Keling, yana bir nechta murakkab konstruktiv muammolarni ko'rib chiqaylik. Keling, qurilishdan boshlaylik muntazam dekagon. Aytaylik, oddiy dekagon 1 radiusli doira ichida yozilgan (32-rasm); uning tomonini x bilan belgilaymiz. Ushbu x tomonning aylana markazidan ko'rinadigan markaziy burchagi 36 ° ni tashkil etganligi sababli, katta uchburchakning qolgan ikkita burchaklarida har biri 72 ° ni tashkil etadi, shuning uchun A burchakni bükuvchi kesilgan chiziq OAB uchburchagini ikki izosselli uchburchakka ajratadi. x uzunligining teng tomonlari bilan. Shu sababli doira radiusi segmentlardan iborat x va 1 x. OAB uchburchagi ikkiga bo'lingan uchburchaklar kattaligiga o'xshash bo'lgani uchun, bu nisbat kvadrat tenglamaga olib keladi. x 2 + x - 1 \u003d 0, echimi shaklga ega 
(Bizni boshqa echim qiziqtirmaydi, chunki u salbiy qiymatga to'g'ri keladi x.) Olingan formuladan segment aniqlangan x geometrik ravishda qurilishi mumkin. Xuddi shu segmentga ega bo'lish x, biz akkordning o'n baravaridan ko'proq atrofida aylanib, oddiy dekagonni qura olamiz x. Bu yerdan dekagonning uchlarini bir-biriga bog'lab turadigan oddiy beshburchakni olish allaqachon oson.
Rasmda ko'rsatilgan usul bilan √5 ni o'rnatish o'rniga. 31, shuningdek, 1 va 2 tomonlari bilan to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasini qurishimiz mumkin. Keyin biz qism segmentini olib, natijada hosil bo'lgan yarmini bo'lishimiz kerak.
Ko'rib chiqilgan muammoga munosabat "oltin" deb nomlandi, chunki yunon matematiklarining fikriga ko'ra, tomonlari bu jihatdan bo'lgan to'rtburchaklar estetik jihatdan ayniqsa yoqimli. Bu nisbat qiymati taxminan 1,62 ga teng.
Hammasidan muntazam ko'pburchaklar olti burchakli chiziqni yaratishning eng oson usuli. Doiraga yozilgan bunday olti burchakli burchakning aylanasi radiusga teng bo'lgani uchun, olti burchakning radiusga teng bo'lgan doirasini chetga sursak, olti burchakning o'zi ham qiyinchiliksiz quriladi.
Doimiy n-gonga ega bo'lsangiz, darhol n-gon qo'shni uchlari orasidagi yoylarni ikkiga bo'lib, oddiy 2n-gonni olishingiz mumkin. Doira diametridan (oddiy yozilgan "diagon") boshlab, biz ketma-ket 4, 8, 16, ..., 2 n-ng quramiz. Xuddi shu tarzda, olti burchakdan boshlab, 12, 24, 48, ... -gonlarni olamiz va "olti burchakli" dan boshlab, 20, 40, ... -gonlarni olamiz.
Agar s n doimiy birlik n-gon tomonining uzunligini bildirsa (ya'ni radius 1 bilan aylana), unda oddiy yozilgan 2n-gon tomonining uzunligi bo'ladi.
Bu quyidagicha isbotlangan (34-rasm): s n \u003d DE \u003d 2DC, s 2n \u003d DB va AB \u003d 2. ABD o'ng uchburchagining maydoni boshqa tomondan teng yoki boshqa tomondan, chunki. 
keyin, ushbu maydon uchun ikkita iborani bir-biri bilan almashtirib, taqqoslab, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
X \u003d s 2 2n uchun kvadrat tenglamani echish qoladi va ildizni tanlashda x 2 dan kam bo'lishi kerakligini hisobga oling.
Ushbu formuladan S 4 ning uzunligi (kvadrat tomoni) √2 bo'lganligi sababli u quyidagicha bo'ladi
Umumiy formula sifatida biz (n\u003e 2 uchun) olamiz.
