MUVOFIQ YO'LLARI
S sirtining P nuqtasidan chiqadigan va ularni o'z ichiga olgan chiziqlar nuqtadagi S sirtining Dupin ko'rsatkichining konjugat diametrlari bo'ladigan juft yo'nalish. R. Yo'nalishlar uchun ( du:dv), S sirtining P nuqtasida S. n edi, sharti zarur va yetarli
Qayerda L, M Va N- ikkinchi kvadratik sirt shaklining koeffitsientlari S, nuqtada hisoblangan R. Misollar: asimptotik yo'nalishlar, asosiy yo'nalishlar.
Lit.: Pogorelov A. V., Differensial, 5-nashr, M., 1969 yil.
E. V. Shikin.
Matematik ensiklopediya. - M.: Sovet Entsiklopediyasi. I. M. Vinogradov. 1977-1985 yillar.
Boshqa lug'atlarda "BOG'LANGAN YO'LLAR" nima ekanligini ko'ring:
Geometriya bo'limi, unda geometriya o'rganiladi. tasvirlar, birinchi navbatda egri chiziqlar va sirtlar, matematik usullar bilan. tahlil. Odatda DGlarda egri chiziqlar va sirtlarning xossalari ularning kichik, ya'ni o'zboshimchalik bilan kichik bo'laklarining xossalari o'rganiladi. Bundan tashqari, … Matematik entsiklopediya
1) Ellipsning konjugat yarim diametrlari uzunliklari kvadratlari yig'indisi doimiy qiymat bo'lib, uning yarim o'qlari uzunliklari kvadratlari yig'indisiga teng. 2) Ellips atrofida tasvirlangan, tomonlari konjugat yo'nalishlarga ega bo'lgan parallelogrammning maydoni doimiy va ... ... ga teng. Matematik entsiklopediya
Sirtning normal kesimining egriligi nolga teng bo'lgan muntazam sirtdagi yo'nalish. P nuqtadagi yo'nalish A. n. bo'lishi uchun shartni bajarish zarur va etarli: sirtdagi ichki koordinatalar qayerda va L, M va N ... ... Matematik entsiklopediya
Raqamli usullar hisoblash matematikasining matematikaga bag'ishlangan bo'limidir. chiziqli algebra masalalarini sonli yechish jarayonlarini tavsiflash va o‘rganish. L. a.ning vazifalari orasida. ikkitasi katta ahamiyatga ega: chiziqli algebraik sistemaning yechimi. tenglamalar ...... Matematik entsiklopediya
Ikkita turkumdan tashkil topgan sirtdagi chiziqlar tarmog'i shundayki, sirtning har bir nuqtasida turli oilalar tarmog'ining chiziqlari konjugatsiya yo'nalishlariga ega. Agar koordinata tarmog'i C. s. bo'lsa, ikkinchi kvadrat shaklning koeffitsienti M ... ... Matematik entsiklopediya
SO 34.21.308-2005: Gidrotexnika. Asosiy tushunchalar. Shartlar va ta'riflar- Terminologiya SO 34.21.308 2005: Gidrotexnika. Asosiy tushunchalar. Atamalar va ta'riflar: 3.10.28 chiqish: gidroelektr majmuasining yuqori oqimidagi to'lqinlarni himoya qilish to'g'onlari bilan cheklangan, bog'lash moslamalari bilan jihozlangan va joylashtirish uchun mo'ljallangan suv maydoni ... Normativ-texnik hujjatlar atamalarining lug'at-ma'lumotnomasi
I I. Temir yoʻllarning rivojlanish tarixi. Zh. yoʻl, u hozir mavjud boʻlgan shaklda, darhol ixtiro qilinmagan. Uch element, uning tarkibiy qismlari, temir yo'l, transport vositalari va harakatlantiruvchi kuch har bir alohida rivojlanish bosqichidan o'tgan, ... ... Entsiklopedik lug'at F.A. Brokxaus va I.A. Efron
Ish haqi- (ish haqi) Ishchilarning qiziqishini oshirishning eng muhim vositasi Yangi yaratilgan moddiy va ma'naviy boyliklar ulushida ishchilarning ishtiroki Mundarija. > ish haqi foizlarni oshirishning eng muhim vositasidir…… Investor entsiklopediyasi
Diversifikatsiya- (Diversifikasiya) Diversifikasiya - moliyaviy bozorlarni qisqartirishga qaratilgan investitsiya yondashuvi Valyuta, fond va tovar bozorlarida ishlab chiqarish, biznes va moliyaviy risklarni diversifikatsiya qilish tushunchasi, asosiy usullari va maqsadlari Mundarija ... ... Investor entsiklopediyasi
XIII. Ichki ishlar (1866-1871). 1866 yil 4 aprelda, kunduzi soat to'rtda imperator Aleksandr yozgi bog'da odatdagidek sayr qilgandan so'ng, aravaga o'tirganida, noma'lum shaxs unga qarata to'pponcha o'q uzdi. Ayni damda turib ...... Katta biografik ensiklopediya
Qadam 1. Boshlanish nuqtasini o'rnating X(0) va tizim N chiziqli mustaqil yo'nalishlar; bir holat qachon mumkin s(i)=e(i)i= 1, 2, 3,..., N.
2-qadam. Minimallashtirish f(x) ketma-ket harakatlanayotganda ( N+1) yo'nalishlar; bu holda, avval olingan minimal nuqta boshlang'ich sifatida qabul qilinadi va yo'nalish s(N) birinchi va oxirgi qidiruvlar uchun ishlatiladi.
Qadam 3. Parallel pastki fazoning umumlashtirilgan xususiyatidan foydalanib, yangi konjugat yo'nalishini aniqlang.
4-qadam: almashtiring s(l) yoqilgan s(2) va hokazo. s ni almashtiring (N) bog'liq yo'nalish. 2-bosqichga o'ting.
Ta'riflangan usulni amaliyotda qo'llash uchun uni yo'nalish tizimining yaqinlashuvi va chiziqli mustaqilligini tekshirish protseduralari bilan to'ldirish kerak. Chiziqli mustaqillikni tekshirish funktsiya bajarilganda ayniqsa muhimdir f(x) kvadratik emas.
