Vektor mahsuloti tushunchasini berishdan oldin a →, b →, c → vektorlarning tartiblangan uchligini uch o‘lchovli fazoda yo‘nalishi masalasiga murojaat qilaylik.
Boshlanish uchun bir nuqtadan a →, b →, c → vektorlarini chetga surib qo'yamiz. Uchlik a →, b →, c → yo‘nalishi c → vektorning o‘zi yo‘nalishiga qarab o‘ng yoki chap bo‘lishi mumkin. a → vektordan b → c → vektorining oxiridan eng qisqa aylanish amalga oshirilgan yo'nalishdan a →, b →, c → uchlik shakli aniqlanadi.
Agar eng qisqa aylanish soat miliga teskari bo'lsa, a →, b →, c → vektorlarning uchligi deyiladi. to'g'ri agar soat yo'nalishi bo'yicha - chap.
Keyin ikkita kollinear bo'lmagan a → va b → vektorlarini oling. U holda A nuqtadan A B → = a → va A C → = b → vektorlarini kechiktiramiz. A D → = c → vektorni quramiz, u bir vaqtning o'zida A B → va A C → ga perpendikulyar. Shunday qilib, A D → = c → vektorning o'zini qurishda biz ikkita narsani qilishimiz mumkin, unga bitta yo'nalish yoki teskari yo'nalish berish (rasmga qarang).
a →, b →, c → vektorlarining tartiblangan uchligi vektor yo‘nalishiga qarab, biz aniqlaganimizdek, o‘ng yoki chap bo‘lishi mumkin.
Yuqoridagilardan biz o'zaro mahsulot ta'rifini kiritishimiz mumkin. Ushbu ta'rif uch o'lchamli fazoning to'rtburchaklar koordinata tizimida aniqlangan ikkita vektor uchun berilgan.
Ta'rif 1
Ikki a → va b → vektorlarning vektor mahsuloti Biz uch o'lchamli fazoning to'rtburchaklar koordinata tizimida berilgan bunday vektorni shunday deb ataymiz:
- a → va b → vektorlari kollinear bo'lsa, u nolga teng bo'ladi;
- u a → vektoriga ham, b vektoriga ham perpendikulyar bo'ladi → ya'ni. ∠ a → c → = ∠ b → c → = p 2;
- uning uzunligi quyidagi formula bilan aniqlanadi: c → = a → b → sin ∠ a →, b →;
- a →, b →, c → vektorlar uchligi berilgan koordinatalar sistemasi bilan bir xil yo‘nalishga ega.
a → va b → vektorlarining vektor mahsuloti quyidagi yozuvga ega: a → × b →.
Vektor mahsulot koordinatalari
Har qanday vektor koordinatalar tizimida ma'lum koordinatalarga ega bo'lganligi sababli, siz vektorlarning berilgan koordinatalari bo'yicha uning koordinatalarini topish imkonini beradigan o'zaro mahsulotning ikkinchi ta'rifini kiritishingiz mumkin.
Ta'rif 2
Uch o'lchovli fazoning to'rtburchaklar koordinata tizimida a → = (a x; a y; a z) va b → = (b x; b y; b z) ikkita vektorning vektor ko‘paytmasi vektor c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k → deb ataladi, bu erda i →, j →, k → koordinata vektorlari.
Vektor mahsuloti uchinchi tartibli kvadrat matritsaning determinanti sifatida ifodalanishi mumkin, bunda birinchi qator i →, j →, k → birlik vektorlarining vektorlari, ikkinchi qatorda a → vektorining koordinatalari mavjud. uchinchisi esa berilgan to‘rtburchak koordinatalar sistemasidagi b → vektorining koordinatalari bo‘lib, matritsaning bu determinanti quyidagicha ko‘rinadi: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz
Bu determinantni birinchi qator elementlariga kengaytirib, tenglikni olamiz: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k → = = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →
Vektor mahsulot xususiyatlari
Ma'lumki, koordinatalarda vektor mahsuloti c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z matritsaning determinanti sifatida, keyin esa asosda ifodalanadi. matritsa determinantining xossalari quyidagilarni ko'rsatadi vektor mahsulot xususiyatlari:
- antikommutativlik a → × b → = - b → × a →;
- taqsimlanish a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → yoki a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) →;
- assotsiativlik l a → × b → = l a → × b → yoki a → × (l b →) = l a → × b →, bu erda l ixtiyoriy haqiqiy son.
Bu xususiyatlarni isbotlash qiyin emas.
Misol tariqasida vektor mahsulotining antikommutativ xususiyatini isbotlashimiz mumkin.
Antikommutativlikning isboti
Ta'rifga ko'ra, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z va b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. Va agar matritsaning ikkita qatori qayta tartibga solinsa, u holda matritsa determinantining qiymati teskari tomonga o'zgarishi kerak, shuning uchun a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybzaxayaz = - b → × a →, bu vektor mahsulotning antikommutativligini isbotlaydi.
Vektorli mahsulot - misollar va echimlar
Ko'pgina hollarda, uchta turdagi vazifalar mavjud.
Birinchi turdagi masalalarda odatda ikkita vektorning uzunligi va ular orasidagi burchak beriladi, lekin siz ko'ndalang mahsulotning uzunligini topishingiz kerak. Bunday holda quyidagi formuladan foydalaning c → = a → b → sin ∠ a →, b →.
1-misol
Agar a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = p 4 ni bilsangiz a → va b → vektorlarining vektor ko‘paytmasining uzunligini toping.
Yechim
a → va b → vektorlarning vektor ko‘paytmasining uzunligini aniqlab, biz bu masalani hal qilamiz: a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b → = 3 5 sin p 4 = 15 2 2.
Javob: 15 2 2 .
Ikkinchi turdagi masalalar vektorlar koordinatalari, ulardagi o'zaro mahsulot, uning uzunligi va boshqalar bilan bog'liq. berilgan vektorlarning ma'lum koordinatalari orqali qidiriladi a → = (a x; a y; a z) va b → = (b x; b y; b z) .
Ushbu turdagi vazifalar uchun siz vazifalarning ko'plab variantlarini hal qilishingiz mumkin. Masalan, a → va b → vektorlarning koordinatalarini emas, balki ularning koordinata vektorlaridagi kengayishlarini ko‘rsatish mumkin. b → = b x i → + b y j → + b z k → va c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k → yoki a → va b → vektorlarini belgilash mumkin. ularning boshlang'ich va oxirgi nuqtalarining koordinatalari bo'yicha.
Quyidagi misollarni ko'rib chiqing.
2-misol
To'g'ri to'rtburchak koordinatalar tizimida ikkita vektor a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1) berilgan. Ularning o'zaro mahsulotini toping.
