Mavzu:  Doira, aylana. Kompas. Markaz, radius. Kompas bilan doira qurish.

Maqsad:

Ta'lim:   Doira va uning elementlari (markaz va radius) haqida dastlabki g'oyalarni shakllantirish;

yangi chizish vositasi - kompas va teshikka ishlov berish uchun xavfsizlik qoidalari bilan tanishish; o'quvchilarning e'tiborini, fikrlashini, kognitiv faolligini, mavzuga bo'lgan qiziqishini, kompas va o'lchagich yordamida doira va radiusni qurish qobiliyatini rivojlantirishga ko'maklashish;

Ishlab chiqilmoqda:   o'rganilayotgan mavzuga bo'lgan qiziqishni, tahlil qilish, taqqoslash va mulohaza asosida xulosa chiqarish qobiliyatini rivojlantirish; talabalarning so'z boyligini boyitish, qo'llab-quvvatlanadigan so'zlar asosida jumlalar tuzish qobiliyatini shakllantirish;

Ta'lim:   kognitiv faollikni, o'quv motivatsiyasini oshiradi, barkamol shaxsning rivojlanishiga hissa qo'shadi; juft bo'lib ishlashni o'rganish, o'rtoqlarning fikrlarini hurmat qilish.

Tuzatuvchi - rivojlanmoqda : idrok etish mashqlaridan foydalanish orqali o'quvchilarning bilim faolligini to'g'rilash va rivojlantirish.

Darsning borishi.

I. Org. lahza  (She'r yordamida hissiy kayfiyat.)

- Keling, hamma darsga tayyorligini tekshirib ko'raylikmi?

Tabassum quyosh kabi.

Bulutlar singari qip-qizil.

Yomg'ir kabi yig'lang.

Agar kamalakni ko'rgandek hayron bo'l.

II. Uy vazifasini tekshirish.

Rasmlarni ko'ring. Ularda qaysi fasllar tasvirlangan.

Har bir mavsum uchun mos oylarni tanlang. (Kuz - sentyabr, oktyabr, noyabr. Qish - dekabr, yanvar, fevral. Bahor - mart, aprel, may. Yoz - iyun, iyul, avgust).

Oy nomlarini tartibda oling.

III. Og'zaki hisob.

Dumaloq o'nlablarni nomlang.

56 dan 61 gacha, 28 dan 38 gacha, 89 dan 100 gacha.

46 72 dan oshdi

34 83 dan kam

89 - 9 ta desert orasida.

100 - 10 ta shirin orasida.

Rasmlardagi narsalar qanday geometrik shakllar.

IV. Dars mavzusiga oid xabar.

1 . - Stollaringizda ozgina barglaringiz bor, qalam oling va doira chizing.

Siz teng doira oldingizmi?

Qanday qilib teng doira chizish mumkin?

Hayotda qayerda doira bilan uchrashishimiz mumkin?

Sizningcha, darsda nimani bilib olamiz?

Biz kompaslardan foydalanib doira qurishni o'rganamiz.

Lekin avval doira nima va doira nima ekanligini ko'rib chiqing.

Ikki aka-uka biznikiga kelishdi. (Magnit doskada)

Aylana va doira
Biz akam bilan birga yashaymiz, biz juda ko'p birga bo'lamiz
Biz varaqqa krujka qo'yamiz, uni qalam bilan aylantiramiz.
Sizga kerak bo'lgan narsa aniqlandi - aylana deb nomlangan.
Rassom akam o'zini usta deb biladi,
Doira ichidagi hamma narsalarni u qalam bilan bo'yadi.
Bu erda qizil doira, doira, chekka atrofida ko'k uzuk.

Doira chegarasi - bu doira.

Davrada bitta qiz do'sti bor

Uning ko'rinishini hamma biladi!

U aylananing chetida yuradi

Va chaqirdi - aylana!

2. Daftarlarda ishlash.

- Bugungi raqamni yozib oling. Sinf ishi.

Endi stolingizdagi shablonni olib, daftar varag'iga joylashtiring va ko'k qalam bilan aylaning. Shablonni olib tashlang. Chiziqning nomi nima? ko'k rang  daftarlaringizda?

Bolalar, endi qizil qalamni oling va daftarlaringizga ko'k chiziq ichidagi barcha narsalarni bo'yab qo'ying. Siz qaysi raqamni oldingiz?

3. Kompas yordamida doira qurish.

a) - Endi biz kompas yordamida doira qurishni o'rganamiz.

Kompas bilan ishlashni boshlashdan oldin, kompasning tuzilishini va qoidalarini eslang xavfsizlik. Kompas ikkita oyoqdan iborat, bitta ignaning uchida, boshqasining oxirida - qo'rg'oshin. Bosh tomonidan biz kompas juftligini ushlab turamiz va aylantiramiz.

b) - Biz kompas va o'lchagichni olamiz, kompas ignasini 0 ga qo'llaymiz va boshqa kompas oyog'ini 2 sm ga o'tkazamiz.

Endi kompasni daftarga o'tkazing. Kompasning o'tkir uchini bir joyda saqlashga harakat qiling va harakat qilmang. Doira tuzing.

c) - kompasning ignasi turgan joyda nuqta qo'ying.   Bu aylananing markazi.

Endi doira ichida biron bir nuqtani qo'ying va markazni chizgich yordamida doira nuqtasiga ulang.

Chiziq - aylananing radiusi.

Amaliy ish.

Endi bu ishni takrorlang. Aylananing istalgan joyiga boshqa bir nuqta qo'ying. Uni markazga ulang.

Siz nima oldingiz?

· Bolalar javob berishadi: biz boshqa radiusga ega bo'ldik.

Markazga aylaning

Biz uzun mo'ylovni tortamiz

Har uchinchi o'quvchi biladi

Bu aniq - radius!

V. Jismoniy tarbiya.

VI. Mahkamlash. Darslik ustida ishlash.

- O'quv qo'llanmani 109-betda oching, qoidani o'qing.

Nazoratni 2-betni bajaring 109-bet

5-betni 110-betni bajaring

O'yin "Aylana yoki aylana".

(Bolalar, agar u aylana bo'lsa, chapak chalishadi, agar u aylana bo'lsa, qo'llari bilan uzukni ko'rsatish.) Rasmlarni ko'rsatish.

