Suyuq zarrachaning harakatlanuvchi kichik hajmi W uchun impulsning saqlanish qonuni (devorlari o'tib bo'lmaydigan)

bu erda o'ng tomonda tanlangan hajmga ta'sir qiluvchi barcha kuchlarning yig'indisi va soddalik uchun biz birinchi navbatda ichki massa oqimi yo'q deb hisoblaymiz (M "= 0). O'zimizni tana kuchini hisobga olish bilan cheklaymiz F m. (masalan, birlik massasiga ta'sir qiluvchi markazdan qochma yoki tortishish, [n / kg]) va bosim kuchlari P (birlik maydoniga ta'sir qiluvchi, [n / m 2]), biz yozamiz

.

Sharti bilan; inobatga olgan holda (integral suyuqlik zarrasi, ya'ni suyuqlikning ma'lum miqdori ustidan olinadi) va bosimning sirt integralini bitta hajmga aylantirib, tenglamani ko'rinishda qayta yozish mumkin.

. (1.15)

Bu integral shakldagi impulsning saqlanish qonunidir.

Suyuq zarrachaning hajmini o'zboshimchalik bilan tanlashga asoslanib, biz differentsial shaklga o'tishimiz mumkin:

. (1.16)

Bu Lagranj ko'rinishidagi impulsning saqlanish qonunidir.

Tenglamaga kiritilgan dV/dt hosilasi suyuq zarracha tezligining o'zgarishini tavsiflovchi substantiv hosiladir.

Ilgari olingan muhim (umumiy) vaqt hosilasi va tezlikning qisman vaqt hosilasi (ma'lum bir nuqtada tezlikning o'zgarishi) o'rtasidagi bog'liqlikdan foydalanib, biz impulsni saqlash tenglamasining boshqa differentsial shakliga kelamiz (Euler shakli):

. (1.17)

Bu Eyler tenglamasi, u tomonidan 1755 yilda olingan. Bu tenglama impulsning (momentum) saqlanish qonunini ifodalaydi.

Dekart tizimining o'qlariga proyeksiyalarda bu tenglama ko'rinishga ega

Olingan harakat tenglamalarini boshqa shaklda - impuls uzatish ko'rinishida yozamiz. Buning uchun uzluksizlik tenglamasidan foydalanib quyidagi o'zgarishlarni bajaramiz:

, Lekin ,

Keyin va shuning uchun

. (1.18)

Dekart koordinata tizimida bu tenglamalar ko'rinishga ega

Bu tenglamalarni, uzluksizlik tenglamasida bo'lgani kabi, boshqa yo'l bilan ham olish mumkin. Harakatlanuvchi massa oqimida tomonlari dx, dy, dz bo'lgan qo'zg'almas elementar parallelepipedni ajratib ko'raylik va dt vaqt ichida undan oqib o'tadigan suyuqlik massasini hisoblaymiz.

Gaz yoki suyuqlik oqimida chetlari dx, dy, dz bo'lgan elementar parallelepipedni ajratib olaylik. Tanlangan hajmga massa kuchlari (masalan, inertial, tortishish), sirt kuchlari - bosim va ishqalanish ta'sir qiladi. Bu kuchlarning x o‘qiga proyeksiyalarini topamiz (1.5-rasm):

a) dw hajmli elementning markazida tana kuchlarini qo'llaymiz.

Uning x o'qi bo'yicha proyeksiyasi:

xuddi shunday boshqa o'qlar uchun;

b) bosim kuchi. Elementning x o'qi bo'ylab chap tomonida solishtirma bosim R ga teng, Pdydz kuchi dydz maydoniga ta'sir qiladi. Qarama-qarshi tomonda o'ziga xos bosim , va bu tomon kuch ta'sir qiladi . "-" belgisi kuchning x o'qi yo'nalishiga qarshi harakat qilishini ko'rsatadi. Ushbu kuchlarning natijasi ularning algebraik yig'indisiga teng:

. (1.19)

Mexanikaning ikkinchi qonuniga ko'ra, natija elementning massasi rdW va uning tezlanishi dV x /dt ko'paytmasiga teng:

mahalliy qaerda, - V x, d / dt qiymatining konvektiv o'zgarishi - substantiv lotin:

(1.19) va (1.20) tenglamalarni tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

Xuddi shunday, y va z o'qlaridagi kuchlarning proyeksiyalari uchun tenglamalarni yozamiz:

Bu harakat tenglamasi. Ko'pincha shunday yoziladi

Jarayonning statsionarligi holatida tenglamaning birinchi shartlari nolga teng bo'ladi.

Haqiqiy suyuqlik uchun ushbu qonunni ko'rib chiqing, yopishqoqlikni hisobga olgan holda (ichki ishqalanish). Keling, izotermik suyuqlik uchun harakat tenglamalarini ko'rib chiqishdan boshlaylik va yana bir bor eslaylikki, uzluksizlik tenglamasi haqiqiy suyuqlik uchun ham amal qiladi, chunki uning kelib chiqishi faqat materiyaning saqlanish qonuniga asoslangan edi. Ideal suyuqlikning impuls o'tishi uchun qonun shaklida yozilgan tenglamadan foydalanamiz va unga yopishqoq kuchlar ta'sirida impulsning o'tishi uchun javobgar bo'lgan shartlarni qo'shamiz.

Moddiy zarralar sistemasining K asosiy impuls vektori ularning elementar massalari dm va zarracha tezligi V vektorlari ko‘paytmalarining integraliga teng:

.

Massaning W hajmiga m bosh impuls vektorining o'zgarishi haqidagi teoremani qo'llasak. Asosiy impuls vektorining umumiy vaqt hosilasini tashqi massa F va sirt P kuchlarining asosiy vektoriga tenglashtirib, biz hosil bo'lamiz.

, (13)

Bu erda p n - gazdagi ichki kuchlarning (bosim kuchlari va yopishqoq stresslar) V hajmining S yuzasiga qo'llaniladigan natijaviy komponenti.

