Ushbu onlayn kalkulyator yordamida siz samolyotlarning kesishish chizig'ini topishingiz mumkin. Tushuntirishlar bilan batafsil yechim berilgan. Tekisliklarning kesishish chizig'i tenglamasini topish uchun tekisliklar tenglamalariga koeffitsientlarni kiriting va "Yechish" tugmasini bosing. Quyidagi nazariy qismga va raqamli misollarga qarang.

×

Ogohlantirish

Barcha hujayralar tozalansinmi?

Yopish Tozalash

Ma'lumotlarni kiritish bo'yicha ko'rsatma. Raqamlar butun sonlar (masalan: 487, 5, -7623 va boshqalar), oʻnlik sonlar (masalan, 67., 102.54 va boshqalar) yoki kasrlar sifatida kiritiladi. Kasr a/b shaklida yozilishi kerak, bu erda a va b (b>0) butun yoki o'nlik sonlardir. Misollar 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 va boshqalar.

Tekisliklarning kesishish chizig'i - nazariya, misollar va echimlar

Kosmosdagi ikkita tekislik parallel bo'lishi, mos kelishi yoki kesishishi mumkin. Ushbu maqolada biz ikkita tekislikning nisbiy holatini aniqlaymiz va agar bu tekisliklar kesishsa, biz tekisliklarning kesishish chizig'i uchun tenglamani olamiz.

Dekart to'rtburchaklar koordinatalar tizimi berilsin Oxyz va tekisliklar shu koordinatalar sistemasida berilsin α 1 va α 2:

Vektorlardan beri n 1 va n 2 to'g'ri chiziqli bo'lsa, u holda raqam mavjud λ ≠0, bu tenglikni qanoatlantiradi n 1 =λ n 2, ya'ni. A 1 =λ A 2 , B 1 =λ B 2 , C 1 =λ C 2 .

(2) tenglamani ko'paytirish λ , biz olamiz:

Agar tenglik D 1 =λ D 2 , keyin samolyot α 1 va α 2 ta mos kelsa D 1 ≠λ D 2 keyin samolyot α 1 va α 2 parallel, ya'ni kesishmaydi.

2. Oddiy vektorlar n 1 va n 2 ta samolyot α 1 va α 2 kolinear emas (2-rasm).

Agar vektorlar n 1 va n 2 kollinear emas, u holda (1) va (2) chiziqli tenglamalar tizimini yechamiz. Buning uchun biz erkin atamalarni tenglamalarning o'ng tomoniga o'tkazamiz va tegishli matritsa tenglamasini tuzamiz:

Qayerda x 0 , y 0 , z 0 , m, p, l haqiqiy sonlar va t− o‘zgaruvchan.

Tenglik (5) quyidagi shaklda yozilishi mumkin:

Misol 1. Tekisliklarning kesishish chizig'ini toping α 1 va α 2:

α 1: x+2y+z+54=0.

(7)

(9) ga nisbatan chiziqli tenglamalar tizimini yechamiz x, y, z. Tizimni hal qilish uchun biz kengaytirilgan matritsani tuzamiz:

Ikkinchi bosqich. Teskari Gauss.

Element ustidagi matritsaning 2-ustunining elementlarini chiqarib tashlang a 22. Buning uchun 1-qatorni −2/5 ga koʻpaytirilgan 2-qator bilan qoʻshing:

Biz yechim topamiz:

Tekisliklarning kesishish chizig'i tenglamasi olingan α 1 va α 2 parametrik shaklda. Biz uni kanonik shaklda yozamiz.

Javob. Tekisliklarning kesishish chizig'i tenglamasi α 1 va α 2 shunday ko'rinadi:

(15)

α 1 normal vektorga ega n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 )=(1, 2, 7). Samolyot α 2 normal vektorga ega n 2 ={A 2 , B 2 , C 2 }={2, 4, 14}.

n 1 va n 2 to'g'ri chiziq ( n 1 ni ko'paytirish orqali olish mumkin n 2 raqami 1/2), keyin tekislik α 1 va α 2 parallel yoki mos keladi.

