Matematik iboralar (formulalar) qisqartirilgan ko'payish (yig'indisi va farqi kvadrat, summa va farq kubi, kvadratlar farqi, kublarning yig'indisi va farqi) aniq fanlarning ko'plab sohalarida nihoyatda o'rinli emas. Ushbu 7 ta belgi yozuvlari iboralarni soddalashtirishda, tenglamalarni yechishda, ko'paytmalarni ko'paytirishda, kasrlarni qisqartirishda, integrallarni echishda va boshqalarda bir-birini almashtirib bo'lmaydi. Shunday qilib, ularni qanday olish kerakligini, nima uchun kerakligini va eng muhimi, ularni qanday eslab qolish va keyin ularni qo'llashni tushunish juda foydali bo'ladi. Keyin murojaat qilish qisqartirish formulalari amalda, ko'rish qiyin bo'lgan narsa xva sizda nima bor. Shubhasiz, bunga hech qanday cheklovlar yo'q a va byo'q, bu har qanday raqam yoki harf ifodasi bo'lishi mumkin degan ma'noni anglatadi.
Va shuning uchun ular:
Birinchidan x 2 - soat 2 da \u003d (x - y) (x + y) .Hisoblash kvadrat farq Ikki iboradan ikkitasida bu ifodalarning farqlarini ularning yig'indisiga ko'paytirish kerak.
Ikkinchi (x + y) 2 \u003d x 2 + 2hu + y 2 . Topish uchun kvadrat miqdor Ikkala iboradan ikkitasiga birinchi ifoda qo'shilgan mahsulotni, ikkinchi ifoda kvadratini birinchi ifoda kvadratiga qo'shish kerak.
Uchinchisi (x - y) 2 \u003d x 2 - 2hu + y 2. Hisoblash uchun farq kvadratbirinchi iboraning kvadratidan birinchi ifodaning ikki karra ko'paytirilgan sonini, ikkinchisiga ikkinchi va ikkinchi iboraning kvadratiga ikkita iborani chiqarish kerak.
To'rtinchi (x + y) 3 \u003d x 3 + 3x 2 y + 3hu 2 3 da. Hisoblash uchun kub miqdoriikki ifodadan iborat bo'lsa, birinchi ifoda kvadratining uchlik mahsulotini ikkinchisiga va birinchi ifodaning uchlik mahsulotini va ikkinchisining kvadratini va ikkinchi ifoda kubini birinchi ifoda kubiga qo'shing.
Beshinchisi (x - y) 3 \u003d x 3 - 3x 2 y + 3hu 2 - soat 3 da. Hisoblash uchun farq kubikki ifodadan birinchisining kubidan birinchi ifoda kvadratining uchlik mahsulotini ikkinchisiga va birinchi ifodaning uchlik mahsulotini ikkinchi ifodaning kvadratiga ikkinchi minusning kubini tushirish kerak.
Oltinchidan x 3 3 da \u003d (x + y) (x 2) - xy + y 2) Hisoblash uchun kublar miqdoriikkita ifoda siz birinchi va ikkinchi ifoda yig'indisini ushbu iboralar farqining to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytirishingiz kerak.
Ettinchi x 3 - soat 3 da \u003d (x - y) (x 2) + xy + y 2) Hisoblash uchun farq kublariikki ifodadan iborat bo'lsa, birinchi va ikkinchi iboralar o'rtasidagi farqni ushbu iboralar yig'indisining to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytiring.
Barcha formulalar hisob-kitoblarni teskari yo'nalishda (o'ngdan chapga) bajarish uchun ishlatilishini eslash qiyin emas.
Ushbu qonunlarning mavjudligi taxminan 4 ming yil oldin kashf etilgan. Ular qadimgi Bobil va Misr aholisi tomonidan keng qo'llanilgan. Ammo o'sha davrlarda ular og'zaki yoki geometrik tarzda ifodalangan va hisob-kitoblarda harflardan foydalanmagan.
Biz tahlil qilamiz kvadrat isboti(a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2.
Birinchidan matematik naqsh Miloddan avvalgi III asrda Iskandariyada ishlagan qadimgi yunon olimi Evklid buni isbotlab, formulani isbotlashning geometrik usulidan foydalangan, chunki qadimgi Hellas olimlari raqamlarni ko'rsatish uchun harflardan foydalanmaganlar. Ular hamma joyda "a 2" emas, "a" segmentidagi kvadrat, "ab" emas, balki "a va b segmentlari orasidagi o'ralgan to'rtburchaklar" dan foydalanishgan.