Yechim
Ikkinchi taʼrifga koʻra, berilgan koordinatalarda ikkita vektorning vektor koʻpaytmasini topamiz: a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay Bx) ) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.
Agar vektor ko‘paytmani matritsaning determinanti orqali yozsak, bu misolning yechimi quyidagicha ko‘rinadi: a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.
Javob: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.
3-misol
i → - j → va i → + j → + k → vektorlarning vektor ko‘paytmasining uzunligini toping, bu yerda i →, j →, k → to‘g‘ri burchakli Dekart koordinata sistemasining birlik vektorlari.
Yechim
Birinchidan, berilgan to‘g‘ri to‘rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi i → - j → × i → + j → + k → vektor ko‘paytmasining koordinatalarini topamiz.
Ma'lumki, i → - j → va i → + j → + k → vektorlari mos ravishda (1; - 1; 0) va (1; 1; 1) koordinatalarga ega. Matritsaning determinantidan foydalanib vektor mahsulotining uzunligini topamiz, u holda bizda i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i bo‘ladi. → - j → + 2 k → ...
Demak, vektor mahsuloti i → - j → × i → + j → + k → berilgan koordinatalar sistemasidagi koordinatalarga (- 1; - 1; 2) ega.
Vektor mahsulotining uzunligini formula bo'yicha topamiz (vektor uzunligini topish bo'limiga qarang): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.
Javob: i → - j → × i → + j → + k → = 6. ...
4-misol
To'g'ri to'rtburchak Dekart koordinata tizimida uchta nuqta A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) koordinatalari berilgan. Bir vaqtning o‘zida A B → va A C → ga perpendikulyar bo‘lgan vektorni toping.
Yechim
A B → va A C → vektorlari mos ravishda quyidagi koordinatalarga (- 1; 2; 2) va (0; 4; 1) ega. A B → va A C → vektorlarining vektor ko'paytmasini topib, aniq ko'rinib turibdiki, u A B → va A C → ta'rifi bo'yicha ham perpendikulyar vektor, ya'ni bu bizning masalamizning yechimidir. Uni A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → topamiz.
Javob: - 6 i → + j → - 4 k →. - perpendikulyar vektorlardan biri.
Uchinchi turdagi masalalar vektorlarning vektor mahsuloti xossalaridan foydalanishga qaratilgan. Buni qo'llaganimizdan so'ng, biz berilgan muammoning echimini olamiz.
5-misol
a → va b → vektorlari perpendikulyar va ularning uzunligi mos ravishda 3 va 4 ga teng. 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → vektor mahsulotining uzunligini toping. + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →.
Yechim
Vektor mahsulotining distributivlik xususiyatiga ko‘ra biz 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = yozishimiz mumkin. 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →
Assotsiativlik xususiyatiga ko'ra, biz sonli koeffitsientlarni oxirgi ifodadagi vektor hosilalari belgisidan tashqariga o'tkazamiz: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →
a → × a → va b → × b → vektor mahsuloti 0 ga teng, chunki a → × a → = a → a → sin 0 = 0 va b → × b → = b → b → sin 0 = 0, keyin 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a →. ...
Vektor mahsulotining antikommutativligi - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → ni nazarda tutadi. ...
Vektor mahsulotining xossalaridan foydalanib, 3 a → - b → × a → - 2 b → = = - 5 a → × b → tengligini olamiz.
Gipotezaga ko'ra, a → va b → vektorlari perpendikulyar, ya'ni ular orasidagi burchak p 2 ga teng. Endi faqat topilgan qiymatlarni mos keladigan formulalarga almashtirish qoladi: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a →, b →) = 5 · 3 · 4 · sin p 2 = 60.
Javob: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.
Buyurtma bo'yicha vektorlarning vektor mahsulotining uzunligi a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b → ga teng. Ma'lumki (maktab kursidan) uchburchakning maydoni uning ikki tomoni uzunliklari ko'paytmasining yarmiga teng, bu tomonlar orasidagi burchak sinusiga ko'paytiriladi. Shuning uchun vektor mahsulotining uzunligi parallelogrammaning maydoniga teng - ikkilangan uchburchak, ya'ni a → va b → vektorlar ko'rinishidagi tomonlarning ko'paytmasi, bir nuqtadan sinusi bilan chizilgan. ular orasidagi burchak sin ∠ a →, b →.
Bu vektor mahsulotining geometrik ma'nosi.
Vektor mahsulotining fizik ma'nosi
Fizikaning sohalaridan biri bo'lgan mexanikada vektor mahsuloti tufayli siz kosmosdagi nuqtaga nisbatan kuch momentini aniqlashingiz mumkin.
Ta'rif 3
F → B nuqtaga, A nuqtaga nisbatan qo'llaniladigan kuch momenti deganda, biz quyidagi vektor mahsulot A B → × F → tushunamiz.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing
7.1. O'zaro mahsulot ta'rifi
Ko'rsatilgan tartibda olingan uchta koplanar bo'lmagan a, b va c vektorlari to'g'ri uchlikni hosil qiladi, agar uchinchi c vektorning oxiridan birinchi a vektordan ikkinchi b vektorgacha bo'lgan eng qisqa aylanish soat miliga teskari yo'nalishda ko'rinsa va chap, agar soat yo'nalishi bo'yicha bo'lsa (o'n olti-rasmga qarang).
a vektorining b vektoriga vektor ko'paytmasi c vektor bo'lib, u:
1. a va b vektorlarga perpendikulyar, ya'ni c ^ a va c ^ b;
2. Uzunligi son jihatdan a va vektorlari ustiga qurilgan parallelogrammning maydoniga tengb tomonlarda bo'lgani kabi (17-rasmga qarang), ya'ni.
3. a, b va c vektorlari o‘ng uchlik hosil qiladi.
Ko‘paytma a x b yoki [a, b] bilan belgilanadi. Vektor mahsulotining ta'rifi to'g'ridan-to'g'ri vektorlar orasidagi quyidagi munosabatlarni nazarda tutadi i, j va k(18-rasmga qarang):
i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Masalan, buni isbotlaylik i xj = k.
1) k ^ i, k ^ j;
2) | k | = 1, lekin | i x j| = | i | | J | gunoh (90 °) = 1;
3) i, j va vektorlari k o'ng uchlik hosil qiladi (16-rasmga qarang).
7.2. Vektor mahsulot xususiyatlari
1. Faktorlar qayta joylanganda vektor mahsulot belgisini o'zgartiradi; a xb = (b xa) (19-rasmga qarang).
a xb va b vektorlari kollinear, modullari bir xil (paralelogramma maydoni o'zgarishsiz qoladi), lekin qarama-qarshi yo'nalishlarga ega (uchlik a, b, a xb va qarama-qarshi yo'nalishdagi a, b, b x a). Anavi a xb = -(b xa).