Algoritmni qurish usulidan kelib chiqadiki, agar maqsad funktsiyasi kvadratik bo'lsa va minimal bo'lsa, amalga oshirish natijasida minimal nuqta topiladi. N 2, 3 va 4-bosqichlarni o'z ichiga olgan davrlar, bu erda N- o'zgaruvchilar soni. Agar funktsiya kvadratik bo'lmasa, u holda dan ortiq N sikllar. Shu bilan birga, biz ba'zi bir taxminlarga ko'ra, Pauell usuli mahalliy minimal nuqtaga yaqinlashishini qat'iy isbotlashimiz mumkin. superchiziqli tezlik (quyidagi ta'rifga qarang).
konvergentsiya darajasi. Ko'rib chiqilgan usul nuqtalar ketma-ketligini qurishga imkon beradi x(k), yechimga yaqinlashadi x*. Usul deyiladi yaqinlashish, tengsizlik bo'lsa
≤ 1, bu erda (3.39)
= x - X*, (3.40)
har bir iteratsiyada bajariladi. Hisob-kitoblar odatda cheklangan o'nli kasrlar bilan ishlaganligi sababli, hatto eng samarali algoritm ham cheksiz takrorlash ketma-ketligini talab qiladi. Shu sababli, o'rganilayotgan usullarning yaqinlashuvining asimptotik xususiyatlari asosiy qiziqish uyg'otadi. Algoritm tartibning yaqinlashuviga ega ekanligini aytamiz r(qarang), agar
, (3.41)
Qayerda BILAN- doimiy qiymat. (3.39) formuladan kelib chiqadiki, uchun r= 1 bo'lsa, C ≤ 1 tengsizlik o'rinli bo'lsa r= 1 yoki r= 2, u holda algoritm xarakterlanadi chiziqli yoki yaqinlashuvning kvadratik tezligi mos ravishda. Da r= 1 va BILAN= 0 algoritm xarakterlanadi superchiziqli konvergentsiya darajasi.
3.6-misol. Pauellning konjugat yo'nalishi usuli
Funksiyaning minimal nuqtasini toping
f(x) = 2x + 4x x – 10x x+ x,
agar boshlang'ich nuqtasi berilgan bo'lsa X(0) = T, bu erda f(x (0)) = 314.
1-qadam. s(1) = T , s(2) = T.
2-qadam. (a) l ning shunday qiymatini toping
f (x (0) + λ s(2)) → min.
Biz olamiz: λ* - 0,81, qaerdan
x(l) = T - 0,81 T = T, f(x(l)) = 250.
(b) l ning shunday qiymatini toping f (x(1) + l s(1)) → min.
λ* = – 3,26, x (2) = T,f(x (2)) = 1.10.
(c) l ning shunday qiymatini toping f (x(2) +l s(2)) → min.
λ* = – 0.098, x (3) = T,f(x (3)) = 0.72.
3-qadam. Qo'ying s (3) = x (3) - x (1) = [-3.26,-0.098]T. Oddiylashtirgandan so'ng, biz olamiz
s (3) = = [– 0,99955, – 0,03]T.
s (1) = s (2) , s (2) = s (3) ni qo'yamiz va algoritmning 2-bosqichiga o'tamiz.
4-qadam. Buning uchun l qiymatini toping f (x(3) +l s(2)) → min.
λ* = – 0.734, x (4) = T,f(x (4)) = – 2,86.
Eslatma. Agarda f(x) kvadratik funktsiya bo'lgan bo'lsa, natijada olingan nuqta muammoning echimi bo'ladi (agar yaxlitlash xatosini e'tiborsiz qoldirsak). Bunday holda, takrorlashlar yechim olinmaguncha davom ettirilishi kerak.
Usulni amalga oshirish jarayonida olingan qidiruv yo'nalishlari rasmda ko'rsatilgan. 3.13.
Hisoblash tajribalari natijalari shuni ko'rsatadiki, Pauell usuli (yo'nalishlarning chiziqli bog'liqligini tekshirish tartibi bilan to'ldiriladi) hech bo'lmaganda boshqa to'g'ridan-to'g'ri qidirish usullari kabi ishonchli va ba'zi hollarda ancha samaraliroqdir. Shuning uchun, to'g'ridan-to'g'ri qidirish algoritmini tanlash muammosi ko'pincha (va oqilona) Pauell usuli foydasiga hal qilinadi.
Bu cheklanmagan optimallashtirish muammolarida to'g'ridan-to'g'ri echimlarni qidirish usullarini ko'rib chiqishni yakunlaydi. Keyingi bo'limda hosilalardan foydalanishga asoslangan usullar tasvirlangan.
gradient usullari
Oldingi bo'limda faqat maqsad funktsiyasi qiymatlaridan foydalanish asosida muammoni hal qilish imkonini beradigan usullar ko'rib chiqildi. To'g'ridan-to'g'ri usullarning ahamiyati shubhasizdir, chunki bir qator amaliy muhandislik muammolarida maqsad funktsiyasi qiymatlari haqidagi ma'lumotlar tadqiqotchiga ega bo'lgan yagona ishonchli ma'lumotdir.
f(x) = 2x + 4x x – 10x x+ x
Guruch. 3.13. 3.6-misoldagi masalani Pauel konjugat yo'nalishlari usuli yordamida yechish.
Boshqa tomondan, hatto eng samarali to'g'ridan-to'g'ri usullardan foydalanganda, yechimni olish ba'zan juda ko'p sonli funktsiya qiymatini hisoblashni talab qiladi. Bu holat statsionar nuqtalarni topish imkoniyatini amalga oshirishning mutlaqo tabiiy istagi bilan bir qatorda [ya'ni. e) birinchi darajali zaruriy shartni (3.15a) qanoatlantiruvchi nuqtalar maqsad funksiya gradientidan foydalanishga asoslangan usullarni ko'rib chiqish zaruriyatiga olib keladi. Bu usullar iterativ xarakterga ega, chunki gradient komponentlari boshqariladigan o'zgaruvchilarning chiziqli bo'lmagan funktsiyalari bo'lib chiqadi.
