Geometrik muammolar (kesish uchun)

O'quv darsi: Geometrik muammolar (kesish uchun)

Darsning maqsadi:

fanga qiziqishni rivojlantirish

talabalarning ijodiy qobiliyatlarini rivojlantirish

diqqatni, xotirani, mustaqil va jamoaviy ishlash ko'nikmalarini rivojlantirish

havaskorlik, zukkolik va zukkolikni rivojlantirish

Darsning borishi:

Bugungi kunda geometrik vazifalar (kesish uchun) bitta oddiy ko'rinadigan geometrik shakl bilan bog'liq bo'ladi.

U azaldan mening tanishlarim bo'lib kelgan.

Undagi har bir burchak to'g'ri.

Barcha to'rt tomon

Xuddi shu uzunlik.

Uni sizga tanishtirishdan mamnunman.

Uning ismi nima?

Maydonning asosiy yutug'i bu maydonning qulay birligi sifatida foydalanish edi. Darhaqiqat, kvadrat uchastkalarni kvadratchalar bilan qoplash juda qulay, ammo aytaylik, siz aylanada teshik va qoplamasiz qilolmaysiz. Ko'pincha matematiklar "maydonni topish" so'zlari o'rniga "kvadrat" deyishadi.

Shunday qilib, aylananing maydonini topish muammosiga doirani kvadratga tushirish muammosi deyiladi. Kvadrat Pifagor teoremasidagi asosiy belgidir.

1-topshiriq

2-topshiriq

20 ta teng uchburchaklar kvadrat

Kvadrat qog'ozni 20 teng uchburchakka kesib, 5 qismini katlayın teng kvadratchalar.

3-topshiriq

Xoch maydonidan

Besh kvadratchadan iborat xochni bir kvadrat qilish mumkin bo'lgan qismlarga bo'lish kerak.

4-topshiriq

Maydonda 16 hujayra mavjud. Kvadratni ikkita teng qismga bo'ling, shunda kesilgan chiziq hujayralar bo'ylab harakatlanadi.

Bir necha usullar mavjud.

5-topshiriq

7 × 7 kvadratchani besh qismga bo'ling va ularni uch kvadratga bo'ling: 2 × 2, 3 × 3 va 6 × 6.

Vazifa 6

Kvadratni bir xil shakldagi va o'lchamdagi 4 qismga bo'ling, shunda har bir qismga bitta bog'lab qo'yilgan kvadrat tushadi.

7-topshiriq

Rasmda nechta kvadrat mavjud?

Kvadratni bir xil maydonning kichik kvadratlariga bo'lish juda oddiy: kvadratning yon tomonlariga parallel ravishda bir-biriga teng ravishda joylashtirilgan to'g'ri chiziqlar panjarasini chizish kifoya qiladi. Olingan kvadratlar soni kvadrat bo'ladi, ha, ha! Shuning uchun ikkita bir xil sonning hosilasi kvadrat deb nomlandi. Kvadrati bir xil bo'lmagan kvadratlarni bir necha kvadratga kesib tashlash mumkinmi?

Bu masala uzoq vaqtdan beri hal etilmagan. Ko'plab taniqli matematiklar ham bunday kesishning iloji yo'qligiga ishonishgan. Ammo 1939 yilda bir maydon 55 xil kvadratga bo'lingan. 1940 yilda kvadratni 28 xil maydonlarga bo'lishning ikkita usuli topildi, undan keyin 26 ta kvadrat, 1948 yilda esa 24 xil maydonlarga bo'linish amalga oshirildi. 1978 yilda 21 xil kvadratlarning bo'limi topildi va endi har xil maydonlarning kamroq soniga bo'linganligi endi topilmasligi isbotlandi.

Va biz bugungi darsni "Tangram" maydoniga tegishli ko'ngilochar o'yin bilan yakunlaymiz.

Rasmda 7 qismga bo'lingan kvadrat ko'rsatilgan, undan siz o'qituvchi taqdim etgan albomdan turli xil rasmlarni qo'shishingiz mumkin.

