1-teorema Aylana ichidagi vertikal burchak bilan berilgan burchak va u bilan vertikal burchak joylashgan yoylarning yarim yig'indisi bilan o'lchanadi. Isbot. Doira ichidagi C cho'qqisi va aylanada A va B nuqtalari bo'lgan ACB burchagini ko'rib chiqing. A1, B1 burchaklari unga vertikal bo'lgan tomonning aylanasi bilan kesishish nuqtasi bo'lsin. BB chizig'ini chizing 1. ACB burchagi B 1 CB uchburchagining tashqi burchagi. Shunday qilib, ACB \u003d AB 1 B + B 1 BA 1. Tenglikning o'ng tomonidagi burchaklar mos keladigan yoylarning yarmlari bilan o'lchanadi, bu isbotni yakunlaydi.
2-teorema Tangensning aylana bilan tanangentsiya nuqtasi orqali chizilgan chizig'i orasidagi burchak, bu burchak ichida o'ralgan aylana yoyining yarmi bilan o'lchanadi. Isbot. ACB burchagi tanangent AC va aylananing BC akrosi orqali hosil bo'lsin. Agar bu burchak to'g'ri chiziq bo'lsa, unda BC - aylananing diametri va shuning uchun ACB burchagi shu burchak ichida o'ralgan yarim doira yoyining yarmi bilan o'lchanadi. Agar ACB burchagi keskin bo'lsa, unda diametrli CD-ni torting. Bizda ACB \u003d ACD - BCD mavjud. ACD burchagi CBD dumaloq yoyining yarmida o'lchanadi. BCD burchagi BD doirasining yoyining yarmi bilan o'lchanadi. Shuning uchun ularning farqi (ACB burchagi) bu burchak ichida o'ralgan doiraning CB yoyi bilan o'lchanadi. Yomon burchagi masalasini mustaqil ravishda ko'rib chiqing.
Teorem 3 Burchagi kesishgan doiradan tashqaridagi vertikal burchak bilan, bu burchak ichida o'ralgan aylana yoylarining yarim farqi bilan o'lchanadi. Isbot. Aylanadan tashqarida C qirrasi bo'lgan ACB burchakni va aylanada A va B nuqtalarini ko'rib chiqing. A1, B1 chiziqlar AC va BC tomonlari aylanasi bilan kesishish nuqtasi bo'lsin. AB chizig'ini chizing 1. AB 1 B burchagi AB uchburchagining tashqi burchagi. AB, shuning uchun ACB \u003d AB 1 B - B 1 AA 1. Tenglikning o'ng tomonidagi burchaklar mos keladigan yoylarning yarmida o'lchanadi, bu isbotni yakunlaydi.
Mashq 21 Berilgan AB segmentini berilgan burchakda, ya'ni ACB burchagiga teng bo'lgan S nuqtalarni toping. Javob: A va B nuqtalarisiz AB segmentiga asoslanib, bir xil radiusdagi ikkita aylana tizmalari.
Mashq 23 Javob: a) T T T diametrli AB bilan aylana tashqarisida yotadi va AB to'g'ri chizig'iga tegishli emas; Berilgan A va B nuqtalar uchun S nuqtalarining geometrik joylashishini toping, bunda ASB burchagi bo'ladi: a) o'tkir; b) ahmoq. b) HMT diametrli doira ichida yotadi va AB segmentiga tegishli emas. 26-mashq ABC uchburchagida AA 1 va BB 1 balandliklari tortiladi A BC AC va B 1 burchaklari teng ekanligini isbotlang. Isbot. AB diametrli doira A 1 va B 1 nuqtalardan o'tadi. A 1 AC va B 1 yozilgan burchaklari AB 1 kamoniga asoslanadi, shuning uchun ular tengdir. Burchaklar tengligini isbotlash uchun biz burchaklarning qirralari perpendikulyar ekanligidan foydalanishimiz mumkin.
27-mashq AA 1 va BB 1 balandliklari ABC uchburchagida chizilgan, AA 1 B 1 va ABB 1 burchaklari teng ekanligini isbotlang. Isbot. Diametri AB bo'lgan doira A 1 va B 1 nuqtalardan o'tadi. AA 1 B 1 va ABB 1 burchaklari AB 1 kamoniga asoslanadi, shuning uchun ular tengdir.
