Ikki (2Z, ) ning barcha butun son darajalarining multiplikativ guruhini ko'rib chiqaylik, bu erda 2Z= (2 n | P e Z). Bu guruhning qo'shimcha til analogi juft butun sonlarning qo'shimcha guruhi (2Z, +), 2Z = (2n | p e Z). Keling, ushbu guruhlarning alohida misollari bo'lgan guruhlarning umumiy ta'rifini beraylik.
Ta'rif 1.8. Multiplikativ guruh (G,) (qo'shimchalar guruhi (G, +)) deyiladi tsiklik, agar u bitta elementning barcha butun sonidan (mos ravishda barcha ko'paytmalari) iborat bo'lsa a e G, bular. G=(a p | p e Z) (mos ravishda, G - (pa | p e Z)). Belgilanishi: (a), o'qiladi: a elementi tomonidan hosil qilingan tsiklik guruh.
Misollarni ko'rib chiqing.
- 1. Ko'paytiruvchi cheksiz siklik guruhga misol sifatida ba'zi bir qo'zg'almas butun sonning barcha butun darajalari guruhini keltirish mumkin. a F±1, u belgilangan va janob Shunday qilib, va d - (a).
- 2. Ko'paytmali chekli siklik guruhga birlikning n- ildizlarining Cn guruhi misol bo'la oladi. Eslatib o'tamiz, birlikning n- ildizlari
formula bo'yicha e k= cos---hisin^-, qaerda k = 0, 1, ..., P - 1. Kuzatish - p p
Muhimi, S„ \u003d (e x) \u003d (e x \u003d 1, e x, ef \u003d e 2, ..., e "-1 \u003d? „_ x). Bu murakkab raqamlarni eslang. e k, k = 1, ..., P - 1, ga ajratuvchi birlik doiradagi nuqtalar bilan ifodalanadi P teng qismlar.
- 3. Qo'shimchali cheksiz tsiklik guruhning xarakterli misoli Z butun sonlarining qo'shimcha guruhidir, u 1 raqami bilan hosil qilinadi, ya'ni. Z = (1). Geometrik jihatdan u raqam chizig'ining butun nuqtalari sifatida tasvirlangan. Mohiyatiga ko‘ra, ko‘paytiruvchi guruh ham xuddi shunday tasvirlangan 2 7 - = (2), umuman a z \u003d (a), butun son qayerda a F±1 (1.3-rasmga qarang). Tasvirlarning bu o'xshashligi 1.6-bo'limda muhokama qilinadi.
- 4. Biz ixtiyoriy multiplikativ guruhda tanlaymiz G ba'zi element A. U holda bu elementning barcha butun soni tsiklik kichik guruh (a) = hosil qiladi (a p p e Z) G.
- 5. Q ratsional sonlarning qo‘shimchalar guruhining o‘zi siklik emas, balki uning istalgan ikkita elementi tsiklik kichik guruhda yotishini isbotlaylik.
A. Q qo‘shimcha guruhi siklik emasligini isbotlaylik. Buning aksini faraz qilaylik: Q = bo'lsin (-). Butun son bor b,
bo'lmaslik T. Chunki - eQ = (-) = sn-|neZ>, u holda bor
b t/ ( t J
- = n 0 - bo'ladigan rc 0 butun soni mavjud. Ammo keyin m = n 0 kb,
qayerda t:b- qarama-qarshilikka keldi.
B. Ikki ixtiyoriy ratsional sonni isbotlaylik -
Bilan „ /1
va - tsiklik kichik guruhga tegishli (-), bu erda T bor d t/
raqamlarning kichik umumiy karrali b Va d. Haqiqatan ham, ruxsat bering t-bu
, va ai 1 /1 Bilan cv 1/1
va m = av, u, v e Z, keyin - = - = ai-e(-)u - = - = cv-e(-).
b bu t t/ a dv t t/
1.3 teorema. Tsiklik guruhning tartibi ushbu guruhning hosil qiluvchi elementining tartibiga teng, ya'ni.|(a)| = |a|.
Isbot. 1. |a| bo'lsin = ">. Elementning barcha tabiiy kuchlari ekanligini isbotlaylik A boshqacha. Buning aksini tasavvur qiling: ruxsat bering a k = a t va 0 dan Keyin T - Kimga natural son va a t ~ k = e. Lekin bu haqiqatga zid keladi | | a =°°. Shunday qilib, elementning barcha tabiiy kuchlari A farq qiladi, bundan (a) guruh cheksiz ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun, | (a)| = °° = |a |.
2. Keling | a | = n. Keling, buni isbotlaylik (a) \u003d (e - 0, a, 2,..., a "-1).. kiritish (a 0, a, a 2, ..., o" 1-1) c (a) siklik guruhning ta'rifidan kelib chiqadi. Keling, teskari inklyuziyani isbotlaylik. Tsiklik guruhning ixtiyoriy elementi (A) shaklga ega da, Qayerda bular Z. Shnaplarni qolganga bo'ling: m-nq + r, qaerda 0 p. beri a n = e, Bu da = a p i + g \u003d a p h? a r = a r e(a 0, a, a 2,..., a "- 1). Demak, (a) c (a 0, a, a 2, ..., Shunday qilib, (a) \u003d (a 0, a, a 2, ..., a" -1).