Yon tomonlar teng va barcha burchaklar tekis. Darhol kvadratni hech qanday muammosiz 4 ta teng kvadratga yoki 4 ta o'xshash uchburchakka bo'lishingiz mumkin. Ammo maydonni oltitaga qanday ajratish kerak teng qismlar? Buni o'lchagichsiz yoki qilmasdan qilish mumkin.

Sizga kerak bo'ladi

- hukmdor;
- qalam;
- qog'oz.

Qo'llanma

Kvadratni oltita qismga ajrating - bu oltita geometrik shaklni, ya'ni to'rtburchaklar olishni anglatadi. Parchalarni bir xil ko'rinishda qilish uchun avval markirovkani qiling. Masalan, kvadratning yon tomoni uzunligi 24 sm, ruler bir tomonda 12 sm va qarama-qarshi tomondan (parallel) 12 sm o'lchanadi. Olingan nuqtalarni kvadratni yarmini 24x12 sm o'lchamdagi ikkita to'rtburchakka bo'ladigan chiziq bilan bog'lang.

Endi markalashni davom eting, faqat boshqa tomonlarda (allaqachon belgilangan joyga perpendikulyar). Ikkala tomonni (bir-biriga nisbatan) 3 qismga ajrating, ularning har biri 8 sm bo'lib chiqadi, natijada olingan nuqtalarni chiziqlar bilan bog'lang. Shunday qilib, o'lchamlari 12x8 sm bo'lgan 6 ta bir xil to'rtburchaklar olamiz.

Agar qo'lda hech qanday o'lchagich va qalam bo'lmasa va kvadratni ajratish kerak bo'lsa, unda siz ularsiz qilishingiz mumkin. Buni amalga oshirish uchun, rasmni o'rtada bükünüz. Keyin, egilmasdan, hosil bo'lgan tomonlarini ehtiyotkorlik bilan to'g'rilab, olingan uch barobar uzunlikdagi to'rtburchakni katlayın. Natijada, katlanayotganda kvadratning 1/6 qismini tashkil etadigan to'rtburchaklar 12x8 sm o'lchamga ega bo'ladi, kvadratni kengaytiring va qalam yordamida burmalar bilan belgilang.

Belgilanishni boshqacha qilishingiz mumkin va shuningdek 6 ta bir xil qismni olishingiz mumkin, faqat bu holda ular allaqachon uzun tor chiziqlarga o'xshab ketadi. Qutini belgilang. Yonning uzunligi 24 sm ni tashkil qiladi va siz jami 6 ta qismni olishingiz kerak, shuning uchun har bir bo'lakning kengligi 4 sm ni tashkil qiladi.Shuning uchun o'lchagich va qalamdan foydalanib, kvadratning bir tomoni bo'ylab har 4 sm joylarni belgilang. Ikkinchi tomonni - qarama-qarshi (parallel) tomoni bilan ham xuddi shunday qiling. Olingan nuqtalarni ulang. 6 ta bir xil, juda uzun cho'zilgan to'rtburchaklar bo'lib, ular 24x4 sm o'lchamdagi chiziqlar shaklida bo'ladi.

Bir kvadratni 6 ta teng kvadratga bo'lish mumkin emas. Uni 6 ta teng to'rtburchakka bo'lish mumkin. Shuningdek, har qanday kvadratni 6 ta kvadratga bo'lish mumkin, ularning 5 tasi bir xil bo'ladi va bittasi boshqalardan kattaroq bo'ladi.

Sizga kerak bo'ladi

- qalam;
- hukmdor;
- qaychi.

