Bu formulalar figura ustidagi integralni berilgan figuraning chegarasidagi ba'zi integral bilan bog'laydi.

Funktsiyalar sohada uzluksiz bo'lsin DÌ Oksi va uning chegarasida G; mintaqa D- bog'langan; G parcha-parcha silliq egri chiziqdir. Keyin haqiqat Green formulasi:

bu erda chap tomonda birinchi turdagi egri chiziqli integral, o'ngda qo'sh integral; sxema G soat miliga teskari buriladi.

Mayli T boʻlak-boʻlak-silliq chegaralangan ikki tomonlama sirtdir. G. Funktsiyalar bo'lsa P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) va ularning birinchi tartibli qisman hosilalari sirt nuqtalarida uzluksizdir T va chegaralar G, keyin Stokes formulasi:

(2.23)

chap tomonda ikkinchi turdagi egri chiziqli integral; o'ng tomonda - ikkinchi turdagi sirt integrali, sirtning boshqa tomonida olingan T, egri chiziqni kesib o'tishda chap tomonda qoladi G.

Agar ulangan hudud bo'lsa VÌ Oxyz parcha-parcha silliq, yopiq sirt bilan chegaralangan T, va funktsiyalari P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) va ularning birinchi tartibli qisman hosilalari dan nuqtalarda uzluksizdir V Va T, keyin Ostrogradskiy-Gauss formulasi:

(2.24)

chap tomonda, sirtning tashqi tomonida ikkinchi turdagi sirt integrali T; o'ng tomonda maydon ustidagi uch karrali integral V.

1-misol Kuchning ishini hisoblang aylana uni qo'llash nuqtasini aylanib o'tayotganda G: , o'qdan boshlab ho'kiz, soat yo'nalishi bo'yicha (2.18-rasm).

Yechim. Ish teng . Grin formulasini (2.22) qo'llaymiz, integralning o'ng tomoniga "-" belgisini qo'yamiz (chunki sxema soat yo'nalishi bo'yicha harakatlanadi) va shuni hisobga olamiz. P(x,y)=x-y, Q(x,y)=x+y. Bizda ... bor:
,
Qayerda S D- doira maydoni D: ga teng. Natijada: - kuchning istalgan ishi.

2-misol Integralni hisoblash , Agar G samolyotda aylana bor z=2, soat miliga teskari yo'nalishda chetlab o'tilgan.

Yechim. Stokes formulasi (2.23) bo'yicha biz aylana bo'ylab dastlabki integralni sirt integraliga kamaytiramiz. T:
T:

Shunday qilib, buni hisobga olsak, bizda:

Oxirgi integral qo'sh doira integralidir DÌ Oksi, uning ustiga aylana proyeksiya qilingan T; D: . Keling, qutb koordinatalariga o'tamiz: x=r cosj, y=r sinj, jO, r O. Natijada:
.

3-misol Oqim toping P T piramidalar V: (2.19-rasm) sirtga tashqi normal yo'nalishda.

Yechim. Oqim shunday . Ostrogradskiy-Gauss formulasini (2.24) qo'llagan holda, biz muammoni rasm bo'yicha uch karrali integralni hisoblashga keltiramiz. V- piramida:

4-misol Oqim toping P to'liq sirt orqali vektor maydoni T piramidalar V: ; (2.20-rasm), sirtga tashqi normal yo'nalishda.

Yechim. Biz Ostrogradskiy-Gauss formulasini qo'llaymiz (2.24) , bu erda V- piramidaning hajmi. Keling, oqimni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash yechimi bilan taqqoslaylik ( – piramida yuzlari).

,
yuzlarning tekislikka proyeksiyasidan beri Oksi nol maydonga ega (2.21-rasm),

(Ostrogradskiy Mixail Vasilyevich (1861-1862) - rus matematigi,

Akademik Peterburg. A.N.)

(Jorj Grin (1793 - 1841) - ingliz matematigi)

Ba'zida bu formula Grin formulasi deb ataladi, ammo J.

Green 1828 yilda formulaning faqat alohida holatini taklif qildi.

Ostrogradskiy-Yashil formula egri chiziqli integral va qo'sh integral o'rtasidagi aloqani o'rnatadi, ya'ni. yopiq kontur ustidagi integralning bu kontur bilan chegaralangan mintaqa ustidagi qo'sh integral ko'rinishida ifodasini beradi.