α 2 ni 1/2 raqamiga ko'paytiring:

(18)

Yechim. Avval bu tekisliklarning nisbiy o'rnini aniqlaylik. Samolyot α 1 normal vektorga ega n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 )=(5, −2, 3). Samolyot α 2 normal vektorga ega n 2 ={A 2 , B 2 , C 2 }={15, −6, 9}.

Chunki yo'nalish vektorlari n 1 va n 2 to'g'ri chiziq ( n 1 ni ko'paytirish orqali olish mumkin n 2 raqami 1/3), keyin tekislik α 1 va α 2 parallel yoki mos keladi.

Tenglamani nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirish tenglamani o'zgartirmaydi. Keling, tekislik tenglamasini o'zgartiramiz α 2 ni 1/3 soniga ko'paytiring:

(19)

(17) va (19) tenglamalarning normal vektorlari bir-biriga to'g'ri kelishi va erkin hadlari teng bo'lgani uchun tekisliklar α 1 va α 2 ta o'yin.

Samolyotlarning kesishishi muammosi o'zining ahamiyatiga ko'ra bir qator mualliflar tomonidan "2-pozitsiyaviy masala" deb nomlanadi.

Stereometriyadan ma'lumki, ikki tekislikning kesishish chizig'i to'g'ri chiziqdir. Oldingi dastlabki masalalarda, biz tekisliklarning kesishishining alohida holatlarini ko'rib chiqdik, biz ushbu ta'rifdan chiqdik.

Ma'lumki, u yoki bu chiziqni qurish uchun eng oddiy holatda ushbu chiziqqa tegishli ikkita nuqtani topish kerak bo'ladi. Tekislik izlar bilan ko'rsatilganda, bu ikki nuqta kesishuvchi tekisliklarning bir xil nomdagi izlarining kesishish nuqtalari hisoblanadi.

Mustaqil ish uchun misollar

5.1-mashq

Izlar bilan berilgan tekisliklarning kesishish chiziqlarini tuzing (72-rasm):

• a) gorizontal proyeksiyalovchi I va frontal proyeksiyalovchi A;
• b) gorizontal proyeksiyalovchi Z va umumiy Q holatidagi tekislik;
• c) umumiy holatdagi ikkita tekislik I va 0.

Guruch. 72

Shaklda. 73 ushbu mashqning javoblarini ko'rsatadi.

Samolyotlar mahalliy tekis raqamlar bilan aniqlangan holatlar uchun kamida ikki xil echimdan foydalanish o'rinlidir.

Guruch. 73

Birinchi yechim umumiy holatdagi tekislik bilan umumiy holatda chiziqning uchrashish nuqtasini topish uchun uch bosqichli algoritmdan foydalanish. Ikki uchburchakning kesishish chizig'ini topish uchun uchburchaklardan biri o'zgarishsiz qoldiriladi, ikkinchisi esa aqliy ravishda alohida segmentlarga bo'linadi va ularni umumiy holatda to'g'ri chiziqlar sifatida ifodalaydi. Birinchidan, umumiy holatda bo'lgan to'g'ri chiziqlardan birining uchburchak tekisligi bilan kesishish nuqtasini toping. Keyin ular kerakli chiziqqa tegishli yana bitta etishmayotgan nuqtani topadilar. Bu xuddi shunday tarzda amalga oshiriladi, tasvirlangan barcha harakatlar ketma-ketligini takrorlaydi.

5.2-mashq

Ikkita uchburchak cho'qqilarining berilgan koordinatalariga ko'ra LAN Va DEK ikkinchisining diagrammasini tuzing va ularning kesishish chizig'ini toping. Diagrammada ikkala uchburchak elementlarining ko'rinishini belgilang: A(0, 9, 2); ?(10, 1, 16); C (23, 14, 9); D(3, 17, 18); ?(22, 11, 17); ?(12.0, 2). Uchburchaklarning kesishish chiziqlarini topish uchun birinchi navbatda chiziqning uchrashish nuqtasini topish tavsiya etiladi KD uchburchak bilan ABC, va keyin to'g'ri chiziqning uchrashish nuqtasi SW uchburchak bilan EDK.

