Nochiziqli akustik tebranishlar. Chiziqsiz tebranishlar nazariyasi Nochiziqli tebranishlar

1. Chiziqli tahlilda yuqorida qo'llangan cheksiz kichik tebranish gipotezasi real buzilishlarning rivojlanishini ko'rib chiqishga imkon bermaydi. Ko'rinib turibdiki, chiziqli nazariyada buzilish amplitudasi umuman aniqlanmagan (barqarorlik chegarasida) yoki cheksiz ravishda o'sib boradi (beqarorlik zonasida), bu uning dastlabki pozitsiyalari natijasida olinadi. Darhaqiqat, ma'lum bir buzilish amplitudasida chiziqli bo'lmagan ta'sirlar sezilarli bo'lib, amplitudaning cheksiz o'sishiga to'sqinlik qiladi va tebranishlarning cheklovli aylanishiga olib keladi.

Nochiziqlilik faqat ma'lum (kritik) amplitudaga ega bo'lgan buzilishlar uchun o'zini namoyon qila boshlaydi: pastroq amplitudada, nochiziqli nazariyaga ko'ra, tebranishlar o'chadi, kattaroq bo'lsa, chiziqli bo'lmagan beqarorlik (katta amplituda beqarorlik) sodir bo'ladi. , impulsning beqarorligi). Qattiq yonilg'i raketasi dvigatelidagi tebranish jarayonining chiziqli bo'lmaganligi yonish jarayonining chiziqli bo'lmaganligi va kameradagi to'lqin harakati bilan belgilanadi, bu bosim to'lqinlarining egriligining kuchayishi, buzilishlarning tarqalishi va dispersiyada namoyon bo'ladi. zarba to'lqinlarining paydo bo'lishida.

Chiziqli nazariyalar qattiq yonilg'i raketasining beqarorligi muammosini etarlicha to'liq tushunishni ta'minlasa ham, ular dvigatel va butun samolyot tebranishlari uchun eng xavfli savolni hal qila olmaydi, bu amaliyot uchun juda muhimdir. Shuning uchun bunday nochiziqli tebranishlarni o'rganishga tobora ko'proq e'tibor qaratilmoqda. Hozirgi vaqtda allaqachon hal qilingan nochiziqli masalalarning tor doirasini ko'rsatish mumkin.

2. Boshlang'ich tenglamalar . Keling, quyidagi formulada bir o'lchovli oqim uchun chiziqli bo'lmagan akustik tebranishlar muammosini ko'rib chiqaylik. Bunday holat uchun chiziqli bo'lmagan differentsial tenglamalar tizimini quyidagicha ifodalash mumkin:

gaz massasining saqlanish tenglamasi

zarracha massasining saqlanish tenglamasi

; (5.85)

impulsning saqlanish tenglamasi

; (5.86)

energiyani tejash tenglamasi

qaerda indeks " l » uzunlik birligidagi massa oqimini bildiradi; v- hajm birligiga; boshqa indekslar va qiymatlar bir xil.

3. Asosiy taxminlar . Ushbu tenglamalarni yechish uchun biz quyidagi taxminlarni qilamiz:

Kuyishdan keyin yonish yo'q, ya'ni E = 0; Q = 0;

Energiya almashinuvi CSdagi zarralar va gaz o'rtasidagi issiqlik almashinuvi bilan ifodalanadi;

Zaryadlash kanalining kesimi o'zgarmagan, ya'ni. F= const;

Da z= 0 gaz va mintaqa zarralarining tezligi nolga teng;

Ko'krakdagi ikki fazali oqim uchun og'ir fraktsiyaning doimiy kechikishi qabul qilinadi;

Ko'krakning ishlash rejimi kvazistatsionardir;

Vaqtinchalik yonishning xarakteristikalari shakldagi sezgirlik funktsiyasi bilan belgilanadi

. (5.88)

shuning uchun yonish xarakteristikasi chiziqlilikni nazarda tutadi;

Yonish tezligi va bosim o'rtasidagi munosabat hisobga olinadi, ba'zi hollarda - oqim tezligi bilan;

Zarrachalar faqat bitta o'lchamda va chiziqli va chiziqli bo'lmagan tortishish koeffitsienti yordamida hisoblanadi.