Keyinchalik, hamma joyda shunday deb taxmin qilinadi f(x), f(x) Va f(x) mavjud va doimiydir. Birinchi va ikkinchi hosilalardan foydalanadigan usullar faqat qisqacha va asosan foydaliroq usullar bilan bog'liq holda muhokama qilinadi. Usullarni batafsil ko'rsatishga alohida e'tibor beriladi konjugat gradientlar, Ular yuqorida kiritilgan yo'nalishlarning konjugatsiya kontseptsiyasiga va Nyuton usuliga o'xshash, lekin faqat birinchi hosilalar haqidagi ma'lumotlardan foydalanadigan kvazi-Nyuton usullari deb ataladigan usullarga asoslangan. Gradient komponentlarini analitik shaklda yozish yoki raqamli usullardan foydalangan holda etarlicha yuqori aniqlik bilan hisoblash mumkin deb taxmin qilinadi. Bundan tashqari, gradientlarni raqamli yaqinlashtirish usullari ko'rib chiqiladi." Ta'riflangan barcha usullar formulaga muvofiq amalga oshiriladigan iterativ protseduraga asoslangan.
x = x +α s(x) (3.42)
Qayerda x- yechimga joriy yaqinlashish X*; α - qadam uzunligini tavsiflovchi parametr; s(x) = s- yo'nalishini qidirish N o'lchamli boshqariladigan o'zgaruvchilar maydoni x i , i = 1, 2, 3,..., N.Aniqlash usuli s(x) va har bir iteratsiyada a qo'llaniladigan usulning xususiyatlari bilan bog'liq. Odatda a ni tanlash minimallashtirish masalasini yechish orqali amalga oshiriladi f(x) yo'nalishda s(x). Shuning uchun o'rganilayotgan usullarni amalga oshirishda samarali bir o'lchovli minimallashtirish algoritmlaridan foydalanish kerak.
3.3.1. Koshi usuli
Aytaylik, bir nuqtada boshqariladigan o'zgaruvchilar maydoni, eng tez mahalliy tushish yo'nalishini, ya'ni maqsad funktsiyasining eng katta mahalliy pasayishini aniqlash kerak. Avvalgidek, biz nuqta qo'shnisida maqsad funktsiyasini kengaytiramiz Teylor seriyasida
f(x) = f()+ f() ∆x+… (3.43)
va ikkinchi va undan yuqori darajadagi shartlarni bekor qiling. Maqsad funktsiyasining mahalliy kamayishi ikkinchi muddat bilan belgilanadi, chunki qiymatdan boshlab f() belgilangan. Eng katta pasayish f eng kattasiga to'g'ri keladigan (3.42) bunday yo'nalishni tanlash bilan bog'liq salbiy kengayishning ikkinchi hadi sifatida ko'rinadigan skalyar mahsulotning qiymati. Skayar mahsulotning xususiyatidan ko'rsatilgan tanlov ko'rsatilganligidan kelib chiqadi
s() = - f(),(3.44)
ikkinchi muddat esa shaklni oladi
–α f() f().
Ko'rib chiqilgan ish eng tez mahalliy kelib chiqishga mos keladi. Shuning uchun, asosda eng oddiy gradient usuli formula yotadi
x = x -α f(x), (3.45)
bu yerda a berilgan musbat parametr. Usulning ikkita kamchiligi bor: birinchidan, a ning tegishli qiymatini tanlash kerak bo'ladi , ikkinchidan, usul kichikligi sababli minimal nuqtaga sekin yaqinlashish bilan tavsiflanadi f shu nuqta atrofida.
Shunday qilib, har bir iteratsiyada a qiymatini aniqlash maqsadga muvofiqdir
x = x -α f(x), (3.46)
a ning qiymati minimallashtirish masalasini yechish orqali hisoblanadi f (x(k +1)) yo'nalish bo'ylab f(x) u yoki bu bir o'lchovli qidiruv usuli yordamida. Ko'rib chiqilgan gradient usuli eng tik tushish usuli yoki deyiladi Koshi usuli, chunki Koshi birinchi bo'lib chiziqli tenglamalar tizimini yechish uchun shunga o'xshash algoritmdan foydalangan.
Formula (3.46) bo'yicha to'g'ri chiziq bo'ylab qidirish eng oddiy gradient usuliga nisbatan Koshi usulining yuqori ishonchliligini ta'minlaydi, biroq bir qator amaliy muammolarni hal qilishda uning yaqinlashuv tezligi qabul qilib bo'lmaydigan darajada pastligicha qolmoqda. Bu juda tushunarli, chunki o'zgaruvchilarning o'zgarishi to'g'ridan-to'g'ri gradientning kattaligiga bog'liq bo'lib, u minimal nuqtaga yaqin joyda nolga intiladi va oxirgi iteratsiyalarda harakatni minimal nuqtaga tezlashtirish mexanizmi yo'q. Koshi usulining asosiy afzalliklaridan biri uning barqarorligi bilan bog'liq. Usul muhim xususiyatga ega, ya'ni etarlicha kichik qadam uzunligi uchun iteratsiyalar tengsizlikning bajarilishini ta'minlaydi.
f (x) ≤ f (x). (3.47)
Ushbu xususiyatni hisobga olgan holda shuni ta'kidlaymizki, Koshi usuli, qoida tariqasida, minimal nuqtadan sezilarli masofada joylashgan nuqtalardan harakatlanayotganda maqsad funktsiyasining qiymatini sezilarli darajada kamaytirishi mumkin va shuning uchun ko'pincha amalga oshirishda boshlang'ich protsedura sifatida ishlatiladi. gradient usullari. Va nihoyat, Koshi usuli misolidan foydalanib, turli xil gradient algoritmlarini amalga oshirishda qo'llaniladigan individual usullarni ko'rsatish mumkin.
3.7-misol. Koshi usuli
Funktsiyani ko'rib chiqing
f(x) = 8x + 4xx + 5x
va uni minimallashtirish masalasini hal qilish uchun Koshi usulidan foydalaning.
Yechim. Avvalo, biz gradientning tarkibiy qismlarini hisoblaymiz
= 16x + 4x, = 10x + 4x.
Eng tik tushish usulini qo'llash uchun biz dastlabki taxminiylikni o'rnatdik
x (0) = T
va (3.46) formuladan foydalanib, biz yangi taxminiylikni tuzamiz
x = x-α f(x)
f(x) = 8x + 4xx + 5x
Guruch. 3.14. Kvadrat interpolyatsiya usuli yordamida Koshi iteratsiyasi.
3.1-jadval.Koshi usuli bo'yicha hisob-kitoblar natijalari
| k | x | x | f(x) |
| 1 | -1.2403 | 2.1181 | 24.2300 |
| 2 | 0.1441 | 0.1447 | 0.3540 |
| 3 | -0.0181 | 0.0309 | 0.0052 |
| 4 | 0.0021 | 0.0021 | 0.0000 |
Biz a ni tanlaymiz Shu tarzda f (x(1)) → min.; a = 0,056. Demak, x (1) = [– 1,20, 2.16]T Keyin nuqtani toping
x = x -α f(x),
bir nuqtada gradientni hisoblash x va to'g'ri chiziq bo'ylab qidirish.
