ko‘paytirish yordamida topish mumkin. Masalan: 5+5+5+5+5+5=5x6. Ular shunday ibora haqida aytadilarki, teng shartlar yig'indisi mahsulotga buklangan. Va aksincha, agar biz bu tenglikni o'ngdan chapga o'qisak, biz teng shartlar yig'indisini kengaytirdik. Xuddi shunday, siz bir nechta teng ko'paytmalarning ko'paytmasini katlay olasiz 5x5x5x5x5x5=5 6 .

Ya'ni, oltita bir xil koeffitsient 5x5x5x5x5x5 ni ko'paytirish o'rniga, ular 5 6 ni yozib, "beshdan oltinchi darajaga" deyishadi.

5 6 ifodasi sonning kuchidir, bunda:

5 - daraja bazasi;

6 - ko'rsatkich.

Teng omillar ko'paytmasini kuchga aylantirish operatsiyalari deyiladi eksponentsiya.

Umuman olganda, asosi "a" va ko'rsatkichi "n" bo'lgan daraja quyidagicha yoziladi

a sonini n ning darajasiga ko'tarish har biri a ga teng bo'lgan n ta omilning mahsulotini topishni anglatadi.

Agar "a" darajasining asosi 1 bo'lsa, u holda har qanday natural n uchun daraja qiymati 1 ga teng bo'ladi. Masalan, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Agar siz "a" raqamini ko'tarsangiz, ko'taring birinchi daraja, keyin biz a raqamining o'zini olamiz: a 1 = a

Agar biron-bir raqamni ko'tarsangiz nol daraja, keyin hisob-kitoblar natijasida biz bitta olamiz. a 0 = 1

Sonning ikkinchi va uchinchi darajalari maxsus hisoblanadi. Ular uchun nomlar o'ylab topdilar: ikkinchi daraja deyiladi raqamning kvadrati, uchinchi - kub bu raqam.

Har qanday raqam kuchga ko'tarilishi mumkin - ijobiy, salbiy yoki nolga. Biroq, quyidagi qoidalar qo'llanilmaydi:

Ijobiy sonning darajasini topishda ijobiy son olinadi.

Nolni naturada hisoblashda biz nolga erishamiz.

x m x n = x m + n

masalan: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Kimga kuchlarni bir xil asos bilan taqsimlang biz bazani o'zgartirmaymiz, lekin ko'rsatkichlarni ayirib tashlaymiz:

x m / x n \u003d x m - n , qayerda, m > n

masalan: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Hisoblashda eksponentsiya Biz asosni o'zgartirmaymiz, lekin ko'rsatkichlarni bir-biriga ko'paytiramiz.

(m.da )n = y m n

masalan: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · m ,

masalan: (2 3) 3 = 2 n 3 m ,

uchun hisob-kitoblarni amalga oshirayotganda kasrni darajaga ko'tarish kasrning sonini va maxrajini berilgan darajaga ko'taramiz

(x/y) n = x n / y n

masalan: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3 .

Darajani o'z ichiga olgan ifodalar bilan ishlashda hisob-kitoblarni bajarish ketma-ketligi.

Qavssiz, lekin o'z ichiga darajali ifodalarni hisoblashda, birinchi navbatda, darajaga ko'tarish, keyin ko'paytirish va bo'lish amallari, shundan keyingina qo'shish va ayirish amallari bajariladi.

Agar qavslarni o'z ichiga olgan ifodani baholash kerak bo'lsa, avval yuqorida ko'rsatilgan tartibda hisob-kitoblarni qavs ichida, so'ngra chapdan o'ngga bir xil tartibda qolgan amallarni bajaramiz.

Amaliy hisob-kitoblarda, hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun darajalarning tayyor jadvallari juda keng qo'llaniladi.

Daraja, shuningdek, ixtiyoriy (ratsional yoki irratsional, shuningdek, murakkab) ko'rsatkich holatiga umumlashtiriladi.

Katta ensiklopedik lug'at. 2000 .

