Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika
1. NAZARIY QISM
1 Tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketliklarining yaqinlashishi va ehtimollik taqsimoti
Ehtimollar nazariyasida tasodifiy o'zgaruvchilarning yaqinlashuvining har xil turlari bilan shug'ullanish kerak. Konvergentsiyaning quyidagi asosiy turlarini ko'rib chiqing: ehtimollik bo'yicha, bir ehtimollik bilan, p tartibli o'rtacha, taqsimot bo'yicha.
Ba'zi ehtimollik fazosida (, F, P) berilgan tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lsin, ... bo'lsin.
Ta'rif 1. Tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi, ... ehtimollik bo'yicha tasodifiy o'zgaruvchiga yaqinlashish deyiladi (belgi:), agar har qanday > 0 bo'lsa
Ta'rif 2. Tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi, ... bir ehtimollik bilan (deyarli, deyarli hamma joyda) tasodifiy o'zgaruvchiga yaqinlashish deyiladi, agar
bular. agar () ga () yaqinlashmaydigan natijalar to'plami nolga teng ehtimolga ega bo'lsa.
Konvergentsiyaning bu turi quyidagicha ifodalanadi: , yoki, yoki.
Ta'rif 3. Tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi, ... p, 0 tartibli o'rtacha konvergent deyiladi.< p < , если
Ta'rif 4. Tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi, ... taqsimotda tasodifiy o'zgaruvchiga yaqinlashish deyiladi (belgi:), agar biron bir chegaralangan uzluksiz funktsiya uchun
Tasodifiy miqdorlarni taqsimlashda yaqinlashuv faqat ularning taqsimot funksiyalarining yaqinlashuvi nuqtai nazaridan aniqlanadi. Shuning uchun, tasodifiy o'zgaruvchilar turli ehtimollik fazolarida berilgan bo'lsa ham, bunday yaqinlashuv haqida gapirish mantiqiy.
Teorema 1.
a) (P-a.s.) uchun har qanday > 0 uchun zarur va yetarli
) Ketma-ketlik () asosiy bo'lib, agar har qanday > 0 bo'lsa, bir ehtimollik bilan.
Isbot.
a) A \u003d (: | - | ), A \u003d A. Keyin
Shuning uchun a) bayonoti quyidagi ta'sirlar zanjirining natijasidir:
R(: )= 0 P() = 0 = 0 R(A) = 0, m 1 P(A) = 0, > 0 P() 0, n 0, > 0 P( ) 0,
n 0, > 0.) = (: ), = ni belgilang. Keyin (: (()) fundamental emas ) = va xuddi a) da bo'lgani kabi (: (()) fundamental emas ) = 0 P( ) 0, n ekanligi ko'rsatilgan.
Teorema isbotlangan
Teorema 2. (Koshining deyarli aniq yaqinlashuv mezoni)
Tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi () bir ehtimollik bilan (ba'zi tasodifiy o'zgaruvchiga) yaqinlashishi uchun uning birinchi ehtimol bilan asosiy bo'lishi zarur va etarli.
Isbot.
Agar bo'lsa, +
bundan teorema shartining zarurligi kelib chiqadi.
Endi ketma-ketlik () bir ehtimol bilan fundamental bo'lsin. L = (: (()) fundamental emas) belgilang. Keyin barcha raqamli ketma-ketliklar uchun () asosiy hisoblanadi va sonli ketma-ketliklar uchun Koshi mezoniga ko'ra, mavjud (). Keling, qo'ying
Shu tarzda aniqlangan funksiya tasodifiy miqdor va.
Teorema isbotlangan.
2 Xarakteristik funksiyalar usuli
Xarakteristik funksiyalar usuli ehtimollar nazariyasi analitik apparatining asosiy vositalaridan biridir. Tasodifiy o'zgaruvchilar (haqiqiy qiymatlarni olish) bilan bir qatorda xarakteristik funktsiyalar nazariyasi kompleks qiymatli tasodifiy o'zgaruvchilardan foydalanishni talab qiladi.
Tasodifiy o'zgaruvchilar bilan bog'liq ko'plab ta'riflar va xususiyatlar murakkab holatga osongina o'tkazilishi mumkin. Shunday qilib, M.ning matematik taxmini ?kompleks qiymatli tasodifiy miqdor ?=?+?? Agar matematik taxminlar M bo'lsa, aniq hisoblanadi ?ular ?. Bunday holda, ta'rifga ko'ra, biz M ?= M ? + ?M ?. Tasodifiy elementlarning mustaqilligini aniqlashdan kelib chiqadiki, kattaliklarni kompleks baholaydi ?1 =?1+??1 , ?2=?2+??2tasodifiy o'zgaruvchilar juftligi faqat va faqat mustaqil bo'ladi ( ?1 , ?1) va ( ?2 , ?2), yoki, bir xil, mustaqil ?-algebra F ?1, ?1 va F ?2, ?2.
Bo'shliq bilan birga L 2chekli ikkinchi momentli haqiqiy tasodifiy o'zgaruvchilar uchun kompleks qiymatli tasodifiy o'zgaruvchilarning Hilbert fazosini hisobga olishimiz mumkin. ?=?+?? bilan M | ?|2?|2= ?2+?2, va skalyar mahsulot ( ?1 , ?2)= M ?1?2¯ , Qayerda ?2¯ murakkab konjugatli tasodifiy miqdordir.
Algebraik amallarda Rn vektorlari algebraik ustunlar sifatida qaraladi,
Qator vektor sifatida a* - (a1,a2,…,an). Agar Rn bo'lsa, ularning skalyar ko'paytmasi (a,b) miqdor sifatida tushuniladi. Bu aniq
Agar aRn va R=||rij|| u nxn tartibli matritsadir
Ta'rif 1. (, ()) da F = F(x1,….,xn) n o'lchovli taqsimot funksiyasi bo'lsin. Uning xarakterli funksiyasi funksiya deyiladi
Ta'rif 2 . Agar? = (?1,…,?n) tasodifiy vektor, ehtimollik fazosida qiymatlari bilan aniqlangan, u holda uning xarakteristik funktsiyasi funktsiyadir.
F qayerda? = F?(x1,….,xn) - vektor taqsimot funksiyasi?=(?1, … , ?n).
Agar F(x) taqsimot funksiyasi f = f(x) zichlikka ega bo'lsa, u holda
Bunda xarakteristik funksiya f(x) funksiyani Furyega aylantirishdan boshqa narsa emas.
(3) dan shunday kelib chiqadiki, tasodifiy vektorning xarakteristik funksiyasi ??(t) tenglik bilan ham aniqlanishi mumkin.
Xarakteristik funksiyalarning asosiy xossalari (n=1 holatda).
Mayli? = ?(?) - tasodifiy o'zgaruvchi, F? =F? (x) - uning taqsimot funksiyasi va - xarakteristik funksiyasi.
Shuni ta'kidlash kerakki, agar, keyin.
