Geometriya jismlar va raqamlarning xususiyatlarini o'rganadi, ammo bunday ta'rif shunchalik kengki, deyarli ma'nosizdir. Shunday qilib, bu har qanday go'zallik tanlovining geometri sifatida hay'at a'zolarini ko'rib chiqishga imkon beradi, chunki u "jismlar va raqamlarning xususiyatlari" ni hukm qiladi, garchi tanalar va raqamlarni geometrdan boshqa narsa deb bilsa. Kimdir chiziq haqida u juda nafis yoki ifodali bo'lsa-da, u egri, ya'ni haqiqatan ham geometriyada o'rganilayotgan ob'ekt haqida gapirganda, bu matematikadan ko'ra ko'proq estetika sohasiga taalluqlidir.

Keling, geometriya nima ekanligini tushunishga harakat qilaylik va simmetriya tushunchasi yordamida uni aniqlaymiz. Simmetriya bo'yicha, rasmni o'zgarishsiz qoldiradigan bunday o'zgarishni tushunish odatiy holdir. Masalan, H harfi nosimmetrik tarzda 180 ° aylanishdir. Bu shuni anglatadiki, agar H harfi 180 ° aylantirilsa ("pastga" qo'ying), unda u H harfidan ajratib bo'lmaydigan shaklga o'tadi (albatta, H harfidagi kesma ustun o'rtada bo'lsa). Ushbu kitobning muqovasidagi "AHA" so'zida oyna yoki ikki tomonlama simmetriya mavjud: agar siz unga oynani o'ngga yoki chapga qo'ysangiz, so'zning oyna aksi asl nusxadan farq qilmaydi.

Geometriyaning har qanday qismini ma'lum simmetriya o'zgarishlari sharoitida o'zgarmaydigan raqamlarning xossalari to'g'risidagi fan deb ta'riflash mumkin. Masalan, samolyotda Evklid geometriyasi shakl tekislikda harakatlanayotganda, aylanib, burilib, bir tekis siqilib, cho'zilganda o'zgarmas (o'zgarmas) xususiyatlarni o'rganish bilan shug'ullanadi. Affine geometriyasi figurani "kesish" ga nisbatan o'zgarmas bo'lgan xususiyatlarni o'rganadi. Proektsion geometriya proektsiyasida invariant bo'lmagan xususiyatlarni o'rganadi. Shakl egiluvchan, egiluvchan va bardoshli materialdan yasalgan shaklning deformatsiyasiga o'xshash shaklni yirtmasdan va yopishtirmasdan o'zboshimchalik bilan kuchli buzilishlarni boshdan kechiradigan xususiyatlar bilan shug'ullanadi.

Garchi geometrik motivlar kitobimizning barcha boblarida mavjud bo'lsa-da, ushbu bobda biz hamma narsadan geometrik tomoni aniq ustunlikka ega bo'lgan vazifalarni to'pladik. Tanlovda, to'g'ri yondashuv (va "omad") yordamida sodda va aniq echimlarni topishga imkon beradigan vazifalarga ustunlik berildi. Birinchi vazifa - pishloqni kesish haqida, hatto matematikaning turli sohalarida "ta'sir doirasi" ning oddiy muammolarida ham o'zaro chambarchas bog'liqligini aniq ko'rsatib turibdi: buni planimetriya, stereometriya, kombinatorika va sonlar nazariyasida muammo sifatida ko'rib chiqish mumkin. Xuddi shu muammoda, sonli farqlarni hisoblash asoslarini aniqlash qiyin emas.

"Otlar boshqa sohada o'tlamoqda", bu juda muhim, topologik vazifa. Iplar va tugmalar usuli uni oddiy yopiq egri chiziqlardagi nuqtalar muammosiga qadar kamaytirishga imkon beradi. Muammoni hal qilish uchun yopiq egri shakli unchalik katta ahamiyatga ega emas - faqat egri chiziqning topologik xususiyatlari muhimdir. Nuqtalar aylanada joylashgan bo'lsa, biz masalaning echimini topamiz, ammo xuddi shu muvaffaqiyat bilan kvadrat yoki uchburchakning perimetrini tashkil etuvchi egri chiziqni olishimiz mumkin.

Quyidagi ikkita vazifa ("G'ayb qilichi" va "Qutbdagi g'alaba") bizni yana samolyotdan uch o'lchovli kosmik Evklid geometriyasiga olib chiqadi. Uchish marshrutlarini ko'rib chiqayotganda, ulardan biri tasodifan boshqa yo'ldagi mashhur vazifani - to'rtta toshbaqa muammosini eslaydi. Uning misolida biz ba'zan oddiy g'oyalar matematik tahlilning mislsiz murakkab usullaridan foydalanmaslikka yordam berishini ko'ramiz. Rensome-ning mohir tadqiqotchisi muammosi bizni yana samolyotga qaytaradi va Evklid geometriyasining kesmalar va bo'linishlar nazariyasi kabi bo'limlarini taqdim etadi. Erlarni ajratish bo'yicha vazifalar samolyotning kombinatorial geometriyasi deb ataladigan narsalarga tegishli. Miss Evklidning kubni kesish muammosi kosmosning kombinatorial geometriyasiga tegishli.

Halqali yo'lak uchun gilam muammosi va uning uch o'lchovli analogi - burg'ulash doirasi muammosi, ma'lum bir miqdordagi boshqa parametrlarning qiymatlariga qarab o'zgarishi haqiqatdan ham bitta qiymatni olishi mumkinligiga yaxshi misol bo'lishi mumkin. Berilgan uzunlikdagi silindrsimon kanal sferasida burg'ulashda doimiy kanal uzunligi bo'lgan sharning qolgan qismi sfera radiusiga yoki kanalning diametriga bog'liq emas deb kim taxmin qilgan edi? Birinchi marotaba bunday ajoyib doimiylik haqidagi teoremaga duch kelgan matematik o'z taajjubini izhor qiladi va deyarli aniq aytadi: "Chiroyli natija!"

Matematiklar teorema yoki formulani chiroyli deb nomlash nimani anglatishini aniq bilmaymiz. Ularning tushunishidagi go'zallik qandaydir tarzda kutilmagan soddalik bilan bog'liq, ammo matematik bayonning estetik jozibadorligi nimadan iboratligini tushuntirish qanchalik qiyin bo'lmasin, barcha matematiklar go'zal teoremani yoki nafis isbotni xuddi shunday qulaylik bilan chirkin ayoldan ajratib turishlari mumkin. Nafaqat ko'zni, balki to'g'ridan-to'g'ri mulohaza qilishni ham o'rganadigan narsalarni o'rganadigan geometriya go'zal teoremalar va dalillarga juda boydir. Siz ulardan ba'zilarini ushbu bobdan topasiz.

Pishloq boshini qanday ajratish kerak

"At Joe" restoranidagi taomlar juda ko'p narsani talab qiladi, ammo Jou-da pishloqni tanlash juda yaxshi.

Pishloqning silindrsimon boshi ko'plab qiziqarli chiqib ketish vazifalariga duch keladi. Faqatgina bitta tekis kesishdan so'ng, uni 2 xil qismga bo'lish oson.

Ikkita tekis qism sizga pishloq boshini 4 ta bir xil qismga va 3 ta to'g'ri qismni 6 ta teng qismga bo'lish imkonini beradi.

Bir marta, ofitsiant Rozi Jodan pishloqni 8 xil qismga bo'lishini so'radi.

Jou  Yaxshi, Rozi. Buni qilish unchalik qiyin emas. Men pishloqni to'rtta to'g'ri kesish bilan 8 ta bir xil qismga ajrataman.

Stolda pishloqga xizmat qilib, Rosie to'satdan Joe iqtisodiy jihatdan harakat qilishi mumkinligini angladi: boshni 8 xil qismga bo'lish uchun atigi 3 ta to'g'ri kesish kifoya.

Buni qanday qilish kerak?

Uch kesilganmi?

Rozi pishloqning silindrsimon boshi tekis shakl emas, balki uning markazidan o'tadigan gorizontal tekislik bo'ylab kesilishi mumkin bo'lgan tanadir degan fikr bilan chiqdi. Shaklda 1   pishloqni uchta teng bo'lakka 8 teng porsiyaga bo'lish qanday ko'rsatiladi. Ushbu qaror barcha uchta qisqartirish bir vaqtning o'zida amalga oshirilishini anglatadi. Agar kesishlar ketma-ket ketma-ket amalga oshirilsa va har bir kesishdan oldin pishloq bo'laklari eng qulay tarzda qayta joylashtirilsa, uchta kesish bilan pishloqni boshqacha kesish mumkin (chunki u Rozining qo'lidagi patnisda kesilgan edi): buning uchun ikkita bo'lakdan bittasi. , birinchi kesishdan keyin olingan, siz boshqasini kiyishingiz, yana kesishingiz kerak, "ikki qavatli" yarmidan birini olib, ikkinchisini kiyishingiz va uchinchi kesishingiz kerak. Uchinchi kesishdan keyin pishloq boshi 8 ta teng porsiyaga bo'linadi.

Rozining yechimi shunchalik sodda, u deyarli shikast etkazadigan bo'lib ko'rinadi va shu bilan u nazariy jihatdan sonli farqlarni hisoblash bilan bog'liq bo'lgan ko'plab muhim muammolarga yaxshi kirish vositasi bo'lib xizmat qilishi mumkin va ko'plab isbotlar matematik induktsiya yordamida amalga oshiriladi. Cheklangan farqlar sonli ketma-ketlikning umumiy shartlari uchun formulalar olishning kuchli vositasi bo'lib xizmat qiladi. Raqamlar ketma-ketligiga qiziqish tobora ortib bormoqda, bu kamida ikkita sabab bilan izohlanadi: birinchidan, sonli ketma-ketliklar ko'p sonli muammolarda topilganligi, ikkinchidan, kompyuterlar sonli ketma-ketlikda har qanday harakatlarni bajarishga imkon beradigan tezlik.

Rozie tomonidan ixtiro qilingan pishloqni kesishning birinchi usuli (parchalarni almashtirmasdan), pishloqning yuqori pog'onasi o'rtasidan tekis, dumaloq pirog kabi o'tadigan tekis kesish. Pishloqning ustki yuzasini o'rtada kesishgan to'g'ri chiziqlar bilan kesish orqali qanday sonlarni ketma-ket hosil qilish mumkinligini bilib olamiz. n  bir vaqtning o'zida olib boriladigan kesmalar sizga pishloqni ikkitadan ko'p bo'lishga imkon beradi n  dona).

Buni taxmin qilish mumkinmi 2 n  - bo'laklarning maksimal soni n  bir nuqtadan o'tadigan chiziqlar, oddiy yopiq egri bilan chegaralangan biron bir tekis figurani ajratish mumkinmi? Yo'q: konveks bo'lmagan shaklni qurish juda oson (masalan, sek. Kabi). 2 ) qaysi bir satrni ancha katta qismlarga bo'lish mumkin. Bitta to'g'ri chiziq bilan har qanday cheklangan sonli qismlarga bo'linishi mumkin bo'lgan figurani qurish mumkinmi? Agar shunday bo'lsa, unda bitta to'g'ri chiziqdan bitta to'g'ri keladigan qismni kesib tashlash uchun, rasmning perimetri qanday xususiyatlarga ega bo'lishi kerak?

