Shakl 33 uchta usul bilan 7 raqamini dekompozitsiya qilish vazifasini bajarishga misol
6 va 8 raqamlarini mustaqil ravishda ajratish uchun.
Didaktik material sifatida, bola vazifani bajarish uchun foydalanishi mumkin bo'lgan "bo'sh" kartalar va ob'ektlar to'plamidan foydalaniladi. Kartadagi narsalarning dekompozitsiyasi namunasi (33-rasmga qarang).
3-mashq. "5 (4, 3) sonlarni eng kichik ikkita raqamga bo'lish usullarini sanab bering."
Mashq og'zaki ravishda amalga oshiriladi.
4-mashq. "Jadvalni to'ldiring."
Shakl 34 Topshiriq uchun bolalarga taqdim etiladigan karta stollari
Ish uchun bolalarga kartalar-jadvallar taklif etiladi, ularning namunalari yuqorida keltirilgan va ular kartalarning barcha variantlarini to'ldirish uchun etarli bo'lgan hajmdagi raqamlar to'plamidir.
2-4 ta mashq natijalari quyidagicha baholanadi. Agar bola birinchi o'ntalik ichida ikkita kichik raqamga raqamlarni ajratishda xatosiz bajarsa, o'qituvchi o'quv materialining yuqori darajasini belgilaydi. Agar bola dastlabki o'ntadan kamida 6 raqamni ajratishning barcha usullari bilan tanish bo'lsa, o'qituvchi o'quv materialining o'rtacha darajasini belgilaydi. Agar bolalar birinchi o'nlikning 6 tadan kam sonini ajratishni o'rgangan bo'lsa, o'quv materialining darajasi past deb hisoblanadi.
Mahorat darajasini aniqlash uchun testlar
Bolalar hisoblash faoliyati
"Qo'shish" va "olib tashlash" arifmetik operatsiyalar haqida g'oyalarni shakllantirish darajasini aniqlash uchun testlar
5-7 yoshli bolalar uchun
Ushbu qismda "qo'shish" va "olib tashlash" arifmetik operatsiyalar to'g'risidagi bolalar g'oyalari darajasini aniqlash uchun to'rtta test kiritilgan. Birinchi testda topshiriqlarning majmui taqdim etilgan bo'lib, ularning har biri o'rganilayotgan mavzu bo'yicha bolalarning ma'lum bilimlarini aniqlashga qaratilgan. Ushbu vazifalarni bajarish natijalariga asoslanib, o'qituvchi bolaning arifmetikaning ma'nosini qanchalik tushunganligini baholay oladi. 2 - 4-testlar bolaning arifmetik operatsiyalarda raqamlar va belgilar o'rtasidagi munosabatni qanchalik o'rganganligini aniqlashga imkon beradi.
1-sinovTest bir xil didaktik materialga ega bo'lgan to'rtta vazifani o'z ichiga oladi. Qo'shish va olib tashlash uchun arifmetik operatsiyalarga ega kartalar didaktik material sifatida taklif etiladi.
Jismoniy mashqlar katta yoshdagi bolalarda ham, tayyorgarlik guruhida ham qo'llaniladi. Shu bilan birga, faqat didaktik materialga o'zgartirishlar kiritiladi, ya'ni: oldingi vazifalarga qaraganda murakkabroq bo'lgan arifmetik ifodalar bilan kartalar tanlanadi. Bu o'quvning har bir keyingi bosqichida bolalar arifmetik operatsiyalarni bajaradigan va yangi raqamning shakllanish qonuniyatlarini o'z ichiga oladigan natural sonlar qatorining asta-sekin o'sib borishini hisobga olgan holda mumkin va zarurdir.
|
|
|
|
|
|
Shakl 35 Arifmetik ifodali kartalar
Bunday holda, bola oddiygina arifmetik ifodani o'qish qobiliyatini namoyish qilishi kerak.
2-topshiriq. Boladan ushbu arifmetik iboralar nimani anglatishini tushuntirish so'raladi.
