Ta'rif Ikki yoki undan ortiq nol bo'lmagan darajadagi ko'p a'zolardan hosil bo'lgan ko'payuvchini ko'paytmaga faktoring deyiladi. Masalan: x2 - a2 \u003d (x - a) (x + a).

Faktoring ko'payishlarining turli usullarini ko'rib chiqing.

1) Umumiy omilni qavslardan tashqariga chiqarish va guruhlash usuli.

Ushbu usuldan foydalanganda ba'zan "sun'iy" o'zgarishlarni qo'llash tavsiya etiladi - alohida a'zolarni o'xshash shartlarga bo'lish yoki o'zaro yo'q qiladigan a'zolarni kiritish.

1-misol. A2 –2bc + 2ac - ab ko'paytmali omil.

Qaror. a2 - 2bc + 2ac - ab \u003d (a2 + 2ac) - (2bc + ab) \u003d

A (a + 2s) –b (2s + a) \u003d (a + 2s) (a - b).

2-misol. Ko‘p sonli omil: x2 - 3x + 2.

x2 - 3x + 2 \u003d x2 - x - 2x + 2 \u003d (x2 - x) ‑- (2x - 2) \u003d x (x - 1) - 2 (x - 1) \u003d (x - 1) (x - 2) )

2) Qisqartirilgan ko'payish formulalaridan foydalanish. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanib, faktoring ko'pincha juda osonlashtiriladi.

3-misol. Ko‘p sonli omil: 5a5x3 + 5a2x9.

Qaror. Birinchidan, 5a2x3 umumiy koeffitsientini oling va keyin kublar yig'indisi uchun formulani qo'llang:

5a5x3 + 5a2 x9 \u003d 5a2x3 (a3 + x6) \u003d 5a2x3 (a3 + (x2) 3) \u003d 5a2x3 (a + x2) (a2 - ax2 + x4).

Misol 4. P (x) \u003d x3 - 3x - 2 ko'paytmali koeffitsient.

Qaror. P (x) \u003d x3 - 3x - 2 \u003d x3 - x - 2x - 2 \u003d (x3 - x) - (2x + 2) \u003d

X (x2 - 1) - 2 (x + 1) \u003d x (x + 1) (x - 1) - 2 (x + 1) \u003d (x + 1) (x2 - x - 2). Beri

x2 - x - 2 \u003d x2 - x - 1 - 1 \u003d (x2 - 1) - (x + 1) \u003d (x + 1) (x - 1) - (x + 1) \u003d (x + 1) (x - 2)

keyin P (x) \u003d (x + 1) 2 (x - 2).

To'liq kvadratni ajratib ko'rsatish ba'zan foydali bo'ladi.

Misol 5. x4 + 4 omili.

x4 + 4 \u003d x4 + 4x2 + 4 - 4x2 \u003d (x2 +2) 2 - (2x) 2 \u003d (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2).

Faktoring uchun x4 + 4 \u003d (x2) 2 + 22 (a2 + b2 \u003d (a + b) 2 - 2ab formuladan foydalanildi) ifodasida to'liq kvadratni ajratish muvaffaqiyatli bo'ldi.

3) kvadrat trinomialni faktorizatsiya qilish.

ax2 + bx + c \u003d a (x - x0) (x - x2); (a ≠ 0, D \u003d b2 - 4ac≥0), bu erda x1 va x2 trinomial ax2 + bx + s ildizlari.

4) x darajaga nisbatan n-darajali ko'paytiruvchini omillashtirish.

Polinom n darajasi   nisbatan x shakliga ega

P (x) \u003d aohp + a1xn-1 + ... + an-1x + an,

bu erda a0 ≠ 0, n ≥ 0 butun sonlar, a0, a1, ..., va doimiylar (ko'paytma koeffitsientlari), x harfi (qiymat) x har qanday raqamli qiymatlarni qabul qilishi mumkin. P (x) ko'paytma x ning kuchini pasaytirishda standart shaklda yoziladi.

P (x) va P1 (x) ko'p sonli polinomiyalar teng deb hisoblanadi: P (x) \u003d P1 (x), agar x ning barcha qiymatlari uchun ular bir xil qiymatlarni olishadi.