Sinonimlar:

Boshqa lug'atlarda "DEGREE" nima ekanligini ko'ring:

Darajalar, pl. darajalar, darajalar, xotinlar. 1. Qiyosiy qiymat, qiyosiy miqdor, qiyosiy kattalik, nisbiy sifat nima n. madaniyat darajasi. Yuqori malaka darajasi. O'zaro munosabatlar darajasi (tug'ilganlar soni ... ... Ushakovning izohli lug'ati

Ayol bosqich, qator, toifa, tartib, sifat, qadr-qimmat bo‘yicha holatlardan; bir hil, hamma narsada teng bo'lgan, ko'tarilish va pasayish bo'yicha narvon tartibi taxmin qilingan joy va yig'ilish. Fotoalbomlar, o'simliklar va hayvonlarning shohligi, bular uch daraja ... ... Dahlning tushuntirish lug'ati

Bosqich, toifa, qator, bosqich, bosqich, balandlik, nuqta, daraja, daraja, oddiy, qadr-qimmat, daraja, daraja. Darajalar ketma-ketligi narvon, ierarxiya. Ta'lim, mulkiy malaka. Ish yangi bosqichga kirdi. Oxirgi darajadagi iste'mol ... Sinonim lug'at

DEGREE, va, pl. va, u, xotinlar. 1. O'lchov, uning qiyosiy qiymati n. C. tayyorgarlik. C. ifloslanish. 2. Sarlavha bilan bir xil (1 ma'noda), shuningdek (eskirgan) martaba, daraja. Olim S. Fanlar doktori. Yuqori darajalarga erishing. 3. odatda buyurtma bilan. raqam…… Ozhegovning izohli lug'ati

daraja- dissotsilanish darajasi oksidlanish darajasi so'rilish darajasi ... Kimyoviy atamalar

- (kuch) Sonni o'ziga ko'paytirishning ma'lum sonini ko'rsatadigan ko'rsatkich, x ning n-darajasi x degani; o'ziga n marta ko'paytiriladi; n - ko'rsatkich. Kuchlar ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin: x n shuni anglatadiki ... Iqtisodiy lug'at

POWER, matematikada, son yoki VARIABLEni o'ziga ma'lum bir necha marta ko'paytirish natijasi. Shunday qilib, a2 (= a 3 a) a ning ikkinchi darajasi; a3 uchinchi daraja; a4 to'rtinchi va boshqalar. Ko'paytirilishi kerak bo'lgan raqam (bu misolda, a) asosiy ... ... deyiladi. Ilmiy-texnik entsiklopedik lug'at

daraja- daraja, pl. daraja, jins daraja (noto'g'ri daraja) ... Zamonaviy rus tilida talaffuz va stress qiyinchiliklari lug'ati

DARAJA- (1) dissotsiatsiya - bir jinsli (gazsimon va suyuq) tizimlardagi reaktsiyaning muvozanat holatini tavsiflovchi qiymat (qarang); ularning tarkibiy qismlariga (atomlar, molekulalar, bo'lmaganlar) parchalangan (dissotsilangan) molekulalar sonining ... ... nisbati bilan ifodalanadi. Katta politexnika entsiklopediyasi

"Kuch" atamasi quyidagilarni anglatishi mumkin: Matematikada Ko'rsatkichlar Dekart quvvati n-darajali ildiz O'rnatilgan quvvat Ko'p nomli quvvat Differensial tenglama quvvati Xaritaga solish quvvati Geometriyada nuqta kuchi Ming ... ... Vikipediya

Kitoblar

• Ishonch darajasi, Vladimir Voinovich, "Ishonch darajasi" - V. Voinovichning birinchi tarixiy hikoyasi. U ajoyib inqilobchi Vera Nikolaevna Fignerga bag'ishlangan. Muallif asosiy fikrlarga e'tibor qaratadi ... Seriya: Olovli inqilobchilar Nashriyot: Siyosiy adabiyot nashriyoti,
• Biznes jarayonlarini boshqarish tizimining axborot texnologiyalarini joriy etishga tayyorlik darajasi (baholash usuli) , AV Kostrov , Maqolada biznes jarayonlarini boshqarish tizimining axborotlashtirishga tayyorlik darajasini baholash vazifasi qo'yilgan. Yetuklik bosqichlarining og'zaki tavsiflarini turli xil o'ziga xos xususiyatlar bilan ko'rsatish taklif etiladi ... Seriya: Amaliy informatika. Ilmiy maqolalar Nashriyot:

Barcha omillar bir xil bo'lgan mahsulot qisqaroq yozilishi mumkin:

4 4 4 = 4 3

4 3 ifodasi (shuningdek, uni baholash natijasi) deyiladi daraja.