To'plamning barcha elementlari (a 0, a, a 2,..., a” -1 ) farqlanadi. Aksincha faraz qiling: 0 i bo'lsin P, lekin a" = A). Keyin u - e va 0 j - i - shartiga zid keldi | a | = P. Teorema isbotlangan.
Mayli G- guruh va element a
G. a elementining tartibi (aa bilan belgilanadi) eng kichik natural sondir n
N, Nima
a n = a . . . . a =1.
Agar bunday raqam mavjud bo'lmasa, biz buni aytamiz A cheksiz tartib elementidir.
Lemma 6.2. Agar a k= 1, keyin k element tartibiga ko'ra bo'linadi A.
Ta'rif. Mayli G- guruh va A
G. Keyin to'plam
H = (a k k 
}
a elementi tomonidan hosil qilingan tsiklik kichik guruh deb ataladigan G guruhining kichik guruhidir (H = bilan belgilanadi).< а >).
Lemma 6.3. Tsiklik kichik guruh H, element tomonidan yaratilgan A buyurtma n, cheklangan tartibli guruhdir n, va
H \u003d (1 \u003d a 0, a, ..., a n-1).
Lemma 6.4. Mayli A cheksiz tartib elementidir. Keyin tsiklik kichik guruh H
= <A> cheksiz va har qanday elementdan H shaklida yoziladi a k
, Kimga
Z, va o'ziga xos tarzda.
Guruh chaqiriladi tsiklik agar uning tsiklik kichik guruhlaridan biriga to'g'ri kelsa.
1-misol. Qo'shimchalar guruhi Z barcha butun sonlar 1-element tomonidan yaratilgan cheksiz tsiklik guruhdir.
2-misol Barcha ildizlar to'plami n 1 ning th darajasi siklik tartibli guruhdir n.
6.2 teorema. Siklik guruhning har qanday kichik guruhi siklikdir.
6.3 teorema. Har bir cheksiz siklik guruh butun sonlarning qo'shimcha guruhiga izomorf bo'ladi Z. Har qanday chekli siklik tartib n barcha ildizlar guruhiga izomorf n 1 dan th daraja.
oddiy kichik guruh. Guruh omili.
Lemma 6.5. Mayli H- guruhning kichik guruhi G, buning uchun barcha chap kosetlar bir vaqtning o'zida o'ng kosetlardir. Keyin
aH=Ha,
a 
G.
Ta'rif. Kichik guruh H guruhlar G normal deb ataladi G(belgilangan HG) agar hamma va chap kosetlar ham o‘ng kosetlar bo‘lsa, ya’ni,
aH=Ha,
a
G.
Teorema
6.4.
Mayli H
G,
G/N guruhning barcha kosetlari to‘plamidir G kichik guruh bo'yicha H. Agar to'plamda aniqlangan bo'lsa G/N ko'paytirish amali quyidagicha
(aH)(bH) = (ab)H,
Bu G/N guruhga aylanadi, bu guruhning ko'rsatkichlar guruhi deb ataladi G kichik guruh bo'yicha H.
Guruh gomomorfizmi
Ta'rif. Mayli G 1 va G 2 - guruh. Keyin xaritalash f:
G 1 
G 2 gomomorfizm deyiladi G 1 dyuym G 2 agar
F(ab)
= f(a)f(b)
,
a,b
G 1 .
Lemma 6.6. Mayli f guruhli gomomorfizmdir G Har bir guruh uchun 1 ta G 2. Keyin:
1) f(1) - guruh birligi G 2 ;
2) f(a -1)
= f(a) -1
,
a
G 1
;
3) f(G 1) - guruhning kichik guruhi G 2 ;
Ta'rif. Mayli f guruhli gomomorfizmdir G Har bir guruh uchun 1 ta G 2. Keyin to'plam
kerf
= {a
G 1
׀f(a)
= 1
G 2
}
gomomorfizm yadrosi deyiladi f .
6.5 teorema.
ker
f
G.
6.6 teorema. Guruhning har qanday oddiy kichik guruhi G ba'zi bir gomomorfizmning yadrosidir.
Uzuklar
Ta'rif. Bo'sh bo'lmagan to'plam TO chaqirdi uzuk, agar unda qo'shish va ko'paytirish deb ataladigan ikkita ikkilik amallar aniqlansa va quyidagi shartlarni qondiradi:
TO qo'shish amaliga nisbatan abel guruhdir;
ko'paytirish assotsiativdir;
taqsimot qonunlari amal qiladi
x(y+z) = xy+xz;
(x+y)z
= xz+yz,
x,y,z
K.
Misol 1. To'plamlar Q Va R- uzuklar.
Ring chaqiriladi kommutativ, Agar
xy=yx,
x,y
K.
2-misol
(Taqqoslashlar). Mayli m qat'iy natural son, a Va b ixtiyoriy butun sonlardir. Keyin raqam A soni bilan solishtirish mumkin b modul m farq bo'lsa a
– b tomonidan bo'linadi m(yozilgan: a
b(mod m)).