Bezout teoremasi. Polinomial Pn (x) ni binom (x-x0) ga bo'lganda, R \u003d x \u003d x0 ga teng bo'lgan ko'paytirilgan qiymatga teng bo'lgan qoldiqni olamiz, ya'ni. R \u003d Pn (x0).

Pn (x) \u003d (x - x0) Qn-1 (x) + P (x0).

Bezout teoremasidan olingan teoremalar:

1. Agar Pn (x) qoldiqsiz (x - x0) bo'linsa, ya'ni R \u003d 0, keyin x \u003d x0 ko'paytma Pn (x) ning ildizidir, ya'ni. Pn (x0) \u003d 0.

2. Agar x \u003d x0 ko'paytma Pn (x) ning ildizi bo'lsa, ya'ni Pn (x0) \u003d 0, keyin Pn (x) qoldiqsiz (x - x0) bo'linadi, ya'ni. Pn (x) \u003d (x - x0) Qn-1 (x)).

Xulosa qilsak, quyidagicha olamiz: Pn (x) \u003d a0 (x - x1) (x - x2) ... (x - xn), bu erda x1, x2, ..., xn ko'paytmaning ildizlari.

6-misol. Faktor polinomiyasi

P (x) \u003d (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12.

P (x) \u003d (x2 + x + 1) ((x2 + x + 1) + 1) - 12 \u003d (x2 + x + 1) 2 + (x2 + x + 1) - 12.

X2 + x + 1 \u003d y bo'lsin. Keyin y2 + y - 12 \u003d (y + 4) (y - 3) ga egamiz, chunki trinomial y2 + y - 12 ning ildizlari - 4 va 3 ga teng bo'ladi. Y dan x gacha bo'lgan holda, biz olamiz.

P (x) \u003d (x2 + x + 5) (x2 + x - 2). Trinomial x2 + x - 2 \u003d (x - 1) (x + 2) bo'lgani uchun

keyin P (x) \u003d (x - 1) (x + 2) (x2 + x + 5).

Matematika qiziqarli fan, ammo ba'zida bu juda murakkab. Formulalar va qoidalar, shuningdek ko'paytirish jadvali murakkab muammolarni hal qilishga yordam beradi. Bundan tashqari, ular birinchi darajali raqamlar va ko'p xonali sonlarni qanday omil qilish kerakligi haqida savolga javob topish uchun imkoniyat yaratadilar.

Raqamni qanday omil qilish kerak

Biror sonning omillarini bilish uchun siz uning eng kichik bo'linuvchisini topishingiz kerak. Bu oddiy va to'liq bo'lishi kerak. Agar siz harakatlarni yozsangiz, varaqni ikki ustunga ajratib, vertikal chiziq chizishingiz kerak. Asl raqamni yuqori chap tomonga yozing. Endi butun sonni qoldiqsiz olish uchun qanday minimal sonni bo'lish mumkinligini o'ylab ko'ring. Uni chap tomonga va bo'linish natijasini o'ng tomonga yozing. Buni ustundagi so'nggi raqam bitta raqamga bo'lguncha qilish kerak. Raqamlarni bittaga ajrata olmasligingizni unutmang. Dyus va undan yuqorisini tanlash kerak. Masalan, siz 468 omillarini topishingiz kerak. Minimal omil - 2. Chapga yozing 2, o'ngda, bo'linish natijasi 234. Ushbu sonning bo'linuvchisini toping. 234 ni 2 ga bo'lish kerak. Bu 117 ga aylanadi. Natijani ustunlarga yozing. 117 ga bo'ling. Biz ikkiga bo'lolmaymiz, chunki bu butun son emas. 3. Ushbu raqam mos keladi, uni yozing va bo'linish natijasi. Javob 39 ga teng. 39 ga bo'lish mumkin bo'lgan minimal son qanday? Bu shuningdek 3. Javob 13 ga teng. Bu raqamni faqat o'zingiz - 13 ga bo'lishingiz mumkin. 1 chiqadi. Shunday qilib, siz 468 ning barcha omillarini aniqladingiz. Ularni yozing.

Qanday qilib sonni asosiy omillarga bo'lish kerak?