Shunday qilib, Evklid bir tomoni bilan kvadrat oldi (a + b):
Boshqa tomondan, u bir xil maydonni boshqacha taqdim etadi, yon tomonga bo'linadi lekin va b:
Keyin kvadrat maydonni maydonlar yig'indisi sifatida ko'rsatish mumkin:
Kvadratlar bir xil bo'lganligi sababli, ularning maydoni teng va bu degani:
Shunday qilib, u geometrik jihatdan isbotlandi yig'indisi kvadrat formulasi.
Algebraik polinomiyalarni hisoblashda ishlatiladigan hisoblarni soddalashtirish uchun qisqartirish formulalari . Bunday ettita formulalar mavjud. Ularning barchasini yoddan bilish kerak.
Shuni ham yodda tutish kerakki, formulalar ichida a va b o'rniga ikkala raqam va har qanday boshqa algebraik polinomiyalar bo'lishi mumkin.
Kvadrat farqi
Ikkala sonning kvadratlarining farqi bu raqamlar va ularning yig'indilarining farqiga ko'payadi.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
Kvadrat miqdor
Ikki sonning yig'indisi kvadrat kvadratga teng birinchi raqam va birinchi raqamning qo'shaloq mahsuloti va ikkinchi ortiqcha ikkinchi raqamning kvadratidir.
(a.) + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2
Ushbu qisqartirish formulasidan foydalanish juda oson ekanligini unutmang ko'p sonli kvadratchalarni topingkalkulyator yoki ustunlarni ko'paytirmasdan. Keling, misol bilan ko'rsatamiz.
112 2 ni toping.
112 ni kvadratlarini yaxshi eslaydigan sonlar yig'indisiga ajratamiz.
112 = 100 + 1
Qavslar ichida sonlarning yig'indisini yozing va qavslarga kvadrat qo'ying.
112 2 = (100 + 12) 2
Biz yig'indining kvadrat formulasidan foydalanamiz:
112 2 \u003d (100 + 12) 2 \u003d 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 \u003d 10 000 + 2 400 + 144 \u003d 12 544
Kvadrat summaning formulasi har qanday algebraik ko'payuvchilar uchun ham amal qilishini unutmang.
(8a + s) 2 \u003d 64a 2 + 16ac + c 2
Diqqat !!!
(a + b) 2 a 2 + b 2 ga teng emas
Farqi kvadrat
Ikkala sonning farqi kvadrat birinchi va ikkinchi darajali qo'shaloq mahsulotni olib tashlagan birinchi raqamning kvadratiga teng va ikkinchi raqamning kvadratiga teng.
(a.) - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
Shuningdek, juda foydali o'zgarishni eslash kerak:
(a - b) 2 \u003d (b - a) 2
Yuqoridagi formula shunchaki qavslarni ochish orqali isbotlangan:
(a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2 \u003d b 2 - 2ab + a 2 \u003d (b - a) 2
Kub miqdori
Ikkala sonning yig'indisi kub birinchi raqamning kubiga teng va birinchi raqamning kvadratidan hosil bo'lgan mahsulotga uch baravar ko'p, ikkinchisidan uch marta birinchi va ikkinchi kvadratning ko'pliklaridan uch baravar ko'p, ikkinchi son kubiga teng.
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Ushbu qo'rqinchli ko'rinadigan formulani eslab qolish juda oddiy.
3 ning boshida bo'lishini bilib oling.
O'rtadagi ikkita ko'payish 3 ga koeffitsientga ega.
Ichidanol darajadagi har qanday raqam 1. ga teng ekanligini eslang (a 0 \u003d 1, b 0 \u003d 1). Formulada a darajasining pasayishi va b darajasining oshishi borligini ko'rish oson. Siz buni tasdiqlashingiz mumkin:
(a + b) 3 \u003d a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Diqqat !!!
(a + b) 3 3 + b 3 ga teng emas
Farq kubi
Ikkala sonning farqi kub birinchi raqamning kubiga birinchi raqamning kvadratidan uch marta va ikkinchisining sonidan uch marta birinchi raqamning kvadratidan va ikkinchi sonning kvadratidan ikkinchi kubning kubiga tengdir.