Tenglama munosabati to'plamdagi ekvivalentlik munosabatidir Z, buzish Z qoldiq sinflar moduli deb ataladigan sinflarga m va belgilandi Z m. Bir guruh Z m identifikatsiyaga ega kommutativ halqadir.
dalalar
Ta'rif. Maydon bo'sh bo'lmagan to'plamdir R 2 ta elementdan iborat boʻlmagan, qoʻshish va koʻpaytirishning ikkita ikkilik amallari bilan:
1-misol. Bir guruh Q Va R cheksiz dalalar.
2-misol. Bir guruh Z r oxirgi maydon hisoblanadi.
Ikki element a Va b dalalar R 0 dan boshqa bo'lsa, nolga bo'luvchilar deyiladi ab = 0.
Lemma 6.7. Maydonda nol bo'luvchilar mavjud emas.
O guruhi, agar uning barcha elementlari bir elementning darajalari bo'lsa, siklik deyiladi.Bu element O tsiklik guruhining generatori deyiladi.Har qanday tsiklik guruh aniq abeliandir.
Tsiklik guruh, masalan, qo'shish orqali butun sonlar guruhidir. Biz ushbu guruhni 2 belgisi bilan belgilaymiz. Uning avlodi 1 raqami (shuningdek, raqam - 1). Tsiklik guruh ham faqat bitta elementdan (bitta) tashkil topgan guruhdir.
Ixtiyoriy O guruhida har qanday g elementning vakolatlari g generatorli tsiklik kichik guruh hosil qiladi. Bu kichik guruhning tartibi g elementning tartibi bilan aniq mos keladi. Bu yerdan, Lagranj teoremasi (32-betga qarang) tufayli, guruhning har qanday elementining tartibi guruh tartibini ajratadi, degan xulosa kelib chiqadi (cheklangan guruhning barcha elementlari chekli tartibning elementlari ekanligiga e'tibor bering).
Demak, chekli tartibli guruhning har qanday g elementi uchun tenglik
Ushbu oddiy izoh ko'pincha foydali bo'ladi.
Haqiqatan ham, agar O guruhi siklik va uning generatori bo'lsa, elementning tartibi . Aksincha, agar O guruhi tartib elementiga ega bo'lsa, unda bu elementning vakolatlari orasida turli xillari mavjud va shuning uchun bu darajalar butun O guruhini tugatadi.
Shunday qilib, biz tsiklik guruh bir nechta turli generatorlarga ega bo'lishi mumkinligini ko'ramiz (ya'ni, tartibning har qanday elementi generatordir).
Vazifa. Har qanday tub tartibli guruh siklik guruh ekanligini isbotlang.
Vazifa. Tartibning siklik guruhida aniq generatorlar borligini isbotlang, bu erda musbat sonlar soni dan kichik va bilan koʻpaytiriladi.
Buyurtma bilan bir qatorda har qanday chekli guruhga raqam berilishi mumkin - uning barcha elementlari tartiblarining eng kichik umumiy karrali.
Vazifa. Har qanday chekli O guruhi uchun raqam guruh tartibini ajratishini isbotlang.
Shubhasiz, tsiklik guruh uchun raqam tartib bilan mos keladi. Qarama-qarshilik odatda to'g'ri emas. Shunga qaramay, chekli abel guruhlari sinfidagi siklik guruhlarni tavsiflovchi quyidagi tasdiq amal qiladi:
soni uning tartibiga teng bo'lgan chekli Abel guruhi O tsiklik guruhdir.
Haqiqatan ham, ruxsat bering
Cheklangan Abel guruhi O ning barcha mumkin bo'lgan yagona bo'lmagan elementlarining tartiblari tartibli va ularning eng kichik umumiy karrali bo'lsin.
Keling, sonni turli tub sonlarning darajalarining ko'paytmasiga aylantiramiz:
Keling, son, ta'rifi bo'yicha (1) sonlarning eng kichik umumiy karrali bo'lganligi sababli, bu sonlar orasida, ya'ni ga aniq bo'linadigan kamida bitta raqam mavjud bo'lib, bu erda b ga ko'paytiriladi. Bu son g elementning tartibi bo'lsin. Keyin elementning tartibi bor (29-betdagi 1-xulosaga qarang).
Shunday qilib, O guruhidagi har bir kishi uchun kamida bitta tartib elementi mavjud.Har biri uchun bitta shunday elementni tanlab, ularning mahsulotini ko'rib chiqing. 29-30-betlarda isbotlangan bayonotga ko'ra, bu mahsulotning tartibi ning buyurtmalari ko'paytmasiga teng, ya'ni soniga teng. Oxirgi son ga teng bo'lgani uchun bu O guruhida n tartibli element borligini isbotlaydi.Demak, bu guruh siklik guruhdir.
