Bunday ajoyib va \u200b\u200btanish maydon. Uning markazi va diagonallari bo'ylab va tomonlarning markazlari bo'ylab chizilgan o'qlar nosimmetrikdir. Kvadrat maydonni yoki uning hajmini qidirish umuman qiyin emas. Ayniqsa, uning yon tomonining uzunligi ma'lum bo'lsa.

Shakl va uning xususiyatlari haqida bir necha so'z

Birinchi ikkita xususiyat ta'rif bilan bog'liq. Shaklning barcha tomonlari bir-biriga teng. Axir, kvadrat muntazam to'rtburchaklardir. Bundan tashqari, u barcha tomonlarga teng bo'lishi kerak va burchaklar bir xil qiymatga ega, aniqrog'i - 90 daraja. Bu ikkinchi xususiyat.

Uchinchisi diagonallarning uzunligi bilan bog'liq. Ular, shuningdek, bir-biriga teng bo'lib chiqadi. Bundan tashqari, ular to'g'ri burchaklarda va o'rta nuqtalarda kesishadi.

Faqat yon uzunligini ishlatadigan formulalar

Avval belgilash haqida. Yonning uzunligi uchun "a" harfini tanlash odatiy holdir. Kvadrat maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: S \u003d a 2.

To'rtburchak bilan tanilgan narsadan osongina olinadi. Unda uzunlik va kenglik ko'paytiriladi. Kvadrat ichida bu ikki element tengdir. Shuning uchun formulada ushbu bitta miqdorning kvadrati paydo bo'ladi.

Diagonal uzunligi paydo bo'ladigan formula

U uchburchakda gipotenuza bo'lib, oyoqlari shaklning tomonlaridir. Shuning uchun biz Pifagor teoremasining formulasidan foydalanishimiz va tenglikni olishimiz mumkin, bunda tomoni diagonal orqali ifodalanadi.

Bunday sodda o'zgarishlarni amalga oshirgan holda, kvadratning diagonali orqali quyidagi formula bo'yicha hisoblanishini topamiz.

S \u003d d 2/2. Bu erda d harfi kvadratning diagonalini bildiradi.

Perimetr formulasi

Bunday vaziyatda yon tomonni perimetr orqali ifodalash va uni maydon formulasiga almashtirish kerak. Shakl to'rtta bir xil tomonga ega bo'lganligi sababli, perimetrni 4 ga bo'lish kerak bo'ladi. Bu tomonning qiymati bo'ladi, keyinchalik uni dastlabki qismga almashtirish va kvadrat maydonni hisoblash mumkin.

Umuman olganda formulalar quyidagicha: S \u003d (P / 4) 2.

Hisoblash vazifalari

№ 1. Kvadrat bor. Uning ikki tomonining yig'indisi 12 sm. Kvadratning maydonini va uning perimetrini hisoblang.

Qaror.  Ikkala tomonning yig'indisi berilganligi sababli, siz uning uzunligini bilib olishingiz kerak. Ular bir xil bo'lgani uchun, ma'lum bo'lgan sonni shunchaki ikkiga bo'lish kerak. Ya'ni, bu raqamning yon tomoni 6 sm.

Keyin uning perimetri va maydoni yuqoridagi formulalar yordamida osonlikcha hisoblab chiqiladi. Birinchisi - 24 sm, ikkinchisi - 36 sm 2.

Javob.  24 sm ga teng va uning maydoni 36 sm 2 ga teng.

Raqam 2. Perimetri 32 mm ga teng kvadrat maydonini aniqlang.

Qaror.  Yuqoridagi formulada perimetr qiymatini shunchaki almashtiring. Garchi siz avval kvadratning yon tomonlarini va shundan keyingina uning maydonini bilib olishingiz mumkin.

Ikkala holatda ham harakatlar avvaliga bo'linadi, so'ngra oddiy hisob-kitoblar taqdim etilgan maydonning maydoni 64 mm 2 ga teng bo'lishiga olib keladi.

Javob.Kerakli maydon 64 mm 2 ni tashkil qiladi.

№ 3. Kvadratning yon tomoni 4 dm. To'rtburchak o'lchamlari: 2 va 6 dm. Ushbu ikki raqamdan qaysi biri kattaroq maydonga ega? Qancha?