Raqamni aniqlash uchun siz ko'paytirish jadvalini bilishingiz kerak. Gap shundaki, agar sizning raqamingiz oz bo'lsa, uning asosiy omillarini topish oson. Masalan, siz 10 raqamining asosiy omillarini hisoblamoqchisiz. Siz ushbu sonni qaysi eng kichik raqamni ajratishingiz mumkinligini aniqlashingiz kerak, bu 2tadir. Biz bittadan boshqa barcha raqamlarni olamiz. Natijada, biz olamiz: 2x5 \u003d 10. Bu 2 va 5 raqamlari, chunki ular sodda bo'lgani uchun, 10 ning omillari ekanligini anglatadi.

Polinomiyani qanday omil qilish kerak

Asos sifatida, tub sonlarda bo'lgani kabi, murakkab narsa yo'q. Amallar bir xil, faqat sonda bir nechta a'zolar mavjud. Polinomiyani aniqlashdan oldin biz umumiy omilni aniqlashimiz kerak. Masalan: kubga 16u - kvadratda 24u. Har bir sonni eng kichik bo'luvchiga bo'ling. Nima sodir bo'ladi: 4u kvadrat * 4u - 4u kvadrat * 6 \u003d 4u kvadrat (4u - 6). Bu javob bo'ladi.

Siz "guruhlash" deb nomlangan usulni qo'llashingiz mumkin. Faoliyat printsipi bir xil. Siz shunchaki ko'p qavmlarni guruhlashingiz kerak, umumiy qavsni qo'ying. Keyin har bir qavs uchun umumiy omilni toping. Biz ham bardosh beramiz. Qavslar ichidagi raqamlar ko'paytmalarning omillari bo'ladi. Boshqa usul - bu "qisqartirilgan ko'payish" usuli. Har bir polinomiya omillarni aniqlab, ularni qavs ichiga qo'yish kerak. Ushbu protsedurani bitta biriga yetguncha qilishingiz kerak.

Polinomni qanday qilib aniqlashning aniq misollarini ko'rib chiqing.

Koinotlarning dekompozitsiyasi muvofiq amalga oshiriladi.

Faktor polinomlari:

Umumiy omil mavjudligini tekshiring. ha, u 7cd ga teng. Qavs ichidan qo'ying:

Qavslardagi ifoda ikki atamadan iborat. Umumiy omil endi yo'q, ifoda kublar yig'indisi uchun formula emas, ya'ni parchalanish tugaganligini anglatadi.

Umumiy omil mavjudligini tekshiring. Yo'q. Polinom uchta atamadan iborat, shuning uchun biz to'liq kvadrat formulaning mavjudligini tekshiramiz. Ikki atama bu ifodalarning kvadrati: 25x² \u003d (5x) ², 9y² \u003d (3y) ², uchinchi termin bu iboralarning qo'shaloq hosilasidir: 2 ∙ 5x ∙ 3y \u003d 30xy. Demak, bu ko'payish to'liq kvadratdir. Minus belgisi bo'lgan qo'shaloq mahsulot bo'lgani uchun, bu:

Umumiy omilni qavs qilish mumkinligini tekshiring. Umumiy omil mavjud, u a ga teng. Qavs ichidan qo'ying:

Qavslar ichida ikkita atama mavjud. Kvadratlar yoki kublar farqi uchun formulalar mavjudligini tekshiring. a² a ning maydoni, 1 \u003d 1². Shuning uchun qavslardagi ifoda kvadratchalar farqi formulasi bo'yicha yozilishi mumkin:

Umumiy omil bor, bu 5. Biz uni qavslardan chiqaramiz:

qavs ichida uch shart. Ifodaning to'liq kvadrat ekanligini tekshiring. Ikki atamalar kvadratchalar: 16 \u003d 4² va a² a ning kvadratidir, uchinchi atama 4 ning qo'shaloq mahsuloti va a: 2 ∙ 4 ∙ a \u003d 8a. Shuning uchun, u to'liq maydon. "+" Belgisi bilan barcha atamalar bo'lgani uchun qavs ichidagi ifoda summaning umumiy kvadratini tashkil etadi:

Umumiy x -2x koeffitsienti qavs ichidan olinadi:

Qavslar ichida ikkita shartlarning yig'indisi. Berilgan ifoda kublar yig'indisi ekanligini tekshiring. 64 \u003d 4³, x³- kub x. Shuning uchun binomiyani quyidagi formula bo'yicha parchalash mumkin:

Umumiy omil mavjud. Ammo ko'pxarajli a'zo 4 a'zodan iborat bo'lganligi sababli, biz avval umumiy omilni hisobga olmaymiz. Birinchi muddatni to'rtinchi bilan, ikkinchi termini uchinchi guruh bilan guruhlang:

Biz 4a umumiy omilni birinchi qavsdan va 8b ikkinchi qavsdan olamiz:

Hozircha umumiy omil yo'q. Uni olish uchun biz ikkinchi qavs ichidan “-” belgisini qo'yamiz va qavs ichidagi har bir belgi teskari tomonga o'zgaradi:

Endi biz umumiy omilni olib tashlaymiz (1-3a):

Ikkinchi qavsda 4 ning umumiy omili mavjud (bu biz misolning boshida qavslardan chiqarmaganimiz bilan bir xil).

Polinom to'rtta atamadan iborat bo'lganligi sababli biz guruhlashni amalga oshiramiz. Birinchi muddatni ikkinchi, uchinchi va to'rtinchi so'zlarni guruhlang:

Birinchi qavsda hech qanday umumiy omil yo'q, lekin kvadratchalar farqining formulasi mavjud, ikkinchi qavsda -5 koeffitsienti mavjud:

Umumiy omil (4m-3n) mavjud. Qavslardan oling.

Polinomlarni omillashtirish.

• Trening taqdimoti.

• Faktorizatsiya bo'yicha qisqacha dars

• 7-sinf

Nazariy bit

• Faktoring polinomiyani oddiy sodda ko'payish hosilasi sifatida ifodalashni anglatadi.

• Parchalanishning bir necha yo'li mavjud:

• Umumiy omil

• Guruhlash usuli

• Qisqartirilgan ko'payish formulalaridan foydalanish

• Polinomning faktorizatsiyasidan foydalanamiz: 2x2 + x –6 \u003d (2x-3) (x + 2)

• Keyin berilgan tenglama quyidagi shaklda qayta yozilishi mumkin:

• (2x-3) (x + 2) \u003d 0

• Agar omillardan biri nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng. Vositalari

• yoki 2x-3 \u003d 0,

• yoki x + 2 \u003d 0.

• Birinchi tenglamadan x \u003d 1,5, ikkinchi tenglamadan esa x \u003d -2.

• Tenglama yechilgan, uning ikkita ildizi bor: 1.5 va –2.

Boshqa vaziyatni ko'rib chiqaylik

• Aytaylik, siz raqamli ifoda qiymatini topishingiz kerak

• 532-472

• 612-392

• Eng samarali echim - kvadrat farq formulasini ikki marta ishlatish:

• 532-472 = (53-47)(53+47) = 6 100 = 6 = 3

• 612-392 (61-39)(61+39) 22 100 22 11

• Faktoring bizga kasrni kamaytirishga imkon berdi. Keyinchalik, buni algebraik kasrlar bilan ishlashda ham baholaymiz.

Shunday qilib, ko'paytmali faktorizatsiya tenglamalarni echishda, sonli va algebraik ifodalarni aylantirishda ishlatiladi. U boshqa holatlarda, aytaylik, muvaffaqiyatning kaliti bo'lgan quyidagi juda qiyin, ammo chiroyli misolda qo'llaniladi yana omillar.

MISOL

• Buni har qanday musbat butun son uchun isbotlang n   ifoda n3 +3n2 +2n6 ga bo'linadi.

• Buni hal qilishga harakat qiling

• Ruxsat bering p (n) \u003d n3+ 3n2 +2n.

• Agar n\u003d 1 keyin p(1)= 1 + 3 + 2 \u003d 6. Vositalari p(1) qoldiqsiz 6 ga bo'linadi.

• Agar n\u003d 2 keyin p(2)= 23 + 3 · 22 + 2 · 2 \u003d 8 + 12 + 4 \u003d 24. Binobarin, va p(2) qoldiqsiz 6 ga bo'linadi.

• Agar n\u003d 3 keyin p(3)= 33 + 3 · 32 + 2 · 3 \u003d 27 + 27 + 6 \u003d 60. Shuning uchun va p(3) qoldiqsiz 6 ga bo'linadi.