3.1-jadvalda kvadratik interpolyatsiya usulidan foydalangan holda bir o'lchovli qidiruv asosida takrorlashlar davomida olingan ma'lumotlar keltirilgan. Olingan nuqtalarning ketma-ketligi shaklda ko'rsatilgan. 3.14.
Koshi usuli katta amaliy ahamiyatga ega emasligiga qaramay, u ko'pchilik gradient usullarining eng muhim bosqichlarini amalga oshiradi. Koshi algoritmining blok diagrammasi rasmda ko'rsatilgan. 3.15. E'tibor bering, algoritm gradient moduli yoki vektor moduli bo'lganda tugaydi ∆x etarlicha kichik bo'ladi.
Guruch. 3.15. Koshi usulining blok diagrammasi.
3.3.2. Nyuton usuli
Koshi usulida gradient yordamida "eng yaxshi" mahalliy qidiruv strategiyasi qo'llanilishini ko'rish oson. Biroq* gradientga qarama-qarshi yo'nalishda harakat faqat funktsiyaning darajali chiziqlari bo'lganda minimal nuqtaga olib keladi. f doiralardir. Shunday qilib, gradientga qarama-qarshi yo'nalish, umuman olganda, Yo'q qabul qilinishi mumkin global chiziqli bo'lmagan funktsiyalarning optimal nuqtalarini qidirish yo'nalishi. Koshi usuli maqsad funktsiyasining ketma-ket chiziqli yaqinlashuviga asoslanadi va har bir iteratsiyada funktsiya va uning birinchi hosilalari qiymatlarini hisoblashni talab qiladi. Umumiy qidiruv strategiyasini yaratish uchun maqsad funktsiyasining ikkinchi hosilalari haqida ma'lumotni jalb qilish kerak.
Teylor qatoridagi maqsad funksiyasini yana kengaytiramiz
f(x)=f(x)+ f(x) ∆x+½∆x f(x)∆x+O(∆x³).
Uchinchi va undan yuqori darajali kengayishning barcha shartlarini bekor qilib, biz kvadratik yaqinlashamiz. f(x):
(x; x) = f(x) + f(x ) T ∆x + ½∆x f(x)∆x,(3.48)
Qayerda (x;x)- yaqinlashuvchi funktsiya o'zgaruvchan X, nuqta ustiga qurilgan x. Funksiyaning kvadratik yaqinlashuvi asosida f(x) iteratsiyalar ketma-ketligini shunday hosil qilingki, yangi olingan nuqtada x gradient yaqinlashtirish funktsiyasi yo'qoladi. Bizda ... bor
(x;x) = + f(x)+ f(x) = 0, (3.49)
Shunga o'xshash hujjatlar
Tenglik cheklovi mavjud bo'lganda bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasining ekstremumini (maksimalini) topish masalasini hal qilish uchun jarimalar, shartsiz optimallashtirish, konjugat yo'nalishlari va eng tik gradient tushish usullarini qo'llash samaradorligini ko'rib chiqish.
test, 2010-08-16 qo'shilgan
Qo'shimcha funktor teoremalarini tahlil qilish. Tabiiy transformatsiya morfizmlar oilasi sifatida. Reflektor toifalari xossalarining xarakteristikasi. Universal o'qlar bilan tanishtirish. Qo'shma funktorlarni qurish usulining xususiyatlarini ko'rib chiqish.
muddatli ish, 27.01.2013 yil qo'shilgan
Aylanishni o'zgartirish texnikasi va uning algebraik tenglamalar tizimini yechishdagi ahamiyati. Olingan matritsani olish. Ko'zgu orqali ortogonal o'zgarishlar. Qoldiqni minimallashtirish bilan iterativ usullar. Konjugat yo'nalishlar usuli bilan yechim.
referat, 2009 yil 08/14 qo'shilgan
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini yechish usullari, ularning xarakteristikalari va o'ziga xos xususiyatlari, xususiyatlari va qo'llanilishi. Ortogonallashtirish usuli va konjugat gradient usulining tuzilishi, ularning navlari va shartlari, amaliy amalga oshirish bosqichlari.
muddatli ish, 01.10.2009 yil qo'shilgan
Shartsiz ekstremumni topishning raqamli usullari. Shartsiz minimallashtirish muammolari. Funksiyaning minimumini koordinata tushish usuli bilan hisoblash. Chiziqli dasturlash masalalarini grafik va simpleks usullarda yechish. MathCAD dasturi bilan ishlash.
muddatli ish, 30.04.2011 qo'shilgan
Lagranj funksiyasining shakllanishi, Kun va Taker shartlari. Raqamli optimallashtirish usullari va blok-sxemalar. Shartli optimallashtirish masalalarini shartsiz holga keltirish uchun jazo funksiyalari, tashqi nuqta, koordinatali tushish, konjugat gradient usullarini qo'llash.
muddatli ish, 27.11.2012 yil qo'shilgan
Muammoning matematik modeli. Potensiallar usulida transport masalasini yechish. Maqsad funksiyasining qiymati. 8 ta noma'lumli 7 ta tenglamadan iborat tizim. Masalani grafik usulda yechish. Tengsizlikka mos keladigan yarim tekislikni tanlash.
nazorat ishi, qo'shilgan 06/12/2011
Bitta o‘zgaruvchili funksiya va ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning minimalini topish usullari. Himmelblau funksiyasining mahalliy minimumini koordinata tushish usulida hisoblash uchun dasturiy ta’minotni ishlab chiqish. Oltin kesim usuli yordamida funksiyaning minimalini topish.
muddatli ish, 10/12/2009 qo'shilgan
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini oddiy takrorlash orqali yechish. Nyuton usulida funktsiyani boʻlingan farqlar bilan polinom interpolyatsiyasi. Funktsiyaning o'rtacha kvadratiga yaqinlashishi. Gauss usulida funksiyalarni sonli integrallash.
muddatli ish, 04/14/2009 qo'shilgan
Simpleks usuli haqida asosiy ma'lumotlar, uning chiziqli dasturlashdagi o'rni va ahamiyatini baholash. Geometrik talqin va algebraik ma'no. Chiziqli funksiyaning maksimal va minimumini topish, maxsus holatlar. Masalani matritsali simpleks usulida yechish.