Daraja - bu o'xshash omillar mahsulotining qisqartmasi.

Bir xil omillar sonini ko'rsatadigan raqam deyiladi ko'rsatkich. Bir kuchga ko'tarilgan raqam chaqiriladi daraja asosi:

Yozuv 4 3 quyidagicha o'qiladi: to'rtdan uchta yoki to'rttadan uchinchi darajaga.

raqam darajasi a tabiiy ko'rsatkich bilan n(qaerda n> 1) mahsulotni chaqiring n ko'paytirgichlar, ularning har biri teng a.

1-misol 2 4 ni hisoblang:

2-misol 3 7 ni hisoblang:

Agar biron-bir son koeffitsient bilan 2 marta olinsa, ko'paytma shu sonning ikkinchi darajasi deb ataladi, agar biron bir raqam ko'paytma bilan 3 marta olinsa, ko'paytma shu sonning uchinchi darajasi deb ataladi va hokazo. Masalan. , birinchi misoldagi 16 ning ko'paytmasi 2 ning to'rtinchi darajasidir.

Raqamning birinchi darajasi sonning o'zidir. Masalan, 2 1 \u003d 2, 5 1 \u003d 5, 100 1 \u003d 100, ya'ni har qanday raqamning birinchi kuchi raqamning o'ziga teng:

a 1 = a

Raqamning ikkinchi darajasi boshqa narsa deb ataladi. kvadrat raqamlar. Masalan, 5 2 ni yozish besh kvadratni o'qiydi. Raqamning uchinchi darajasi boshqa narsa deb ataladi. kub raqamlar. Masalan, 5 3 ni yozish besh kubni o'qiydi. Bu nomlar geometriyadan olingan.

Bu daraja qiymatini hisoblash. Misol uchun, agar vazifa 3 5 kuchining qiymatini hisoblash bo'lsa, unda uni quyidagicha qayta shakllantirish mumkin: 3 raqamini beshinchi darajaga ko'taring.

Misol: 3 5 daraja qiymatini hisoblang.

Yechim: bu daraja ko'paytmaga teng: 3 3 3 3 3. Ko'paytmalarni ko'paytiramiz va javobni olamiz: 243.

Javob: 3 5 = 243.

Daraja ko'pincha juda katta yoki juda kichik raqamlarni yozish uchun ishlatiladi. Masalan, sekundiga taxminan 300 000 000 (uch yuz million) metrga teng bo'lgan yorug'lik tezligini quyidagicha yozish qulayroqdir: 3 · 10 8 m/s.

Bir daraja birlikni daraja sifatida ifodalash uchun ishlatilishi mumkin:

399 = 3 100 + 9 10 + 9 1 = 3 10 2 + 9 10 1 + 9 1

Shuningdek, daraja ko'pincha sonni tub omillarga ajratishni yozishda ishlatiladi:

1000 = 2 3 5 3

eksponentatsiya kalkulyatori

Ushbu kalkulyator sizga eksponentsiyani amalga oshirishda yordam beradi. Faqat bazani ko'rsatkich bilan kiriting va Hisoblash tugmasini bosing.

Qachon raqam o'zini ko'paytiradi o'zimga, ish chaqirdi daraja.

Shunday qilib, 2,2 = 4, kvadrat yoki 2 ning ikkinchi darajasi
2.2.2 = 8, kub yoki uchinchi kuch.
2.2.2.2 = 16, to'rtinchi daraja.

Bundan tashqari, 10.10 = 100, ikkinchi quvvat 10 ga teng.
10.10.10 = 1000, uchinchi daraja.
10.10.10.10 = 10000 to'rtinchi daraja.

Va a.a = aa, a ning ikkinchi darajasi
a.a.a = aaa, a ning uchinchi darajasi
a.a.a.a = aaaa, a ning to'rtinchi darajasi

Asl raqam chaqiriladi ildiz bu raqamning darajalari, chunki bu darajalar yaratilgan raqam.