Biz asosiy vektorning umumiy hosilasini hisoblaymiz va soddalik uchun avvalo ichki massa oqimi yo'q deb hisoblaymiz (M "=0), keyin

(13) ning o‘ng tomonidagi sirt integralini hajm integraliga aylantirish uchun uni quyidagicha qayta yozamiz:

Bu erda p x, p y, p z - saytning ijobiy tomonlariga qo'llaniladigan stress vektori va biz vektor tahlil formulalarini qo'llaymiz:

(1.23)

Keyin bizda bo'ladi

. (1.24)

Unga kiritilgan miqdorlarning qiymatlarini (1.16) o'rniga qo'yib, barcha shartlarni bitta qatorga o'tkazamiz.

. (1.25)

W hajmi ixtiyoriy degan farazdan foydalanib va ​​integrandni nolga tenglashtirib, biz olamiz

Tenglikning ikkala qismini koordinata o'qlari yo'nalishlariga proyeksiya qilib, biz quyidagilarni olamiz:

(1.27)

Kontinuum dinamikasining bu tenglamalari "stresslarda" yoki "momentum tenglamalari".

Nyuton qonuniga ko'ra sirt birligiga ishqalanish kuchi

(m - dinamik yopishqoqlik koeffitsienti, N × s / m 2).

.

.

Kuchlarni umumlashtirib, biz dW hajmga qo'llaniladigan natijaviy kuchlarning x o'qiga proyeksiyasini olamiz:

. (1.28)

1.5-rasmda ko'rsatilgan yondashuvdan foydalanib, yopishqoqlikni hisobga olgan holda harakat tenglamalarini olamiz. V x tezligi faqat y o'qi yo'nalishi bo'yicha o'zgaradigan tekis laminar oqimni hisobga olgan holda aniqlab, ishqalanish kuchini qo'shamiz. Bunday holda, ishqalanish kuchi s faqat elementning yon yuzlarida paydo bo'ladi (1.6-rasm).

Chap tomon yaqinida zarrachalarning tezligi elementning o'ziga nisbatan kamroq, shuning uchun bu erda "y" bo'limida ishqalanish kuchi harakatga qarshi qaratilgan va - sdxdz ga teng. O'ng tomonda harakat tezligi elementning o'ziga qaraganda kattaroqdir, shuning uchun bu erda "y + dy" bo'limida ishqalanish kuchi harakatga yo'naltirilgan va ga teng.

Bu erda Nyuton qonuniga ko'ra, sirt birligiga to'g'ri keladigan ishqalanish kuchi.

Bu ifodani oldingi tenglamaga almashtirib, m = const ni qabul qilib olamiz .

Umuman olganda, V x uch yo'nalishda o'zgarganda, ishqalanish kuchining x o'qiga proyeksiyasi quyidagicha ifodalanadi.

.

Kuchlarni umumlashtirib, biz dW hajmga qo'llaniladigan natijaviy kuchlarning x o'qiga proyeksiyasini olamiz:

. (1.29)

Yana bir muhim hosila tushunchasidan foydalanish

Mexanikaning ikkinchi qonuniga binoan biz quyidagilarni olamiz:

Xuddi shunday, y va z o'qlaridagi kuchlarning proyeksiyalari uchun tenglamalarni yozamiz (buni hisobga olgan holda):

Bu harakat tenglamalari Navye-Stoks tenglamalari deb ataladi. Navier-Stokes shaklidagi harakatning differensial tenglamasi yopishqoq siqiladigan suyuqlik yoki gazning harakatini tavsiflaydi va laminar va turbulent harakat uchun amal qiladi.

"Ideal gaz" gipotezasi holatida Navier-Stokes harakat tenglamalari Eyler tenglamalariga aylanadi:

(1.30)

Jarayonning statsionarligi holatida tenglamaning birinchi shartlari nolga teng bo'ladi. Ikki va bir o'lchovli harakat uchun Navier-Stokes va Eyler tenglamalari mos ravishda soddalashtirilgan.

Energiyani tejash qonuni. Energiyaning saqlanish qonuni suyuqlik yoki gazning har qanday berilgan massasi uchun barcha energiyaning o'zgarmasligini belgilabgina qolmay, balki materiya harakatining turli shakllarini va birinchi navbatda mexanik energiyaning issiqlik energiyasiga o'zaro aylanishini ham aks ettiradi. Ushbu o'zgarishlarni hisoblash uchun energiya saqlanishning umumiy termodinamik qonunidan kelib chiqadigan energiya balansi tenglamasi qo'llaniladi, u harakatlanuvchi muhitning individual (o'tib bo'lmaydigan) hajmi uchun quyidagicha ifodalanadi:

- suyuqlik yoki gazning ajratilgan hajmining umumiy energiyasining vaqt birligidagi o'zgarishi, bu hajmni cheklovchi sirtlarda unga qo'llaniladigan massa va sirt tashqi kuchlari va tashqi tomondan berilgan issiqlik ishining yig'indisiga teng. bir vaqtning o'zida.

Bu qonun integral tenglik bilan ifodalanadi

Qayerda o'ziga xos umumiy energiya; U = c v T - o'ziga xos ichki energiya; tana kuchlarining natijasidir, tanlangan hajm W ning S yuzasiga qo'llaniladigan gazdagi ichki kuchlarning (bosim kuchlari va yopishqoq stresslar) natijaviy komponenti; q - ajratilgan hajmdagi ishchi suyuqlikka vaqt birligida beriladigan energiyaning (odatda issiqlik) o'ziga xos miqdori.

Ajratilgan V hajmining o'zboshimchaliklarini hisobga olgan holda, biz ushbu qonunning differentsial shaklini olamiz:

Energiya tenglamasini kiritish zarurati shundan kelib chiqadiki, ikkita tenglama - uzluksizlik (skalar) va harakat (vektor) - uchta noma'lum miqdorni o'z ichiga oladi: bitta vektor (tezlik) va ikkita skaler (bosim p va zichlik r), shuning uchun gaz uchun ( W = var ) kerakli miqdorlar soni tenglamalar sonidan bittaga ko'p. Agar energiya tenglamasini qo'shsak, u holda yana bir noma'lum miqdor qo'shiladi - harorat T. Tenglamalar tizimi holat tenglamasini, so'ngra aerogasdinamika masalasini (berilgan chegara va boshlang'ich sharoitlarda) qo'shish orqali yopiq bo'lib chiqadi. aniqlanadi.