Qo'llanma

Kvadratni 6 teng kvadratga bo'lish mumkin emasligini isbotlash uchun qog'ozdan 6 ta bir xil kvadratchalarni kesib tashlang. Ulardan to'rtta to'rtburchaklar bo'lgan ikkita kombinatsiyani (6: 1, 2: 3) qilish mumkin. Teng kvadratlardan kvadrat olish uchun boshqa sonning to'liq kvadratini (2 \u003d 4, 3 \u003d 9, 4 \u003d 16 va hokazo) kesilgan kvadrat sonini oling. Bu shuni anglatadiki, kvadrat faqat 4, 9, 16, 25 va hokazolarga, teng kvadratlarga va 6 ta teng kvadratga bo'linishi mumkin.

Agar siz 6 ta teng geometrik shakllarga bo'linishingiz kerak bo'lsa, bu to'rtburchaklar bo'lishi mumkin. Buning uchun kvadratning qarama-qarshi ikki tomonini uchta teng qismga bo'linib, tegishli nuqtalarni ulang. Natijada uchta teng qismga bo'lingan va kvadratning boshqa ikki tomoniga parallel bo'lgan ikkita segment bo'lishi kerak. Ushbu ikki tomonni ikkiga bo'ling va bo'linish nuqtalarini bog'laydigan chiziqni torting. Natijada 6 ta teng to'rtburchaklar hosil bo'ladi.

Olingan to'rtburchaklarning har qandayining nisbatlarini toping. Katta maydonning o'lchamidan qat'i nazar, bu 2: 3 bo'ladi. Masalan, agar siz 6 qismga 12 sm tomonli kvadratni ajratishingiz kerak bo'lsa, unda bir tomonni 4 sm dan 3 segmentga, ikkinchisini esa 6 sm dan 2 qismga bo'lishingiz kerak.Taqsimlash punktlariga perpendikulyar qilib, siz 4 va 6 sm qirralari bilan 6 ta to'rtburchaklar olasiz. Darhaqiqat, to'rtburchaklar tomonlari orasidagi nisbat 2: 3 ga teng.

Kvadratni 6 ta kvadratga bo'lish uchun, ularning 5 tasi bir-biriga teng va boshqalariga qaraganda 1tadan ko'prog'ini bajarish uchun quyidagilarni bajaring

Maydonning har bir tomonini uchta teng qismga bo'ling -
qarama-qarshi tomonlarga ikkita mos keladigan bo'linish nuqtalarini bog'laydigan chiziq torting, u bu tomonlarga perpendikulyar bo'ladi
kvadratning boshqa ikki tomonining bo'linish nuqtalarini bog'laydigan o'xshash segmentni chizish -
ularning kesishmasida asl kvadratning yon tomonlarining 2/3 qismiga teng kvadrat olish -
qurilgan maydonning tashqarisida bir kvadrat va ikkita to'rtburchaklar bo'ladi. To'rtburchaklarni yarmiga bo'ling, ularning katta tomonlari o'rtasida joylashgan bo'linish nuqtalaridan perpendikular bilan, siz yana 4 ta kvadrat olasiz.

Natijada, siz 5 ta teng kvadratni olasiz, ularning qirralari asl kvadratning 1/3 qismiga va 1 kvadrat esa asl kvadratlarning 2/3 qismiga teng bo'ladi. Masalan, 12 sm yon tomoni bilan kvadratni ajratish uchun kattaroq kvadratning yon tomonlarini hisoblang va quring: 12 2/3 \u003d 8 sm, keyin kichik kvadratlarning yon tomonlarini toping: 12 1/3 \u003d 4 sm.

Foydali maslahat

Belgilash uchun o'tkir oddiy qalam oling - shundan so'ng geometrik shakllar o'lchamlari bilan bir xil bo'ladi.

Diqqat, faqat BUGUN!

Hammasi qiziq

Bolalar qo'l san'atlari, amaliy dasturlar, plastilindan modellashtirish, origami - bularning barchasi nafaqat qiziqarli, balki foydali, chunki badiiy mahorat, ta'm, nozik vosita mahoratini rivojlantiradi. Bolalar uy qurishni yaxshi ko'radilar. Ular kublar va plastilindan tayyorlanishi mumkin. Siz ...