Qaror.  Kvadratning yon tomonini a harfi bilan belgilang, keyin to'rtburchakning uzunligi va kengligi a va 2 bilan. Kvadratning maydonini aniqlash uchun 1 ning kvadratini olish kerak, to'rtburchak esa 2 va 2 ga ko'paytiriladi. Bu qiyin emas.

Aniqlanishicha, maydonning maydoni 16 dm 2, to'rtburchaklar maydoni - 12 dm 2. Shubhasiz, birinchi raqam ikkinchi raqamdan kattaroqdir. Bu ularning teng bo'lishiga, ya'ni ular perimetrlari bir xil bo'lishiga qaramay. Tasdiqlash uchun siz perimetrlarni hisoblashingiz mumkin. Maydonda yon tomonni 4 ga ko'paytirish kerak, biz 16 dm olamiz. To'rtburchakning qirralarini buking va 2 ga ko'paytiring.

Vazifada hanuzgacha qancha joylar farqlanishiga javob berish kerak. Buning uchun katta raqamdan kamroq olinadi. Farqi 4 dm 2.

Javob.  Maydonlar 16 dm 2 va 12 dm 2. Maydonda yana 4 dm 2 bo'ladi.

Isbotlash vazifasi

Ahvoli Kvadrat isosceles oyog'iga qurilgan. Uning gipotenuzasi uchun balandligi boshqa kvadrat qurilgan balandlikda joylashgan. Birinchisining maydoni ikkinchisidan ikki baravar katta ekanligini isbotlang.

Qaror.  Biz notatsiyani tanishtiramiz. Oyoq a ga teng bo'lsin va gipotenuzaga to'g'ri keladigan balandlik, x. Birinchi kvadratning maydoni S 1, ikkinchisi S 2.

Oyoq ustiga qurilgan maydonning maydonini hisoblash oson. Bu 2 ga teng bo'lib chiqadi. Ikkinchi qiymat bilan, hamma narsa juda oddiy emas.

Avval siz gipotenuzaning uzunligini bilishingiz kerak. Buning uchun Pifagor teoremasining formulasi foydalidir. Oddiy o'zgarishlar bu iboraga olib keladi: a√2.

Poydevorga tortilgan isosceles uchburchagidagi balandlik ham median va balandligi bo'lganligi sababli, u katta uchburchakni ikkita teng bo'lgan izosellarga to'g'ri burchakli uchburchaklarga ajratadi. Shuning uchun balandlik gipotenuzaning yarmiga teng. Ya'ni, x \u003d (a√2) / 2. Bu erdan S 2 maydonini bilish oson. Bu 2/2 ga teng bo'ladi.

Shubhasiz, qayd etilgan qiymatlar aniq ikki marta farq qiladi. Ikkinchisi - bu son necha baravar kam. Buni isbotlash kerak edi.

G'ayrioddiy jumboq - tangram

U kvadratdan qilingan. Muayyan qoidalarga muvofiq har xil raqamlarni kesish kerak. Jami qismlar 7 bo'lishi kerak.

Qoidalarga ko'ra, o'yin davomida olingan barcha tafsilotlar ishlatiladi. Ulardan siz boshqa geometrik shakllarni yasashingiz kerak. Masalan, to'rtburchaklar, trapezoid yoki parallelogramma.

Ammo bundan ham qiziq tomoni shundaki, hayvonlar yoki buyumlarning siluetlari bo'laklardan qilinganida. Bundan tashqari, barcha olingan raqamlarning maydoni boshlang'ich kvadratning maydoniga teng ekanligi ma'lum bo'ldi.

Kvadrat maydoni bu asosiy tushunchadir, buning yordamida ta'mirlash uchun materiallarning sarfini muammosiz hisoblash, xonani o'lchashda mebelning to'g'ri o'lchamlarini hisoblash va ulkan maydondagi muhim ekinlarni ekish uchun qancha o'g'it va urug'lar kerakligini tushunish mumkin.

Kvadrat maydoni uchun berilgan formulalardan quruvchilar, mebel ishlab chiqaruvchilar va qishloq xo'jaligi vakillari foydalanadilar.