2. Vektor ko'paytma skalyar omilga nisbatan kombinatsion xususiyatga ega, ya'ni l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).
l> 0 bo'lsin. l (a xb) vektori a va b vektorlarga perpendikulyar. vektor ( l a) x b a va vektorlariga ham perpendikulyar b(a vektorlari, l va bir xil tekislikda yoting). Shuning uchun vektorlar l(a xb) va ( l a) x b kollinear. Shubhasiz, ularning yo'nalishlari bir-biriga mos keladi. Bir xil uzunlikka ega:
Shunday qilib l(a xb) = l a xb. Buni xuddi shunday isbotlash mumkin l<0.
3. Ikki nolga teng bo'lmagan vektor a va b kollinear, agar ularning o'zaro ko'paytmasi nol vektorga teng bo'lsa, ya'ni a || b<=>a xb = 0.
Xususan, i * i = j * j = k * k = 0.
4. Vektor mahsuloti taqsimot xususiyatiga ega:
(a + b) xc = a xc + b xc.
Biz buni isbotsiz qabul qilamiz.
7.3. O‘zaro ko‘paytmani koordinatalar bilan ifodalash
Biz vektorlarning o'zaro mahsulot jadvalidan foydalanamiz i, j va k:
agar birinchi vektordan ikkinchisiga eng qisqa yo'lning yo'nalishi o'qning yo'nalishiga to'g'ri kelsa, u holda mahsulot uchinchi vektorga teng bo'ladi, agar bo'lmasa, uchinchi vektor minus belgisi bilan olinadi.
Ikki a = a x i + a y vektor berilgan bo'lsin j+ a z k va b = b x i+ b y j+ b z k... Keling, ushbu vektorlarning o'zaro ko'paytmasini topamiz, ularni polinomga ko'paytiramiz (o'zaro mahsulotning xususiyatlariga ko'ra):
Olingan formulani yanada qisqaroq yozish mumkin:
chunki tenglikning o‘ng tomoni (7.1) uchinchi tartibli determinantning birinchi qator elementlari bo‘yicha kengayishiga mos keladi.Tenglikni (7.2) eslab qolish oson.
7.4. Vektor ishining ba'zi ilovalari
Kollinear vektorlarni o'rnatish
Parallelogramm va uchburchakning maydonini topish
Vektorlarning vektor mahsuloti ta'rifiga ko'ra a va b |a xb | =|a | * | b | sin g, ya'ni S juft = | a x b |. Va shuning uchun D S = 1/2 | a x b |.
Bir nuqtaga nisbatan kuch momentini aniqlash
A nuqtaga kuch qo‘llanilsin F = AB qo'yib yubor O- kosmosdagi ba'zi nuqta (20-rasmga qarang).
Bu fizikadan ma'lum kuch momenti F nuqtaga nisbatan O vektor deyiladi M, qaysi nuqta orqali o'tadi O va:
1) nuqtalardan o'tuvchi tekislikka perpendikulyar O, A, B;
2) son jihatdan yelkadagi kuch mahsulotiga teng
3) OA va AB vektorlari bilan toʻgʻri uchlik hosil qiladi.
Shuning uchun M = OA x F.
Chiziqli aylanish tezligini topish
Tezlik v burchak tezlik bilan aylanadigan qattiq jismning M nuqtasi w qo'zg'almas o'q atrofida, Eyler formulasi bilan aniqlanadi v = w xr, bu erda r = OM, bu erda O - o'qning qandaydir qo'zg'almas nuqtasi (21-rasmga qarang).
UCH VEKTORNING ARALASH MAHSULOTI VA UNING XUSUSIYATLARI
Aralash ish uchta vektorga teng son deyiladi. Belgilangan 
... Bu erda birinchi ikkita vektor vektorli ko'paytiriladi, so'ngra olingan vektor uchinchi vektorga skalar tarzda ko'paytiriladi. Shubhasiz, bunday mahsulot ma'lum bir raqamdir.
Aralashtirilgan mahsulotning xususiyatlarini ko'rib chiqing.
- Geometrik ma'no aralash ish. 3 vektorning aralash mahsuloti, belgigacha, bu vektorlarda qurilgan parallelepipedning hajmiga teng, qirralarda bo'lgani kabi, ya'ni. ...
Shunday qilib, va
.
Isbot... Umumiy kelib chiqish vektorlarini chetga surib, ularga parallelepiped yasang. Keling, buni belgilaymiz va qayd etamiz. Nuqta mahsulotining ta'rifi bo'yicha
Buni faraz qilib, bilan belgilab h parallelepipedning balandligini topamiz.
Shunday qilib, uchun
Agar, keyin va. Demak, .
Bu holatlarning ikkalasini birlashtirib, biz yoki.
Xususan, bu xossaning isbotidan kelib chiqadiki, agar vektorlar uchligi to'g'ri bo'lsa, u aralash ko'paytma, qolgan bo'lsa, u holda.
- Har qanday vektorlar uchun,, tenglik
Bu xususiyatning isboti xossadan kelib chiqadi 1. Darhaqiqat, buni ko'rsatish oson va. Bundan tashqari, "+" va "-" belgilari bir vaqtning o'zida olinadi, chunki va va vektorlari orasidagi burchaklar ikkalasi ham o'tkir yoki o'tkirdir.
- Har qanday ikkita omil almashtirilganda, aralash mahsulot belgini o'zgartiradi.
Haqiqatan ham, agar aralash ishni ko'rib chiqsak, unda, masalan, yoki
- Aralash mahsulot, agar omillardan biri nolga teng bo'lsa yoki vektorlar koplanar bo'lsa.
Isbot.
Shunday qilib, 3 vektorning mutanosibligi uchun zarur va etarli shart ularning aralash mahsulotining nolga tengligidir. Bundan tashqari, uchta vektor kosmosda asosni tashkil qiladi, agar.
Agar vektorlar koordinata shaklida berilgan bo'lsa, ularning aralash mahsuloti quyidagi formula bo'yicha topilganligini ko'rsatish mumkin:
.Ya'ni aralash mahsulot uchinchi tartibli determinantga teng bo'lib, birinchi qatorda birinchi vektorning koordinatalari, ikkinchi qatorda ikkinchi vektorning koordinatalari, uchinchi qatorda uchinchi vektorning koordinatalari joylashgan.
Misollar.
Kosmosdagi ANALITIK GENEOMETRIYA
Tenglama F (x, y, z)= 0 kosmosda aniqlanadi Oxyz ba'zi sirt, ya'ni. koordinatalari nuqtalarning joylashuvi x, y, z bu tenglamani qanoatlantiring. Bu tenglama sirt tenglamasi deb ataladi va x, y, z- joriy koordinatalar.