Agar ideal siqilmaydigan suyuqlik hisoblansa, u holda suyuqlikda issiqlik uzatish va ishqalanish yo'qligi taxmin qilinadi. Bunday holda, harakat har bir suyuqlik zarrachasida adiabatikdir. Shuning uchun energiyaning saqlanish qonuni har bir suyuqlik elementining energiyasi doimiy bo'lib qoladi degan fikrga aylanadi:

Bundan kelib chiqadiki, energiya tenglamasi ideal siqilmaydigan suyuqlikning harakatini tasvirlash uchun ishlatilmaydi.

Tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teoremadan quyidagi muhim natijalarni olish mumkin:

1) Tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning yig'indisi nolga teng bo'lsin:

agar tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlar yig'indisi nolga teng bo'lsa, u holda tizimning impuls vektori kattaligi va yo'nalishi bo'yicha doimiy bo'ladi.

2) Tizimga ta'sir etuvchi tashqi kuchlar shunday bo'lsinki, ularning qandaydir o'qdagi proyeksiyalari yig'indisi (masalan, ho'kiz) nolga teng:

Keyin tenglamadan kelib chiqadiki, bu holda. Shunday qilib, agar biror o’qga ta’sir etuvchi barcha tashqi kuchlarning proyeksiyalari yig’indisi nolga teng bo’lsa, sistema impulsining bu o’qdagi proyeksiyasi o’zgarmas qiymat bo’ladi.

Bu natijalar ifodalanadi sistema impulsining saqlanish qonuni. Ulardan kelib chiqadiki, ichki kuchlar tizimning umumiy impulsini o'zgartira olmaydi. Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik:

a) in'om qilish yoki orqaga qaytarish hodisasi. Agar miltiq va o'qni bitta tizim deb hisoblasak, u holda otish paytida kukun gazlarining bosimi ichki kuch bo'ladi. Bu kuch tizimning umumiy momentumini o'zgartira olmaydi. Ammo o'qga ta'sir etuvchi gazlar unga ma'lum miqdorda oldinga yo'naltirilgan harakatni ta'minlaganligi sababli, ular bir vaqtning o'zida miltiqqa qarama-qarshi yo'nalishda bir xil miqdordagi harakatni berishi kerak. Bu miltiqning orqaga qarab harakatlanishiga olib keladi, ya'ni. qaytish deb ataladigan narsa. Xuddi shunday hodisa quroldan o'q otishda (orqaga qaytish) sodir bo'ladi.

b) Parvona (parvona) ishlashi. Pervanel havoning (yoki suvning) ma'lum bir massasini pervanelning o'qi bo'ylab harakatlanishi haqida xabar beradi va bu massani orqaga tashlaydi. Agar tashlab ketilgan massani va samolyotni (yoki kemani) bitta tizim deb hisoblasak, pervanel va ichki vosita o'rtasidagi o'zaro ta'sir kuchlari ushbu tizimning umumiy impulsini o'zgartira olmaydi. Shuning uchun, havo (suv) massasi orqaga tashlanganda, samolyot (yoki kema) tegishli oldinga siljish tezligini oladi, shunda ko'rib chiqilayotgan tizimning umumiy impulsi nolga teng bo'lib qoladi, chunki u harakat boshlanishidan oldin nolga teng edi. .

Shunga o'xshash ta'sir eshkaklar yoki eshkak eshish g'ildiraklarining harakati bilan erishiladi.

c) reaktiv harakat. Raketa raketasida (raketa) yoqilg'i yonishining gazsimon mahsulotlari raketaning dumidagi teshikdan (reaktiv dvigatelning ko'krak qafasidan) yuqori tezlikda chiqariladi. Bu holda harakat qiluvchi bosim kuchlari ichki kuchlar bo'ladi va ular raketa tizimining umumiy momentumini - yoqilg'i yonish mahsulotlarini o'zgartira olmaydi. Ammo qochib ketgan gazlar orqaga yo'naltirilgan ma'lum miqdordagi harakatga ega bo'lganligi sababli, raketa mos keladigan oldinga tezlikni oladi.

d'Alember printsipi.

Biz hozirgacha ko'rib chiqqan dinamika muammolarini hal qilishning barcha usullari to'g'ridan-to'g'ri Nyuton qonunlaridan yoki ushbu qonunlarning natijalari bo'lgan umumiy teoremalardan kelib chiqadigan tenglamalarga asoslanadi. Biroq, bu yo'l yagona emas. Ma’lum bo‘lishicha, mexanik tizimning harakat tenglamalari yoki muvozanat shartlarini mexanika tamoyillari deb ataladigan Nyuton qonunlari o‘rniga boshqa umumiy mulohazalar qabul qilib olish mumkin. Bir qator hollarda, ushbu tamoyillarni qo'llash, biz ko'rib turganimizdek, tegishli muammolarni hal qilishning yanada samarali usullarini topishga imkon beradi. Ushbu bobda d'Alember printsipi deb ataladigan mexanikaning umumiy tamoyillaridan biri ko'rib chiqiladi.

dan tashkil topgan tizimimiz bor deylik n moddiy nuqtalar. Massa bilan tizimning ba'zi nuqtalarini ajratib ko'rsatamiz. Unga qo'llaniladigan tashqi va ichki kuchlar ta'sirida va (bu faol kuchlarni ham, bog'lanish reaktsiyalarini ham o'z ichiga oladi) nuqta inertial mos yozuvlar tizimiga nisbatan biroz tezlanishni oladi.

Keling, miqdorni hisobga olamiz

kuch o'lchamiga ega. Nuqta massasi va uning tezlanishi ko‘paytmasiga mutlaq qiymatida teng bo‘lgan va shu tezlanishga qarama-qarshi yo‘naltirilgan vektor kattalikka nuqtaning inersiya kuchi (ba’zan d’Alember inersiya kuchi) deyiladi.