Biroq, ayniqsa, yuqori kuchlar bo'lsa, vakolatlarni tashkil etuvchi barcha omillarni yozish juda qulay emas. Shuning uchun qisqartirilgan belgi usuli qo'llaniladi. Darajaning ildizi faqat bir marta yoziladi va o'ngga va uning yonida biroz balandroq, lekin biroz kichikroq shriftda necha marta yoziladi. ildiz omil vazifasini bajaradi. Bu raqam yoki harf chaqiriladi ko'rsatkich yoki daraja raqamlar. Demak, 2 a.a yoki aa ga teng, chunki a ning kuchini olish uchun a ning ildizini ikki marta o‘z-o‘zidan ko‘paytirish kerak. Shuningdek, 3 aaa degan ma'noni anglatadi, ya'ni bu erda a takrorlanadi Uch marta multiplikator sifatida.

Birinchi darajaning ko'rsatkichi 1 ga teng, lekin u odatda yozilmaydi. Shunday qilib, 1 a sifatida yoziladi.

Siz darajalarni bilan aralashtirmasligingiz kerak koeffitsientlar. Koeffitsient qiymat qanchalik tez-tez qabul qilinishini ko'rsatadi qismi butun. Ko'rsatkich qiymat qanchalik tez-tez qabul qilinishini ko'rsatadi omil ishda.
Demak, 4a = a + a + a + a. Lekin 4 = a.a.a.a

Eksponensial belgining o'ziga xos afzalligi shundaki, bizga ifodalash imkonini beradi noma'lum daraja. Buning uchun raqam o'rniga ko'rsatkich yoziladi xat. Muammoni hal qilish jarayonida biz bilganimizdek, qiymatni olishimiz mumkin biroz boshqa kattalik darajasi. Ammo hozircha biz bu kvadratmi, kubmi yoki boshqa, yuqori darajami, bilmaymiz. Demak, a x ifodasida ko‘rsatkich bu ifodaga ega ekanligini bildiradi biroz darajasi aniqlanmagan bo'lsa ham qanday daraja. Shunday qilib, b m va d n m va n darajalariga ko'tariladi. Ko‘rsatkich topilsa, raqam harf bilan almashtirilgan. Demak, m=3 bo'lsa, b m = b 3; lekin m = 5 bo'lsa, b m =b 5 bo'ladi.

Ko'rsatkichlar bilan qiymatlarni yozish usuli ham foydalanishda katta afzallik hisoblanadi ifodalar. Shunday qilib, (a + b + d) 3 - (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), ya'ni trinomialning kubi (a + b + d) . Ammo bu ifodani kubikdan keyin yozsak, u shunday ko'rinadi
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3.

Ko‘rsatkichlari 1 ga oshgan yoki kamaygan darajalar qatorini oladigan bo‘lsak, hosila 1 ga ortishini topamiz. umumiy omil yoki tomonidan qisqartiriladi umumiy bo'luvchi, va bu omil yoki bo'luvchi kuchga ko'tarilgan asl sondir.

Demak, aaaaa, aaaa, aaa, aa, aa qatorida;
yoki 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ;
ko'rsatkichlar, agar o'ngdan chapga hisoblansa, 1, 2, 3, 4, 5; va ularning qiymatlari orasidagi farq 1 ga teng. Agar biz boshlasak o'ngda ko'paytirmoq a da, biz bir nechta qiymatlarni muvaffaqiyatli olamiz.

Shunday qilib, a.a = a 2, ikkinchi had. Va 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3, uchinchi had. a 4 .a = a 5 .

Agar boshlasak chap bo'lmoq ustida,
5:a = a 4 va 3:a = a 2 ni olamiz.
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Ammo bunday bo'linish jarayoni yanada davom ettirilishi mumkin va biz yangi qadriyatlar to'plamini olamiz.

Demak, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

To'liq qator quyidagicha bo'ladi: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Yoki 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3 .

Mana qadriyatlar o'ngda birligidan hisoblanadi teskari qiymatlar birining chap tomonida. Shuning uchun bu darajalarni chaqirish mumkin teskari kuchlar a. Chapdagi kuchlar o'ngdagi kuchlarning teskarisi ekanligini ham aytish mumkin.

Demak, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Va 1:(1/a 3) = a 3 .

Xuddi shu ro'yxatga olish rejasi qo'llanilishi mumkin polinomlar. Shunday qilib, a + b uchun biz to'plamni olamiz,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Qulaylik uchun teskari kuchlarni yozishning yana bir shakli qo'llaniladi.