Har xil geometrik shakllarni qurish nafaqat qiziqarli, balki foydali. Ba'zi dizayn qarorlarini bajarish, bezak berish uchun sizga ellips, doiralar, to'rtburchaklar, ko'pburchaklar va maydonlar kerak bo'lishi mumkin ...

Siz chizilgan asboblar yordamida kvadratni aylanaga osongina kiritishingiz mumkin. Ammo bu muammo ularning to'liq yo'qligida ham hal qilinadi. Faqat kvadratning ba'zi xususiyatlarini eslab qolish kerak.
Sizga ...

Kvadrat muntazam to'rtburchak bo'lib, unda barcha tomonlar teng va barcha burchaklari to'g'ri. Kvadratning perimetri uning barcha tomonlarining uzunliklari yig'indisidir, maydon esa ikki tomonning hosilasi yoki bir tomonning kvadratidir. Ma'lum munosabatlarga asoslanib, ...

Perimetr geometrik shaklning barcha tomonlarining umumiy uzunligidir. Odatda u tomonlarning o'lchamlarini qo'shish orqali topiladi. Doimiy ko'pburchak bo'lsa, perimetrni uchlari orasidagi segment uzunligini shu kabi segmentlar soniga ko'paytirish orqali topish mumkin.

Kvadrat to'rtburchaklar bo'lib, ularning uzunligi teng, qirralari va to'rtta to'g'ri burchakka teng. Agar kerak bo'lsa, siz kvadratdan turli xil geometrik shakllarni olishingiz mumkin, masalan, xuddi shu kvadratchalar, faqat kichikroq, ...

Kvadrat eng oddiylardan biridir muntazam ko'pburchaklar. Agar qutida daftarchadan varaq bo'lsa, unda bu raqamning qurilishi hech qanday savol tug'dirmaydi. Qoplamagan qog'oz yordamida xuddi shu vazifa biroz ko'proq vaqt talab etadi. Va agar bir vaqtning o'zida ...

Kvadrat bilan to'rtburchaklar teng partiyalar. Bu, ehtimol, planimetriyadagi eng oddiy ko'rsatkichdir. Kvadratlar maydonini hisoblash uchun ushbu raqamning yuqori darajada simmetriyasi tufayli uning xususiyatlaridan faqat bittasi kifoya qiladi. Bo'lishi mumkin…

Dastur vazifalari.

1. Hisobni 10 ichida belgilang (oldinga va orqaga). Keyingi, oldingi raqamni toping.

2. Kvadratning to'rt teng qismga bo'linishini tanishtirish turli yo'llar bilan

3. Parchalarni nomlashni va butun va qismni taqqoslashni o'rganing.

4. Atrofdagi narsalarda tanish bo'lgan geometrik shakllarning shakllarini ko'rish qobiliyatida mashq qilish.

5.Qog'oz varag'ida harakatlanish, varaqning qirralarini, burchaklarini va o'rtasini aniqlash qobiliyatini yaxshilang.

Namoyish materiallari. Qaychi, 2 kvadrat, flanelograf, burchaklari va yon tomonlarida to'g'ri chiziqlar va doiralar bo'lgan qog'oz varag'i. har xil rangda, varaqning o'rtasida nuqta chizilgan.

Tarqatma tarqatish. Kvadratlar, qaychi, qog'oz varaqlar, rangli qalamlar.

Sinflarning borishi

1. - Bolalar, Pinokkio bugun bizga tashrif buyurdi. U qanday qilib 10-ga va aksincha hisoblashni unutdi. Biz unga yordam beramizmi?

Bolalar 10 gacha va aksincha. (2-3 bola).

Bolalar, u 5-raqamning qo'shnilarini bilmaydi. Dunno kimga aytadi? 7-raqamning qo'shnilarini nomlang. 3 raqamining qo'shnilarini nomlang.

Bolalarga qo'shni raqamlar deyiladi.

2. "Maydonni qismlarga ajratish" o'yin mashqlari

Bolalar, Pinokkio sizga maydon olib keldi va siz unga va uning do'stlari uchun to'rtta teng qismga bo'lishingizga yordam berishingizni xohlaydi: Malvins, Artemon va Perrot.