Endi O generatorga ega bo'lgan ixtiyoriy tsiklik guruh va H uning kichik guruhlari bo'lsin. H kichik guruhining har qanday elementi O guruhining elementi bo'lganligi sababli, uni quyidagicha ifodalash mumkin, bu erda d - qandaydir musbat yoki manfiy butun son (umuman aytganda, u yagona aniqlanmagan). Element H kichik guruhiga tegishli bo'lgan barcha musbat sonlar to'plamini ko'rib chiqaylik. Bu to'plam bo'sh bo'lmagani uchun (nima uchun?), demak u eng kichik sonni o'z ichiga oladi.Ma'lum bo'lishicha, H kichik guruhining har qanday elementi h darajadir. elementdan. Darhaqiqat, ta'rifga ko'ra, d soni mavjud bo'lib, shunday (d raqami ham manfiy bo'lishi mumkin). d raqamini (qoldiq bilan) songa bo'ling
Chunki , demak, sonning minimalligi tufayli qoldiq nolga teng bo'lishi kerak. Shunday qilib, .
Bu element H guruhining generatori ekanligini, ya'ni H guruhining tsiklik ekanligini isbotlaydi. Demak, siklik guruhning har qanday kichik guruhi siklik guruhdir.
Vazifa. Bu raqam H kichik guruhi indeksiga teng ekanligini va shuning uchun O guruhining tartibini bo'lishini isbotlang (agar O guruhi cheklangan bo'lsa).
Shuningdek, biz O guruhidagi chekli siklik Q guruhining har qanday tartibli boʻluvchisi uchun bitta va faqat bitta H tartibli kichik guruh (yaʼni generatorli kichik guruh) mavjudligini ham taʼkidlaymiz.
Bu shuni anglatadiki, agar chekli siklik guruh oddiy bo'lsa, unda uning tartibi tub son (yoki bitta) bo'ladi.
Nihoyat, biz siklik Q guruhining har qanday bo'lak guruhi, demak, har qanday gomomorf tasvir) tsiklik guruh ekanligini ta'kidlaymiz.
Tasdiqlash uchun guruh generatori O guruhi generatorini o'z ichiga olgan koset ekanligini ta'kidlash kifoya.
Xususan, Z butun sonlar guruhining har qanday omil guruhi siklik guruhdir. Keling, ushbu tsiklik guruhlarni batafsilroq o'rganamiz.
Z guruhi abeliy bo'lgani uchun uning har qanday kichik guruhlari R oddiy bo'luvchidir. Boshqa tomondan, yuqorida isbotlanganlarga ko'ra, H kichik guruhi tsiklik guruhdir. Arzimas kichik guruhlar bo'yicha bo'linmalar guruhlari bizga ma'lum bo'lganligi sababli, biz kichik guruhni notrivial deb hisoblashimiz mumkin. Raqam H kichik guruhining generatori bo'lsin. Biz bu sonni musbat (nima uchun?) va shuning uchun bittadan katta deb hisoblashimiz mumkin.
H. kichik guruhi, shubhasiz, ga boʻlinadigan barcha butun sonlardan iborat. Shuning uchun ikkita raqam H kichik guruhiga nisbatan bir xil kosetga tegishli, agar ularning farqi ga bo'linadigan bo'lsa, ya'ni modul bo'yicha solishtirish mumkin bo'lsa (Qarang: Kurs, 277-bet). Shunday qilib, H kichik guruhiga nisbatan kosetalar solishtirish mumkin bo'lgan raqamlar sinflaridan boshqa narsa emas modul .
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, H kichik guruhiga nisbatan Z guruhining omillar guruhi taqqoslanadigan modulli sonlar sinflari guruhidir (qo'shish orqali). Biz bu guruhni uning generatori 1 raqamini o'z ichiga olgan sinf bilan belgilaymiz.
Ma’lum bo‘lishicha, har qanday siklik guruh yo Z guruhiga (agar u cheksiz bo‘lsa) yoki guruhlardan biriga (agar uning tartibi chekli bo‘lsa) izomorf bo‘ladi.
Haqiqatan ham, O guruhining generatori bo'lsin. Biz 2-guruhning O guruhiga xaritasini belgilash orqali aniqlaymiz.
M guruxning ba'zi kichik to'plami bo'lsin. M elementlarning barcha mumkin bo'lgan hosilalari to'plami va ularning teskarilari kichik guruhdir. U M kichik to'plami tomonidan yaratilgan kichik guruh deb ataladi va hMi bilan belgilanadi. Xususan, M, agar G = hMi bo'lsa, G guruhini hosil qiladi. Quyidagi oddiy bayonot foydalidir:
H kichik guruhi M kichik to'plami tomonidan hosil bo'ladi, keyin va
Agar G = hMi va |M|< ∞, то G называется cheksiz hosil qilingan.
Bitta element G tomonidan hosil qilingan kichik guruh siklik deyiladi va hai bilan belgilanadi. Agar ba'zi a G uchun G = hai bo'lsa, u holda G tsiklik deb ham ataladi. Tsiklik guruhlarga misollar:
1) qo'shishga nisbatan butun sonlarning Z guruhi;
2) Z guruhi (n) modul qoldiqlari n qo‘shishga nisbatan;
uni elementlar berilgan n Z soniga bo‘linganda bir xil qoldiqni beradigan barcha butun sonlar to‘plamidir.
Ma'lum bo'lishicha, bu misollar barcha tsiklik guruhlarni tugatadi:
2.1 teorema 1) Agar G cheksiz siklik guruh bo'lsa, u holda
GZ.