Keyin nuqta harakati quyidagi umumiy xususiyatga ega ekanligi ma'lum bo'ladi: agar vaqtning har bir momentida nuqtaga haqiqatda ta'sir etuvchi kuchlarga inersiya kuchini qo'shsak, natijada paydo bo'lgan kuchlar tizimi muvozanatlanadi, ya'ni. bo'ladi

.

Bu ifoda bir moddiy nuqta uchun d'Alembert tamoyilini ifodalaydi. Bu Nyutonning ikkinchi qonuniga ekvivalent va aksincha ekanligini tushunish oson. Darhaqiqat, Nyutonning ikkinchi qonuni ko'rib chiqilayotgan fikrni beradi . Bu erda atamani tenglikning o'ng tomoniga o'tkazsak, biz oxirgi munosabatga kelamiz.

Tizimning har bir nuqtasiga nisbatan yuqoridagi fikrni takrorlab, tizim uchun d'Alembert tamoyilini ifodalovchi quyidagi natijaga erishamiz: agar vaqtning istalgan momentida tizimning har bir nuqtasiga haqiqatda ta'sir etuvchi tashqi va ichki kuchlarga qo'shimcha ravishda tegishli inersiya kuchlari qo'llanilsa, natijada paydo bo'lgan kuchlar tizimi muvozanatda bo'ladi va barcha tenglamalar unga statikani qo'llash mumkin.

D'Alember prinsipining ahamiyati shundan iboratki, uni to'g'ridan-to'g'ri dinamika masalalariga qo'llaganda, sistemaning harakat tenglamalari ma'lum muvozanat tenglamalari shaklida tuziladi; bu muammolarni hal qilishda yagona yondashuvni yaratadi va odatda tegishli hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtiradi. Bundan tashqari, keyingi bobda muhokama qilinadigan mumkin bo'lgan siljishlar printsipi bilan birgalikda d'Alember printsipi dinamika muammolarini hal qilishning yangi umumiy usulini olish imkonini beradi.

D'Alember tamoyilini qo'llagan holda shuni yodda tutish kerakki, mexanik tizimning harakati o'rganilayotgan nuqtaga faqat tashqi va ichki kuchlar ta'sir qiladi va bu nuqtalarning o'zaro ta'siri natijasida paydo bo'ladi. tizim bir-biri bilan va tizimga kirmagan organlar bilan; bu kuchlar ta'sirida tizim nuqtalari va mos tezlanishlar bilan harakatlanadi. D'Alember printsipida qayd etilgan inersiya kuchlari harakatlanuvchi nuqtalarga ta'sir qilmaydi (aks holda bu nuqtalar tinch holatda yoki tezlanishsiz harakat qiladi, keyin esa inersiya kuchlarining o'zi bo'lmaydi). Inertial kuchlarning kiritilishi shunchaki statikaning oddiy usullaridan foydalangan holda dinamika tenglamalarini tuzishga imkon beruvchi texnikadir.

Aylanma harakat dinamikasining asosiy tenglamasiga murojaat qilaylik

va tashqi kuchlar tanaga umuman ta'sir qilmasa yoki ularning natijasi aylanish o'qi atrofida bir lahzani ham bermaydigan maxsus holatni ko'rib chiqing.

Ammo agar miqdorning o'zgarishi nolga teng bo'lsa, demak, miqdorning o'zi doimiy bo'lib qoladi:

Guruch. 66. Salto-mortale.

Shunday qilib, agar tashqi kuchlar tanaga ta'sir qilmasa (yoki ularning aylanish o'qiga nisbatan hosil bo'lgan momenti nolga teng bo'lsa), u holda tananing aylanish o'qiga nisbatan burchak momenti o'zgarishsiz qoladi. Bu qonun aylanish o'qiga nisbatan burchak momentining saqlanish qonuni deb ataladi

Keling, burchak momentumining saqlanish qonunini ko'rsatadigan bir nechta misollar keltiramiz.

Gimnastikachi, boshi ustidan sakrab o'tayotganda (66-rasm), qo'llari va oyoqlarini tanaga bosadi. Bu uning inertsiya momentini kamaytiradi,

va mahsulot o'zgarishsiz qolishi kerakligi sababli, aylanishning burchak tezligi ortadi va gimnastikachi havoda bo'lgan qisqa vaqt ichida u to'liq inqilob qilishga muvaffaq bo'ladi.

To'p tayoqqa o'ralgan ipga bog'langan; ipning uzunligi qisqarganda, to'pning inersiya momenti kamayadi va shuning uchun burchak tezligi ortadi.

Guruch. 67 Jukovskiy skameykasida turgan odamning aylanishi. qo'llarini tushirsa tezlashtiring, ko'tarsa ​​sekinlashtiring.

Guruch. 68. Agar biz velosiped g'ildiragini boshimizdan yuqoriga ko'tarib, uni aylantirsak, biz o'zimiz platforma bilan birgalikda teskari yo'nalishda aylana boshlaymiz.

Bir qator qiziqarli tajribalarni sharli podshipnikda (Jukovskiy skameykasi) aylanadigan platformada turib amalga oshirish mumkin. Shaklda. 67 va 68 bu tajribalarning ba'zilarini ko'rsatadi.

Oxirgi paragraflarda olingan tenglamalarni to‘g‘ri chiziqli ko‘chirish harakati qonunlari bilan solishtirsak, qo‘zg‘almas o‘q atrofida aylanish harakatini aniqlovchi formulalar to‘g‘ri chiziqli ko‘chirish harakati formulalariga o‘xshashligini ko‘rish oson.

Quyidagi jadvalda ushbu harakatlarni aniqlaydigan asosiy miqdorlar va tenglamalar taqqoslanadi:

(qarang skanerlash)

Giroskoplar. Reaktiv giroskopik effekt. To'liq simmetriya o'qi (erkin o'q) atrofida yuqori burchak tezligida aylanadigan qattiq jismga giroskop deyiladi. Burchak momentum vektorining saqlanish qonuniga ko'ra, giroskop o'z aylanish o'qi yo'nalishini fazoda o'zgarmasdan saqlashga intiladi va katta barqarorlikni namoyon qiladi (ya'ni, aylanish o'qining aylanishiga qarshilik qanchalik katta bo'lsa), shunchalik katta bo'ladi. uning inersiya momenti va aylanishning burchak tezligi qanchalik katta bo'lsa.