28-mashq ABC uchburchagida AA 1 va BB 1 balandliklari tortiladi va BAC va B 1 A 1 C burchaklari teng ekanligini isbotlang. Isbot. BAC burchagi ABB burchagining 90 ° minusiga teng. B 1 A 1 C burchagi AA 1 B burchagiga nisbatan 90 ° minus 1. A 1 B 1 va ABB 1 burchaklari teng bo'lganligi sababli (oldingi vazifaga qarang), BAC va B 1 A 1 C.
Asosiy teoremalar
1-ta'rif . Arkning burchak qiymati bu yoy uzunligining aylanish vaqtiga 2π nisbatidir.
1-teorema . Markaziy burchakning kattaligi u yotgan yoyning burchak kattaligiga teng.
2-teorema
. Yozilgan burchakning qiymati u yotgan yoyning burchak qiymatining yarmiga teng.
Oqibati. Xuddi shu yoy yoki bir xil aylananing teng yoylari asosida yozilgan burchaklar tengdir.
3-teorema . Aylananing bir nuqtasidan cho'zilgan tangens va akkordiya orasidagi burchak, bu burchak ichida o'ralgan yoyning burchak qiymatining yarmi bilan o'lchanadi (1-rasm).
4-teorema . Burchak, uning uchi aylanadan tashqarida joylashgan, burchak ichida o'ralgan bu aylananing yoylarining burchak qiymatlarining yarim farqi bilan o'lchanadi (2-rasm).
5-teorema
Burchak, uning uchi aylana ichida joylashgan, burchak yon tomonining aylana doirasidan va ularning davomidan kesilgan yoylarning burchak qiymatlarining yarim yig'indisi bilan o'lchanadi (3-rasm).
6-teorema Doira ichiga yozilgan to'rtburchakning qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi π, va aksincha, to'rtburchakning qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi π bo'lsa, bu to'rtburchak atrofida aylana tasvirlanishi mumkin.
7-teorema Ikki kesishgan akkordlar segmentlarining uzunliklari tengdir (3-rasmga qarang).
8-teorema
. Sektsiya uzunligi va uning tashqi qismining uzunligi doimiy bo'lib, u bir xil nuqtadan aylanaga tortilgan tangens uzunligining kvadratiga tengdir (4-rasm).
Ba'zi teoremalarning isbotlari
4-teorema isboti . Avval berilgan burchakni hosil qiluvchi nurlar har bir aylanani ikki xil nuqtada kesishgan vaziyatni ko'rib chiqamiz (5-rasm).
O burchakning uchi va nurlar va aylananing kesishish nuqtalarini A, B, C va D (A va B, C va O orasidagi farqlar) bilan belgilang. Keyin
Birinchi tenglik to'g'ri, chunki OBC uchburchagida tashqi burchak BCD hisoblanadi yig'indisiga teng unga yaqin bo'lmagan ikkita ichki burchak.
Endi nurlardan biri (masalan, OA) A nuqtada aylanaga tegib tursin, ikkinchisi B va C nuqtalarida kesishadi; B va O o'rtasidagi C (6-rasm).
Va nihoyat, OA va OB nurlari A va B nuqtalar doirasiga tegib tursin (7-rasm).
OAB uchburchagi isoscellar, va 
bu erda ACB yoyi A va B nuqtalari orasidagi o'ralgan dumaloq yoylarning eng kattasi.
5-teorema isboti . AB va CD doiralari O nuqtada kesishsin (8-rasm). OBD uchburchagida tashqi burchak AOD bu unga ulashmagan ikkita ichki burchaklarning yig'indisidir.
8-teorema isboti.
Avval teoremaning birinchi qismini isbotlaymiz. OB va OD aylanaga ikkita, OA va OC esa tashqi tomonlariga mos ravishda bo'lsin. ABC va ADC burchaklari teng bo'lganligi sababli (yozilgan, xuddi shu yoyga egilgan), uchburchaklar AOD va BOC o'xshash (ikki burchakda). Shuning uchun
Endi OKni aylanaga va OB qismiga tegib turaylik (OA uning tashqi qismi) (9-rasm).
OKA burchagi KA yoyining burchak qiymatining yarmiga teng bo'lganligi sababli (tangens va akkord orasidagi burchak kabi) va KBA burchagi KA yoyining burchak qiymatining yarmiga teng (yozilgan, bu yoyga suyangan holda), ∠OKA \u003d ∠KBA va OKA uchburchagi uchburchakka o'xshaydi. KOB (ikki burchak). Bizda: 
Vazifalar echimlari
1-topshiriq Doimiy ABC uchburchagi yon tomonga 3 ga teng bo'lib, aylana ichiga yozilgan. D nuqta aylanada yotadi va AD akkordratsiyasining uzunligi tengdir (10-rasm). BD va CD akkordlar uzunligini toping.