4. Raqamli yechim natijalari . Nochiziqli barqarorlik masalalarini echishning raqamli usullariga xarakteristikalar usuli, "diskretlash" usuli va boshqalar kiradi.Oxirgi holda, masalaning echimi nochiziqlik diskret nuqtalarning cheklangan sonida qanoatlantiriladi degan faraz ostida yaqinlashadi. Taqdim etilgan (5.84) ... (5.87) tenglamalar tizimini, masalan, xarakteristikalar usuli bilan yechish mumkin. F.Kulik tomonidan olingan bunday yechim buzilishlar amplitudasining vaqtga bog'liqligini beradi. F.Kulik tomonidan sonli hisob-kitoblar natijalariga misollar 7-rasmda keltirilgan. Dastlabki shartlar kameraning asosiy chastotasining doimiy to'lqini shaklida o'rnatildi. Dastlabki bezovtalanish birinchi va ikkinchi rejimlarning teng qismi edi, lekin uch tsikldan keyin bosim deyarli ikkinchi harmonikni o'z ichiga olmaydi. Bu holda vaqtinchalik yonish bilan bog'liqlikning ta'siri aniq hal qiluvchi rol o'ynaydi; sezuvchanlik funksiyasi qabul qilingan A Va IN Buni asosiy chastota uchun kuchli darajada va ikkinchi rejim uchun zaif darajada ko'rsatadi. Shuni ham ta'kidlash mumkinki, bosim amplitudasi darhol o'sishni boshlamaydi; bundan tashqari, hatto bir sikldan keyin uning bir oz susayishi kuzatiladi. Buni yonish tezligi faqat bir necha davrlardan so'ng paydo bo'lgan bosimning tebranishlariga mos keladigan qiymatga yetishi bilan izohlash mumkin.

Nochiziqli ta'sirlar turli yo'llar bilan o'zini namoyon qilishi mumkin. Klassik misol chiziqli bo'lmagan buloq bo'lib, unda tiklash kuchi chiziqli bo'lmagan kengaytmaga bog'liq. Nosimmetrik chiziqli bo'lmaganda (siqilish va taranglikda bir xil javob) harakat tenglamasi shaklni oladi.

Agar damping bo'lmasa va davriy echimlar mavjud bo'lsa, ularda , uchun , tabiiy chastota amplituda bilan ortadi.

Guruch. 1.7. Tebranishlar davriy bo'lgan va harakatlantiruvchi kuch bilan bir xil davrga ega bo'lgan holatda qattiq prujinali chiziqli bo'lmagan osilatorning klassik rezonans egri chizig'i (a va (1.2.4) tenglamada aniqlanadi).

Ushbu model ko'pincha uni o'rgangan matematikning nomi bilan Duffing tenglamasi deb ataladi.

Agar tizimga davriy kuch ta'sir etsa, klassik nazariyada javob davriy bo'ladi, deb ishoniladi. Kuchning chastotasiga to'g'ri keladigan javob chastotasidagi chiziqli bo'lmagan kamonning rezonansi shaklda ko'rsatilgan. 1.7. Ushbu rasmda ko'rsatilganidek, doimiy harakatlantiruvchi kuch amplitudasi bilan, uch xil javob amplitudasi mumkin bo'lgan bir qator harakatlantiruvchi chastotalar mavjud. Ko'rsatish mumkinki, rasmda kesilgan chiziq. 1.7 beqaror va chastotaning ortishi va kamayishi bilan histerezis paydo bo'ladi. Bu hodisa overshoot deb ataladi va u ko'plab mexanik va elektr tizimlari bilan tajribalarda kuzatilgan.

Subharmonik va superharmonik tebranishlar kabi boshqa davriy yechimlar ham mavjud. Agar harakatlantiruvchi kuch shaklga ega bo'lsa, u holda subharmonik tebranishlar shaklga ega bo'lishi mumkin va undan yuqori harmoniklar ( - butun son). Quyida ko'rib turganimizdek, subharmoniklar prexaotik tebranishlarda muhim rol o'ynaydi.

Chiziqli bo'lmagan rezonans nazariyasi davriy harakat davriy javobni keltirib chiqaradi degan taxminga asoslanadi. Biroq, aynan shu postulat xaotik tebranishlarning yangi nazariyasi tomonidan shubha ostiga olinadi.

O'z-o'zidan qo'zg'aluvchan tebranishlar chiziqli bo'lmagan hodisalarning yana bir muhim sinfidir. Bu davriy tashqi ta'sirlar yoki davriy kuchlarsiz tizimlarda sodir bo'ladigan tebranish harakatlaridir. Shaklda. 1.8 bir nechta misollarni ko'rsatadi.

Guruch. 1.8. O'z-o'zidan qo'zg'aluvchan tebranishlarga misollar: a - massa va harakatlanuvchi reum o'rtasidagi quruq ishqalanish; b - yupqa qanotga ta'sir qiluvchi aeroelastik kuchlar; c - faol element bilan kontaktlarning zanglashiga olib keladigan salbiy qarshilik.

Birinchi misolda tebranishlar massa va harakatlanuvchi kamarning nisbiy harakati natijasida hosil bo'lgan ishqalanish natijasida yuzaga keladi. Ikkinchi misol aeroelastik tebranishlarning butun sinfini ko'rsatadi, bunda statsionar tebranishlar elastik suspenziyadagi qattiq jismning orqasida harakatsiz suyuqlik oqimi tufayli yuzaga keladi. Shaklda ko'rsatilgan klassik elektr misolida. 1.9 va Van der Pol tomonidan tekshirilgan sxema elektron trubkani o'z ichiga oladi.