Topshiriqning ushbu qismini bajarishda maktabgacha tarbiyachi nafaqat arifmetik ifodalarni o'qishni bilishini, balki ularning har birining ma'nosini ham tushunishini ko'rsatishi kerak. To'g'ri javoblar quyidagilardan iborat: "agar uchta narsaga uchta element qo'shsangiz, 5 ta narsaga ega bo'lasiz." Ammo, sizning fikringizni ifoda etish uchun zarur ko'nikmalarning etishmasligi sababli, siz bolaning arifmetikani qanchalik tushunishini aniqlashga yordam beradigan quyidagi vazifalarni taklif qilishingiz mumkin (uchinchi va to'rtinchi).
3-topshiriq. O'qituvchi taklif qilingan arifmetik iboralardan ikkitasini tanlaydi: biri qo'shimcha va tortish uchun va bolaga o'yinchoqlardan foydalanishni taklif qiladi (bir nechta kichik o'yinchoqlar to'plamlari, masalan, qo'g'irchoq va qo'ng'izlarni joylashtirish taklif etiladi). O'yinchoqlar ikki turda ishlatilishi kerak va har bir o'yinchoq turi kamida 10 dona.
3 + 2 \u003d 5 ifodasi bilan vazifani to'g'ri bajarish variantlari misollari quyida keltirilgan.
"Agar biz 3 ta inidan iborat qo'g'irchoq olib, ularga 2 ta quyon qo'shsak, 5 ta o'yinchoq olamiz"
"Agar biz 3 ta quyon olib, ularga 2 ta o'yinchoq qo'ysak, 5 ta o'yinchoq olamiz."
"Agar biz 3 ta quyon olib, ularga yana 2 ta quyon qo'shsak, 5 ta quyon olamiz."
"Agar biz 2 ta uyg'un qo'g'irchoqni olsak va ularga yana 3 ta uyg'unlashtiradigan qo'g'irchoqni qo'ysak, biz 5 ta uyali qo'g'irchoqni olamiz."
Shunday qilib, bir-biriga o'xshamaydigan ob'ektlarning ikkita to'plamidan foydalanganda, ushbu savolga to'rtta mumkin bo'lgan javobni tuzish mumkin. Sinov paytida o'qituvchi bolani savol berish orqali turli xil javoblarni topishga undashi kerak: taklif qilingan o'yinchoqlar bilan yana qanday qilib bu arifmetik amalni bajarish mumkin?
4-topshiriq. O'qituvchi taklif qilingan kartalardan yana ikkita variantni tanlaydi (biri qo'shimcha uchun, ikkinchisi olib tashlash uchun) va ularda arifmetik vazifalarni tuzishni taklif qiladi.
Maktabga tayyorgarlik guruhining bolalari bilan ishlashda quyidagi testlardan ham foydalaniladi. Ular o'quv yilining boshida ham, oxirida ham o'tkaziladi. O'zgarishlar faqat sinov paytida ishlatiladigan didaktik materialga kiritiladi (o'quv yili oxirida ko'p sonli narsalar olinadi). Bunday holda, testlar uchun barcha vazifalar bir xil bo'lib qoladi.
Sinov 2 "Arifmetik operatsiya tuzing." O'qituvchi 5, 2 va 3 raqamlaridan bolalarni olib tashlash bo'yicha arifmetik harakat qilishni so'raydi. U savol beradi: "Bunday harakatlar nechta bo'lishi mumkin"?
Sinov 3 "Teskari arifmetik ifodani hosil qiling"
Masalan: 10 - 5 \u003d 5 5 + 5 \u003d 10
Mustaqil ish uchun: 5 - 3 \u003d 2
Sinov 4. "Arifmetik amalni sxemaga moslang. "
Qo'shish va olib tashlashning arifmetik muammolari bo'yicha navbatda bolalarga turli xil sxemalar taqdim etiladi (quyidagi rasmga qarang).
Bola ushbu sxemaga mos keladigan shart va savol berishi kerak, so'ngra raqamlar va arifmetik belgilar yordamida muammoni hal qilish uchun harakatlarni tuzishi kerak.
Shakl 36 Qo'shish va ayirishning arifmetik muammolari sxemalari
Izoh Sinovlarni o'tkazishda o'qituvchi faqat bolalarga o'quv jarayonidan tanish bo'lgan sxemalardan foydalanadi.