Ushbu shaklga ko'ra, 1/a yoki 1/a 1 = a -1 . Va 1/aaa yoki 1/a 3 = a -3 .
1/aa yoki 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa yoki 1/a 4 = a -4 .

Va ko'rsatkichlarni to'liq qatorga aylantirish uchun umumiy farq sifatida 1, a/a yoki 1, darajasi yo'q deb hisoblanadi va 0 sifatida yoziladi.

Keyin, to'g'ridan-to'g'ri va teskari kuchlarni hisobga olgan holda
aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa oʻrniga
4 , 3 , 2 , 1 , 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 ni yozishingiz mumkin.
Yoki a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .

Va faqat alohida olingan darajalar qatori quyidagi shaklga ega bo'ladi:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Darajaning ildizi bir nechta harf bilan ifodalanishi mumkin.

Shunday qilib, aa.aa yoki (aa) 2 aa ning ikkinchi darajasidir.
Va aa.aa.aa yoki (aa) 3 aa ning uchinchi darajasidir.

1 raqamining barcha darajalari bir xil: 1.1 yoki 1.1.1. 1 ga teng bo'ladi.

Ko'rsatkich - bu har qanday sonning qiymatini o'ziga ko'paytirish orqali topish. Eksponentsiya qoidasi:

Raqamning kuchida ko'rsatilgan qiymatni o'zi bilan ko'paytiring.

Bu qoida eksponentsiya jarayonida paydo bo'lishi mumkin bo'lgan barcha misollar uchun umumiydir. Ammo bu alohida holatlarga qanday taalluqliligini tushuntirish to'g'ri bo'ladi.

Agar faqat bitta atama kuchga ko'tarilsa, u ko'rsatkich ko'rsatadigan darajada o'z-o'zidan ko'paytiriladi.

To'rtinchi kuch a - 4 yoki aaaa. (195-modda.)
y ning oltinchi darajasi y 6 yoki yyyyyy.
X ning n-darajasi x n yoki xxx..... n marta takrorlangan.

Agar kuchga bir nechta atamalarning ifodasini ko'tarish kerak bo'lsa, bu tamoyil bir necha omillar mahsulotining darajasi bir kuchga ko'tarilgan bu omillar mahsulotiga teng.

Shunday qilib (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Lekin ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2.
Demak, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3.

Shuning uchun, mahsulot darajasini topishda biz bir vaqtning o'zida butun mahsulot bilan ishlay olamiz yoki har bir omil bo'yicha alohida ishlay olamiz va keyin ularning qiymatlarini darajalar bilan ko'paytiramiz.

1-misol. Dhy ning to'rtinchi darajasi (dhy) 4 yoki d 4 h 4 y 4.

2-misol. 4b ning uchinchi darajasi (4b) 3 yoki 4 3 b 3 yoki 64b 3 ga teng.

3-misol. 6ad ning n-darajasi (6ad) n yoki 6 n a n d n.

4-misol. 3m.2y ning uchinchi darajasi (3m.2y) 3 yoki 27m 3 .8y 3 ga teng.

+ va - bilan bog'langan hadlardan iborat binomialning darajasi uning hadlarini ko'paytirish yo'li bilan hisoblanadi. Ha,

(a + b) 1 = a + b, birinchi kuch.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, ikkinchi quvvat (a + b).
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, uchinchi daraja.
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, to'rtinchi daraja.

Kvadrat a - b, 2 - 2ab + b 2 mavjud.

a + b + h kvadrati a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

1-mashq. a + 2d + 3 kubni toping

Mashq 2. To'rtinchi daraja b + 2 ni toping.

3-mashq. x + 1 ning beshinchi darajasini toping.

Mashq 4. Oltinchi darajani toping 1 - b.

Yig'indi kvadratlari miqdor va farq binomlar algebrada shunchalik keng tarqalganki, ularni juda yaxshi bilish kerak.

Agar a + h o'ziga yoki a - h o'ziga ko'paytirsak,
olamiz: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 ham, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Bu shuni ko'rsatadiki, har bir holatda birinchi va oxirgi had a va h kvadratlari, o'rta had a va h ning ikki barobar ko'paytmasi. Demak, binomlarning yig'indisi va ayirmasining kvadratini quyidagi qoida yordamida topish mumkin.