Nyuton usulining yaqinlashuvining yuqori darajasi uning kvadratik funktsiyani minimallashtirishi bilan bog'liq.
Bu erda A - o'lchamning simmetrik musbat aniq matritsasi nxn , bir qadamda. Kvazi-Nyuton usullari kvadrat funktsiyaning minimalini qadamlar bo'yicha topish imkonini beradi. Konjugatsiya yo'nalishlari usuli g'oyasi kvadratik funktsiyani chekli qadamlarda minimallashtirish istagiga asoslangan. Aniqrog'i, konjugatsiya yo'nalishlari usullarida shunday yo'nalishlarni topish talab etiladiki, bu yo'nalishlar bo'ylab bir o'lchovli minimallashtirishlar ketma-ketligi 2.1 funktsiyaning minimalini topishga olib keladi, ya'ni har qanday uchun, bu erda.
Aniqlanishicha, ko'rsatilgan xususiyat A matritsaga nisbatan o'zaro konjugatsiyalangan yo'nalishlar tizimiga ega.
A o'lchamli simmetrik musbat aniq matrisa bo'lsin.
Ta'rif 2.1. Vektorlar (yo'nalishlar) konjugat deb ataladi (A matritsaga nisbatan), agar ular nolga teng bo'lmasa va. Vektorlar (yo'nalishlar) o'zaro konjugat deb ataladi (A matritsaga nisbatan), agar ularning barchasi nolga teng bo'lmasa va. (2.3)
Lemma 3.1. Vektorlar o'zaro konjugatsiyali bo'lsin. Keyin ular chiziqli mustaqildir.
Isbot. Bu yolg'on bo'lsin, ya'ni ba'zilar uchun. Keyin 
, bu faqat uchun mumkin, chunki A matritsa musbat aniqlangan. Olingan qarama-qarshilik lemmani isbotlaydi.
Minimallashtirish muammosini ko'rib chiqing R n funksiyalar 2.1. Biz buni 2.2-usulda hal qilamiz. Agar , vektorlari o'zaro konjugat bo'lsa, u holda 3.2 usulini konjugat yo'nalishlar usuli deb atash mumkin. Biroq, odatda, bu nom faqat yo'nalishlarni tanlashni belgilaydigan o'zaro konjugatsiya holatiga erishish istagi bo'lgan usullar uchun ishlatiladi. Mutlaqo yangi g'oyani amalga oshirish ham xuddi shu shartning bajarilishiga olib kelishi mumkin.
3.1 teorema. Agar vektorlar h k 2.2-usulda o'zaro konjugatsiya mavjud, k=0,1,…, m-1 , keyin funksiya uchun f, formula 2.1 bo'yicha berilgan,
,
(2.4)
bu erda ko'rsatilgan vektorlar bilan qoplangan chiziqli pastki fazo.
Isbot. 2.2 va 2.1 ta'rifini hisobga olgan holda bizda mavjud
(2.5)
Ushbu tenglikdan foydalanib, biz olamiz
(2.6)
Natija. Agar vektorlar h k 2.2-usulda o'zaro konjugatsiya mavjud, k=0,1,…, n-1 , keyin funksiya uchun f, formula 2.1 va ixtiyoriy nuqta bilan berilgan
Shunday qilib, 2.2-usul 2.1 kvadrat funktsiyaning minimal nuqtasini n dan ortiq bo'lmagan bosqichda topish imkonini beradi.
2.2. Nol tartibli konjugatsiya yo'nalishlari usuli.
Algoritm halqalar ketma-ketligidan iborat, k th, boshlang'ich nuqtasi bilan belgilanadi t 0 (k) va minimallashtirish yo'nalishlari p 0 (k), p 1 (k), …, p n -1 (k) . Sifatida nol siklda t 0 (0), sifatida ixtiyoriy nuqta tanlanadi p 0 (0), p 1 (k), …, p n -1 (k) koordinata o'qlarining yo'nalishlari.
Boshqa k-chi sikl bir o'lchovli masalalarni ketma-ket yechishdan iborat
Bu nuqtadan nuqtaga qadamni belgilaydi
qayerda bundaylar
Tugatgandan keyin k- siklning boshlang'ich nuqtasi va minimallashtirish yo'nalishlari (k+1) th tsikli formulalar bilan aniqlanadi
To'xtatish mezoni tengsizlikning bajarilishi bo'lishi mumkin, bu erda oldindan tanlangan kichik ijobiy raqam.
3.2 teorema. Agar 2.5-2.7-usuldagi vektorlar nolga teng bo'lmasa, u holda funktsiya uchun f 2.1 formula bilan berilgan
Isbot. 3.1-teoremaning natijasini hisobga olgan holda vektorlarning o'zaro konjugat ekanligini ko'rsatish kifoya. Bo'lsin. Vektorlarni o'zaro konjugat deb hisoblasak, vektor vektorlarga konjugat ekanligini isbotlaymiz.
Bunga va demak, nuqtaga e'tibor bering t n (k) , 2.5 formulalar bo'yicha, nuqtadan olingan t n - k (k) yo'nalishlar bo'ylab bir o'lchovli minimallashtirishlar ketma-ketligidan foydalanish. Bu, 2.1 teoremasiga ko'ra, shuni anglatadi
Xuddi shunday, nuqta t 0 (k) nuqtadan olingan t n - k +1 (k) bir xil yo'nalishlar bo'ylab bir o'lchovli minimallashtirishlar ketma-ketligidan foydalanish va shuning uchun
Endi isbotlanayotgan da'vo darhol Lemma 2.2 dan kelib chiqadi, chunki .
2.2 teoremaning ular noldan farq qilishi haqidagi faraz har doim ham qondirilmaydi. Ba'zilar uchun vektorlar tizimi mumkin k chiziqli bog'liq (yoki "deyarli" chiziqli bog'liq) bo'lib chiqadi, buning natijasida usul hatto kvadratik funktsiyaning minimalini topa olmasligi mumkin.
Keling, samarali minimallashtirish algoritmiga olib keladigan 2.5-2.7 usulining modifikatsiyasini tasvirlaylik.
Tugatgandan keyin k siklning tengsizliklari bajarilishi tekshiriladi. Agar ulardan kamida bittasi bajarilsa, to'xtash amalga oshiriladi. Aks holda, tengsizlikning bajarilishi tekshiriladi
,
(2.16)
Agar u qanoatlansa, minimallashtirish yo'nalishlari (k+1) th tsikli bir xil bo'lib qoladi, ya'ni.