Dars mavzusi:"Raqamlarni omillashtirish".
Dars maqsadi: sonlarni asosiy omillarga ajratish mahoratini rivojlantiring, sonlarning bo'linish belgilarini takrorlang va sonlarni asosiy omillarga ajratishda ulardan foydalaning, talabalarning atrofdagi dunyo haqidagi g'oyalarini kengaytirishda davom eting.
Dars darslari
O'qituvchi: Xayrli kun yigitlar. O'tiring. Daftarlarni oching va raqamni yozing, ajoyib ish. Darsimizning mavzusi: "Raqamlarni omillashtirish".
Bu nimani anglatishini eslaylik Qaysi raqamlar tubdir? Yana qanday raqamlarni bilasiz? 1 raqami qaysi guruhga tegishli? Endi biz takrorlaymiz, o'rganib chiqdik, raqamlarning 3, 9, 5, 2 va 10 ga bo'linish alomatlari. (Old tomondan)
1) Juftlikda ishlash. Talaba topshirig'i: jadvalni to'ldiring:
"W" 312 "h" 310
"E" 567 "ning" 585
"S" 555 "b" 771
Javob:
Tarixiy ma'lumot: Pafnutiy Lvovich Chebyshev - rus matematiki. U tubsizliklarning xususiyatlarini o'rgangan. U isbotladi: har qanday natural son 1 dan katta va ikkita ikki baravar katta bo'lsa, har doim kamida bitta tub son mavjud bo'ladi. Keling, buni bir nechta raqam bilan tekshirib ko'raylik. (Og'zaki)
2) Talabalarga Topshiriq: O'qlar bilan teng iboralarni ulang, avval chap ustundagi raqamlarni asosiy omillarga ajratib oling.
Doskada quyidagicha yozilgan:
125 2 . 2 . 2 . 2 . 7
315 5 . 5 . 5
444 2 . 2 . 3 . 13
112 2 . 2 . 3 . 37
156 3 . 3 . 5 . 7
Qanday qilib iboralarni o'ng ustunda yozsam bo'ladi?
24 . 7, 53, 22 . 3 . 13, 22 . 3 . 37, 32 . 5 . 7.
2) "+" yoki "-" belgilarini qo'yib, sonlarni asosiy omillarga ajratish to'g'riligini tekshiring.
3) Talabalarga topshiriq: 84, 44, 75, 60 raqamlaridan eng ko'p oddiy omillarga parchalangan birini tanlang. Ushbu raqamni yashil rang bilan belgilang.
4) Guruhlarda ishlash
Talabalarga topshiriq: raqamlarni dekompozitsiyasidan, ularning qaysi biri 2, 3, 4, 6, 7 ga bo'linganligini aniqlang:
- 2 . 11 . 13
- 2 . 5 . 3 . 17
- 3 . 5 . 23 . 41
- 2 . 2 . 2 . 3 . 7.
Alohida raqamlarga bo'linishni yozing: 4 raqamiga; 6 raqami bo'yicha.
5) Savollarga javob berishda to'g'ri so'zlarni kiriting va ajratilgan ustunga bizning davrimizdan oldin yashagan olim, matematik ismini yozing.
1. Jumlani davom ettiring: atigi ikkita bo'linuvchi bo'lgan natural son deyiladi ...
2. Qaerga bo'linmay bo'linadigan a raqami berilgan tabiiy son qanday?
3. Qaysi raqam har qanday natural songa bo'linadi?
4. Birinchi matematik darslik muallifini ayting.
5. Jumlani davom ettiring: ikkidan ko'p bo'luvchi natural songa ... deyiladi.
6. Hisoblashda qanday sonlar ishlatiladi?
Javoblar:
Ushbu krossvordda Samos Pifagorasi nomi (mil. Avv. VI asr) "yashirin". Bu boradagi tarixiy ma'lumotlar: Pifagor va uning shogirdlari raqamlarning bo'linishi masalalarini o'rganishdi. Uning barcha bo'linuvchilarining yig'indisiga teng bo'lgan raqam (raqamning o'zi holda), ular mukammal son deb atashdi. Masalan, 6 \u003d 1 + 2 + 3; 28 \u003d 1 + 2 + 4 + 7 + 14; 496; 8 128.