Ushbu misollarning barchasida tizim statsionar energiya manbai va tarqalish manbai yoki chiziqli bo'lmagan damping mexanizmini o'z ichiga oladi. Van der Pol osilatorida energiya manbai doimiy kuchlanishdir.

Guruch. 1.9. Van der Pol tekshirgan bir xil turdagi chegara siklida tebranuvchi vakuum trubkasi sxemasi diagrammasi.

Ushbu sxemaning matematik modelida energiya manbai salbiy qarshilik ko'rinishida kiradi:

Energiya tizimga kichik amplitudalarda kirishi mumkin, ammo amplituda ortishi bilan uning o'sishi chiziqli bo'lmagan damping bilan cheklanadi.

Froude mayatnikida (masalan, qarang), energiya o'qning statsionar aylanishi bilan ta'minlanadi. Kichik tebranishlar uchun chiziqli bo'lmagan ishqalanish salbiy damping rolini o'ynaydi; shu bilan birga, kuchli tebranishlar uchun tebranishlar amplitudasi chiziqli bo'lmagan atama bilan chegaralanadi.

Bunday tizimlarning tebranish harakatlari ko'pincha chegara davrlari deb ataladi. Shaklda. 1.10 Van der Pol osilatorining fazalar tekisligidagi traektoriyalarini ko'rsatadi. Kichik tebranishlar spiral bo'lib, yopiq asimptotik traektoriyaga yaqinlashadi va katta amplitudali harakatlar spiral tarzda bir xil chegara davriga qisqaradi (qarang. 1.10 va 1.11-rasmlar, bu erda).

Bunday muammolarni o'rganishda ko'pincha ikkita savol tug'iladi. Cheklanish siklidagi tebranishlarning amplitudasi va chastotasi qanday? Parametrlarning qaysi qiymatlarida barqaror chegara davrlari mavjud?

Guruch. 1.10. Fazalar tekisligida tasvirlangan Van der Pol osilatori uchun chegara sikli bilan yechim.

Guruch. 1.11. Van der Pol osilatorining relaksatsion tebranishlari.

Van der Pol tenglamasi holatida bo'shliq o'zgaruvchisini va vaqtni normallashtirish qulay, shuning uchun tenglama shaklni oladi.

Qayerda. Kichkina uchun chegara davri faza tekisligida 2 radiusli doiradir, ya'ni.

uchinchi va undan yuqori darajali garmonikalar qayerda. Umuman olganda, harakat shaklda ko'rsatilgan gevşeme tebranishlari shaklini oladi. 1,11, o'lchovsiz davr taxminan 1,61 da

Van der Pol tizimidagi davriy kuch bilan bog'liq muammo yanada murakkab:

Ushbu tizim chiziqli bo'lmaganligi sababli, erkin va majburiy tebranishlarning superpozitsiyasi printsipi qo'llanilmaydi. Buning o'rniga, natijada paydo bo'lgan davriy harakat, ikkinchisi chegara aylanish chastotasiga yaqin bo'lganda, haydash chastotasida olinadi. Zaif tashqi ta'sir bilan uchta davriy yechim mavjud, ammo ulardan faqat bittasi barqaror (1.12-rasm). Kuch amplitudasining katta qiymatlari uchun faqat bitta yechim mavjud. Har qanday holatda, detuning kuchayishi bilan - belgilangan vaqtda, olingan davriy eritma beqaror bo'lib chiqadi va boshqa harakat turlari mumkin bo'ladi.

Guruch. 1.12. Van der Pol osilatorining majburiy harakati uchun amplituda egri chiziqlari (1.2.9).

Van der Pol tizimidagi haydash va tabiiy chastotalar o'rtasidagi katta farqlar bilan yangi hodisa paydo bo'ladi - ba'zan deyarli davriy yoki kvazi-davriy echimlar deb ataladigan kombinatsiyalangan tebranishlar. Kombinatsiyalangan tebranishlar shaklga ega

Chastotalar va o'lchovsiz bo'lsa, ya'ni - irratsional son, yechim kvazi-davriy deb ataladi. Van der Pol tenglamasi uchun bu erda erkin tebranishlarning chegara davrining chastotasi (masalan, qarang).

jismoniy o'zgarishlar oddiy differensial tenglamalarning chiziqli bo'lmagan tizimlari bilan tasvirlangan tizimlar

Qayerda vektor komponentlari bo'yicha 2-darajadan past bo'lmagan shartlarni o'z ichiga oladi - vaqtning vektor funktsiyasi kichik parametr (yoki va ). Mumkin umumlashmalar uzluksiz tizimlar, uzluksiz xarakteristikalar (masalan, histerezis kabi), kechikish va tasodifiy harakatlar, integro-differensial va differentsial-operator tenglamalari, qisman differentsial tenglamalar bilan tavsiflangan taqsimlangan parametrlarga ega tebranish tizimlarini ko'rib chiqish bilan bog'liq. shuningdek, chiziqli bo'lmagan tebranish tizimlarini optimal boshqarish usullaridan foydalangan holda. N. ning asosiy umumiy vazifalari: muvozanat pozitsiyalarini, statsionar rejimlarni, xususan davriylikni topish. harakatlar, oʻz-oʻzidan tebranishlar va ularning barqarorligini oʻrganish, N.ni sinxronlashtirish va barqarorlashtirish muammolari.