Haqiqatdan ham,
bu erda biz mustaqil (cheklangan) tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotining matematik kutilishi ularning matematik kutishlari mahsulotiga teng ekanligidan foydalandik.
(6) xossa mustaqil tasodifiy miqdorlar yig'indisi uchun chegara teoremalarini xarakteristik funksiyalar usuli bilan isbotlashda asosiy hisoblanadi. Shu munosabat bilan taqsimot funksiyasi alohida atamalarning taqsimlanish funksiyalari nuqtai nazaridan ancha murakkab shaklda ifodalanadi, ya'ni bu erda * belgisi taqsimotlarning konvolyutsiyasini bildiradi.
Har bir taqsimot funktsiyasi tasodifiy o'zgaruvchi bilan bog'lanishi mumkin, bu funktsiyani taqsimlash funktsiyasi sifatida. Shuning uchun xarakteristik funktsiyalarning xususiyatlarini taqdim etganda, biz tasodifiy o'zgaruvchilarning xarakterli funktsiyalarini hisobga olish bilan cheklanishimiz mumkin.
Teorema 1. Mayli? - taqsimot funksiyasi F=F(x) bo'lgan tasodifiy miqdor va - uning xarakteristik funktsiyasi.
Quyidagi xususiyatlar sodir bo'ladi:
) ichida bir xilda davom etadi;
) F ning taqsimoti simmetrik bo‘lgandagina va faqat haqiqiy qiymatli funksiya hisoblanadi
)agar ba'zilar uchun n ? 1 , keyin hamma uchun hosilalar va mavjud
) Agar mavjud bo'lsa va cheklangan bo'lsa, u holda
) Hamma uchun n ? 1 va
keyin hamma uchun |t| Quyidagi teorema shuni ko'rsatadiki, xarakteristik funktsiya taqsimot funktsiyasini yagona aniqlaydi. 2-teorema (yagonalik). F va G bir xil xarakteristik funktsiyaga ega bo'lgan ikkita taqsimot funktsiyasi bo'lsin, ya'ni hamma uchun Teoremada aytilishicha, F = F (x) taqsimot funktsiyasi uning xarakteristik funktsiyasidan yagona tarzda tiklanadi. Quyidagi teorema F funksiyaning aniq ifodasini beradi. 3-teorema (umumlashtirish formulasi). F = F(x) taqsimot funksiyasi va uning xarakteristik funksiyasi bo‘lsin. a) har qanday ikkita nuqta uchun a, b (a< b), где функция F = F(х) непрерывна, ) Agar F(x) taqsimot funksiyasi f(x) zichlikka ega bo‘lsa, Teorema 4. Tasodifiy vektorning komponentlari mustaqil bo‘lishi uchun uning xarakteristik funksiyasi komponentlarning xarakteristik funksiyalarining ko‘paytmasi bo‘lishi zarur va yetarli: Bochner-Xinchin teoremasi .
Uzluksiz funksiya bo‘lsin.Xarakteristik bo‘lishi uchun uning nomanfiy-aniqli bo‘lishi, ya’ni har qanday haqiqiy t1, ..., tn va har qanday kompleks sonlar uchun zarur va yetarli. Teorema 5. Tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi bo'lsin. a) Ba'zilar uchun bo'lsa, unda tasodifiy o'zgaruvchi qadamli panjarali o'zgaruvchidir, ya'ni ) Agar ikki xil nuqta uchun irratsional son qayerda bo'lsa, unda tasodifiy miqdor? degenerativ hisoblanadi: bu yerda a qandaydir doimiy. c) Agar, u holda tasodifiy miqdor? degeneratsiya. 1.3 Mustaqil bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar uchun markaziy chegara teoremasi () mustaqil, bir xil taqsimlangan tasodifiy o‘zgaruvchilar ketma-ketligi bo‘lsin. Matematik kutilma M= a, dispersiya D= , S = , va F(x) - (0,1) parametrli normal qonunning taqsimot funksiyasi. Shuningdek, biz tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligini kiritamiz Teorema. Agar 0<<, то при n P(< x) Ф(х) равномерно относительно х (). Bunda () ketma-ketlik asimptotik normal deyiladi. M = 1 va uzluksizlik teoremalaridan kelib chiqadiki, har qanday uzluksiz chegaralangan f uchun kuchsiz yaqinlashish bilan bir qatorda FM f() Mf() ham har qanday uzluksiz f uchun M f() Mf() yaqinlashadi, shundayki |f(x)|< c(1+|x|) при каком-нибудь. Isbot. Bu yerda bir xil yaqinlashish PH(x) ning zaif yaqinlashuvi va uzluksizligining natijasidir. Bundan tashqari, umumiylikni yo'qotmasdan, biz a = 0 ni qabul qilishimiz mumkin, chunki aks holda ketma-ketlikni () ko'rib chiqish mumkin bo'lar edi, ketma-ketlik esa o'zgarmaydi. Demak, kerakli yaqinlashishni isbotlash uchun a = 0 bo‘lganda (t) e ekanligini ko‘rsatish kifoya. (t) =, bu erda =(t). M mavjud ekan, mavjud va parchalanish mavjud Shuning uchun, n uchun Teorema isbotlangan. 1.4 Matematik statistikaning asosiy vazifalari, ularning qisqacha tavsifi Ommaviy tasodifiy hodisalar bo'ysunadigan qonuniyatlarni o'rnatish statistik ma'lumotlarni - kuzatish natijalarini o'rganishga asoslangan. Matematik statistikaning birinchi vazifasi statistik ma'lumotlarni yig'ish va guruhlash usullarini ko'rsatishdir. Matematik statistikaning ikkinchi vazifasi tadqiqot maqsadlaridan kelib chiqqan holda statistik ma'lumotlarni tahlil qilish usullarini ishlab chiqishdan iborat. Matematik statistikaning har qanday muammosini hal qilishda ikkita ma'lumot manbasi mavjud. Birinchi va eng aniq (aniq) skaler yoki vektor tasodifiy o'zgaruvchining ba'zi umumiy populyatsiyasidan namuna ko'rinishidagi kuzatishlar (tajriba) natijasidir. Bunday holda, tanlanma hajmi n aniqlanishi mumkin yoki u tajriba davomida ortishi mumkin (ya'ni, statistik tahlilning ketma-ket deb ataladigan protseduralaridan foydalanish mumkin). Ikkinchi manba - bu o'rganilayotgan ob'ektning hozirgi kungacha to'plangan qiziqish xususiyatlari haqidagi barcha apriori ma'lumotlar. Rasmiy ravishda, apriori ma'lumotlarning miqdori muammoni hal qilishda tanlangan dastlabki statistik modelda aks ettiriladi. Biroq, tajribalar natijalariga ko'ra hodisa ehtimolini odatiy ma'noda taxminiy aniqlash haqida gapirishning hojati yo'q. Miqdorning taxminiy ta'rifi, odatda, xatolik chiqmaydigan xatolar chegaralarini ko'rsatish mumkinligini anglatadi. Hodisa chastotasi individual tajribalar natijalarining tasodifiyligi tufayli har qanday miqdordagi tajribalar uchun tasodifiydir. Alohida tajribalar natijalarining