1-topshiriq: Qanday qilib 4 × 9 to'rtburchaklar ikki qismga bo'linadi, shunda ulardan kvadrat hosil qilinadi? Qaror: 2-topshiriq: Doira berilgan va uning ichidagi nuqta belgilangan. Ushbu doirani kesishingiz mumkin bo'lgan qismlarning minimal soni qancha bo'ladi, shunda olingan qismlardan siz belgilangan nuqta markazga aylana qo'shishingiz mumkin. Qaror: AO diametrli doira kesib (yoki biroz ko'proq) va uni 180 ga aylantiring. 3-topshiriq: Uch kameradan () iborat burchakni teng teng shaklli to'rt qismga bo'ling. 4-topshiriq: Kesish va siljishdan foydalanib, "xoch" raqamidan "shakar" hosil qiling (rasmga qarang).
a) kesiklar va siljishlar yordamida;
b) faqat kesiklardan foydalangan holda. Qaror:
7-topshiriq: a) Kvadratni to'rtburchaklar bo'lmagan 100 ta to'rtburchaklar ichiga kesish mumkinmi? b) Kvadratni 2000 teng uchburchakka kesish mumkinmi? 8-topshiriq: Shakllar kvadratini qo'shish mumkinmi? Raqamlarni cheksiz miqdorda olish mumkin. Agar burchakning uzun tomoni n hujayralarga teng bo'lsa? 9-topshiriq: Xuddi shunday a) beshburchak bilan samolyotni ko'prik qilish mumkinmi? b) olti burchakli; c) heptagonlar? 10-topshiriq: Kvadratni bir xil ikkita qismga bo'ling: a) beshburchak; b) olti burchakli; c) 2n-gon; d) 2n + 1-gon. Shunga o'xshash to'rtburchakni kesish mumkinmi? Ushbu algoritm boshqa qanday shakllarga mos keladi? 11-topshiriq: O'tkir burchakli to'rtburchaklar kesish mumkinmi? A) ba'zi beshburchak; b) oddiy beshburchak? 12-topshiriq:Rasmlarda katakli qog'ozdagi raqamlar ko'rsatilgan. Sizning vazifangiz har bir raqamni ikkita bir xil (shakli va hajmi bo'yicha) qismlarga bo'lishdir.
Turli xil kesish vazifalari7-sinf - 2011 yil
To'rtburchakni 4 va 9 tomonlari bilan eng kichik qismlarga bo'ling, shunda ulardan kvadrat hosil qiling.
Mashg'ulot
Siz osongina kvadratni ikkita teng uchburchak yoki ikkita teng to'rtburchaklar shaklida kesib qo'yishingiz mumkin. Qanday qilib kvadratni ikkita teng beshburchak yoki ikkita teng olti burchakli burchakka bo'lish kerak?
Maslahat
Siz qidirayotgan ko'pburchaklarning konveks yoki yo'qligini ko'rib chiqing.
Qaror
Albatta, kerakli ko'pburchaklarni konveksiya qilib bo'lmaydi. Mumkin bo'lgan bitta echim rasmda ko'rsatilgan.
Javob: Rasmga qarang.
Mashg'ulot
Kvadratni 3 qismga bo'ling, shundan siz uchburchakni 3 ta o'tkir burchak va uchta turli tomon bilan katlay olasiz.
Qaror
Rasmga qarang: kvadrat uch qismga bo'lingan: oq, firuza va yashil.
Mashg'ulot
Bir bo'lakni 4 qismga bo'lish mumkin bo'lgan tortni pishirish mumkinmi?
Maslahat
Esda tutingki, kek konveks shakl bo'lishi shart emas.
Qaror
Agar pirojnoe konveks shaklga ega bo'lsa, bu mumkin emas edi, lekin hech qaerda bunday bo'lishi kerakligi aytilmagan. Siz, masalan, "W" harfi shaklida pirojniy pishirib, rasmda ko'rsatilgandek kesishingiz mumkin.
Javob: Rasmga qarang.
Mashg'ulot
Ikki kishining ikkita kvadrat keki bor edi. Har biri o'zining pirojniyida 2 ta chetidan chetiga tekis kesib tashladi. Bir vaqtning o'zida uchta dona, qolgani to'rtta. Bu qanday bo'lishi mumkin?
Maslahat
E'tibor bering, kesmalar kesishishi mumkin.