Agar yo'q bo'lsa, unda minimallashtirish yo'nalishlari (k+1) th tsikli formulalar bilan aniqlanadi
Ikkala holatda ham boshlang'ich nuqtasi (k+1) th sikl dastlabki algoritmdagi kabi hisoblanadi.
Xizmat topshirig'i. Onlayn kalkulyator funktsiyaning minimalini topish uchun mo'ljallangan Pauell usuli. Qaror Word formatida qabul qilinadi.Funktsiyani kiritish qoidalari:
- Barcha o'zgaruvchilar x 1 , x 2 orqali ifodalanadi
- Barcha matematik amallar shartli belgilar (+, -, *, /, ^) orqali ifodalanadi. Masalan, x 1 2 +x 1 x 2 x1^2+x1*x2 shaklida yoziladi.
Pauell usuli to'g'ridan-to'g'ri usullarga (nol tartibli usullar) ishora qiladi. Ushbu usul kvadratikga yaqin bo'lgan funktsiyalarni eng samarali tarzda kamaytiradi. Algoritmning har bir iteratsiyasida qidiruv konjugat yo'nalishlar tizimi bo'ylab amalga oshiriladi.
Ikki qidiruv yo'nalishi S i , S j chaqiriladi konjugatsiyalangan, agar S j T H S j =0, i≠j, S i T H S i =0, i=j.
Bu erda H - musbat aniq kvadrat matritsa.
Optimallashtirish algoritmlarida konjugat yo'nalishlardan foydalanishni asoslash. Pauell usulida H=▽²f(x k) ikkinchi qisman hosilalarning matritsasi hisoblanadi. Pauell usulining g'oyalari f(x) kvadrat funktsiya bilan bog'liq.
Asosiy g'oya shundan iboratki, agar qidiruvning har bir bosqichida p (p) ning har biri bo'ylab f(x ) kvadratik funktsiyaning minimali aniqlansa.< n) - сопряженных направлений и если затем в каждом из направлений делается шаг до минимальной точки, то полное перемещение от начала до шага с номером p сопряжено ко всем поднаправлениям поиска.
Konjugat yo'nalishlardan foydalanish g'oyasi bir qator algoritmlarga asoslanadi.
f(x) kvadrat funktsiya bo'lsin va minimallashtirish jarayoni S 1 boshlang'ich yo'nalishi bilan x 0 nuqtadan boshlanadi. Qulaylik uchun biz bu vektorni birlik vektor sifatida olamiz, ya'ni. (S 1) T S 1 =1. Keyin vektor x 1 =x 0 +l 1 ·S 1 va qadam uzunligi l 1 bu yo'nalishdagi minimal funktsiya shartidan aniqlanadi ya'ni.
.
Kvadrat funksiya uchun
, (1)
va shuning uchun birinchi bosqichda l ning optimal qiymati munosabatlarga muvofiq aniqlanadi 
, (2)
Bu yerda H=▽²f(x k).
X 1 nuqtasidan boshlab, minimallashtirish jarayoni boshqa konjugat yo'nalishi S 2 bo'yicha amalga oshirilishi kerak va shu bilan birga,
(S 2) T H ).
Umuman olganda, n chiziqli mustaqil qidiruv yo'nalishlari S 1 , S 2 ,..., S n tizimi deyiladi. konjugat ba'zi musbat aniq H matritsaga nisbatan, agar (S i) T H S j =0, 0 ≤ i ≠ j ≤ n bo'lsa.
Konjugat yo'nalishlari chiziqli mustaqil bo'lganligi sababli, E n fazodagi har qanday vektorni S 1, S 2,..., S n shaklida quyidagicha ifodalash mumkin:
Qayerda 
. (3)
Ba'zi H matritsalari uchun har doim kamida bitta n ta o'zaro konjugatsiya yo'nalishi tizimi mavjud, chunki H matritsasining xos vektorlari o'zlari bunday tizimni ifodalaydi.
E'tibor bering, kvadratik funktsiya uchun quyidagi munosabat to'g'ri bo'lib, u quyidagi hollarda talab qilinadi: 
. (4)
Uning haqiqiyligini tekshirish uchun matritsani ko'rib chiqing 
. Uni o'ngdan H S k ga ko'paytirsak 
,
qo'yilsa 
.
Umuman olganda, umumiy qoida shundan iboratki, agar f(x ) kvadrat funktsiyaning minimalini topish uchun qo'shma yo'nalishlardan foydalanilsa, u holda bu funktsiyani har bir qo'shma yo'nalishda bittadan n ta bosqichda minimallashtirish mumkin. Bundan tashqari, konjugat yo'nalishlarini qo'llash tartibi muhim emas.
Keling, bu haqiqatan ham shunday ekanligini ko'rsataylik. f()=b +H x bo‘lsin.
Minimal nuqtada ▽f(x *) va bu nuqta x *=-H T b dir.
E'tibor bering, ▽ T f(x k) S k =(S k) T ▽f(x k).
Chunki x 1 \u003d x 0 +l 1 S 1, (5)
Bu erda l 1 (2) munosabatga muvofiq aniqlanadi: ,
u holda minimal i-1 +l i ·S i) shunga o'xshash formulalar bo'yicha keyingi konjugat yo'nalishida l i ni olish uchun S i yo'nalishi bo'yicha bo'ladi, bu quyidagi ifodaga olib keladi ((2) asosida) 
. (7)
Bundan tashqari,
va (S i) T ▽f(x i-1)=(S i) T ,
chunki barcha (S i) T H S k =0, ∀i≠k, 0 va H -1 b konjugat vektorlar tizimi orqali S i quyidagicha ((3) ga analogiya bo‘yicha): 
,
.
Ushbu ifodalarni (7) ga almashtirib, biz hosil bo'lamiz
x n \u003d x 0 -x 0 + H -1 b \u003d H -1 b. (9)
Shunday qilib, kvadrat funktsiyani n-bosqichda minimallashtirish natijasida olingan x n nuqta f(x) kvadratik funksiyaning minimal nuqtasiga to'g'ri keladi.
