أبسط المعادلات مع الجيب. المعادلات المثلثية

حل المعادلات المثلثية البسيطة.

إن حل المعادلات المثلثية بأي مستوى من التعقيد يؤدي في النهاية إلى حل أبسط المعادلات المثلثية. وفي هذه الدائرة المثلثية مرة أخرى تبين أنها أفضل مساعد.

دعونا نتذكر تعريفات جيب التمام والجيب.

جيب تمام الزاوية هو الإحداثي (أي الإحداثي على طول المحور) لنقطة على دائرة الوحدة المقابلة للدوران خلال زاوية معينة.

جيب الزاوية هو الإحداثي (أي الإحداثي على طول المحور) لنقطة على دائرة الوحدة المقابلة للدوران خلال زاوية معينة.

الاتجاه الموجب للحركة على الدائرة المثلثية هو عكس اتجاه عقارب الساعة. دوران 0 درجة (أو 0 راديان) يتوافق مع نقطة ذات إحداثيات (1;0)

نستخدم هذه التعريفات لحل المعادلات المثلثية البسيطة.

1. حل المعادلة

يتم تلبية هذه المعادلة بجميع قيم زاوية الدوران المقابلة لنقاط على الدائرة التي يساوي إحداثيتها .

لنضع علامة على نقطة بإحداثيات على المحور الإحداثي:

ارسم خطًا أفقيًا موازيًا للمحور x حتى يتقاطع مع الدائرة. نحصل على نقطتين ملقاة على الدائرة ولها إحداثية. تتوافق هذه النقاط مع زوايا الدوران بالراديان:

إذا تركنا النقطة المقابلة لزاوية الدوران لكل راديان، وتجولنا في دائرة كاملة، فسنصل إلى نقطة مقابلة لزاوية الدوران لكل راديان ولها نفس الإحداثيات. وهذا يعني أن زاوية الدوران هذه تحقق أيضًا المعادلة التي لدينا. يمكننا القيام بأي عدد نريده من الثورات "الخاملة"، والعودة إلى نفس النقطة، وكل قيم الزوايا هذه سوف تلبي معادلتنا. سيتم الإشارة إلى عدد الثورات "الخاملة" بالحرف (أو). حيث أنه يمكننا إجراء هذه الثورات في الاتجاهين الموجب والسالب، (أو) يمكننا أن نأخذ أي قيم صحيحة.

أي أن السلسلة الأولى من الحلول للمعادلة الأصلية لها الشكل:

, , - مجموعة الأعداد الصحيحة (1)

وبالمثل، فإن السلسلة الثانية من الحلول لها الشكل:

، أين ، . (2)

كما كنت قد خمنت، فإن سلسلة الحلول هذه تعتمد على النقطة الموجودة على الدائرة المقابلة لزاوية الدوران بمقدار .

يمكن دمج هاتين السلسلتين من الحلول في إدخال واحد:

إذا أخذنا (أي حتى) في هذا الإدخال، فسنحصل على السلسلة الأولى من الحلول.

إذا أخذنا (أي فرديًا) في هذا الإدخال، فسنحصل على السلسلة الثانية من الحلول.

2. الآن دعونا نحل المعادلة

نظرًا لأن هذا هو الإحداثي المحوري لنقطة على دائرة الوحدة تم الحصول عليه عن طريق الدوران بزاوية، فإننا نحدد النقطة بالإحداثي المحوري على المحور:

ارسم خطًا رأسيًا موازيًا للمحور حتى يتقاطع مع الدائرة. سنحصل على نقطتين ملقاة على الدائرة ولدينا حافة. تتوافق هذه النقاط مع زوايا الدوران بالراديان. تذكر أنه عند التحرك في اتجاه عقارب الساعة نحصل على زاوية دوران سلبية:

دعونا نكتب سلسلتين من الحلول:

(نصل إلى النقطة المطلوبة بالانتقال من الدائرة الرئيسية الكاملة، أي.