Darsning qisqacha mazmuni: Biroz qisqacha xulosa qilaylik. Darsning maqsadi nima edi? Biz bunga erishdikmi?
Uy vazifasi: 41-band, № 495 (3), № 503, № 507 (2).
Ta'rif Ikki yoki undan ortiq nol bo'lmagan darajadagi ko'p a'zolardan hosil bo'lgan ko'payuvchini ko'paytmaga faktoring deyiladi. Masalan: x2 - a2 \u003d (x - a) (x + a).
Faktoring ko'payishlarining turli usullarini ko'rib chiqing.
1) Umumiy omilni qavslardan tashqariga chiqarish va guruhlash usuli.
Ushbu usuldan foydalanganda ba'zan "sun'iy" o'zgarishlarni qo'llash tavsiya etiladi - alohida a'zolarni o'xshash shartlarga bo'lish yoki o'zaro yo'q qiladigan a'zolarni kiritish.
1-misol. A2 –2bc + 2ac - ab ko'paytmali omil.
Qaror. a2 - 2bc + 2ac - ab \u003d (a2 + 2ac) - (2bc + ab) \u003d
A (a + 2s) –b (2s + a) \u003d (a + 2s) (a - b).
2-misol. Ko‘p sonli omil: x2 - 3x + 2.
x2 - 3x + 2 \u003d x2 - x - 2x + 2 \u003d (x2 - x) ‑- (2x - 2) \u003d x (x - 1) - 2 (x - 1) \u003d (x - 1) (x - 2) )
2) Qisqartirilgan ko'payish formulalaridan foydalanish. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanib, faktoring ko'pincha juda osonlashtiriladi.
3-misol. Ko‘p sonli omil: 5a5x3 + 5a2x9.
Qaror. Birinchidan, 5a2x3 umumiy koeffitsientini oling va keyin kublar yig'indisi uchun formulani qo'llang:
5a5x3 + 5a2 x9 \u003d 5a2x3 (a3 + x6) \u003d 5a2x3 (a3 + (x2) 3) \u003d 5a2x3 (a + x2) (a2 - ax2 + x4).
Misol 4. P (x) \u003d x3 - 3x - 2 ko'paytmali koeffitsient.
Qaror. P (x) \u003d x3 - 3x - 2 \u003d x3 - x - 2x - 2 \u003d (x3 - x) - (2x + 2) \u003d
X (x2 - 1) - 2 (x + 1) \u003d x (x + 1) (x - 1) - 2 (x + 1) \u003d (x + 1) (x2 - x - 2). Beri
x2 - x - 2 \u003d x2 - x - 1 - 1 \u003d (x2 - 1) - (x + 1) \u003d (x + 1) (x - 1) - (x + 1) \u003d (x + 1) (x - 2)
keyin P (x) \u003d (x + 1) 2 (x - 2).
To'liq kvadratni ajratib ko'rsatish ba'zan foydali bo'ladi.
Misol 5. x4 + 4 omili.
x4 + 4 \u003d x4 + 4x2 + 4 - 4x2 \u003d (x2 +2) 2 - (2x) 2 \u003d (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2).
Faktoring uchun x4 + 4 \u003d (x2) 2 + 22 (a2 + b2 \u003d (a + b) 2 - 2ab formuladan foydalanildi) ifodasida to'liq kvadratni ajratish muvaffaqiyatli bo'ldi.
3) kvadrat trinomialni faktorizatsiya qilish.
ax2 + bx + c \u003d a (x - x0) (x - x2); (a ≠ 0, D \u003d b2 - 4ac≥0), bu erda x1 va x2 trinomial ax2 + bx + s ildizlari.
4) x darajaga nisbatan n-darajali ko'paytiruvchini omillashtirish.
N darajadagi n darajali ko'paytma hosil bo'ladi
P (x) \u003d aohp + a1xn-1 + ... + an-1x + an,
bu erda a0 ≠ 0, n ≥ 0 butun sonlar, a0, a1, ..., va doimiylar (ko'paytma koeffitsientlari), x harfi (qiymat) x har qanday raqamli qiymatlarni qabul qilishi mumkin. P (x) ko'paytma x ning kuchini pasaytirishda standart shaklda yoziladi.