2) Agar G n tartibli chekli siklik guruh bo'lsa, u holda
GZ(n).
a G elementining tartibi eng kichik natural n son bo'lib, an = 1; agar bunday son mavjud bo'lmasa, u holda elementning tartibi cheksizlik deb hisoblanadi. a elementning tartibi |a| bilan belgilanadi. E'tibor bering, |hai| = |a|.
2.1. S3, D4 guruhlarning element tartiblarini hisoblang.
2.2. |G| bo'lsin< ∞, g G. Докажите, что |g| делит |G|.
2.3. Keling, g G, |g| = n. Agar n m ni bo’lsagina gm = e ekanligini isbotlang.
2.4. |G| bo'lsin = n. Barcha G uchun an = e ekanligini isbotlang.
2.5. Juft tartibli guruhda 2 tartib elementi borligini isbotlang.
2.6. G guruhi g'alati tartibda bo'lsin. Har bir a G uchun a = b2 bo'ladigan b G mavjudligini isbotlang.
2.7. Buni tekshiring |x| = |yxy−1 |, |ab| = |ba|, |abc| = |bca| = |kabin|.
2.8. G, |a| bo'lsin = n va b = ak. Buni isbotlang |b| = n/gcd(n, k);
2.9. ab = ba bo'lsin. LCM(|a|, |b|) |ab| ga bo'linishini isbotlang. LCM(|a|, |b|) 6= |ab| bo'lganda misol keltiring.
2.10. ab = ba, gcd(|a|, |b|) = 1. |ab| ekanligini isbotlang = |a||b|.
2.11. s Sn sikl bo'lsin. Buni tekshiring |s| uzunligi s ga teng.
2.12. s Sn, s = s1 bo'lsin. . . sm, bu yerda s1,. . . , sm mustaqil sikllardir. Buni tekshiring |s| = LCM(|s1 |, . . ., |sm |).
2.13. Guruhlar siklikmi: a) Sn ;
b) Dn;
c) mkn := (z C | zn = 1)?
2.14. Buni isbotlang, agar |G| = p - tub son, keyin G - tsiklik.
2.15. Notrivial G guruhining tegishli kichik guruhlari yo'qligini isbotlang, agar va faqat |G| bo'lsa = p, ya'ni G Z(p) ga izomorf (p - tub son).
2.16. Buni isbotlang, agar |G| ≤ 5, u holda G abeliandir. 4-tartibdagi guruhlarni tavsiflang.
2.17. G generatori a bo‘lgan n tartibli siklik guruh bo‘lsin. b = ak bo'lsin. Agar va faqat gcd(n, k) = 1 bo'lsa, G = hbi ekanligini isbotlang, ya'ni. n tartibli siklik guruhidagi generatorlar soni s(n), bu yerda s Eyler funksiyasi:
(k | k N, 1 ≤ k ≤ n, gcd(n, k) = 1) . |
||
2.18.* Buni isbotlang
2.19. G n, m|n tartibli siklik guruh bo‘lsin. G ning aynan bitta m tartibli kichik guruhi borligini isbotlang.
2.20. Barcha guruh generatorlarini toping: a) Z, b) Z(18).
2.21. Cheksiz guruhning cheksiz sonli kichik guruhlarga ega ekanligini isbotlang.
2 .22 .* |G| bo'lsin< ∞. Докажите, что G циклична тогда и только тогда, когда |Gd | ≤ d для всех d N, где Gd = {x G | xd = e}.
2 .23 .* F maydon, G F ning chekli kichik guruhi bo'lsin. G ning siklik ekanligini isbotlang.
3-BOB
Gomomorfizmlar. oddiy kichik guruhlar. Faktor guruhlari
Agar har qanday a, b G uchun f(ab) = f(a)f(b) bo‘lsa, f: G −→ H guruhini xaritalash gomomorfizm deyiladi (shuning uchun izomorfizm
gomomorfizmning maxsus holati). Ko'pincha gomomorfizmning boshqa turlari qo'llaniladi:
monomorfizm - in'ektiv gomomorfizm, epimorfizm - sur'ektiv gomomorfizm, endomorfizm - o'z ichiga omomorfizm, avtomorfizm - o'z-o'zidan izomorfizm.
Kichik to'plamlar
Kerf = (a G | f(a) = 1) G
Imf = (b H | f(a) = b ba'zi a G uchun) H
mos ravishda f omomorfizmning yadrosi va tasviri deyiladi. Shubhasiz, Kerf va Imf kichik guruhlardir.
N kichik guruh< G называется нормальной (это обозначается N C G), если a−1 Na = N для всех a G; это эквивалентно тому, что Na = aN. Группа называется простой , если она не содержит собственных нормальных подгрупп.
Gomomorfizmning yadrosi oddiy kichik guruhdir. Buning aksi ham to'g'ri: har bir oddiy kichik guruh qandaydir gomomorfizmning yadrosidir. Buni ko'rsatish uchun biz to'plamda tanishtiramiz
16 3-bo'lim. Gomomorfizmlar, omillar guruhlari
G/N = (aN | a G) kosetlarning oddiy N kichik guruhi operatsiyasi bilan: aN · bN = abN. Keyin G/N guruhga aylanadi, u N kichik guruhiga nisbatan omil guruhi deb ataladi. f: G −→ G/N xaritalash epimorfizm va Kerf = N.