Hamma jismoniy. tizimlar, aniq aytganda, chiziqli emas. N. k.ning eng xarakterli belgilaridan biri ularda tebranishlarning superpozitsiyasi prinsipining buzilishidir: har bir taʼsirning boshqa taʼsir ishtirokida natijasi boshqa taʼsir boʻlmaganidan farqli boʻlib chiqadi.

Kvazilinear tizimlar - tizimlar (1) da. Asosiy tadqiqot usuli kichik parametr usuli. Avvalo, bu davriylikni aniqlash uchun Puankare-Lindstedt usuli. Yetarlicha kichik qiymatlarda parametr bo‘yicha analitik bo‘lgan kvazizilili tizimlar yechimlari, yoki kuch qatorlari ko‘rinishida (IX bobga qarang) yoki quvvat qatorlari va - vektor komponentlarining boshlang'ich qiymatlariga qo'shimchalar (III bobga qarang). Ushbu usulni yanada rivojlantirish uchun, masalan, -ga qarang.

Kichik parametrli usullardan yana biri bu usul o'rtacha. Shu bilan birga, kvazilitik tizimlarni o'rganishga yangi usullar ham kirib keldi: asimptotik. usullari (qarang, , ), K-funksiyalari usuli (qarang), A. M. Lyapunovning fundamental natijalariga asoslangan - N. G. Chetaeva va boshqalar.

Asosan chiziqli bo'lmagan tizimlar, ularda oldindan tayinlangan kichik parametr mavjud emas. Lyapunov tizimlari uchun

bundan tashqari, matritsaning xos qiymatlari orasida ildizning ko'paytmalari yo'q - analitik vektor funktsiyasi X, kengayishi kamida 2-tartibli shartlardan boshlanadigan va maxsus shaklning analitik birinchi integrali mavjud bo'lgan A. M. Lyapunov (42-bandga qarang) davriylikni topish usulini taklif qildi. ixtiyoriy c doimiysi (ikki kritik o'zgaruvchidan birining boshlang'ich qiymati sifatida qabul qilinishi mumkin yoki ) ning darajalaridagi ketma-ketlik ko'rinishidagi echimlar.

Lyapunov tizimlariga yaqin tizimlar uchun,

Bu erda (2) dagi kabi bir xil shaklda - analitik. vektor-funksiya va kichik parametr , uzluksiz va -davriy in t, davriylikni aniqlash usulini ham taklif qildi. yechimlar (VIII bobga qarang). Lyapunov tipidagi tizimlar (2), ularda matritsa oddiy elementar bo'luvchilarga ega bo'lgan l nolga teng xos qiymatlarga ega, ikkita sof xayoliy o'z qiymatlari va ko'paytmalari bo'lgan xos qiymatlari yo'q. - (2) da bo'lgani kabi, Lyapunov tizimlariga qisqartirilishi mumkin (IV.2-ga qarang). N. to. Lyapunov tizimlarida va deb atalmish. Dampingli Lyapunov tizimlari, shuningdek, ulardagi energiya uzatishning umumiy muammosini hal qildi (I, III, IV boblarga qarang).

Mohiyatan chiziqli bo'lmagan avtonom tizim uning chiziqli qismining Iordaniya shakliga keltirilsin

bu erda vektor, taxmin bo'yicha, kamida bitta nolga teng bo'lmagan komponentga ega; , chiziqli qism matritsasining oddiy bo'lmagan elementar bo'luvchilari mavjud bo'lmaganda yoki mavjud bo'lganda mos ravishda nolga yoki birga teng, - koeffitsientlar; Butun komponentli vektor qiymatlari to'plami:

Keyin normallashtiruvchi transformatsiya mavjud:

(3) differensial tenglamalarning normal shakliga olib keladi

va agar shunday bo'lsa. Shunday qilib, normal shakl (5) faqat rezonans shartlarini o'z ichiga oladi, ya'ni koeffitsientlar faqat rezonans tenglamasi bo'lganlar uchun noldan farq qilishi mumkin.

tebranishlar nazariyasida muhim rol o'ynaydi. Normallashtiruvchi transformatsiyaning yaqinlashuvi va divergensiyasi (4) o'rganildi (I qism, II, III boblarga qarang); koeffitsientlarni hisoblash (ularni simmetrizatsiya qilish orqali) berilgan (5.3-§ ga qarang). Mohiyatan chiziqli boʻlmagan avtonom sistemalarning N. si boʻyicha bir qator masalalarda normal shakllar usuli samarali ekanligini isbotladi (qarang, VI-VIII bob).

Mohiyatan chiziqli bo'lmagan tizimlarni o'rganishning boshqa usullaridan nuqta xaritalash usuli (qarang, ), stroboskonik. uslubiy va funksional-analitik. usullari.