Faoliyatni aks ettirish (darsning xulosasi).

Bugun darsda biz geometrik figurani uchratdik ...

Doira chegarasi ...

Davrani ... yordamida chizish mumkin.

Agar siz darsda muvaffaqiyat qozongan bo'lsangiz, ko'rsating yashil doira  agar siz hali ham hal qilinmagan muammolarga duch kelsangiz - sariq doira, agar siz hali ham yordamga muhtoj bo'lsangiz - qizil doira

Uy vazifasi. Qoidani o'rganing 109-bet

Doira markazini hech qanday vositasiz qanday topish mumkin?
  Oson! Sizga faqat qalam, qaychi va qog'oz kerak bo'ladi. Hukmdor ham kerak emas!
   Agar doira allaqachon tayyor bo'lsa va qog'oz varag'i hatto qirralarga ega bo'lsa, unda siz bitta qalam bilan qaychi qilmasdan qilishingiz mumkin, ammo aniqlik uchun biz aylanani kesib tashlaymiz va bizda notekis qirrali qog'oz bo'ladi, shuning uchun biz qaychi ishlatamiz.
  Shunday qilib, berilgan:  Dumaloq naqsh bilan chizilgan doirani (markaz darhol igna bilan belgilanadi) emas, balki dumaloq narsaning atrofiga qalam chizish bilan, masalan, tovoq, likopcha, stakan yoki idish-tovoq, qadoqlash va hokazolarning biron bir qopqog'idan.



   Qo'lga kelgan birinchi narsani oling - kompyuter yonida turgan gul idishidan stend. Ammo markazda teshik bor va siz darhol igna yoki chinnigullar olib, markazni belgilashingiz mumkin. Ammo biz oson yo'llarni qidirmaymiz va bunday imkoniyatni e'tiborsiz qoldiramiz.
   Biz qalam bilan stendni aylanib, yashil qog'ozga doira chizamiz (men daftarchaning qopqog'ini oldim, ayniqsa kontrast uchun).

Chizilgan chiziq bo'ylab doira kesib oling. Aynan siz markazni topishingiz kerak.

Biz bir varaq qog'ozni olamiz (har biri mos, asosiysi o'lchamiga mos bo'lishi kerak). Bunday holda, daftarcha varaqasi etarli. Agar doira katta bo'lsa, unda siz, masalan, katta formatli gazetani olishingiz mumkin. Printsip hali ham bir xil: bizga kerak bo'ladi kvadrat varaq, ya'ni.., tomonlarining barchasi bir-biriga teng bo'lishi kerak.
   Daftar varag'i, oddiy qog'oz varag'i singari, to'rtburchaklar shaklga ega, kvadrat shaklga ega emas (gazeta varag'i - shunga o'xshash).

   Qanday qilib uni kvadrat shaklida qilish kerak? - Fotosuratda ko'rsatilgandek burchakdan burchakka egilib.

Hayotida hech bo'lmaganda bir marta qog'ozli samolyot yoki boshqa qog'oz o'yinchoq yasagan har bir kishi bu qanday amalga oshirilayotgani haqida yaxshi tasavvurga ega.

Fotosuratda daftarchadagi varaq noto'g'ri yirtilganligi ko'rsatilgan, shuning uchun biz yirtilgan qirralarning aralashmasligi uchun egilamiz va varaqni bükgandan keyin ularni qaychi bilan kesib tashladik. Biz varaqning qarama-qarshi tomonidagi "to'rtburchaklar" ning ortiqcha qismini egamiz va tulki yana tekislanganda aniq ko'rinadigan qilib egilamiz.

Ushbu katlama chiziq, shuningdek, qirralarning maydonning ikki tomoniga tegishi uchun biz uni qo'llaganimizda aylananing diametrini ham aytib beradi. Doira chetlarida qalam bilan belgilar qo'ying.

Varaqning bukilgan tomonini o'lchagich sifatida ishlatib (biz boshida biz buni qilmasdan bajarishga rozi bo'ldik) bu belgilar bilan bog'laydigan chiziq chizamiz.

Biz aylanani buramiz va shunga o'xshash tarzda boshqa diametr uchun nuqtalarni belgilaymiz.

Ushbu chiziqlarning kesishishi aylananing markazi bo'ladi. Buni tekshirish uchun biz aylanamizni yana bir necha marta aylantira olamiz, har safar uning chetini kvadrat tomoniga qo'llaymiz va kvadratning katlama chizig'iga qarama-qarshi chizilgan chiziqlar bilan chizamiz.

Ularning barchasi doira markazida kesishadi, agar ish sekin va aniq bajarilsa.
   Ushbu printsip uy ustaxonasida yog'och adyolning markazini aniqlash zarur bo'lganda ishlatilishi mumkin. Va buni amalga oshirish juda oson, bu markalashni sezilarli darajada osonlashtiradi.

Yassi yumaloq ignabargli markazni topish juda oddiy usul mavjud.

  Siz qilishingiz kerak bo'lgan narsa - uni perimetri bo'ylab aylantirib, qog'ozga qo'ying, so'ng chizilgan chiziq bo'ylab doira kesib, to'rt marta egilib, markaz topiladi. U burmalarning chorrahasida joylashgan.
  Varaqani kengaytirish, qirralarning o'rtasiga bir-biriga yaqinlashishi uchun uni ish qismiga qo'ying, masalan o'tkir narsalar bilan eslatma qiling.

Va 9-sinf o'quvchilari, guruh "Nazariyotchilar"

Guruh tadqiqot mavzusi

"Doimiy ko'pburchaklar" mavzusidagi muammolarni hal qilish uchun zarur bo'lgan asosiy nazariy materialni o'rganish,

muntazam poligonlarni qurish bilan bog'liq muammolarda.

O'quv maqsadlari

Savollarga javob berish:

1) Doimiy ko'pburchaklar haqida nimalarni bilamiz?

2) Huquq elementlarini topish muammolarini hal qilishda qanday formulalar kerak

ko'pburchak va uning maydoni?

3) Oddiy ko'pburchak qanday quriladi?

Tadqiqot natijalari

Ta'rif:

To'g'ri deyiladi konveks ko'pburchakuning barcha burchaklari va barcha tomonlari teng.