Kvadratni qanday ajratish kerakligini allaqachon bilamiz? (Ikkala chaqirilgan bolaga maydonni har xil yo'llar bilan ikkala teng qismga bo'lishlarini va o'z harakatlarini tushuntirishlarini taklif eting)

Qanday raqamlarni oldingiz? (to'rtburchaklar va uchburchaklar)

Har bir qismni nima deb atash mumkin? Butun kvadrat yoki uning bir qismidan ko'proq narsa nima?

Qaysi biri kichikroq: bir ikkinchi kvadratmi yoki butun kvadratmi? To'rt teng qismni qanday olish mumkin? To'g'ri, har ikkisini yarmida kesishingiz kerak.

3. "Maydonni bo'ling va uning qismlarini ko'rsating" o'yin mashqlari

Har bir bolada stollarda kvadrat va qaychi bor.

Bolalar, kvadratlarni har qanday tarzda to'rt teng qismga bo'ling. Kvadratni qanday qilib to'rtta teng qismga bo'lish kerakligini so'rayman. Bolalar kvadratchalarni to'rtta teng qismga ajratadilar.

Keling o'ynaymiz. Men topshiriqlar beraman, siz maydonning bir qismini ko'rsatasiz. To'rt qismdan iborat butun kvadrat hosil qiling. To'rtdan bir (ikkinchi, ikkinchi to'rtinchi, uch to'rtinchi) qismini ko'rsating.

4. Jismoniy tarbiya: "Tezroq turing, tabassum qiling."
Turing, tabassum qiling
Yuqori, yuqori cho'zish.
Yelkangizni to'g'rilang
Ko'tarish, tushirish.
O'ngga, chapga buriling
Qo'llarim tizzalarimga tegdi.
O'tirdi, turdi, o'rnidan turdi.
Va ular o'sha joyda yugurishdi.
Ikkala ustun
Oldingizda ikkita qarsak.
Ikki qo'limizni orqamizga yashiramiz,
Va ikki oyoqqa sakrab chiqamiz.
Yaxshi tayyor. O'rindiq bo'lsin.

5 Keyingi topshirig'imizni ko'rib chiqaylik.

Bolalar, Pinocchio siz uchun didaktik vagras: "O'xshash mavzuni nomlang."
Bolalar, men mavzuni nomlayman va siz menga mos keladigan raqamni ko'rsatasiz. Masalan: quyosh dumaloq shaklda, keyin biz aylanani ko'taramiz. Keyin siz o'zingiz o'ylaysiz va menga kerakli shaklni ko'tarasiz.
Eshik (to'rtburchak), uyning tomi (uchburchak), kub (kvadrat), bodring (tasvirlar).

6. Boshqasini o'ynaymiz qiziqarli o'yin "Eslab qol va takrorla"

Bolalar qog'oz varaqlari va rangli qalamlardan iborat.

Keling, vazifalarni siz bilan yakunlaymiz:

Qog'ozning yuqori tomoniga qizil qalam bilan to'g'ri chiziq torting (pastki qismida yashil qalam bilan, chap tomonda ko'k qalam bilan, o'ng tomonda sariq qalam bilan);

Yuqori chap burchakda qizil qalam bilan doira chizing (pastki chap burchakda ko'k qalam bilan, o'ng tomonda sariq qalam bilan, pastki o'ng tomonda yashil qalam bilan);

Varaqning o'rtasida qizil qalam bilan nuqta qo'ying.

Topshiriqni bajargandan so'ng, o'qituvchi "Siz nimani va qayerda rasm chizdingiz?" Deb so'raydi (bolalar rasmni rangi, joylashuvi deb atashadi va o'z ishlarini o'qituvchining modeli bilan solishtirishadi).

Bolalar, Dunno va uning do'stlari juda mamnun, siz barcha vazifalarni bajardingiz.