Biroq, ko'pincha sirt tenglama bilan emas, balki fazoda u yoki bu xususiyatga ega bo'lgan nuqtalar to'plami sifatida belgilanadi. Bunda sirtning geometrik xossalari asosida tenglamasini topish talab qilinadi.
Samolyot.
NORMAL SAMOQ VEKTORI.
BERILGAN NOKTADAN O'TGAN SAVOLIK UCHUN TENGLAMA
Fazodagi ixtiyoriy s tekislikni ko'rib chiqaylik. Uning joylashuvi ushbu tekislikka perpendikulyar vektor va ba'zi bir qo'zg'almas nuqtani ko'rsatish orqali aniqlanadi M 0(x 0, y 0, z 0) tekislikda yotgan s.
s tekislikka perpendikulyar vektor deyiladi normal bu tekislikning vektori. Vektorning koordinatalari bo'lsin.
Berilgan nuqtadan o'tuvchi s tekislik tenglamasini chiqaramiz M 0 va normal vektorga ega. Buning uchun tekislikning ixtiyoriy nuqtasini oling s M (x, y, z) va vektorni ko'rib chiqing.
Har qanday nuqta uchun MÎ s - vektor.Shuning uchun ularning skalyar ko`paytmasi nolga teng. Bu tenglik nuqtaning shartidir MÎ s. Bu tekislikning barcha nuqtalari uchun amal qiladi va nuqta bilanoq buziladi M s samolyotdan tashqarida bo'ladi.
Agar nuqtaning radius vektori bilan belgilasak M, Nuqtaning radius vektori M 0, u holda tenglamani shaklda ham yozish mumkin
Bu tenglama deyiladi vektor tekislikning tenglamasi. Keling, uni koordinata shaklida yozamiz. O'shandan beri
Shunday qilib, biz ushbu nuqtadan o'tadigan tekislik tenglamasini oldik. Shunday qilib, tekislik tenglamasini hosil qilish uchun siz normal vektorning koordinatalarini va tekislikda yotgan biron bir nuqtaning koordinatalarini bilishingiz kerak.
E'tibor bering, tekislik tenglamasi joriy koordinatalarga nisbatan 1-darajali tenglamadir. x, y va z.
Misollar.
SAVOLONING UMUMIY TENGLASHISHI
Dekart koordinatalariga nisbatan birinchi darajali har qanday tenglama ekanligini ko'rsatish mumkin x, y, z ma'lum bir tekislikning tenglamasi. Bu tenglama quyidagicha yoziladi:
Axe + By + Cz + D=0
va chaqirdi umumiy tenglama tekislik va koordinatalar A, B, C bu yerda tekislikning normal vektorining koordinatalari.
Umumiy tenglamaning maxsus holatlarini ko'rib chiqing. Agar tenglamaning bir yoki bir nechta koeffitsientlari yo'qolsa, tekislik koordinata tizimiga nisbatan qanday joylashganligini bilib olaylik.
A - o'qdagi tekislik bilan kesilgan chiziq uzunligi ho'kiz... Xuddi shunday, buni ko'rsatish mumkin b va c- o'qlarda ko'rib chiqilayotgan tekislik tomonidan kesilgan segmentlarning uzunliklari Oy va Oz.
Samolyotlarni qurishda tekislik tenglamasidan chiziq segmentlarida foydalanish qulay.
Ushbu maqolada biz ikkita vektorning o'zaro ko'paytmasi tushunchasiga to'xtalamiz. Biz kerakli ta'riflarni beramiz, vektor mahsulotining koordinatalarini topish formulasini yozamiz, uning xususiyatlarini sanab o'tamiz va asoslaymiz. Shundan so'ng biz ikkita vektorning vektor mahsulotining geometrik ma'nosiga to'xtalib, turli tipik misollarning yechimlarini ko'rib chiqamiz.
Sahifani navigatsiya qilish.
O'zaro mahsulot ta'rifi.
Vektor mahsulotini aniqlashdan oldin, vektorlarning tartiblangan uchligining uch o'lchovli fazoda yo'nalishini aniqlaymiz.
Bir nuqtadan vektorlarni chetga surib qo'ying. Vektorning yo'nalishiga qarab, uchlik o'ng yoki chap bo'lishi mumkin. Vektorning oxiridan boshlab vektordan eng qisqa aylanish qanday sodir bo'lishini ko'rib chiqamiz. Agar eng qisqa aylanish soat miliga teskari bo'lsa, vektorlarning uchligi deyiladi to'g'ri, aks holda - chap.
Endi ikkita kollinear bo'lmagan vektorni olamiz va. Keling, vektorlarni chetga surib, A nuqtadan chiqaylik. Ikkala va va ga perpendikulyar qandaydir vektor quramiz. Shubhasiz, vektorni qurishda biz ikkita narsani qilishimiz mumkin, unga bitta yo'nalish yoki teskari yo'nalish berish (rasmga qarang).
Vektorning yo'nalishiga qarab, vektorlarning tartiblangan uchligi o'ng yoki chap bo'lishi mumkin.
Shunday qilib, biz vektor mahsulotining ta'rifiga yaqinlashamiz. U uch o'lchamli fazoning to'rtburchaklar koordinata tizimida berilgan ikkita vektor uchun berilgan.
Ta'rif.
Ikki vektorning vektor mahsuloti va uch o'lchamli fazoning to'rtburchaklar koordinata tizimida berilgan, shunday vektor deb ataladi
Vektorlarning vektor mahsuloti va sifatida belgilanadi.
Vektor mahsulot koordinatalari.
Endi berilgan vektorlarning koordinatalari bo'yicha uning koordinatalarini topish imkonini beruvchi vektor mahsulotning ikkinchi ta'rifini beraylik.
Ta'rif.
Uch o'lchovli fazoning to'rtburchaklar koordinata tizimida ikki vektorning oʻzaro koʻpaytmasi 
va 
vektor, bu yerda koordinata vektorlari.
Ushbu ta'rif bizga koordinata shaklida o'zaro mahsulot beradi.