Pirog yoki pishloqni kesish vazifasi, kesilgan chiziqlar bir nuqtada kesishmasa yanada qiziqarli bo'ladi. Ushbu kesish usuli bilan si \u003d 3 dan boshlab, boshlang'ich aylanish 2 dan oshib ketishini ko'rish oson n  qismlar (biz bu qismlar mos yoki teng bo'ladimi-yo'qmi bizni qiziqtirmaguncha). Shaklda 3   kesmalar soni bilan maksimal qismlarga qanday erishish mumkinligi ko'rsatilgan n1, 2, 3 va 4 ga teng (doira mos ravishda 2, 4, 7 va 11 qismlarga bo'linadi).

2, 4, 7 va 11 raqamlari formulada berilgan umumiy atama bilan ma'lum ketma-ketlikning kesimini hosil qiladi

qayerda n - kesmalar soni. N \u003d 0, 1, 2, ..., 9 ni qo'yib, biz ketma-ketlikning dastlabki o'nta a'zolarini olamiz: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46 .... Birinchi farqlar 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ..., ikkinchi farqlar 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, .... Ikkinchi farqlarning doimiyligi ushbu ketma-ketlikning umumiy atamasi kvadratik ekanligi haqidagi taxminimizni to'liq qo'llab-quvvatlaydi n.

Tushish haqida gaplashmoqdamiz, chunki cheksiz farqlar yordamida olingan formulalar "cheklangan" qo'llanilishi mumkin - cheksiz ketma-ketlik a'zolarining faqat bir qismini hosil qilish uchun. "Cheklangan farq kelib chiqishi" formulasining raqamli ketma-ketlikning barcha a'zolariga qo'llanishi istisnosiz har safar alohida isbotlanishi kerak. Dumaloq pirojnoe bo'lsa, bunday dalil haqiqatan ham mavjud. Matematik induktsiya usulidan foydalanishni topish qiyin emas.

Bu tabiatan oldindan aytib bo'lingan ushbu mulohazalardan so'ng, siz dadil bo'lmagan hududga kirish va u bo'ylab turli yo'nalishlarda o'nlab ajoyib marshrutlarni qurish uchun etarlicha qurollangansiz, ularning aksariyati noodatiy sonli ketma-ketliklar, formulalar va matematik induktsiyalarning isbotlariga olib keladi. Bo'lishingiz mumkin bo'lgan qismlarning maksimal miqdorini aniqlang:

1) ot pirogi n  to'g'ri;

2) to'p yoki silindr shaklida pishloq boshi n  tekis kesmalar;

3) pirog n  maxsus pichoq bilan amalga oshiriladigan dumaloq kesmalar;

4) uzuk shaklida pishirilgan tort (o'rtada yumaloq teshik bilan) n  to'g'ri;

5) simit (torus) n  tekis kesmalar.

Bu ishlarning barchasida kesmalar bir vaqtning o'zida amalga oshiriladi deb taxmin qilinadi. Agar kesiklarni ketma-ket o'tkazishga va har bir kesilganidan keyin hosil bo'lgan qismlarni siljitishga ruxsat berilsa, javoblar qanday o'zgaradi?

Ko'rinmas o'lchamlar

Shahar bog'i markazida o'yinlar uchun yumaloq o'yin maydonchasi joylashgan. Magistratura ushbu saytda olmos shaklidagi basseynni qurishga kirishdi.

Doris Rayt shahar meri me'mor taqdim etgan loyihalarni ko'rib chiqib, o'z fikrini bildirdi.

Mayor Rayt. Menga qizil plitkalar bilan qoplangan basseynning loyihasi yoqadi. Rombning har ikki tomonining uzunligi qancha?

Merning savoliga arxitektor Frank Loyd Rong javob berdi.

Janob Rong.  Endi taxmin qilaman. Masofa A  oldin B  5 m ga teng va masofa B  oldin C  - 4 m. Ushbu ma'lumotlardan siz tomonning uzunligini topishingiz mumkin Bd, masalan, uni Pifagor teoremasi bo'yicha hisoblang.

Mister Rong hurmatli missis Rayt unga qaraganida, hisoblay boshladi.

Mayor Rayt. Fikringiz bor! Hovuzning yon tomonining uzunligi taxminan 9 m, bu erda hisoblash uchun hech narsa yo'q.

Janob Rong.  Siz mutlaqo haqsiz!

Hokim va me'morga basseyn yonining uzunligini osongina topishga nima imkon berdi?

Diagonal va radius

Missis Rayt basseynning har ikki tomoni ma'lum to'rtburchaklar diagonaliga to'g'ri kelishini, boshqa diagonali esa o'yinlar uchun dumaloq maydonchaning radiusiga teng ekanligini payqadi. To'rtburchakning diagonallari tengdir. Shuning uchun hovuz yonining uzunligi dumaloq o'yin maydonchasining radiusiga teng. Va bu radius 5 + 4 \u003d 9 m bo'lganligi sababli, hovuzning har ikki tomonining uzunligi 9 m ni tashkil qiladi Pifagor teoremasi kerak emas edi.

Agar siz basseyn yonining uzunligini an'anaviyroq usulda hisoblab chiqishga harakat qilsangiz, missis Raytning barcha xayolotlarini yaxshiroq bilib olishingiz mumkin. Agar siz faqat Pifagor teoremasini va uchburchaklar o'xshashligini ishlatmoqchi bo'lsangiz, unda echim juda noqulay bo'lib chiqadi. Planimetriyadan ma'lum bo'lgan kesishgan akkordlar haqidagi teorema, kesishish nuqtasi kesishgan qismlarning uzunliklari mahsuloti, bu nuqtada kesishgan barcha akkordlar uchun bir xil bo'lgan, bu yechimni biroz qisqartirishga imkon beradi. Ushbu teoremadan foydalanib, siz to'g'ri burchakli uchburchakning balandligini (havzaning to'rtdan bir qismini) v56 ga teng deb hisoblaysiz. Keyin, Pifagor teoremasi bo'yicha, ikki oyoqni bilib, siz 9 m ga teng gipotenuzani topasiz.

Basseynning vazifasi, Rayt xonim tomonidan juda mohirona hal qilingan, Longfellow asarlaridan birida topilgan suv zambilining mashhur vazifasi bilan chambarchas bog'liq. Nilufar poyasi tik turganida, uning gullari 10 sm ko'l yuzasidan ko'tariladi. Agar nilufar yon tomonga tortilsa, dastani yirtilib ketishiga yo'l qo'ymaydi, u holda uning gullari suvni tik turgan joydan 21 sm masofada ushlaydi. Lily o'sadigan ko'lning chuqurligi qanday?

Longfellow muammosi sxemada ko'rsatilgan diagrammani chizish orqali osonlikcha hal qilinadi. 4 . Aslida, bu sxema arxitektor Rong tomonidan taqdim etilgan hovuz dizaynidan farq qilmaydi. Segment uzunligini aniqlash talab qilinadi x. Hovuzning yon uzunligi muammosi singari, zambaklar muammosi turli yo'llar bilan hal qilinishi mumkin. Ammo agar biz kesishgan akkord teoremasidan foydalansak, javob ayniqsa oson va tezdir.

Va bu erda basseyn haqida yana bir ajoyib vazifa bor, unga qarash qiyin, ammo agar siz uning ahamiyati nimada ekanligini aytsangiz osonlikcha hal qilinadi. Delfin doira hovuzining g'arbiy chekkasida joylashgan A, to'g'ri chiziqda 12 m suzadi va nuqtada hovuz chetiga qarshi "burun" qo'yadi B. Burilib, u to'g'ri yo'nalishda boshqa yo'nalishda 5 m suzadi va yana hovuz chetiga tegadi Cqarama-qarshi nuqtaga A. Agar delfin bir nuqtadan bo'lsa, uni bosib o'tishi kerak bo'lgan masofani bosib o'tish kerak edi A  o'ng tomonga suzdi C?

Delfin muammosi osongina va oddiygina aylana diametriga asoslangan har qanday yozilgan burchak to'g'ri chiziq ekanligi haqidagi teorema yordamida hal qilinadi va bu burchakka e'tibor bering. Abc  shunchaki burchak. O'ng uchburchak oyoqlari Abc  5 m va 12 m ga teng, shuning uchun gipotenuza 13 m.Bu muammolarning axloqiy jihatlari aniq: ko'p hollarda geometrik muammoni bema'ni ravishda shunchaki echish mumkin, agar biz Evklid geometriyasining tegishli teoremasini eslasak.

Otlar boshqa sohada o'tlaydilar

Shaxmat klubining yig'ilishida janob Bishop quyidagi vazifani taklif qildi.

Janob Bishop.  Eng kam miqdordagi harakatlarda qora va oq otlarning pozitsiyasini qanday o'zgartirish mumkin?

Klub a'zolaridan biri diagrammada ko'rsatilgandek dastlabki 2 ta harakatni amalga oshirdi. U oq ritsarlarni taxtaning yuqori burchagiga, qora rangni esa 24 ta harakatda tartibga solishga muvaffaq bo'ldi.

Klubning yana bir a'zosi janob Bishopning muammolarini 20 harakatda hal qilishga muvaffaq bo'ldi.

Ammo Fanny Fish paydo bo'lgunga qadar, hech kim 18 ta harakatdan kam vaqt ichida muammoni hal qila olmadi.

Miss Fish.  Fikringiz bor! Men 16 ta harakat bilan muammoni qanday hal qilishni bilaman va uni ozgina harakatlar bilan hal qilib bo'lmasligini isbotlay olaman.

Tushuntirishni davom ettirishdan oldin, Fanny har bir otning mumkin bo'lgan harakatlari chiziq segmentlari bilan tasvirlangan diagramma chizdi.

Miss Fish.  Tasavvur qiling-a, chiziq segmentlari iplardir va sakkizta hujayralar ularga boncuk singari bog'langan va ularni aylana bo'ylab joylashtirish mumkin.

Miss Fish.  Doskadagi har bir harakat aylanada juda aniq harakatga to'g'ri keladi. Otlarning holatini o'zgartirish uchun ularni aylana bo'ylab, bir yo'nalishda harakatlantirish kerak.

Janob Bishop.  Fanny, siz mutlaqo haqsiz. Yangi pozitsiyaga o'tish uchun 4 ta otdan har biri 4 ta harakatni bajarishi kerak. Shunday qilib, muammoni 16 harakatda hal qilish mumkin, va tejamkor echim mavjud emas.

Fanny oq ritsarlardan birini qizilga almashtirdi va shaxmat klubi a'zolaridan yangi vazifani so'radi: oq va qizil ritsarlarni eng kam sonli harakatlar bilan qanday almashtirish kerak?

Qanday qilib Fanny ushbu jumboqni taklif qilganda jilmaydi?