Olingan diagrammaning umumiy ko'rinishi rasmda ko'rsatilgan. 74.

Ikkinchi yechim darajadagi ikkita yordamchi kesish tekisligidan foydalanish.

Berilgan kesishuvchi yassi figuralarni ikki marta yordamchi sath tekisliklari (o‘xshash yoki qarama-qarshi - bu muhim emas), masalan, ikkita gorizontal tekislik bilan kesib o‘tish kerak.

Bir martalik parchalanish ikkita kesishgan chiziqni topishga imkon berishini tushunish oson hl Va VA 2, bir ochko berish A, kerakli kesishish chizig'iga tegishli (75-rasm). Bir necha masofada yana bir shunga o'xshash yordamchi tekislikni chizish

Guruch. 74

Guruch. 75

birinchidan, shunga o'xshash qurilishni va yana bir nuqtani oling. Olingan ikkita nuqtaning bir xil nomdagi proyeksiyalarini birlashtirib, ular ikkita tekislikning kerakli kesishish chizig'ini topadilar.

5.3-mashq

Ikkita uchburchak figura nuqtalarining berilgan koordinatalariga asoslanib, ikkinchisining diagrammasini tuzing, uning asosida yordamchi tekisliklardan foydalanib, uchburchaklarning kesishish chizig‘ini tuzing. Syujetda ikkala uchburchak elementlarining ko'rinishini belgilang:

ABC ga. A(16, 5, 17); Men (10, 19,

A DEF: D (24, 12, 14); ? (4, 18,

Yechilgan muammoning umumiy ko'rinishi rasmda ko'rsatilgan. 76.

5.4-mashq

Ikki tekislikning kesishish chizig'ini topish ko'nikmalarini mustahkamlash uchun algoritm bosqichlariga muvofiq tuzilish dinamikasida yechimi berilgan masala beriladi.

Umumiy holatdagi ikkita tekislikning kesishish chizig‘ini toping R IS jq

ikkita uchburchak bilan belgilangan chiziqlar ABC Va DEF, va ularning o'zaro kirib borishining ko'rinishini aniqlang (77-rasm).

Misolning yechimi tomonlarning kesishish nuqtalarini topishga qisqartiriladi (to'g'ri chiziqlar) A. ABC A tomonidan berilgan umumiy tekislik bilan DEF. Ushbu misolni hal qilish algoritmi ma'lum.

Biz tomonni yakunlaymiz (to'g'ri) AC LAN yordamchi frontal proyeksiyalovchi tekislikka t _1_ P 2 (78-rasm).

Bu yordamchi tekislikning oldingi izi tomonlarning proyeksiyalarini kesib o'tadi D 2 E 2 GLE 2 - 1 2 va D 2 F 2 pt 2 = 2 2 nuqtalarda 1 2 va 2 2 . Proyeksiyalovchi aloqa liniyalari gorizontal proyeksiya tekisligidagi kesishish chizig‘ini (1 !~2 2) = n A aniqlash imkonini beradi. D X E X F ( . Keyin nuqta K 1 va uning proyeksiyasi K 2 chiziqning kesishish nuqtasini aniqlang AC bilan A DEF.

A tomonning kesishish nuqtasini topish algoritmini takrorlaymiz ABC Streyt quyosh ADEF bilan. Samolyotni yordamchi frontal proyeksiyalovchi p _L P 2 tekisligida yakunlaymiz (79-rasm).

3 va 4 nuqtalarning proyeksiyalarini topamiz va proyeksiyalarning gorizontal tekisligida chiziqning kesishish nuqtasining proyeksiyasini aniqlaymiz. 1 C da [ kesishish chizig'i bilan (3,-4,):

Aloqaning proyeksiya chizig'i uning frontal proyeksiya nuqtasini topish imkonini beradi M 2 .

Biz topilgan nuqtalarni bog'laymiz Ki Mi umumiy A holatidagi ikkita tekislikning kesishish chizig‘ini toping ABC n A DEF = AF (80-rasm).