(a - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Ushbu formula avvalgisi kabi esga olinadi, ammo faqat "+" va "-" belgilarining almashishini hisobga olgan holda. 3 ning birinchi a'zosidan oldin "+" belgilanadi (matematik qoidalarga ko'ra, biz uni yozmaymiz). Shunday qilib, keyingi a'zo "-" bo'ladi, keyin yana "+" va hokazo.
(a - b) 3 \u003d + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Kublar yig'indisi ( Miqdor kubiga aralashmaslik kerak!)
Kublarning yig'indisi bu farqning to'liq bo'lmagan kvadratining ikki raqami yig'indisining ko'paytmasi.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
Kublarning yig'indisi ikkita qavsning hosilasidir.
Birinchi qavs ikki raqamning yig'indisidir.
Ikkinchi qavs - bu raqamlar farqining to'liq bo'lmagan kvadratidir. Tugallanmagan kvadratik farq bu ifodadir:
A 2 - ab + b 2
Ushbu kvadrat to'liq emas, chunki o'rtada, ikki baravar ko'paytirilgan mahsulot o'rniga, raqamlarning odatiy hosilasi.
Kublarning farqi (farq kubi bilan adashtirmaslik kerak !!!)
Kublarning farqi ikki sonning yig'indining to'liq bo'lmagan kvadratiga bo'lgan farqidir.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Belgilarni yozishda ehtiyot bo'ling.Shuni esda tutish kerakki, yuqoridagi barcha formulalar ham o'ngdan chapga qo'llaniladi.
Qisqartirilgan ko'payish formulalarini eslab qolishning oson yo'li yoki ... Paskal uchburchagi.
Qisqartirish formulalarini eslab qolish qiyinmi? Ish oson yordam beradi. Paskal uchburchagi kabi oddiy narsa qanday tasvirlanganini eslab qolishingiz kerak. Keyin siz ushbu formulalarni har doim va hamma joyda eslaysiz, aniqrog'i, eslamaysiz, lekin tiklaysiz.
Paskal uchburchagi nima? Ushbu uchburchak shakldagi binom darajasining har qanday darajadagi ko'payishga aylanishiga olib keladigan koeffitsientlardan iborat.
Masalan, biz ajratamiz:
Ushbu yozuvni eslash oson, dastlab birinchisining kubi, oxirida ikkinchi raqamning kubi bor. Ammo o'rtada nimani eslab qolish qiyin. Va har bir keyingi davrda bitta omil darajasi har doim pasayib ketsa ham, ikkinchisi ortib boraversa, sezish va eslash oson, koeffitsient va belgilarni eslab qolish qiyinroq (ortiqcha yoki minusmi?).
Shunday qilib, birinchi navbatda, kelishmovchiliklar. Ularni eslashning hojati yo'q! Daftarning chetlarida biz tezda Paskal uchburchagini chizamiz va endi ular bizning oldimizda turgan koeffitsientlardir. Biz uchta bilan chizishni boshlaymiz, bittasi tepada, ikkitasi pastda, o'ngda va chapda - ha, allaqachon uchburchak paydo bo'ldi:
Bitta birlik bilan birinchi qator nolga teng. Keyin birinchi, ikkinchi, uchinchi va hokazo keladi. Ikkinchi qatorni olish uchun siz yana qirralarning bo'linmalarini belgilashingiz kerak va o'rtada yuqoridagi ikkita raqamni qo'shib olingan sonni yozing:
Siz taxmin qilganingizdek, har bir satrda binomning ko'paytmaga parchalanishidan koeffitsientlarni olamiz:
Xo'sh, belgilarni eslab qolish osonroq: birinchisi kengaytiriladigan binomiyadagi kabi (summani kengaytirish plyus degan ma'noni anglatadi, farq minus degan ma'noni anglatadi), keyin belgilar o'zgaradi!
Bu juda foydali narsa - Paskal uchburchagi. Foydalaning!
Ushbu loyihaning boshida bu yil men ko'rgan kichik bir formula. Aniqrog'i, bu raqamlar orasidagi naqshdir. Men ushbu formulaning nima ekanligini ko'pdan beri qiziqtiraman, ammo har xil odamlar mutlaqo boshqacha variantlarni qabul qilishadi. Albatta, bu formulalar sonlar kvadratlari bilan bog'liq va mendan oldin biror kishi bu haqda o'ylab topmaganligini bilmayman, men taqdimot berishga qaror qildim, unda ushbu odatiylikdan tashqari, men qiziq mavzular haqida suhbatlashdim. Shuning uchun men ushbu tadqiqot loyihasini yaratishga qaror qildim.