دعونا ندمج هاتين السلسلتين في مدخل واحد:

3. حل المعادلة

يمر خط المماس بالنقطة ذات الإحداثيات (1,0) لدائرة الوحدة الموازية لمحور OY

لنضع علامة عليها بإحداثيات تساوي 1 (نحن نبحث عن ظل الزوايا الذي يساوي 1):

لنربط هذه النقطة بأصل الإحداثيات بخط مستقيم ونحدد نقاط تقاطع الخط مع دائرة الوحدة. نقاط تقاطع الخط المستقيم والدائرة تتوافق مع زوايا الدوران على و :

بما أن النقاط المقابلة لزوايا الدوران التي تحقق المعادلة لدينا تقع على مسافة راديان من بعضها البعض، فيمكننا كتابة الحل بهذه الطريقة:

4. حل المعادلة

يمر خط ظل التمام بالنقطة التي إحداثيات دائرة الوحدة موازية للمحور.

لنضع علامة على نقطة باستخدام الإحداثي السيني -1 على خط ظل التمام:

لنربط هذه النقطة بأصل الخط المستقيم ونواصل ذلك حتى يتقاطع مع الدائرة. سيتقاطع هذا الخط المستقيم مع الدائرة عند نقاط تتوافق مع زوايا الدوران بالراديان:

وبما أن هذه النقاط تفصل بينها مسافة تساوي , يمكننا كتابة الحل العام لهذه المعادلة على النحو التالي:

في الأمثلة المذكورة التي توضح حل أبسط المعادلات المثلثية، تم استخدام القيم الجدولية للدوال المثلثية.

ومع ذلك، إذا كان الجانب الأيمن من المعادلة يحتوي على قيمة غير جدولية، فإننا نعوض بالقيمة في الحل العام للمعادلة:

حلول خاصة:

دعونا نحدد النقاط على الدائرة التي إحداثيتها 0:

دعونا نحدد نقطة واحدة على الدائرة التي إحداثيتها هي 1:

لنضع علامة على نقطة واحدة على الدائرة التي إحداثياتها تساوي -1:

وبما أنه جرت العادة على الإشارة إلى القيم الأقرب إلى الصفر، فإننا نكتب الحل على النحو التالي:

دعونا نحدد النقاط الموجودة على الدائرة التي يساوي الإحداثي 0:

5.
دعونا نحدد نقطة واحدة على الدائرة التي يساوي طولها 1:

لنضع علامة على نقطة واحدة على الدائرة التي يساوي طولها -1:

وأمثلة أكثر تعقيدًا قليلاً:

الجيب يساوي واحدًا إذا كانت الوسيطة تساوي

حجة جيبنا متساوية، لذلك نحصل على:

اقسم طرفي المساواة على 3:

إجابة:

جيب التمام هو صفر إذا كانت وسيطة جيب التمام

حجة جيب التمام لدينا تساوي ، لذلك نحصل على:

لنعبر، للقيام بذلك ننتقل أولاً إلى اليمين بعلامة معاكسة:

دعونا نبسط الجانب الأيمن:

اقسم كلا الطرفين على -2:

لاحظ أن الإشارة الموجودة أمام المصطلح لا تتغير، حيث أن k يمكن أن تأخذ أي قيمة عددية.

إجابة:

وأخيرًا شاهد درس الفيديو "اختيار الجذور في معادلة مثلثية باستخدام الدائرة المثلثية"

بهذا نختتم محادثتنا حول حل المعادلات المثلثية البسيطة. في المرة القادمة سنتحدث عن كيفية اتخاذ القرار.

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من الهيئات الحكومية في الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

درس وعرض حول موضوع: "حل المعادلات المثلثية البسيطة"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الأدلة وأجهزة المحاكاة في متجر Integral عبر الإنترنت للصف العاشر من 1C
حل المشاكل في الهندسة. المهام التفاعلية للبناء في الفضاء
بيئة البرمجيات "1C: منشئ رياضي 6.1"

ما سوف ندرسه :
1. ما هي المعادلات المثلثية؟

3. طريقتان رئيسيتان لحل المعادلات المثلثية.
4. المعادلات المثلثية المتجانسة.
5. أمثلة.