• Lekin siz shunday tartiblashtirishni tushunasiz hammasi   natural sonlar biz muvaffaqiyat qozona olmaymiz. Qanday bo'lish kerak Algebraik usullar yordamga keladi.

• Bizda: n3 +3n2 +2n=n(n+1)(n+2).

• Aslida n(n+1)= n2+ n, va ( n2 + n)(n+2)=n3+ 2n2+ n2+ 2n \u003d n3+ 3n2+ 2n.

• Shunday qilib p (n) \u003d n(n+1)(n+2), ya'ni. p (n) ketma-ket uchta natural sonning mahsuloti mavjud n, n+1, n+2. Ammo bunday uchta raqamdan bittasini, albatta, 3 ga bo'lishadi, demak ularning mahsuloti 3 ga bo'linadi. Bundan tashqari, ushbu raqamlarning kamida bittasi hatto, ya'ni. 2. bo'lingan p (n)2 va 3 ga bo'lingan, ya'ni. 6 ga bo'linadi.

• Hammasi yaxshi, deyapsiz, lekin buni qanday qilib bilasiz? n3+ 3n2 +2n= n(n+1)(n+2)? Javob aniq:   polinomlarni qanday omil qilishni o'rganishingiz kerak.

• Bunga o'tamiz.

Umumiy omilni qavslardan tashqariga chiqarish Bir necha monomiallarning umumiy omilini topish algoritmi

• Polinomiyadagi barcha monomiyalarning eng katta umumiy omil bo'linuvchisini toping - bu umumiy sonli omil bo'ladi (albatta, bu faqat butun son koeffitsientlari uchun amal qiladi).

• Polinomning har bir a'zosiga kiritilgan o'zgaruvchilarni toping va ularning har biri uchun eng kichik (mavjud) ko'rsatkichni tanlang.

• Birinchi bosqichda aniqlangan koeffitsient mahsuloti umumiy omil bo'lib, uni qavslardan olish maqsadga muvofiqdir.

MisolFaktor: - x4y3- 2x3y2+ 5x2.

• Formalangan algoritmdan foydalanamiz.

• Eng katta umumiy omil bo'luvchisi - 1, -2 va 5 - bu 1.

• O'zgaruvchan x   mos ravishda 4, 3, 2 ko'rsatkichlari bilan barcha ko'payish a'zolariga kiritilgan; shuning uchun qavs qavs qilinishi mumkin x2.

• O'zgaruvchan yko'plik a'zolarining barchasiga kiritilmagan; bu degani uni qavs ichidan chiqarib bo'lmaydi.

• Xulosa:   qavslarni qo'yish mumkin x2. To'g'ri, bu holda talaffuz qilish maqsadga muvofiqdir - x2. Biz olamiz:

• -x 4y3- 2x3y2+ 5x2\u003d -x2(x2y3+ 2xy2- 5).

Guruhlash usuli Guruhlash usulining mohiyatini tushunish uchun quyidagi misolni ko'rib chiqing: ko'pxotinli faktoring xy-6 + 3y-2y

• Guruhlashning birinchi usuli:

• xy-6 + 3y-2y \u003d (xy-6) + (3x-2y).

• Guruhlash amalga oshmadi.

• Guruhlashning ikkinchi usuli:

• xy-6 + 3y-2y \u003d (xy + 3x) + (- 6-2y) \u003d x (y + 3) -2 (y + 3) \u003d (y + 3) (x-2).

• Guruhlashning uchinchi usuli:

• xy-6 + 3y-2y \u003d (xy-2y) + (- 6 + 3x) \u003d y (x-2) +3 (x-2) \u003d (x-2) (y + 3).

• Javob: xy-6 + 3y-2y \u003d (x-2) (y + 3).

• Ko'rib turganingizdek, birinchi marta guruhlash har doim ham muvaffaqiyatli emas. Agar guruhlash muvaffaqiyatsiz bo'lsa, uni bekor qiling, boshqa yo'lni qidiring. Tajriba orttirsangiz, tezda muvaffaqiyatli guruhlashni topasiz.