Kvadrat miqdor
Keling, asoslardan boshlaylik. Shubhasiz, har bir ettinchi sinf o'quvchisi (katta o'quvchilarni aytmaslik kerak) bu formulani biladi. Ammo, shunga qaramay, materialni birlashtirish uchun, bu ma'lumotni tekshirishga arziydi.
(x + y) ² \u003d x² + 2xy + y²
Quyidagicha o'qiydi.
Farqi kvadrat
Ammo bu mavzuda qiyinchiliklar allaqachon boshlanmoqda. Afsuski, barcha o'quvchilar ushbu formulani eslay olishmaydi, ba'zilari chalkashib ketishgan, ammo umid qilamanki, bizning sinfimizdan hech biri yozuvda ham, tahrirda ham xato qilmaydi.
(x-y) ² \u003d x²-2xy + y²
Va bu formula o'qiladi:\u003e.
Bir oz tarix. Shunday qilib, qisqartirilgan ko'payishning dastlabki ikkita formulasini esladik. Ma'lum bo'lishicha, buning yomon joyi yo'q!
Siz ushbu ikkita formulani kim tomonidan o'ylab topganingizni qiziqtirganmisiz: summaning kvadratini va farqning kvadratini? Ba'zi manbalarda bu qadimgi yunon matematiki Evklid bo'lgan deyishadi. U bizning eramizdan avvalgi III asrda yashaganligini bilganimiz uchun bu juda noyob kashfiyot edi.
Kvadrat farqi
Shunday qilib, biz sonlar kvadratlari bilan bog'liq bo'lgan so'nggi formulaga o'tdik. Keyingi slaydda men nima uchun u oxirgi ekanligini isbotlayman. Bu orada kvadratlarning farqini eslashga harakat qilaylik.
x²-y² \u003d (x + y) (x-y)
Shuni esda tutish kerakki, omillarni qaytarib olish mumkin.
Ikkala sonning kvadratlarining farqi yig'indining hosilasi va bu raqamlarning farqiga teng.
Kvadratlar yig'indisi
Ammo qisqartirilgan ko'payishning ushbu formulasi tushunchasi maktab kursida berilmaydi, chunki u shunchaki mavjud emas. Va endi buning sababini ko'rib chiqamiz.
- Summa va farqning kvadrati nafaqat ilgari berilgan formula bilan kengaytirilishi mumkin. Ularni quyidagicha ifodalash mumkin: (x + y) ² \u003d (x + y) (x + y) va (x-y) ² \u003d (x-y) (x-y).
- Qisqartirilgan ko'payishning dastlabki uchta formulasini ikkita ko'paytmaning hosilasi sifatida namoyish etish mumkinligiga asoslanib, kvadratlarning yig'indisini ikkita ko'paytmaning hosilasi sifatida ifodalash mumkin deb taxmin qilish mumkin.
- Ammo barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalar allaqachon ishlatilgan. Kvadratlar bu sonlar yig'indilarining ko'paytmasi, kvadratik farq bu raqamlar farqlarining mahsuli, kvadratlarning farqi esa yig'indilar va farqning hosilasidir. Shuning uchun kvadratchalar yig'indisini qisqartirilgan ko'paytirish formulasi ko'rinishida ifodalash mumkin emas.
Tugallanmagan kvadrat
Qisqartirilgan ko'payish formulalarini keyingi takrorlash uchun yana bir atamani esga olishimiz kerak. Kvadrat yig'indisi va kvadrat farq ((x + y) ² \u003d x² + 2xy + y² va (x-y) ² \u003d x²-2xy + y²) tushunchalarini ko'rib chiqdik. Xo'sh, to'liq bo'lmagan kvadrat nima? Bizga yig'indining to'liq bo'lmagan kvadrati va farqning to'liq bo'lmagan kvadratiga ehtiyoj bor. Summaning qisman kvadrat qismi x² + xy + y² (birinchi raqamning kvadrat sonining yig'indisi, ikkinchi va ikkinchi raqamlardagi birinchi raqamning mahsuloti) va farqning qisman kvadrat qismi x²-xy + y² (birinchi raqamning kvadrati ikkinchi raqamdagi birinchi raqamning mahsulotiga va ikkinchi sonning kvadratiga teng) raqamlar). Ko'rib turganimizdek, ikkala holatda ham birinchi raqamning sonini ikkinchisiga ko'paytirishning o'rniga birinchi va ikkinchi raqamning mahsuloti paydo bo'ladi.