Shaxmat otlari va yulduz buyumlari

Fanny shaxmat masalasini hal qildi, uni izomorfik muammoga aylantirdi, bu oddiy (arzimas bo'lsa ham) echishga imkon berdi. Fanny tomonidan qo'yilgan vazifani xuddi shu usul bilan hal qilish mumkin. Otlar egallagan hujayralar iplarini birlashtirib va \u200b\u200bhosil bo'lgan "marjonlarni" aylanaga aylantirib, biz otlar iplarga quyidagi tartibda bog'langanligini ko'ramiz: qora, qora, qizil, oq. Fanny kulib qo'ydi, chunki u qizil va oq otlarni qayta tartiblashning iloji yo'qligini tushundi: ular bir-birlarini xuddi shu tartibda kuzatadilar, chunki biron bir ot boshqa otdan sakrab tusholmaydi, agar ular ikkalasi ham aylana (biron-bir yo'nalishda) harakat qilsa va quvib o'tish taqiqlanadi. . Nega tushundingiz?

Soat yo'nalishi bo'yicha aylana bo'ylab harakatlanayotganda oq ot har doim qizildan keyin darhol yuradi. Agar oq va qizil otlar bortda egallagan maydonlarini boshidanoq almashtirsa, tartib bekor qilinadi va qizil ot darhol oq otning orqasida aylana bo'ylab harakatlanadi. Bunday qayta qurish mumkin emasligi aniq. Darhaqiqat, otlardan biri (oq yoki qizil) ikkita qora otning ustiga sakrab tushganini anglatardi. Mini-shaxmat muammosini to'rtta nuqtani oddiy yopiq egri chizig'ida joylashgan joyni topologik muammosiga qisqartirgan holda, biz asl masalaning echimi yo'qligini shunchaki isbotlashga muvaffaq bo'ldik. Boshqa shaklda "mavjud bo'lmaganlik" to'g'risida dalillarni topish juda qiyin bo'ladi. Buni sinab ko'ring va o'zingiz ko'rasiz.

Sizga shaxmat otlarini tartibga solish vazifasi yoqdimi? Mana yana bitta shunday vazifa, oldingisidan ham qiyinroq. Shakl 3da ko'rsatilgan shaxmat taxtasining holatini ko'rib chiqing. 5 . Ilgari bo'lgani kabi, uchta qora va uchta oq otni almashtirish kerak, shunda oq otlar yuqori gorizontal holatda bo'ladi, va qora otlar pastki gorizontalni egallab, oz sonli harakatlarni tartibga keltiradi.

Bunday holda, sek. 6 , izomorfik grafik ancha murakkab. Ushbu grafik otlarning barcha mumkin bo'lgan harakatlarini ko'rsatadigan diagrammadir.Bizning grafikning uchlari tugmachalar yoki boncuklar va qirralari iplar deb hisoblasak, oldingi vazifadagidek uni aylana shaklida kengaytirish imkonsiz deb topdik, ammo bizning grafikamizdan. Shaklda ko'rsatilgandek biz iplar va tugmachalarni joylashtiramiz. 7 . Ushbu rasmdagi raqamlar, rasmdagi uyali raqamlarga mos keladi. 4   va 5 .

Ushbu grafikdagi shaxmat otlarini qayta tartibga solish muammosi asl muammoga izomorf ekanligi aniq, ammo uni hal qilish ancha oson. 18 ta harakatda minimal echimni topa olasizmi?

Ip va tugma usuli bitta eski o'yinni tahlil qilishga imkon beradi. Uning uchun bizga maxsus "taxta" kerak - anjirda ko'rsatilgan yulduz grafigi. 8 , va etti tanga yoki kichik chiplar.

O'yin quyidagicha. Grafikaning istalgan uchiga tanga qo'yib, uni qora pollyn chizig'i bo'ylab (grafikning chetlari) boshqa istalgan ustunga o'tkazishingiz mumkin. Harakat tugagandan so'ng, tanga tegib, uni boshqa uchiga olib borish taqiqlanadi.

Keyin siz ikkinchi tangani grafikning ochilmagan uchiga qo'yasiz va uni chetlari bo'ylab boshqa ochilmagan tepaga olib borasiz. Shunday qilib, barcha ettita tanga grafikning yuqori qismida o'z o'rnini egallaguncha harakat qilishni davom ettirasiz.

Ko'p o'tmay, agar siz puxta o'ylangan rejaga muvofiq harakat qilsangiz, barcha ettita tangalarni ajratib olishingiz mumkinligini bilib olasiz: ozgina beparvolik o'yinda muvaffaqiyatga erishishga imkon bermaydigan pozitsiyaga olib keladi. Muvaffaqiyat doimo siz bilan birga bo'lishi uchun tangalarni tartibga solishda va ko'chirishda qanday qoidalarga amal qilish kerakligini ayta olasizmi?

Yulduzli grafik shaxmat otlarini qayta tashkil etishning dastlabki ikkita muammosidagi grafiklar singari to'liq "ochilishi" mumkin, ularni aylana shaklida aylantirish mumkin. Bu amalga oshirilgandan so'ng, ettita tanga aylanaga osib qo'yilishi va qanday harakatlanishini tahlil qilishi mumkin. Ushbu vazifani engishning ko'plab usullari mavjud. G'alaba qozonishning eng oddiy strategiyalaridan biri bu birinchi tanga bilan har qanday harakatni amalga oshirish va har doim quyidagi barcha tangalarni o'rnatish va ko'chirishdir, shunda harakat oxirida ular oldingi tanga o'zining dastlabki holatida egallagan tepani egallaydi.

Do'stlaringizga ushbu o'yinni o'ynashni taklif qiling. Ulardan faqat ozgina qismi, agar siz qanday qilib tezda qanday o'ynashni ularga tezda ko'rsatsangiz ham, barcha etti tangalarni tartibga solishga qodir bo'ladi.

Misli ko'rilmagan qilich

Ushbu rasmni diqqat bilan ko'rib chiqing. Rassom nimani noto'g'ri chizdi?

Ritsar qo'lidagi qilichga qarang: uni qoplash mumkin emas.

Ushbu ikkita qilich (agar ular po'stlog'i bo'lmasa) tegishli shaklga o'ralishi mumkin. Qilich va uning ikki baravar qichqiri uchun boshqa biron bir shaklni taklif qila olasizmi?

Kvartiradan fazoviy egri chiziqlarga o'tish g'oyasini oldingizmi? Aniqlanishicha, ikkita an'anaviy qilichdan yasalgan qilichdan tashqari, faqat spiral shaklida yasalgan qilichlar bir xil xususiyatga ega.

O'zgarmas egri

Spiral zamonaviy fanda, ayniqsa biologiya va zarrachalar fizikasida muhim rol o'ynaydi. DNK molekulalari spiral shaklida bo'ladi. Bir va ikki o'lchovli amakivachchalardan farqli o'laroq - to'g'ri chiziqlar va doiralar - spiral "burish" ga ega, ya'ni u o'ng va chap bo'lishi mumkin. To'g'ri chiziq va aylana ularning ko'zgu aks ettirishidan ajralib turmaydi, ammo aylanani uning ko'zgu aks ettirishidan ajratish unchalik qiyin ish emas. Ko'zoynak ichida, aylanada, ko'rinayotgan oynalar bo'yicha Elisning so'zlariga ko'ra (Lyuis Kerol) "boshqa yo'l bilan ketmoqda".

Tabiatda va kundalik hayotda spiral chiziqlarning ko'plab misollari mavjud. Spiral an'anaviy ravishda sizdan uzoqlashganda soat yo'nalishi bo'yicha burilsa, to'g'ri deb hisoblanadi. Vintlardek, murvat va yong'oqlar odatda to'g'ri kesilgan. Spiral zinapoyalar, qand lavlagi, buloqlar, arqonlar va kabellardagi tolalar o'ng va chapga burilib ketishi mumkin.

Tabiatda uchraydigan spiral chiziqlarga ko'plab hayvonlarning shoxlari, dengiz mollyuskalarining qobiqlari, bahaybat narhal tishi, odam tomirlari va kindik ichakchalari kiradi. O'simliklar dunyosida, spiral, jarohatlaydi, kurtaklar, antennalar, urug'lar, gullar, konuslar, barglar va hokazo. Daraxtning tepasiga ko'tarilish yoki undan pastga tushishda, sincap spiralni tasvirlaydi. Botlar g'ordan chiqib ketib, aylanma chiziqlar bo'ylab harakatlanishadi. Konusga o'ralgan vertikal chiziqlar, bo'ron yoki to'fon kabi atmosfera hodisalarida osongina aniqlanishi mumkin. Lavaboda suv drenajlanishi ham spiral chiziqlardan to'qilgan huni ichiga aylanadi. M.Gardnerning "Bu o'ng, chap dunyo" kitobida siz aylanma chiziqlarning boshqa ko'plab misollarini topasiz.

Oddiy aylanish - bu generatorlarga doimiy burchak ostida dumaloq tsilindrda egri chiziq (generatorlar silindr yuzasida o'z o'qiga parallel bo'lgan tekis chiziqlar ekanligini eslang). Ruxsat bering? - spiral silindrning generatorlarini kesishadigan burchak. Qachon? \u003d 0 ° spiral, ko'rinishi oson, to'g'ri chiziqqa aylanadi, lekin? \u003d 90 ° - aylanada.

Agar spiralning parametrik tenglamalarini yozsak va ularga kiradigan burchakni o'lchasak, analitik ravishda buni tekshirish mumkin? 0 dan 90 ° gacha. To'g'ri chiziq ham, aylana ham keng tarqalgan fazoviy egri chiziq deb nomlanadi. Doimiy egrilik - bu doimiy egrilikning yagona fazoviy egri. Bu nima uchun iskala qilichlarini faqat oddiy aylanish shaklida (bir oz g'ayrioddiy ko'rinadigan) va uning ikkita cheklovchi holati - to'g'ri chiziq va aylana shaklida qilish mumkinligini tushuntiradi.

O'z o'qiga perpendikulyar bo'lgan tekislikka vertikal chiziqning proektsiyasi aylana shakliga ega. Spiralni eksa bilan parallel bo'lgan tekislikda proektsiyalash orqali biz sinus to'lqiniga ega bo'lamiz. Agar egri chiziqning parametrik tenglamalaridan yana foydalansak, bu osonlikcha tekshirilishi mumkin. Sinusoidning ko'plab xususiyatlarini uning yaqin qarindoshi - spiral o'rganishi mumkin.

Shu munosabat bilan biz bitta kulgili hikoya-topshiriqni aytmoqchimiz (to'g'ri yondoshib) juda sodda echim. Lift 100 metr balandlikdagi silindrsimon minora ichida ishlaydi. Minora tashqarisida vertikal bilan doimiy burchak hosil qiladigan spiral narvon bormi? \u003d 60 °. Minoraning diametri 13 m.

Bir marta janob va missis Pizza liftni minora tepasida joylashgan kuzatuv xonasiga olib borishdi. Ularning o'g'li Pomidor Pizza piyoda yuqoriga borishni tanladi. Kuzatuv maydoniga kelganida uning tashqi ko'rinishi unchalik yaxshi emas edi.

Siz charchaganingiz ajablanarli emas, o'g'lim, - dedi janob Pitsa. - Oxir-oqibat, siz bizdan to'rt marta ko'proq va piyoda borishingiz kerak edi.

- Siz yanglishyapsiz, dadam, - dedi Tom. - Men faqat bordim ikki marta  sayohat qilganingizdan ko'ra ko'proq yo'l.

Kim haq: Tommi yoki otasi?

Ba'zi odamlar spiral narvon uzunligini hisoblash uchun minora diametrini bilishingiz kerak deb o'ylashadi. Aslida, minora diametri haqidagi ma'lumot mutlaqo ortiqcha!