N. ning sifat usullari bu yerda nochiziqli oddiy differensial tenglamalarning integral egri chiziqlari shaklini oʻrganish boʻyicha A. Puankare (N. Puankare, qarang) tomonidan olib borilgan tadqiqotlardir. 2-tartibli avtonom tizimlar tomonidan tasvirlangan N. to. muammolari uchun ilovalar, qarang. Davriy mavjudligi haqidagi savollar ko'p o'lchovli tizimlar uchun yechimlar va ularning barqarorligi; Deyarli davriy N. k. koʻrib chiqiladi.. Ayrim hosilalar uchun kichik parametrli oddiy differensial tenglamalar nazariyasining relaksatsiya masalalariga qoʻllanilishi N. c.

N. to. va yoritilishining muhim jihatlari. maqolalarga qarang Tebranishlar nazariyasi, tebranishlar nazariyasi.

Lit.: Puankare A., Fav. asarlar, trans. frantsuz tilidan, 1-jild, M., 1971; Andronov A. A., Vitt A. A., Xaykin S. E., Tebranishlar nazariyasi, 2-nashr, M., 1959; Bulgakov B. V., Fluctuations, M., 1954; Malkin I. G., Nochiziqli tebranishlar nazariyasidagi ba'zi muammolar, M., 1956: Bogolyubov N. N., Izbr. asarlar, 1-jild, K., 1969; [b] N. N. Bogolyubov, Yu. A. Mitropolskiy, chiziqli bo'lmagan tebranishlar nazariyasidagi asimptotik usullar, 4-nashr, M-, 1974; Kamenkov G.V., Izbr. asarlar, 1-2-jildlar, M., 1971-72; Lyapunov A. M., Sobr. soch., 2-jild, M.-L., 195B, b. 7-263; Starjinskiy V. M., chiziqli bo'lmagan tebranishlarning amaliy usullari, M., 1977; Bruno A.D., "Moskva matematika jamiyati materiallari", 1971, 25-bet, bet. 119-262; 1972 yil, 26-v., b. 199-239; Neimark Yu.I., Nochiziqli tebranishlar nazariyasida nuqta xaritalash usuli, M., 1972; Minorskiy N., Chiziqli bo'lmagan mexanikaga kirish, Ann Arbor, 1947; Krasnoselskiy M. A., Burd V. Sh., Kolesov Yu. S., Nonlinear deyarli davriy tebranishlar, M., 1970; Puankare A., Differensial tenglamalar bilan aniqlangan egri chiziqlar bo'yicha, trans. frantsuz tilidan, M.-L., 1947; Butenin N. V., Neimark Yu. I., Fufaev N. A., chiziqli bo'lmagan tebranishlar nazariyasiga kirish, M., 1976; Plise V. A., Tebranishlar nazariyasining mahalliy bo'lmagan muammolari, M.-L., 1964; Mishchenko E. F., Rozov N. X., Kichik parametrli differensial tenglamalar va relaksatsiya tebranishlari, Moskva, 1975 yil.

- vaqt o'tishi bilan har xil darajada takrorlanadigan harakatlar yoki jarayonlar ...
Jismoniy entsiklopediya
- kuchli elektr maydonlar ta'sirida yuzaga keladigan muhit hajmining birlik hajmining R = R l + R nl qutblanishning chiziqli bo'lmagan qismiga tegishli tenzor koeffitsientlari ...
Jismoniy entsiklopediya
- L uzatish yo'li operatorining chiziqli bo'lmaganligi sababli uzatilgan xabarning S in buzilishiga olib keladigan S chiqish signalidagi o'zgarishlar: S chiqish = LS in...
Jismoniy entsiklopediya
- tebranishdagi jarayonlar. va superpozitsiya printsipini qoniqtirmaydigan to'lqin tizimlari ...
Jismoniy entsiklopediya
- tebranish tizimlari, St-va to-rykh ularda sodir bo'ladigan jarayonlarga bog'liq. Bunday tizimlarning tebranishlari chiziqli bo'lmagan tenglamalar bilan tavsiflanadi. Nochiziqli hodisalar: Mexanik...
Jismoniy entsiklopediya
- chiziqlilik xususiyatiga ega bo'lmagan tenglamalar ...
Jismoniy entsiklopediya
- to'lqinlarning superpozitsiyasi printsipi bajarilmagan va kinetik yoki ... tenglamalarida chiziqli bo'lmagan shartlarni hisobga olgan holda tavsiflangan to'lqinlar, maydonlar va zarralarning o'zaro ta'siri natijasida paydo bo'ladi
Jismoniy entsiklopediya
- chiziqli bo'lmagan optik ...
Jismoniy entsiklopediya
- tebranish. va to'lqin tizimlari, ularning xususiyatlari ularda sodir bo'ladigan jarayonlarga bog'liq; chiziqli bo'lmagan farqlar bilan tavsiflanadi. ur-niami. Eng biri N.s.ning xarakterli xususiyatlari - superpozitsiya tamoyilining buzilishi ...
Tabiiy fan. ensiklopedik lug'at
- xossalari va xususiyatlari ularning holatiga bog'liq bo'lgan tizimlar. Ular orasida chiziqli bo'lmagan differentsial tenglamalar bilan tavsiflangan mexanik va elektr tebranish tizimlari bo'lishi mumkin...
Zamonaviy tabiatshunoslikning boshlanishi
- vaqt bo'yicha u yoki bu darajada takrorlanadigan harakatlar yoki jarayonlar - flutter - kmitání; kmity - Schwingungen - rezgés - helbelzel - wahania; drgania - oscilaţii - oscilacije - oscilaciones - tebranishlar; tebranishlar - tebranishlar ...
Qurilish lug'ati
- Maqolalar tolasi...
Nanotexnologiyaning ensiklopedik lug'ati
Bu atama ba'zan chiziqli bo'lmagan tizimlardagi tebranishlarga nisbatan qo'llaniladi ...
- xossalari ularda sodir bo'ladigan jarayonlarga bog'liq bo'lgan tebranish tizimlari...
Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