P (x) va P1 (x) ko'p sonli polinomiyalar teng deb hisoblanadi: P (x) \u003d P1 (x), agar x ning barcha qiymatlari uchun ular bir xil qiymatlarni olishadi.
Bezout teoremasi. Polinomial Pn (x) ni binom (x-x0) ga bo'lganda, R \u003d x \u003d x0 ga teng bo'lgan ko'paytirilgan qiymatga teng bo'lgan qoldiqni olamiz, ya'ni. R \u003d Pn (x0).
Pn (x) \u003d (x - x0) Qn-1 (x) + P (x0).
Bezout teoremasidan olingan teoremalar:
1. Agar Pn (x) qoldiqsiz (x - x0) bo'linsa, ya'ni R \u003d 0, keyin x \u003d x0 ko'paytma Pn (x) ning ildizidir, ya'ni. Pn (x0) \u003d 0.
2. Agar x \u003d x0 ko'paytma Pn (x) ning ildizi bo'lsa, ya'ni Pn (x0) \u003d 0, keyin Pn (x) qoldiqsiz (x - x0) bo'linadi, ya'ni. Pn (x) \u003d (x - x0) Qn-1 (x)).
Xulosa qilsak, quyidagicha olamiz: Pn (x) \u003d a0 (x - x1) (x - x2) ... (x - xn), bu erda x1, x2, ..., xn ko'paytmaning ildizlari.
6-misol. Ommaviy ko'payish
P (x) \u003d (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12.
P (x) \u003d (x2 + x + 1) ((x2 + x + 1) + 1) - 12 \u003d (x2 + x + 1) 2 + (x2 + x + 1) - 12.
X2 + x + 1 \u003d y bo'lsin. Keyin y2 + y - 12 \u003d (y + 4) (y - 3) ga egamiz, chunki trinomial y2 + y - 12 ning ildizlari - 4 va 3 ga teng bo'ladi. Y dan x gacha bo'lgan holda, biz olamiz.
P (x) \u003d (x2 + x + 5) (x2 + x - 2). Trinomial x2 + x - 2 \u003d (x - 1) (x + 2) bo'lgani uchun
keyin P (x) \u003d (x - 1) (x + 2) (x2 + x + 5).
Tenglamalarni o'zgartirish usullarini o'rganishni ushbu tenglamaga kiritilgan iboralarni qanday omil qilishni muhokama qilishdan boshlaymiz. Tenglamaning umumiy ifodasi f (x) \u003d g (x) sifatida F 1 (x) ċ F 2 (x) ċ ... ċ F n (x) \u003d 0,
iboralar qayerda F k (x), k \u003d 1, ..., n "Oddiy" funktsiyalari f (x) va g (x), tenglamani echishda shubhasiz avansni anglatadi. Aslida, (5) shaklning namoyishi bizga omillarni darhol tenglashtirishga imkon beradi F k (x) nolga teng va sodda tenglamalarni yeching. (1) tenglamaning (5) ko'rinishidagi vakili ba'zan (1) tenglamaning faktorlangan shakli deb nomlanadi (inglizchadan "omil" - bu omil).
Endi eng oddiy algebraik funktsiyalar sifatida faktoring ko'payishlarining ba'zi eng keng tarqalgan usullarini sanab o'tamiz.
Umumiy omillar sonini qisqartirish
Polinomning barcha a'zolari bir xil umumiy omilga ega bo'lgan holatlarda, uni ko'paytirish mumkin va shu bilan ko'p a'zolardan ajralishni olish mumkin.
x 5 - 2x 3 + x 2.
Ushbu polinomning har bir atamasida omil mavjud x 2. Qavs ichidan chiqarib oling va javobni oling: x 5 - 2x 3 + x 2 \u003d x 2 (x 3 - 2x + 1).