Agar yopiq pastadir rasmda ko'rsatilgan shaklga ega bo'lsa, L halqa ustidagi egri chiziqli integral quyidagicha yozilishi mumkin:

Agar konturning AB va CD bo'limlari ixtiyoriy egri chiziqlar sifatida qabul qilinsa, shunga o'xshash o'zgarishlarni amalga oshirgandan so'ng, biz ixtiyoriy shakldagi kontur uchun formulani olamiz:

Bu formula Ostrogradskiy-Yashil formula deb ataladi.

Ostrogradskiy-Yashil formula ko'paytiriladigan bog'langan domen holatida ham amal qiladi, ya'ni. tashqari hududlar mavjud bo'lgan hudud. Bunday holda, formulaning o'ng tomoni mintaqaning tashqi konturi ustidagi integrallarning yig'indisi va barcha chiqarib tashlangan bo'limlarning konturlari ustidagi integrallarning yig'indisi bo'ladi va bu konturlarning har biri shunday yo'nalishda birlashtirilganki, mintaqa D. har doim aylanma chiziqning chap tomonida qoladi.

Misol. Keling, yuqorida muhokama qilingan misolni Ostrogradskiy-Grin formulasidan foydalanib hal qilaylik.

Ostrogradskiy-Grin formulasi egri chiziqli integralni hisoblashni sezilarli darajada soddalashtirishga imkon beradi.

Egri chiziqli integral, agar u boshlang'ich va tugash nuqtalarini bog'laydigan barcha yo'llar bo'ylab bir xil qiymatga ega bo'lsa, yo'lning shakliga bog'liq emas.

Egri chiziqli integralning yo'l shaklidan mustaqillik sharti boshlang'ich va oxirgi nuqtalarni o'z ichiga olgan har qanday yopiq kontur bo'yicha ushbu integralning nolga tengligiga tengdir.

Bu shart qanoatlantiriladi, agar integrand ba'zi funksiyalarning to'liq differentsiali bo'lsa, ya'ni. to'liqlik sharti qondiriladi.

(Ostrogradskiy Mixail Vasilyevich (1861-1862) - rus matematigi,

Akademik Peterburg. A.N.)

(Jorj Grin (1793 - 1841) - ingliz matematigi)

Ba'zan bu formula Grin formulasi deb ataladi, ammo J. Green 1828 yilda formulaning faqat maxsus holatini taklif qildi.

Ostrogradskiy-Grin formulasi egri chiziqli integral va qo'sh integral o'rtasidagi bog'lanishni o'rnatadi, ya'ni yopiq kontur ustidagi integralni ushbu kontur bilan chegaralangan mintaqa ustidagi qo'sh integral nuqtai nazaridan ifodalaydi.

Agar yopiq pastadir rasmda ko'rsatilgan shaklga ega bo'lsa, L halqa ustidagi egri chiziqli integral quyidagicha yozilishi mumkin:

Agar konturning AB va CD bo'limlari ixtiyoriy egri chiziqlar sifatida qabul qilinsa, shunga o'xshash o'zgarishlarni amalga oshirgandan so'ng, biz ixtiyoriy shakldagi kontur uchun formulani olamiz:

Bu formula deyiladi Ostrogradskiy-yashil formula.

Ostrogradskiy-Yashil formula ko'paytmali bog'langan mintaqada, ya'ni tashqarida bo'limlar mavjud bo'lgan mintaqada ham amal qiladi. Bunday holda, formulaning o'ng tomoni mintaqaning tashqi konturi ustidagi integrallarning yig'indisi va barcha chiqarib tashlangan bo'limlarning konturlari ustidagi integrallarning yig'indisi bo'ladi va bu konturlarning har biri shunday yo'nalishda integrallanganki, mintaqa D. har doim aylanma chiziqning chap tomonida qoladi.

Misol. Keling, yuqorida muhokama qilingan misolni Ostrogradskiy-Grin formulasidan foydalanib hal qilaylik.

Ostrogradskiy-Grin formulasi egri chiziqli integralni hisoblashni sezilarli darajada soddalashtirishga imkon beradi.