Haqiqat shundaki, spiral narvon o'tkir burchak 30 ° va balandligi 100 m bo'lgan o'ng burchakli uchburchakning gipotenuzasiga joylashtirilishi mumkin va bunday uchburchakning gipotenuzasi ikki baravar katta (oyoq 30 ° burchakka qarama-qarshi), shuning uchun Tom to'g'ri edi.

Buni karton naychasini ochish orqali tekshirishingiz mumkin. Ehtimol, tajribaning natijasi sizni biroz hayratda qoldiradi: siz tikuvning uzunligi (spiral, naycha atrofiga o'ralgan holda) to'g'ri uchburchak burilgan silindrning diametriga bog'liq emasligini ko'rasiz.

Qutbda tikish

"Bet Bet" laqabli taniqli Dan o'yinchisi o'z kasbida uchuvchi do'sti Dik bilan barda o'tirar edi.

Dan Dik, men siz oddiy muammoni hal qila olmaydigan dollarga pul tikaman. Samolyot janubga, keyin 100 km sharqqa va 100 km shimolga qarab 100 km parvoz qiladi, shundan so'ng u boshlang'ich nuqtada. U qayerdan uchib ketdi?

Dik  Men Deni tikaman. Sizning vazifangiz allaqachon ma'lum bo'lgan. Samolyot Shimoliy qutbdan uchib o'tdi.

Dan  To'g'ri. Dollarni ushlab turing. Yana bir dollarga pul tikaman, siz hech qachon samolyot qayerdan uchishi mumkinligini taxmin qilolmaysiz.

Dik xayoldan adashib qoldi.

Dik  Shimoliy qutbdan boshqa hech qanday ma'no yo'q va u bo'lishi mumkin emas, men buni isbotlashga majburman. Aytaylik, samolyot Shimoliy qutb va ekvator o'rtasida joylashgan nuqtadan uchib ketdi.

Dik  Bu holda, marshrutning so'nggi nuqtasi avvalgisiga to'g'ri kelmasligi aniq. Agar samolyot ekvatorda joylashgan nuqtadan tushsa, u holda marshrutning so'nggi nuqtasi boshlang'ich nuqtadan taxminan 100 km.

Dik  Agar samolyot janubiy yarim sharda joylashgan nuqtadan uchadigan bo'lsa, u holda oxirgi nuqtasi boshlang'ich nuqtadan 100 km uzoqroq bo'ladi.

Dan  Ehtimol, samolyot Shimoliy qutbdan boshqa hech qaerdan ucha olmasligi uchun 2 dollarga pul tikmoqchimisiz?

Dik tikish va yutqazish. Nima uchun?

Faraz qiling, samolyot janubiy qutbdan 116 km masofada joylashgan A parallel A nuqtadan boshlandi va 100 km janubga parvoz qildi.

Sharqdan 100 km uzoqlikda uchib, u Janubiy qutb atrofida inqilobni yakunlaydi. 100 km shimolga uchib, u albatta boshlang'ich nuqtasiga qaytadi.

Dik  Siz haqsiz, mana sizning 2 dollaringiz.

Dan  Men yana bir dollarga pul tikaman, sizningcha, men dunyoning boshqa joylarini ko'rsatolmayman, u erdan uchib, birinchi 100 km janubga, keyin sharqqa 100 km va shimolga 100 km masofada uchib ketaman, samolyot boshlang'ich nuqtasiga qaytadi. "Boshqa joylar" deganda A tomonga parallel bo'lmagan va Shimoliy qutbga to'g'ri kelmaydigan fikrlarni nazarda tutaman.

Dik  Keyin men 50 dollar qo'ydim, shunda dunyoda bunday joylar yo'q.

Bechora Dik yana yutqazdi. U qanday muhim fikrni esdan chiqardi?

Qayerdan uchish kerak?

Ikkinchi g'alabani yakunlab, Dik juda muhim vaziyatni esdan chiqarib qo'ydi: samolyot uchadigan joyni janubiy qutbga shunchalik yaqin tanlab olish kerakki, u 100 km sharqdan uchib o'tib, qutb atrofida birorta ham aylanishni tasvirlamaydi, oldingi echimdagi kabi, lekin ikkitasini. to'liq aylanish. Shunday qilib, yangi parallel paydo bo'ladi, uning barcha nuqtalari asl muammoning echimi sifatida xizmat qiladi. Xuddi shunday samolyot kichikroq doiraning istalgan nuqtasidan uchib chiqib, sharqqa qarab uch, to'rt va hokazo qutb atrofida aylanishi mumkin. Umuman ijobiy bo'lganlar uchun n siz mos keladigan paralelni belgilashingiz mumkin, istalgan tomondan sharqqa qarab, samolyot qayerda n  qutb atrofidagi inqiloblar. Shunday qilib, samolyot uchishi mumkin bo'lgan nuqtalar qutbga bir-biriga tortilgan cheksiz ko'p parallellarni to'ldiradi,

Va bu erda sohadagi ajoyib egri bilan bog'liq bo'lgan yana bir navigatsion vazifa - loxodrom yoki doimiy yo'nalish chizig'i. Samolyot ekvatorda joylashgan nuqtadan shimoli-sharqqa qarab uchadi. Yoqilg'i zaxirasi cheksiz deb hisoblasa, uning reysi qaerda tugaydi? Yo'nalish qancha davom etadi va u nimaga o'xshaydi?

Siz parvoz yo'nalishi barcha meridianlarni bir xil burchak ostida kesib o'tgan va Shimoliy qutbda tugaydigan spiral shaklida bo'lganiga hayron bo'lishingiz mumkin. Shimoliy qutb tomon siljigan va qutb atrofida cheksiz ko'p burilishlarni tasvirlashga muvaffaq bo'lgan, aylana shaklida o'ralgan bu egri chiziqni ko'rib chiqish to'g'ri bo'ladi. Agar samolyot an'anaviy ravishda nuqta sifatida olinadigan bo'lsa, u holda marshrut, qutb atrofida cheksiz ko'p inqiloblarni amalga oshirsa ham, hisoblab chiqilishi mumkin bo'lgan cheklangan uzunlikka ega. Shu sababli parvozda doimiy tezlikni saqlab, samolyot Shimoliy qutbga belgilangan vaqt ichida etib boradi.

Yassi xaritaga qo'llanganda, loksodromning shakli kartografik proektsiyani tanlashga qarab buziladi. Dunyo xaritasidan ma'lum bo'lgan Merkator proektsiyasida loxodrom to'g'ri yo'lga tushadi. Shu sababli, Mercator proektsiyasi navigatsiya muammolarini hal qilishda juda keng qo'llaniladi. Agar kema yoki samolyot doimiy yo'nalishda bo'lsa, uni xaritada chizish uchun to'g'ri chiziq chizish kifoya qiladi.

Shimoliy qutbdan uchib, janubi-g'arbiy tomon yo'l olgan samolyot nima bo'ladi? Ushbu vazifa oldingisining teskari tomoni. Parvoz avvalgidek loxodromda amalga oshiriladi, ammo biz safar oxirida samolyot qayerga qo'nishini aniq ayta olmaymiz. Buni soatni burish orqali osonlikcha tekshirish mumkin: samolyot ekvatorda qaerda bo'lishidan qat'i nazar, samolyot uchib, orqaga qarab harakatlanadi, u Shimoliy qutbda bo'ladi. Agar samolyot ekvatorga etib kelib, u bilan o'tsa va o'sha yo'nalishda uchsa, u holda loksodrom Janubiy qutbga tortiladi.

Qutbga tegib turgan tekislikka proektsiyalashda (va ekvator tekisligiga parallel ravishda) loksodrom teng burchakli yoki logarifmik spiralga o'tadi. Bu spiral radius vektorini doimiy burchak ostida kesib o'tadi.

To'rt xato muammosi ko'ngilochar matematika xazinasiga kiritilgan. Bu, shuningdek, marshrutni qurish va logarifmik spiral bilan bog'liq, ammo zerikarli hisob-kitoblarga ehtiyojni bartaraf qilib, kutilmagan holda oddiy echimga imkon beradi. Siz u bilan Pitsa oilasi va ularning sevimlilari - to'rtta toshbaqa haqida qisqa hikoyani o'qib bilib olasiz.

Tom Pizza, kaplumbağalarning murabbiyi va badiiy rahbari, uning uy hayvonlariga Abner ( A) har doim Berta bilan Berta o'rtasida emaklashar edi ( B) - Charlzga, Charlzga ( C) - Delilaga ( D) va Delila - Abnerga. Bir marta u toshbaqalarni kvadrat xonaning burchagiga qo'ydi, shunda ular maydonning ustki qismini hosil qildilar Abcd, sekundomerni yoqdi va nima bo'lishini kuzatishni boshladi.

Qiziq, o'g'lim, - dedi janob Pizza. - Har bir kaplumbağa to'g'ridan-to'g'ri qo'shniga o'ng tomonda emaklanadi. Barcha toshbaqalar bir xil tezlikda harakat qilishadi va shuning uchun har qanday vaqtda har qanday vaqtda ma'lum bir kvadratning uchida joylashgan (rasm. 9 ).

Va bu maydon doimiy ravishda aylanmoqda va kamaymoqda ”, - deya qo'shimcha qildi Tom. - Qarang! Ko'ryapsizmi? Toshbaqalar markazda birlashtirildi!

Tasavvur qiling, har bir toshbaqa doimiy ravishda 1 sm / s tezlikda harakatlanadi va ular joylashgan xonaning yon tomoni 3 m bo'lgan kvadrat shaklga ega bo'ladi deylik. (Biz o'zboshimchalik bilan har bir toshbaqani nuqta sifatida olamiz.)

Janob Pizza toshbaqa trayektoriyasi bo'ylab muammoni hal qilishga urinib ko'rdi va cho'ntagidan so'nggi modelning dasturlashtiriladigan kalkulyatorini chiqarib yubordi, xonim Pitsa:

Yuqori matematikaga ehtiyoj yo'q, Pepperone! Vazifa juda oson hal qilindi! Kaplumbağa 5 daqiqadan so'ng xonaning markazida joylashgan.

Pizza xonim qanday g'oyani o'ylab topdi?

Maydonning ikkita qo'shni tepasida joylashgan ikkita toshbaqani ko'rib chiqaylik, masalan Abner va Bertu. Har safar Berta to'g'ri burchak ostida Abner tomon yurib boradi, chunki Abner har doim Berta tomon sirpadi, Berta esa har doim Charlzga suyanadi. Shuning uchun kaplumbağalar har doim maydonning tepasida. Berta hech qachon Abnerga sirg'almaydi va undan uzoqlashmaydi, shuning uchun uning harakati ularni ajratadigan masofani ko'paytirmaydi yoki kamaytirmaydi va vaqtni hisoblashda harakatni e'tiborsiz qoldirish mumkin. Vaziyat shundaki, Berta xonaning burchagida qoldi va Abner devor bo'ylab suzdi.

Bu muammoni hal qilishning kalitidir. Abnerning egri yo'li boshlang'ich maydonning yon tomoniga to'g'ri kelishi kerak va bu tomon 300 sm bo'lganligi va Abner 1 sm / s tezlikda aylanib yurgani uchun u 300 sekundda yoki 5 daqiqada Berta tomon sudraladi. Boshqa barcha toshbaqalar haqida ham xuddi shunday deyish mumkin. Shuning uchun, barcha kaplumbağalar 5 daqiqadan so'ng xonaning markazida joylashgan.