TA'RIFLARDAGI "KASABLAR"

muallif Golovin Boris Nikolaevich

TA'RIFLARNING "VOCATIONS" Darsda o'quvchilarga mashq berildi: besh ishchi iborasiga ta'rif kiritish. Talabalar tezda o‘z misollarini keltirishdi: besh nafar yosh ishchi, besh nafar keksa ishchi, besh nafar malakali ishchi... Qiyinchilik yo‘q edi.

§ 1 Iqtisodiy tebranishlar

Iqtisodiyot asoslari kitobidan muallif Borisov Evgeniy Filippovich

1-§ Iqtisodiy tebranishlar Haqiqatni izlaganimizda biz bir paradoksga duch kelamiz (odatiy g'oyalarga to'g'ri kelmaydigan kutilmagan hodisa) Iqtisodiyotning to'lqinli harakati qanday ko'rinishga ega

Kitaygorodskiy Aleksandr Isaakovich

V. Tebranishlar muvozanati Ba'zi hollarda muvozanatni saqlash juda qiyin - arqonda yurishga harakat qiling. Shu bilan birga, tebranadigan stulda o'tirgan odamni hech kim qarsaklar bilan taqdirlamaydi. Lekin u ham muvozanatni saqlaydi.Bularning nima farqi bor

tebranishlar

"Rossiya tarixi kursi" kitobidan (XXXIII-LXI ma'ruzalar) muallif Klyuchevskiy Vasiliy Osipovich

Dalgalanishlar Bu savolga javob berishda biz ichki hayotimizning barcha eng muhim hodisalarini ko'rib chiqamiz. Ular juda murakkab, ular turli xil, ko'pincha kesishgan va ba'zan yaqinlashib kelayotgan oqimlarga kiradi. Ammo ularning umumiyligini ko'rishingiz mumkin

Har qanday tebranishlardan uzoqda, tiklash kuchi og'ish bilan mutanosibdir (ya'ni, u qonunga muvofiq o'zgaradi (- kx)). Masalan, 2.74-rasmda ko'rsatilgan kamonni ko'rib chiqaylik. U bir nechta plitalardan iborat. Kichik deformatsiyalar bilan faqat uzun plitalar egiladi. Og'ir yuk ostida, qisqaroq (va qattiqroq) plitalar ham egilishga duchor bo'ladi. Endi tiklash kuchini quyidagicha ta'riflash mumkin:

batareya rejimiga o'tadi aperiodik, tebranishlar yo'qolganda va tana asta-sekin muvozanat holatiga yaqinlashganda (1-rasm). 2.72, b, c).

Nuqtalar qo'yilgan chiziq o'rniga kiriting (t, x), nuqta qo'yiladigan chiziq ( x,v) va turli ishqalanish uchun so'yilgan tebranishlarning fazali portretlarini oling. Siz tayyor dasturlardan birini ham ishlatishingiz mumkin Faspdem* yoki Phport * PAKPRO paketida mavjud bo'lganlardan. 2.73-rasmda ko'rsatilgan turdagi diagrammalarni olish kerak.

Uning qaytib kelishi uchun, ya'ni. F Va X har doim turli xil belgilarga ega edi, u g'alati kuchlarda ketma-ket kengaytirilishi kerak X. Chunki potentsial energiya U formula bo'yicha kuch bilan bog'liq F = - dU/dx, shuni anglatadiki

ya'ni tebranishlar potentsial quduqda devorlari parabolanikiga qaraganda tikroq bo'ladi (2.75-rasm, a). Plitalarning bir-biriga ishqalanishi tebranishlarni susaytirish uchun zarur bo'lgan dampingni ta'minlaydi.

