Bu har bir nuqtasi bir xil nuqtadan teng bo'lgan yopiq tekis chiziq ( O) chaqirdi markazi.

Direct ( Oa, OB, OT .  .) aylananing nuqtalari bilan markazni bog'lash   radiusi.

Bundan biz quyidagilarni olamiz:

1. Birining barcha radiusi doiralarteng.

2. Bir xil radiusli ikkita doira teng bo'ladi.

3. Diametrikki radiusga teng.

4. Nuqtadoira ichida, markazga yaqinroq va doira tashqarisida, nuqta markazning doirasidan tashqarida joylashgan.

5. Diametr, akkordga perpendikulyar bo'lib, ushbu akkordni va ikkala kamonni ikkiga bo'lingan.

6. Arklarparallel o'rtasida tuzilgan akkordlarteng.

Doiralar bilan ishlashda quyidagi teoremalar qo'llaniladi:

1. Teorema . To'g'ri chiziq va aylana ikkita umumiy nuqtadan iborat bo'lolmaydi.

Ushbu teoremadan biz ikkita mantiqiy natijaga erishamiz oqibatlari:

Hech qanday qism yo'q doiralarchiziq bilan mos kelmaydi, chunki aks holda chiziq bilan aylana umumiy bo'lgan ikkita nuqtadan ko'p bo'lishi mumkin.

Hech qanday qismi chiziq bilan birlashtirilmagan chiziq deyiladi egri chiziq.

Avvalgidan ko'rinib turibdiki, doira bu egri chiziq.

2. Teorema . Bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan har qanday uchta nuqta orqali siz doira va faqat bittasini chizishingiz mumkin.

Qanday qilib natijaushbu teoremadan biz olamiz:

Uchta perpendikulyartomonlarga uchburchak  O'rta chiziqlari orqali chizilgan doirada, aylananing o'rtasi bo'lgan bir nuqta kesishadi.

Muammoni hal qilaylik. Taklif etilgan markazni topish talab qilinadi doiralar.

Biz taklif qilingan uchta, A, B va C nuqtalarni belgilaymiz, ular orasidan ikkitasini tortamiz akkordlarmasalan, AB va CB va bu akkordlar o'rtasidan biz ko'rsatamiz perpendikularMN va PQ. A, B va C nuqtalaridan teng masofada joylashgan istalgan markaz MN va PQ ustiga yotishi kerak, shuning uchun u ushbu perpendikulyarlarning kesishmasida joylashgan, ya'ni. O nuqtasida.

Ushbu darsda sizni aylana va aylana tushunchalari bilan tanishtiramiz. Doira va doira chizishni o'rganing.

Siz quyi sinflarda doira chizishni o'rgandingiz. Keling, bu jarayon qanday sodir bo'lishini eslaylik. Doira chizish uchun biz kompasning nuqtasini bir oz O nuqtada belgilashimiz kerak. Keyinchalik, oyoqni qalam bilan aylantiramiz.

Ta'rif

Qalam yordamida varaq tekisligiga chiziq chiziladi, bu deyiladi atrofi . Kompasning joylashtirilgan nuqtasi yoki O nuqtasi deyiladi doira markazi .

Keling, aylananing o'rtasini bog'laymiz, ya'ni. nuqta Oh, sizga yoqadigan doiradagi biron bir nuqta bilan. Biz bu masalani A harfi bilan belgilaymiz, biz OA segmentini olganimizni ko'ramiz.

Ta'rif

Doira markazini aylananing istalgan nuqtasiga bog'laydigan chiziq deyiladi radius . Radius kichik lotin harfi bilan belgilanadi r.

Keling, ushbu doirada yana bir nechta nuqtalarni belgilaymiz, masalan, B, C va D va biz ularni doira markazi bilan bog'laymiz. OB, OS va OD ning ushbu segmentlari ham deyiladi radiusi .

Aylananing barcha nuqtalari uning markazidan teng, ya'ni. radius uzunligiga teng masofada markazdan chiqariladi.

Ko'pincha " uzunligi"Talaffuz qilmang, o'rniga" radius uzunligi"Ular shunchaki aytadilar" radius". Masalan, ular: " Radiusi 3 sm bo'lgan doira ko'rsatilgan. "

Endi aylananing markazidan o'tmaydigan har qanday 2 nuqtani bog'laymiz, masalan, E va F. Biz EF segmentini oldik.