ما هي المعادلات المثلثية؟

يا رفاق، لقد درسنا بالفعل أركسين وأركوسين وظل قوسي وظل قوسي. الآن دعونا نلقي نظرة على المعادلات المثلثية بشكل عام.

المعادلات المثلثية هي معادلات تحتوي على متغير تحت إشارة الدالة المثلثية.

دعونا نكرر شكل حل أبسط المعادلات المثلثية:

1)إذا كان |a|≥ 1، فإن المعادلة cos(x) = a لها حل:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) إذا كان |a|≥ 1، فإن المعادلة sin(x) = a لها حل:

3) إذا |أ| > 1، فإن المعادلة sin(x) = a وcos(x) = a ليس لها حلول 4) المعادلة tg(x)=a لها حل: x=arctg(a)+ πk

5) المعادلة ctg(x)=a لها حل: x=arcctg(a)+ πk

لجميع الصيغ ك هو عدد صحيح

أبسط المعادلات المثلثية لها الشكل التالي: T(kx+m)=a، T هي دالة مثلثية.

مثال.

حل المعادلات: أ) sin(3x)= √3/2

حل:

أ) لنشير إلى 3x=t، ثم سنعيد كتابة معادلتنا على الصورة:

حل هذه المعادلة سيكون: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

من جدول القيم نحصل على: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

دعنا نعود إلى المتغير: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

ثم x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

الإجابة: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3، حيث n عدد صحيح. (-1)^n – ناقص واحد أس n.

طريقتان رئيسيتان للحل.

لقد نظرنا إلى أبسط المعادلات المثلثية، ولكن هناك أيضًا معادلات أكثر تعقيدًا. ولحلها يتم استخدام طريقة إدخال متغير جديد وطريقة التحليل. دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

دعونا نحل المعادلة:

حل:
لحل المعادلة سنستخدم طريقة إدخال متغير جديد يدل على: t=tg(x).

نتيجة الاستبدال نحصل على: t 2 + 2t -1 = 0

لنجد جذور المعادلة التربيعية: t=-1 وt=1/3

ثم tg(x)=-1 وtg(x)=1/3، نحصل على أبسط معادلة مثلثية، لنجد جذورها.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

الإجابة: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

مثال على حل المعادلة

حل المعادلات: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

حل:

لنستخدم الهوية: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

ستكون معادلتنا بالشكل التالي: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 كوس 2 (س) - 3 كوس (س) -2 = 0

دعونا نقدم الاستبدال t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

حل المعادلة التربيعية هو الجذور: t=2 وt=-1/2

ثم cos(x)=2 وcos(x)=-1/2.

لأن لا يمكن لجيب التمام أن يأخذ قيمًا أكبر من واحد، وبالتالي فإن cos(x)=2 ليس له جذور.

بالنسبة لـ cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; س= ±2π/3 + 2πك

الإجابة: x= ±2π/3 + 2πk

المعادلات المثلثية المتجانسة.

تعريف: تسمى المعادلات ذات الشكل a sin(x)+b cos(x) بالمعادلات المثلثية المتجانسة من الدرجة الأولى.

معادلات النموذج

المعادلات المثلثية المتجانسة من الدرجة الثانية.

لحل معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الأولى، قسّمها على cos(x): لا يمكنك القسمة على جيب التمام إذا كان يساوي صفر، فلنتأكد من أن الأمر ليس كذلك:
لنفترض أن cos(x)=0، ثم asin(x)+0=0 => sin(x)=0، لكن الجيب وجيب التمام لا يساويان الصفر في نفس الوقت، نحصل على تناقض، حتى نتمكن من القسمة بأمان بمقدار الصفر.