Qisqartirilgan ko'payish formulalari yordamida ko'payuvchini faktorizatsiya qilish Ushbu formulalarni eslab qoling:

• a2-b2 \u003d (a-b) (a + b);

• a3-b3 \u003d (a-b) (a2 + ab + b2);

• a3 + b3 \u003d (a + b) (a2-ab + b2);

• a2 + 2ab + b2 \u003d (a + b) 2;

• a2-2ab + b2 \u003d (a-b) 2.

Ushbu formulalarning birinchisi bo'lgan ifodaga nisbatan qo'llanilishi mumkin kvadrat farq   (nima bo'lishidan qat'iy nazar - raqamlar, monomiyalar, ko'payuvchilar), ikkinchi va uchinchi - bu ifodani farq   (yoki miqdori) kublar; oxirgi ikkita formulalar trinomialga tegishli, ya'ni to'liq kvadrat, ya’ni ikkita ifodaning kvadratlarining yig'indisi va bir xil ifodalarning qo'shaloq mahsuloti mavjud.

MisollarFaktor:

• 1) x6-4a4. Birinchi formuladan foydalanamiz (kvadratchalar farqi):

• x6-4a4 \u003d (x3) 2- (2a2) 2 \u003d (x2-2a2) (x3 + 2a2).

• 2) a6 + 27b3.Uchinchi formuladan foydalanamiz (kublar yig'indisi):

• a6 + 27b3 \u003d (a2) 3+ (3b) 3 \u003d (a2 + 3b) ((a2) 2-a2 · 3b + (3b) 2) \u003d (a2 + 3b) (a4-3a2b + 9b4).

• 3) a2-4ab + 4b2.Ushbu misolda trinomial berilgan, uning faktorlanishi uchun biz beshinchi formuladan foydalanamiz, agar trinomial to'liq kvadrat ekanligiga ishonch hosil qilmasak:

• a2-4ab + 4b2 \u003d a2 + (2b) 2-2A2b \u003d (a-2b) 2.

• Biz trinomialda monomiallarning kvadratlari yig'indisi borligiga ishonch hosil qildik a   va 2 b, shuningdek, ushbu monomiallarning qo'shaloq mahsuloti. Demak, bu to'liq kvadrat va farqning maydoni.

Turli xil texnikalarning kombinatsiyasidan foydalangan holda ko'pburchakni faktorizatsiya qilish

Matematikada, masalan, masalani echishda faqat bitta texnikadan foydalaniladi, kombinatsiyalangan misollar ko'proq uchraydi, bunda avval bitta texnika ishlatiladi, keyin boshqasi va boshqalar. Bunday misollarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun texnikalarni bilish etarli emas, ularni izchil qo'llash rejasini tuzish kerak. Boshqacha aytganda, lekin tajriba ham. Bu biz ko'rib chiqadigan birlashtirilgan misollar.

1-misol. Faktor polinomi 36a6b3-96a4b4 + 64a2b5

1) Birinchidan, umumiy omilni qavs ichidan olamiz. 36, 96, 64 koeffitsientlarini ko'rib chiqing. Ularning barchasi 4 ga bo'linadi va bu eng katta umumiy omildir, biz uni qavslardan chiqaramiz. Polinomning barcha a'zolari o'zgaruvchini o'z ichiga oladi a   (mos ravishda a6, a4, a2), shuning uchun uni qavslardan chiqarish mumkin a2. Xuddi shunday, ko'pxaridning barcha a'zolari o'zgaruvchini o'z ichiga oladi b   (mos ravishda b3, b4, b5) - qavs ichidan olinishi mumkin b3.

• Shunday qilib, biz uni qavslardan chiqaramiz 4a2b3. Keyin biz olamiz:

• 36a6b3-96a4b4 + 64a2b5 \u003d 4a2b3 (9a4-24a2b + 16b2).

• 2) Qavslardagi trinomiyani ko'rib chiqing: 9a4-24a2b + 16b2. To'liq kvadrat emasligini aniqlang. Bizda:

• 9a4-24a2b + 16b2 \u003d (3a2) 2+ (4b) 2-2 · 3a2 · 4b.

• To'liq maydonning barcha shartlari bajarilgan, shuning uchun

• 9a4-24a2b + 16b2 \u003d (3a2-4b) 2.

• 3) Ikkita hiyla-nayrangni birlashtirsak (umumiy omilni qavsdan tashqariga chiqarish va qisqartirilgan ko'payish formulalarini ishlatish) biz yakuniy natijani olamiz:

• 36a6b3-96a4b4 + 64a2b5 \u003d 4a2b3 (3a2-4b) 2.