Qaror.
Doimiy uchburchak yonida tasvirlangan aylananing radiusi yon tomonda ekanligini ko'rish oson atengdir
yaxshi, bu aylananing radiusi tengdir. O berilgan aylananing markazi bo'lsin. AOD uchburchagida barcha tomonlar tengdir. Shuning uchun ∠DAO \u003d 60 °. Bundan tashqari, ABC uchburchagi muntazam bo'lgani uchun, ACOAC \u003d 30 °.
Shuning uchun ∠DAC \u003d 90 °, DAC uchburchagi to'rtburchaklar shaklida bo'ladi. Shuning uchun CD aylananing diametri va 
Shu sababli, BCD uchburchagi to'g'ri burchakli, Pifagor teoremasi bo'yicha biz B va C nuqtalarni qayta belgilashda aniqlaymiz.
Javob: va
2-topshiriq . R radiusli doira ABC uchburchagi A va B uchlaridan o'tib, A chizig'idagi AC chizig'iga tegadi (11-rasm). CABC \u003d β, ∠CAB \u003d a ekanligini bilib, ABC uchburchagining maydonini toping.
Qaror. Tangens AC va AB aylanasining A nuqtasidan cho'zilgan AB chizig'i orasidagi a burchak AB yoyining burchak qiymatining yarmiga teng, shuning uchun xuddi shu yoyga asoslangan har qanday yozilgan burchakka tengdir. Shuning uchun sinus teoremasini qo'llashimiz mumkin: AB \u003d 2Rsin a.
Sinus teoremasi ham amal qiladigan ABC uchburchagini ko'rib chiqing: 
Shuning uchun
Javob: 
3-topshiriq . ABC uchburchagi atrofida doira tasvirlangan. Median AD mediasi bu doira bilan E nuqtada kesishguncha davom etadi (12-rasm). AB + AD \u003d DE, BAD burchagi 60 ° va AE \u003d 6. ABC uchburchagining maydonini toping.
Qaror. AB \u003d x, AD \u003d y bo'lsin, keyin muammoning shartiga ko'ra DE \u003d x + y. Doira ichida ikkita kesishuvchi akkordlar segmentlari teng bo'lsa, bizda:
AD ∙ DE \u003d BD ∙ DC ⇔
Biz kosinos teoremasini ABD uchburchagiga qo'llaymiz:
BD2 \u003d AB2 + AD2 - 2AB ∙ AD ∙ cos ∠BAD ⇔
⇔
⇔ x2 \u003d 2xy ⇔ x \u003d 2y.
AE \u003d 6 shart x + 2y \u003d 6. tenglikni beradi, unga x \u003d 2y ni qo'shsak, topamiz: x \u003d 3. Kerakli maydon
Javob:
4-topshiriq
. O'tkir burchakli ABC uchburchagining AC tomonida D nuqtasi AD \u003d 1, shunday qilib olinadi.
DC \u003d 2 va BD - ABC uchburchagining balandligi. A va D nuqtalardan o'tgan radius 2 doirasi D nuqtasiga tegib, BDC uchburchagi yaqinida aylantirilgan (13-rasm). ABC uchburchagining maydonini toping.
Qaror. BCD uchburchagi to'rtburchaklar shaklida bo'ladi, shuning uchun uning atrofida aylanib chiqqan doiraning markazi miloddan avvalgi M ning o'rtasi. O va A va D orqali o'tadigan radius 2 doirasining markazi bo'lsin. Bu doiralar tanglangan bo'lgani uchun O, D, M nuqtalari bitta to'g'ri chiziqda yotadi. Va ADO va CDM burchaklarining tengligi sababli, ADO va CDM uchburchaklar izosellari tufayli, bu uchburchaklar o'xshashligi keladi. Shuning uchun DM \u003d 4 va BC \u003d 2 DM \u003d 8. Pifagor teoremasini BCD uchburchagiga qo'llagan holda, biz shu sababli olamiz, 
Javob:
5-topshiriq
. ABC uchburchagi berilgan
BC \u003d 5. Aylana B va C uchlaridan o'tadi va AC tomonini K nuqtada kesadi, shunday qilib
CK \u003d 3, KA \u003d 1. ACB burchakning kosinusi teng ekanligi ma'lum (14-rasm). Berilgan aylana radiusining ABK uchburchagiga yozilgan aylana radiusiga nisbatini toping.
