paytmasi faqat vektorlar bir-biriga perpendikulyar bo'lganda nolga teng bo'lishi mumkin:

• Vektorlarning skalyar ko'paytmasi uchun vektorlardan birini raqamga ko'paytirishda siljish qonuni amal qiladi:

• Nuqta mahsuloti yordamida siz ko'paytirishning distributiv xususiyatidan ham foydalanishingiz mumkin:

Vektorlar orasidagi burchak