Qaror
Bu birinchi holda bo'limlar kesishmasa va ikkinchi holatda ular kesishgan bo'lsa yuz berishi mumkin. Masalan, agar birinchi holatda ular bir-biriga parallel bo'lsa, ikkinchisida - perpendikulyar.
Mashg'ulot
Kvadratni uch qismga bo'ling, shundan siz uchburchakni uchta o'tkir burchak va uchta boshqa tomon bilan katlay olasiz.
Javob: Rasmga qarang (teng qismlar xuddi shunday soyalangan).
Mashg'ulot
Chapdagi rasmdagi rasmni ikkita bir xil qismga kesib tashlang.
Javob: Qarang chizish.
Mashg'ulot
Shakldagi rasmni ikki qismga bo'ling, shundan siz uchburchakni katlay olasiz.
Javob: Rasmga qarang. 
Mashg'ulot
Kayda "burchak" shaklida muz plitasi mavjud (rasmga qarang). Qor malikasi Kaydan uni to'rtta teng qismga bo'lishini talab qildi. Qanday qilib u buni qila oladi?
Qaror
Ushbu burchakni rasmda ko'rsatilgandek to'rtta kichik burchakka kesib tashlash kerak:
Mashg'ulot
Shaklni (rasmga qarang) ikkita bir xil (bir-biriga mos keladigan) qismlarga bo'ling.
Mashg'ulot
Rasmdagi rasmni ikkita teng qismga bo'ling.
Qaror
Mashg'ulot
Ushbu shaklni (rasmga qarang) uchta teng shaklga bo'ling.
Qaror
Dastlabki raqam o'n sakkizta hujayradan iborat, shuning uchun uni ajratish kerak bo'lgan uchta raqamning har biri oltita hujayradan iborat bo'lishi kerak. Izlash orqali biz kerakli raqamning 5 katakchasi bir qatorda yotishini aniqladik.
Mashg'ulot
Rasmda ko'rsatilgan burchakni to'rtburchakka teng yarmiga bo'ling.
Qaror
Mashg'ulot
Sehrli erning o'z sehrli tabiat qonunlari bor, ulardan biri shunday deydi: "Gilam gilam to'rtburchaklar shaklga ega bo'lgandagina uchadi". Ivan Tsarevich 9 × 12 gilamchali samolyotga ega edi. Bir marta, Serpent Gorynych gilamdan 1 × 8 o'lchamdagi kichik gilamchani kesib tashladi. Ivan Tsarevich juda xafa bo'lib, 8 × 12 to'rtburchaklar yasash uchun yana 1 × 4 o'lchamdagi bo'lakni kesib olmoqchi edi, ammo Vasilisa donishmand boshqacha ish qilishni taklif qildi. U gilamni uch qismga bo'lib kesib tashladi, shundan 10 × 10 kvadratik gilam gilamchasi sehrli ip bilan tikilgan. Vasilisa donishmand buzilgan gilamni qanday tuzatganini tasavvur qila olasizmi?
Maslahat
Ilon Goryich uning parchasini kesib tashlaganidan keyin gilam chiptasi qanday ko'rinishni boshlaganini bir o'ylab ko'ring.
Qaror
Serpent Goryich gilamni vayron qilganidan so'ng, Ivan Tsarevich bu gilamning 1x4 qismini kesib, 8 × 12 gilamga aylantirishi mumkin. Bu shuni anglatadiki, Serpent Goryich ketganidan so'ng, gilam sek. Vasilisa donishmand bu gilamni anjirda ko'rsatilganidek kesib tashladi. 2 va rasmda ko'rsatilganidek tikilgan. 3.
Mashg'ulot
Rasmda ko'rsatilgan beshburchakni ikkita bir xil (bir-biriga mos keladigan) qismlarga bo'ling.
Mashg'ulot
Pit bilan Kolyaga katak qog'ozdan ajratilgan ikkita bir xil raqam berildi. Ma'lumki, har bir rasmda 16 dan kam hujayralar. Petya o'z figurasini to'rtta hujayradan bo'laklarga ajratdi (chapdagi rasmga qarang) va Kolya uning rasmini uchta kameraning burchaklariga kesib tashlagan (o'ngdagi rasmga qarang). O'g'il bolalarga berishi mumkin bo'lgan shaklga misol keltiring. Petya bu raqamni qanday qilib kesib tashlaganini va Kolya uni qanday kesib tashlaganini ko'rsating.