Ta'rif

Uning uchi aylanada joylashgan segment deyiladi akkord .

Aylananing markazidan o'tadigan akkord deyiladi diametri .

Ekranga diqqat bilan qarang. Rasmda AB segmenti ko'rsatilgan diametri   doiralar. Rasmga ko'ra, aylananing diametri uning ikkita radiusiga teng ekanligini ko'rish mumkin, ya'ni.

Diametri kichik lotin harfi bilan ko'rsatilgan dkeyin d = 2 r.

Eslab qoling aylananing diametri radiusdan ikki baravar uzunroqdir.

Barcha doira diametrlari bir-biriga teng.

Doira bo'yicha 2 nuqtani belgilang, masalan, M va N.

Ta'rif

Ushbu 2 nuqta aylanani ikkiga bo'lingan, ularning har biri chaqirilgan boshq .

Bizning rasmimizda ular turli xil rangdagi chiziqlar bilan tasvirlangan.

M va N nuqtalari chaqiriladi yoylarning uchlari.

Davra bu yopiq chiziq.  U samolyotni ikkita va ichki qismga ajratadi.

Ushbu doira bilan birga tekislikning aylana ichidagi qismi aylana deyiladi.

Tevarak-atrof   Bu shundaymi? chegara  aylana. Markaz   doira deyiladi ushbu doiraning markazi. Radius   doira deyiladi bu aylananing radiusi. Diametr   doira deyiladi bu aylananing diametri. Akkord   doira deyiladi ushbu davraning akkordlari.

Doira berilgan nuqtadan (uning markazi) uning radiusidan kam yoki unga teng masofada joylashgan nuqtalardan iborat.

Ta'rif

Agar aylanada ikkita aylana radiusi chizilgan bo'lsa, masalan, OA va OV, ular aylanadan uning qismini ajratadilar, bu deyiladi sektor.

Bizning vaziyatimizda AOB sektori aniq bo'ldi. Davraning qolgan qismi ham bir sektor.

Endi nuqtalar, aylana va aylananing joylashishini aniqlaymiz. Ekranga diqqat bilan qarang.

Unda O, B, C, D va E nuqtalarida joylashgan aylana tasvirlangan.

A va E nuqtalari aylanada yotish  yoki siz hali ham aytishingiz mumkin tegishli  unga.

B, C, D, O nuqtalari tegishli emas  bu aylana.

A, B, C, E va O nuqtalari davraga tegishli.

D nuqtasi bu doiradan tashqarida  yoki doiradan tashqarida.

Xulosa

Shunday qilib, bugun darsda biz doira, aylana va ularning elementlari haqidagi tushunchalar bilan tanishdik. Va shuningdek, ularni chizishni o'rgandim.

Asosiy shartlar.

Doira bilan bog'liq barcha ismlarni yaxshi eslaysizmi? Faqat bu holda, eslang - rasmlarga qarang - bilimingizni yangilang.

Birinchidan - aylananing markazi shunday nuqtadir, uning doirasidan barcha nuqtalarga masofalar bir xil bo'ladi.

Ikkinchidan -   radius - doira markazini va nuqtasini bog'laydigan chiziq.

Juda ko'p radiuslar mavjud (aylanada qancha ko'p bo'lsa), lekin   barcha radiuslar bir xil uzunlikka ega.

Ba'zan qisqartirish uchun radius  aniq chaqirildi kesilgan uzunlik  Bu segmentning o'zi emas, "markaz aylananing nuqtasidir".

Ammo nima bo'ladi agar siz aylanada ikkita nuqtani bog'lasangiz? Xuddi shu segmentmi?

Shunday qilib, ushbu segment deyiladi Akkord.

Yana bir qabul qilingan ibora bor: "akkord yoyni tortadi". Bu erda, masalan, rasmda, bir sim yoyni tortadi. Va agar akkord to'satdan markazdan o'tib ketsa, unda u maxsus nomga ega: "diametr".

Radiusda bo'lgani kabi, diametri ko'pincha aylana bo'ylab ikkita nuqtani bog'laydigan va markazdan o'tadigan segment uzunligi deb nomlanadi. Aytgancha, diametri va radiusi qanday bog'liq? Ehtiyotkorlik bilan qarang. Albatta, radius yarim diametrga teng.

Akkordlardan tashqari, ular ham bor sekant

Eng oddiyini eslaysizmi?