Asosiy formulalar:

1. Oddiy ko'pburchakning yon tomoni a \u003d 2R sin 180 / n

2. Yozilgan aylananing radiusi r \u003d R cos 180 / n

3. Oddiy ko'pburchakning maydoni S \u003d 1/2 Pr

Kompas va o'lchagich yordamida qurilishning geometrik vazifalari qadimgi Yunonistonda Evklid va Aflotun davrida paydo bo'lgan. Hatto o'sha kunlarda ham matematiklar kompas va o'lchagich yordamida muntazam uchburchaklar, beshburchak va maydonlar qurishga muvaffaq bo'lishgan. Bundan tashqari, ular burchakni yarmiga bo'lish uchun kompas va o'lchagichdan qanday foydalanishni bilishgan, shuning uchun ular muntazam 6, 10 va 15 burchaklarni va barcha muntazam n-burchaklarni qanday qurishni bilishgan. Bir o'lchagich yordamida faqat chiziq segmentlari chiziladi va segmentlarning uzunligi o'lchagichga bo'lingan emas, balki kompas yordamida o'lchanishi juda muhimdir. Shunday qilib, ushbu vositalar yordamida to'rtta arifmetik operatsiyalar (qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish) va kvadrat ildizni ajratib olish yordamida 1 dan olingan son bilan ifodalanadigan segmentni qurish mumkin. I.e. boshida uzunligi 1 ga teng bo'lgan segment mavjud, keyin uzunligi ratsional songa yoki ratsional sonning kvadrat ildiziga teng bo'lgan segmentni qurishimiz mumkin. Bundan tashqari, agar a uzunlik kesimi kompas va o'lchagich yordamida qurilgan bo'lsa, u holda arifmetik va kvadrat ildizlar yordamida ifodalangan b uzunlik segmentini tuzish mumkin. Aytilishicha, bunday raqam kvadrat radikallarda ifodalangan. Shunday qilib, kompas va o'lchagichdan foydalanib, uzunligi kvadrat radikallar bilan ifodalangan segmentni qurishingiz mumkin. Bularning barchasini qadimgi Yunoniston matematiklari bilishgan. Boshqa muntazam ko'pburchaklarni qurish vazifasi (yoki bunday inshootlarning mumkin emasligini isbotlash) keyingi ikki ming yil davomida hal etilmadi va uni Göttingen universitetining filologiya fakulteti nemis talabasi Karl Fridrix Gauss 1796 yilda hal qildi. O'sha paytda Gauss 18 yoshda edi va u filologiya va matematika darslari orasida yirtilib ketgan va yakuniy tanlov qila olmagan. Qadimgi muammoni hal qilish unga matematikaning foydasiga (va uning foydasiga) yakuniy tanlovni amalga oshirishga yordam berdi. Agar Gauss filolog bo'lib qolsa, matematikaning rivojlanishi qanchalik sekinlashadi deb o'ylash dahshatli! Hozirgacha butun dunyo matematiklari Gaussni matematiklarning qiroli deb atashadi.

Doiraning to'rtga, sakkizga bo'linishi teng qismlar. Doimiy to'rtburchak va sakkizburchakni qurish.

Bir-biriga perpendikulyar ravishda chizilgan nuqta bilan chizilgan markaziy chiziqlar aylanani to'rt teng qismga ajratadi. Ularning uchlarini izchil bog'lab, biz muntazam to'rtburchaklar olamiz (64-rasm).

Aylanani sakkiz teng qismga bo'lish uchun, aylananing 1/4 qismiga teng bo'lgan kamonni ikkita teng qismga bo'lish kerak. Shunday qilib, aylananing 1/8 qismiga (A4 \u003d A3) teng bo'lgan yoyni olamiz. Kompasning A3 yoki A4 ga teng bo'lgan eritmasi bilan aylanada serif hosil qilamiz va uni sakkiz teng qismga ajratamiz. Seriflarni ketma-ket segmentlar bilan bog'lab, biz muntazam sakkizburchak olamiz (64-rasm).

Oddiy olti burchakli burchakni yarating, uning tomoni bu segmentga teng.

Muammoni hal qilish uchun a \u003d P. formulasidan foydalanamiz, PC berilgan segment bo'lsin. Biz radiusli kompyuter doirasini quramiz va unga o'zboshimchalik bilan A1 nuqtasini belgilaymiz. Keyin, kompas eritmasini o'zgartirmasdan, A1A2 \u003d A3A4 \u003d A5A6 tengliklari bajarilishi uchun ushbu aylana bo'yicha A2, A3, A4 ..... A6 nuqtalarni quramiz. Ushbu nuqtalarni segmentlar bo'yicha ketma-ket bog'lab, biz kerakli A1A2A3A4A5A6 normal olti burchakli olamiz.

Doiraning besh va o'n teng qismlarga bo'linishi. Doimiy pentagon va dekagon qurish.

Aylanani besh teng qismga bo'lish uchun OA aylanasining radiusining o'rtasini topamiz. B nuqtani markaz sifatida olib, radiusi E gorizontal diametri bilan E nuqtada kesishguncha teng bo'lgan kamonni torting, I segment segmenti beshburchakning yon tomoni. OE segmenti oddiy yozilgan dekagonning yon tomoniga to'g'ri keladi. Aylananing 1/5 va 1/10 qismiga teng qiymatni ajratib, uni besh va o'n teng qismlarga ajratamiz. Seriflarni (n-gon qirralarini) ketma-ket segmentlar bo'yicha bir-biriga bog'lab, biz doimiy beshburchak va dekadonlar olamiz (65-rasm).

Doiraning uch, olti, o'n ikkita teng qismlarga bo'linishi. Doimiy ko'pburchaklarni qurish.

Doiraning uchta teng qismga bo'linishi quyidagicha. S nuqtasi (66-rasm), yoy chizilgan markazdan olinadi, uning radiusi aylana radiusiga teng. Chizilgan yoy 2 va 3 nuqtalarda doira bilan kesishadi. 1-2, 1-3, 2-3 arklar aylananing uchinchi qismidir. 1, 2 va 3 nuqtalarini bog'lab, biz muntazam uchburchak olamiz.