Qaror
Muammoning shartlaridan kelib chiqib, kerakli raqam 12 dan iborat bo'lishi kerak hujayralar. Rasmda uchta mumkin bo'lgan shakl va ularni kesish usullari ko'rsatilgan.
Mashg'ulot
Kay bu vazifani bajarib bo'lgach, malika unga boshqa muz plitasini berdi (rasmga qarang). Qanday qilib uni ikkita teng qismga ajratish kerak?
Qaror
Rasmga qarang:
Mashg'ulot
2 * 2 kvadrat qog'oz varaqchasini qaychi bilan bitta to'lqin bilan 4 1 * 1 kvadratchaga kesish uchun katlay oladimi?
Maslahat
Kvadrat qo'shishga nafaqat panjara chiziqlari bo'ylab yo'l qo'yiladi.
Qaror
Kvadratni diagonal ravishda katlayın, so'ngra olingan isoscellarni o'ng uchburchak - yana yarmida yarating (rasmga qarang). Endi 1 * 1 to'rtburchagiga 2 * 2 kvadratni kesib tashlashingiz kerak bo'lgan 1 uzunlikning barcha 4 segmentlari birlashtirildi. Shunday qilib, qaychi bilan bitta kesma qilamiz, biz 4 * 1 kvadrat 1 * 1 olamiz. Aslida, n * n kvadratni birlik kvadratiga kesish uchun shunga o'xshash muammoni hal qilish mumkin.
Javob: mumkin.
Mashg'ulot
13 ga kesilishi mumkin bo'lgan barcha to'rtburchaklar toping teng kvadratchalar.
Javob: Burchak nisbati 13 bo'lgan to'rtburchaklar: 1. To'rtburchak kesilgan kvadratchalar shart bo'yicha tengdir. Shuning uchun to'rtburchakning har bir tomoni teng qismlarga bo'linadi: bir tomoni yoniq m ehtiyot qismlar va boshqalarni yoqing n. Kvadratlarning umumiy soni mnshuning uchun mn \u003d 13. Ammo 13 raqami eng yaxshi, shuning uchun raqamlardan biri m va n 1 ga teng, ikkinchisi 13 ga teng.
Mashg'ulot
To'rtta o'tkir burchakli uchburchakni kesish mumkinmi: a) konveks pentagon, b) oddiy beshburchak.
Maslahat
B) Pentagonning har bir tomonida uchburchaklardan birining yon tomoni joylashgan. Barcha burchaklar muntazam beshburchak ahmoq.
Qaror
A) Shaklga qarang.
B) Pentagonning har bir tomonida uchburchaklardan birining yon tomoni joylashgan. Pentagonning besh tomoni, bizda esa to'rtburchak bor. Bu shuni anglatadiki, beshburchakning ikki yon tomonida bir xil uchburchakning qirralari joylashgan. Shuning uchun, bu tomonlar orasidagi burchak zerikarli bo'ladi. Bu barcha uchburchaklar o'tkir burchakli bo'lishi kerakligi bilan qarama-qarshilik.
Javob: a) Ha; b) yo'q.
Mashg'ulot
Rasmdagi rasmlardan birini qolgan ikkitasini katlamak uchun ikkiga bo'ling. Qanday qilib kesishingiz va qanday katlanayotganingizni chizib oling.
Qaror
Masalan, 5.2.1-rasmda ko'rsatilgandek birinchi shaklni kesib tashladik. 5.2.2-rasmda ko'rsatilganidek, ikkinchi va uchinchi raqamlarni qo'shing.
Mashg'ulot
Ikki kvadratdan bittasi. Ikkita 3 × 3 va 1 × 1 kvadratchalar mavjud. Ushbu kvadratchalarni tekis qismlarga bo'ling (uchtadan ko'p bo'lmagan), shundan bir kvadrat katlanabilir.
Qaror
Rasmda muammo umumiy holatda hal qilinadi. Nuqtali chiziq kerakli kvadratni bildiradi. Xuddi shu sonlar bilan sanalgan uchburchaklar tengligini isbotlang.
Mashg'ulot
Ikkita to'g'ri chiziqda 6 bo'lakka bo'lingan to'rtburchak bormi?