tasodifiyligi tufayli chastota hodisa ehtimolidan sezilarli darajada farq qilishi mumkin. Shuning uchun, hodisaning noma'lum ehtimolini ko'p miqdordagi tajribalarda ushbu hodisaning chastotasi sifatida belgilab, biz xato chegaralarini ko'rsata olmaymiz va xato bu chegaralardan tashqariga chiqmasligiga kafolat bera olmaymiz. Shuning uchun, matematik statistikada ular odatda noma'lum miqdorlarning taxminiy qiymatlari haqida emas, balki ularning tegishli qiymatlari, taxminlari haqida gapirishadi. Noma'lum parametrlarni baholash muammosi umumiy populyatsiyaning taqsimot funktsiyasi parametrgacha ma'lum bo'lganda paydo bo'ladi. Bunday holda, tasodifiy tanlamaning xn ko'rib chiqilishi uchun tanlanma qiymati parametrning taxminiy qiymati deb hisoblanishi mumkin bo'lgan shunday statistikani topish kerak. Har qanday amalga oshirish uchun tanlanma qiymati xn noma'lum parametrning taxminiy qiymati sifatida qabul qilingan statistik, uning nuqtali bahosi yoki oddiygina bahosi deb ataladi va - nuqta bahosining qiymati. Nuqta bahosi uning namunaviy qiymati parametrning haqiqiy qiymatiga mos kelishi uchun aniq belgilangan talablarga javob berishi kerak. Ko'rib chiqilayotgan muammoni hal qilishning yana bir yondashuvi ham mumkin: bunday statistik ma'lumotlarni topish va ehtimollik bilan? quyidagi tengsizlik bajarildi: Bu holda, biri uchun intervalli taxmin haqida gapiradi. Interval ishonch omili bilan uchun ishonch oralig'i deyiladi?. Tajribalar natijalari asosida u yoki bu statistik xarakteristikani baholab, savol tug'iladi: noma'lum xarakteristikaning uni baholash natijasida olingan qiymatga ega ekanligi haqidagi taxmin (gipoteza) eksperimental ma'lumotlarga qanchalik mos keladi? Matematik statistikada muammolarning ikkinchi muhim sinfi - gipotezalarni tekshirish muammolari mana shunday yuzaga keladi. Qaysidir ma'noda statistik gipotezani tekshirish vazifasi parametrlarni baholash muammosiga teskari hisoblanadi. Parametrni baholashda biz uning haqiqiy qiymati haqida hech narsa bilmaymiz. Statistik gipotezani sinovdan o'tkazishda negadir uning qiymati ma'lum deb qabul qilinadi va bu taxminni tajriba natijalariga ko'ra tekshirish kerak bo'ladi. Matematik statistikaning ko'pgina muammolarida u yoki bu ma'noda ma'lum chegaraga (tasodifiy o'zgaruvchi yoki doimiy) yaqinlashadigan tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi ko'rib chiqiladi. Shunday qilib, matematik statistikaning asosiy vazifalari hisob-kitoblarni topish usullarini ishlab chiqish va ularni taxminiy belgilarga yaqinlashtirishning to'g'riligini o'rganish va gipotezalarni tekshirish usullarini ishlab chiqishdir. 5 Statistik gipotezani tekshirish: asosiy tushunchalar Statistik gipotezalarni tekshirishning oqilona usullarini ishlab chiqish vazifasi matematik statistikaning asosiy vazifalaridan biridir. Statistik gipoteza (yoki oddiygina gipoteza) - tajribada kuzatilgan tasodifiy o'zgaruvchilar taqsimotining shakli yoki xususiyatlari haqidagi har qanday bayonot. Tarqatish zichligi noma'lum parametrga bog'liq bo'lgan umumiy populyatsiyadan tasodifiy tanlamaning amalga oshirilishi bo'lgan namuna bo'lsin. Parametrning noma’lum haqiqiy qiymati haqidagi statistik gipotezalar parametrik farazlar deyiladi. Bundan tashqari, agar skaler bo'lsa, unda biz bir parametrli gipotezalar haqida, agar vektor bo'lsa, ko'p parametrli gipotezalar haqida gapiramiz. Statistik gipoteza, agar u shaklga ega bo'lsa, oddiy deb ataladi parametrning berilgan qiymati qayerda. Statistik gipoteza shaklga ega bo'lsa, murakkab deb ataladi bu yerda - bir nechta elementlardan tashkil topgan ba'zi parametr qiymatlari to'plami. Shaklning ikkita oddiy statistik gipotezasini sinab ko'rishda Bu erda parametrning ikkita berilgan (turli) qiymati bo'lsa, birinchi gipoteza odatda asosiy, ikkinchisi esa alternativ yoki raqobatdosh gipoteza deb ataladi. Gipotezalarni sinab ko'rish mezoni yoki statistik mezon bu qoida bo'lib, unga ko'ra namunaviy ma'lumotlarga ko'ra birinchi yoki ikkinchi gipotezaning haqiqiyligi to'g'risida qaror qabul qilinadi. Mezon tasodifiy tanlamaning tanlov maydonining kichik to'plami bo'lgan tanqidiy to'plam yordamida aniqlanadi. Qaror quyidagicha qabul qilinadi: ) agar tanlama kritik to‘plamga tegishli bo‘lsa, u holda asosiy gipoteza rad etiladi va muqobil gipoteza qabul qilinadi; ) agar tanlama kritik to’plamga tegishli bo’lmasa (ya’ni tanlama fazosiga to’plamning to’ldiruvchisiga tegishli bo’lsa), u holda muqobil gipoteza rad etiladi va asosiy gipoteza qabul qilinadi. Har qanday mezondan foydalanganda quyidagi turdagi xatolar bo'lishi mumkin: 1) gipotezani to'g'ri bo'lganda qabul qilish - birinchi turdagi xato; ) gipotezani to'g'ri bo'lganda qabul qilish - ikkinchi turdagi xato. Birinchi va ikkinchi turdagi xatolarga yo'l qo'yish ehtimoli quyidagilarni bildiradi: gipoteza to'g'ri bo'lishi sharti bilan hodisaning ehtimoli bu erda.Ko'rsatilgan ehtimollar tasodifiy tanlamaning taqsimlanishining zichlik funksiyasi yordamida hisoblanadi: I-toifa xatoga yo'l qo'yish ehtimoli testning muhimlik darajasi deb ham ataladi. Asosiy gipoteza to'g'ri bo'lganda uni rad etish ehtimoliga teng qiymat mezonning kuchi deb ataladi. 