Doirani oltita teng qismga bo'lish uchun, uning har qanday nuqtasidan, biz aylananing radiusiga (R) teng segmentlarni qoldiramiz. Olingan yoylar aylanani oltita teng qismga ajratadi. 1, 2, 3, 4, 5, 6 nuqtalarni olti burchakli uchlari sifatida olgach, rasmda ko'rsatilgandek, biz ularni chiziq segmentlari bo'yicha bog'laymiz. 67, a. Shunday qilib, biz odatdagi olti burchakli oltini quramiz.

Doiraning o'n ikkita teng qismga bo'linishi doira radiusining yarmiga teng bo'lgan segmentlarni (R / 2) har qanday nuqtadan kechiktirishga asoslanadi. Olingan yoylar aylanani o'n ikkita teng qismga ajratadi. Dodekagonning yuqori qismidagi har bir serifni olib, ularni ketma-ket bog'lab, biz to'g'ri dodekagonni va radiusning ta'rifini olamiz (67-rasm, b).

Arkning markazini topish va radiusini aniqlash.

Chizmalarni bajarish amaliyotida yoyning markazini topish va uning radiusining qiymatini aniqlash kerak bo'lishi mumkin. Buning uchun ikkita parallel bo'lmagan akkord o'tkazing va ularning o'rtalarida perpendikulyarlarni tiklang. Perpendikularning kesishish nuqtasi (O nuqta) yoyning markazidir (68-rasm). Markazdan yoy radiusining qiymatini o'lchang.

Agar biron-bir oddiy n-gon qurilgan bo'lsa, unda kompas va o'lchagich yordamida oddiy 2n-gonni qurish mumkin. Keling, ushbu A1, A2 ko'pburchak atrofida aylana tasvirlaymiz. Buning uchun biz A1 A2 va A2 A3 segmentlariga a va b o'rta perpendikular quramiz (n \u003d 4 rasmda). Ular bir nuqtada O. kesishadi. A O1 radiusli O markazi A doirasi A1 A2 ko'pburchak atrofida aylantirilgan ... An. Endi biz A1 A2, A2A3, ..., An A1 yoylarini mos ravishda B1, B2, ..., Bn o'rta chiziqlarini quyidagicha quramiz. B1 va B2 nuqtalari A1 A2 va A2 A3 yoylari bilan a va b chiziqlarning kesishish nuqtalari sifatida olinadi. B3 nuqtani qurish uchun A3 B2 radiusli A3 markazi bilan doira chizing. Ushbu aylananing aylanayotgan aylana bilan kesishish nuqtalaridan biri B2 nuqtasi, ikkinchisi esa kerakli B3 nuqtadir. B4, ..., Bn nuqtalari xuddi shunga o'xshash tarzda qurilgan. B1, B2, ..., Bn nuqtalarning har birini tegishli yoyning uchlari bilan segmentlarga bog'lab, biz 2n-gon A1B1A2B2A3 ni olamiz ... Aylana ichiga yozilgan ko'pburchakda teorema bo'yicha to'g'ri bo'lgan Bn ni olamiz.

Rasmda A1B1A2 ... B4 muntazam sakkizburchak A1A2A3A4 to'rtburchagidan foydalanib qurilgan. Shunday qilib, agar biz kompas va o'lchagich bilan muntazam n-gonni qura olsak, unda n musbat butun son bo'lsa, unda normal 2n-gon, 4n-gon va umuman, a (2 ^ k * n) -gonni qura olamiz, bu erda k har qanday natural son. Mashhur nemis matematiki K. F. Gauss (1777-1855) quyidagi qiziqarli teoremani isbotladi: Agar o'lchov va kompas yordamida muntazam n-gonni qurish mumkin, agar n soni quyidagi omillarga ega bo'lsa: n \u003d 2 ^ m * 2 * p1 * p2 ... ps, bu erda m manfiy bo'lmagan butun son, p1, p2, ..., ps 2 ^ 2 ^ k + 1 shaklidagi turli tub tublardir. Keling, ushbu teoremani qo'llash misollarini ko'rib chiqaylik. M \u003d 0, s \u003d 1 uchun n soni n \u003d 2 ^ 2 ^ k +1 shakliga ega. 0, 1, 2, 3, 4 ga teng k qiymatlar uchun n \u003d 3, n \u003d 5, n \u003d 17, n \u003d 257, n \u003d 65 537. m \u003d 0, s \u003d 2 uchun n \u003d p1p2 bo'ladi. Agar, masalan, p1 \u003d 3, p2 \u003d 5 bo'lsa, u holda n \u003d 15. Shuning uchun, Gauss teoremasiga binoan, biz keyinroq ko'rib turganimizdek, kompas va o'lchagich bilan muntazam 15 gonni qurishimiz mumkin. 7 raqami zo'r, ammo bu 2 ^ 2 ^ k +1 shaklining raqami emas, shuning uchun siz kompas va o'lchagichdan foydalanib, oddiy heptagonni qura olmaysiz. Xuddi shu tarzda, siz oddiy heptagonni qura olmaysiz. Va nihoyat, ta'kidlaymizki, 360 \u003d 2 ^ 3 * 3 ^ 2 * 5 raqami Gauss teoremasini qoniqtirmaydi, chunki 3 raqami ikki marta omilga kiritilgan. Shunday qilib, odatiy 360 gon kompas va o'lchagich bilan qurib bo'lmaydi. Boshqacha qilib aytganda, aylanani 360 teng qismga bo'lolmaysiz va shuning uchun kompas va o'lchagich bilan 1 ° burchakni qura olmaysiz.

1-topshiriq.  Oddiy olti burchakli va uchburchakni qurish.

Formulaga ko'ra an \u003d 2R * sin180 ° / n, doimiy olti burchakli AB tomoni aylananing aylanish radiusi R ga teng. Shunday qilib, agar ixtiyoriy segment PQ berilgan bo'lsa, uning tomonlari PQ ga teng bo'lgan oddiy olti burchakni qurish uchun radiusli PQ aylanasini tuzish kifoya qiladi, uning ustiga o'zboshimchalik bilan A nuqtasini oling va kompas eritmasini o'zgartirmasdan, bu doirada B, C, D nuqtalarini ketma-ket belgilab qo'ying. E, F shunday qilib AB \u003d BC \u003d ... \u003d EF \u003d PQ. AB, BC, CD, DE, EF, FA segmentlarini chizgandan so'ng, biz ABCDEF olti burchakli olamiz, bu odatiy ko'pburchakdagi teoremaga muvofiq, uning tomonlari PQ segmentiga teng.