2-omil x4 + x2a2 + a4

• To'liq kvadratni tanlash usulini qo'llang. Buning uchun tasavvur qiling x2a2   sifatida 2x2a2-x2a2. Biz olamiz:

• x4 + x2a2 + a4 \u003d x4 + 2x2a2-x2a2 + a4 \u003d

• \u003d (x4 + 2x2a2 + a4) -x2a2 \u003d

• \u003d (x2 + a2) 2- (xa) 2 \u003d (x2 + a2 + xa).

3-omil n3 + 3n2 + 2n

• Avval biz bundan foydalanamiz n   qavs ichida qo'yish mumkin: n (n2 + 3n + 2).   Endi trinomialga n2 + 3n + 2   ilgari taqdim etgan holda guruhlash usulini qo'llang 3n   sifatida 2n + n. Biz olamiz:

• n2 + 3n + 2 \u003d n2 + 2n + n + 2 \u003d (n2 + 2n) + (n + 2) \u003d

• \u003d n (n + 2) + (n + 2) \u003d (n + 2) (n + 1).

• Oxir-oqibat:

• n2 + 3n + 2 \u003d n (n + 1) (n + 2).

4-misol Tenglamani yeching x2-6x + 5 \u003d 0

• Birinchi yo'l.   Tasavvur qiling - 6x   miqdor sifatida –X-5x,keyin guruhlash usulini qo'llang:

• x2-6x + 5 \u003d x2-5x + 5 \u003d (x2-x) + (- 5x + 5) \u003d x (x-1) -5 (x-1) \u003d (x-1) (x-5).

• Keyin berilgan tenglama quyidagi shaklni oladi:

• (x-1) (x-5) \u003d 0,

• buni qaerdan ham topamiz x \u003d 1yoki x \u003d 5.

• Ikkinchi yo'l.   Biz to'liq kvadratni olish usulini qo'llaymiz, buning uchun biz 5ni 9-4 deb belgilaymiz. Biz olamiz:

• x2-6x + 5 \u003d x2-6x + 9-4 \u003d (x2-6x + 9) -4 \u003d

• \u003d (x-3) 2-22 \u003d (x-3-2) (x-3 + 2) \u003d (x-5) (x-1).

• Yana tenglamaga keling (x-1) (x-5) \u003d 0,   1 va 5-darajali ildizlarga ega.

• Javob: 1, 5.

Algebraik kasrlarning kamayishi

• Algebraik kasr   Ikki polinomning nisbati deyiladi Pva Q. Bunday holda, yozuvdan foydalaning P

Shaxsiyatlar

• a2-b2 \u003d (a-b) (a + b);

• x2-4x + 4 \u003d (x-2) 2;

• (a + b) c \u003d ac + bc.

• Yozilgan tengliklar ularning tarkibiga kiritilgan o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun to'g'ri keladi. Bunday tenglik deyiladi identifikatorlari. Shaxsiyatning chap va o'ng tomonlari ifoda deyiladi, bir xil darajada. Bitta iborani unga o'xshash boshqa ibora bilan almashtirish deyiladi shaxsni o'zgartirish   iboralar.

• Ta'rif   Shaxsiyat tenglik haqiqatdir har qanday ruxsat berilgani uchun   uning tarkibiy parametrlarining qiymatlari.

Asosiy natijalar

• Biz yangilarini (siz uchun) taqdim etdik tushunchalar   matematik til:

• ko'p a'zoli faktorizatsiya;

• algebraik kasr; algebraik kasrning kamayishi;

• shaxsiyat, bir xil teng iboralar, ifodaning bir xil o'zgarishi.

• Siz quyidagini uchratdingiz ko'pxorijiy faktoring usullari:

• umumiy omilning qavslari;

• guruhlash;

• qisqartirilgan ko'payish formulalaridan foydalanish;

• to'liq kvadrat tanlash.

Umumiy holda, bu vazifa ijodiy yondoshishni o'z ichiga oladi, chunki uni hal qilishning universal usuli yo'q. Ammo baribir bir nechta maslahatlar berishga harakat qiling.