1.6 Mustaqillik mezoni Ikki o'zgaruvchan taqsimotdan namuna ((XY), …, (XY)) mavjud Noma'lum taqsimot funksiyasi bilan L, buning uchun H: gipotezasini tekshirish talab etiladi, bu erda bir o'lchovli taqsimot funktsiyalari mavjud. Metodologiya asosida H gipotezasi uchun oddiy moslik testi tuzilishi mumkin. Ushbu uslub cheklangan miqdordagi natijalarga ega bo'lgan diskret modellar uchun qo'llaniladi, shuning uchun biz tasodifiy o'zgaruvchi ba'zi qiymatlarning chekli sonini oladi, deb faraz qilishga rozi bo'lamiz, biz ularni harflar bilan belgilaymiz va ikkinchi komponent - k qiymatlari. Agar asl model boshqa tuzilishga ega bo'lsa, unda tasodifiy o'zgaruvchilarning mumkin bo'lgan qiymatlari birinchi va ikkinchi komponentlar bo'yicha alohida guruhlanadi. Bunda to'plam s intervallarga, qiymat to'plami - k intervallarga va qiymat to'plamining o'zi - N=sk to'rtburchaklarga bo'linadi. Juftlikni kuzatishlar soni bilan belgilang (agar ma'lumotlar guruhlangan bo'lsa, to'rtburchakka tegishli namunaviy elementlarning soni), shunday qilib. Kuzatish natijalari qulay tarzda ikkita belgining konjugatsiya jadvali shaklida joylashtirilgan (1.1-jadval). Ilovalarda va odatda kuzatish natijalari tasniflanadigan ikkita xususiyatni anglatadi. R, i=1,…,s, j=1,…,k bo‘lsin. Shunda mustaqillik gipotezasi s+k konstantalari borligini bildiradi, shunday va, ya’ni. 1.1-jadval so'm . . .. . .. . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .sum . . .n Shunday qilib, H gipotezasi chastotalar (ularning soni N = sk ga teng) ko'rsatilgan o'ziga xos tuzilishga ega bo'lgan natijalar ehtimoli bilan polinom qonuniga muvofiq taqsimlanadi (p natijalarining ehtimollik vektori r=s+k-2 noma'lum parametrlarning qiymatlari bilan aniqlanadi) degan bayonotga qisqartiriladi. Ushbu gipotezani sinab ko'rish uchun biz ko'rib chiqilayotgan sxemani aniqlaydigan noma'lum parametrlar uchun maksimal ehtimollik taxminlarini topamiz. Agar nol gipoteza to'g'ri bo'lsa, ehtimollik funksiyasi L(p)= ko'rinishga ega bo'ladi, bunda c omil noma'lum parametrlarga bog'liq emas. Demak, noaniq Lagranj ko'paytmalari usulidan foydalanib, biz kerakli baholar shaklga ega bo'lishini olamiz. Shuning uchun, statistika L() at, chunki chegara taqsimotidagi erkinlik darajalari soni N-1-r=sk-1-(s+k-2)=(s-1)(k-1). Shunday qilib, etarlicha katta n uchun quyidagi gipotezani tekshirish qoidasidan foydalanish mumkin: H gipotezasi, agar haqiqiy ma'lumotlardan hisoblangan statistik qiymat tengsizlikni qondirsa, rad etiladi. Bu mezon asimptotik (at) berilgan muhimlik darajasiga ega va mustaqillik mezoni deb ataladi. 2. AMALIY QISM 1 Konvergentsiya turlariga oid masalalar yechish 1. Konvergensiya deyarli ehtimollikdagi yaqinlashuvni nazarda tutishini isbotlang. Qarama-qarshilik to'g'ri emasligini ko'rsatadigan test misolini keltiring. Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi deyarli shubhasiz x tasodifiy o'zgaruvchiga yaqinlashsin. Xo'sh, kimdir uchunmi? > 0 O'shandan beri va xn ning x ga yaqinlashishi deyarli shubhasiz xn ning ehtimollikda x ga yaqinlashishini anglatadi, chunki bu holda Ammo buning aksi haqiqat emas. X da nolga teng F(x) bir xil taqsimot funksiyasiga ega bo‘lgan mustaqil tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bo‘lsin? 0 va x > 0 uchun teng. Ketma-ketlikni ko'rib chiqing Bu ketma-ketlik ehtimollik bo'yicha nolga yaqinlashadi, chunki har qanday sobit uchun nolga intiladi? Va. Biroq, nolga yaqinlashuv deyarli amalga oshmaydi. Haqiqatan ham birlikka intiladi, ya'ni har qanday uchun 1 ehtimol bilan va ketma-ketlikda n dan oshadigan amalga oshirishlar mavjud. E'tibor bering, xn ga qo'yilgan ba'zi qo'shimcha shartlar mavjud bo'lganda, ehtimollikdagi yaqinlashuv deyarli aniq yaqinlashuvni anglatadi. xn monoton ketma-ketlik bo'lsin. Bu holatda xn ning ehtimollikdagi x ga yaqinlashuvi 1 ehtimol bilan xn ning x ga yaqinlashishini nazarda tutishini isbotlang. Yechim. xn monoton kamayuvchi ketma-ketlik bo'lsin, ya'ni. Fikrimizni soddalashtirish uchun barcha n uchun x º 0, xn ³ 0 deb faraz qilamiz. Xn ehtimollikda x ga yaqinlashsin, lekin yaqinlashuv deyarli amalga oshmaydi. Keyin u mavjudmi? > 0 hamma uchun n Lekin aytilganlar hamma n uchun ham shuni anglatadi bu ehtimollik bo'yicha xn ning x ga yaqinlashishiga ziddir. Shunday qilib, ehtimollik bo'yicha x ga yaqinlashuvchi monoton ketma-ketlik uchun 1 ehtimollik (deyarli aniq) bilan yaqinlashish ham sodir bo'ladi. Xn ketma-ketligi ehtimollikda x ga yaqinlashsin. Bu ketma-ketlikdan 1 ehtimollik bilan x ga yaqinlashuvchi ketma-ketlikni tanlash mumkinligini isbotlang. Yechim. Qolaversa, ijobiy sonlar ketma-ketligi bo'lsin va qator shunday musbat raqamlar bo'lsin. n1 indekslar ketma-ketligini tuzamiz Keyin seriya Seriya birlashganligi sababli, har qanday uchun? > 0 qatorning qolgan qismi nolga intiladi. Ammo keyin nolga intiladi va Har qanday musbat tartibning o'rtacha yaqinlashuvi ehtimollikdagi yaqinlashuvni anglatishini isbotlang. Qarama-qarshilik to'g'ri emasligini ko'rsatadigan misol keltiring. Yechim. xn ketma-ketligi o'rtacha p > 0 tartib bo'yicha x ga yaqinlashsin, ya'ni. Umumlashtirilgan Chebishev tengsizligidan foydalanamiz: ixtiyoriy uchun? > 0 va p > 0 Buni hisobga olib, biz buni olamiz ya'ni xn ehtimollikda x ga yaqinlashadi. Biroq, ehtimollik bo'yicha yaqinlashuv o'rtacha p > 0 tartibida yaqinlashuvga olib kelmaydi. Bu quyidagi misolda ko'rsatilgan. áW, F , Rñ ehtimollik fazosini ko'rib chiqaylik, bu erda F = B Borel s-algebrasi va R Lebeg o'lchovidir. Biz tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligini quyidagicha aniqlaymiz: Xn ketma-ketligi ehtimollik bo'yicha 0 ga yaqinlashadi, chunki lekin har qanday p > 0 uchun ya'ni o'rtacha konvergentsiya bo'lmaydi. Keling, nima uchun hamma uchun n . Bu holda xn o'rtacha kvadratda x ga yaqinlashishini isbotlang. Yechim. Shuni ta'kidlab o'tamiz. smetasini oling. Tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing. Mayli? ixtiyoriy musbat