Ko'rsataylikki, konjugat yo'nalishlar uchun, agar (2) formulaga muvofiq har safar f(x) konjugat yo'nalishida S j minimallashtirilsa, u holda quyidagi tenglik bajariladi:
(x j) T ▽f(x l), 1 ≤ j ≤ l-1 ,
n dan ortiq boʻlmagan yoʻnalishlardan foydalanilganda, yaʼni ▽f(x l) qoʻllanilgan konjugat yoʻnalishlarga ortogonal boʻladi.
Kvadrat funksiya uchun ▽f( k - konjugat yo'nalishlarda qidirishni boshlash uchun ixtiyoriy nuqta. Chunki ▽f( k-1) T ni beradi.
.
O'ng tomondagi birinchi had (S k-1) T ·▽f(x k)=0, chunki x k nuqtadagi gradient oldingi tushish yo'nalishiga ortogonal bo'ladi, agar nuqta shu yo'nalishdagi funktsiyani minimallashtirish orqali olingan bo'lsa. . Bundan tashqari, yig'indi belgisi ostidagi barcha boshqa atamalar S k-1 va S j yo'nalishlarining konjugatsiyasi tufayli yo'qoladi va shuning uchun
(S j) T ▽f(x l)=0, 1≤j≤l-1 . (10)
Pauell algoritmi
Pauell algoritmining k - qadamidagi x k 0 nuqtadan x k n nuqtaga o'tish quyidagi formula bo'yicha amalga oshiriladi:
.
Bunda S k 1 , ... ,S k n konjugat yo'nalishlari bo'yicha asl funktsiyani minimallashtirish ketma-ketlik bilan amalga oshiriladi. Konjugat yo'nalishlarining har birida minimallashtirish natijasi l 1 k ,...,l n k parametrlar tizimi bo'lib, ular uchun funktsiya har bir konjugat yo'nalishda minimal bo'ladi:
, 
.
Konjugat yo'nalishlarining boshlang'ich tizimini koordinata tizimining o'qlariga parallel ravishda tanlash mumkin. Pauell algoritmining har bir iteratsiyasi oxirida konjugat yo'nalishlarning yangi tizimini tanlash kerak, chunki bu bajarilmasa, biz oddiy koordinatali qidiruvni olamiz. Yangi tizimni qurish quyidagi teoremaga asoslanadi.
Teorema:
Agar S vektor yo‘nalishi bo‘yicha qidiruvning dastlabki x 0 nuqtasida f ( x ) funksiyaning minimali x a nuqtada va x 1 ≠ x 0 boshlang‘ich nuqtasida joylashgan bo‘lsa, f ( x ) funktsiyasining bir xil yo'nalishdagi minimumi S nuqtaga olib keladi x b , keyin f(xb) bo'lganda Isbot. Oldin olingan natijalardan (10) foydalanib, biz buni birinchi holatda yozishimiz mumkin Ikkinchi bosqich S 1 2 yo'nalishi bo'ylab minimallashtirish bilan boshlanadi, keyin kerak bo'lsa, S 1 1 yo'nalishi bo'yicha harakatlanadi. Ammo ikkita o'zgaruvchining kvadratik funktsiyasi bo'lsa, ikkita konjugat yo'nalishda minimallashtirishdan so'ng minimal nuqtaga erishiladi. №1 misol. Pauell usulidan foydalanib, agar x (0) \u003d (8, 9) T boshlang'ich nuqtasi berilgan bo'lsa, 4(x 1 -5) 2 + (x 2 -6) 2 funktsiyasining minimal nuqtasini toping. Takrorlash №0.
№1 qadam. P 2 = T qidiruv yo'nalishi bo'ylab qadam tashlaylik №2 qadam. Keling, boshqa qidiruv yo'nalishi bo'ylab qadam tashlaylik p 1 = T №3 qadam. P 2 = T qidiruv yo'nalishi bo'ylab qaytadan qadam qo'yamiz Qadam raqami 4. Biz konjugat yo'nalishini tanlaymiz: p 2 \u003d x 3 - x 1 Takrorlash №1.
№2 misol. |d(x)/dx| da hisob-kitoblarni yakunlab, konjugat yo'nalish usuli bilan f(x) funksiyasini minimallashtiring.< 10 -3 , i=1,2,..,n.
Takrorlash №2.
S T ▽f(x a)=S T (H x a +b )=0,
xuddi shunday, ikkinchi holatda ham yozish mumkin
S T ▽f(x b)=S T (H x b +b )=0,
Birinchi ifodadan ikkinchi ifodani ayirib, biz buni olamiz
S T H (x b -x a)=0,
Demak, S va (x b -x a) vektorlari konjugatdir.
Bu teorema to'g'ridan-to'g'ri bir nechta konjugat yo'nalishlar holatiga quyidagicha kengaytirilishi mumkin. Agar x 0 nuqtasidan boshlab, x a nuqtasi bir nechta konjugat yo'nalishlardan foydalangandan so'ng aniqlanadi p (p) 
Chizma.
Ikki o'lchovli masala uchun dastlabki momentda qidiruv x 0 nuqtadan koordinata o'qlariga parallel yo'nalishlar bo'ylab amalga oshirilsin: S 0 1 va S 0 2 . X 0 1, x 0 2, x 0 3 nuqtalari ketma-ket topildi (rasmga qarang).
Shunday qilib, biz izlash uchun ikkita konjugat yo'nalishni aniqladik: S 0 2 va (x 0 3 -x 0 1). Dastlabki yo'nalishlar tizimida S 0 1 ni (x 0 3 -x 0 1) bilan almashtirish kerak, bu birinchi minimaldan to'liq siljishdir. Keyingi bosqichda yo'nalishlarni qidiring:
S 1 1 \u003d S 0 2,
S 1 2 \u003d x 0 3 -x 0 1.
Umumiy holatda, Pauell algoritmining k -chi bosqichida n ta chiziqli mustaqil qidiruv yo'nalishlari qo'llaniladi. Qidiruv x k 0 nuqtasidan boshlanadi va quyidagi algoritmga muvofiq amalga oshiriladi:
1. Nuqtadan boshlab, S k 1, ..., S k n yo'nalishlarda. Bunda berilgan yo‘nalishlarda asl funksiyani minimallashtiradigan x k 1, ..., x k n nuqtalari topiladi va x k 1 =x k 0 +l 1 S k 1 = x k 1 +l 2 S k 2, ..., x k n =x k n-1 +l n S k n.