Agar biz biron bir katta harakatsiz jismni cho'zilgan qo'llarimizda ushlab, unga, masalan, chapdan o'ngga harakat qilishni aytsak, tana tomonidan ishlab chiqilgan inertsiya kuchi bizni teskari yo'nalishda harakatga keltiradi. Aylanadigan giroskopning inertsiya kuchlarining namoyon bo'lishi, biz uning aylanish o'qini aylantirsak, bir qarashda ancha murakkab va kutilmagan bo'lib chiqadi. Shunday qilib, agar biz giroskopning gorizontal yo'naltirilgan aylanish o'qini qo'limizda ushlab, o'qning bir uchini ko'tarib, ikkinchisini tushira boshlasak, ya'ni o'qni vertikal tekislikda aylantirsak, u holda biz o'qning bosim o'tkazayotganini his qilamiz. qo'llarda vertikal emas, balki gorizontal tekislikda, qo'llarimizdan birini bosib, ikkinchisini torting. Agar o'ng tomondan qaralganda, giroskopning aylanishi soat yo'nalishi bo'yicha sodir bo'lsa (ya'ni, giroskopning momentum momenti gorizontal ravishda chapga yo'naltirilgan bo'lsa), u holda o'qning chap uchini ko'tarishga urinish. , o'ng uchini pastga tushirish, o'qning chap uchi gorizontal tekislikda bizdan uzoqda, o'ng esa - biz tomonda harakatlanishiga olib keladi.

Giroskopning bunday reaktsiyasi (giroskopik effekt deb ataladi) giroskopning o'zining burchak momentumini o'zgarmasligini va bundan tashqari, uni nafaqat kattalikda, balki yo'nalishi bo'yicha ham o'zgarishsiz saqlash istagi bilan izohlanadi. Darhaqiqat, giroskopning aylanish o'qining vertikal tekislikda a burchak bilan aylanishida (69-rasm) giroskopning burchak momenti geometrik jihatdan o'zgarmas bo'lishi uchun giroskop vertikal o'q atrofida qo'shimcha aylanishga ega bo'lishi kerak. impuls momenti bilan shunday geometrik

Shu sababli, harakatlanuvchi o'qda og'irlik bilan muvozanatlangan aylanadigan giroskop (70-rasm) qo'shimcha qiymatlarni oladi.

vertikal o'q atrofida aylanish, agar giroskopni muvozanatlashtirgan og'irlik o'qning tayanch nuqtasidan bir oz uzoqlashsa (og'irlik kattalashganda, og'irlik o'qga ma'lum bir moyillik beradi, bu esa giroskop o'qining tayanch nuqtasi atrofida yo'nalishda aylanishiga olib keladi). bu 69-rasmdagi vektor yo'nalishiga mos keladi).

Xuddi shu sababga ko'ra, tepaning o'qi tortishish kuchining ag'darilgan ta'siri natijasida aylanma harakatga ega bo'lib, u presessiya deb ataladi (71-rasm).

Shunday qilib, agar aylanadigan giroskopga uni aylanish o'qiga perpendikulyar bo'lgan o'q atrofida aylantirishga moyil bo'lgan bir nechta kuch qo'llanilsa, u holda giroskop aslida aylanadi, lekin faqat uchinchi o'q atrofida, birinchi ikkitasiga perpendikulyar. Aylanadigan giroskopni burish uchun (masalan, 72-rasmda ko'rsatilgan yo'nalishda) aylanish yo'nalishiga perpendikulyar tekislikda giroskopning o'qiga moment qo'llash kerak.

Guruch. 71. Tepaning harakatlanish sxemasi.

Yuqorida tavsiflanganlarga o'xshash hodisalarni batafsilroq tahlil qilish shuni ko'rsatadiki, giroskop o'z aylanish o'qini majburiy aylanish o'qi bilan mumkin bo'lgan eng kichik burchakni hosil qiladigan tarzda joylashtirishga intiladi va ikkala aylanish ham bir yo'nalishda amalga oshiriladi. .

Giroskopning bu xususiyati, ayniqsa, dengiz flotida keng qo'llaniladigan giroskopik kompasda qo'llaniladi. Girokompas - bu tez aylanadigan tepa (uch fazali oqim dvigateli, 25000 rpm gacha), u simobli idishdagi maxsus floatda suzadi va uning o'qi meridian tekisligida o'rnatiladi. Bunday holda, tashqi momentning manbai Yerning o'z o'qi atrofida kunlik aylanishidir. Uning ta'siri ostida giroskopning aylanish o'qi Yerning aylanish o'qiga to'g'ri keladi va Yerning aylanishi giroskopda doimiy ravishda harakat qilganligi sababli, giroskopning o'qi nihoyat bu pozitsiyani egallaydi, ya'ni , u meridian bo'ylab o'rnatiladi va oddiy magnit igna kabi butunlay unda qolishda davom etadi.

Gyroskoplar ko'pincha stabilizator sifatida ishlatiladi. Ular okeandagi kemalarda pitchingni kamaytirish uchun o'rnatiladi.

Bir relsli temir yo'llar uchun stabilizatorlar ham ishlab chiqilgan; bitta relsli vagon ichiga o'rnatilgan massiv, tez aylanadigan giroskop vagonning ag'darilishiga yo'l qo'ymaydi. Giroskopik stabilizatorlar uchun rotorlar 1 dan 100 tonnagacha yoki undan ortiq og'irlikda ishlab chiqariladi.

Torpedolarda rul boshqaruviga avtomatik ravishda ta'sir qiluvchi giroskopik qurilmalar torpedaning o'q otish yo'nalishi bo'yicha harakatining to'g'riligini ta'minlaydi.

Guruch. 73. Yer o'qining presessiyasi.