حل المعادلة:
مثال: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

حل:

لنأخذ العامل المشترك: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

ثم نحتاج إلى حل معادلتين:

Cos(x)=0 وcos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 عند x= π/2 + πk;

خذ بعين الاعتبار المعادلة cos(x)+sin(x)=0 قسّم المعادلة على cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

الإجابة: x= π/2 + πk و x= -π/4+πk

كيفية حل المعادلات المثلثية المتجانسة من الدرجة الثانية؟
يا رفاق، اتبعوا هذه القواعد دائمًا!

1. تعرف على ما يساويه المعامل a، إذا كانت a=0 فإن معادلتنا ستأخذ الشكل cos(x)(bsin(x)+ccos(x))، مثال على الحل موجود في الشريحة السابقة

2. إذا كان a≠0، فأنت بحاجة إلى قسمة طرفي المعادلة على مربع جيب التمام، نحصل على:

نغير المتغير t=tg(x) ونحصل على المعادلة:

حل المثال رقم:3

حل المعادلة:
حل:

دعونا نقسم طرفي المعادلة على مربع جيب التمام:

نغير المتغير t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

لنجد جذور المعادلة التربيعية: t=-3 وt=1

ثم: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

الإجابة: x=-arctg(3) + πk وx= π/4+ πk

حل المثال رقم:4

حل المعادلة:

حل:
دعونا نحول تعبيرنا:

يمكننا حل هذه المعادلات: x= - π/4 + 2πk و x=5π/4 + 2πk

الإجابة: x= - π/4 + 2πk و x=5π/4 + 2πk

حل المثال رقم:5

حل المعادلة:

حل:
دعونا نحول تعبيرنا:

دعونا نقدم الاستبدال tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

سيكون حل المعادلة التربيعية هو الجذور: t=-2 وt=1/2

ثم نحصل على: tg(2x)=-2 و tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

الإجابة: x=-arctg(2)/2 + πk/2 و x=arctg(1/2)/2+ πk/2

مشاكل للحل المستقل.

1) حل المعادلة

أ) sin(7x)= 1/2 ب) cos(3x)= √3/2 ج) cos(-x) = -1 د) tg(4x) = √3 د) ctg(0.5x) = -1.7

2) حل المعادلات: sin(3x)= √3/2. وأوجد جميع الجذور في القطعة [π/2; π].

3) حل المعادلة: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) حل المعادلة: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) حل المعادلة: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) حل المعادلة: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

تتضمن دورة الفيديو "احصل على A" جميع المواضيع اللازمة لاجتياز اختبار الدولة الموحدة في الرياضيات بنجاح مع 60-65 نقطة. أكمل جميع المهام من 1 إلى 13 من امتحان الدولة الموحدة للملف التعريفي في الرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز امتحان الدولة الموحدة الأساسي في الرياضيات. إذا كنت ترغب في اجتياز امتحان الدولة الموحدة برصيد 90-100 نقطة، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء!

دورة تحضيرية لامتحان الدولة الموحدة للصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات (أول 12 مسألة) والمسألة 13 (علم المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في امتحان الدولة الموحدة، ولا يستطيع طالب 100 نقطة ولا طالب العلوم الإنسانية الاستغناء عنها.

كل النظرية اللازمة. الحلول السريعة والمزالق وأسرار امتحان الدولة الموحدة. تم تحليل جميع المهام الحالية للجزء الأول من بنك مهام FIPI. تتوافق الدورة تمامًا مع متطلبات امتحان الدولة الموحدة 2018.

تحتوي الدورة على 5 مواضيع كبيرة، مدة كل منها 2.5 ساعة. يتم تقديم كل موضوع من الصفر، ببساطة ووضوح.