Yon ko'rinish AABC nisbatan ADEF raqobat ochkolari bilan aniqlanadi. Birinchidan, P 2 proyeksiyalar tekisligida geometrik shakllarning ko'rinishini aniqlaymiz. Buning uchun raqobatlashuvchi 5 va 6 bandlar orqali (5 2 = 6 2) proyeksiyalar o'qiga perpendikulyar aloqaning proyeksiya chizig'ini chizamiz x n(81-rasm).

Gorizontal proyeksiyalarda 5 U Va 6 { 5 va 6 nuqtalar, bunda proyeksiya aloqasi chizig'i mos ravishda kesishuvchi to'g'ri chiziqlarni kesib o'tadi. AC 4 D.F., ma'lum bo'ladiki, 6 nuqta P 2 proyeksiya tekisligidan 5 nuqtaga qaraganda uzoqroqdir. Demak, 6 nuqta va chiziq D.F., tegishli bo'lganlar P 2 proyeksiyalar tekisligiga nisbatan ko'rinadi. Bundan kelib chiqadiki, segment (K 2 -6 2) ko'rinmas bo'ladi. Xuddi shunday, biz A tomonlarning ko'rinishini aniqlaymiz LAN va A DEF - Quyosh Va D.F., bular. segment (W 2 -8 2) ko'rinmas bo'ladi.

Ko'rinish AABC Va ADEF proyeksiyalar tekisligiga nisbatan P j, xuddi shunday o'rnatiladi. Kesishuvchi chiziqlarning ko'rinishini aniqlash AC * DF Va BC ±DF proyeksiyalar tekisligiga nisbatan P] raqobatdosh nuqtalar orqali 9 1 = 10 1 va 11 1 = 12 1 perpendikulyar aloqa proyeksiya chiziqlarini chizamiz. x p. Ushbu raqobatlashuvchi nuqtalarning frontal proyeksiyalariga asoslanib, 10 2 va 12 2 nuqtalarning proyeksiyalari proyeksiyalar tekisligidan uzoqroq ekanligini aniqlaymiz. P (. Binobarin, segmentlar (A^-YUD va (M g 2 1) ko'rinmas bo'ladi. Shuning uchun ko'rinish AABC Va ADEF rasmda aniq ko'rsatilgan. 82.

Vazifa kerak ikkita tekislikning kesishish chizig'ini toping va ulardan birining haqiqiy hajmini aniqlang tekislik-parallel harakat usuli.

Chizma geometriyadagi bunday klassik masalani hal qilish uchun siz quyidagi nazariy materialni bilishingiz kerak:

- berilgan koordinatalar bo'yicha kompleks chizma bo'yicha fazodagi nuqtalarning proyeksiyalarini chizish;

- murakkab chizmada tekislikni, umumiy va xususiy holat tekisligini ko'rsatish usullari;

- samolyotning asosiy chiziqlari;

- to'g'ri chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasini aniqlash (topish "uchrashuv nuqtalari");

- tekis figuraning tabiiy hajmini aniqlash uchun tekislik-parallel harakat usuli;

— to‘g‘ri chiziq va tekisliklarni chizishda ko‘rinishni raqobatdosh nuqtalar yordamida aniqlash.

Muammoni hal qilish tartibi

1. "Nuqta koordinatalari bo'yicha tayinlash" variantiga ko'ra, biz uchburchaklar shaklida ko'rsatilgan murakkab chizmaga ikkita tekislikni qo'yamiz. ABC(A', B', C'; A, B, C) va DKE(D', K', E'; D, K, E) ( 1.1-rasm).

1.1-rasm

2 . Kesishma chizig'ini topish uchun biz foydalanamiz proyeksiya tekisligi usuli. Uning mohiyati shundaki, birinchi tekislikning (uchburchak) bir tomoni (chiziq) olinadi va proyeksiyalovchi tekislikda yotadi. Bu chiziqning ikkinchi uchburchak tekisligi bilan kesishish nuqtasi aniqlanadi. Ushbu vazifani yana takrorlaymiz, lekin ikkinchi uchburchakning chizig'i va birinchi uchburchakning tekisligi uchun biz kesishishning ikkinchi nuqtasini aniqlaymiz. Olingan nuqtalar bir vaqtning o'zida ikkala tekislikka tegishli bo'lganligi sababli, ular ushbu tekisliklarning kesishish chizig'ida bo'lishi kerak. Ushbu nuqtalarni to'g'ri chiziq bilan bog'lab, biz tekisliklarning kerakli kesishish chizig'iga ega bo'lamiz.