Egri chiziqli integral, agar u boshlang'ich va tugash nuqtalarini bog'laydigan barcha yo'llar bo'ylab bir xil qiymatga ega bo'lsa, yo'lning shakliga bog'liq emas.

Egri chiziqli integralning yo'l shaklidan mustaqillik sharti boshlang'ich va oxirgi nuqtalarni o'z ichiga olgan har qanday yopiq kontur bo'yicha ushbu integralning nolga tengligiga tengdir.

dv o'rtasidagi aloqa. Int. D maydonida va egri chiziqda. Int. L mintaqasi uchun Ostrogradskiy-Yashil formula o'rnatilgan.

Domen D chegarasi OXY tekisligida berilgan bo'lsin. To'g'ri parallel kordonlar bilan kesishgan egri. 2 nuqtadan ko'p bo'lmagan eksa, ya'ni D maydoni to'g'ri.

T1.Agar f. P(x,y), Q(x,y) bir nechta hosilalari bilan uzluksiz,

D maydoni keyin adolatli shakllardir. (f.Ostr.-Gr.)

L - hududning chegarasi D va L egri chizig'i bo'ylab integratsiya ijobiy yo'nalishda amalga oshiriladi.Dovo.

T2.Agar = (2), u holda subintegr. P*dx+Q*dy yavl ifodasi. To'liq farq. U=U(x,y) funksiyalari.

P*dx+Q*dy =U(x.y)

(2) shartni qanoatlantiradi, f yordamida topish mumkin.

Eslatma 1 Integr o'zgaruvchisini chalkashtirmaslik uchun. X yuqori prednl belgisi bilan. Yana bir xat.

o'rinbosari 2 boshlang'ich nuqtasi sifatida (x0,Y0) odatda (0,0) nuqtani oladi.

Egri chiziqli intning mustaqillik sharti. Integr yo'lidan 2-tur.

t.A (X1, Y1), B(X2, Y2), boʻlsin. Mahsulotga ruxsat bering D maydonining nuqtalari. A va B nuqtalari turli chiziqlar bilan bog'lanishi mumkin. Ularning har biri uchun, Int. o'z qiymatiga ega bo'ladi, agar qiymat barcha egri chiziqlar uchun bir xil bo'lsa, u holda integral int. yo'l turiga bog'liq emas, bu holda boshlang'ichni qayd etish kifoya. A nuqta (X1, Y1) va oxirgi nuqta B (X2, Y2).

T. cr uchun tartibda. Int.

int yo'liga bog'liq emas. Mushukdagi D maydoni. F. P(X,Y), Q(X,Y) hosilalari bilan birga uzluksiz va mintaqaning har bir nuqtasida = Dok-in bo'lishi kerak.

Cr. Int. 2-tur integratsiya yo'liga bog'liq emas

o'rinbosari = shuning uchun biz buni olamiz

Pov. Int. 1-turi Uning St. va hisob.

Pov nuqtalarida bo'lsin. S C PL. S bo'shliq oxyz def. uzluksiz f. f(x,y.z) .

Keling, povni buzaylik. S n qismga Si, PL. HAR QISM delta Si va diametri Di i=1..m Si har bir qismda (xi, yi, zi) dan ixtiyoriy Mi nuqtasini tanlab, yig‘indini hosil qiling. Yig'indi f uchun integral deb ataladi. f(x,y.z) integral uchun S sirt ustida. So'mning chegarasi bor, u deyiladi. 1-turdagi Pov integrali f dan. f(x,y.z) S sirt ustida va = bilan belgilanadi

Yuzaki xususiyatlar Int.

2) 3) S=s1+s2, Keyin 4) f1<=f2 , т о 5) 6) 7) Ф. f непрерывна на поверхности S , то на этой поверхности сущ. Точка M(x0,y0,z0) S, такая, что .

1-turdagi intni hisoblash ep S ning oksi tekislikka proyeksiyasi bo'lgan D mintaqasiga ko'ra 2-int ni hisoblashga keltiriladi, agar ep s Ur z=z(x, y) bilan berilgan bo'lsa, u holda ep ga teng bo'ladi. .

Agar S y=y(x, z) ko‘rinishida berilgan bo‘lsa, u holda...