Har bir gomomorfizm f: G −→ H epimorfizm G −→ G/Kerf, G/Kerf −→ Imf izomorfizmi va Imf −→ H monomorfizmining tarkibi.
3.1. Ushbu xaritalarning gomomorfizm ekanligini isbotlang.
mami guruhlari, va ularning asosiy va tasvirini toping. a) f: R → R , f(x) = ex ;
b) f: R → C , f(x) = e2pix;
c) f: F → F (bu erda F - maydon), f(x) = ax, a F ; d) f: R → R , f(x) = sgnx;
e) f: R → R , f(x) = |x|; f) f: C → R , f(x) = |x|;
g) f: GL(n, F) → F (bu yerda F - maydon), f(A) = det A;
h) f: GL(2, F) → G, bu yerda G - chiziqli kasr funksiyalar guruhi (1.8-masalaga qarang), F - maydon,
i) f: Sn → (1, -1), f(s) = sgns.
3.2. Qaysi shartda G guruhida f: G → G formula bilan berilgan xaritalash
a) g 7→g2 b) g 7→g−1 ,
gomomorfizmmi?
3.3. f: G → H gomomorfizm va G. Buni isbotlang |f(a)| ajratadi |a|.
3.4. Siklik guruhning gomomorf tasviri siklik ekanligini isbotlang.
3.5. Gomomorfizm ostidagi kichik guruhning tasviri va teskari tasviri kichik guruhlar ekanligini isbotlang.
3.6. Biz G1 va G2 guruhlarini antiizomorf deb ataymiz, agar f: G1 → G2 bijeksiyasi mavjud bo'lsa, shunday qilib f(ab) = f(b)f(a) barcha a, b G1 uchun. Antiizomorf guruhlar izomorf ekanligini isbotlang.
3 .7 .* Q → Z, Q → Q+ trivial bo'lmagan gomomorfizmlar yo'qligini isbotlang.
3 .8 .* G guruh bo‘lsin, g G. f Hom(Z(m), G) ning f(1) = g bo‘lishi uchun gm = e bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
3.9. Ta'riflang
a) Hom(Z(6), Z(18)), b) Hom(Z(18), Z(6)), c) Hom(Z(12), Z(15)), d) Hom(Z (m), Z(n)).
3.10. Buni tekshiring
a, b R, a2 + b2 6= 0 .
3. 11. (Keyli teoremasining umumlashtirilishi.) H kichik guruhiga nisbatan kosetlar to‘plamida xH 7→axH almashtirishning a G elementiga tayinlanishini isbotlang.< G является гомоморфизмом G в группу S(G/H). Чему равно его ядро?
3. 12. G guruhidagi barcha avtomorfizmlarning Aut G to'plami kompozitsion guruhni tashkil qilishini tekshiring.
3. 13. Xaritani tekshiring f g : G → G, f g (x) = gxg -1 , bu erda g G, G guruhining avtomorfizmi (bunday avtomorfizmlar deyiladi ichki ). Ichki avtomorfizmlar Inn G kichik guruhini tashkil qilishini tekshiring< Aut G.
3.14. Avtomorfizmlar guruhini toping a) Z;
b) 4-tartibdagi siklik bo'lmagan guruh (2.16-masalaga qarang); c) S3;
18 3-bo'lim. Gomomorfizmlar, omillar guruhlari
3.15. To'g'rimi: a) G C G, E C G;
b) SL(n, F) C GL(n, F);
v) skalyar nolga teng bo'lmagan matritsalar GL(n, F) da normal kichik guruh hosil qiladi;
d) diagonal (yuqori uchburchak) matritsalar diagonali nolga teng bo'lmagan elementlarda oddiy kichik guruh hosil qiladi.
e) An C Sn ;
f) Inn G C Aut G?
3.16. = 2. H C G ekanligini isbotlang.
3.17. M, N C G. M ∩ N, MN C G ekanligini isbotlang.
3.18. N C G, H bo'lsin< G. Докажите, что N ∩ H C H.
3.19. N C G, H bo'lsin< G. Докажите, что NH = HN < G.
3.20. Keling, H< G. Докажите, что xHx−1 C G.
3.21. Keling, H< K < G. Докажите, что H C K тогда и только тогда, когда K NG (H).
3.22. M, N C G, M ∩ N = E bo'lsin. M va N elementni element bo'yicha almashtirishini isbotlang.
3.23. Buni isbotlang:
a) Epimorfizm ostidagi oddiy kichik guruhning tasviri normal; b) Oddiy kichik guruhning to'liq teskari tasviri (har qanday homo-
morfizm) normaldir.
3.24. G/G E, G/E G ekanligini tekshiring.
3.25. Z/nZ n tartibli siklik guruh ekanligini isbotlang.
3.26.* Buni isbotlang:
d) R / R (1, -1);
f) GL(n, F)/SL(n, F) F ;
E. A. Karolinskiy, B. V. Novikov |
||||||||||||||||||
bu yerda GL+ (n, R) := (A GL(n, R) | det A > 0).