Vektor mahsulotini uchinchi tartibli kvadrat matritsaning determinanti shaklida tasvirlash qulay, uning birinchi qatorida birlik vektorlari, ikkinchi qatorida vektorning koordinatalari, uchinchisi esa koordinatalarini o'z ichiga oladi. berilgan to'rtburchaklar koordinata tizimidagi vektor: 
Agar biz ushbu determinantni birinchi qatorning elementlari bo'yicha kengaytirsak, u holda koordinatalarda vektor mahsulotining ta'rifidan tenglikni olamiz (agar kerak bo'lsa, maqolaga qarang): 
Shuni ta'kidlash kerakki, o'zaro faoliyat mahsulotning koordinata shakli ushbu moddaning birinchi xatboshida keltirilgan ta'rifga to'liq mos keladi. Bundan tashqari, o'zaro mahsulotning ushbu ikkita ta'rifi ekvivalentdir. Ushbu faktning isbotini maqolaning oxirida ko'rsatilgan kitobda ko'rishingiz mumkin.
Vektor mahsulot xususiyatlari.
Koordinatalardagi o'zaro mahsulot matritsa determinanti ko'rinishida ifodalanishi mumkinligi sababli, quyidagini osonlikcha asoslash mumkin. vektor mahsulot xossalari:
Misol tariqasida vektor mahsulotining antikommutativlik xususiyatini isbotlaylik.
Ta'rifi bo'yicha 
va 
... Biz bilamizki, agar ikkita qator almashtirilsa, matritsa determinantining qiymati teskari bo'ladi, shuning uchun 
, bu vektor mahsulotining anti-kommutativlik xususiyatini isbotlaydi.
Vektorli mahsulot - misollar va echimlar.
Asosan uch turdagi vazifalar mavjud.
Birinchi turdagi masalalarda ikkita vektorning uzunliklari va ular orasidagi burchak berilgan va vektor mahsulotining uzunligini topish talab etiladi. Bunday holda, formuladan foydalaniladi 
.
Misol.
Vektorlarning vektor mahsulotining uzunligini toping va agar ma'lum bo'lsa 
.
Yechim.
Ta'rifdan bilamizki, vektorlarning vektor mahsulotining uzunligi va vektorlar uzunliklari va ular orasidagi burchak sinusining ko'paytmasiga teng, shuning uchun 
.
Javob:
.
Ikkinchi turdagi masalalar vektorlar koordinatalari bilan bog'liq bo'lib, ularda berilgan vektorlarning koordinatalari orqali o'zaro mahsulot, uning uzunligi yoki boshqa narsa qidiriladi. va .
Bu erda juda ko'p turli xil variantlar mavjud. Masalan, vektorlarning koordinatalari emas va ko'rsatilishi mumkin, lekin shaklning koordinata vektorlarida ularning kengayishi. 
va, yoki vektorlar va ularning boshlang'ich va oxirgi nuqtalarining koordinatalari bilan belgilanishi mumkin.
Keling, odatiy misollarni ko'rib chiqaylik.
Misol.
To'rtburchaklar koordinatalar tizimida ikkita vektor berilgan 
... Ularning o'zaro mahsulotini toping.
Yechim.
Ikkinchi ta'rifga ko'ra, koordinatadagi ikkita vektorning o'zaro ko'paytmasi quyidagicha yoziladi: 
Agar ko‘paytma aniqlovchi bo‘yicha yozilsa, xuddi shunday natijaga erishgan bo‘lardik 
Javob:
.
Misol.
To'rtburchaklar dekart koordinatalar sistemasining birlik vektorlari va vektorlarning vektor ko'paytmasining uzunligini toping.
Yechim.
Birinchidan, vektor mahsulotining koordinatalarini topamiz 
berilgan to'rtburchaklar koordinatalar tizimida.
Vektorlar va koordinatalarga ega bo'lganligi sababli (agar kerak bo'lsa, to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi vektorning maqola koordinatalarini ko'ring), keyin ko'ndalang mahsulotning ikkinchi ta'rifiga ko'ra bizda mavjud. 
Ya'ni, o'zaro faoliyat mahsulot berilgan koordinatalar tizimidagi koordinatalarga ega.
Biz vektor mahsulotining uzunligini uning koordinatalari kvadratlari yig'indisining kvadrat ildizi sifatida topamiz (vektor uzunligini topish bo'limida vektor uzunligi uchun ushbu formulani oldik):
Javob:
.
Misol.
Uch nuqtaning koordinatalari to'rtburchaklar Dekart koordinata tizimida berilgan. Bir vaqtning o'zida perpendikulyar bo'lgan vektorni toping.
Yechim.
Vektorlar va koordinatalariga ega va mos ravishda (nuqtalar koordinatalari orqali vektorning koordinatalarini topish haqidagi maqolaga qarang). Agar vektorlarning vektor ko'paytmasini topsak va ta'rifiga ko'ra u k va k ga perpendikulyar vektor bo'ladi, ya'ni bu bizning masalamizning yechimidir. Toping 
Javob:
- perpendikulyar vektorlardan biri.
Uchinchi turdagi topshiriqlarda vektorlarning vektor mahsuloti xossalaridan foydalanish malakasi tekshiriladi. Xususiyatlarni qo'llaganingizdan so'ng, tegishli formulalar qo'llaniladi.
Misol.
va vektorlari perpendikulyar va ularning uzunligi mos ravishda 3 va 4 ga teng. O‘zaro ko‘paytmaning uzunligini toping 
.
Yechim.
Vektor mahsulotining distributivlik xususiyatiga ko'ra biz yozishimiz mumkin 
Kombinatsiyalash xususiyati tufayli biz oxirgi ifodadagi vektor mahsulot belgisidan tashqari raqamli koeffitsientlarni chiqaramiz: 
vektor mahsuloti va nolga teng, chunki 
va 
, keyin.
O'zaro mahsulot antikommutativ bo'lgani uchun, demak.
Shunday qilib, vektor mahsulotining xususiyatlaridan foydalanib, biz tenglikka keldik 
.
Shart bo'yicha va vektorlari perpendikulyar, ya'ni ular orasidagi burchak teng. Ya'ni, kerakli uzunlikni topish uchun bizda barcha ma'lumotlar mavjud 
Javob:
.
Vektor mahsulotining geometrik ma'nosi.
Ta'rifga ko'ra, vektorlarning vektor mahsulotining uzunligi 
... Va o'rta maktab geometriya kursidan shuni bilamizki, uchburchakning maydoni uchburchakning ikki tomoni uzunligining ular orasidagi burchak sinusiga ko'paytmasining yarmiga teng. Shunday qilib, vektor mahsulotining uzunligi, agar ular bir nuqtadan chetga surilgan bo'lsa, vektorlari va tomonlari bo'lgan uchburchak maydonining ikki barobariga teng. Boshqacha qilib aytganda, vektorlarning vektor mahsulotining uzunligi va tomonlari bo'lgan parallelogrammning maydoniga va ular orasidagi burchakka teng. Bu vektor mahsulotining geometrik ma'nosi.