Erning kunlik aylanishi uni giroskopga o'xshatadi. Yer shar emas, balki ellipsoidga yaqin figura bo'lgani uchun Quyoshning tortishishi natijasida Yerning massa markazidan o'tmaydigan natija hosil bo'ladi (to'pda bo'lgani kabi). Natijada, Yerning aylanish o'qini o'z orbitasi tekisligiga perpendikulyar aylantirishga intiluvchi moment paydo bo'ladi (73-rasm). Shu munosabat bilan er o'qi presession harakatni boshdan kechirmoqda (taxminan 25800 yil ichida to'liq inqilob bilan).

Uning harakatlari, ya'ni. qiymat.

Puls tezlik vektori yo'nalishi bo'yicha mos keladigan vektor miqdori.

SI tizimidagi impuls birligi: kg m/s .

Jismlar tizimining impulsi tizimga kiritilgan barcha jismlar impulslarining vektor yig'indisiga teng:

Impulsning saqlanish qonuni

Agar o'zaro ta'sir qiluvchi jismlar tizimiga qo'shimcha tashqi kuchlar ta'sir etsa, masalan, bu holda munosabatlar o'rinli bo'lib, uni ba'zan impulsning o'zgarishi qonuni deb ham ataladi:

Yopiq tizim uchun (tashqi kuchlar bo'lmaganda) impulsning saqlanish qonuni amal qiladi:

Impulsning saqlanish qonunining harakati miltiqdan otish paytida yoki artilleriyadan otish paytida orqaga qaytish hodisasini tushuntirishi mumkin. Shuningdek, impulsning saqlanish qonunining ishlashi barcha reaktiv dvigatellarning ishlash printsipi asosida yotadi.

Jismoniy masalalarni yechishda harakatning barcha detallarini bilish talab etilmasa, lekin jismlarning o'zaro ta'sirining natijasi muhim bo'lganda impulsning saqlanish qonuni qo'llaniladi. Bunday muammolar, masalan, jismlarning ta'siri yoki to'qnashuvi muammolari. Impulsning saqlanish qonuni o'zgaruvchan massali jismlarning, masalan, raketalarning harakatini ko'rib chiqishda qo'llaniladi. Bunday raketa massasining katta qismi yoqilg'i hisoblanadi. Parvozning faol bosqichida bu yoqilg'i yonib ketadi va raketaning massasi traektoriyaning bu qismida tez kamayadi. Shuningdek, kontseptsiyani qo'llash mumkin bo'lmagan hollarda impulsning saqlanish qonuni zarur. Harakatsiz jism bir zumda qandaydir tezlikka ega bo'ladigan vaziyatni tasavvur qilish qiyin. Oddiy amaliyotda jismlar doimo tezlashadi va asta-sekin tezlikni oladi. Biroq, elektronlar va boshqa subatomik zarralar harakati paytida ularning holatining o'zgarishi oraliq holatlarda qolmagan holda keskin ravishda sodir bo'ladi. Bunday hollarda klassik "tezlashtirish" tushunchasini qo'llash mumkin emas.

Muammoni hal qilishga misollar

MISOL 1

Mashq qilish	Massasi 100 kg bo'lgan snaryad temir yo'l bo'ylab 500 m/s tezlikda gorizontal uchib ketayotib, massasi 10 tonna qum bo'lgan vagonga tegib, uning ichiga tiqilib qoladi. Mashina snaryadga qarama-qarshi yo'nalishda 36 km/soat tezlikda harakatlansa, qanday tezlikka erishadi?
Yechim	Vagon+snaryad tizimi yopiq, shuning uchun bu holda impulsning saqlanish qonunini qo'llash mumkin. Keling, o'zaro ta'sirdan oldin va keyin jismlarning holatini ko'rsatib, chizma tuzamiz. Snaryad va avtomobil o'zaro ta'sir qilganda, noelastik zarba paydo bo'ladi. Bu holda impulsning saqlanish qonuni quyidagicha yoziladi: O'qning avtomobil harakat yo'nalishiga to'g'ri keladigan yo'nalishini tanlab, biz ushbu tenglamaning proyeksiyasini koordinata o'qiga yozamiz: Snaryad urilgandan keyin mashinaning tezligi qayerda: Biz birliklarni SI tizimiga aylantiramiz: t kg. Keling, hisoblab chiqamiz:
Javob	Snaryadga urilgandan keyin mashina 5 m/s tezlikda harakatlanadi.

2-MISA

Mashq qilish	Massasi m=10 kg bo'lgan snaryad yuqori nuqtada v=200 m/s tezlikka ega edi. Bu vaqtda u ikki qismga bo'lindi. Massasi m 1 =3 kg bo'lgan kichikroq qism gorizontga burchak ostida bir xil yo'nalishda v 1 =400 m/s tezlikni oldi. Snaryadning ko'p qismi qanday tezlikda va qaysi yo'nalishda uchadi?
Yechim	Snaryadning traektoriyasi paraboladir. Jismning tezligi har doim traektoriyaga tangensial ravishda yo'naltiriladi. Traektoriyaning yuqori qismida o'qning tezligi o'qga parallel. Impulsning saqlanish qonunini yozamiz: Keling, vektorlardan skayarlarga o'tamiz. Buning uchun vektor tengligining ikkala qismini kvadratga aylantiramiz va quyidagi formulalardan foydalanamiz: Buni va shuni hisobga olib, biz ikkinchi fragmentning tezligini topamiz: Olingan formulaga jismoniy miqdorlarning raqamli qiymatlarini almashtirib, biz hisoblaymiz: Ko'pgina snaryadlarning uchish yo'nalishi quyidagilar yordamida aniqlanadi: Raqamli qiymatlarni formulaga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
Javob	Snaryadning ko'p qismi gorizontal yo'nalishda burchak ostida 249 m / s tezlikda uchadi.

MISOL 3

Mashq qilish

Poyezdning massasi 3000 t ishqalanish koeffitsienti 0,02. Harakat boshlanganidan 2 minut o'tgach, poezd soatiga 60 km tezlikka chiqishi uchun parovozning o'lchami qanday bo'lishi kerak.