المئات من مهام امتحان الدولة الموحدة. المسائل اللفظية ونظرية الاحتمالات. خوارزميات بسيطة وسهلة التذكر لحل المشكلات. الهندسة. النظرية والمواد المرجعية وتحليل جميع أنواع مهام امتحان الدولة الموحدة. القياس المجسم. حلول صعبة، أوراق غش مفيدة، تطوير الخيال المكاني. علم المثلثات من الصفر إلى المشكلة 13. الفهم بدلا من الحشر. تفسيرات واضحة للمفاهيم المعقدة. الجبر. الجذور والقوى واللوغاريتمات والدالة والمشتقات. أساس لحل المشكلات المعقدة للجزء الثاني من امتحان الدولة الموحدة.

يمكنك طلب حل مفصل لمشكلتك!!!

المساواة التي تحتوي على مجهول تحت علامة الدالة المثلثية (`sin x، cos x، tan x` أو `ctg x`) تسمى معادلة مثلثية، وسننظر في صيغها بشكل أكبر.

أبسط المعادلات هي `sin x=a، cos x=a، tg x=a، ctg x=a`، حيث `x` هي الزاوية التي سيتم العثور عليها، و`a` هو أي رقم. دعونا نكتب الصيغ الجذرية لكل منها.

1. المعادلة `sin x=a`.

بالنسبة إلى `|a|>1`، لا يوجد لها حلول.

عندما `|أ| \leq 1` يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.

صيغة الجذر: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. المعادلة `cos x=a`

بالنسبة لـ `|a|>1` - كما في حالة جيب الجيب، ليس لها حلول بين الأعداد الحقيقية.

عندما `|أ| \leq 1` يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.

صيغة الجذر: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

حالات خاصة للجيب وجيب التمام في الرسوم البيانية.

3. المعادلة `tg x=a`

لديه عدد لا نهائي من الحلول لأي قيم `a`.

صيغة الجذر: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. المعادلة `ctg x=a`

لديه أيضًا عدد لا نهائي من الحلول لأي قيم `a`.

صيغة الجذر: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

صيغ جذور المعادلات المثلثية في الجدول

لجيب:
لجيب التمام:
بالنسبة للظل وظل التمام:
صيغ حل المعادلات التي تحتوي على دوال مثلثية عكسية:

طرق حل المعادلات المثلثية

حل أي معادلة مثلثية يتكون من مرحلتين:

وذلك بمساعدة تحويله إلى الأبسط؛
حل أبسط معادلة تم الحصول عليها باستخدام الصيغ الجذرية والجداول المكتوبة أعلاه.

دعونا نلقي نظرة على طرق الحل الرئيسية باستخدام الأمثلة.

الطريقة الجبرية.

تتضمن هذه الطريقة استبدال متغير واستبداله بالمساواة.

مثال. حل المعادلة: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

قم بالاستبدال: `cos(x+\frac \pi 6)=y`، ثم `2y^2-3y+1=0`،

نجد الجذور: `y_1=1, y_2=1/2`، ويتبع منها حالتان:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

الإجابة: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`، `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

التخصيم.

مثال. حل المعادلة: `sin x+cos x=1`.

حل. لننقل جميع حدود المساواة إلى اليسار: `sin x+cos x-1=0`. باستخدام ، نقوم بتحويل وتحليل الجانب الأيسر:

`الخطيئة x - 2sin^2 x/2=0`،

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`،

`2سين x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`،

`الخطيئة x/2 =0`، `x/2 =\pi n`، `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

الإجابة: `x_1=2\pi n`، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

التخفيض إلى معادلة متجانسة

أولاً، عليك اختزال هذه المعادلة المثلثية إلى أحد الشكلين:

`a sin x+b cos x=0` (معادلة متجانسة من الدرجة الأولى) أو `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (معادلة متجانسة من الدرجة الثانية).

ثم اقسم كلا الجزأين على `cos x \ne 0` - للحالة الأولى، وعلى `cos^2 x \ne 0` - للحالة الثانية. حصلنا على معادلات `tg x`: `a tg x+b=0` و`a tg^2 x + b tg x +c =0`، والتي تحتاج إلى حل باستخدام الطرق المعروفة.