Mikrokalkulyator yordamida siz aylanadigan va bir vaqtning o'zida kontraktatsiya qilingan kvadratning uchlari bilan tavsiflangan kaplumbağalarning traektoriyalarini qurishingiz mumkin, agar siz vaqtincha vertikallarning ketma-ket pozitsiyalarini diagrammaga qo'ysangiz. Bunday hisob-kitoblarning natijasi sek. 10 .

Muammoni boshlang'ich holatda nuqta har qanday oddiy ko'pburchakning uchida joylashgan bo'lsa, umumlashtira olasizmi? Teng tomonli uchburchak bilan boshlang, so'ngra oddiy beshburchakka o'ting va hokazo. Asl ko'pburchak tomonning ma'lum uzunligidan yo'l uzunligini hisoblash imkonini beradigan umumiy formulani ko'rsata olasizmi? Favqulodda vaziyatda cheksiz ko'p nuqtalar (kaplumbağalar) qo'shnilariga o'ngga (yoki chapga) va ko'pburchakning uchlariga cheksiz tomonlari bilan qarab chiqa boshlaganda nima bo'ladi? Ular hech qachon uchrashishadimi? Keling, asl ko'pburchak tartibsizlik deb faraz qilaylik. Masalan, to'rtta kaplumbağa boshlang'ich pozitsiyasini kvadrat xonadan ko'ra to'rtburchaklar uchida joylashgan bo'lsa nima bo'ladi?

Aytaylik, Tom Pizza kaplumbağalari xona markazidagi yig'ilishdan keyin aylanadi va ularning har biri qo'shnidan chapga to'g'ri chiziqda harakatlanadimi? Toshbaqalar albatta xonaning burchaklariga kirib ketadi deb aytish mumkinmi?

Gugurtlarni tejash

Bir marta Mabel prof ko'rsatishga qaror qildi. Gugurt jumboqi.

Mabel.  Siz bir xil o'lchamdagi to'rtta kvadratni qurishingiz kerak, faqat 2 ta gugurtni harakatlantiring. Gugurtni sindirish, ularni ikkitadan yoki chorrahada bo'lishiga yo'l qo'yilmaydi.

Prof. Qibble  Sizning jumboqingiz, aziz Mabel, uzoq vaqtdan beri ma'lum. Buni hal qilish uchun siz ushbu 2 ta gugurtni ko'chirishingiz kerak.

Keyin prof. Quibble 4 ta o'yinni qoldirdi, shundan so'ng 12 ta o'yin jadvalda qoldi.

Prof. Qibble  Ushbu 12 ta matchning 6 ta kvadrat kvadratini yasashga harakat qiling (tomoni matchning uzunligiga teng).

Mabel qancha kurashmasin, prof jumboqini hal qiling. Qiyinchilik u muvaffaqiyatsiz tugadi. Mabelga yordam bera olasizmi?

O'yinlar

Mabel bitta muhim haqiqatni e'tiborsiz qoldirdi: vazifani belgilash, prof. Quibble gugurtlar samolyotda qolishi kerakligini aytmadi. Agar biz samolyotni uch o'lchovli bo'shliqda qoldirsak, unda 12 ta gugurtdan kubning 12 qirrasini yasashingiz mumkin, siz bilganingizdek, 6 kvadrat yuzga ega. Gugurt jumboqini hal qilishning kaliti prof. Quibble, Rosie-ga pishloqning boshini kesib tashlashga imkon bergan fikrga o'xshaydi.

Xuddi shu muammoning yana bir varianti yaxshiroq ma'lum, unda 4 ta teng yonli uchburchak 6 ta gugurtdan iborat bo'lishi kerak. Yechim - 6 ta gugurtdan oddiy tetraedrning ramkasini qurish.

Va yana 6 ta "mos" tezkor vazifalar. Siz ularni hal qila olasizmi?

1. Iloji boricha kamroq gugurtni harakatlantirgandan so'ng, kvadrat qiling.

2. Qolgan gugurtlar boshlang'ich konfiguratsiyada 8 ta uchburchaklar kabi bir xil o'lchamdagi 4 ta tengburchak uchburchaklar hosil qilishlari uchun imkon qadar kamroq gugurtlarni olib tashlang va bo'sh uchlari hech qaerda qolmaydi.

3. Iloji boricha kamroq gugurtni harakatga keltirgandan so'ng, baliqlarni teskari yo'nalishda suzishga harakat qiling.

4. Iloji boricha kamroq gugurtni harakatga keltirgandan so'ng, cho'chqachani teskari yo'nalishda aylantiring.

5. Iloji boricha kamroq gugurtni o'tkazgandan so'ng, gilosni stakandan olib tashlang. "Bo'sh" stakan uning poyasida turishi shart emas: u yon tomonida yotishi mumkin. Gilosni ko'chirish taqiqlanadi.

6. Iloji boricha kamroq gugurt bilan mexnat stakanidan zaytunni oling. Oldingi vazifada bo'lgani kabi, bo'sh stakan turishi shart emas. Zaytunni ko'chirish taqiqlanadi.

Ushbu qiziqarli jumboqlarning echimini joylashtirish orqali biz sizning zavqingizni buzibgina qolmaymiz. Sizga shuni ma'lum qilamizki, birinchi muammoni 1 ta o'yinni, ikkinchisini - 4 ta o'yinni, uchinchi, to'rtinchi va beshinchi o'rinlarni mos ravishda 3, 2 va 2 ta gugurtlarni ko'chirish orqali va oltinchisini bitta o'yinni o'tkazib yuborish orqali hal qilish mumkin.

Qiyin bo'limlar

To'lov - bu g'alati qismlarni mos keladigan qismlarga ajratishga ixtisoslashgan er tuzuvchi.

Bir marta undan bunday saytni 4 xil qismga bo'lishini so'rashdi. Buni qanday qilish kerak?

Rasmda ko'rsatilgandek, siz uchastkani yagona yo'l bilan ajratishingiz mumkin.

Keyingi safar, to'lovni to'rtta mos keladigan qismga isosceles trapezoidining shakliga ega bo'lgan qismga bo'lish kerak edi. Buni qilish oson emas edi.

Biroq, To'lov qiyinchiliklarga dosh bermadi va noyob echimni topishga muvaffaq bo'ldi.

Rance kabi mutaxassis uchun kvadrat qismini 4 ta mos keladigan qismga bo'lish juda qiziqarli edi, lekin undan kvadrat qismini 5 ta bo'lakka bo'lish so'ralganda, u qoqilib ketdi.

To'lov.  Buni qanday qilish kerak? Axir, biron bir echim bo'lishi kerak ... Fikr bor! Hammasi tushunarli!

Qanday qilib To'lov kvadrat maydonni ajratishga qaror qildi?

To'lov.  Mening usulim kulgili darajada sodda va sizga kvadratni har qanday sonli qismlarga bo'lish imkonini beradi.

Kesish vazifalari

Agar dam olishni istasangiz, do'stlaringizni to'lovning uchta vazifasini hal qilishga taklif qiling. Dastlabki ikkita vazifada, burchak va teng qirrali trapezoid shaklida bo'limlarni bir xil 4 qismga bo'lish mumkin - asl qismning qisqartirilgan nusxalari. Ushbu qarorlar bilvosita kvadratni g'alati shaklning 5 qismiga bo'lish kerakligini anglatadi, chunki uni 5 kvadratga bo'lish mumkin emas.

To'lov taklif qilgan oddiy echim juda ozchilikni yodga oladi. Kvadratni faqatgina to'lov amalga oshirilgan tarzda 5 ta teng qismga bo'lish mumkinligi isbotlanishi mumkin va boshqa hech narsa yo'q.

Agar sizning do'stingiz uchinchi vazifani "egallab olsa", uni oldingisiga yaqin bo'lgan to'rtinchi vazifani qo'yib, ikkinchi marta ushlay olasiz. Avvalo unga rasmda maydon qanday tasvirlanganligini ko'rsating. 11 , 4 ta mos keladigan qismga bo'lish mumkin va bu maydonni 3 ta bo'lak qismga bo'lish mumkinmi, deb so'rang.

Bir necha urinishlardan so'ng, sizning do'stingiz o'zini mag'lubiyatni tan oladi va uning g'ayrioddiy vazifasi borligiga amin bo'ladi. U bu muammoning Raid tomonidan taklif qilingan maydonni 5 ta tegishli qismga bo'linishiga o'xshash kutilmagan tarzda oddiy echim qabul qilinishini bilganida, nima ajablantiradi. Ushbu eritma sek. 12 . Kvadrat holatida bo'lgani kabi, usul ham maydonni har qanday sonli qismlarga ajratishga imkon beradi.

Yer tuzuvchi Rensom va restavrator Djo hal qiladigan vazifalar ko'ngilochar matematikaning eng qiziqarli bo'limlaridan biriga tegishli bo'lib, ba'zida bu bo'limlar nazariyasi deb ataladi. Ularning kutilmagan qarorlari samolyotda va kosmosda geometriyaning ko'plab amaliy muammolarini qanday hal qilish kerakligini aytishi mumkin. To'lovning dastlabki ikkita vazifasi alohida qiziqish uyg'otadi, chunki ularning har birida qism aslini takrorlab, kichik qismlarga bo'linadi. rap plitkalari.

Shaklda 13 yana bir nechta rap plitalari ko'rsatilgan. Siz ularning har birini asl shaklning shaklini takrorlaydigan bir nechta qismlarga ajratishingiz mumkinmi? Biz har qanday shakldagi rep plitalarini cheksiz etkazib beramiz, shundan biz samolyotning davriy bo'lmagan qismini yaratamiz. Masalan, L shaklidagi figurani ko'rib chiqaylik, uning birinchi muammosi to'lov orqali hal qilingan. To'rtta bu kabi raqamlar aslidan 4 baravar katta bo'lgan yangi L shaklidagi shaklni hosil qiladi. O'z navbatida, to'rtta yangi raqamdan kattaroq L shaklidagi shaklni hosil qilish mumkin. Bu jarayonni xohlaganingizcha va cheksiz tekislikning kattalashib boruvchi L shaklidagi figurasi qo'yganingizcha davom ettirishingiz mumkin. Cheksiz vaqt davomida siz nafaqat kattaroq L shaklidagi sholg'om plitkalarini kompilyatsiya qilishni davom ettirishingiz, balki ularni mayda shakllarga bo'lishingiz mumkin.

Biz rep plitkalar haqida ozgina bilamiz. Barcha taniqli qalam-plitalar, tekislikning davriy bo'lmagan bo'linishidan tashqari, shuningdek, tekislikning davriy bo'linishini ham keltirib chiqaradi, ya'ni ular sizga butun tekislikni yotqizishga imkon beradi, shunda naqshning asosiy mintaqasini faqat parallel uzatishlarsiz, faqat burilishlarsiz va ko'zgusiz, butun tekislikni qoplash mumkin. Faqat samolyotning davriy bo'lmagan bo'linishini keltirib chiqaradigan rep plitasi bormi? Bo'limlar nazariyasining bu murakkab savollari javobsiz qolmoqda.