Pov int 2-tur

Ikki tomonlama sirt berilsin, bunday sirtni chegarasini kesib o'tmasdan aylanib o'tgandan keyin unga normalning yo'nalishi o'zgarmaydi. Bir tomonlama pov: bu Möbius tasmasi. ph oxyz fazoda ko'rib chiqilayotgan ikki tomonlama S sirt nuqtasida aniqlansin. F(x,y,z). Sirtning chiqarilgan tomonini Si i=1..m qismlarga ajratamiz va ularni tekislikning shnuriga proyeksiya qilamiz. Bu holda, pl pov, agar povning yuqori tomoni tanlangan bo'lsa, biz "+" belgisi bilan olamiz (agar normal oz bilan o'tkir burchak hosil qilsa, povning pastki tomoni bo'lsa, "-" belgisi bilan tanlang. tanlangan (OBTE ANGLE)). Int yig'indisini tuzamiz Bu erda - pl pov Si -parts uchun, agar u mavjud bo'lsa va sirtni qismlarga bo'lish usuliga va ulardagi nuqtalarni tanlashga bog'liq bo'lmasa, f dan 2-turdagi intni chaqiramiz. f(x,y,z) s ustida va quyidagicha belgilanadi: ta'rifiga ko'ra, integral = yig'indisi integralning chegarasi bo'ladi. Xuddi shunday, int over s

, u holda 2-turdagi intning umumiy ko'rinishi int bo'ladi, bu erda P, Q, R ikki tomonlama sirt s nuqtalarida aniqlangan uzluksiz funktsiyalardir. Agar S yopiq pov bo'lsa, tashqi tomondan int va ichki tomonda belgilanadi. ds. Bu erda ds - S ning maydon elementi va cos , cos cos, masalan, cos - n. Povning tanlangan tomoni.

Ikki tomonlama integralning maydon ustidagi munosabati D va chegara ustidagi egri chiziqli integral L Bu maydon matematik tahlilda keng qo'llaniladigan Ostrogradskiy-Grin formulasi bilan belgilanadi.

Samolyotga qo'ying Ohu maydoni o'rnatiladi D, ikki nuqtadan ko'p bo'lmagan koordinata o'qlariga parallel to'g'ri chiziqlar bilan kesishgan egri chiziq bilan chegaralangan, ya'ni. mintaqa D- to'g'ri.

10.2 teorema. Funktsiyalar bo'lsa P(x; y) Va Q(x; y) qisman hosilalari bilan birga uzluksizdir Va hududda D, keyin formula

(10.8)

Qayerda L- hudud chegarasi D va egri chiziq bo'ylab integratsiya L ijobiy yo'nalishda ishlab chiqariladi (ya'ni egri chiziq bo'ylab harakatlanayotganda, maydon D chap tomonda qoladi).

Formula (10.8) Ostrogradskiy-Yashil formula deb ataladi.

P og'iz
- yoy tenglamasi AnB, A
- yoy tenglamasi AmB(8-rasmga qarang). Avval topamiz
.Qo‘shaloq integralni hisoblash qoidasiga ko‘ra, bizda:

Yoki (10.6) formula bo'yicha, shakl. 8.

Xuddi shunday, bu ham isbotlangan
(10.10)

Agar (10.10) tenglikdan (10.9) tenglikni ayirsak, (10.8) formulani olamiz.

Izoh. Formula (10.8) cheklangan miqdordagi muntazam mintaqalarga bo'linadigan ixtiyoriy mintaqa uchun ham amal qiladi.

10.3-misol. Ostrogradskiy-Yashil formuladan foydalanib, hisoblang

Qayerda L- uchlari bo'lgan to'rtburchakning konturi A(3;2 ), IN(6;2 ), BILAN(6;4 ), D(3;4 ).

○ Yechim: 9-rasmda integratsiya konturi ko'rsatilgan. Chunki

(10.8) formula bo'yicha bizda:

10.4. Ikkinchi turdagi egri chiziqli integralning integratsiya yo'lidan mustaqilligi uchun shartlar.

P
og'iz A(x 1 ; y 1) va B(x 2 ; y 2) oddiy bog'langan maydonning ikkita ixtiyoriy nuqtasi D samolyot Ohu(samolyot D chaqirdi yakka holda bog'langan , agar bu mintaqada joylashgan har qanday yopiq kontur uchun tekislikning u bilan chegaralangan qismi butunlay tegishli bo'lsa D("teshiklar" bo'lmagan maydon)). ball A Va IN turli chiziqlar bilan ulanishi mumkin (10-rasmda bu L 1 , L 2 va L 3). Bu egri chiziqlarning har birida integral
umuman olganda o'ziga xos ma'noga ega.