Yechim

Poyezdda (tashqi kuch) ta'sir qilganligi sababli, tizimni yopiq deb hisoblash mumkin emas va bu holda impulsning saqlanish qonuni bajarilmaydi. Impulsning o'zgarishi qonunidan foydalanamiz: Ishqalanish kuchi har doim tananing harakatiga qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltirilganligi sababli, tenglamaning koordinata o'qi bo'yicha proyeksiyasida (o'qning yo'nalishi poezd harakati yo'nalishiga to'g'ri keladi), ishqalanish kuchi impulsi kiradi. minus belgisi bilan:

1. Agar tizimning barcha tashqi kuchlarining asosiy vektori nolga teng bo'lsa (), u holda tizimning harakat miqdori kattaligi va yo'nalishi bo'yicha doimiy bo'ladi.

2. Agar tizimning barcha tashqi kuchlarining bosh vektorining istalgan o'qdagi proyeksiyasi nolga teng bo'lsa (
), u holda tizim impulsining bu o'qqa proyeksiyasi doimiy qiymatdir.

Massalar markazining harakati haqidagi teorema.

Teorema Tizimning massa markazi, agar ko'rib chiqilayotgan mexanik tizimga qo'llaniladigan barcha tashqi kuchlar nuqtaga ta'sir etsa, massasi butun tizimning massasiga teng bo'lgan moddiy nuqta bilan bir xil tarzda harakat qiladi.

, shuning uchun

Tizimning impuls momenti.

momentum momenti moddiy nuqtalar tizimlari ba'zi markaz haqida shu sistemaning alohida nuqtalarining bir xil markazga nisbatan impuls momentlarining vektor yig'indisi deyiladi

momentum momenti moddiy nuqtalar tizimlari
ba'zi eksa haqida
markazdan o'tadi , impuls vektorining proyeksiyasi deyiladi
bu o'qda
.

Qattiq jismning aylanish harakati paytidagi aylanish o'qiga nisbatan qattiq jismning momentum momenti.

Qattiq jismning aylanish o'qiga nisbatan burchak momentini hisoblaylik.

Aylanish harakati paytida qattiq jismning aylanish o'qiga nisbatan burchak impulsi tananing burchak tezligi va uning aylanish o'qiga nisbatan inersiya momentining ko'paytmasiga teng.

Tizimning burchak impulsining o'zgarishi haqidagi teorema.

Teorema. Tizimning qaysidir markazga nisbatan olingan burchak impulsining vaqt hosilasi sistemaga ta’sir etuvchi tashqi kuchlar momentlarining bir xil markazga nisbatan vektor yig‘indisiga teng.

(6.3)

Isbot: uchun burchak momentining o'zgarishi haqidagi teorema
nuqtalar quyidagicha ko'rinadi:

,

Keling, hammasini birlashtiraylik tenglamalar tuzing va oling:

yoki
,

Q.E.D.

Teorema. Har qanday o'qga nisbatan olingan tizim impuls momentining vaqt hosilasi sistemaga bir xil o'qga nisbatan ta'sir qiluvchi tashqi kuchlar momentlarining vektor yig'indisiga teng.

Buni isbotlash uchun vektor tenglamani (6.3) shu o'qqa proyeksiya qilish kifoya. Eksa uchun
u shunday ko'rinadi:

(6.4)

Massalar markaziga nisbatan sistemaning burchak impulsining o'zgarishi haqidagi teorema. (dalil yo'q)

Tizimning massa markazi bilan birga oldinga harakatlanuvchi o'qlar uchun massalar markaziga nisbatan tizimning burchak momentumining o'zgarishi haqidagi teorema qo'zg'almas markazga nisbatan bir xil shaklni saqlab qoladi.

Modul 2. Materiallarning mustahkamligi.

1-mavzu kuchlanish-siqilish, buralish, egilish.

Ko'rib chiqilayotgan jismning (konstruktiv elementlarning) deformatsiyalari tashqi kuch ta'siridan kelib chiqadi. Bunday holda, tananing zarralari orasidagi masofalar o'zgaradi, bu esa o'z navbatida ular orasidagi o'zaro tortishish kuchlarining o'zgarishiga olib keladi. Natijada, ichki harakatlar mavjud. Bunday holda, ichki kuchlar universal kesma usuli (yoki kesish usuli) bilan aniqlanadi.

Ma'lumki, tashqi kuchlar va ichki kuchlar mavjud. Tashqi kuchlar (yuklar) ikki xil jismning o'zaro ta'sirining miqdoriy o'lchovidir. Bularga bog'lanish reaktsiyalari kiradi. Ichki kuchlar - bu kesmaning qarama-qarshi tomonlarida joylashgan va tashqi kuchlar ta'siridan kelib chiqqan bir xil tananing ikki qismining o'zaro ta'sirining miqdoriy o'lchovidir. Ichki kuchlar to'g'ridan-to'g'ri deformatsiyalanadigan tanada paydo bo'ladi.

1-rasmda muvozanat kuchlar tizimini tashkil etuvchi tashqi yukning o'zboshimchalik bilan birikmasi bilan barni hisoblash sxemasi ko'rsatilgan:

Yuqoridan pastgacha: elastik tana, chap kesish, o'ng kesim 1-rasm. Bo'lim usuli.

Bunday holda, bog'lanish reaktsiyalari qattiq jism statikasi muvozanatining ma'lum tenglamalaridan aniqlanadi:

bu yerda x 0, y 0, z 0 o’qlarning asosiy koordinata sistemasi.

Nurni ixtiyoriy A bo'limi bilan ikki qismga aqliy ravishda kesish (1-rasm a) ikkita kesilgan qismning har biri uchun muvozanat shartlariga olib keladi (1-rasm b, c). Bu yerga ( S') va ( S"} - tashqi kuchlar ta'sirida mos ravishda chap va o'ng kesilgan qismlarda paydo bo'ladigan ichki kuchlar.

Aqliy kesilgan qismlarni tuzishda tananing muvozanat holati quyidagi nisbat bilan ta'minlanadi:

Tashqi kuchlarning boshlang'ich tizimi (1) nolga teng bo'lganligi sababli biz quyidagilarni olamiz:

{S ’ } = – {S ” } (3)

Bu holat harakat va reaksiya kuchlarining tengligi haqidagi statikaning to'rtinchi aksiomasiga mos keladi.