Kublar summasi
Shunday qilib, biz kamdan-kam odamlar eslaydigan paytni boshladik. Bilimni sinash vaqti.
x³ + y³ \u003d (x + y) (x²-xy + y²)
Ikki raqamning kublari yig'indisi bu raqamlarning ko'payishiga va ularning yig'indisining to'liq bo'lmagan kvadratiga teng.
Kublar farqi
Va endi biz oldingisiga juda o'xshash boshqa formulani eslaymiz.
x³-y³ \u003d (x-y) (x² + xy + y²)
O'qilgan:\u003e.
Kub miqdori
Ushbu formulani va undan keyingi narsani eslab qolish biroz qiyin, ammo men hali ham sinfimizda yaxshi xotiraga ega bo'lgan o'quvchilar bor deb umid qilaman, ularni hozir tekshiramiz.
(x + y) ³ \u003d x³ + 3x²y + 3xy² + y³
Ikki raqamlar yig'indisining kubi birinchi raqamning kvadrat soniga, birinchi va ikkinchi sonning uchlik mahsulotiga, birinchi raqamning uchlik mahsulotiga va ikkinchi raqamning kvadratiga va ikkinchi raqamning kubiga tengdir.
Farq kubi
Va nihoyat, ettinchi sinfda o'rganilgan oxirgi formulaga o'tdik.
(x-y) ³ \u003d x³-3x²y + 3xy²-y³
Ikkala sonning farqi kub birinchi raqamning kubiga birinchi raqamning kvadratidan uch marta minus va ikkinchi ortiqcha birinchi raqamning ko'payishiga uch marta va ikkinchi sonning kvadratidan ikkinchi sonning kubiga tengdir.
Oldingi darsda biz faktorizatsiyani aniqladik. Ikki usulni o'rgandim: yasash umumiy omil qavslar va guruhlarga ajratish uchun. Ushbu o'quv qo'llanmada quyidagi kuchli usul mavjud: qisqartirish formulalari. Qisqacha yozuvda - FSU.
Qisqartirilgan ko'payish formulalari (yig'indisi va farqi kvadrat, summa va farq kublari, kvadratchalar farqi, kublarning yig'indisi va farqi) matematikaning barcha bo'limlarida juda zarurdir. Ular iboralarni soddalashtirishda, tenglamalarni yechishda, ko'paytmalarni ko'paytirishda, kasrlarni kamaytirishda, integrallarni echishda va boshqalarda qo'llaniladi. va h.k. Muxtasar qilib aytganda, ular bilan shug'ullanish uchun barcha sabablar mavjud. Ular qaerdan kelib chiqqanlarini, nima uchun kerakligini, ularni qanday eslab qolishlarini va ularni qanday qo'llashlarini tushunib oling.
Tushundingizmi?)
Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari qaerdan keladi?
6 va 7 tengliklari unchalik tanish emas. Bu boshqa yo'l. Bu har bir tenglik chapdan o'ngga ham, o'ngdan chapga ham ishlaydi. Bunday yozuvda, FSU qaerdan kelib chiqqanligi aniqroq.
Ular ko'paytirishdan olingan.) Masalan:
(a + b) 2 \u003d (a + b) (a + b) \u003d a 2 + ab + ba + b 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2
Hammasi shu, ilmiy fokuslar yo'q. Qavslarni ko'paytiring va shunga o'xshashlarini bering. Shunday qilib, chiqadi qisqartirilgan ko'payishning barcha formulalari. Qisqartirilgan ko'paytirish - chunki bu formulalarning o'zlarida qavslarni ko'paytirish va shunga o'xshashlarini kamaytirish yo'q. Darhol natija berildi.
FSU yoddan bilishi kerak. Dastlabki uchtasiz, siz uchlik haqida orzu qilolmaysiz, qolganlarisiz - to'rt va beshta.)
Nima uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalari kerak?
Ushbu formulalarni o'rganish, hatto yodlashning ikkita sababi bor. Birinchisi - mashinada tayyor javob xatolar sonini keskin kamaytiradi. Ammo bu asosiy sabab emas. Ammo ikkinchi ...
Agar sizga ushbu sayt yoqsa ...