sondir. Keyin da va da. Agar, keyin va. Demak, . Va chunki? o'zboshimchalik bilan kichik va keyin at, ya'ni o'rtacha ildiz kvadratida. Agar xn ehtimollikda x ga yaqinlashsa, bizda zaif yaqinlashish borligini isbotlang. Qarama-qarshilik to'g'ri emasligini ko'rsatadigan test misolini keltiring. Yechim. Agar, u holda har bir nuqtada uzluksizlik nuqtasi bo'lgan x (bu kuchsiz yaqinlashish uchun zarur va etarli shart) xn ning taqsimot funksiyasi bo'lishini isbotlaylik. F funksiyaning uzluksizlik nuqtasi x bo'lsin. Agar, u holda tengsizliklardan kamida bittasi yoki rost. Keyin Xuddi shunday, tengsizliklarning kamida bittasi uchun yoki va Agar o'zboshimchalik bilan kichik uchun? > 0 bo'lsa, hamma n > N uchun shunday N mavjud Boshqa tomondan, agar x uzluksizlik nuqtasi bo'lsa, bunday narsani topish mumkinmi? > 0, bu o'zboshimchalik bilan kichik uchun Xo'sh, o'zboshimchalik bilan kichik uchun? va n >N uchun shunday N mavjud yoki, qaysi bir xil, Bu shuni anglatadiki, u uzluksizlikning barcha nuqtalarida birlashadi. Shuning uchun ehtimollikdagi yaqinlashuv zaif yaqinlashuvni nazarda tutadi. Umuman olganda, qarama-qarshi fikr o'rinli emas. Buni tekshirish uchun 1 ehtimollik bilan doimiy bo'lmagan va F(x) bir xil taqsimot funksiyasiga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligini olamiz. Biz barcha n miqdorlar uchun va mustaqil deb faraz qilamiz. Shubhasiz, zaif konvergentsiya sodir bo'ladi, chunki ketma-ketlikning barcha a'zolari bir xil taqsimlash funktsiyasiga ega. Ko'rib chiqing: | Mustaqillik va miqdorlarning bir xil taqsimlanishidan shundan kelib chiqadi Degenerativ bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchilarning barcha taqsimot funktsiyalari orasidan F(x) ni tanlaylik, ular yetarlicha kichik bo'lmagan barcha ? uchun noldan farq qiladi. Keyin nolga intilmaydi, chunki n chegarasiz o'sib boradi va ehtimollik bo'yicha yaqinlashuv sodir bo'lmaydi. 7. 1 ehtimollik bilan doimiy bo'lgan zaif yaqinlashuv sodir bo'lsin. Bu holda ehtimolga yaqinlashishini isbotlang. Yechim. 1 ehtimollik bilan a ga teng bo'lsin. Keyin zaif konvergentsiya har qanday uchun yaqinlashuvni anglatadi. O'shandan beri, keyin bilan va bilan. Ya'ni, bilan va bilan. Bu har qanday kishi uchun shunday bo'ladi > 0 ehtimollik da nolga intiladi. Bu shuni anglatadiki da nolga intiladi, ya’ni ehtimollikda yaqinlashadi. 2.2 CPTda muammolarni hal qilish G(x) gamma funksiyasining x= da qiymati Monte-Karlo usuli bilan hisoblanadi. Keling, 0,95 ehtimollik bilan hisob-kitoblarning nisbiy xatosi bir foizdan kam bo'lishini kutish mumkin bo'lgan sinovlarning minimal sonini topamiz. Bizgacha bor Ma'lumki (1) ga o'zgartirish kiritib, biz cheklangan oraliqda integralga erishamiz: Shuning uchun bizda bor Ko'rinib turibdiki, u qaerda va bir xilda taqsimlangan shaklda ifodalanishi mumkin. Statistik testlar ishlab chiqarilsin. Keyin statistik analog - bu miqdor bu yerda, bir xil taqsimlangan mustaqil tasodifiy miqdorlar. Qayerda Bu parametrlar bilan asimptotik normal bo'lgan CLTdan kelib chiqadi. Bu nisbiy hisoblash xatosi ehtimolini ta'minlaydigan testlarning minimal soni teng emasligini anglatadi. Biz 2000 ta mustaqil bir xil taqsimlangan tasodifiy oʻzgaruvchilardan iborat ketma-ketlikni matematik kutilmalari 4 ga va dispersiyasi 1,8 ga teng deb hisoblaymiz. Bu miqdorlarning o'rtacha arifmetik qiymati tasodifiy o'zgaruvchidir. Tasodifiy o'zgaruvchining (3,94; 4,12) oraliqda qiymat olishi ehtimolini aniqlang. M=a=4 va D==1.8 bilan bir xil taqsimotga ega boʻlgan mustaqil tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi, …,… boʻlsin. Keyin CLT () ketma-ketlikda qo'llaniladi. Tasodifiy qiymat Uning oraliqda qiymat olish ehtimoli (): n=2000 uchun 3,94 va 4,12 ni olamiz 3 Gipotezalarni mustaqillik mezoni bo'yicha tekshirish O‘rganish natijasida 782 nafar ko‘zi och otaning ko‘zi ojiz o‘g‘illari, 89 nafari ochko‘z otaning qora ko‘zli o‘g‘illari borligi aniqlandi. 50 nafar qora ko‘zli otaning ham qora ko‘zli o‘g‘illari bor, 79 nafar qora ko‘zli otaning ochko‘z o‘g‘illari bor. Otalarning ko'zlari va o'g'illarining ko'zlari o'rtasida bog'liqlik bormi? Ishonch darajasi 0,99 ga teng qabul qilinadi. 2.1-jadval FarzandlarOtalarSumYengil ko'zliqora ko'zliYorugko'z78279861qora ko'zli8950139Sum8711291000 H: Bolalar va otalarning ko'zlari rangi o'rtasida hech qanday bog'liqlik yo'q. H: bolalar va otalarning ko'zlari rangi o'rtasida bog'liqlik mavjud. Erkinlikning 1 qadamidan s=k=2=90,6052 Hisoblash Mathematica 6 da amalga oshirildi. > dan beri, keyin H gipotezasi, otalar va bolalarning ko'zlari rangi o'rtasidagi munosabatlarning yo'qligi haqida, ahamiyatlilik darajasida, rad etilishi va muqobil gipoteza H qabul qilinishi kerak. Ta'kidlanishicha, preparatning ta'siri qo'llash usuliga bog'liq. Jadvalda keltirilgan ma'lumotlarga muvofiq ushbu bayonotni tekshiring. 2.2 Ishonch darajasi 0,95 ga teng qabul qilinadi. 2.2-jadval Natija Qo'llash usuli ABC noqulay 111716 Qulay 202319 Yechim. Ushbu muammoni hal qilish uchun biz ikkita xususiyatning favqulodda jadvalidan foydalanamiz. 