Va endi - burchaklar uchun nomlar.

Markaziy burchak - ikki radius orasidagi burchak.

Tabiiyki, shunday emasmi? Burchakning qirralari markazdan cho'zilgan - bu burchakning markaziy ekanligini anglatadi.

Va endi - yozilgan burchak

Belgilangan burchak - aylananing bir nuqtasida kesishadigan ikkita akkordlar orasidagi burchak.

Shu bilan birga, ular yozilgan burchak yoyga (yoki akkordga) asoslangan, deyishadi.

Bu erda ba'zida qiyinchiliklar paydo bo'ladi. E'tibor bering - Doira ichida HAR QANDAY EMAS, yozilgan,  faqat atrofi "o'tirgan" bittasi.

Rasmga qarang:

Arklar va burchaklarni o'lchash.

Tevarak-atrof Arklar va burchaklar daraja va radian bilan o'lchanadi. Avval darajalar haqida. Burchaklar uchun hech qanday muammo bo'lmaydi - siz kamonni daraja bilan qanday o'lchashni o'rganishingiz kerak.

Darajalar o'lchovi (boshq qiymati) - bu mos keladigan markaziy burchakning qiymati (darajalarda)

Bu erda "mos" so'zi nimani anglatadi? Biz diqqat bilan qaraymiz:

Ikkita yoyni va ikkita markaziy burchakni ko'ryapsizmi? Yaxshisi, kattaroq burchak kattaroq yoyga to'g'ri keladi (va u kattaroq bo'lsa) va kichikroq burchak kichikroq yoyga to'g'ri keladi.

Shunday qilib, biz kelishib oldik: yoy mos keladigan markaziy burchakka teng darajalarni o'z ichiga oladi.

Va endi dahshatli - radanlar haqida!

Bu "radan" qanday hayvon?

Tasavvur qiling: radianlar - burchakni o'lchash usuli ... radiida!

Radian burchagi shunday markaziy burchakki, uning yoy uzunligi aylananing radiusiga teng.

Keyin savol tug'iladi - joylashtirilgan burchakda qancha radian bor?

Boshqacha aytganda: yarim doira ichida qancha radius "mos"? Yoki boshqa yo'l: yarim atrofi uzunligi radiusdan necha marta katta?

Bu savol qadimgi Yunoniston olimlari tomonidan so'ralgan.

Shunday qilib, uzoq qidiruvdan so'ng, aylanishning radiusga nisbati "odam" raqamlari va boshqalar bilan ifodalanishni istamasligini aniqladilar.

Va men bu munosabatni ildizlar orqali ifoda eta olmayman. Ya'ni, aylananing yarmi radiusdan yoki marta aylangan deyish mumkin emas! Odamlarni birinchi marta kashf etish qanchalik ajoyib bo'lganini tasavvur qila olasizmi ?! Yarim doira uzunligining radiusga nisbati uchun "normal" raqamlar etarli edi. Men xat yozishga majbur bo'ldim.

Demak, bu yarim doira uzunligining radiusga nisbatini ifodalovchi raqam.

Endi biz savolga javob berishimiz mumkin: joylashtirilgan burchakda qancha radian bor? Unda radian bor. Buning sababi, atrofi yarim radiusga teng.

Asrlar davomida qadimgi (va unday emas) odamlar (!)   ular ushbu sirli raqamni aniqroq hisoblashga harakat qilishdi, uni (kamida) "oddiy" raqamlar orqali ifoda etish yaxshiroqdir. Va endi biz imkonsizligimizga dangasa bo'lmoqdamiz - band bo'lganidan keyin ikkita belgi bizga kifoya qiladi, biz o'rganib qolganmiz

Bir o'ylab ko'ring, bu, masalan, radiusi aylananing y uzunligi taxminan teng ekanligini anglatadi va bu uzunlikni "inson" raqami bilan yozish imkonsiz - sizga xat kerak. Va keyin bu aylana teng bo'ladi. Va, albatta, radiusning atrofi tengdir.

Radiansga qaytish.

Biz allaqachon kengaytirilgan burchakda radian borligini aniqladik.

Bizda nima bor:

Xursandman., Ya'ni xursandman. Xuddi shu tarzda, eng mashhur burchaklarga ega bo'lgan plastinka olinadi.

Yozilgan va markaziy burchaklar o'rtasidagi nisbat.