Teoremaning umumiy metodologiyasidan foydalanish poinsot ixtiyoriy kuchlar tizimini berilgan markazga keltirish va massa markazini kamaytirish qutbi sifatida tanlash haqida, kesmalar A " , nuqta BILAN " , chap tomon uchun ichki kuchlar tizimi ( S ’ ) ichki harakatlarning asosiy vektoriga va asosiy momentiga qisqartiriladi. Xuddi shunday, u o'ng kesilgan qism uchun amalga oshiriladi, bu erda bo'limning massa markazining pozitsiyasi A"; nuqta bilan mos ravishda belgilanadi BILAN"(1-rasm b, c).

Shunday qilib, nurning chap shartli kesilgan qismida paydo bo'ladigan ichki kuchlar tizimining asosiy vektori va asosiy momenti kattaligi bo'yicha teng va yo'nalishi bo'yicha asosiy vektorga va yuzaga keladigan ichki kuchlar tizimining asosiy momentiga qarama-qarshidir. o'ng shartli ravishda kesilgan qismda.

Asosiy vektor va asosiy momentning raqamli qiymatlarini nurning uzunlamasına o'qi bo'ylab taqsimlash grafigi (epure) va birinchi navbatda, tuzilmalarning mustahkamligi, qattiqligi va ishonchliligining o'ziga xos masalalarini oldindan belgilab beradi.

Qarshilikning oddiy turlarini tavsiflovchi ichki kuchlarning tarkibiy qismlarini shakllantirish mexanizmini aniqlaylik: kuchlanish-siqish, kesish, buralish va egilish.

O'rganilayotgan bo'limlarning massa markazlarida BILAN" yoki BILAN"Keling, o'zimizni chap tomonga o'rnatamiz (c, x, y, z") yoki to'g'ri (c", x", y", z") koordinata o'qlari tizimlari (1-rasm b, c), ular asosiy koordinatalar tizimidan farqli o'laroq x, y, z biz "izdoshlar" deb chaqiramiz. Bu atama ularning funktsional maqsadi bilan bog'liq. Ya'ni: A bo'limining holatidagi o'zgarishlarni (1-rasm a) nurning uzunlamasına o'qi bo'ylab shartli siljishi bilan kuzatish, masalan: 0 x' 1 a, bolta 2 b va boshqalar, qayerda A Va b- nurning o'rganilayotgan uchastkalari chegaralarining chiziqli o'lchamlari.

Bosh vektor yoki va asosiy moment yoki servo tizimning koordinata o'qlariga proyeksiyalarining ijobiy yo'nalishlarini o'rnatamiz (1-rasm b, c):

(N ' , Q ' y , Q ' z ) (M ' x , M ' y , M ' z )
(N ” , Q ” y , Q ” z ) (M ” x, M ” y, M ” z )

Bunda asosiy vektor proyeksiyalarining ijobiy yo'nalishlari va ichki kuchlarning servo koordinata tizimining o'qidagi asosiy momenti nazariy mexanikadagi statika qoidalariga mos keladi: kuch uchun - o'qning ijobiy yo'nalishi bo'ylab, moment uchun - o'qning oxiridan qaralganda soat miliga teskari aylanish. Ular quyidagicha tasniflanadi:

N x- normal kuch, markaziy kuchlanish yoki siqilish belgisi;

M x - ichki moment, buralish paytida paydo bo'ladi;

Q z , Q da- ko'ndalang yoki kesish kuchlari - kesish deformatsiyalarining belgisi,

M da , M z- ichki bükme momentlari, egilishga mos keladi.

Nurning chap va o'ng aqliy ravishda kesilgan qismlarini bog'lash mutlaq qiymatdagi tenglik va bir xil nomdagi ichki kuchlarning barcha tarkibiy qismlarining teskari yo'nalishi bo'yicha ma'lum (3) tamoyiliga va muvozanat holatiga olib keladi. nur quyidagicha aniqlanadi:

3, 4, 5 munosabatlarining tabiiy natijasi sifatida olingan shart ichki kuchlarning o'xshash komponentlari uchun nolga ekvivalent kuchlarning quyi tizimlarini juftlikda hosil qilish uchun zarurdir:

1. {N ’ , N ” } ~ 0 > N ’ = – N ”
2. {Q ’ y , Q ” y } ~ 0 > Q ’ y = – Q ” y
3. {Q ’ z , Q ” z } ~ 0 > Q ’ z = – Q ” z
4. {M ’ x , M ” x } ~ 0 > M ’ x = – M ” x
5. {M ’ y , M ” y } ~ 0 > M ’ y = – M ” y
6. {M ’ z , M ” z } ~ 0 > M ’ z = – M ” z

Statik jihatdan aniqlanishi mumkin bo'lgan muammolardagi ichki kuchlarning umumiy soni (olti) kuchlarning fazoviy tizimi uchun muvozanat tenglamalari soniga to'g'ri keladi va bir shartli ravishda kesilgan tananing boshqa qismiga nisbatan mumkin bo'lgan o'zaro siljishlari soni bilan bog'liq.

Kerakli kuchlar koordinata o'qlarining servo tizimidagi har qanday kesilgan qismlar uchun mos keladigan tenglamalardan aniqlanadi. Demak, har qanday kesma qismi uchun mos keladigan muvozanat tenglamalari shaklni oladi;

1. ix = N + P 1x + P 2x + … + P kx = 0 > N
2. iy = Q y + P 1y + P 2y + … + P ky = 0 > Q y
3. iz = Q + P 1z + P 2z + … + P kz = 0 > Q z
4. x (P i) = M x + M x (P i) + … + M x (P k) = 0 > M x
5. y (P i) = M y + M y (P i) + … + M y (P k) = 0 > M y
6. z (P i) = M z + M z (P i) + … + M z (P k) = 0 > M z

Bu erda koordinatalar tizimini belgilashning soddaligi uchun c"x"y"z" Va s"x"y"t" bitta bilan almashtirildi oxuz.