Maslahat
Bunday shartli to'rtburchak, albatta, konveksiz bo'lishi kerak.
Qaror
Misol rasmdan aniq. 
Javob: mavjud.
Mashg'ulot
Doirani uchta to'g'ri qism bilan bo'ling: a) 4 qism; b) 5 qism; c) 6 qism; d) 7 qism.
Javob: masalan:
a) yoki
b) yoki
c) yoki
d)
Mashg'ulot
Petya, rasmda ko'rsatilgandek, rasmni ikkita teng qismga ajratdi. Ushbu shaklni boshqa teng ravishda ikkita teng qismga qanday qilib kesib tashlashni hal qiling.
Qaror
Shartda berilganlardan tashqari yana ikkita mumkin bo'lgan kesish variantini beramiz.
Eslatma . Muammoda ko'rib chiqilgan raqam, asimmetrik shaklga (uning markazi yoki simmetriya o'qi bo'lmagan) misol bo'lib, uni ikkita turli xil shakllarda ikkita teng raqamga bo'lish mumkin. Quyidagi savolga javob berish qiziq bo'ladi: ikkita teng to'rt yoki undan ko'p usul bilan kesilishi mumkin bo'lgan assimetrik raqam bormi? Agar siz bunday figurani misolini topishga muvaffaq bo'lsangiz, iltimos, bu haqda ularga Turnir hakamlariga yozing. Lomonosov at [elektron pochta himoyalangan]
Mashg'ulot
Plitka oyoqlari 1 dm va 2 dm bo'lgan to'rtburchaklar uchburchak shaklida bo'ladi. Bunday 20 plitkadan kvadratni qo'shish mumkinmi?
Qaror
Buni 1-rasmda qanday amalga oshirish mumkinligi ko'rsatilgan.
Mashg'ulot
Tasvirlangan rasmni ikki qismga bo'ling, shundan siz butun kvadratni 8 × 8 katlay olasiz.
Javob: Rasmga qarang.
Mashg'ulot
Doira ichida nuqta chizilgan. Belgilangan nuqta markazda bo'ladigan doirani siz ulardan yasab, aylana yasashingiz uchun aylanani ikki qismga bo'lishingiz mumkinligini ko'rsating.
Maslahat
Kesishning chegarasi chizilgan nuqtada joylashgan aylananing yoyi bo'lishi kerak.
Qaror
O S berilgan aylananing markazi bo'lsin va A chizilgan nuqta. Agar A O ga to'g'ri keladigan bo'lsa, unda qayta chizish uchun hech narsa yo'q. Aks holda, S "aylana bilan A doirasini va S aylanasining radiusiga teng radiusni aylantiring. Ushbu doira S aylanasini ikki qismga ajratadi. Ushbu qismlarning birinchisi A va O nuqtalarini o'z ichiga oladi va AO segmentiga chizilgan o'rta perpendikulyar m ga nisbatan nosimmetrikdir. Biz ushbu qismni qoldiramiz. Biz ikkinchi qismni ("oy" shaklida) m ga nisbatan boshlang'ich pozitsiyasiga nosimmetrik tarzda egallashi uchun siljitamiz, shundan so'ng birinchi va ikkinchi qismlar S doirasining ichki qismini to'ldiradi ". Shunday qilib, aylanani zaruriy qayta rasmiylashtirish amalga oshiriladi.
Yana bir yechim beramiz.
Biz O va A nuqtalardan o'tib, berilgan doirada butunlay yotgan doirani kesib o'tamiz. Ikki qism chiqadi: biri - doira, ikkinchisi - assimetrik uzuk. Endi biz aylanani uning markazi atrofida aylantiramiz, u A aylananing markazi S - O nuqtasiga to'g'ri keladi.
Mashg'ulot
3 * 3 shaxmat taxtasining barcha kataklarini kesib tashlaydigan eng kichik chiziq qancha?
Maslahat
Bir tekis chiziq, albatta, etarli emas.
Qaror
Rasmda ikkita to'g'ri chiziq bilan misol keltirilgan. Boshqa tomondan, bitta to'g'ri chiziq etarli emas. Aslida, bitta to'g'ri chiziq to'rtta burchak kamerasidan uchtasini ham kesib o'tolmasligini tushunish oson.