Olingan aylana O va R radiuslari markazida joylashtirilsin. O nuqtadan AC diametrini chiqaring va V aylanasi B va D nuqtalari bilan kesishadigan bu diametrga o'rta perpendikulyar chizing. Endi ketma-ket ulang. a, B, C nuqtalari va D. ABCD talab qilingan kvadrat.

Oddiy sakkizburchakni qurish uchun avval odatiy to'rtburchakni, masalan, A1A3A5A7 kvadratini, so'ngra A2, A4, A6, A8 nuqtalarini aylantiradigan A1OA3, A3OA5, A5OA7, A7OA1 burchaklarini bisektorlarini qurish kerak, keyin A1 nuqtalarini bog'lang. , A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8. A1A2 ... A8 talab qilinadigan sakkizburchak.

Kompas va o'lchagich yordamida kompozitsiyalar - qadimgi zamonlardan beri ma'lum bo'lgan Evklid geometriyasining bo'limi.

Qurilish muammolarini hal qilishda quyidagi operatsiyalarni bajarish mumkin:

Oddiy misol

• Samolyotda o'zboshimchalik bilan, qurilgan chiziqlardan biriga yoki ikkita qurilgan chiziqlarning kesishish nuqtasiga belgi qo'ying.
• Kompasdan foydalanib, qurilgan nuqtada markazlashtirilgan doirani chizib oling, u allaqachon qurilgan ikkita nuqta orasidagi masofaga teng.
• Bir o'lchagichdan foydalanib, ikkita qurilgan nuqta orqali chiziq torting.

Bunday holda, kompas va o'lchagich ideal vositalar hisoblanadi, xususan

• Chiziq bo'limi yo'q va cheksiz uzunlikning faqat bitta tomoni bor.
• Kompas o'zboshimchalik bilan katta echimga ega bo'lishi mumkin.

3-topshiriq.  Kompas va o'lchagich yordamida AB segmentini ikkita teng qismga bo'ling. Bir yechim rasmda ko'rsatilgan:

• Kompasdan foydalanib, AB radiusi bilan A nuqtada markazlashtirilgan doira chizing.
• AB radiusi bilan B nuqtada markazlashtirilgan doira chizing.
• Ikkala aylananing P va Q kesishish nuqtalarini topamiz.
• Bir o'lchagich yordamida P va Q nuqtalarini bog'laydigan chiziq chizing.
• AB va PQ ning kesishish nuqtasini toping. Bu AB segmentining istalgan o'rta nuqtasi.

Doimiy ko'pburchaklar

Oddiy pentagon kompas va o'lchagich yordamida, yoki uni aylanaga kiritish orqali yoki biron bir tomonga asoslanib qurilishi mumkin. Bu jarayon Evklid tomonidan "Miloddan avvalgi 300 yil" asarida tasvirlangan. e. Berilgan aylanada oddiy beshburchakni qurish usullaridan biri:

1. Pentagon yoziladigan doira tuzing va uning markazini O. deb belgilang (bu o'ngdagi diagrammadagi yashil doira). 2. Aylanada pentagonning uchlaridan biri bo'lgan A nuqtasini tanlang. O va A chiziqlari orqali chiziq chizing. O nuqtadan o'tuvchi OA chizig'iga perpendikulyar chiziq chizing. Uning kesishmalaridan birini B nuqtasi bilan aylana bilan belgilang. O va B o'rtalari orasidagi C nuqtani chizing. A nuqta uning to'g'ri kesishgan chizig'ini OB (asl doiraning ichida) D nuqtasi sifatida belgilang. A dan D gacha bo'lgan nuqtaga chizilgan doirani chizing. Uning kesishishini asl (yashil doira) E va F nuqtalari sifatida belgilang. 7. Aylana bilan chizma. markazidan E orqali A nuqtagacha uning boshqa kesishish nuqtasini belgilang keyin bir doira amalga nuqtasi G. 8. Xat sifatida dastlabki doira boshlang'ich nuqtasi H. 9. bino bo'lib, boshqa doira bilan kesishishi belgilang nuqtasi A orqali F da markazli muntazam beshburchak  AEGHF.

Erimaydigan muammolar

Qadimgi davrlarda quyidagi uchta qurilish vazifasi qo'yilgan:

• Burchakni kesib tashlash - o'zboshimchalik burchagini uchta teng qismga bo'ling.
• Kubni dublyaj qilish - berilgan chetga ega bo'lgan kubdan ikki baravar katta bo'lgan chekka qismini qurish.
• Doira kvadrati - berilgan doiraga teng kvadrat quring.

Faqat XIX asrda barcha uchta vazifani kompaslar va o'lchagichlar hal qila olmasligi isbotlandi. Qurilishning imkoniyati haqidagi savol Galois nazariyasiga asoslangan algebraik usullar bilan to'liq hal qilinadi.

Kompas va o'lchagich yordamida hal qilinmaydigan yana bir taniqli muammo bu berilgan uchtaga ko'ra uchburchakning qurilishi.

1. Kolmogorov A.N. Oddiy ko'pburchaklardan yasalgan parket. Kvant jurnali № 3, 1970 yil

2. Shashkin Yu.A. Parket pollari.

3. Sovetkov P.I., olxo'ri M.V., Xoxlov D.N. Kompyuter ekranidagi geometrik parket. "Informatika va ta'lim" jurnali, 9-2002.

4. Kitobdagi materiallar asosida: W. Ball, G. Coxeter. Matematik insholar va o'yin-kulgi. Per ingliz tilidan - M .: Mir, 1986. - 474 b. cho'kindi bilan

Ivanitskaya V.P. tomonidan tahrirlangan. - M .: RSFSR Ta'lim vazirligining davlat o'quv va pedagogik nashriyoti, 1959. - 272 b.
Yuklab oling  (to'g'ridan-to'g'ri havola) :   egnnsholaster1959.djvu Oldingi 1 .. 50\u003e .. \u003e\u003e Keyingi

§ 53. Bitta kompas bilan konstruktsiyalar

14-§da biz bitta kompas yordamida qurilish haqida gaplashdik. Keling, kompas va o'lchagich orqali barcha qurilishlarni bitta kompas tomonidan amalga oshirilishini isbotlaymiz. Buning uchun biz VI bobda ko'rib chiqqan inversiya o'zgarishidan foydalanamiz.