3. Muammo quyidagicha hal qilinadi:

A) proyeksiya tekisligiga o'rab olish F(F') tomoni AB(A’ B’) frontal proyeksiya tekisligidagi birinchi uchburchakning V. Biz tomonlar bilan proyeksiyalovchi tekislikning kesishish nuqtalarini belgilaymiz DK Va DE ikkinchi uchburchak, ball olish 1(1') va 2(2'). Biz ularni aloqa liniyalari bo'ylab proektsiyalarning gorizontal tekisligiga o'tkazamiz H uchburchakning mos tomonlarida, nuqta 1 (1) yon tomonda DE va nuqta 2(2) yon tomonda DK.

1.2-rasm

b) nuqtalarning proyeksiyalarini ulash orqali 1 va 2, biz proyeksiyalovchi tekislikning proyeksiyasiga ega bo'lamiz F. Keyin chiziqning kesishish nuqtasi AB uchburchak tekisligi bilan DKE proyeksiyalovchi tekislik proyeksiyasining kesishishi bilan birga (qoida bo'yicha) aniqlanadi. 1-2 va bir xil nomdagi proyeksiya AB. Shunday qilib, biz tekisliklarning birinchi kesishish nuqtasining gorizontal proyeksiyasini oldik - M, biz uning frontal proyeksiyasini aniqlaymiz (aloqa liniyalari bo'ylab loyihalash) - M’ to'g'ri chiziqda A’ B’ (shakl.1.2.a);

V) ikkinchi nuqtani ham xuddi shunday topamiz. Biz loyihalash tekisligida xulosa qilamiz G(G) ikkinchi uchburchakning tomoni DK(DK) . Birinchi uchburchakning tomonlari bilan proyeksiyalovchi tekislikning kesishish nuqtalarini belgilaymiz ACVaMiloddan avvalgi gorizontal proyeksiyada, nuqtalarning proyeksiyalarini olish 3 va 4. Biz ularni frontal tekislikda mos keladigan tomonlarga loyihalashtiramiz, olamiz 3’ va 4'. Ularni to'g'ri chiziq bilan bog'lab, biz proyeksiyalovchi tekislikning proyeksiyasiga ega bo'lamiz. Keyin tekisliklarning kesishishning ikkinchi nuqtasi chiziqning kesishmasida bo'ladi 3’-4’ uchburchakning yon tomoni bilan D’ K’ , u proyeksiyalovchi tekislikka o'ralgan edi. Shunday qilib, biz ikkinchi kesishish nuqtasining frontal proyeksiyasini oldik - N’ , aloqa liniyasi bo'ylab biz gorizontal proyeksiyani topamiz - N (shakl.1.2.b).

G) nuqtalarni ulash orqali MN(MN) Va (M’ N’) gorizontal va frontal tekisliklarda biz berilgan tekisliklarning kerakli kesishish chizig'iga egamiz.

4. Raqobat nuqtalari yordamida biz samolyotlarning ko'rinishini aniqlaymiz. Masalan, bir juft raqobatdosh nuqtani oling, 1’=5’ frontal proyeksiyada. Biz ularni gorizontal tekislikda mos keladigan tomonlarga loyihalashtiramiz, olamiz 1 va 5. Biz shuni ko'ramizki, nuqta 1 yon tomonda yotish DE o'qiga nisbatan katta koordinataga ega x nuqtadan ko'ra 5 yon tomonda yotish AIN. Shuning uchun, kattaroq koordinata qoidasiga ko'ra, nuqta 1 va uchburchakning yon tomoni D'E' frontal tekislikda ko'rinadi. Shunday qilib, gorizontal va frontal tekisliklarda uchburchakning har bir tomonining ko'rinishi aniqlanadi. Chizmalardagi ko'rinadigan chiziqlar qat'iy kontur chizig'i bilan, ko'rinmaydigan chiziqlar esa kesik chiziq bilan chiziladi. Eslatib o'tamiz, samolyotlarning kesishish nuqtalarida ( M— N VaM’- N’ ) ko'rinishni o'zgartiradi.