2.3-jadval Natija Qo'llash usuli Sum ABC Noqulay 11171644 Qulay 20231962 So'm 314035106 H: dorilarning ta'siri qo'llash usuliga bog'liq emas H: dorilarning ta'siri qo'llash usuliga bog'liq Statistik ma'lumotlar quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi s=2, k=3, =0,734626 2 qadam erkinlik bilan. Mathematica 6 da qilingan hisob Tarqatish jadvallariga ko'ra, biz buni topamiz. Chunki< , то гипотезу H, про отсутствия зависимости действия лекарств от способа применения, при уровне значимости, следует принять. Xulosa Ushbu maqolada "Mustaqillik mezoni" bo'limidan, shuningdek, "Ehtimollar nazariyasining chegaraviy teoremalari", "Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika" kursidan nazariy hisoblar keltirilgan. Ish jarayonida mustaqillik mezoni amaliyotda sinovdan o‘tkazildi; shuningdek, berilgan mustaqil tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun markaziy chegara teoremasining bajarilishi tekshirildi. Bu ish ehtimollar nazariyasining ushbu bo‘limlari bo‘yicha bilimlarimni oshirishga, adabiy manbalar bilan ishlashga, mustaqillik mezonini tekshirish texnikasini o‘zlashtirishga yordam berdi. ehtimollik statistik gipoteza teoremasi Havola ro'yxati 1. Ehtimollar nazariyasidan yechilgan masalalar to‘plami. Uch. nafaqa / Ed. V.V. Semenets. - Xarkov: HTURE, 2000. - 320-yillar. Gikhman I.I., Skoroxod A.V., Yadrenko M.I. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. - K .: Vishcha maktabi, 1979. - 408 p. Ivchenko G.I., Medvedev Yu.I., Matematik statistika: Prok. universitetlar uchun nafaqa. - M .: Yuqori. maktab, 1984. - 248s., . Matematik statistika: Proc. universitetlar uchun / V.B. Goryainov, I.V. Pavlov, G.M. Tsvetkova va boshqalar; Ed. V.S. Zarubina, A.P. Krishchenko. - M.: MSTU im. nashriyoti. N.E. Bauman, 2001. - 424p. Mavzuni o'rganishda yordam kerakmi?
Mutaxassislarimiz sizni qiziqtirgan mavzularda maslahat beradilar yoki repetitorlik xizmatlarini taqdim etadilar. KIRISH Ko'p narsalar biz uchun tushunarsiz, bizning tushunchalarimiz zaif bo'lgani uchun emas; O‘rta maxsus o‘quv yurtlarida matematika fanini o‘rganishdan asosiy maqsad o‘quvchilarga matematikadan u yoki bu darajada foydalanadigan boshqa dastur fanlarini o‘rganish, amaliy hisob-kitoblarni amalga oshirish, mantiqiy tafakkurni shakllantirish va rivojlantirish uchun zarur bo‘lgan matematik bilim va ko‘nikmalar majmuasini berishdan iborat. Ushbu maqolada matematikaning "Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika asoslari" bo'limining barcha asosiy tushunchalari dastur va O'rta kasb-hunar ta'limining Davlat ta'lim standartlarida (Rossiya Federatsiyasi Ta'lim vazirligi. M., 2002) nazarda tutilgan ketma-ket kiritilgan, asosiy teoremalarning aksariyati shakllantirilmagan, isbotlanmagan. Asosiy vazifalar va ularni hal qilish usullari va bu usullarni amaliy muammolarni hal qilishda qo'llash texnologiyalari ko'rib chiqiladi. Taqdimot batafsil sharhlar va ko'plab misollar bilan birga keladi. Uslubiy ko'rsatmalar o'rganilayotgan material bilan dastlabki tanishish, ma'ruza matnini yozishda, amaliy mashg'ulotlarga tayyorgarlik ko'rish, olingan bilim, ko'nikma va malakalarni mustahkamlash uchun ishlatilishi mumkin. Bundan tashqari, qo'llanma bakalavriat talabalari uchun ma'lumotnoma sifatida foydali bo'ladi, bu sizga ilgari o'rganilgan narsalarni tezda xotirada tiklash imkonini beradi. Ish oxirida talabalar o'z-o'zini nazorat qilish rejimida bajarishlari mumkin bo'lgan misollar va topshiriqlar beriladi. Uslubiy ko'rsatmalar sirtqi va kunduzgi ta'lim shakllari talabalari uchun mo'ljallangan. ASOSIY TUSHUNCHALAR Ehtimollar nazariyasi ommaviy tasodifiy hodisalarning ob'ektiv qonuniyatlarini o'rganadi. U kuzatishlar natijalarini toʻplash, tavsiflash va qayta ishlash usullarini ishlab chiqish bilan shugʻullanuvchi matematik statistikaning nazariy asosi hisoblanadi. Kuzatishlar (sinovlar, tajribalar) orqali, ya'ni. so'zning keng ma'nosida tajriba, real dunyo hodisalari haqida bilim mavjud. Amaliy faoliyatimizda biz ko'pincha natijasini oldindan aytib bo'lmaydigan, natijasi tasodifga bog'liq bo'lgan hodisalarga duch kelamiz. Tasodifiy hodisa uning paydo bo'lish sonining sinovlar soniga nisbati bilan tavsiflanishi mumkin, ularning har birida, barcha sinovlarning bir xil sharoitlarida, u sodir bo'lishi yoki sodir bo'lmasligi mumkin. Ehtimollar nazariyasi - matematikaning tasodifiy hodisalar (hodisalar) o'rganiladigan va ular ommaviy takrorlanganda qonuniyatlari ochiladigan bo'limi. Matematik statistika - bu matematikaning bo'limi bo'lib, uning predmeti sifatida statistik ma'lumotlarni yig'ish, tizimlashtirish, qayta ishlash va ilmiy asoslangan xulosalar va qarorlar qabul qilish uchun foydalanish usullarini o'rganadi. Shu bilan birga, statistik ma'lumotlar deganda o'rganilayotgan ob'ektlarning bizni qiziqtirgan xususiyatlarining miqdoriy xususiyatlarini ifodalovchi raqamlar to'plami tushuniladi. Statistik ma'lumotlar maxsus ishlab chiqilgan tajriba va kuzatishlar natijasida olinadi. Statistik ma'lumotlar o'z mohiyatiga ko'ra ko'plab tasodifiy omillarga bog'liq, shuning uchun matematik statistika uning nazariy asosi bo'lgan ehtimollar nazariyasi bilan chambarchas bog'liq. I. EHTIMOLLIK. QO‘SHISH VA EHTIMOLLARNI KO‘SHTIRISH TEOREMALARI 1.1. Kombinatorikaning asosiy tushunchalari Matematikaning kombinatorika deb ataladigan bo'limida to'plamlarni ko'rib chiqish va bu to'plamlar elementlarining turli kombinatsiyalarini tuzish bilan bog'liq ba'zi masalalar echiladi. Masalan, 10 ta turli xil 0, 1, 2, 3,:, 9 sonlarni olib, ularning birikmalarini tuzsak, har xil sonlarni olamiz, masalan, 143, 431, 5671, 1207, 43 va hokazo. Ko'ramizki, bu kombinatsiyalarning ba'zilari faqat raqamlarning tartibida (masalan, 143 va 431), boshqalari ularga kiritilgan raqamlarda (masalan, 5671 va 1207), boshqalari esa raqamlar sonida (masalan, 143 va 43) farqlanadi. Shunday qilib, olingan kombinatsiyalar turli shartlarni qondiradi. Kompilyatsiya qoidalariga qarab, uchta turdagi kombinatsiyani ajratish mumkin: almashtirishlar, joylashtirishlar, kombinatsiyalar.