Qaror. Biz kosinos teoremasini ABC uchburchagiga qo'llaymiz:
AB2 \u003d BC2 + AC2 - 2BC ∙ AC ∙ cos ∠ACB \u003d 9 ⇒
⇒ AB \u003d 3.
Shuning uchun ABC uchburchagi to'g'ri burchakli (chunki uning tomonlari 3, 4, 5). ABK uchburchagi ham to'rtburchaklar shaklida bo'lib, unga Pifagor teoremasini qo'llagan holda ABK uchburchagiga yozilgan aylananing radiusi teng ekanligini aniqlaymiz. 
Maqola Sankt-Peterburgdagi "NP MAEB" o'quv markazi ko'magida nashr etildi. Mehnatni muhofaza qilish va sanoat xavfsizligi xizmati ishini tashkil qilish, ushbu sohada mutaxassislarni tayyorlash. Menejerlar va mutaxassislar, slingerlar, yuk ko'tarish mashinalari, ko'taruvchi haydovchilar, suyultirilgan gaz bilan ishlaydigan silindrlarda ishlaydiganlar va boshqalar uchun yong'in-texnik minimal dasturlar Siz markaz haqida, narxlar, aloqalar haqida ko'proq ma'lumot olishingiz va so'rovni quyidagi veb-saytda olishingiz mumkin. http://www.maeb.ru/.
Muammo holatida berilgan doira BCK uchburchagi yaqinida tasvirlangan. Sinus teoremasi bo'yicha uning radiusi
Keyin kerakli nisbat 
6-topshiriq
. AB \u003d 6, BC \u003d 4, AC \u003d 8 tomonlari ABC uchburchagida ma'lum.C burchakning bisektori
AB nuqtasini D nuqtada kesadi, A, D, C nuqtalar orqali, E nuqtada BC tomonni kesib o'tgan doira chiziladi (15-rasm). ADE uchburchagining maydonini toping.
Qaror. ACB burchakning bisektor CD-si AB tomonini qo'shni tomonlarga mutanosib segmentlarga ajratadi, shuning uchun AD \u003d 4 va BD \u003d 2. Bundan tashqari, DAE va DCE burchaklari teng, chunki ular bir xil kamonga tayanadi va AED va ACD burchaklari ham tengdir. Ammo ∠ACD \u003d ∠DCE, shuning uchun barcha to'rtta nomutanosiblik mavjud. Shuning uchun ADE uchburchagi isoscellar va DE \u003d 4 bo'ladi.
ADE burchagining sinusini toping. To'rt tomonlama ADEC doirada yozilganligi sababli, keyin
∠ADE + ∠ACE \u003d 180 °, gunoh ∠ADE \u003d sin ∠ACE.
Biz kosinos teoremasini ABC uchburchagiga qo'llaymiz: 
Vositalari
Javob:
7-topshiriq . ABC uchburchagi atrofida AC \u003d 20 va B burchaklari 45 ° ga teng, aylana tasvirlangan. Aylana tomon bog'lovchi C nuqta orqali AB tomonini A nuqtadan tashqariga, D nuqtada kesadi (16-rasm). BCD uchburchagining maydonini toping.
Qaror. ABC burchagi, bu yoyga asoslanib, yozilgan burchak sifatida, AC yoyining burchak kattaligining yarmiga teng. ACD burchagi, shuningdek, tangens va akkordiya orasidagi burchak kabi, AC yoyining burchak kattaligining yarmiga teng. Shuning uchun bu burchaklar tengdir va DBC va DCA uchburchaklar ikki burchakda o'xshashdir. Ushbu uchburchaklarning maydonlariga kvadrat o'xshashlik koeffitsienti deyiladi. Ushbu koeffitsientni toping, u BC ga teng: AC. BC \u003d 10x bo'lsin, kosinos teoremasini ABC uchburchagiga qo'llasak:
Vositalari 
Shuning uchun 
Hisoblash oson 
Javob:
8-topshiriq . To'rtburchak radius 17 atrofida aylantirilgan bo'lib, ularning diagonallari o'zaro perpendikulyar bo'lib, doira markazidan 8 va 9 masofada joylashgan (17-rasm). To'rtburchakning yon tomonlarining uzunligini toping.