Agar uning barcha mumkin bo'lgan egri chiziqlar uchun qiymatlari bo'lsa AB bir xil bo'lsa, biz integral deb aytamiz I integratsiya yo'lining turiga bog'liq emas.

Guruch. 10. Bu holda, integral uchun I faqat uning boshlang'ich nuqtasini qayd etish kifoya A(x 1 ; y 1 ) va uning yakuniy nuqtasi B(x 2 ; y 2 ) yo'l. Yozing:

(10.11)

Ikkinchi turdagi egri chiziqli integrali qanday sharoitlarda integrasiya yo‘lining shakliga bog‘liq emas?

10.3 teorema. Egri chiziqli integral uchun
oddiy bog'langan domendagi integratsiya yo'liga bog'liq emas edi D, unda funktsiyalar mavjud P(x; y), Q(x; y) qisman hosilalari bilan birga uzluksiz bo‘lsa, shartning bajarilishi zarur va yetarlidir =(10.12)

(10.12) shartning yetarliligini isbotlaylik. Ixtiyoriy yopiq doirani ko'rib chiqing AmBnA(yoki L) hududda D(11-rasmga qarang). U Ostrogradskiy-Yashil formulani (10.8) qondiradi (10.12) shartga ko'ra, bizda:
, yoki
. Egri chiziqli integralning xususiyatlarini hisobga olgan holda biz quyidagilarga egamiz:

, ya'ni.

Olingan tenglik egri chiziqli integralning integrasiya yo‘liga bog‘liq emasligini bildiradi.

11-rasm. Teoremani isbotlash jarayonida, agar shart bo'lsa =, u holda yopiq doira ustidagi integral nolga teng bo'ladi:

Qarama-qarshilik ham to'g'ri.

Xulosa 10.1. Agar (10.12) shart bajarilsa, u holda integrasiya qandaydir funktsiyaning umumiy differentsialidir. u = u(x; y), ya'ni.

Keyin (qarang (10.11))

Formula (10.14) umumiy differentsialning egri chiziqli integrali uchun umumlashtirilgan Nyuton-Leybnits formulasi deb ataladi.

Xulosa 10.2. Agar integral bo'lsa pdf + Qdy umumiy farq va integratsiya yo'li mavjud L yopiq, keyin
.

Eslatmalar:

Boshlanish nuqtasi sifatida ( x 0 ; y 0) odatda (0;0) nuqtani - kelib chiqishini oladi (10.5-misolga qarang).

= ,=,=;

10.4-misol. Toping

Yechim: Bu yerga P = y, Q = x, == 1. Yuqoridagi teoremaga ko’ra integral integrallash yo’liga bog’liq emas. Integratsiya yo'li sifatida siz to'g'ri chiziqli segmentni olishingiz mumkin y = x, parabolaning yoyi y = x 2 va hokazo yoki formuladan foydalaning (10.14). Chunki ydx + xdy = d(xy), Bu

10.5-misol. Ifoda funktsiyaning to'liq differentsial ekanligiga ishonch hosil qiling U (x; y) va toping.

Yechim: Ko'rsatilgan ifoda to'liq differentsial bo'lishi uchun (10.12) shartlar bajarilishi kerak:

Shartlar qondiriladi, shuning uchun, Va jami differensial shaklga ega bo'lgani uchun

,

keyin munosabatlar

(10.16)

Integratsiya tugadi X tenglamalarning birinchisi, faraz qilinadi da doimiy, doimiy integratsiya o'rniga esa qo'yish kerak
ga bog'liq bo'lgan noma'lum funktsiyadir da:

Olingan ifodani ikkinchi tenglamaga (10.16) almashtirib, topamiz
:

Shunday qilib,

Funktsiyaga e'tibor bering U(10.15) formuladan foydalanib topish osonroq.