Keling, birinchi navbatda kontseptsiya bilan tanishaylik faktorial.
1 dan n gacha bo'lgan barcha natural sonlarning ko'paytmasi deyiladi n-faktorial
va yozing. Hisoblang: a) ; b) ; V) . Yechim. A) . b) shuningdek Keyin olamiz V) O'zgartirishlar. Bir-biridan faqat elementlar tartibida farq qiluvchi n ta elementning birikmasi almashtirish deyiladi. O'zgartirishlar belgi bilan belgilanadi P n
, bu erda n - har bir almashtirishdagi elementlar soni. ( R- frantsuzcha so'zning birinchi harfi almashtirish- almashtirish). O'zgartirishlar sonini formuladan foydalanib hisoblash mumkin yoki faktorial bilan: Buni eslaylik 0!=1 va 1!=1.
2-misol. Olti xil kitobni bir javonga necha usulda joylashtirish mumkin? Yechim. Kerakli yo'llar soni 6 ta elementning almashtirishlar soniga teng, ya'ni. Turar joy. Joylashuvlar m ichidagi elementlar n har birida bir-biridan elementlarning o'zi (kamida bitta) yoki joylashuv tartibi bilan farq qiladigan bunday birikmalar deyiladi. Joylar belgisi bilan belgilanadi , qaerda m barcha mavjud elementlarning soni, n har bir kombinatsiyadagi elementlar soni. ( A- frantsuzcha so'zning birinchi harfi tartibga solish, ya'ni "joylashtirish, tartibga solish"). Shu bilan birga, shunday deb taxmin qilinadi nm. Joylashuvlar sonini formuladan foydalanib hisoblash mumkin bular. dan barcha mumkin bo'lgan joylashtirishlar soni m tomonidan elementlar n mahsulotga teng n kattasi bo'lgan ketma-ket butun sonlar m. Ushbu formulani faktorial shaklda yozamiz: Misol 3. Beshta abituriyent uchun har xil profildagi sanatoriyga uchta yo'llanmani taqsimlashning nechta varianti bo'lishi mumkin? Yechim. Kerakli variantlar soni 5 ta elementni 3 ta elementga joylashtirish soniga teng, ya'ni. Kombinatsiyalar. Kombinatsiyalar barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalardir m tomonidan elementlar n, ular bir-biridan kamida bitta element bilan farq qiladi (bu erda m Va n- natural sonlar va n m). dan kombinatsiyalar soni m tomonidan elementlar n belgilanadi ( BILAN- frantsuzcha so'zning birinchi harfi kombinatsiya- kombinatsiya). Umuman olganda, soni m tomonidan elementlar n dan joylashtirishlar soniga teng m tomonidan elementlar n dan almashtirishlar soniga bo'linadi n elementlar: Joylashtirish va almashtirish raqamlari uchun faktorial formulalardan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz: Misol 4. 25 kishidan iborat jamoada ma'lum bir hududda ishlash uchun to'rttasini ajratish kerak. Buni necha usulda qilish mumkin? Yechim. Tanlangan to'rt kishining tartibi muhim emasligi sababli, buni yo'llar bilan qilish mumkin. Birinchi formula bo'yicha topamiz Bundan tashqari, muammolarni hal qilishda kombinatsiyalarning asosiy xususiyatlarini ifodalovchi quyidagi formulalar qo'llaniladi: (ta'rif bo'yicha va taxmin qilinadi); 1.2. Kombinator masalalarni yechish 1-topshiriq. Fakultetda 16 ta fan o‘rganiladi. Dushanba kuni siz 3 ta fanni jadvalga kiritishingiz kerak. Buni necha usulda qilish mumkin? Yechim. 16 ta elementdan uchtasini rejalashtirishning ko'plab usullari mavjud, chunki har birida 3 tadan 16 ta element mavjud. Vazifa 2. 15 ta ob'ektdan 10 tasi tanlanishi kerak. Buni necha usulda qilish mumkin? Vazifa 3. Musobaqada to'rtta jamoa ishtirok etdi. Ular o'rtasida o'rindiqlarni taqsimlashning nechta varianti mumkin? Masala 4. Agar 80 nafar askar va 3 nafar ofitser bo‘lsa, uchta askar va bir ofitserdan iborat patrulni necha xil usulda tuzish mumkin? Yechim. Patruldagi askar tanlanishi mumkin yo'llar, va ofitserlar yo'llari. Har qanday ofitser har bir askar jamoasi bilan borishi mumkinligi sababli, faqat yo'llar bor. 5-topshiriq. Ma'lum bo'lganligini toping. dan beri, biz olamiz Kombinatsiyaning ta'rifidan kelib chiqadiki, . Bu. . 1.3. Tasodifiy hodisa tushunchasi. Hodisa turlari. Hodisa ehtimoli Muayyan shartlar majmui ostida amalga oshirilgan bir necha xil natijalarga ega bo'lgan har qanday harakat, hodisa, kuzatish deyiladi. sinov.
Bu harakat yoki kuzatish natijasi deyiladi voqea
. Agar berilgan sharoitda hodisa ro'y berishi yoki sodir bo'lmasligi mumkin bo'lsa, u chaqiriladi tasodifiy
. Voqea albatta sodir bo'lishi kerak bo'lsa, u chaqiriladi haqiqiy
, va agar bu albatta sodir bo'lmasa, - imkonsiz.