Qaror. Biz ABCD tomonidan to'rtburchaklar deb nomlanamiz, shunda B nuqta kichikroq yoy AC ga, A nuqta esa BD yoyining kichik qismida joylashgan. Aylana markazidan O, OQ va OP bo'lsin, aylananing markazidan AC va BD akkordlariga tushgan perpendikular, mos ravishda AC va BD ning kesishish nuqtasi bo'lsin. Keyin AQ \u003d QC, BP \u200b\u200b\u003d PD, OQMP bu to'rtburchak bo'lib, tomonlari OQ \u003d PM \u003d 8 va
OP \u003d QM \u003d 9. COQ uchburchagiga Pifagor teoremasini qo'llaymiz:
Xuddi shunday, ODP uchburchagidan biz buni olamiz 
Vositalari 
Pifagor teoremasidan foydalanib, to'rtburchaklar ABCD qirralarini topamiz:
Javob:
9-topshiriq
. ABCDE beshburchagi birlik radiusi doirasiga kiritilgan (18-rasm).
Ma'lumki, BC \u003d CD. Pentagonning maydoni qanaqa?
Qaror. O berilgan aylananing markazi bo'lsin. AOB uchburchagi tomonlari 1, 1 bo'lganligi sababli, bu uchburchak to'rtburchaklar, AOB burchagi tengdir. ABE burchagi teng bo'lgani uchun, AOE burchagi ham teng, BE esa aylananing diametriga teng. Demak, EBD burchagi teng, EOD burchagi tengdir va BC \u003d CD dan keyin 
Shunday qilib, ABCDE beshburchagi ikkita o'ng burchakli va uchta teng qirrali uchburchakdan iborat. Uning maydoni tengdir 
Javob:
10-topshiriq . ABCD konveksli to'rtburchaklar aylana ichiga yozilgan. Diagonal AC BAD burchakning bisektoridir va diagonal BD ni K nuqtada kesadi (19-rasm). Agar BC \u003d 4 va AK \u003d 6 bo'lsa, KC segmentining uzunligini toping.
Qaror. AC BAD burchakning bisektori bo'lganligi sababli, BAC burchagi CAD burchagiga teng. Boshqa tomondan, SAPR va CBD burchaklari tengdir (yozilganidek, xuddi shu yoyga tayanib). Demak, BAC burchagi CBK burchagiga teng. Shuning uchun ABC uchburchagi BCK uchburchagiga o'xshaydi (ikki burchak). Bizda:
Javob: 2.
Mustaqil echim uchun topshiriqlar
C-1. ABC uchburchagida biz bor: AB \u003d 20, AC \u003d 24. Ma'lumki, S cho'qqisi, ABC uchburchagiga yozilgan doiraning markazi va A burchakning bisektorining BC tomoni bilan kesishish nuqtasi, markazi AC tomonda joylashgan doirada yotadi. ABC uchburchagi atrofida aylananing radiusini toping.
C-2. ABC uchburchagi berilgan, verteks C tomon to'g'ri burchak bilan berilgan. CAB burchagi a. ABC burchagi bisektori K nuqtada AC tomonini kesadi. BC tomonda AB gipotenuzasini M. nuqtasida kesadigan BC qurilgan.
C-3. Samolyotda ikkita kesishgan aylana berilgan. Birinchisida O1 va radius 4 ga teng, ikkinchisida O2 markazda va O1 O2 chizig'iga teng radius ikkala doirani kesib o'tadi va KO1 O2 burchak 30 ° ga teng (bu erda K aylanalarning kesishish nuqtalaridan biridir). Teng tomonli ABC uchburchagining A uchi - ikkinchi aylananing kesishish nuqtasi va O1 O2 segmenti, BC tomoni esa O1 O2 chizig'iga perpendikulyar bo'lgan birinchi aylananing akkordur. Agar AB ma'lum bo'lsa, ABC uchburchagining maydonini toping< 4.
C-4. To'rtburchaklar ABCD diagonallari o'zaro perpendikulyar va E nuqtada kesishgan doirada yozilgan. E nuqtadan o'tib, AB ga perpendikulyar bo'lgan chiziq M nuqtada CD tomonni kesadi va EM CED uchburchagining mediani ekanligini isbotlang va AD uzunligini toping. \u003d 8, AB \u003d 4 va ∠CDB \u003d a.