Katta rep plitkalari haqida kamroq narsa ma'lum. Ularning soni aniq kubni o'z ichiga oladi, chunki 8 kubdan 1 ta katta kubni yasash mumkin, xuddi 4 ta kvadratdan 1 ta katta kvadrat qo'shishingiz mumkin. Yana katta hajmli rep plitalarini nomlay olasizmi?

Agar shakldagi mos keladigan qismlar ularning tarkibidagi rasmni takrorlamasligi kerak bo'lsa, unda jumboq vazifalarini ixtiro qilish imkoniyatlari kengayadi. Masalan, figuradagi T shaklidagi shakl. 14   5 kvadratdan iborat. Uni to'rtta T shaklidagi bo'laklarga bo'lish mumkin emas, lekin siz uni boshqa biron bir shaklga ega bo'lgan 4 ta bo'lakka bo'lishingiz mumkin.

Shakl tekisligini hatto ikkita mos keladigan qismga bo'lish ham qiyin ish bo'lishi mumkin. Shaklda 15   siz geometrik tasavvuringizning kuchini sinab ko'rishingiz mumkin bo'lgan bir nechta raqamlarni ko'rasiz. Yechimlar (kesish usullari) kitob oxirida keltirilgan.

Kesish muammolarining yana bir qiziqarli klassi bitta berilgan ko'pburchakni har qanday shaklning eng kichik qismiga boshqa bir poligon tuzilishi mumkin bo'lgan qismlarga ajratish bilan bog'liq. Masalan, teng tomonli uchburchak hosil qilishlari uchun kvadratni kesish uchun qancha qism kifoya qiladi? (4 qismga.) Bo'limlarning eng to'liq nazariyasi va kesish bilan bog'liq barcha savollar Garri Lindgrenning "Kesish uchun ko'ngilochar vazifalar" kitobida keltirilgan.

Miss Evklid va uning kublari

Miss Evklid stulga katta yog'och kubni qo'ydi.

Miss Evklid.  Bugun men siz bilan bir nazoratni o'tkazaman. Men sizga ushbu kub haqida faqat 3 ta savol beraman.

Miss Evklid.  Ushbu kubni 64 birlik kubga kesish mumkin. Buning uchun 9 ta kesish kerak.

Miss Evklid.  Agar har bir kesishdan oldin kubning qismlarini siljitishga ruxsat berilsa, o'zimizni 6 ta kesish bilan cheklashimiz mumkin edi. Sizga birinchi savolim: kesmalar soni 6 dan kam bo'lmasligini qanday isbotlash mumkin?

Sinf birinchi savolga javob ustida ishlayotganda, Miss Evklid kubning ikki yuziga umumiy qirradan o'tuvchi diagonallarni tortdi.

Miss Evklid.  Mening keyingi savolim: bu ikki diagonal o'rtasidagi burchak qanday?

Miss Evklid uchinchi savolini berishdan oldin kubning tepasiga o'lchagich qo'ydi.

Miss Evklid.  Ushbu o'lchagich yordamida AB kubining diagonal uzunligini o'lchashning eng oson usuli qanday?

Evklidda qancha savollarga javob bera olasiz? Men 3 ta savoldan 2 ga javob bera oldim.

Qiyin vazifalar

1-muammoni hal qilish.  4 dan 4 gacha bo'lgan kubni 64 kubga 6 tagacha tekis bo'lak bilan kesib tashlashning iloji yo'qligini isbotlaymiz (har bir kesishdan keyin kub qismlarini siljitish sharti bilan). Buning uchun ichki 8 kubdan birini ko'rib chiqing. Ichki kublarning hech biri katta kubning yuzlariga mos keladigan "tugagan" yuzlarga ega emas. Shuning uchun ichki kubning har bir 6 ta yuzini tanlash kerak, bu 1 ta tekis qismni talab qiladi. Hech qanday tekislik kubning bir nechta yuzini tanlay olmasligi sababli, kubning barcha olti yuzini o'yish uchun bajarilishi kerak bo'lgan kesmalar soni kamida 6 bo'lishi kerak.

Minimal miqdordagi kesim bilan birlik kubiklariga butun sonli uzunlikdagi har qanday to'rtburchaklar qutichani ko'rishga imkon beradigan umumiy usul mavjudmi (qutining qismlarini o'zgartirish mumkin). Ha, bunday usul mavjud va quyidagilardan iborat. Keling, uzunligi qutining uzunligi, kengligi va balandligiga teng bo'lgan 3 xil kubni ko'rib chiqing. Har bir kub uchun biz uni minimal qalinlikdagi qatlamlarga bo'lish uchun bajarilishi kerak bo'lgan minimal kesish sonini aniqlaymiz. Buning uchun kubning chetiga perpendikulyar bo'lgan tekis kesmani chekkaning o'rtasiga iloji boricha yaqin joylashgan butun sonli nuqta bilan chizib qo'ying (agar teng sonli qismlar qirraning uzunligiga to'g'ri keladigan bo'lsa, u holda qirrani yarmiga bo'linadi; agar toq sonlarning soni chekka uzunligiga to'g'ri keladigan bo'lsa, u holda bu masofa o'tib ketadi). qovurg'aning o'rtasidan yarim birlik uzunlik), biz hosil bo'lgan qismlarni siljitamiz va butun kub birlik qalinligi qatlamlariga bo'linmaguncha, biz protsedurani takrorlaymiz. Uch minima yig'indisi (har bir tomon uchun bittadan) bizga muammoning javobini beradi.

Masalan, 3 × 4 × 5 o'lchamdagi to'rtburchaklar parallelepipedni birlik kublariga bo'lish uchun 7 ta tekis kesish kerak: 2 chetiga 3, 2 chetiga 4 va 3 chetiga 5. Ushbu algoritmning isboti birinchi marta 1952 yilda Matematik jurnalida nashr etilgan.

2-muammoni hal qilish.  Muammo kubning boshqa yuzida Miss Evklid tomonidan chizilgan diagonallarning uchlarini bog'laydigan uchinchi diagonal chizishingiz mumkinligini tushunsangiz osonlikcha hal qilinadi. 16 ).

Uchta diagonallar teng tomonli uchburchakni hosil qiladi. Teng tomonli uchburchakning har bir burchagi 60 ° bo'lganligi sababli, Miss Evklid tomonidan chizilgan diagonallar orasidagi burchak 60 ° dir.

Miss Evklidning ikkinchi vazifasi nafis umumlashmani tan oladi. Aytaylik, Miss Evklid kubning yuzasiga o'rta chiziqlarni bog'laydigan ikkita to'g'ri chiziq tortdi. A, B  va C  uchta qovurg'a (rasm). 17 ) Burchak nima Abc  bu chiziqlar orasida?

Muammoning echimini oldingi yechimga o'xshatish orqali topamiz. Birinchidan, biz to'rtta yuzning qovurg'alari o'rtasidagi to'g'ri chiziqlarning segmentlarini bog'laymiz, shunda barcha oltita segment yopiq ko'pburchak chiziq hosil qiladi. Barcha oltita segmentning uzunligi bir xil va har qanday ikkita qo'shni segmentlar orasidagi burchaklar ham bir xil ekanligi aniq. Shuning uchun, agar ko'pburchak chiziqning barcha oltita uchlari bir xil tekislikda joylashganligini isbotlay olsak, unda bizning oltita bog'langan yopiq ko'pburchak chiziq muntazam olti burchakli shaklga ega ekanligi to'g'risida bahslashishimiz mumkin. Bizga kerak bo'lgan bayonotni isbotlash qiyin emas, lekin siz eksperimental ravishda yog'och kubni oltita qirralarning o'rtasidan o'tgan samolyot bo'ylab ikkita yarmiga bo'linib tekshirishingiz mumkin.

Kubni ikkiga bo'lingan tasavvurlar kutilmaganda odatdagi olti burchakli shaklga ega bo'lishi mumkin va bu sezgi sezgirligiga zid keladi. Xo'sh, Miss Evklid chizgan ikkita chiziq muntazam olti burchakli ikkita qo'shni tomon ekanligini bilganimiz sababli, ular orasidagi burchakni topish qiyin emas: u 120 °.

Shakl 17   yana bir qiziq muammoni taklif qiladi. Aytaylik, chivin bir kubning yuzasi bo'ylab bir nuqtadan sudralmoqchi A  nuqtaga C. Segmentlar tomonidan hosil qilingan yo'lni ko'rib chiqish mumkinmi? Ab  va Miloddan avvalgieng qisqa?

Ushbu muammoni eng qisqa yo'lni taxmin qilgan kishi osonlikcha va oddiygina hal qiladi A  nuqtaga B  Agar kubning ikkita qo'shni yuzlari kengayib, tekisliklari bir-biriga mos keladigan bo'lsa, kub yuzasida ularni topish mumkin: eng qisqa segment - ko'rish joyidagi nuqtalarni bog'laydigan chiziq. A  va C. Kubning ikkita ulashgan yuzini kengaytirishning ikki yo'li mavjud, shunda ularning samolyotlari bir-biriga mos kelishi uchun old va yuqori yuzlar yoki old va o'ng yuzlar tanlanadi, shuning uchun muammoni hal qilishda ehtiyot bo'lish kerak. Birinchi holda, biz v2 uzunligini, ikkinchi holatda - v2.5 uzunlik yo'lini olamiz, shuning uchun sek. 17   kub yuzasidagi eng qisqa yo'l A  ichida C.

3-muammoni hal qilish.  Albatta, kubning diagonali uzunligini o'lchagich bilan o'lchash va Pifagor teoremasini ikki marta qo'llash orqali aniqlanishi mumkin. Ammo kubning diagonali o'lchagich bilan ancha sodda tarzda o'lchanishi mumkin. Kubni stolning chetiga qo'yib, biz segmentning uzunligini kubning chetiga teng ravishda o'lchaymiz va segmentning uchlarini belgilaymiz, shundan so'ng biz kubni stolning chetiga uzunligi bo'ylab siljitamiz (rasm). 18 ) Masofa A  oldin B  kubning diagonaliga to'liq teng va uni o'lchagich bilan o'lchash mumkin.

Katta to'pning radiusini qanday o'lchagan bo'lardingiz, agar sizning qo'lingiz uzunligi bittaga teng bo'lsa. to'pning diametrida? Oddiy usullardan biri bu to'pni lak yoki lab bo'yog'i bilan bo'yash va uni aloqa joyida belgi devorda qolishi uchun devorga bosing. Erdan markergacha masofani o'lchagich bilan o'lchab, siz to'pning radiusini aniqlaysiz. Konusning yoki piramidaning balandligini o'lchash uchun hiyla ishlatishga o'xshash usullarni taklif qila olasizmi? Agar sizda faqat duradgorning kvadrati bo'lsa, silindrsimon trubaning radiusini aniq o'lchay olasizmi?

Gilamda

Yangi aeroport binosidagi aylanma yo'lak uchun gilamcha janob Tech boshchiligidagi kompaniyani ishlab chiqarish uchun foydalanishga topshirildi.

Yo'lakning rejasini ko'rib, mister Taek uni masxara qilishiga qaror qildi, men g'azablandim: rasmda ko'rsatilgan yagona o'lcham - bu koridorning ichki devoriga tegib turilgan uzunlik edi.