2. Qisqartirilgan ko'payish formulalaridan foydalanish
Kamaytirish formulalari juda ko'p omillarni yaratishda samarali qo'llaniladi. Quyidagi formulalarni eslab qolish foydalidir: a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b), a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2), a 3 - b 3 \u003d ( a - b) (a 2 + ab + b 2), a 4 - b 4 \u003d (a 2 - b 2) (a 2 + b 2) \u003d (a - b) (a + b) (a 2 + b) 2), a 5 - b 5 \u003d (a - b) (a 4 + a 3 b + a 2 b 2 + ab 3 + b 4), an - bn \u003d (a - b) (an - 1 + an - 2 b + an - 3 b 2 + an - 4 b 3 + ... + a 2 bn - 3 + abn - 2 + bn - 1), n \u200b\u200b∈ ℤ.
Faktor polinomiyasi (x - 2) 4 - (3x + 1) 4.
To'rtinchi darajadagi farqni yuqorida keltirilgan formula bo'yicha ajratamiz: (x - 2) 4 - (3 x + 1) 4 \u003d ((x - 2) 2 - ((x x 2) 2) ((x - 2) 2 + ( 3 x + 1) 2) \u003d \u003d (x - 2 - 3 x - 1) (x - 2 + 3 x + 1) (x 2 - 4 x + 4 + 9 x 2 + 6 x + 1) \u003d \u003d - (2 x + 3) (4 x - 1) (10 x 2 + 2 x + 5).
3. To'liq kvadratni tanlash uchun ariza
Hech qanday mubolag'a qilmasdan aytishimiz mumkinki, to'liq kvadratni tanlash usuli - bu faktorlashtirishning eng samarali usullaridan biri. Uning mohiyati to'liq kvadratni ajratishda va kvadratchalar farqining formulasini keyinchalik qo'llashda yotadi. Keling, misol orqali nima deyilganini tushuntirib beramiz.
Faktor polinomiyasi x 4 + 4x 2 - 1.
Bizda x 4 + 4 x 2 - 1 \u003d x 4 + 2 ċ 2 ċ x 2 + 4 - 4 - 1 \u003d (x 2 + 2) 2 - 5 \u003d (x 2 + 2 - 5) (x 2 + 2 +) 5).
4. Guruhlash
Terminlarni guruhlash usuli odatda faktoring boshqa usullari bilan va ko'p hollarda qavslarni qo'yish usuli bilan birgalikda qo'llaniladi. Usulning mohiyati shundan iboratki, berilgan polinomning barcha atamalari shunday tuzilganki, har bir guruhda, ehtimol umumiy omilni qavslardan tashqariga chiqargandan keyin bir xil ifoda hosil bo'ladi. Ushbu ibora shuningdek barcha guruhlar uchun umumiy omil sifatida belgilanishi mumkin.
5. Noaniq koeffitsientlar usuli
Noaniq koeffitsientlar usulining mohiyati shundan iboratki, berilgan polinomiya parchalanadigan omillarning shakli taxmin qilinadi va ushbu omillarning (shuningdek ko'pxaridlarning) koeffitsientlari omillarni ko'paytirish va koeffitsientlarni o'zgaruvchining bir xil darajalariga tenglashtirish orqali aniqlanadi.
Usulning nazariy asoslari quyidagilardan iborat.
- Ikkala koinot tengdir va agar ularning koeffitsientlari teng bo'lsa.
- Uchinchi darajadagi har qanday polinomiya kamida bitta haqiqiy ildizga ega va shuning uchun u chiziqli va kvadratik omil samarasiga parchalanadi.
- To'rtinchi darajali har qanday polinomiya ikkinchi darajali ko'payuvchilar mahsuloti sifatida parchalanadi.
Ikkinchi bayonotni isbotlash uchun g'alati butun sonli kuch funktsiyasining grafigi nimaga o'xshashligini eslaylik (2.2.5). Darhaqiqat, uning shaklidan ko'rinib turibdiki, ko'paytmaning qiymati turli belgilarga ega x → + ∞ va x → –∞. Polinom darajasi n Bu doimiy funktsiya bo'lib, bu funktsiyaning grafigi o'qni kesib o'tadigan kamida bitta nuqta borligini anglatadi Ox.
Faktor polinomiyasi 3x 3 - x 2 - 3x + 1.