3.27. Q/Z har bir natural son uchun n tartibli yagona kichik guruhni o‘z ichiga olgan davriy guruh (ya’ni uning har qanday elementining tartibi chekli) ekanligini isbotlang. Har bir bunday kichik guruh siklikdir.
3 .28 .* Quyidagilarni isbotlang: a) C(G) C G,
b) Inn G G/C(G).
3.29.* N C G, H bo‘lsin< G. Докажите, что NH/N H/H ∩ N.
3 .30 .* Agar M C N C G, M C G bo lsa, shuni isbotlang
(G/M)/(N/M) G/N.
3.31. Agar G/C(G) siklik bo‘lsa, G = C(G) (ya’ni G/C(G) = E) ekanligini isbotlang.
3.32. G guruhining x va y elementlarining kommutatorini := x−1 y−1 xy elementi deb ataymiz. G guruhining kommutator guruhi uning barcha kommutatorlar tomonidan yaratilgan G0 kichik guruhidir. Buni isbotlang:
a) G0 C G;
b) G/G0 guruhi abeliy;
c) G0 = E bo'lsagina G abelian hisoblanadi.
3.33. N C G. G/N abel ekanligini isbotlang, agar N G0 bo'lsa.
3.34. G(0) = G, G(n) = (G(n−1) )0 induksiya orqali aniqlaymiz. Agar G(n) = E baʼzi n N uchun boʻlsa, G guruhi hal qilinadigan deb nomlanadi. Quyidagilarni tekshiring:
a) echiladigan guruhning kichik guruhlari va omil guruhlari echilishi mumkin;
b) agar N C G shunday bo'lsa, N va G/N echiladigan bo'lsa, u holda G echilishi mumkin.
3.35. G guruhi faqat va faqat kichik guruhlar zanjiri mavjud bo'lganda echilishi mumkinligini isbotlang
E = Gn C Gn−1 C. . . C G1 C G0 = G
20 3-bo'lim. Gomomorfizmlar, omillar guruhlari
shundayki, barcha omillar guruhlari Gk /Gk+1 abeliydir.
3.36. a) abel guruhlari; b) S3 va S4 guruhlari;
c) GL(n, F) dagi barcha yuqori uchburchak matritsalarning kichik guruhi (bu erda F - maydon)
hal qilish mumkin.
3.37. G(n) to‘plam (gn | g G) tomonidan hosil qilingan G ning kichik guruhi bo‘lsin. Buni isbotlang:
a) G(n) C G;
b) G/G(n) n davriga ega (ya’ni, u xn = 1 tenglikni qanoatlantiradi);
c) G (n) = E bo'lsa, G n davriga ega.
3.38. N C G. G/N ning n davriga ega ekanligini isbotlang, agar N G(n) bo'lsa.
3.39. G xaritalashlar guruhi (tarkibi bo'yicha) bo'lsin
ph : x 7→ax + b ko'rinishdagi R → R (a 6= 0), H = (ph G | ph : x 7→x + b). H C G ekanligini isbotlang. G/H nima?
3.40. G = Z × Z to'plamdagi amalni aniqlaymiz:
(a, b)(c, d) = (a + (−1)b c, b + d)
G guruh va H = h(1, 0)i C G ekanligini isbotlang.
Kozeta, Lagranj teoremasi
Mayli H guruh kichik guruhi G. Elementning chap koseti a kichik guruh bo'yicha H elementlar to'plami deb ataladi Oh, Qayerda h tegishli H. Chap koset belgilangan aH. Xuddi shunday, elementning o'ng koseti kiritiladi a kichik guruh bo'yicha H, degan ma'noni anglatadi Ha.
Kichik guruh har doim neytral elementga ega bo'lganligi sababli, har bir element a qo'shni sinfda joylashgan aH (Ha).
Mulk 2.7. Elementlar a Va b kichik guruh bo'yicha bir xil chap kosetga tegishli H agar va faqat agar
Isbot. Agar , keyin b=Oh, va shuning uchun b chap kosetga tegishli aH. Aksincha, keling , keyin bu , va bor.
2.2 teorema. Agar chap (o'ng) elementlarning kosetlari a Va b H kichik guruhi tomonidan umumiy element mavjud, keyin ular bir-biriga mos keladi.
Isbot. Mayli. Keyin bo'ladi. Chap qo'shni sinfdan ixtiyoriy element aH chap kosetda joylashgan bH. Haqiqatan ham, uchun, va, shuning uchun. Qo'shilish xuddi shunday isbotlangan. Shunday qilib, teorema isbotlangan.
Xulosa 2.1. Chap kosetlar kesishmaydi yoki mos kelmaydi.
Isbot aniq.
Xulosa 2.2. Chap (o'ng) koset H ga ekvikardinaldir.
Isbot. Kichik guruh elementlari o'rtasida yozishmalarni o'rnating H va qo'shni sinfning elementlari aH formula bo'yicha. Muloqot birma-bir. Shunday qilib, da'vo isbotlangan.
2.3 teorema (Lagranj). Cheklangan guruhning tartibi uning kichik guruhining tartibiga bo'linadi.