C-5. ABCD trapezoidi aylana shaklida (miloddan avvalgi C) mil. CD yoyida E nuqtasi olinadi va trapezoidning barcha uchlariga ulanadi. Bundan tashqari, ∠CED \u003d 120 ° va ∠ABE - ∠BAE \u003d a ekanligi ma'lum. ABE uchburchagi uchun perimetrning yozilgan aylananing radiusiga nisbatini toping.
C-6. ABC uchburchagida ma'lumki BC \u003d 4. Bundan tashqari, uchburchak tomonlarining o'rta nuqtalari orqali chizilgan aylananing markazi S burchakning bisektoriga yotadi. AC ni toping.
C-7. AB va AC nuqtalarida ABC uchburchagida, B1 va C1 nuqtalar mos ravishda tanlanadi, shunda AB1: AB \u003d 1: 3 va AC1: AC \u003d 1: 2. A, B1 va C1 nuqtalar orqali doira chiziladi. B1 nuqtasi orqali D nuqtada AC1 segmentini va E nuqtada aylanani kesib o'tgan chiziq chiziladi.
Agar AC1 \u003d 4, AD \u003d 1, DE \u003d 2 bo'lsa va ABC uchburchagining maydoni 12 ga teng bo'lsa, B1 C1 E uchburchagining maydonini toping.
S-8. ABCD to'rtburchagining diagonallari E aylanasi bilan kesishgan holda aylanadi. AC chiziqda M nuqtasi olinadi, ∠DME \u003d 80 °, ∠ABD \u003d 60 °, ∠CBD \u003d 70 °. M nuqtasi qayerda: diagonalda yoki uning davomida? Javobni asoslang.
S-9. ABC uchburchagi yaqinida tasvirlangan aylananing markazi orqali AC va BC tomonlariga perpendikulyar bo'lgan to'g'ri chiziqlar tortiladi. Ushbu chiziqlar uchburchakning CH balandligini yoki P va Q nuqtalarida kesishadi. Ma'lumki, CP \u003d p, CQ \u003d q. ABC uchburchagi atrofida aylananing radiusini toping.
S-10. ABC uchburchagining AB tomonida, diametri kabi, AC va BC tomonlarini mos ravishda D va E nuqtalarida kesishgan aylana quriladi. DE chizig'i ABC uchburchagining maydonini yarmiga bo'linadi va AB chizig'i bilan 15 ° burchak hosil qiladi. ABC uchburchagi burchaklarini toping.
S-11. Aylana A va B nuqtalarida burchakning burchaklariga O va B nuqtalariga tegadi, bu doirada AOB uchburchagi ichida C nuqta olinadi va C nuqtadan OA va OB chiziqlarigacha bo'lgan masofalar mos ravishda a va b ga teng. C nuqtadan AB akkordigacha bo'lgan masofani toping.
S-12. AD va BC asoslari bo'lgan ABCD trapetsiyasida AC va BD diagonallari E nuqtada kesishadi. A uchburchak atrofida aylana tasvirlangan va E nuqtasida chizilgan bu aylanaga teguvchi A nuqtani F nuqtada A, D va F nuqtalar bilan kesishgan. ushbu chiziqda ketma-ket yotish. Ma'lumki, AF \u003d a, AD \u003d b. EFni toping.
S-13. To'rtburchaklar ABCDda AC va BD diagonallari P nuqtada perpendikulyar va kesishadi, S kesmasining AD segmentining o'rtasi bo'lgan M nuqtaga bog'laydigan segmentning uzunligi tengdir.P nuqtadan BC segmentgacha bo'lgan masofa AP \u003d 1. ga teng bo'lsa, AD segmentining uzunligini toping. to'rtburchak ABCD atrofida aylana tasvirlanishi mumkin.
S-14. Bir doira ichida MN diametri bilan parallel ravishda diametri MN va akkord AB chiziladi. M nuqtada aylanaga teguvchi NA va NB chiziqlarini mos ravishda P va Q nuqtalarda kesadi. Ma'lumki, MP \u003d p, MQ \u003d q. MN ni toping.
S-15. A va B uchburchak ABC uchlari orqali D va E nuqtalarida BC va AC tomonlarni kesishgan holda doira chiziladi. CDE uchburchagining maydoni ABDE to'rtburchagining maydonidan 7 marta kichikdir. Agar AB \u003d 4 va ∠C \u003d 45 ° bo'lsa, DE va \u200b\u200baylananing radiusini toping.