Pinokkio va uning do'stlariga yana nima deyishimiz kerak?

Men sizning e'tiboringizga qog'ozning kvadratini teng qismlarga bo'lish usullari va usullarini keltiraman.

Origami ideallaridan biri asl kvadratni oldindan chizmalar va o'lchovlarsiz katlashni talab qiladi. Ushbu katlama bilan, masalan, uch marta qog'oz varag'ini katlama kerak bo'lsa, muammo paydo bo'ladi. Buni qalamga murojaat qilmasdan qanday qilish kerak?

Ushbu maqolada kvadrat varaqni ikki, uch, to'rt, ... o'n teng qismga bo'lish masalasi ko'rib chiqiladi.

Bir varaqni ikki qismga bo'lish qiyin emas, chunki u oddiygina kitobning asosiy shaklini yig'ish orqali amalga oshiriladi.

Keling, kvadrat varaqni uch qismga bo'lishning yanada murakkab muammosiga o'taylik. Bu vazifa shunchalik oson emas. Buni hal qilish uchun bizga Gaaga teoremasi kerak. Qarama-qarshi tomonning o'rtasiga kvadratning burchagini qo'shing. Bunday holda, boshqa tomonning kesishish nuqtasi, bu burchakka va unga tutashgan tomonga qarama-qarshi, yon tomonni birdan ikkitaga bo'linadi. Shunday qilib, biz faqat burmalardan foydalanib, maydonning uchdan bir qismini topdik.

Keyingi vazifa - kvadratning yon tomonlarini to'rt teng qismga bo'lish. Buning uchun ularni ikkiga bo'lish kerak, va keyin har ikkala yarmini yana yarmiga bo'ling. Eshikning asosiy shaklini katlayotganda aynan shunday bo'ladi.

Siz taxmin qilganingizdek, kvadratni besh qismga bo'lish bu juda qiyin ish. Uning echimi rasmda ko'rsatilgan. O'zingiz uchun isbotlashga urinib ko'ringki, shu tarzda biz maydonni haqiqatan ham besh qismga ajratamiz.

Maydonning yon tomonlarini oltita qismga bo'lish uchun, biz yuqorida ko'rsatilganidek, uni uch qismga bo'lishimiz kifoya qiladi. Va keyin, har bir qismini yarmiga bo'ling.

Siz kvadratni bo'laklarning soniga bo'linishi, ma'lum miqdordagi qiyinchiliklarga olib kelishini sezishingiz mumkin.

Biz tomonlarni ettita bir xil qismga bo'lishga kirishamiz. Buning uchun avval kvadratni besh teng qismga bo'linib, so'ngra rasmda ko'rsatilgan amalni bajaring. Kvadratni sakkiz teng qismga bo'lish juda oddiy. Buning uchun uni to'rt teng qismga bo'lish va keyin ularning har birini yarmiga bo'lish kifoya.

Kvadratni to'qqiz teng qismga bo'lish uchun ikkita usulni taklif qilish mumkin. Birinchisi, avval uchta teng qismga bo'linish va keyin kichik kvadrat uchun bo'linishni uchtaga takrorlash. Biroq, bu usul yomon, chunki amalda qo'llanilganda etarlicha aniqlikni ta'minlash qiyin bo'ladi, chunki turli bosqichlarda yo'l qo'yilgan xatolar bir-biriga qo'shilib ketadi.

Yana bir usul yanada original va Koji va Mitsue Fushimi tomonidan taklif etilgan Xag teoremasini ishlab chiqishga asoslangan. E'tibor bering, bu usul kvadratni ettita va to'qqiz qismga bo'lish uchun ishlatilgan. Ehtimol, uni to'qqiz qismga bo'lish uchun tegishli bo'lishi mumkinmi?

Va nihoyat, o'n qismga bo'linish, ketma-ket besh qismga bo'linish va keyin besh qismdan har birini ikkiga bo'lish.

ARIGA ART

Origami darslari mavzulari va asarlari Origami master-klasslari