مثال. حل المعادلة: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

حل. لنكتب الجانب الأيمن بالشكل `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 الخطيئة^2 x+الخطيئة x cos x — cos^2 x=` `الخطيئة^2 x+cos^2 x`,

`2 الخطيئة^2 x+الخطيئة x cos x — cos^2 x -` ` الخطيئة^2 x — cos^2 x=0`

`الخطيئة^2 x+الخطيئة x cos x — 2 cos^2 x=0`.

هذه معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الثانية، نقسم طرفيها الأيمن والأيسر على `cos^2 x\ne 0`، فنحصل على:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. دعنا نقدم الاستبدال `tg x=t`، مما يؤدي إلى `t^2 + t - 2=0`. جذور هذه المعادلة هي `t_1=-2` و`t_2=1`. ثم:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

إجابة. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

الانتقال إلى نصف الزاوية

مثال. حل المعادلة: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

حل. دعونا نطبق صيغ الزاوية المزدوجة، مما يؤدي إلى: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 كوس ^2 س/2`

`4 تيراغرام^2 س/2 — 11 تيراغرام س/2 +6=0`

وبتطبيق الطريقة الجبرية الموصوفة أعلاه نحصل على:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

إجابة. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

مقدمة من الزاوية المساعدة

في المعادلة المثلثية `a sin x + b cos x =c`، حيث a,b,c معاملات وx متغير، قسّم كلا الطرفين على `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +ب^2))`.

المعاملات الموجودة على الجانب الأيسر لها خصائص الجيب وجيب التمام، أي أن مجموع مربعاتها يساوي 1 ووحداتها ليست أكبر من 1. ولنرمز إليها كما يلي: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`، ثم:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

دعونا نلقي نظرة فاحصة على المثال التالي:

مثال. حل المعادلة: `3 sin x+4 cos x=2`.

حل. نقسم طرفي المساواة على `sqrt (3^2+4^2)`، نحصل على:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 الخطيئة x+4/5 cos x=2/5`.

دعنا نشير إلى `3/5 = cos \varphi`، `4/5=sin \varphi`. بما أن `sin \varphi>0`، `cos \varphi>0`، فإننا نأخذ `\varphi=arcsin 4/5` كزاوية مساعدة. ثم نكتب المساواة لدينا في الشكل:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

بتطبيق صيغة مجموع زوايا الجيب، نكتب مساواتنا بالشكل التالي:

`الخطيئة (x+\varphi)=2/5`،

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

إجابة. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

المعادلات المثلثية العقلانية الكسرية

هذه هي المساواة مع الكسور التي تحتوي بسطها ومقاماتها على دوال مثلثية.

مثال. حل المعادلة. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

حل. اضرب واقسم الجانب الأيمن من المساواة على `(1+cos x)`. ونتيجة لذلك نحصل على:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

بالنظر إلى أن المقام لا يمكن أن يساوي الصفر، نحصل على `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

دعونا نساوي بسط الكسر بالصفر: `sin x-sin^2 x=0`، `sin x(1-sin x)=0`. ثم `sin x=0` أو `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

بالنظر إلى أن ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`، الحلول هي `x=2\pi n, n \in Z` و `x=\pi /2+2\pi n` ، `ن \في Z`.

إجابة. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

يُستخدم علم المثلثات، والمعادلات المثلثية على وجه الخصوص، في جميع مجالات الهندسة والفيزياء والهندسة تقريبًا. تبدأ الدراسة في الصف العاشر، وهناك دائمًا مهام لامتحان الدولة الموحدة، لذا حاول أن تتذكر جميع صيغ المعادلات المثلثية - فهي بالتأكيد ستكون مفيدة لك!

ومع ذلك، لا تحتاج حتى إلى حفظها، والشيء الرئيسي هو فهم الجوهر والقدرة على استخلاصه. انها ليست صعبة كما يبدو. شاهد بنفسك من خلال مشاهدة الفيديو.

أبسط المعادلات مع الجيب. المعادلات المثلثية - الصيغ والحلول والأمثلة