1.3-rasm

R1-rasm.4 .

Syujet qo'shimcha ravishda raqobatlashuvchi nuqtalardan foydalangan holda gorizontal tekislikda ko'rishning ta'rifini ko'rsatadi 3 Va 6 to'g'ri chiziqlarda DK Va AB.

5. Tekis-parallel siljish usulidan foydalanib, biz uchburchak tekisligining haqiqiy hajmini aniqlaymiz. ABC, sabab:

A) nuqta orqali belgilangan tekislikda C(C) frontal o'tkazish C— F(BILAN-FVaC’- F’) ;

b) gorizontal proyeksiyada chizmaning bo'sh maydonida biz ixtiyoriy nuqtani olamiz (belgilaymiz) 1 dan, bu uchburchakning cho'qqilaridan biri deb faraz qilsak (aniqrog'i, cho'qqi) C). Undan biz frontal tekislikka perpendikulyarni tiklaymiz (orqali x o'qi);

1.5-rasm

V) tekislik-parallel harakat orqali biz uchburchakning gorizontal proyeksiyasini tarjima qilamiz ABC, yangi lavozimga A 1 B 1 C 1 shunday qilib, frontal proyeksiyada u proyeksiyalovchi pozitsiyani egallaydi (to'g'ri chiziqqa aylantiriladi). Buning uchun: nuqtadan perpendikulyar bo'yicha 1 dan, gorizontalning frontal proyeksiyasini kechiktiring C 1 — F 1 (uzunligi lCF) bir nuqtaga erishamiz F 1 . Nuqtadan kompasning yechimi F1 hajmi F-A biz yoy serifini qilamiz va bir nuqtadan C 1 - tirqish o'lchami CA, keyin yoy chiziqlari kesishmasida biz nuqta olamiz A 1 (uchburchakning ikkinchi uchi);

- xuddi shunday, biz ham bir ochko olamiz B 1 (nuqtadan C 1 o'lchamiga ko'ra tirqish hosil qiling C— B(57 mm) va nuqtadan F 1 kattalik F— B(90 mm) E'tibor bering, to'g'ri yechim bilan uchta nuqta A 1 F’ 1 Va B’ 1 bitta to'g'ri chiziqda (uchburchakning yon tomonida) yotishi kerak A 1 — B 1 ) qolgan ikki tomon BILAN 1 — A 1 Va C 1 — B 1 ularning uchlarini ulash orqali olinadi;

G) aylanish usulidan kelib chiqadiki, nuqtani biron bir proyeksiya tekisligida harakatlantirganda yoki aylantirganda - konjugat tekislikda bu nuqtaning proyeksiyasi to'g'ri chiziqda, bizning misolimizda, to'g'ri parallel o'q bo'ylab harakatlanishi kerak. X. Keyin nuqtalardan chizamiz A’ B’ C’ Frontal proyeksiyadan bular to'g'ri chiziqlar (ular nuqtalarning aylanish tekisliklari deb ataladi) va ko'chirilgan nuqtalarning frontal proyeksiyalaridan. A 1 IN 1C 1 perpendikulyarlarni tiklash (ulanish chiziqlari) ( 1.6-rasm).

1.6-rasm

Ushbu chiziqlarning mos keladigan perpendikulyarlar bilan kesishishi uchburchakning frontal proyeksiyasining yangi pozitsiyalarini beradi. ABC, xususan A’ 1 IN 1C’ 1 gorizontaldan boshlab proyeksiyalovchi (to'g'ri chiziq) bo'lishi kerak h 1 frontal proyeksiya tekisligiga perpendikulyar chizdik ( 1.6-rasm);