Ushbu darsda biz yana ikkita vektor operatsiyalarini ko'rib chiqamiz: vektorlarning vektor mahsuloti va vektorlarning aralash mahsuloti (darhol havola, kimga kerak)... Yaxshi, ba'zida shunday bo'ladiki, bundan tashqari, to'liq baxt uchun vektorlarning nuqta mahsuloti, u ko'proq va ko'proq talab qiladi. Bu vektorga qaramlik. Bizda analitik geometriya o'rmoniga kirib borayotgandek taassurot paydo bo'lishi mumkin. Bu unday emas. Oliy matematikaning ushbu bo'limida o'tin etarli emas, faqat Buratino uchun etarli. Darhaqiqat, material juda keng tarqalgan va oddiy - bir xildan ko'ra murakkabroq skalyar mahsulot, odatdagi vazifalar ham kamroq bo'ladi. Analitik geometriyadagi asosiy narsa, ko'pchilik ishonch hosil qilgan yoki allaqachon ishonch hosil qilganidek, hisob-kitoblarda xato qilmaslikdir. Sehr sifatida takrorlang va siz baxtli bo'lasiz =)
Agar vektorlar ufqdagi chaqmoq kabi uzoq joyda porlasa, bu muhim emas, darsdan boshlang Dummies uchun vektorlar vektorlar haqidagi asosiy bilimlarni tiklash yoki qayta tiklash. Ko'proq tayyorlangan o'quvchilar ma'lumotlar bilan tanlab tanishishlari mumkin, men amaliy ishlarda tez-tez uchraydigan eng to'liq misollar to'plamini to'plashga harakat qildim.
Qanday qilib sizni darhol xursand qilish kerak? Kichkinaligimda ikki yoki hatto uchta to'p bilan jonglyor qilishni bilardim. Bu epchillik bilan chiqdi. Endi siz umuman jonglyor qilishingiz shart emas, chunki biz ko'rib chiqamiz faqat fazoviy vektorlar, va ikkita koordinatali tekislik vektorlari qoldirilgan bo'ladi. Nega? Bu harakatlar shunday tug'ildi - vektorlarning vektor va aralash mahsuloti aniqlanadi va uch o'lchovli fazoda ishlaydi. Bu allaqachon osonroq!
Ushbu operatsiya, xuddi nuqta mahsulotidagi kabi, o'z ichiga oladi ikkita vektor... Bular o'zgarmas harflar bo'lsin.
Amalning o'zi belgilangan quyida bayon qilinganidek: . Boshqa variantlar ham bor, lekin men vektorlarning vektor mahsulotini shu tarzda, xoch bilan kvadrat qavs ichida belgilashga odatlanganman.
Va darhol savol: bo'lsa vektorlarning nuqta mahsuloti ikkita vektor ishtirok etadi va bu erda ham ikkita vektor ko'paytiriladi, keyin nima farqi bor? Aniq farq, birinchi navbatda, NATIJAda:
Vektorlarning nuqta mahsulotining natijasi NUMBER:
Vektorlarning vektor mahsuloti VEKTORni hosil qiladi:, ya'ni vektorlarni ko'paytiramiz va yana vektorni olamiz. Yopiq klub. Aslida, operatsiyaning nomi shundan. Turli o'quv adabiyotlarida belgilar ham farq qilishi mumkin, men harfdan foydalanaman.
O'zaro mahsulot ta'rifi
Avval rasm bilan ta'rif, keyin sharhlar bo'ladi.
Ta'rif: Vektor mahsuloti bo'yicha kollinear bo'lmagan vektorlar, ushbu tartibda olingan, VEKTOR deb ataladi, uzunligi qaysi raqamli parallelogramm maydoniga teng ushbu vektorlar asosida qurilgan; vektor vektorlarga ortogonal, va asos to'g'ri yo'nalishga ega bo'lishi uchun yo'naltiriladi: 
Biz ta'rifni suyaklar bilan tahlil qilamiz, juda ko'p qiziqarli narsalar bor!
Shunday qilib, quyidagi asosiy fikrlarni ajratib ko'rsatish mumkin:
1) Ta'rifi bo'yicha qizil o'qlar bilan belgilangan asl vektorlar qarama-qarshi emas... Kollinear vektorlar masalasini biroz keyinroq ko'rib chiqish maqsadga muvofiq bo'ladi.
2) vektorlar olinadi qat'iy belgilangan tartibda: – "A" "bh" ga ko'paytiriladi, va "bh" dan "a" ga emas. Vektorni ko'paytirish natijasi VEKTOR bo'lib, u ko'k rang bilan belgilangan. Agar vektorlar teskari tartibda ko'paytirilsa, biz uzunligi teng va yo'nalishi bo'yicha qarama-qarshi (qizil rang) vektorni olamiz. Ya'ni, tenglik haqiqatdir 
.
3) Endi vektor ko'paytmaning geometrik ma'nosi bilan tanishamiz. Bu juda muhim nuqta! Moviy vektorning UZUNLIGI (va demak, qip-qizil vektor) vektorlar ustiga qurilgan parallelogrammaning MAYDONA soniga teng. Rasmda bu parallelogramma qora rangda bo'yalgan.
Eslatma : chizma sxematik va, albatta, o'zaro faoliyat mahsulotning nominal uzunligi parallelogramm maydoniga teng emas.
Biz geometrik formulalardan birini eslaymiz: parallelogrammning maydoni qo'shni tomonlarning ular orasidagi burchak sinusiga ko'paytmasiga teng... Shuning uchun, yuqoridagilarga asoslanib, vektor mahsulotining UZUNLIKni hisoblash formulasi to'g'ri keladi:
Shuni ta'kidlaymanki, formulada biz vektorning o'zi haqida emas, balki vektorning UZUNLIGI haqida gapiramiz. Buning amaliy tomoni nimada? Va ma'nosi shundaki, analitik geometriya muammolarida parallelogrammning maydoni ko'pincha vektor mahsuloti tushunchasi orqali topiladi:
Keling, ikkinchi muhim formulani olamiz. Paralelogrammaning diagonali (qizil nuqta chiziq) uni ikkita teng uchburchakka ajratadi. Shuning uchun vektorlar ustida qurilgan uchburchakning maydonini (qizil soya) quyidagi formula bo'yicha topish mumkin:
4) Xuddi shunday muhim fakt shundaki, vektor vektorlarga ortogonal, ya'ni 
... Albatta, qarama-qarshi yo'naltirilgan vektor (qizil o'q) ham asl vektorlarga ortogonaldir.