Ko'pgina holatlarda ko'psahamli faktoring Bezout teoremasining kolyasiyasiga asoslanadi, ya'ni ildiz topiladi yoki tanlanadi va ko'pxorolik darajasi bo'linish yo'li bilan birlik orqali kamayadi. Ildiz olingan polinomdan olinadi va jarayon to'liq parchalanishga qadar takrorlanadi.

Agar ildiz topilmasa, dekompozitsiyaning o'ziga xos usullari qo'llaniladi: guruhlashdan qo'shimcha qo'shimcha shartlarni kiritishgacha.

Keyingi taqdimot yuqori darajadagi tenglamalarni butun son koeffitsientlari bilan echish ko'nikmalariga asoslangan.

Umumiy omil.

Erkin atama nolga teng bo'lgan eng oddiy holatdan boshlaymiz, ya'ni ko'payish shakli mavjud.

Shubhasiz, bunday ko'pxaridning ildizi, ya'ni ko'p a'zoli shaklda ifodalanishi mumkin.

Bu usul boshqasi emas umumiy omilni qisqartirish.

Bir misol.

Uchinchi darajali ko'payish koeffitsienti.

Qaror.

Ko'rinib turibdiki, bu ko'paytmaning ildizi, ya'ni. x   qavs ichida qo'yish mumkin:

Kvadrat trinomialning ildizlarini toping

Shunday qilib,

Yuqoriga qaytish

Ratsional ildizlarga ega bo'lgan ko'payuvchini omillashtirish.

Birinchidan, ko'paytirilgan shaklni butun son koeffitsientlari bilan ajratish usulini ko'rib chiqamiz, eng yuqori darajadagi koeffitsient birlikka teng.

Bu holda, agar ko'payuvchi butun sonlarga ega bo'lsa, unda ular erkin atamaning bo'linuvchisidir.

Bir misol.

Qaror.

To'liq ildizlar mavjudligini tekshiring. Buning uchun sonning bo'linuvchilarini yozing -18 :. Ya'ni, agar ko'paytma butun sonlarga ega bo'lsa, unda ular yozma sonlar qatoriga kiradi. Biz bu raqamlarni Horner sxemasi bo'yicha ketma-ket tekshirib turamiz. Uning qulayligi shundaki, oxir-oqibat biz ko'paytmaning kengayish koeffitsientlarini olamiz:

Ya'ni, x \u003d 2   va x \u003d -3   asl polinomning ildizlari bo'lib, uni mahsulot sifatida ko'rsatish mumkin:

Kvadrat trinomiyani kengaytirish uchun qoladi.

Ushbu trinomialning diskriminanti salbiy, shuning uchun uning haqiqiy ildizlari yo'q.

Javob:

Izoh:

horner sxemasi o'rniga bitta ildizni tanlash va keyinchalik ko'pxaridni ko'payish uchun ishlatish mumkin edi.

Endi biz ko'paytmaning shaklni butun son koeffitsientlari bilan ajratilishini ko'rib chiqamiz va eng yuqori darajadagi koeffitsient birlikka teng emas.

Bunday holda ko'pxolislik fraksiyonel ratsional ildizlarga ega bo'lishi mumkin.

Bir misol.

Faktor ifodasi.

Qaror.

O'zgaruvchini almashtirish orqali y \u003d 2x, eng yuqori darajadagi birlikka teng koeffitsient bilan ko'payuvchiga o'tamiz. Buning uchun avval iborani ko'paytiring 4 .

Agar hosil bo'lgan funktsiya butun songa ega bo'lsa, unda ular erkin atamani ajratuvchilar qatoriga kiradi. Biz ularni yozamiz:

Funktsiya qiymatlarini ketma-ket hisoblaymiz g (y)   nolgacha bu nuqtalarda.

Ya'ni, y \u003d -5   ildiz shuning uchun asl funktsiyaning ildizidir. Polinomning ustunini (burchagini) binomga ajratamiz.

Shunday qilib,

Qolgan bo'linuvchilarni tekshirishni davom ettirish amaliy emas, chunki natijada paydo bo'lgan kvadrat trinomiyani aniqlash osonroq

Shuning uchun

Bilmagan polinom. O'nlab johilliklarda ko'psahmning ajralishi haqidagi teorema. Polinomning kanonik taqsimoti.