Avvalo, berilgan aylanaga nisbatan qarama-qarshi nuqtani qurish uchun bitta kompasdan qanday foydalanishni ko'rsatamiz.

Berilgan nuqta A ga, inversiya aylanasi bo'lsin.

1-vaziyat. OA\u003e y, bu erda r - burilish aylanishining radiusi (150 a, 150 b-rasm).

Biz A ning aylanasini O aylanasi (P va Q nuqtalari) bilan uning kesishgan nuqtasidan A \\ ga o'ralgan AO radiusli doira quramiz.

markazlar sifatida biz radiusli r doiralarni quramiz. Ushbu so'nggi ikki doira, O nuqtasidan tashqari, istalgan A nuqtada A "" kesishadi.

Darhaqiqat, O9 A Yi A nuqtalari "PhQ nuqtalaridan bir-biriga teng bo'lgan nuqtalar kabi bir tekis chiziqda yotadi. Bundan tashqari, AOPA - bu oo DORL", chunki bu uchburchaklar isoscellardir va O.

yoki OA "OA \u003d OP2 \u003d r2, ya'ni A va A" o'zaro teskari nuqtalardir.

Jahannam 150 a

Jahannam 150 b

Ish 2. OA<

N - OA\u003e y bo'lgan n musbat butun sonni tanlaymiz

arximed aksiomasi tufayli har doim mumkin). OA nurida biz B nuqtasini olamiz, shunda OB \u003d n - OA bo'ladi (151-rasm). Biz S nuqtasini, B nuqtaga teskari va OA nuriga quramiz

a n nuqtasi "shunday qilib, \u003d n-OB. Keyin bizda:

OA "\u003d OA - p-OV" \u003d \u003d (p-OA) -OV "- \u003d \u003d OB-OB" \u003d r \\

ya'ni A nuqtasi Iblisga teskari

Bitta kompas yordamida segmentni ikki baravar oshirishimiz mumkin (14-§), bu holda biz barcha kompozitsiyalarni bitta kompas yordamida amalga oshirishimiz mumkin.

Endi berilgan uchta O1 A va B nuqtalardan o'tadigan aylananing markazini yaratish uchun bitta kompasdan qanday foydalanishni ko'rsatamiz (152-rasm).

Biz O nuqtada markazlashtirilgan doira quramiz va uni inversiya aylanasi sifatida olamiz. Keyin A va B nuqtalariga teskari ("bitta kompas" yordamida) A va B nuqtalarini quramiz. Chizmani soddalashtirish uchun A nuqtadan o'tuvchi inversiya aylanasini olamiz, keyin A va A nuqtalari "mos keladi. Bitta kompas yordamida biz AB chizig'iga nisbatan O nuqtaga nosimmetrik M1 nuqtani quramiz". Va nihoyat, biz M / C ning teskari tomonini quramiz.

Qurilish orqali O1 K va M nuqtalar bir xil chiziqda yotadi va OK-OM \u003d OA2. Bu yerdan:

OAK va OAM uchburchaklar bir-biriga o'xshashdir, chunki ^ AOM ularning umumiy tomoniga ega va uni o'rab turgan tomonlar mutanosibdir.

bizni. Shuning uchun ^ OAK \u003d ^ OMA. Qurilish bo'yicha, OA \u003d MA. Shuning uchun OK \u003d AK- OMB "va OKB1 uchburchalarini hisobga olsak, biz ularning o'xshashligini isbotlaymiz va KB \u003d OK- Shunday qilib, K nuqtasi kerakli aylananing markazidir.

Berilgan aylanaga teskari aylana qurish uchun, A, B va C uchta ixtiyoriy nuqtani oling, A ", B" va C nuqtalarni teskari qilib, ular orqali doira chizing. Buning uchun zarur bo'lgan barcha inshootlarni bitta kompas bajarishi mumkin.

Agar chiziq A va B1 ikkita nuqta bilan berilgan bo'lsa, unga teskari aylana qurish uchun (AB chizig'i inversiya markazidan o'tmaydi, deb taxmin qilamiz), A va B1 nuqtalarini o'zaro Aversiya va B1 nuqtalarga tikamiz va A nuqtalari orqali doira chizamiz, In "va inversiya markazi. Buning uchun zarur bo'lgan barcha konstruktsiyalar bitta kompas tomonidan amalga oshirilishi mumkin.

Endi bitta kompas bilan C aylanasining kesishish nuqtasini va A va B nuqtalari bilan aniqlangan chiziqni qurish masalasini ko'rib chiqamiz.

Biz o'zboshimchalik doirasini olamiz, shunda uning markazi AB chizig'ida va C1 aylanada yotmaydi va bu aylanani inversiya doirasi uchun olamiz. Keyin C va K "aylanalarni teskari C va berilgan AB chizig'ini quramiz. M va N" C va K doiralarning kesishish nuqtalari bo'lsin. U holda teskari bo'lgan MnN1 nuqtalari kerakli nuqtadir. Shunday qilib, ushbu fikrlarni faqat kompaslardan foydalanib qurish mumkin.

Agar biz A1 BnC1D1 nuqtalari tomonidan berilgan ikkita AB va CD1 chiziqlarni olsak, ularga teskari aylanalarni tuzamiz, ularning M "kesishish nuqtasini inversiya markazidan farqlaymiz va LG ning teskari bo'lgan M1 nuqtasini quramiz. M nuqta AB va CD chiziqlarining istalgan kesishish nuqtasi bo'ladi.

Bu § 14 da eslatib o'tilgan Mor-Mascheroni teoremasini anglatadi: Barcha qurilish muammolari kompas va o'lchagich tomonidan bitta kompas tomonidan hal qilinishi mumkin.

Bitta kompas bilan muammolarni yechishning umumiy usuli ushbu teoremaning isbotidan kelib chiqadi. Muayyan vazifalarning sodda echimlari bo'lishi mumkinligi haqida gap ketmayapti.

Doira va chiziqning kesishish nuqtalarini topganda, bu aylanani inversiya doirasi uchun olish qulay bo'ladi. AB chizig'iga teskari aylana kesishadi

c aylanasi X va Y1 nuqtalarini AB chizig'i bilan bir xil (153-rasm). Uning markazini qurish uchun biz AB1 chiziqqa nisbatan S markaziga nosimmetrik M1 nuqta va M nuqtasi / C teskari M. nuqtasi AB chizig'iga teskari aylananing markaziga egamiz. Bu aylanani qurish uchun qoladi (uning radiusi CSning kesimi) va uning aylanasi bilan kesishgan nuqtalari.