Voqealar deyiladi mos kelmaydigan
agar ulardan faqat bittasi har safar paydo bo'lishi mumkin bo'lsa. Voqealar deyiladi qo'shma
agar berilgan shartlar ostida ushbu hodisalardan birining sodir bo'lishi bir xil sinovda ikkinchisining sodir bo'lishini istisno qilmasa. Voqealar deyiladi qarama-qarshi
, agar sinov shartlari ostida ular, uning yagona natijalari bo'lib, mos kelmasa. Voqealar odatda lotin alifbosining bosh harflari bilan belgilanadi: A B C D, : . A 1 , A 2 , A 3 , : , A n hodisalarning toʻliq tizimi - bir-biriga mos kelmaydigan hodisalar toʻplami boʻlib, ulardan kamida bittasining roʻy berishi berilgan test uchun majburiydir. Agar to'liq sistema ikkita mos kelmaydigan hodisadan iborat bo'lsa, unda bunday hodisalar qarama-qarshi deyiladi va A va bilan belgilanadi. Misol. Bir qutida 30 ta raqamlangan shar bor. Quyidagi hodisalardan qaysi biri mumkin emas, aniq, qarama-qarshi ekanligini aniqlang: raqamlangan to'pni oldi (A); juft sonli to'pni chizish (IN); toq sonli to'p chizilgan (BILAN); raqamsiz to'pni oldi (D). Ulardan qaysi biri to'liq guruhni tashkil qiladi? Yechim . A- muayyan hodisa; D- imkonsiz hodisa; In va BILAN- qarama-qarshi hodisalar. Voqealarning to'liq guruhi A Va D, V Va BILAN. Hodisa ehtimoli tasodifiy hodisaning yuzaga kelishining ob'ektiv imkoniyatining o'lchovi sifatida qaraladi. 1.4. Ehtimollikning klassik ta'rifi Voqea sodir bo'lishining ob'ektiv imkoniyati o'lchovining ifodasi bo'lgan son deyiladi. ehtimollik
bu hodisa va belgi bilan belgilanadi P(A). Ta'rif. Voqea ehtimoli A ma'lum bir hodisaning sodir bo'lishiga yordam beradigan m natijalar sonining nisbati A, raqamga n barcha natijalar (mos kelmaydigan, noyob va teng darajada mumkin), ya'ni. . Shuning uchun, hodisaning ehtimolini topish uchun, testning turli natijalarini ko'rib chiqqandan so'ng, barcha mumkin bo'lgan mos kelmaydigan natijalarni hisoblash kerak. n, m bizni qiziqtirgan natijalar sonini tanlang va nisbatni hisoblang m Kimga n. Ushbu ta'rifdan quyidagi xususiyatlar kelib chiqadi: Har qanday sinovning ehtimoli birdan oshmaydigan manfiy bo'lmagan raqamdir. Haqiqatan ham, kerakli hodisalarning m soni ichida yotadi. Ikkala qismga bo'lish n, olamiz 2. Muayyan hodisaning ehtimoli birga teng, chunki . 3. Imkonsiz hodisaning ehtimoli nolga teng, chunki . Muammo 1. Lotereyadagi 1000 ta chiptadan 200 tasi g'olib. Bitta chipta tasodifiy o'ynaladi. Ushbu chiptaning yutish ehtimoli qanday? Yechim. Turli xil natijalarning umumiy soni n=1000. G'oliblikni qo'llab-quvvatlovchi natijalar soni m=200. Formulaga ko'ra, biz olamiz Vazifa 2. 18 qismdan iborat partiyada 4 ta nuqsonli. 5 dona tasodifiy tanlanadi. Ushbu 5 qismdan ikkitasi nuqsonli bo'lish ehtimolini toping. Yechim. Barcha teng darajada mumkin bo'lgan mustaqil natijalar soni n 18 dan 5 gacha bo'lgan kombinatsiyalar soniga teng, ya'ni. Keling, A hodisasiga yordam beradigan m sonini hisoblaylik. Tasodifiy tanlangan 5 ta qism orasida 3 ta yuqori sifatli va 2 ta nuqsonli bo'lishi kerak. Mavjud 4 ta nuqsonli qismlardan ikkita nuqsonli qismni tanlash usullari soni 4 dan 2 gacha bo'lgan kombinatsiyalar soniga teng: 14 ta mavjud sifatli qismlardan uchta sifatli qismni tanlash usullari soni teng Sifatli qismlarning har qanday guruhi nuqsonli qismlarning har qanday guruhi bilan birlashtirilishi mumkin, shuning uchun kombinatsiyalarning umumiy soni m hisoblanadi A hodisasining kutilayotgan ehtimoli bu hodisani ma'qullaydigan m natijalar sonining barcha teng darajada mumkin bo'lgan mustaqil natijalarning n soniga nisbatiga teng: Cheklangan miqdordagi hodisalar yig'indisi - ularning kamida bittasining sodir bo'lishidan iborat hodisa. Ikki hodisaning yig'indisi A + B belgisi va yig'indisi bilan belgilanadi n hodisalar belgisi A 1 +A 2 + : +A n . Ehtimollarni qo'shish teoremasi. Ikki mos kelmaydigan hodisalar yig'indisining ehtimoli bu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng. Xulosa 1. Agar A 1 , A 2 , : , A n hodisasi toʻliq sistemani tashkil qilsa, bu hodisalarning ehtimolliklari yigʻindisi bir ga teng. Xulosa 2. Qarama-qarshi hodisalar ehtimoli yig'indisi va birga teng. Muammo 1. 100 ta lotereya chiptalari mavjud. Ma'lumki, 5 ta chipta 20 000 rubl, 10 - 15 000 rubl, 15 - 10 000 rubl, 25 - 2 000 rubl miqdorida yutuq oladi. va qolganlari uchun hech narsa. Xarid qilingan chiptaning kamida 10 000 rubl yutish ehtimolini toping. Yechim. A, B va C 20 000, 15 000 va 10 000 rublga teng mukofot sotib olingan chiptaga tushishidan iborat voqealar bo'lsin. chunki A, B va C hodisalar mos kelmaydi, demak Vazifa 2. Texnikumning sirtqi bo'limi matematikadan testlarni shaharlardan oladi A, B Va BILAN. Shahardan nazorat ishlarini olish ehtimoli A shahardan 0,6 ga teng IN- 0,1. Navbatdagi nazorat ishining shahardan kelishi ehtimolini toping BILAN.Repetitorlik
Ariza yuboring konsultatsiya olish imkoniyati haqida bilish uchun hozir mavzuni ko'rsating.Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika
lekin bu narsalar bizning tushunchalarimiz doirasiga kirmagani uchun.
Kozma Prutkov
, keyin siz uni qavslardan olishingiz mumkin
.
,
.
.
.
.
,
,
.
.
.
.