5) Vektor shunday yo'naltirilgan asos Unda bor to'g'ri orientatsiya. Haqida darsda yangi asosga o'tish haqida yetarlicha batafsil gapirib berdim tekislik yo'nalishi, va endi biz kosmosning yo'nalishi nima ekanligini aniqlaymiz. Men sizning barmoqlaringiz bilan tushuntiraman o'ng qo'l... Aqliy birlashtiring ko'rsatkich barmog'i vektor bilan va o'rta barmoq vektor bilan. Halqa barmoq va pushti uni kaftingizga bosing. Natijada katta barmoq- ko'paytma yuqoriga qaraydi. Bu to'g'ri yo'naltirilgan asos (rasmda bu). Endi vektorlarni o'zgartiring ( ko'rsatkich va o'rta barmoqlar) joylarda, natijada, bosh barmog'i ochiladi va ko'ndalang mahsulot allaqachon pastga qaraydi. Bu ham to'g'ri yo'naltirilgan asosdir. Ehtimol, sizda savol bor: chap yo'nalishning asosi nima? Xuddi shu barmoqlarga "tayinlash" chap qo'l vektorlar va bo'shliqning chap asosi va chap yo'nalishini oling (bu holda, bosh barmog'i pastki vektor yo'nalishida joylashgan bo'ladi)... Majoziy ma'noda, bu asoslar makonni turli yo'nalishlarda "burashadi" yoki yo'naltiradi. Va bu kontseptsiyani uzoq yoki mavhum narsa deb hisoblamaslik kerak - masalan, kosmosning yo'nalishi eng oddiy oyna tomonidan o'zgartiriladi va agar siz "aks etilgan ob'ektni ko'rinadigan oynadan tortib olsangiz", umumiy holatda uni "asl" bilan birlashtirish mumkin bo'lmaydi. Aytgancha, uchta barmoqni oynaga olib boring va aks ettirishni tahlil qiling ;-)
... siz hozir bilganingiz qanchalik yaxshi o'ngga va chapga yo'naltirilgan asoslar, chunki ba'zi o'qituvchilarning yo'nalishning o'zgarishi haqidagi bayonotlari dahshatli =)
Kollinear vektorlarning o'zaro ko'paytmasi
Ta'rif batafsil tahlil qilindi, vektorlar kollinear bo'lganda nima sodir bo'lishini bilish qoladi. Agar vektorlar kollinear bo'lsa, ular bitta to'g'ri chiziqda joylashgan bo'lishi mumkin va bizning parallelogramimiz ham bitta to'g'ri chiziqqa "buklanadi". Bunday soha, matematiklar aytganidek, degeneratsiya parallelogramma nolga teng. Xuddi shu formuladan kelib chiqadi - nol yoki 180 gradusning sinusi nolga teng, ya'ni maydon nolga teng.
Shunday qilib, agar, keyin 
va 
... E'tibor bering, o'zaro mahsulotning o'zi nol vektorga teng, lekin amalda bu ko'pincha e'tibordan chetda qolib, u ham nolga teng deb yoziladi.
Maxsus holat vektorning o'z-o'zidan vektor mahsulotidir:
O'zaro mahsulotdan foydalanib, siz uch o'lchovli vektorlarning kollinearligini tekshirishingiz mumkin va biz boshqalar qatori ushbu muammoni ham tahlil qilamiz.
Amaliy misollarni hal qilish uchun sizga kerak bo'lishi mumkin trigonometrik jadval undan sinus qiymatlarini topish uchun.
Xo'sh, keling, olov yoqaylik:
1-misol
a) Agar vektorlarning vektor mahsulotining uzunligini toping 
b) Agar vektorlar ustiga qurilgan parallelogrammning maydonini toping 
Yechim: Yo'q, bu xato emas, men shart bandlaridagi dastlabki ma'lumotlarni ataylab bir xil qilib qo'ydim. Chunki yechimlarning dizayni boshqacha bo'ladi!
a) Shartga ko'ra, topish talab qilinadi uzunligi vektor (vektorli mahsulot). Tegishli formula bo'yicha:
Javob:
Savol uzunlik haqida berilganligi sababli, javobda biz o'lchamni - birliklarni ko'rsatamiz.
b) Shartga ko'ra, topish talab qilinadi kvadrat vektorlar ustiga qurilgan parallelogramm. Ushbu parallelogrammning maydoni son jihatidan vektor mahsulotining uzunligiga teng:
Javob:
E'tibor bering, vektor mahsuloti haqidagi javob umuman so'ralmaydi, bizdan bu haqda so'rashdi raqam maydoni, mos ravishda, o'lcham kvadrat birlikdir.
Biz har doim shart bo'yicha NIMA talab qilinishini ko'rib chiqamiz va shunga asoslanib, biz formula qilamiz aniq javob bering. Bu so'zma-so'z bo'lib tuyulishi mumkin, ammo o'qituvchilar orasida literalistlar etarli va yaxshi imkoniyatga ega bo'lgan vazifa qayta ko'rib chiqish uchun qaytib keladi. Garchi bu ayniqsa keskin nagging bo'lmasa-da - agar javob noto'g'ri bo'lsa, unda odam oddiy narsalarni tushunmaydi va / yoki vazifaning mohiyatini tushunmaydi degan taassurot paydo bo'ladi. Oliy matematikada ham, boshqa fanlarda ham har qanday muammoni hal qilishda bu moment doimo nazorat ostida bo'lishi kerak.
Katta "en" harfi qayerga ketdi? Asosan, uni qo'shimcha ravishda yechimga yopishtirish mumkin edi, lekin yozuvni qisqartirish uchun men buni qilmadim. Umid qilamanki, hamma buni tushunadi va xuddi shu narsaning belgisidir.
O'z-o'zidan hal qilish uchun mashhur misol:
2-misol
Agar vektorlar ustiga qurilgan uchburchakning maydonini toping 
Ko'ndalang mahsulot orqali uchburchakning maydonini topish formulasi ta'rifga sharhlarda berilgan. Dars oxirida yechim va javob.
Amalda, vazifa haqiqatan ham juda keng tarqalgan, uchburchaklar odatda sizni qiynashi mumkin.
Boshqa muammolarni hal qilish uchun bizga kerak:
Vektor mahsulot xususiyatlari
Biz allaqachon o'zaro faoliyat mahsulotning ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqdik, ammo men ularni ushbu ro'yxatga kiritaman.
Ixtiyoriy vektorlar va ixtiyoriy sonlar uchun quyidagi xususiyatlar amal qiladi:
1) Boshqa ma'lumot manbalarida bu element odatda xususiyatlarda ta'kidlanmaydi, lekin amaliy jihatdan juda muhimdir. Shunday bo'lsin.
2) 
- mulk ham yuqorida muhokama qilinadi, ba'zan u deyiladi antikommutativlik... Boshqacha qilib aytganda, vektorlarning tartibi muhim.