Aytgancha, siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlarim bor.)
Siz misollar yordamida mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tez tekshirish bilan sinov. O'rganish - qiziqish bilan!)
Funktsiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
Shunday qilib ... Biz hammamiz ular haqida eshitdik va quyidagi formulalarni ko'rdik:
Ammo, qoida tariqasida, kam odamlar nega ushbu formulalarni eslab qolish kerakligini tushunishadi? Qanday qilib ular hisob-kitoblarda foydali bo'lishi mumkin? Va yana bir muhim savol: ularni QANDAY eslayman? Keling, hamma narsani tartibda muhokama qilaylik, lekin avval ularni amalda qo'llash masalasiga to'xtalamiz.
"" Nomi umuman tasodifiy emas.
Eng oddiy birinchi formulani oling kvadrat miqdor - va doimiy ravishda qavs ichida miqdorni tenglashtirishga harakat qiling, ya'ni o'z-o'zidan ko'paytiring:
Qarang, bizda mavjud bo'lgan ibora bilan yana nima qilish kerak? To'g'ri, quyidagi so'zlarni keltiring:
Shunday qilib, chiqish barcha qisqartirish formulalari. Siz ularni har safar o'zingiz chiqara olasiz, ammo formulalarning yakuniy qiymatini bilib, vaqtni tejashingiz va kerakli misolni tezda hisoblashingiz mumkin.
Va biz faqat birinchi qavsning ko'payishini bo'yadik va xuddi shu narsani ikkinchi va uchinchi bilan qilish kerak ... Qabul qilaman, chalkashib ketish juda oson va, qoida tariqasida, butun misolning javobi siz ushbu oddiy harakatni qanday topishingizga bog'liq.
Shunday qilib, qisqartirish formulalari bir-biringizga a'zolarning ko'payishini kamaytirishga va tez natijaga erishishga imkon beradi.
Kvadratlar summasining formulasi olinganligi sababli, biz ilgari aytib o'tgan edik. Keling, farqni kvadratiga o'xshash harakatlar bilan bajarishga harakat qilaylik.
Farqning maydoni o'z-o'zidan ko'payishni anglatadi. Ushbu ifodaning formulasini yig'indining kvadratiga o'xshash tarzda o'zingiz olishga harakat qiling.
Siz buni qildingizmi? Qavslarni qanday ochganingizni ko'rib chiqaylik:
Ehtimol siz allaqachon ma'lum bir naqshni sezganmisiz? Formulalarni diqqat bilan ko'rib chiqing. Ularning farqi nimada?
Albatta, ko'rdingiz, agar biz o'rtadagi farqni tenglashtirsak va ikkitomonlama mahsulotni olib tashlaymiz va agar miqdorni kvadratga tenglashtirsak, qo'shamiz. Farq va miqdorni kvadratlashda, raqamlarning ikki baravar ko'payishini unutmang va! Bu eng qo'pol va eng keng tarqalgan xatodir!
Qisqartirilgan ko'payish formulalari. Misollar.
Endi siz aytasiz: "Formulalar yordamida misollarni tezda o'zgartira olaman va ularda to'g'ri javobga ega bo'lishim aniq, ammo ular qanday qilib menga shunday yordam berishlari mumkin?" Hayotda?"
Bu juda oson! Bu qancha bo'ladi? Ustunga ko'paytirishga shoshilishning hojati yo'q, bundan tashqari kalkulyatorda raqamlarni yozishning keragi yo'q. Qanday qilib summani va uni kvadratga bo'lishini tasavvur qiling. Bu ish berdimi? O'zingizning fikrlaringizni taqqoslang:
Formuladan foydalanish kvadrat son va kvadrat farq biz kalkulyatordan foydalanmasdan va ustunga hisoblamasdan ko'p sonli kvadratlarni osongina topamiz. Siz raqamni biz biladigan kvadrat sonlarining yig'indisi (yoki farqi) sifatida ko'rsatish kifoya.
Qisqartirilgan ko'payish formulalari. O'qitish.
Quyidagi iboralarni shu tarzda hisoblashga harakat qiling:
Javoblar:
Yoki, agar siz asosiy ikki xonali sonlarning kvadratlarini bilsangiz, qancha bo'lishini eslaysizmi? Yodingizdami? . Ajoyib! Biz kvadratik bo'lganimiz sababli, ko'payishimiz kerak. Shunga o'xshaydi.