Isbot. Mayli G- buyurtma guruhi n, A H- kichik guruh G buyurtma k.Tenglik amal qiladi. Tenglikning o'ng tomonidagi takrorlanuvchi shartlarni olib tashlaymiz. Natijada, kesishmaydigan qo'shni sinflar qoladi. Chunki qo'shni sinfdagi elementlar soni , u holda , qaerda m alohida kosetlar soni. Bu tenglikni o'rnatadi n=mk, bu talab qilingan narsa.
Aniq kosetalar soni kichik guruh indeksi deb ataladi H guruhda G.
G guruhidagi elementlar to'plami, agar G guruh operatsiyasi ostida ushbu to'plamni yopish orqali olingan bo'lsa, hosil qiluvchi deyiladi.
Bitta element tomonidan yaratilgan guruhga siklik deyiladi.
Xulosa 2.3. Har qanday guruh tsiklik kichik guruhni o'z ichiga oladi.
Isbot. Mayli a-guruh elementi G. To'plam tsiklik kichik guruhdir.
Element tomonidan yaratilgan tsiklik kichik guruhning tartibi a, elementning tartibi deyiladi.
Mulk 2.8. Agar element a tartib bor n, Bu a n=e.
Isbot. Keling, ketma-ketlikni ko'rib chiqaylik. Ketma-ketlikdagi atamalar soni cheksiz bo'lgani uchun va elementning vakolatlari uchun a cheklangan sonli imkoniyatlar mavjud bo'lsa, u holda ketma-ketlikda bir xil atamalar sodir bo'ladi. Qaerga ruxsat bering k<j Va k birinchi takrorlanadigan atama. Keyin , va shuning uchun atama k-j+ 1 takrorlanadi. Demak, j=1 (aks holda). Shunday qilib, ketma-ketlik shakl va undagi takrorlanuvchi to'plamlardan iborat k- 1 xil element. Demak, k=n+1. O'shandan beri .
Har qanday elementning tartibi guruh tartibining bo'luvchisidir, shuning uchun a | G | =e guruhning har qanday elementi uchun.
Xulosa 2.4. Guruhning tartibi guruhning istalgan elementining tartibiga teng bo'linadi.
Isbot aniq.
2.4 teorema (tsiklik guruhlar bo'yicha)
I. Har qanday tabiiy uchun n siklik tartibli guruh mavjud n.
II. Xuddi shu tartibli siklik guruhlar bir-biriga izomorfdir.
III. Cheksiz tartibli siklik guruh butun sonlar guruhiga izomorfdir.
IV. Siklik guruhning har qanday kichik guruhi siklikdir.
V. Har bir bo‘luvchi uchun m raqamlar n(va faqat ular uchun) tsiklik guruhda n Buyurtmaning yagona kichik guruhi mavjud m.
Isbot. Darajaning murakkab ildizlari to'plami n 1 dan ko'paytirish amaliga nisbatan siklik tartib guruhini hosil qiladi n. Shunday qilib, birinchi da'vo isbotlangan.
Tsiklik guruh bo'lsin G buyurtma n element tomonidan hosil qilingan a, va tsiklik guruh H, bir xil tartibda, element tomonidan hosil qilinadi b. Muloqot birma-bir bo'lib, operatsiyani saqlaydi. Ikkinchi dalil isbotlangan
Element tomonidan yaratilgan cheksiz tartibli siklik guruh a, elementlardan tashkil topgan. Muloqot birma-bir bo'lib, operatsiyani saqlaydi. Shunday qilib, uchinchi fikr isbotlangan.
Mayli H siklik guruhning kichik guruhidir G element tomonidan hosil qilingan a. Elementlar H daraja hisoblanadi a. Keling, tanlaymiz H a. Bu element bo'lsin. Keling, ushbu element kichik guruhda hosil bo'lishini ko'rsataylik H. dan ixtiyoriy elementni oling H. Ish ichiga kiritilgan H har qanday uchun r. Keling, tanlaylik r bo'linish qismiga teng k yoqilgan j, Keyin k-rj bo'lingandan keyin qoldiq bor k yoqilgan j va shuning uchun kamroq j. Chunki ichida H nol bo'lmagan kuchlar bo'lgan elementlar yo'q a, dan kichik; .. dan kamroq j, Bu k-rj= 0 va . To'rtinchi da'vo isbotlangan.
Tsiklik guruh bo'lsin G buyurtma n element tomonidan hosil qilingan a. Element tomonidan yaratilgan kichik guruh buyurtmaga ega m. Kichik guruhni ko'rib chiqing H buyurtma m. Keling, tanlaymiz H mutlaq qiymatdagi eng kichik nolga teng bo'lgan element a. Bu element bo'lsin. Keling, buni ko'rsataylik j=n/m. Element tegishli H. Shuning uchun, shaklning nolga teng bo'lmagan raqami rj-nv mutlaq qiymatdan kam emas j, bu faqat agar mumkin bo'lsa n tomonidan bo'linadi j izsiz. tomonidan yaratilgan kichik guruh buyurtmaga ega n/j=m, shuning uchun, j=n/m. Kichik guruhning hosil qiluvchi elementi uning tartibi bilan yagona aniqlanganligi sababli, beshinchi tasdiq isbotlangan.