Kvadrat nima?

Kvadrat teng tomonlari bo'lgan oddiy to'rtburchaklardir. Shaklning har bir burchagi 90⁰. Kvadrat tekislikda joylashgan oddiy geometrik shakllarni anglatadi. Kvadrat maydonini bir necha usul bilan topishingiz mumkin: diagonalda, yon tomonda, perimetr atrofida.

Maydon formulalari, hisoblash misollari

Oddiy shaklning maydoni ijobiy xususiyat bo'lib, quyidagi xususiyatlarga ega:

• Teng geometrik shakllar teng maydonga ega.
• Agar oddiy raqam bir necha qismga bo'linadigan bo'lsa, uning umumiy maydoni har doim barcha elementlarning maydonlarining yig'indisiga teng bo'ladi.
• Agar uning tomoni o'lchov birligiga to'g'ri kelsa, kvadratning maydoni har doim bitta ga teng bo'ladi.

Yon tomonda

Geometriyada maydon har doim S deb belgilanadi va kichik lotin harflari (masalan, a va b) oddiy figuraning tomonlaridir.

Yon tomondagi har qanday to'rtburchakning maydonini hisoblash oddiy formulaga asoslanadi: S \u003d abammo kvadrat holatida formulaga aylantiriladi S \u003d a²chunki ikki tomonning uzunligi bir xil.

Bu kvadratning maydoni uning yon tomonining kvadratiga teng degan fikrni anglatadi.

1-misol:  Yon tomoni 5 sm bo'lgan kvadrat berilgan bo'lsa, uning maydoni qanday?
Qaror:  S \u003d 5² \u003d 25 sm

2-misol:  Shaklning yon tomoni 3 sm ga teng.
Qaror:  S \u003d 3² \u003d 9 sm

Diagonal ravishda

Maydonni topishning yana bir variant - bu (d) raqamning diagonaliga nisbatan hisob-kitoblarni amalga oshirish. To'g'ri, buning uchun avval diagonalning uzunligini topishingiz kerak. Ma'lumki, diagonali kvadratni ikkita isosceles uchburchagiga ajratadi. Shunday qilib, hisob-kitoblarni taniqli Pifagor teoremasiga binoan bajarish mumkin, bu erda kvadratning tomonlari oyoq bo'ladi, diagonali esa gipotenuzaga aylanadi.

Diagonal bo'ylab maydonni hisoblash printsip bo'yicha amalga oshiriladi: kvadratning maydoni diagonal uzunligining kvadratiga teng (Pifagor teoremasi bilan hisoblab chiqilgan) va ikkiga bo'linadi.

Misol:  Diagonal 10 sm bo'lgan kvadrat berilgan holda maydonni qanday hisoblash mumkin?
Qaror:  Yuqoridagi formulaga ko'ra, hisob-kitoblar quyidagicha: S \u003d 10² / 2 \u003d 100/2 \u003d 50 sm²

Perimetr atrofida

Perimetr - kvadratning barcha tomonlarining uzunliklari yig'indisi. Perimetr Lotin R harfi bilan belgilanadi, kvadratning ta'rifini hisobga olgan holda, teng qirrali to'rtburchaklar uchun perimetrni hisoblash uchun universal formulani olamiz: P \u003d 4a. Ya'ni, kvadratning perimetri to'rt marta yon tomonlarning uzunligiga teng.

Kvadrat maydonni har tomonning yig'indisiga nisbatan hisoblash, agar vazifada faqat perimetr qiymati ko'rsatilgan bo'lsa, zarurdir. Perimetrni hisoblash formulasini bilish, maydonni topish juda oson.

Agar P \u003d 4akeyin a \u003d P / 4. Keyinchalik, yon tomondagi maydonni hisoblash uchun siz allaqachon formuladan foydalanishingiz kerak.