Ikkalasi ham musbat bo'lgan binomning kvadrati birinchi hadning kvadratiga + ikkala hadning ikki barobari + oxirgi hadning kvadratiga teng.

Kvadrat farq binomial birinchi hadning kvadratiga minus ikkala hadning ikki barobari va ikkinchi hadning kvadratiga teng.

Misol 1. 2a + b kvadrat, 4a 2 + 4ab + b 2 mavjud.

2-misol. ab + cd kvadrati a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 dir.

3-misol. 3d - h kvadrati 9d 2 + 6dh + h 2 ga teng.

4-misol. a - 1 kvadrati 2 - 2a + 1 ga teng.

Binomlarning yuqori kuchlarini topish usuli uchun quyidagi bo'limlarga qarang.

Ko'p hollarda yozish samarali bo'ladi daraja ko'paytirish yo'q.

Demak, a + b kvadrati (a + b) 2 ga teng.
n-chi daraja bc + 8 + x (bc + 8 + x) n

Bunday hollarda qavslar qoplanadi hammasi ilmiy darajaga ega a'zolar.

Ammo darajaning ildizi bir nechtadan iborat bo'lsa multiplikatorlar, qavslar butun ifodani qamrab olishi mumkin yoki qulaylikka qarab omillarga alohida qo'llanilishi mumkin.

Shunday qilib, kvadrat (a + b)(c + d) yo [(a + b).(c + d)] 2 yoki (a + b) 2 .(c + d) 2 dir.

Ushbu ifodalarning birinchisi uchun natija ikki omil ko'paytmasining kvadrati, ikkinchisi uchun esa ularning kvadratlari ko'paytmasi hisoblanadi. Ammo ular bir-biriga teng.

Kub a.(b + d), 3 yoki a 3 .(b + d) 3 ga teng.

Shuningdek, ishtirok etuvchi a'zolar oldidagi belgini ham hisobga olish kerak. Shuni yodda tutish kerakki, kuchning ildizi ijobiy bo'lsa, uning barcha ijobiy kuchlari ham ijobiydir. Ammo ildiz salbiy bo'lsa, qiymatlar dan g'alati kuchlar salbiy, qadriyatlar esa hatto darajalar ijobiydir.

Ikkinchi daraja (- a) +a 2 ga teng
Uchinchi daraja (-a) -a 3
To'rtinchi daraja (-a) +a 4 ga teng
Beshinchi daraja (-a) -a 5 ga teng

Shuning uchun har qanday g'alati ko'rsatkich son bilan bir xil ishoraga ega. Lekin hatto raqamning manfiy yoki ijobiy belgisi bo'lishidan qat'i nazar, daraja ijobiydir.
Demak, +a.+a = +a 2
VA -a.-a = +a 2

Bir darajaga ko'tarilgan qiymat ko'rsatkichlarni ko'paytirish orqali yana bir darajaga ko'tariladi.

2 ning uchinchi darajasi 2,3 = a 6 ga teng.

2 = aa uchun; kub aa aa.aa.aa = aaaaaa = a 6; bu a ning oltinchi darajasi, lekin 2 ning uchinchi darajasi.

To'rtinchi daraja a 3 b 2 a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

4a 2 x ning uchinchi darajasi 64a 6 x 3 ga teng.

(a + b) 2 ning beshinchi darajasi (a + b) 10 ga teng.

3 ning N-darajasi 3n ga teng

(x - y) m ning n-darajasi (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Qoida teng ravishda amal qiladi salbiy daraja.

1-misol. -2 ning uchinchi darajasi -3,3 =a -6 ga teng.

A uchun -2 = 1/aa va bu uchinchi daraja
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

To'rtinchi kuch a 2 b -3 - 8 b -12 yoki 8 / b 12.

b 3 x -1 kvadrati b 6 x -2 ga teng.

n-chi kuch ax -m x -mn yoki 1/x dir.

Biroq, bu erda esda tutish kerakki, agar belgi oldingi daraja "-" bo'lsa, daraja juft son bo'lganda uni "+" ga o'zgartirish kerak.

1-misol. -a 3 kvadrati +a 6 ga teng. -a 3 ning kvadrati -a 3 .-a 3 bo'lib, ko'paytirish belgilari qoidalariga ko'ra, +a 6 ga teng.