2. Birinchi bosqichda olib borilgan izlanish, masalan, S i yo'nalishlardan birida funksiyaning kichikroq qiymatini topishning iloji bo'lmasa, chiziqli bog'liq yo'nalishlarga olib kelishi mumkin. Shunday qilib, 2 yo'nalish bir-biriga mos kelishi mumkin. Shuning uchun, konjugat yo'nalishlar tizimida, agar bunday almashtirishdan keyin yangi to'plamning yo'nalishlari chiziqli bog'liq bo'lsa, eski yo'nalishni yangisiga almashtirmaslik kerak.
Kvadrat funktsiya misolida Pauell qidiruv yo'nalishlarini munosabatlarga muvofiq normallashtirishda:
(S k i) H S k i =1, i=1,n ,
Ustunlari qidirish yo'nalishlarini ifodalovchi matritsaning determinanti, agar S k i H matritsaga nisbatan o'zaro konjugatsiyalangan bo'lsa, maksimal qiymatni oladi. U k-qadamdagi to'liq harakat yo'nalishi oldingi yo'nalishni almashtirish vektori qidiruv yo'nalishi matritsasining determinantini oshirsagina o'rnini bosishi kerak degan xulosaga keldi. Shundan keyingina yangi yo'nalishlar to'plami samaraliroq bo'ladi.
Bunday tekshirish uchun x k n nuqtadan (x k n -x k 0) yo'nalishda k -chi bosqichda to'liq harakatga mos keladigan qo'shimcha qadam qo'yiladi va nuqta (2x k n -x k 0) olinadi. 3-bosqich yangi yo'nalish kiritilganda qidiruv yo'nalishi matritsasi determinanti ortib borishini tekshirish uchun amalga oshiriladi.
3. Eng katta kamayishni belgilang f( k m .
Belgilang:
f 1 \u003d f (x k 0), f 2 \u003d f (x k n), f 3 \u003d f (2x k n -f 1 \u003d f (x k 0),
bu erda x k 0 \u003d x k-1 n, 
.
Keyin, agar f 3 ≥f 1 va (yoki) (f 1 -2f 2 +f 3) (f 1 -f 2 -D k) 2 ≥0,5*D k (f 1 -f 3) 2 bo‘lsa, unda siz kerak. (k+1) -chi bosqichda xuddi k - bosqichdagi kabi S k 1 , ... , S k n yo'nalishlaridan foydalaning, ya'ni S k+1 i =S k i , i=1,n , va boshlang. x k+1 0 =x k n nuqtadan yoki x k+1 0 =2x k n -x k 0 =x k n+1 nuqtadan, funksiya minimal qiymatni oladigan nuqtadan izlash.
4. Agar 3-bosqichdagi test muvaffaqiyatsizlikka uchrasa, u holda x k 0 dan x k n gacha chizilgan S k n+1 vektor yo‘nalishi bo‘yicha minimal f(x) izlanadi: S k n+1 =(x k n -x k 0 ). Bu minimumning nuqtasi (k+1) -chi bosqichda boshlang'ich nuqta sifatida olinadi. Va konjugat yo'nalishlar tizimida S k m yo'nalishidan tashqari hamma narsa saqlanib qoladi, bu yangi yo'nalish bilan almashtiriladi S k n+1 , lekin yangi yo'nalish yo'nalish matritsasining oxirgi ustuniga joylashtiriladi. (k+1) -chi bosqichda yo'nalishlardan foydalaniladi
= .
5. To'xtatish mezoni. Har bir o'zgaruvchining o'zgarishi mos keladigan o'zgaruvchida ko'rsatilgan aniqlikdan kam bo'lsa yoki ||x k n -x k 0 ||≤e bo'lsa, algoritm tugatiladi.
Yechim:
Funktsiya gradienti: 
To'xtash mezonini tekshiramiz: |▽f(X 0)|< ε
Funktsiyaning f(X 0) = 45 boshlang'ich nuqtasidagi qiymatini hisoblaymiz.
Qidiruv yo'nalishi:
p 1 = T
p 2 = T
f(X 1) = 4(8-5) 2 +((h+9)-6) 2 → min
f(X 1) = h 2 +6h+45 → min
Shu yo‘nalish bo‘yicha maqsad funksiyasi minimumga yetadigan h qadam topamiz. Funktsiya ekstremumining mavjudligi uchun zaruriy shartdan (f "(x 1) \u003d 0):
2h+6 = 0. Qadamni oling: h = -3 
f(X 2) = 4((h+8)-5) 2 +((6)-6) 2 → min
f(X 2) = 4s 2 +24s+36 → min
Shu yo‘nalish bo‘yicha maqsad funksiyasi minimumga yetadigan h qadam topamiz. Funktsiya ekstremumining mavjudligi uchun zaruriy shartdan (f "(x 2) \u003d 0):
8h+24 = 0. Qadamni oling: h = -3
Ushbu bosqichni bajarish quyidagi nuqtaga olib keladi: 
f(X 3) = 4(5-5) 2 +((h+6)-6) 2 → min
f(X 3) = h 2 → min
Maqsad funksiyasi shu yo'nalish bo'ylab minimumga yetadigan h qadamni topamiz. Funktsiya ekstremumining mavjudligi uchun zaruriy shartdan (f "(x 3) \u003d 0):
2h = 0. Qadamni oling: h = 0
Ushbu bosqichni bajarish quyidagi nuqtaga olib keladi:
p 2 \u003d T - T \u003d [-3; 0] T
Keling, to'xtash mezonini tekshiramiz:
|▽f(X 3)|< ε
Funktsiyaning boshlang'ich f(X 3) = 0 nuqtasidagi qiymatini hisoblaymiz.
Javob: X=T
x 1 4 +2*x 2 4 +x 1 2 *x 2 2 +2*x 1 +x 2
funktsiya gradienti
+h
-0.5
+h
-0.7413
+h
+ 0.09038
+h
+ 0.02394
+h
+ 0.000178
+h
+ 0.000243
-0.741
0.0904
=
-0.759
-0.4074
Javob: X = [-0,759;-0,4074] T ▽ f(X 6) = -0.00093
-0.0103
Keling, to'xtash mezonini tekshiramiz:
|▽f(X 6)|
Yangi f(X 6) = -1,443 nuqtadagi funksiya qiymatini hisoblaymiz.
Qidiruv yo'nalishi: p 1 = T, p 2 = T
Qidiruv yo'nalishlaridan biri p 2 = T. Biz iteratsiya jarayonini yakunlaymiz.
Javob: X = [-0,759;-0,4074] T