Ko'rib turganingizdek, bu qurilish Iblis tomonidan oqlanadi. Berilgan uchta nuqta orqali o'tadigan aylana qurish masalasini hal qilishda yuqorida 153. Agar aylananing markazi AB1 chizig'ida yotsa, bu qurilish qo'llanilmaydi.

Qo'llanma

Arja aylanani C va C1 kesishgan nuqtalarni belgilang.

C va C1 nuqtalarini chiziq bilan ulash uchun o'lchagichdan foydalaning.

C va C1 nuqtalar orasidagi kesma AB aylanasining diametrini D nuqtasi bilan kesishgan nuqtani belgilang.

Kompas yordamida C va D nuqtalari orasidagi masofani 7 marta aylantiring. Buning uchun kompasning uchini aylananing ixtiyoriy joyiga qo'ying, masalan, A nuqtada, aylanada biron bir nuqtani kompasning chizilgan qismi bilan belgilang. Kompasning uchini belgilangan joyga qo'ying va keyingi nuqtani xuddi shu tarzda belgilang. Butun doirani shu tarzda belgilang.

Hukmdor va qalamdan foydalanib, aylanadagi barcha belgilangan nuqtalarni O nuqtada uning markazi bilan bog'lang.

Doimiy ko'pburchaklarni qurish uchun aylanani teng qismlarga bo'lish texnikasi juda ko'p ishlatiladi. Aslida, atrofi  protraktor bilan almashish mumkin. Ammo ko'pincha bu usul noqulay.

Qo'llanma

Smash atrofi  to'rtta teng qismga bo'lish juda oddiy, bu arzimas vazifa. Buning uchun bir-biriga perpendikulyar ikkita eksenel chiziq chizish kifoya. Ushbu chiziqlar bilan kesishgan nuqtalar atrofiva uni to'rt qismga bo'ling. Ko'pincha bo'linish kerak bo'ladi atrofi  to'rtta emas, balki sakkiz teng qismda. Buni amalga oshirish uchun aylananing to'rtdan biri bo'lgan yoyni ikkita teng qismga bo'lish kerak bo'ladi. Keyin bir juft kompasni oling va uni qizil rangda ko'rsatilgan masofaga eritib oling. Endi oldingi to'rtta nuqtadan har birida bu masofani keyinga surish qoldi.

Siqish uchun atrofi  uchta teng qismga bo'ling, kompasning oyoqlarini aylana radiusiga yoyib chiqing. Shundan so'ng, kompas ignasini markaziy chiziqlar va aylananing har qanday kesishmasida joylashtiring. Yordamchi yupqa chiziq chizing atrofi. Uchta teng qism asosiy va yordamchi doiralarning kesishish nuqtalari, shuningdek markaziy chiziqda yoki aksincha uning qarama-qarshi uchida joylashgan nuqta bilan hosil bo'ladi.

Va agar siz bo'linishingiz kerak bo'lsa atrofi  oltita teng qismga bo'ling, keyin deyarli hamma narsani bir xil qilish kerak. Faqatgina farq shundaki, bu qadamlar boshqa markaziy chiziq uchun takrorlanishi kerak. Bunday holda, rasmda ko'rsatilgandek, biz bir vaqtning o'zida doira bo'yicha oltita nuqta olamiz.

Ko'pincha bo'linish kerak atrofi besh teng qismga bo'ling. Buni qilish ham qiyin emas. Avval siz radiusni markaziy chiziqda ikkita teng qismga bo'lishingiz kerak. Aynan shu nuqtada siz kompas ignasini qo'yishingiz kerak. Stilus aylananing kesishish nuqtasiga va ushbu radiusga perpendikulyar bo'lgan markaziy chiziqqa olinishi kerak. Buni rasmda aniq ko'rish mumkin. Unda bu masofa qizil rangda tasvirlangan. Bu masofani doira ustiga qo'ying. Siz markaziy chiziqdan boshlashingiz kerak, so'ngra ignani yangi paydo bo'lgan kesishish nuqtasiga o'tkazing. Siqish uchun atrofi  o'n qismdan iborat bo'lib, yuqoridagi barcha amallarni oynada takrorlang.

Doiraning teng qismlarga bo'linishi odatda oddiy ko'pburchaklarni qurish uchun ishlatiladi. Aslida, siz baham ko'rishingiz mumkin atrofi  protraktor bilan bo'laklarga bo'linadi, lekin ba'zida bu noqulay va noaniq.

Qo'llanma

Ajrashish uchun atrofi  olti qismga bo'ling, boshqa eksenel uchun ham xuddi shunday qiling. Keyin doira bo'yicha oltita ochkoga ega bo'lamiz.

Doiraning to'rt qismga bo'linishi ahamiyatsiz vazifadir. Ikkita perpendikulyar eksenel va aylanalarning kesishishidagi to'rtta nuqta buni ajratadi atrofi  to'rt teng qismga bo'ling. Ajrashish uchun atrofi  8 qismga bo'lingan holda, aylananing 1/4 qismiga to'g'ri keladigan yoyni yarmiga bo'lish kerak. Keyin kompasni qizil rangda ko'rsatilgan masofaga suyultirib, olingan masofani allaqachon to'rtta nuqtadan ajratib oling.

Ajrashish uchun atrofi  beshta teng qismga bo'ling, avval markaziy chiziqdagi radiusni yarmiga bo'ling. Shu nuqtada, kompasning ignasini o'rnating va shu radiusga perpendikulyar bo'lgan eksenel va aylananing kesishishiga olib boring. Rasmda bu masofa qizil rangda ko'rsatilgan. Bu masofani aylana bo'ylab, ekseneldan boshlab, kompasni hosil bo'lgan kesishish nuqtasiga o'tkazing.
Ko'zgu uchun barcha bu amallarni takrorlang. atrofi  10 ta bir xil qismlarga bo'ling.