S-16. Uzunligi 5 ga teng bo'lgan tanangent va 5-sonli akkordiya aylananing L nuqtasi orqali chizilgan.MN akkordori tangensga parallel va 6 ga teng.
S-17. ABB yozilgan to'rtburchaklar diagonallari aylana bilan E nuqtada kesishadi, BD \u003d 6 va AD ∙ CE \u003d DC ∙ AE. ABCDning to'rtburchaklar maydonini toping.
S-18. ABC uchburchagida AB uzunligi 3, 
ABC uchburchagi yaqinida tasvirlangan aylananing KN chizig'i AC va BC segmentlarini mos ravishda M va L nuqtalarda kesadi. Bundan tashqari, ∠ABC \u003d ∠CML, to'rtburchak ABLM maydoni 2 ga teng va LM uzunligi 1 ga teng. K uchburchagining balandligini S uchidan tashlab, uning maydonini toping.
S-19. ABC uchburchagida D nuqta BC tomonga yotadi, AD chizig'i AC nuqtasi ACB bisektorini kesadi. Ma'lumki, C, D va O nuqtalari markazi AC, AC tomonida joylashgan doirada yotadi: AC: AB \u003d 3: 2, va DAC burchagi DAB burchagidan uch baravar katta. ACB burchagining kosinusini toping.
S-20. ABC uchburchagiga yozilgan doira D nuqtadagi AC ga, E tomonidagi AB tomoni esa F nuqtaga, AB tomonning o'rtasiga, G nuqtasi - aylananing kesishish nuqtasi va D dan tashqari FD segmentiga to'g'ri keladi. G nuqtadan o'tib, AB tomonni H nuqtada kesib o'tadi, agar FH: HE \u003d 2: 3 ekanligi ma'lum bo'lsa, BCA burchakni toping.
S-21. AB segmentida C nuqta olinadi va AB va CB segmentlarida diametrlar bo'yicha doiralar quriladi. Katta doiraning AM chizig'i D nuqtada kichikroq doiraga tegadi. BD chizig'i katta doirani N nuqtada kesadi. Ma'lumki noDAB \u003d a, AB \u003d 2R. ABMN to'rtburchakning maydonini toping.
S-22. ABC uchburchagida AD va BL bisektorlari F nuqtada kesishadi. LFA burchagi 60 °.
1) ACB burchagi qiymatini toping.
2) CCLD \u003d 45 ° va AB \u003d 2 bo'lsa, ABC uchburchagining maydonini hisoblang.
S-23. Ikki doira A va B nuqtalarda kesishadi. V nuqta orqali AB chizig'ining qarama-qarshi tomonlarida yotgan C va D nuqtalarda kesishgan chiziq chiziladi. C va D nuqtalaridagi bu aylanalarning tanglaylari E nuqtada kesishadi, agar AB \u003d 15, AC \u003d 20 va AE \u003d 24 bo'lsa, AD ni toping.
S-24. Yon tomonlari AB \u003d 9 va CD \u003d 5 bo'lgan ABCD trapezoidasida D burchakning bisektori mos ravishda M va N nuqtalarda A va C bisektorlarni kesadi va B burchagi bisektori L va K nuqtalarida bir xil ikkita bisektorni kesib o'tadi.
AD asosida yotadi. Qaysi ma'noda LN chizig'i AB tomonini va MK chizig'ini BC ni ajratadi? Agar LM: KN \u003d 3: 7 bo'lsa MN: KL nisbatini toping.
Ta'rif 10 . Ark doira qismini chaqirdi. Masalan, 4-rasmdagi AB yoyi. Aylanadagi ikkita nuqta ikkita yoyni aniqlaydi, shuning uchun biz aniqlik uchun ma'lumotlar orasida uchinchi nuqtani qo'shamiz, masalan, AC yoyi haqida gap ketganda, biz kattaroqni ham, kichikni ham anglatishimiz mumkin, ammo "ADC yoyi" ni aytishga arziydi. , va hamma narsa aniq bo'ladi.
11-ta'rif . Markaziy shunday deb nomlangan burchakuning uchi aylananing markazidir (4-rasm, AOW burchagi). Bu burchak, shuningdek, ishlaydigan kamon bilan tavsiflanadi.
2-teorema Doira ichiga yozilgan burchak mos keladigan markaziy burchakning yarmiga teng.