2. Lekin -a 3 kubi -a 9 ga teng. -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 uchun.

3. -a 3 ning N-darajasi 3n ga teng.

Bu erda natija n ning juft yoki toq bo'lishiga qarab ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin.

Agar a kasr darajaga ko'tarilgan, son va maxraj darajaga ko'tariladi.

a/b kvadrati a 2 /b 2 ga teng. Kasrlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

1/a ning ikkinchi, uchinchi va n-chi darajalari 1/a 2, 1/a 3 va 1/a n.

Misollar binomlar bu yerda atamalardan biri kasr.

1. X + 1/2 va x - 1/2 kvadratni toping.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. a + 2/3 kvadrati 2 + 4a/3 + 4/9 ga teng.

3. Kvadrat x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.

4 x - b/m kvadrat x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 ga teng.

Ilgari bu ko'rsatilgan edi kasr koeffitsienti ayiruvchidan maxrajga yoki maxrajdan ayiruvchiga ko‘chirilishi mumkin. Teskari kuchlarni yozish sxemasidan foydalanib, buni ko'rish mumkin har qanday multiplikator ko‘chirish ham mumkin agar daraja belgisi o'zgartirilsa.

Demak, ax -2 /y kasrda x ni ayiruvchidan maxrajga o'tkazishimiz mumkin.
Keyin ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

a/3 kasrda biz y ni maxrajdan sanoqchiga o'tkazishimiz mumkin.
Keyin a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Xuddi shunday ko‘rsatkichi musbat ko‘rsatkichga ega bo‘lgan ko‘rsatkichni ayiruvchiga yoki manfiy ko‘rsatkichli ko‘rsatkichni maxrajga ko‘chirishimiz mumkin.

Shunday qilib, ax 3 / b = a / bx -3 . X 3 uchun teskari x -3 ga teng, bu x 3 = 1/x -3 ga teng.

Shuning uchun har qanday kasrning maxraji butunlay olib tashlanishi yoki ifodaning ma’nosini o‘zgartirmagan holda sonini bittaga qisqartirish mumkin.

Shunday qilib, a/b = 1/ba -1 yoki ab -1 .

E'tibor bering, ushbu bo'lim kontseptsiya bilan bog'liq darajalar faqat tabiiy ko'rsatkich bilan va nol.

Ratsional darajali (manfiy va kasrli) darajalar tushunchasi va xossalari 8-sinf darslarida muhokama qilinadi.

Shunday qilib, keling, sonning darajasi nima ekanligini aniqlaymiz. Raqamning ko'paytmasini o'z-o'zidan yozish uchun qisqartirilgan belgi bir necha marta ishlatiladi.

Oltita bir xil 4 4 4 4 4 ni ko'paytirish o'rniga ular 4 6 ni yozadilar va "to'rtdan oltinchi darajaga" deyishadi.

4 4 4 4 4 4 = 4 6

4 6 ifoda sonning kuchi deyiladi, bu erda:

• 4 — daraja asosi;
• 6 — ko'rsatkich.

Umuman olganda, "a" asosi va "n" ko'rsatkichli daraja quyidagi ifoda yordamida yoziladi:

Eslab qoling!

Tabiiy ko'rsatkichi "n" 1 dan katta bo'lgan "a" sonining darajasi har biri "a" soniga teng bo'lgan "n" bir xil omillar mahsulotidir.

Yozuv " a n"Bu shunday o'qiladi:" va n darajasiga "yoki" a sonining n-chi darajasi".

Istisnolar quyidagi yozuvlardir:

• a 2 - uni “kvadrat” deb talaffuz qilish mumkin;
• a 3 - uni "kubdagi a" deb talaffuz qilish mumkin.

• a 2 - "va ikkinchi darajaga";
• a 3 - "a dan uchinchi darajagacha".

Agar ko'rsatkich bir yoki nolga teng bo'lsa (n = 1; n = 0) maxsus holatlar yuzaga keladi.

Eslab qoling!

N \u003d 1 ko'rsatkichli "a" sonining darajasi bu raqamning o'zi:
a 1 = a

Nolga teng bo'lgan har qanday raqam bittaga teng.
a 0 = 1

Har qanday tabiiy kuchga nol nolga teng.
0 n = 0

Birdan har qanday kuch 1 ga teng.
1n=1

Ifoda 0 0 ( noldan nolga teng kuch) ma'nosiz deb hisoblanadi.