Janob Tak.  Endi boshqa ko'rinmaslik uchun rasmni olib tashlang! Qanday qilib ibodat qiling, agar men koridorning maydonini bilmasam, gilamga narx taklif qila olaman? Men dizayner janob Sharp bilan maslahatlashaman.

Tajribali geometr janob Sharpe janob Tekni xotirjam tingladi.

Janob Sharp.  Ushbu akkordning uzunligi, janob Taek, menga kerak bo'lgan yagona narsa. Men uni o'zim bilgan formulaga almashtiraman va koridorning maydonini taniyman.

Janob Taek mister Sharpaga hayron bo'lib qarab qo'ydi, keyin jilmaydi.

Janob Tak.  Rahmat janob Sharp, men sizsiz koridorning maydonini ayta olaman.

Bilasizmi, janob Taek halqa koridorining maydonini qanday aniqlagan?

Ajablanarli teorema

Janob Thack quyidagicha mulohaza yuritdi. Janob Sharp mohir va bilimdon geometr sifatida juda yaxshi obro'ga ega, shuning uchun u uzukning maydonini ichki doiraga mos keladigan akkordning uzunligi bo'yicha hisoblash imkonini beradigan formulaga ega ekanligini aytsa, unda u haqiqatan ham bor. Agar akkordning ichki aylanasigacha bo'lgan uzunligi 100 m ga teng bo'lsa, tashqi va ichki doiralarning radiusi qanday o'zgarmasin, janob Sharp formulasiga binoan, halqaning maydoni o'zgarishsiz qolishi kerak.

Keyin janob Taek o'zidan ichki halqaning radiusi nolga tushganda nima bo'lishi kerakligini so'radi - uning minimal qiymati. Bu holda halqa aylanaga aylanadi va 100 m uzunlikdagi akkord doira diametriga aylanadi. Aylananing maydoni ? 50? kv. m? 7854 km. m. Shuning uchun, agar janob Sharpning formulasi mavjud deb hisoblasak, u holda halqaning maydoni 7854 kvadrat metrga teng bo'lishi kerak. m

Umumiy holda, halqa faqat halqaga to'g'ri keladigan eng katta to'g'ri segmentning uzunligiga teng diametrli doira bilan bir xil maydonga ega. Agar aylananing maydoni uchun formuladan foydalansak, bu ajoyib teoremani isbotlash qiyin emas.

Ushbu vazifaning uch o'lchovli analogi quyidagicha: qalin devorli silindrsimon trubaning bir qismining hajmini, agar uning uzunligiga qo'shimcha ravishda faqat bitta quvur uchiga to'g'ri keladigan eng uzun segmentning uzunligi ma'lum bo'lsa (rasm 8). 19 ) Ushbu segment ikki o'lchovli muammoning tangensiga to'g'ri keladi va uning uzunligini bilib, biz trubaning tasavvurlar maydonini osongina topamiz. Kesishma maydonni quvur segmentining uzunligiga ko'paytirsak, biz uning hajmini topamiz.

Halqa maydoni muammosining kamroq aniq uch o'lchovli analogi quyidagi chiroyli muammo. To'pning o'rtasi orqali silindrsimon teshik burg'ulanadi. Kanalning uzunligi 6 sm. Sferaning qolgan qismi qancha hajmga teng? Va bu holda muammoning savoliga javob berishning iloji yo'qdek tuyuladi: bizda mavjud bo'lgan ma'lumotlar juda kam. Ammo, mutlaqo elementar mulohazalarga asoslanib, sharsimon sohaning qolgan qismi diametri qazilgan kanal uzunligiga teng bo'lgan qattiq sfera hajmiga ega ekanligini ko'rsatish mumkin.

Avvalgi holatda bo'lgani kabi, biz muammoni hal qilish mumkin deb taxmin qilsak, muammoning javobini olamiz! Darhaqiqat, agar muammoni hal qilish imkoniyati mavjud bo'lsa, u holda teshikni burg'ilashdan keyin qolgan qismning hajmi teshikning diametriga bog'liq bo'lmasligi kerak. Shuning uchun keling, teshikning diametrini eng kichik qiymatga - nolga keltiraylik. Teshik tekis chiziqda siqilgan - qattiq sharning diametri. Shuning uchun qolgan sohaning hajmi 4/3 ni tashkil qiladi ? 3? kub sm \u003d 36 ga teng ?   kub qarang

Tug'ilgan kunlik qiz uchun tort

Kechki ovqat nihoyasiga etayotgan edi. Janob Jons xotini, o'n yoshli o'g'li va etti yoshli qizi Syuzan bilan stolda o'tirdi.

Syuzanning tug'ilgan kuni bo'lgan va missis Jons 20 sm uzunlikdagi kichkina kvadrat pirojniy pishirganmi? 20 sm va qalinligi 5 sm, tepada va to'rt tomondan juda ko'p sirlangan.

Janob Jons.  Ajoyib pirojnoe! Hamma uchun etarli. Syuzan uchun birinchi pirojniyni kesib tashlayman. Bugun u 7 yoshda, men burchaklardan 7 sm orqaga chekinaman va kesilgan joylarni markaz bo'ylab chizaman.

Parcha g'alati edi va unga ega bo'lgan Syuzan shikoyat qildi.

Syuzan. Dada, siz menga bir bo'lakni qirqdingiz, chorakdan kam! Agar siz menga tortning to'rtdan birini kesib qo'ysangiz ham, undagi sir etarli emas!

Syuzan aka boshqacha fikrda edi.

Janob Jons.  Siz ikkalangiz ham adashyapsizlar. Syuzan pirojnaning chorak qismini va muzning to'rtdan birini oldi.

Janob Jonsning gaplari to'g'ri ekanligini tushuntirib bera olasizmi?

Janob Jonsning to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qilish uchun pirojniyning qarama-qarshi tomonlari bilan kesishmasdan oldin kesilgan chiziqlarni o'rtada davom ettirish kifoya. Har bir kesishni uzaytirib, ular pirojnani to'rtta mos keladigan qismga bo'lishiga darhol ishonch hosil qilasiz.

Bayram kekini qanday kesish kerak?

Pirogni kesish muammosi kvadratdan boshqa oddiy ko'pburchaklarga osonlikcha umumlashtiriladi.

Aytaylik, kek yoki bayram keki teng qirrali uchburchak shaklida pishiriladi va kesishlar markazdan 120 ° burchak ostida amalga oshiriladi. 20 ) Har bir bo'lak pirogning uchdan birini tashkil etishi aniq. Agar siz chiziqli chiziq chizgan bo'lsangiz, buni tekshirish oson. Agar kek oddiy pentagon shaklida pishirilgan bo'lsa, unda markazdan 72 ° burchak ostida ikkita kesik yasab, biz pirojnaning beshdan birini kesib tashladik. Agar kek oddiy olti burchakli bo'lsa, undan oltidan birini kesish uchun 360 ° burchak ostida markazdan ikkita kesik olish kerak: 6 \u003d 60 °. Xuddi shu usul ko'p qirrali muntazam poligonlarga umumlashtiriladi, lekin kesmalar orasidagi burchak har doim ham sonlarning sonlari sifatida ifodalanmaydi.

Kvadratni boshqa shakldagi 4 ta mos keladigan qismga kesib tashlash uzoq vaqtdan beri eng yaxshi kesish ishlaridan biri bo'lib kelgan. Agar karton kvadratni rasmda ko'rsatilgandek 4 qismga bo'lganda. 21 , siz tanishlaringizdan kimdirga to'rtdan bir kvadrat qilishni taklif qilasiz, shunda, odatda, do'stingiz vazifani qiyinlashtiradi. Muvaffaqiyatli tarzda u engib chiqqandan so'ng, uni bitta kvadratlardan ikkita kvadrat yasashini so'rang.

So'nggi vazifa, oldingilaridan farqli o'laroq, tabiatda biroz firibgarlikdir: do'stingiz, agar ikkita kvadratdan biri boshqa kvadratning o'rtasida teshik bo'lganligi taxmin qilinsa, uni hal qila oladi (rasm). 22 ) Teshikning o'lchami kesilgan chiziq asl kvadratning yon tomoniga bog'liq. Agar bu burchak 90 ° bo'lsa, unda teshik yo'qoladi. Agar burchak 45 ° bo'lsa, u holda teshik eng katta hajmga etadi.

Izohlar:

Gardner M. Bu o'ng, chap dunyo. - M .: Mir, 1967 yil.

Lindgren G. Kesish vazifalarini ko'ngil ochish. - M .: Mir, 1977 yil.

   Oldinga orqaga

Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot berish uchun ishlatiladi va taqdimotning barcha xususiyatlari haqida tushuncha bermasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, iltimos to'liq versiyasini yuklab oling.

Tajriba shuni ko'rsatadiki, amaliy o'qitish usullaridan foydalanganda o'quvchilar geometrik shakllar bilan tanishishda asosiy va muhim bo'lmagan xususiyatlarni to'g'ri aniqlash uchun o'quvchilarga bir qator aqliy moslamalar yaratishga qodir. matematik sezgi, mantiqiy va mavhum tafakkurni rivojlantirish, matematik nutq madaniyatini rivojlantirish, matematik va dizayn qobiliyatlarini rivojlantirish, bilim faolligini oshirish, kognitiv qiziqish uyg'otish, intellektual va ijodiy salohiyatni rivojlantirish Maqolada geometrik shakllarni qismlarga ajratish bo'yicha bir qator amaliy vazifalar berilgan. bu yangi raqam. Talabalar topshiriqlar asosida guruhlarda ishlashadi. Keyin har bir guruh o'z loyihasini himoya qiladi.

Ikkala raqam teng deb nomlanadi, agar ma'lum bir tarzda, agar ulardan birini sonining soniga kesib tashlasangiz, siz (bu qismlarni boshqacha joylashtirgan holda) ulardan ikkinchi raqamni yasashingiz mumkin. Demak, qismlarni ajratish usuli ikkala teng tuzilgan ko'pburchaklarning barcha turlari o'lchamlari teng bo'lishiga asoslanadi. Qarama-qarshi savol tug'dirish tabiiydir: bir xil maydonga ega bo'lgan ikkita ko'pburchak bormi? Bu savolga vengriyalik matematik Farkas Boyayi (1832) va nemis ofitseri va matematikani sevuvchi Gervin (1833) tomonidan javob berildi (deyarli bir vaqtning o'zida): teng maydonga ega ikkita ko'pburchak bir-biriga teng ravishda joylashtirilgan.

Boyayai-Gervin teoremasida aytilishicha: har qanday ko'pburchakni bu qismlardan kvadrat qilish uchun qismlarga bo'lish mumkin.

1-topshiriq.

To'rtburchakni kesing ax 2a  qismlarga bo'ling, shunda siz ulardan kvadrat yasashingiz mumkin.

Biz ABCD to'rtburchagini MD va MC (M - AB o'rtasi) chiziqlari bo'ylab uch qismga bo'ldik.

1-rasm

Biz AMD uchburchagini shunday harakatlantiramizki, M cho'qqisi C cho'qqisi bilan tekislanadi, AM oyog'i DC segmentiga o'tadi. MVS uchburchagini chapga va pastga siljiting, shunda MV oyog'i DC segmentining yarmiga to'g'ri keladi. (1-rasm)

2-topshiriq.