3) - birikma yoki assotsiativ vektor mahsulot qonunlari. Konstantalar vektor mahsulotidan tashqarida muammosiz chiqariladi. Darhaqiqat, ular u erda nima qilishlari kerak?
4) - tarqatish yoki tarqatuvchi vektor mahsulot qonunlari. Qavslarni kengaytirishda ham muammolar yo'q.
Namoyish sifatida qisqa misolni ko'rib chiqing:
3-misol
Agar toping 
Yechim: Shartga ko'ra, yana ko'ndalang mahsulot uzunligini topish talab qilinadi. Keling, eskizimizni yozamiz: 
(1) Assotsiativ qonunlarga ko'ra, biz konstantalarni vektor mahsulotining bo'linmasidan tashqariga o'tkazamiz.
(2) Biz doimiyni moduldan tashqariga chiqaramiz, modul esa minus belgisini "yeydi". Uzunlik salbiy bo'lishi mumkin emas.
(3) Keyingi narsa aniq.
Javob: 
Olovga o'tin qo'yish vaqti keldi:
4-misol
Agar vektorlar ustiga qurilgan uchburchakning maydonini hisoblang 
Yechim: Uchburchakning maydoni formula bo'yicha topiladi 
... Shunisi e'tiborga loyiqki, "tse" va "de" vektorlari o'zlari vektorlar yig'indisi sifatida ifodalanadi. Bu erda algoritm standart bo'lib, darsning 3 va 4-misollarini biroz eslatadi. Vektorlarning nuqta mahsuloti... Aniqlik uchun yechimni uch bosqichga ajratamiz:
1) Birinchi bosqichda vektor mahsulotini vektor mahsuloti bilan ifodalaymiz, aslida, vektorni vektor bilan ifodalang... Uzunlik haqida hali bir so'z yo'q!
(1) Vektor ifodalarni almashtiring.
(2) distributiv qonunlardan foydalanib, ko'phadlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra qavslarni kengaytiramiz.
(3) Assotsiativ qonunlardan foydalanib, biz barcha konstantalarni vektor mahsulotidan tashqariga o'tkazamiz. Bir oz tajriba bilan, 2 va 3-harakatlar bir vaqtning o'zida bajarilishi mumkin.
(4) Birinchi va oxirgi shartlar yoqimli xususiyat tufayli nolga teng (nol vektor). Ikkinchi muddatda vektor mahsulotning antikommutativ xususiyatidan foydalanamiz:
(5) Biz shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz.
Natijada vektor vektor bilan ifodalandi, bunga erishish kerak edi: 
2) Ikkinchi bosqichda biz kerakli vektor mahsulotining uzunligini topamiz. Bu harakat 3-misolga o'xshaydi: 
3) Kerakli uchburchakning maydonini toping: 
2-3 bosqich qarorlari bir qatorda bajarilishi mumkin.
Javob:
Ko'rib chiqilgan muammo test ishlarida juda keng tarqalgan, bu erda mustaqil yechim uchun misol:
5-misol
Agar toping
Qo'llanma oxirida qisqacha yechim va javob. Keling, oldingi misollarni o'rganishda qanchalik ehtiyot bo'lganingizni ko'rib chiqaylik ;-)
Koordinatadagi vektorlarning vektor mahsuloti
ortonormal asosda berilgan, formula bilan ifodalanadi:
Formula juda oddiy: determinantning yuqori qatoriga biz koordinata vektorlarini yozamiz, ikkinchi va uchinchi qatorlarga vektorlarning koordinatalarini "qo'yamiz" va biz qo'yamiz. qat'iy tartibda- avval "ve" vektorining koordinatalari, keyin "double-ve" vektorining koordinatalari. Agar vektorlarni boshqa tartibda ko'paytirish kerak bo'lsa, unda chiziqlar almashtirilishi kerak: 
10-misol
Quyidagi fazo vektorlari kolinear ekanligini tekshiring:
a)
b) 
Yechim: Tekshirish ushbu darsdagi bayonotlardan biriga asoslanadi: agar vektorlar kollinear bo'lsa, ularning ko'paytmasi nolga teng (nol vektor): 
.
a) ko‘paytmani toping: 
Shunday qilib, vektorlar kollinear emas.
b) ko‘paytmani toping: 
Javob: a) chiziqli emas, b)
Bu erda, ehtimol, vektorlarning vektor mahsuloti haqidagi barcha asosiy ma'lumotlar.
Ushbu bo'lim unchalik katta bo'lmaydi, chunki vektorlarning aralash mahsuloti qo'llaniladigan vazifalar ko'p emas. Aslida, hamma narsa ta'rifga, geometrik ma'noga va bir nechta ishchi formulalarga tayanadi.
Vektorlarning aralash mahsuloti uchta vektorning mahsulotidir:
Shunday qilib, ular bir oz poezd bilan saf tortdilar va kutishmoqda, ular aniqlanishini kutishmaydi.
Birinchidan, yana ta'rif va rasm:
Ta'rif: Aralash ish tekis bo'lmagan vektorlar, ushbu tartibda olingan deyiladi parallelepiped hajmi, berilgan vektorlar bo'yicha qurilgan, agar asos to'g'ri bo'lsa, "+" belgisi, agar asos qolgan bo'lsa, "-" belgisi bilan ta'minlangan.
Keling, rasmni tugatamiz. Bizga ko'rinmas chiziqlar nuqta chiziq bilan chizilgan: 
Keling, ta'rifga to'xtalib o'tamiz:
2) vektorlar olinadi ma'lum bir tartibda, ya'ni mahsulotdagi vektorlarni almashtirish, siz taxmin qilganingizdek, oqibatlarsiz o'tmaydi.
3) Geometrik ma'noni sharhlashdan oldin men aniq bir haqiqatni qayd etaman: vektorlarning aralash mahsuloti NUMBER:. O'quv adabiyotlarida dizayn biroz boshqacha bo'lishi mumkin, men aralash ishni va "pe" harfi bilan hisob-kitoblar natijasini belgilash uchun ishlatiladi.
Ta'rifi bo'yicha aralash mahsulot - parallelepipedning hajmi vektorlar asosida qurilgan (rasm qizil vektorlar va qora chiziqlar bilan chizilgan). Ya'ni, bu raqam bu parallelepipedning hajmiga teng.
Eslatma : chizma sxematik.
4) Keling, taglik va fazoni yo'naltirish tushunchasi bilan yana bezovta qilaylik. Yakuniy qismning ma'nosi shundaki, tovushga minus belgisi qo'shilishi mumkin. Oddiy so'zlar bilan aytganda, aralash ish salbiy bo'lishi mumkin:.
Vektorlarga qurilgan parallelepipedning hajmini hisoblash formulasi to'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan kelib chiqadi.