Ajablanarli bir haqiqat bor:

Yozilgan burchakning qiymati mos keladigan markaziy burchakning yarmiga teng.

Ushbu bayonot rasmda qanday ko'rinishini ko'ring. "Tegishli" markaziy burchak - bu uning uchlari yozilgan burchakning uchlari bilan mos keladigan va uchi o'rtada joylashgan. Shu bilan birga, "mos keladigan" markaziy burchak yozilgan burchak bilan bir xil akkordga () qarash kerak.

Nega shunday? Avval oddiy ishni ko'rib chiqaylik. Akkordlardan birini markazdan o'tkazing. Ba'zan shunday bo'ladi, to'g'rimi?

Bu erda nima bo'lyapti? Ko'rib chiqaylik. Bu isosceles, chunki - va radii. Demak, (belgilangan).

Endi ko'rib chiqamiz. Bu tashqi burchak! Eslatib o'tamiz, tashqi burchak miqdorlarga teng  unga qo'shni bo'lmagan ikkita ichki va yozing:

Ya'ni! Kutilmagan ta'sir. Ammo yozuv uchun markaziy burchak mavjud.

Shunday qilib, bu holda ular markaziy burchak yozilganidan ikki baravar katta ekanligini isbotladilar. Ammo bu juda alamli holat: haqiqat, har doim akkord markazdan o'tadi? Ammo hech narsa yo'q, endi bu aniq ish bizga juda ko'p yordam beradi. Qarang: ikkinchi holat: markaz ichkariga yotsin.

Buni qilaylik: diametrni chizamiz. Va keyin ... biz birinchi holatda allaqachon ajratib olingan ikkita rasmni ko'rmoqdamiz. Shuning uchun, bizda bu allaqachon mavjud

Demak (rasmda, a)

Xo'sh, oxirgi holat qoldi: markaz burchakdan tashqarida.

Biz ham xuddi shunday qilamiz: nuqta orqali diametrni chizamiz. Hammasi bir xil, ammo yig'indining o'rniga - farq.

Bu hammasi!

Keling, yozilgan burchak markaziy burchakning yarmi ekanligi haqidagi ikkita asosiy va juda muhim oqibatlarni keltirib chiqaylik.

1-qiymat

Bitta yoyga asoslanib yozilgan barcha burchaklar bir-biriga tengdir.

Biz tasvirlaymiz:

Bir xil kamonga asoslanib yozilgan burchaklar (bizda bu yoy bor) son-sanoqsiz, ular bir-biridan juda farq qilishi mumkin, ammo ularning barchasi bir xil markaziy burchakka ega (), demak bu yozilgan barcha burchaklar tengdir. o'zlari orasida.

2-qiymat

Diametrga asoslangan burchak to'g'ri.

Qarang: qaysi burchak markazda?

Albatta. Ammo u tengdir! Xo'sh, shuning uchun u (shuningdek, yozilgan ko'p sonli tomonlar) tengdir.

Ikki akkord va sekantlar orasidagi burchak

Ammo biz uchun qiziqish burchagi yozilmagan va markaziy emas bo'lsa-chi, lekin, masalan:

yoki shundaymi?

Buni qandaydir bir xil markaziy burchaklar orqali bir xil tarzda ifodalash mumkinmi? Siz qila olasiz. Qarang: biz qiziqamiz.

a) (tashqi burchak sifatida). Ammo - yozilgan, yoyga tayanadi -. - yozilgan, yoyga tayanadi.

Go'zallik uchun ular aytadilar:

Akkordlar orasidagi burchak bu burchakka o'ralgan yoylarning burchak qiymatlarining yarmiga teng.

Bu qisqartirish uchun yozilgan, ammo, albatta, ushbu formuladan foydalanganda siz markaziy burchaklarni yodda tutishingiz kerak

b) Endi - “tashqarida”! Qanday bo'lish kerak? Ha, deyarli bir xil! Faqat hozir (tashqi burchak xususiyatini yana qo'llang). Mana endi.

Va bu degani. Keling, eslatmalar va formulalarga go'zallik va qisqalikni keltiraylik:

Sekansantlar orasidagi burchak bu burchakka o'ralgan yoylarning burchak qiymatlarining yarim farqiga tengdir.

Xo'sh, endi siz doira bilan bog'liq bo'lgan burchaklar haqida barcha asosiy bilimlar bilan qurollangansiz. Qiyinchiliklarni engib o'tishda davom eting!