5) keyin uchburchakning tabiiy o'lchamini olish uchun uning frontal proyeksiyasini gorizontal tekislik bilan parallellikka kengaytirish kifoya. Orqaga aylantirish nuqta orqali kompas yordamida amalga oshiriladi A' 1, uni aylanish markazi deb hisoblab, biz uchburchak qo'yamiz A’ 1 IN 1C’ 1 o'qiga parallel X, olamiz A’ 2 AT 2C’ 2 . Yuqorida aytib o'tilganidek, nuqta aylanayotganda, konjugat (hozir gorizontal) proyeksiyada ular o'qga parallel ravishda to'g'ri chiziqlar bo'ylab harakatlanadilar. X. Nuqtalarning frontal proyeksiyalaridan perpendikulyarlarni (bog'lanish chiziqlarini) chiqarib tashlash A’ 2 AT 2C’ 2 ularni mos keladigan chiziqlar bilan kesib o'tib, biz uchburchakning gorizontal proyeksiyasini topamiz ABC (A 2 AT 2C 2 ) haqiqiy o'lcham ( 1.7-rasm).

Guruch. 1.7

Menda bunday koordinatalar bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun barcha tayyor echimlar bor, siz sotib olishingiz mumkin

Narxi 55 rubl, Frolov kitobidan tasviriy geometriya bo'yicha chizmalar, siz to'lovdan so'ng darhol osongina yuklab olishingiz mumkin yoki men sizga elektron pochta xabarini yuboraman. Ular ZIP arxivida turli formatlarda mavjud:
*.jpg – 300 dpi yaxshi o'lchamdagi 1 dan 1 gacha bo'lgan shkalada chizilgan odatiy rangli chizilgan;
*.cdw – dastur formati Compass 12 va undan yuqori yoki LT versiyasi;
*.dwg va .dxf — AUTOCAD, nanoCAD dasturi formati;

Bo'lim: Tasviriy geometriya /

To'g'ri chiziqning kanonik tenglamalari

Muammoni shakllantirish. Ikki tekislikning kesishish chizig'i sifatida aniqlangan to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini toping (umumiy tenglamalar)

Yechim rejasi. Yo'nalish vektorli to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalari bu nuqtadan o'tish , shaklga ega bo'ling

. (1)

Shuning uchun to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini yozish uchun uning yo'naltiruvchi vektorini va to'g'ri chiziqning qaysidir nuqtasini topish kerak.

1. Chiziq bir vaqtning o'zida ikkala tekislikka tegishli bo'lganligi sababli, uning yo'nalishi vektori ikkala tekislikning normal vektorlariga ortogonal, ya'ni. vektor mahsulotining ta'rifiga ko'ra, bizda mavjud

. (2)

2. Chiziqning biron bir nuqtasini tanlang. Chiziqning yo'naltiruvchi vektori hech bo'lmaganda koordinata tekisliklaridan biriga parallel bo'lmaganligi sababli, chiziq bu koordinata tekisligini kesib o'tadi. Demak, chiziqdagi nuqta sifatida uning ushbu koordinata tekisligi bilan kesishgan nuqtasini olish mumkin.

3. Yo'naltiruvchi vektor va nuqtaning topilgan koordinatalarini to'g'ri chiziqning (1) kanonik tenglamalariga almashtiramiz.

Izoh. Agar vektor ko'paytma (2) nolga teng bo'lsa, u holda tekisliklar kesishmaydi (parallel) va to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini yozib bo'lmaydi.

12-topshiriq. Chiziqning kanonik tenglamalarini yozing.

To'g'ri chiziqning kanonik tenglamalari:

,

Qayerda chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatalari; uning yo'nalishi vektoridir.

Chiziqning istalgan nuqtasini toping . Unda ruxsat bering

Demak, chiziqqa tegishli nuqtaning koordinatalari.

Fazodagi toʻgʻri chiziqning kanonik tenglamalari berilgan nuqtadan yoʻnalish vektoriga kollinear oʻtuvchi toʻgʻri chiziqni aniqlovchi tenglamalardir.

Nuqta va yo'nalish vektori berilgan bo'lsin. Ixtiyoriy nuqta chiziq ustida yotadi l faqat va vektorlari kollinear bo'lsa, ya'ni ular shartni qondirsa:

.