Uchinchi darajali ko'payuvchi chiziqli va kvadratik omillar hosil bo'lishiga parchalanib ketganligi sababli, ko'paytmalarni qidiramiz x - p va bolta 2 + bx + c shunday tenglik haqiqatdir 3x 3 - x 2 - 3x + 1 \u003d (x - p) (bolta 2 + bx + c) \u003d ax 3 + (b - ap) x 2 + (c - bp) x - dona.
Ushbu tenglikning chap va o'ng tomonlarida teng darajadagi koeffitsientlarni tenglashtirsak, to'rtta noma'lum koeffitsientni aniqlash uchun to'rtta tenglama sistemasini olamiz: (a \u003d 3 b - a p \u003d - 1 c - b p \u003d - 3 - p c \u003d 1 Ushbu tizimni echishda biz quyidagi natijalarni olamiz: a \u003d 3, p \u003d –1, b \u003d 2, c \u003d –1.
Xullas, ko'pxizmatli 3x 3 - x 2 - 3x + 1 Omillar: 3x 3 - x 2 - 3x + 1 \u003d (x - 1) (3x 2 + 2x - 1).
6. Polinomning ildiz teoremasi
Polinomni faktorlashtirish ba'zan, agar 2.1.4-bandda isbotlangan ratsional ildiz teoremasidan foydalanib aniqlansa, amalga oshirilishi mumkin. Ildizdan keyin x \u003d a taxmin qilingan ko'paytirilgan P n (x) shaklida tasavvur qiling P n (x) \u003d (x - a) ċ P n - 1 (x)qayerda P n - 1 (x) - 1 darajali ko'payuvchidan kamroq P n (x).
Faktor polinomiyasi x 3 - 5x 2 - 2x + 16.
Ushbu ko'payish butun son koeffitsientlariga ega. Ratsional ildiz teoremasi bo'yicha (2.1.4-bandga qarang), agar butun son bu ko'payishning ildizi bo'lsa, u 16 ga bo'linadi, ya'ni berilgan polinom butun songa ega bo'lsa, u holda ular faqat ± 1, ± 2 raqamlari bo'lishi mumkin. , ± 4, ± 8, ± 16.
Tekshirish orqali biz 2 raqami ushbu ko'payishning ildizi ekanligini, ya'ni ya'ni x 3 - 5x 2 - 2x + 16 \u003d (x - 2) ċ Q (x)qayerda Q (x) - ikkinchi darajali polinomiya. Shunday qilib, asl polinom faktorlashtiriladi, ulardan biri ( x - 2).
7. Parametrga nisbatan kengaytirish
Ushbu usulning mohiyatini misol bilan tushunish oson.
Faktor polinomiyasi x 4 - 10x 2 - x + 20.
Ushbu ko'pxaridni o'zgartiramiz: x 4 - 10x 2 - x + 20 \u003d x 4 - 5 ċ 2x 2 - x + 25 - 5 \u003d 25 - 5 (1 + 2x 2) + x 4 - x
Endi ko'pxarorlikni ko'rib chiqing a 2 - a (1 + 2x 2) + x 4 - xqaysi da a \u003d 5 ma'lumotlarga mos keladi. Olingan ko'pxarang kvadrat kvadrat bo'lib, uning ildizlarini Vetnam teoremasi yordamida osongina topish mumkin: a 2 - a (1 + 2x 2) + x 4 - x \u003d a 2 - a (1 + 2x 2) + x (x 3 - 1) \u003d a 2 - a (1 + 2x 2) + x (x - 1) (x 2 + x + 1). Shuning uchun a 1 \u003d x (x - 1), a 2 \u003d x 2 + x + 1. Demak, asl polinom faktorlangan a 2 - a (1 + 2x 2) + x 4 - x \u003d (a - (x 2 - x)) (a - (x 2 + x + 1)). Muammo holatida o'rnini bosgan holda berilgan polinomiyaga qaytamiz a \u003d 5. Biz olamiz: x 4 - 10x 2 + x + 20 \u003d (5 - x 2 + x) (5 - x 2 - x - 1) \u003d (x 2 - x - 5) (x 2 + x - 4).