Yodda tutingki, kvadrat son va kvadrat farqlar formulalari nafaqat sonli ifodalar uchun amal qiladi:
Quyidagi iboralarni o'zingiz hisoblang:
Siz quyidagilarni oldingizmi?
Qisqartirilgan ko'payish formulalari. Natija.
Bir satrdagi yig'indining kvadratini va farqini yozib, yozing:
Endi formulani parchalangan ko'rinishdan ko'rinishga "to'plash" bilan shug'ullanamiz. Kelajakda katta iboralarni o'zgartirganda bizga bu mahorat kerak bo'ladi.
Aytaylik, bizda quyidagi ibora bor:
Biz bilamizki, yig'indining maydoni (yoki farq) bitta sonning kvadrati boshqa raqam kvadrat va bu raqamlarning ikki baravar ko'payishi.
Ushbu muammoda bitta raqamning kvadratini ko'rish juda oson - bu. Shunga ko'ra, qavs ichidagi raqamlardan biri kvadrat ildizdir, ya'ni:
Ikkinchi atama bo'lgani uchun, bu mos ravishda bitta va boshqa raqamning qo'shaloq mahsuloti:
Qavs ichimizdagi ikkinchi raqam qayerda.
Qavs ichidagi ikkinchi raqam tengdir.
Buni tekshirib ko'ring. teng bo'lishi kerak. Darhaqiqat, bu ikkala raqamni qavs ichida topdik degan ma'noni anglatadi: va. Ularning o'rtasida turgan belgini aniqlash uchun qoladi. Sizningcha, bu erda qanday belgi bo'ladi?
To'g'ri! Xo'sh, biz qandaymiz qo'shish ikki baravar ko'paytirilgan mahsulot, keyin raqamlar orasida qo'shimcha belgisi bo'ladi. Endi aylantirilgan iborani yozing. Siz buni qildingizmi? Sizda quyidagilar bo'lishi kerak:
Eslatma: atamalarning pozitsiyalarini o'zgartirish natijaga ta'sir qilmaydi (farq qilmaydi, qo'shilmaydi yoki ajratib olinadi va o'rtasida).
Qaytarilgan iboradagi raqamlar formulada yozilganidek turishi shart emas. Ushbu iboraga qarang:. Uni o'zingiz aylantirishga harakat qiling. Bu ish berdimi?
Yaxshi tayyor! Amaliyot - quyidagi iboralarni o'zgartiring:
Javoblar:
- - ekvivalent ekanligini isbotlash.
Siz buni qildingizmi? Mavzuni tuzating. Kvadrat yoki farq sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan quyidagi iboralardan tanlang.
- - kvadrat shaklida tasavvur qilib bo'lmaydi; Agar shunday bo'lsa, buni tasavvur qilish qiyin emas.
Kvadrat farqi
Qisqartirilgan ayirishning yana bir formulasi bu kvadrat farq.
Kvadratlarning farqi bu farqning maydoni emas!
Ikkala sonning kvadratlarining farqlari ularning farqlari bo'yicha bu raqamlar yig'indisining yig'indisiga teng:
Ushbu formulaning to'g'ri yoki yo'qligini tekshiring. Buning uchun yig'indisi va farqning kvadratik formulalarini olganda bo'lgani kabi ko'paytiramiz:
Shunday qilib, biz shunchaki formulaning to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qildik. Ushbu formula shuningdek, murakkab hisoblash operatsiyalarini soddalashtiradi. Mana bir misol:
Buni hisoblash kerak:. Albatta, biz kvadratni olamiz, keyin bir-biridan ikkinchisini ajratamiz, ammo formula bizning vazifamizni soddalashtiradi:
Bu ish berdimi? Natijalarni tekshiring:
Summaning farqi (farq) bilan bir qatorda kvadratlar farqining formulasi nafaqat raqamlar bilan qo'llanilishi mumkin:
Kvadratlar farqini ajratish qobiliyati bizga murakkab matematik ifodalarni o'zgartirishga yordam beradi.
E'tibor bering:
To'g'ri ifoda farqining kvadratini kengaytirishda biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
Ehtiyot bo'ling va qanday aniq atama kvadratga qarang! Mavzuni tuzatish uchun quyidagi iboralarni o'zgartiring:
Yozganmisiz? Olingan iboralarni solishtiring:
Endi siz summaning kvadratini va farqning kvadratini, shuningdek kvadratlarning farqini bilib olganingizdan so'ng, ushbu uchta formulani birlashtirish orqali misollarni echishga harakat qilaylik.