• (−32) 0 = 1
• 0 253 = 0
• 1 4 = 1

Misollarni echishda siz esda tutishingiz kerakki, quvvatga ko'tarish, uni bir darajaga ko'targandan so'ng, son yoki tom ma'noda qiymatni topish deb ataladi.

Misol. Bir kuchga ko'taring.

• 5 3 = 5 5 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 2,5 = 6,25
• ( · = = 81

  256

Salbiy sonning darajaga ko'tarilishi

Quvvatning asosi (bir kuchga ko'tarilgan raqam) har qanday raqam bo'lishi mumkin - ijobiy, salbiy yoki nol.

Eslab qoling!

Ijobiy raqamni quvvatga ko'tarish ijobiy raqamga olib keladi.

Nolni tabiiy quvvatga ko'tarish nolga olib keladi.

Salbiy sonni kuchga ko'targanda, natija ijobiy yoki salbiy son bo'lishi mumkin. Bu ko'rsatkichning juft yoki toq son ekanligiga bog'liq.

Salbiy raqamlarni kuchga ko'tarish misollarini ko'rib chiqing.

Ko'rib chiqilgan misollardan ko'rinib turibdiki, agar manfiy son toq darajaga ko'tarilsa, manfiy son olinadi. Toq sonli salbiy omillarning mahsuloti salbiy bo'lgani uchun.

Agar manfiy son juft darajaga ko'tarilsa, ijobiy raqam olinadi. Salbiy omillarning juft sonining mahsuloti ijobiy bo'lgani uchun.

Eslab qoling!

Juft darajaga ko'tarilgan salbiy son ijobiy sondir.

Toq darajaga ko'tarilgan salbiy son manfiy sondir.

Har qanday sonning kvadrati musbat son yoki nol, ya'ni:

a 2 ≥ 0 har qanday a uchun.

• 2 (−3) 2 = 2 (−3) (−3) = 2 9 = 18
• −5 (−2) 3 = −5 (−8) = 40

Eslatma!

Ko'rsatkichlar misollarini yechishda (−5) 4 va −5 4 yozuvlari turli ifodalar ekanligini unutib, ko'pincha xatolarga yo'l qo'yiladi. Ushbu iboralarni kuchga ko'tarish natijalari boshqacha bo'ladi.

Hisoblash (−5) 4 manfiy sonning to‘rtinchi darajasining qiymatini topish demakdir.

(−5) 4 = (−5) (−5) (−5) (−5) = 625

"-5 4" ni topish misolni 2 bosqichda hal qilish kerakligini anglatadi:

1. Musbat 5 raqamini to'rtinchi darajaga ko'taring.
   5 4 = 5 5 5 5 = 625
2. Olingan natija oldiga minus belgisini qo'ying (ya'ni ayirish amalini bajaring).
   −5 4 = −625

Misol. Hisoblang: −6 2 − (−1) 4

−6 2 − (−1) 4 = −37

1. 6 2 = 6 6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (−1) 4 = (−1) (−1) (−1) (−1) = 1
4. −(−1) 4 = −1
5. −36 − 1 = −37

Darajalar bilan misollar uchun tartib

Qiymatni hisoblash eksponentsiya harakati deb ataladi. Bu uchinchi bosqich harakati.

Eslab qoling!

Qavslar bo'lmagan darajali iboralarda birinchi navbatda bajaring eksponentsiya, keyin ko'paytirish va bo'lish, va oxirida qo'shish va ayirish.

Agar ifodada qavslar mavjud bo'lsa, avval yuqorida ko'rsatilgan tartibda qavs ichidagi harakatlar, so'ngra chapdan o'ngga bir xil tartibda qolgan harakatlar bajariladi.

Misol. Hisoblash:

Misollarni hal qilishni osonlashtirish uchun veb-saytimizda bepul yuklab olishingiz mumkin bo'lgan darajalar jadvalini bilish va undan foydalanish foydalidir.

Natijalaringizni tekshirish uchun siz bizning veb-saytimizdagi kalkulyatordan foydalanishingiz mumkin "