Assimetrik quduqda tebranishlar ham mumkin, qachon

(2.75-rasm, b). Qayta tiklash kuchi teng bo'ladi

Chiziqli bo'lmagan tebranishlar uchun muammolarni hal qilishda kompyuterdan foydalanish muqarrar, chunki analitik echimlar mavjud emas. Kompyuterda yechim unchalik qiyin emas. Bu faqat tezlikni oshirish amalga oshiriladigan chiziqda kerak (v = v + F At/m), F uchun to'liq ifodani yozing, masalan -kh-gh 2 - px 3.

Misol. Chiziqli bo'lmagan tebranishlar grafigini chizish dasturi PAKPRO to'plamida nomi ostida berilgan. Nlkol. Uni ishga qo'ying. Turli xil dastlabki og'ishlar uchun bir qator egri chiziqlarni olishingiz kerak. Agar x 0 ma'lum qiymatdan katta bo'lsa, tebranuvchi zarracha potentsial to'siqni engib o'tib, potentsial quduqni tark etadi.

Dasturlarni ham sinab ko'ring Ncol* Va Nlosc.*, PAKPRO to'plamida mavjud, shuningdek, chiziqli bo'lmagan tebranishlarning fazali portretlarini olish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan dasturlar: Phaspnl *, Phportnl *.

E'tibor bering, aniq aytganda, deyarli har qanday tebranishlar chiziqli emas. Faqat kichik amplitudalarda ularni chiziqli deb hisoblash mumkin ((2.117) kabi formulalarda c x 2, x 3 va hokazo atamalarni e'tiborsiz qoldiring).

Osilatorga, C00 chastotali tabiiy tebranishlarni ta'minlovchi tiklovchi kuchdan tashqari, tashqi kuch ham ta'sir qilsin, u chastotasi ko ga teng yoki teng bo'lmagan davriy ravishda o'zgarib turadi (Oo. Bu kuch tanani silkitadi. chastotasi bilan ko.. Olingan tebranishlar deyiladi majbur.

Bu holda harakat tenglamasi quyidagicha bo'ladi:

Birinchidan, tebranishlarni o'rnatish jarayoni mavjud. Birinchi surishdan boshlab, tana o'z chastotasi bilan 0 dan tebranish boshlaydi. Keyin asta-sekin tabiiy tebranishlar susayadi va harakatlantiruvchi kuch jarayonni boshqara boshlaydi. Majburiy tebranishlar endi chastota bilan emas (00, lekin harakatlantiruvchi kuchning chastotasi ō bilan o'rnatiladi. Vaqtinchalik jarayon juda murakkab, analitik yechim yo'q. Masalani raqamli usul bilan yechishda dastur endi bo'lmaydi. deylik, sönümli tebranishlar dasturiga qaraganda murakkabroq. chiziq, bu erda harakat tenglamasiga muvofiq, tezlikni oshirib, harakatlantiruvchi kuchni FobiH = Focos(koto) shaklida qo'shing.

Misol. PACG1RO to'plamida kompyuter ekranida majburiy tebranishlar grafigini olish uchun dastur misoli mavjud. Shuningdek, dasturlarga qarang Ustvcol.pas Va UstvcoW.pas. Olingan x(?) grafik va fazalar diagrammasi v(x) 2.76-rasmda ko'rsatilgan. Parametrlarni muvaffaqiyatli tanlash bilan, qanday qilib majburiy tebranishlar asta-sekin o'rnatilishi aniq ko'rinadi. Fazalar diagrammasida majburiy tebranishlarning o'rnatilishini kuzatish ham qiziq (dastur Phpforce.pas).

Chastotasi ō bo'lgan tebranishlar allaqachon o'rnatilgan bo'lsa, biz (2.118) tenglamaning yechimini ko'rinishda topishimiz mumkin.

Bu erda Jo - barqaror tebranishlarning amplitudasi. Agar (2.119) ni (2.118) ga almashtirsak, avval vaqt hosilalarini topdik. X" Va X" va shuni hisobga olgan holda Kimga= coo 2 m, u holda (2.119) (2.118) tenglamaning yechimi bo'ladi, agar shunday bo'lsa.

Ishqalanish hisobga olinmadi, koeffitsient A nolga teng deb hisoblanadi. Ko'rinib turibdiki, ō C0 ga yaqinlashganda tebranishlar amplitudasi keskin ortadi (2.77-rasm). Bu hodisa deyiladi rezonans.

Agar haqiqatan ham ishqalanish bo‘lmaganida, co = (Oo) dagi amplituda cheksiz katta bo‘lar edi.Haqiqatda bunday bo‘lmaydi.Huddi 2.77-rasmda ishqalanish kuchayishi bilan rezonans egri chizig‘i qanday o‘zgarishi ko‘rsatilgan.Ammo shunga qaramay, agar co va coo mos tushsa. , amplituda bilan nisbatan o'nlab va yuzlab marta ko'p bo'lishi mumkin F COo. Muhandislikda bu hodisa xavflidir, chunki dvigatelning harakatlantiruvchi tebranishlari mashinaning har qanday qismlarining tabiiy chastotasi bilan rezonansga kirishi mumkin va u qulashi mumkin.