Boshlang'ich ifodalarni konversiya (yig'indisi kvadrat, farq kvadrat, kvadrat farqi)
Aytaylik, bizga misol keltirilgan:
Ushbu iborani soddalashtirish kerak. Ehtiyot bo'ling, hisoblagichda nimani ko'rasiz? To'g'ri, hisoblagich to'liq kvadrat:
Ifodani soddalashtirish uchun esda tutingki, soddalashtirishda qaysi yo'nalishda harakat qilish kerakligi denominatorda (yoki hisoblagichda). Bizning holimizda, denominator kengaytirilganda va boshqa hech narsa qilinmasa, biz hisoblagich summaning kvadratiga yoki farqning kvadratiga teng bo'lishini tushunishimiz mumkin. Biz qo'shsak, hisoblagichning yig'indisi kvadrat ekanligi aniq bo'ladi.
Quyidagi iboralarni o'zingiz o'zgartirib ko'ring:
Bu ish berdimi? Javoblarni taqqoslang va davom eting!
Sum va farq kublari
Formulalar kubining summasi va kub farqi xuddi shunday tarzda namoyish etiladi kvadrat miqdor va farq kvadrat: a'zolarni bir-biriga ko'paytirganda qavslarni ochish.
Agar yig'indisi va farqning kvadratini eslab qolish juda oson bo'lsa, savol tug'iladi: "kublarni qanday eslab qolish kerak?"
Kvadratlarga o'xshash atamalar bilan taqqoslab tasvirlangan ikkita formulaga diqqat bilan qarang:
Siz qanday namunani ko'ryapsiz?
1. O'rnatilganda kvadrat bizda bor kvadrat birinchi kun va kvadrat ikkinchi; kubga aylantirilganda - bor kub bitta raqam va kub boshqa raqam.
2. O'rnatilganda kvadrat, bizda bor ikki baravar ko'paydi raqamlar mahsuloti (1 darajadagi raqamlar, bu biz ifodani ko'taradigan darajadan bir darajaga kam); qurilishda kub – uch baravar Raqamlardan biri kvadrat bo'lgan mahsulot (shuningdek, bu ifodaning ko'tarilish darajasidan 1 darajaga kam).
3. Qavs ichidagi belgini kvadrat ichida ochiq ifoda qo'shilgan mahsulot qo'shilganda (yoki tushirilganda) aks etadi - agar qo'shimcha qavs ichida bo'lsa, demak, agar olib tashlangan bo'lsa, biz qo'shamiz; Kubni ko'tarishda qoida quyidagicha: agar bizda kub kub bo'lsa, unda barcha belgilar "+", agar farq kub bo'lsa, unda belgilar bir-biriga: "" - "" - "" - "".
Rasmda ko'rsatilgan a'zolarni ko'paytirganda darajalarning bog'liqligidan tashqari yuqorida aytilganlarning barchasi ko'rsatilgan.
Amaliymi? Qavslarni quyidagi iboralarda oching:
Olingan iboralarni solishtiring:
Farq va kublarning yig'indisi
Formulalarning so'nggi juftligini, farqni va kublarning yig'indisini ko'rib chiqing.
Biz eslaganimizdek, kvadratchalar farqida biz bu sonlarning farqini va yig'indisini bir-birimizga ko'paytiramiz. Kublar farqida ikkita qavs ham mavjud.
1 qavs - birinchi darajadagi raqamlarning yig'indisi (yoki farq) (farqni yoki kublar miqdorini aniqlashimizga bog'liq);
2 qavs - tugallanmagan kvadrat (diqqat bilan qarang: agar biz sonlarning juft mahsulotini aylantirsak (yoki qo'shsak), kvadrat ham bo'lar edi), sonlarni ko'paytirishdagi belgi asl ifoda belgisiga ziddir.
Mavzuni tuzatish uchun biz bir nechta misollarni hal qilamiz.
Olingan iboralarni solishtiring:
O'qitish
Vazifalar:
Javoblar:
Yakuniy natijalarni umumlashtirish
Qisqartirilgan ko'paytirish uchun 7 ta formulalar mavjud:
Shuni unutmangki, talabalarning oraliq darajasi uchun biz "" mavzusini yanada chuqurroq o'rganib chiqdik.