4-rasmda ACB burchagini va u joylashgan AB kamonini ko'rib chiqamiz. Ushbu kamon, yuqorida aytib o'tilganidek, AOW burchagi bilan ajralib turadi. I.e. biz isbotlashimiz kerak 2∠ DIA \u003d ∠ AOW
4-rasmdagi ABC uchburchagini ko'rib chiqing. Bu doirada yozilgan. Radi teng bo'lganligi sababli AOS va VOS uchburchaklar izoslalar, shuning uchun pootomu ACO \u003d ∠ CAO va ∠ BCO \u003d VO CBO, shuning uchun poetomu C \u003d ∠ ACO + ∠ BCO \u003d ∠ CAO + ∠ CBO. ABC uchburchagida burchaklarning yig'indisini yozamiz: ∠ S + ∠ V + ∠ A \u003d 180 o parchalanadi: ∠ C + ∠ CAO + ∠ NWO+ ∠ OAV + ∠ OVA \u003d 2∠ S + ∠ OAV + ∠ OVA \u003d 180 o (1).
Endi AOW uchburchagi burchaklarining yig'indisini yozamiz: ∠ AOW + ∠ OAB + ∠ OVA \u003d 180 o (2), biz 1 va 2 tenglamalarni tenglashtiramiz: 2∠ C + ∠ OAB + ∠ OVA \u003d ∠ AOV + ∠ OAB + ∠ OVA, 2∠ C \u003d ∠ AOW, h.p. Buni har qanday burchakda, masalan, OTBda isbotlash mumkin. Shuni ta'kidlash kerakki, burchak diametrga yoki doira uzunligining yarmiga kamonga asoslangan bo'lsa, u 90 ° ga teng bo'ladi (180 ° / 2). Bu yerdan: Teorema 2.1.
Agar aylanada yozilgan burchak to'g'ri chiziq bo'lsa (90 darajaga teng), u diametrga asoslanadi. Va orqaga
Teorema 2.2.
Agar aylanada yozilgan burchak diametrga asoslansa, u to'g'ri (90 darajaga teng).
2-teoremadan kelib chiqadiki, teng yoylarga asoslangan yozilgan burchaklar tengdir, chunki bir xil markaziy burchakning yarmiga teng. ∠ OTB \u003d ∠ DIA \u003d AUDDA 1/2 2
3-teorema
To'g'ri yoylarga asoslangan yozilgan burchaklar tengdir.
4-teorema
. Doira ichidagi uchi bilan burchakning qiymati, uning tomonlarini va ularning kengaytirilishi o'rtasida hosil qilingan yoylarning burchak qiymatlarining yarim yig'indisiga teng.
5-teorema
. Ikki sekretorning vertexli uchi bilan aylana tashqarisida hosil bo'lgan burchak, uning doiralari kesishgan kattaroq va kichik yoylarning burchak qiymatlarining yarim farqiga tengdir.
4-teorema isboti:
6-rasmda AMV burchagini ko'rib chiqing. E ga e'tibor bering, AB yoyining yarmi, β K yarim yoyining yarmidir. Uchburchakning tashqi burchagidagi teoremani bilish: uchburchakning tashqi burchagi unga yaqin bo'lmagan ikkita ichki burchaklarning yig'indisiga teng. Shuning uchun ∠ AMB \u003d a + β \u003d 1/2 (AB + KP), bu erda AB va KP yoylardir. Biz 4-teoremani isbotladik. Endi biz 5-teoremani isbotlaymiz. Buning uchun ikkita sekulyar MA va MV tomonidan hosil qilingan 7-rasmda AMB burchagini ko'rib chiqamiz. A ga KP yoyining yarmiga teng bo'lganligi sababli, AB AB yoyining yarmiga teng, keyin uchburchakning tashqi burchagi xossasi bo'yicha ∠ AMB \u003d β –a \u003d 1/2 (AB-KP) olinadi.
6-teorema
. Chorrahada akkordlar teng keladigan segmentlarga bo'linadi.
AC va BD akkordlarini chizish. CAB va CDB ning burchaklari CB yoyiga asoslanadi, shuning uchun ∠ CAB \u003d ∠ CDB. Xuddi shunday, ∠ ACD \u003d ∠ ABD. Shunday qilib, ASK va DBK uchburchaklar o'xshash (ikki burchakda) va KA / KD \u003d KC / KB. Bu yerdan KA * KB \u003d KC * KD olinadi