Misol:  Perimetri 100 mm bo'lgan kvadrat berilsin. Maydon nima?
Qaror:  Kvadratning yon tomoni 100/4 \u003d 25 mm bo'ladi. Xo'sh, kvadrat maydon qo'shimcha formulalar bo'yicha hisoblab chiqiladi, bu erda kvadrat maydoni tomonlarning kvadratiga teng. Ya'ni, S \u003d 25² \u003d 625 mm²

Kvadratning maydoni doira ichiga yozilgan

Ushbu parametr ilgari olingan formuladan kelib chiqqan holda qo'llaniladi (diagonali hisoblash). Matematik ma'lumotlarga ko'ra, aylananing diametri aniq bo'ladi diagonaliga teng  kvadrat. Shu sababli, teng tomonli to'rtburchakning maydonini tezda hisoblash uchun aylananing diametrini bilish kifoya qiladi. Va keyin taniqli formuladan foydalaniladi: S \u003d d² / 2

Oddiy vazifa:  masalan, diagonali 8 sm bo'lgan doira berilgan va unda kvadrat yozilgan. To'rtburchakning maydoni qanaqa?
To'g'ri qaror:  S \u003d 8² / 2 \u003d 64/2 \u003d 32 sm²

Video darsi

Maydon  - Bu muntazam to'rtburchak, unda barcha tomonlar va burchaklar bir-biriga tengdir.
Kvadratning maydoni uning yon tomoniga teng:
S \u003d a 2

Isbot

Keling, ishni qachon boshlaylik a \u003d 1 / n, bu erda n butun son.
  1 tomoni bilan kvadrat oling va uni n ga bo'ling teng kvadratchalar  shakl 1da ko'rsatilganidek.

Katta maydonning maydoni birlikka teng bo'lgani uchun har bir kichik kvadratning maydoni 1 / n 2 ga teng. Har bir kichik kvadratning yon tomoni 1 / n ga teng, ya'ni a ga teng. Shunday qilib
S \u003d 1 / n 2 \u003d (1 / n) 2 \u003d a 2. (1)
  Endi raqamga ruxsat bering a n kasrdan iborat sonli kasrni ifodalaydi (xususan, a raqami butun son bo'lishi mumkin va keyin n \u003d 0).. Keyin m \u003d a · 10 n soni butun son. Ushbu kvadratni yon tomon bilan a 2-rasmda ko'rsatilgandek teng kvadratlarga ajratamiz.

Bundan tashqari, ushbu maydonning har bir tomoni m ga bo'linadi teng qismlar, va shuning uchun har qanday kichik kvadratning tomoni

a / m \u003d a / (a \u200b\u200b· 10 n) \u003d 1/10 n.

Formulaga muvofiq (1)   kichik kvadratning maydoni (1/10 n) 2 ga teng. Shuning uchun ushbu maydonning S maydoni

m 2 · (1/10 n) 2 \u003d (m / 10 n) 2 \u003d ((a · 10 n) / 10 n) 2 \u003d a 2.

Va nihoyat raqamiga ruxsat bering a  cheksiz o‘nlikdir. Raqamni ko'rib chiqing a ndan olingan a  bilan boshlanadigan barcha o'nlik kasrlarni bekor qilish (n + 1)ming Raqam beri a  dan farq qiladi a n  ortiq emas 1/10 nkeyin a n ≤ a ≤ a n + 1/10 nqayerdan

a n 2 ≤ a 2 ≤ (a n + 1/10 n) 2. (2)

Maydonni aniqlang S  Bu kvadrat a n tomoni bilan va n n + 1/10 n tomoni bo'lgan kvadrat maydoni o'rtasida tuziladi:

ya’ni o‘rtasida a n 2  va (a n + 1/10 n) 2:

a n 2 ≤ S ≤ (a n + 1/10 n) 2. (3)

Biz ularning sonini cheksiz ko'paytiramiz n. Keyin raqam 1/10 n  o'zboshimchalik bilan kichik bo'lib qoladi va shuning uchun (a n + 1/10 n) 2 soni o'zboshimchalik bilan a n 2 sonidan oz farq qiladi. Shuning uchun, tengsizliklardan (2)   va (3)   bu raqamdan kelib chiqadi S  o'zboshimchalik bilan a 2 raqamidan ozgina farq qiladi. Shuning uchun bu raqamlar tengdir: S \u003d a 2, kerak bo'lganda.

Shuningdek, kvadrat maydonni quyidagi formulalar yordamida topish mumkin:

S \u003d 4r 2,
S \u003d 2R 2,