NOCHIZIYIY BO'LMAYOTGAN TALBALIMALAR

jismoniy o'zgarishlar oddiy differensial tenglamalarning chiziqli bo'lmagan tizimlari bilan tasvirlangan tizimlar

Asosan chiziqli bo'lmagan tizimlar, ularda oldindan tayinlangan kichik parametr mavjud emas. Lyapunov tizimlari uchun

bundan tashqari, matritsaning xos qiymatlari orasida ildizning ko'paytmalari yo'q - analitik vektor funktsiyasi X, kengayishi 2-tartibdan past bo'lmagan atamalar bilan boshlanadi va analitik maxsus shakl mavjud, A. M. Lyapunov (42-bandga qarang) davriylikni topish usulini taklif qildi. ixtiyoriy c doimiysi (ikki kritik o'zgaruvchidan birining boshlang'ich qiymati sifatida qabul qilinishi mumkin yoki ) ning darajalaridagi ketma-ketlik ko'rinishidagi echimlar.

Lyapunov tizimlariga yaqin tizimlar uchun,

Bu erda (2) dagi kabi bir xil shaklda - analitik. vektor-funksiya va kichik parametr , uzluksiz va -davriy in t, davriylikni aniqlash usulini ham taklif qildi. yechimlar (VIII bobga qarang). Lyapunov tipidagi tizimlar (2), ularda oddiy elementar bo'luvchilarga ega bo'lgan l nolga teng xos qiymatlar, ikkita sof xayoliy o'z qiymatlari va ko'paytmalari bo'lmagan xos qiymatlar mavjud emas. - (2) da bo'lgani kabi, Lyapunov tizimlariga qisqartirilishi mumkin (IV.2-ga qarang). N. to. Lyapunov tizimlarida va deb atalmish. Dampingli Lyapunov tizimlari, shuningdek, ulardagi energiya uzatishning umumiy muammosini hal qildi (I, III, IV boblarga qarang).

Mohiyatan chiziqli bo'lmagan qism uning chiziqli qismining Iordaniya shakliga keltirilsin

Keyin normallashtiruvchi transformatsiya mavjud:

(3) differensial tenglamalarning normal shakliga olib keladi

va agar shunday bo'lsa. Shunday qilib, (5) faqat ni o'z ichiga oladi, ya'ni rezonans tenglamasi bo'lganlar uchun koeffitsientlar noldan farq qilishi mumkin.

Mohiyatan chiziqli bo'lmagan tizimlarni o'rganishning boshqa usullaridan nuqta xaritalash usuli (qarang, ), stroboskonik. uslubiy va funksional-analitik. usullari.

N. to. va yoritilishining muhim jihatlari. maqolalarga qarang Tebranishlar, tebranishlar nazariyasi.

V. M. Starjinskiy.

Matematik ensiklopediya. - M.: Sovet Entsiklopediyasi. I. M. Vinogradov. 1977-1985 yillar.

Boshqa lug'atlarda "NON-LINEAR OSCILLATIONS" nima ekanligini ko'ring:

chiziqli bo'lmagan tebranishlar- — [Ya.N.Luginskiy, M.S.Fezi Jilinskaya, Yu.S.Kabirov. Elektrotexnika va energetikaning inglizcha ruscha lug'ati, Moskva, 1999] Elektrotexnika mavzulari, asosiy tushunchalar EN nochiziqli tebranishlar ... Texnik tarjimon uchun qo'llanma

chiziqli bo'lmagan tebranishlar- netiesiniai virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. chiziqli bo'lmagan tebranishlar; chiziqli bo'lmagan tebranishlar vok. nichtlineare Schwingungen, f rus. chiziqli bo'lmagan tebranishlar, n pranc. tebranishlar chiziqli bo'lmagan, f … Fizikos terminų žodynas

Ba'zan chiziqli bo'lmagan tizimlardagi tebranishlarga ishora qilish uchun ishlatiladigan atama (Chiziq bo'lmagan tizimlarga qarang) ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

Nochiziqli tebranishlar Nochiziqli tebranishlar Mutaxassisligi ... Vikipediya

Tebranishdagi jarayonlar va superpozitsiya printsipini qoniqtirmaydigan to'lqin tizimlari. Chiziqli bo'lmagan tebranishlar yoki to'lqinlar odatda bir-biri bilan o'zaro ta'sir qiladi va ularning xususiyatlari (chastota, tebranish shakli, tarqalish tezligi, profil turi ... ... Jismoniy entsiklopediya

Tebranish tizimlari, sva to ryh, ularda sodir bo'ladigan jarayonlarga bog'liq. Bunday tizimlarning tebranishlari chiziqli bo'lmagan tenglamalar bilan tavsiflanadi. Nochiziqli hodisalar: mexanik. jismlarning elastiklik modullari ikkinchisining deformatsiyalariga yoki koeffitsientiga bog'liq bo'lgan tizimlar. ishqalanish ...... Jismoniy entsiklopediya