Yuqoridagi tenglamalar chiziqning kanonik tenglamalaridir.

Raqamlar m , n Va p yo'nalish vektorining koordinata o'qlariga proyeksiyalaridir. Vektor nolga teng bo'lmaganligi sababli, barcha raqamlar m , n Va p bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lishi mumkin emas. Ammo ulardan bir yoki ikkitasi nolga teng bo'lishi mumkin. Masalan, analitik geometriyada quyidagi belgilarga ruxsat beriladi:

,

demak, vektorning o'qlarga proyeksiyalari Oy Va Oz nolga teng. Demak, kanonik tenglamalar orqali berilgan vektor ham, to‘g‘ri chiziq ham o‘qlarga perpendikulyar Oy Va Oz, ya'ni samolyotlar yOz .

1-misol Tekislikka perpendikulyar bo'lgan fazodagi to'g'ri chiziq tenglamalarini tuzing va bu tekislikning o'q bilan kesishish nuqtasidan o'tish Oz .

Yechim. Berilgan tekislikning o‘q bilan kesishish nuqtasini toping Oz. O'qning istalgan nuqtasidan boshlab Oz, tekislikning berilgan tenglamasida faraz qilsak, koordinatalariga ega x=y= 0, biz 4 ni olamiz z- 8 = 0 yoki z= 2 . Shuning uchun, berilgan tekislikning o'q bilan kesishish nuqtasi Oz koordinatalariga ega (0; 0; 2) . Kerakli chiziq tekislikka perpendikulyar bo'lgani uchun u normal vektoriga parallel. Shuning uchun normal vektor to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori bo'lib xizmat qilishi mumkin berilgan samolyot.

Endi nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqning kerakli tenglamalarini yozamiz A= (0; 0; 2) vektor yo'nalishi bo'yicha:

Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamalari

To'g'ri chiziqni uning ustida joylashgan ikkita nuqta bilan aniqlash mumkin Va Bunday holda, to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori vektor bo'lishi mumkin. Keyin chiziqning kanonik tenglamalari shaklni oladi

.

Yuqoridagi tenglamalar ikkita berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqni aniqlaydi.

2-misol va nuqtalardan o'tuvchi fazodagi to'g'ri chiziq tenglamasini yozing.

Yechim. To'g'ri chiziqning kerakli tenglamalarini nazariy ma'lumotnomada yuqorida keltirilgan shaklda yozamiz:

.

Chunki , u holda kerakli chiziq o'qga perpendikulyar Oy .

To'g'ri tekisliklarning kesishish chizig'i sifatida

Kosmosdagi to'g'ri chiziqni ikkita parallel bo'lmagan tekislikning kesishish chizig'i va, ya'ni ikkita chiziqli tenglamalar tizimini qanoatlantiradigan nuqtalar to'plami sifatida aniqlash mumkin.

Tizim tenglamalari fazodagi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamalari deb ham ataladi.

3-misol Umumiy tenglamalar bilan berilgan fazoda to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamalarini tuzing

Yechim. To'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini yoki ikkita berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini yozish uchun to'g'ri chiziqdagi istalgan ikkita nuqtaning koordinatalarini topish kerak. Ular, masalan, har qanday ikkita koordinata tekisligi bilan to'g'ri chiziqning kesishish nuqtalari bo'lishi mumkin yOz Va xOz .

Chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasi yOz abtsissaga ega x= 0. Shuning uchun, bu tenglamalar tizimida faraz qilish x= 0, biz ikkita o'zgaruvchiga ega tizimni olamiz:

Uning qarori y = 2 , z= 6 bilan birga x= 0 nuqtani belgilaydi A(0; 2; 6) kerakli chiziq. U holda berilgan tenglamalar tizimida faraz qilsak y= 0, biz tizimni olamiz

Uning qarori x = -2 , z= 0 bilan birga y= 0 nuqtani belgilaydi B(-2; 0; 0) chiziqning tekislik bilan kesishishi xOz .

Endi nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamalarini yozamiz A(0; 2; 6) va B (-2; 0; 0) :

,

yoki maxrajlarni -2 ga bo'lgandan keyin:

,