Tegishli videolar

Manbalar:

• aylanani 8 qismga qanday ajratish kerak

Agar siz kompyuter dasturlari bilan ishlashda ilg'or foydalanuvchi mahoratiga ega bo'lmasangiz, operatsion tizimni o'zgartirish ancha uzoq va qiyin jarayondir. Biroq, siz ba'zi oddiy ko'rsatmalarga rioya qilib OS-ni qayta o'rnatishingiz mumkin.

Sizga kerak bo'ladi

• Internetga ulangan kompyuter, USB flesh-disk yoki operatsion tizim drayveri.

Qo'llanma

Windows 7 kompyuter uskunasiga talablar haqida o'qing. Gap shundaki, ushbu operatsion tizimning normal ishlashi uchun kompyuteringizning texnik imkoniyatlari etarli bo'lmasligi mumkin. Ma'lumki, Microsoft-ning Windows 7 oilasining operatsion tizimlariga o'tishi bilan, OT interfeysining vizual effektlari yaxshilanganligi sababli apparat talablari sezilarli darajada oshdi.

Kompyuteringizning tizim parametrlarini aniqlang. Buning uchun Boshlash menyusini, so'ngra Mening Kompyuterimni oching. "Tizim sozlamalari" tugmachasini bosing. Ko'rsatilgan oynada siz kompyuterning asosiy tizim xususiyatlarini, ya'ni protsessor chastotasini, uning modelini va RAM miqdorini ko'rishingiz mumkin. Ushbu parametrlarni Windows 7 ishlab chiquvchilari tomonidan taqdim etilgan parametrlar bilan taqqoslang. Agar sizning kompyuteringizning ishlashi etarli bo'lmasa, unda o'rnatish tavsiya etilmaydi.

Agar mavjud bo'lsa, uni o'rnatish uchun operatsion tizim kompakt-diskidan foydalaning. Agar OT kompyuterda rasm fayli sifatida joylashgan bo'lsa, unda avval uni diskka yozishingiz kerak. OTni bo'sh CD-R-ga yozganda, yuklash diskining yaratilganligiga ishonch hosil qiling. Shuningdek, siz ochiladigan USB flesh-diskini yaratishingiz va undan OSni o'rnatishingiz mumkin. Bu o'rnatish jarayonini tezlashtiradi. Buning uchun sizga UltraISO dasturi kerak bo'ladi. Agar siz yozuv drayveriga ega bo'lsangiz, uning yordami bilan operatsion tizimning fayl-rasmini diskka yozishingiz mumkin. Shuni esda tutingki, disk yoki flesh-diskning o'lchami hech bo'lmaganda OS nusxasini o'lchamiga mos kelishi kerak.

Drayvni yoki USB flesh-diskini haydovchiga joylashtiring va kompyuterni qayta yoqing. Yuklash boshida F2 tugmachasini bosing. BIOS dasturi ochiladi, bu sizga yuklash parametrlarini o'rnatishga imkon beradi. Yuklash bo'limiga o'ting. Bu erda kompyuter yuklash paytida ustuvorlikni pasaytirish uchun saralangan qurilmalar ro'yxatini ko'rasiz. Drayvingizni yoki flesh-diskingizni birinchi o'ringa qo'ying, ikkinchi o'ringa qattiq disk. Sozlamalarni saqlash uchun F10 tugmasini bosing. Kompyuterni qayta yoqing.

Yer sayyorasining aylanishi nimaga teng degan savol uzoq vaqt davomida olimlarni qiziqtirib kelgan. Shunday qilib, ushbu parametrning birinchi o'lchovlari qadimgi Yunonistonda o'tkazilgan.

Doira o'lchovi

Sayyoramizning to'p shakliga ega ekanligi uzoq vaqt davomida geologiya sohasida izlanishlar olib borgan olimlarga ma'lum edi. Shuning uchun Yer yuzasi atrofi kattaligini birinchi o'lchovlar Yerning eng uzun paralleli - ekvatorga taalluqli edi. Olimlarning fikricha, ushbu qiymat boshqa har qanday o'lchash usuli uchun to'g'ri deb hisoblanadi. Misol uchun, agar siz sayyoraning atrofini eng uzun meridian bo'yicha o'lchasangiz, natijada olingan raqam to'liq mos keladi deb ishonilgan.

Bunday fikr XVIII asrga qadar mavjud edi. Biroq, o'sha davrning etakchi ilmiy muassasasi - Frantsiya akademiyasining olimlari bu faraz noto'g'ri va sayyora shakli mutlaqo to'g'ri emas degan fikrda edilar. Shuning uchun, ularning fikriga ko'ra, eng uzun meridian va eng uzun parallel bo'ylab aylana farqlanadi.

1735 va 1736 yillarda dalil sifatida ushbu taxminning haqiqatini isbotlaydigan ikkita ilmiy ekspeditsiya o'tkazildi. Keyinchalik, bu ikki uzunlik o'rtasidagi farqning kattaligi aniqlandi - 21,4 kilometrni tashkil etdi.

Tevarak-atrof

Hozirgi vaqtda Yer sayyorasining aylanishi, avvalgidek, er yuzasining ma'lum bir segmentining uzunligini to'liq hajmiga ekstrapolyatsiya qilish bilan emas, balki zamonaviy yuqori aniqlikdagi texnologiyalar yordamida o'lchanmoqda. Buning yordamida eng uzun meridian va eng uzun parallel bo'ylab aylananing aniq aylanishini belgilash, shuningdek, ushbu parametrlar orasidagi farqning kattaligini aniqlash mumkin bo'ldi.

Shunday qilib, bugungi kunda ilmiy jamoalarda Yer sayyorasining ekvator bo'ylab aylanishining rasmiy qiymati sifatida, ya'ni eng uzun parallel sifatida 40,075.70 kilometr uzunlikdagi raqamni keltirishi odatiy holdir. Bundan tashqari, eng uzun meridian, ya'ni Yer qutblaridan o'tgan aylana bilan o'lchangan shunga o'xshash parametr 40008,55 kilometrni tashkil qiladi.

Shunday qilib, atrofi orasidagi farq 67,15 kilometrni tashkil qiladi va ekvator sayyoramizning eng uzun atrofi hisoblanadi. Bundan tashqari, bunday farq geografik meridianning bir darajasi geografik parallelning bir darajasidan biroz qisqaroq degan ma'noni anglatadi.

Manbalar:

• kvadratni 7 kvadratga qanday ajratish kerak