Javob: ikkitasi.
Mashg'ulot
Qor malikasi mukammal shakllarni afzal ko'radi, shuning uchun u kvadratlarni juda yaxshi ko'radi. U Kayga xochni berdi (o'ngdagi rasmga qarang), u teng qismlarga bo'linib, ulardan kvadrat hosil qildi. Buni qanday amalga oshirish mumkin?
Qaror
Xochning har ikki tomonining uzunligi 1 ga teng bo'lsin. Keyin bu qismlardan 5 kvadrat maydonni yig'ish uchun xochni qismlarga bo'lish kerak.
Rasmda ko'rsatilgandek, qarama-qarshi tomonlarning o'rta nuqtalarini ulang. Olingan to'rtta raqamdan biz kerakli kvadratni olamiz.
Mashg'ulot
Kayda 7 × 7 katakchadan iborat qimmatbaho kristall va olmos pichog'idan yasalgan shaxmat taxtasi bor. Kay materialni yo'qotmasdan va faqat hujayralar chetlari bo'ylab kesib tashlamasdan, taxtani 6 qismga bo'lishni xohlaydi, shunda har xil o'lchamdagi uchta yangi kvadrat hosil qiladi. Buni qanday qilish kerak?
Qaror
7 × 7 kvadratdan faqat 2, 3 va 6 tomonlari bo'lgan kvadratlarni kesish orqali olish mumkin, chunki 49 sonini uchta kvadratning yig'indisiga bitta usulda ko'paytirish mumkin: 49 \u003d 36 + 9 + 4. Oltita qismni kesish misolini quyidagi rasmga qarang:
Bu erda yashil qismlardan 6 × 6 kvadrat qo'shishingiz mumkin. Kvadratni besh qismga bo'lish orqali muammoni hal qilishning yo'li mavjud:
Mashg'ulot
Trapezoid asoslarining uzunligi m sm va n sm (m va n tabiiy sonlar, m n ga teng emas). Trapetsiyani teng uchburchaklar shaklida kesish mumkinligini isbotlang.
Qaror
M\u003e n bo'lsin. Biz trapezoidning qirralarini chorrahaga uzaytiramiz va hosil bo'lgan uchburchakning har ikki tomonini m ga bo'lamiz teng qismlar. Bo'linish nuqtalari orqali uchburchakning yon tomonlariga parallel ravishda to'g'ri chiziqlar tortamiz (8.1-rasmga qarang) va Thales teoremasi yordamida uchburchakning teng kichik uchburchaklarga bo'linishini olamiz. Trapezoidning yuqori poydevori chizilgan chiziqlardan biridir, chunki uning uzunligi butun santimetr sonlari bilan ifodalanadi. Shunday qilib, biz trapezoidning teng uchburchagiga bo'linishini oldik.
Shakl 8.1
Mashg'ulot
Izoscelli trapezoidda bazalardan biri ikkinchisidan uch baravar katta. Keyinchalik kattaroq taglik bilan burchak 45 ga teng o . Trapezoidni uch qismga qanday qilib kesib oling va ulardan bir kvadratni katlayın. Qarorni asoslang.
Qaror
Poydevor bo'lsin ADbu izosceles trapezoid Abcdbazadan uch baravar ko'p Miloddan avvalgi, BAD \u003d CDA \u003d45 o . Balandlikni chizish BEva CH. Keyin
AE \u003d DH \u003d \u003d \u003d BC.
To'g'ri uchburchakda Chdo'tkir burchak 45 ga teng o , keyin bu uchburchak isoscellardir. Uchburchak Bchteng uchburchak Chdikki oyog'ida. Uchburchaklardan Abx, Bchva Chdkvadratni katlay oladi Abhk.
Mashg'ulot
Har qanday to'rtburchaklar uch trapezoidga qanday kesilishini ko'rsating (parallelogrammni trapezoid deb ham hisoblash mumkin).
Qaror
B - eng katta Ushbu to'rtburchakning ichki burchagi ABCD. B qirrasidan AD tomon parallel ravishda BM qismini torting (M nuqtasi to'rtburchak ichiga tushadi). M nuqtadan boshlab, biz MN va MK ni mos ravishda BC va CD tomonlariga parallel ravishda kesamiz (rasm). 