Teng tomonli uchburchakni bo'laklarga bo'ling, shunda ulardan kvadrat hosil qilinadi.

Ushbu ABC uchburchagini belgilang. ABC uchburchagini ko'pburchaklarga bo'lish kerak, shunda ulardan kvadrat hosil qilinadi. Keyin bu ko'pburchaklar kamida bitta to'g'ri burchakka ega bo'lishi kerak.

K CB ning o'rtasi, T AB o'rtasi bo'lsin, M va E nuqtalar AC tomonda bo'lsin, shunda ME \u003d AT \u003d TB \u003d VK \u003d CK \u003d lekinAM \u003d EC \u003d lekin/2.

2-rasm

E segmentini va unga perpendikulyar bo'lgan EP va VT segmentlarini chizing. Uchburchakni qurilgan chiziqlar bo'ylab kesib tashladik. Biz to'rtburchaklar CREC-ni K tekisligiga nisbatan soat yo'nalishi bo'yicha aylantiramiz, shunda SC KB segmentiga to'g'ri keladi. Biz AMNT to'rtburchagini T vertexiga nisbatan soat yo'nalishi bo'yicha aylantiramiz, shunda AT televizorga mos keladi. MER uchburchagini siljiting, natijada kvadrat bo'ladi. (2-rasm)

3-topshiriq.

Kvadratni ikkiga bo'lak qilib bo'laklarga bo'ling.

ABCD tomonidan asl kvadratni belgilang. Kvadratlarning o'rta nuqtalariga e'tibor bering - M, N, K, H nuqtalarini MT, HE, KF va NP chiziqlar - mos ravishda MS, HB, KA va ND segmentlarini chizish.

Chizilgan chiziqlar bo'ylab ABCD kvadratni kesib, biz PTEF kvadratini va to'rtta to'rtburchaklar MDHT, HCKE, KBNF va NAMPni olamiz.

3-rasm

PTEF tugagan kvadrat. Qolgan to'rtburchaklardan ikkinchi kvadratni hosil qiling. A, B, C va D uchlari bir nuqtada mos keladi, AM va VK, MD va KS, BN va CH, DH va AN segmentlari birlashtirilgan. P, T, E va F nuqtalari yangi maydonning burchagiga aylanadi. (3-rasm)

4-topshiriq.

Teng tomonli uchburchak va kvadrat qalin qog'ozdan kesilgan. Ushbu shakllarni ko'pburchaklarga bo'ling, shunda ulardan bir kvadrat katlanabilir, qismlar to'liq to'ldirishi kerak va kesishmasligi kerak.

Biz uchburchakni qismlarga bo'ldik va 2-topshiriqda ko'rsatilganidek, ulardan to'rtburchaklar yasadik. Uchburchakning yon tomonlarining uzunligi - 2a. Endi kvadratni ko'pburchaklarga bo'lish kerak, toki bu qismlardan va uchburchakdan chiqqan kvadrat yangi kvadrat hosil qilsin. 2 tomoni bilan kvadrat oling lekin, LRSD tomonidan belgilang. UG va VF o'zaro perpendikulyar segmentlarni tortamiz, shunda DU \u003d SF \u003d RG \u003d LV. Kvadratni to'rtburchaklar shaklida kesib tashlang.

4-rasm

Uchburchakning qismlaridan iborat kvadratni oling. 4-rasmda ko'rsatilganidek, biz to'rtburchaklar - kvadrat qismlarini joylashtirdik.

5-topshiriq.

Xoch besh kvadratdan iborat: markazda bir kvadrat, qolgan to'rtta uning yon tomonlariga ulashgan. Ulardan kvadrat hosil qilishingiz uchun uni bo'laklarga bo'ling.

5-rasmda ko'rsatilganidek, kvadrat uchlarini bog'lang. "Tashqi" uchburchaklarni kesib oling va ularni ABCS maydonidagi bo'sh joylarga o'tkazing.

5-rasm

6-topshiriq.

Ikkita ixtiyoriy kvadratni bittasiga aylantiring.

6-rasmda kvadratlarning qismlarini qanday kesish va ko'chirish ko'rsatilgan.

Matematika o'qituvchilari va turli xil tanlovlar va doiralar o'qituvchilari darslarida kesish uchun ko'ngilochar va rivojlanayotgan geometrik muammolarni tanlash taklif etiladi. O'qituvchi tomonidan bunday vazifalarni o'z darslarida qo'llashning maqsadi nafaqat o'quvchini hujayralar va raqamlarning qiziqarli va samarali kombinatsiyasiga qiziqtirish, balki chiziqlar, burchak va shakllar tuyg'usini shakllantirishdir. Vazifalar to'plami asosan 4-6 sinf o'quvchilariga qaratilgan, ammo undan foydalanish o'rta maktab o'quvchilari bilan ham istisno qilinmaydi. Mashqlar talabalardan yuqori va moslashuvchan e'tiborni talab qiladi va vizual xotirani rivojlantirish va o'qitish uchun juda yaxshi. Bolalarni mustaqil fikrlash va ijodiy qobiliyatlari darajasiga alohida talablar qo'yadigan matematik maktablar va sinflarga kirish imtihonlariga tayyorlash bilan shug'ullanadigan matematik o'qituvchilar uchun tavsiya etiladi. Vazifalar darajasi Ikkinchi maktab litseyida (Ikkinchi matematik maktab), MDUning Kichik Mehmatida, Kurchatov maktabida va boshqalarda kirish fan olimpiadalari darajasiga mos keladi.

Matematika o'qituvchisi eslatmasi:
  Tegishli ko'rsatgichni bosish orqali ko'rishingiz mumkin bo'lgan muammolarning ayrim echimlarida kesishning mumkin bo'lgan bitta misoli ko'rsatilgan. Men sizga yana bir nechta to'g'ri kombinatsiyani olishingiz mumkinligini tan olaman - bundan qo'rqmang. Sichqoncha echimini sinchkovlik bilan tekshiring va agar u shartga javob bersa, u holda keyingi vazifani o'z zimmangizga oling.

1) Rasmda ko'rsatilgan rasmni teng qismning 3 qismiga bo'lishga harakat qiling:

: Kichik shakllar T harfiga juda o'xshash

2) Endi bu raqamni 4 ta teng shaklga bo'ling:

Matematikaga oid darslik: Kichik raqamlar 3 hujayradan iborat bo'ladi, deb taxmin qilish oson, va uchta hujayraning raqamlari unchalik ko'p emas. Ulardan faqat ikkitasi bor: burchak va 1 × 3 to'rtburchaklar.

3) Ushbu rasmni 5 ta teng shaklga bo'ling:

  Har bir bunday shaklni tashkil etadigan hujayralar sonini toping. Ushbu raqamlar G harfiga o'xshashdir.

4) Va endi siz o'nta hujayraning raqamini 4 ga bo'lishingiz kerak tengsiz  bir-biriga to'rtburchaklar (yoki kvadrat).

Matematika o'qituvchisi: To'rtburchakni tanlang va qolgan hujayralarga yana uchtasini kiritishga harakat qiling. Agar ishlamasa, birinchi to'rtburchakni o'zgartiring va qaytadan urinib ko'ring.

5) Vazifa murakkab: siz raqamni 4 ga bo'lishingiz kerak shaklda farq qiladi  raqamlar (to'rtburchaklar shart emas).

Matematikaga oid darslik: Birinchidan, har xil shakllarning har xil shakllarini alohida-alohida torting (to'rtdan ko'p bo'ladi) va oldingi vazifadagidek sanab o'tish usulini takrorlang.
:

6) Ushbu rasmni har xil shakldagi to'rtta katakchaning 5 ta raqamiga kesib oling, shunda ularning har birida bitta yashil hujayra bo'yaladi.

Matematikadan dars berish bo'yicha maslahat:  Ushbu shaklning yuqori chetidan kesishni boshlashga harakat qiling va siz darhol qanday davom ettirishni tushunasiz.
:

7) Oldingi vazifaga asoslanib. To'rtta hujayradan iborat turli xil shakllarda nechta umumiy shakl bor? Shakllarni burish, burish mumkin, lekin siz piyozni yotgan joyidan ko'tarolmaysiz. Ya'ni ko'rsatilgan ikkita raqam teng deb qabul qilinmaydi, chunki ularni bir-biridan aylanish orqali olish mumkin emas.

Matematikadan dars berish bo'yicha maslahat:  Oldingi muammoning echimini bilib oling va burilish paytida ushbu raqamlarning turli pozitsiyalarini tasavvur qilishga harakat qiling. Bizning muammomizdagi javob 5 yoki undan ko'p raqam ekanligini taxmin qilish oson. (Aslida, hatto oltitadan ko'proq). Hammasi bo'lib tasvirlangan 7 turdagi raqamlar mavjud.

8) 16 hujayradan iborat kvadratni to'rtta teng qismga bo'ling, shunda to'rt qismning har biri bitta yashil hujayradan iborat bo'ladi.

Matematikaga oid darslik: Kichkina raqamlarning ko'rinishi to'rtburchak yoki to'rtburchaklar yoki hatto to'rtta katakning burchagi emas. Xo'sh, qanday raqamlarni kesishga harakat qilishingiz kerak?

9) Olingan qismlardan kvadrat katlanabilmek uchun tasvirlangan rasmni ikki qismga bo'ling.

Matematikadan dars: Rasmda jami 16 ta hujayra joylashgan bo'lib, kvadrat 4 × 4 o'lchamda bo'ladi. Va qandaydir tarzda o'rtada oynani to'ldirishingiz kerak. Buni qanday qilish kerak? Ehtimol qandaydir siljishmi? Keyin, to'rtburchaklar uzunligi kataklarning toq soniga teng bo'lgani uchun, kesish vertikal bo'limda emas, balki singan chiziqda amalga oshirilishi kerak. Shunday qilib, yuqori qism o'rta hujayralarning bir tomonida, pastki qismi boshqa tomonda kesiladi.

10) 4 × 9 to'rtburchagini ikki qismga bo'ling, shunda siz ulardan kvadrat qo'sha olasiz.

Matematikaga oid darslik: To'rtburchakda jami 36 katak. Shuning uchun kvadrat 6 × 6 o'lchamda bo'ladi. Uzoq tomoni to'qqiz hujayradan iborat bo'lganligi sababli, ularning uchtasini kesib tashlash kerak. Bu kesish qanday davom etadi?

11) Rasmda ko'rsatilgan beshta katakning xochini kvadrat katlanab bo'ladigan qismlarga bo'lish kerak (hujayralarni o'zlari kesib olishlari mumkin).

Matematikaga oid darslik: Hujayralarning satrlarini qanday qilib kesib tashlaganimizdan qat'i nazar, biz kvadratga ega bo'lolmasligimiz aniq, chunki u erda 5 ta hujayradan iborat. Bu faqat bitta vazifa bo'lib, uni kesish mumkin hujayradan tashqari. Biroq, ularni qo'llanma sifatida qoldirish hali ham yaxshi bo'lar edi. masalan, shuni ta'kidlash kerakki, biz qandaydir bo'shliqlarni, ya'ni xochimizning ichki burchaklaridan olib tashlashimiz kerak. Buni qanday qilish kerak? Masalan, xochning tashqi burchaklaridagi ba'zi uchburchaklarni kesib tashlash ...