II semestr
- Funksiyaning ortishi va kamayishi belgilari. Lagranj teoremasi.
O'sish funksiyasining ta'rifi.
y = f(x) funksiya X oraliqda ortib boradi, agar mavjud bo'lsa va 
tengsizlik qanoatlantiriladi. Boshqacha qilib aytganda, argumentning kattaroq qiymati funktsiyaning katta qiymatiga mos keladi.
Funktsiya ta'rifini kamaytirish.
y = f(x) funksiya X oraliqda va agar mavjud bo'lsa, kamayadi 
tengsizlik qanoatlantiriladi. Boshqacha qilib aytganda, argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kichikroq qiymatiga mos keladi.
Lagranj teoremasi: hosilaning geometrik ma'nosidan foydalanib, f grafigiga abscissa c oraliqdan (a; b) parallel bo'lgan nuqtada teginish mavjudligi to'g'riligini aniq tushuntiramiz. A (a; f (a)), In(b;f(b)) nuqtalardan o'tuvchi sekant.
AB ga parallel bo'lgan va grafikning [a oraliqlariga mos keladigan qismi bilan umumiy nuqtalari bo'lmagan l chiziqni ko'rib chiqaylik; b]. Bu l chiziqni AB ga parallel bo‘lib qolishi uchun f grafigiga ko‘chiramiz. Keling, ushbu to'g'ri chiziqning l 0 o'rnini uning grafikning ushbu qismi bilan umumiy nuqtalari bo'lgan paytda aniqlaylik.
1-rasmdan ko'rinib turibdiki, bu "birinchi" umumiy nuqtalarning har qandayi l 0 chiziqning f grafik bilan aloqa nuqtasidir. Bu nuqtaning abssissasini c orqali belgilaymiz. U holda f’(c)=tg a, bu yerda a - l 0 to’g’ri chiziq bilan x o’qi orasidagi burchak. Lekin l||AB, shuning uchun a burchak AB sekantning qiyaligiga teng, ya'ni, agar funktsiya differentsiallanadigan bo'lsa, u holda (a; b) oraliqda shunday c∈ (a; b) nuqta mavjud. (2-rasm) bu 
- Funktsiyaning kamayishi uchun etarli mezon. Agar f'(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
Funktsiyalarni oshirish va kamaytirishning etarli belgilari:
- agar (a, b) oraliqning har bir nuqtasida f(x) funksiya musbat hosilaga ega bo‘lsa, bu oraliqda funksiyaning o‘zi ortadi;
- agar (a,b) oraliqning har bir nuqtasida f(x) funksiya manfiy hosilaga ega bo‘lsa, bu oraliqda funksiya kamayadi.
Ta'rif. y \u003d f (x) funktsiyasi x \u003d x 0 nuqtasida ekstremumga (maksimal yoki minimal) ega, agar f (x 0) ushbu nuqtaning ba'zi bir yaqinidagi funktsiyaning eng katta yoki eng kichik qiymati bo'lsa.
- Funktsiyaning ekstremallari. 1 hosilaga nisbatan ekstremumlar uchun funksiyani tekshirish.
y=f(x) funksiya, agar x 1 uchun ba'zi bir intervalda ortib boruvchi (kamayuvchi) deyiladi< x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).
Agar segmentdagi y = f(x) differensiallanuvchi funksiya ortib (kamaysa), uning shu segmentdagi hosilasi f ¢(x) > 0 (f ¢(x)) bo’ladi.< 0).
Agar f(x) £ f(x 0) (f() tengsizligi barcha nuqtalari uchun x 0 nuqtaning qo‘shnisi bo‘lsa, x 0 nuqta f(x) funksiyaning mahalliy maksimal (minimal) nuqtasi deyiladi. x) ³ f(x 0) ).
Maksimal va minimal nuqtalar ekstremal nuqtalar deb ataladi va bu nuqtalardagi funktsiya qiymatlari uning ekstremal nuqtalari deb ataladi.
Ekstremum uchun zarur shart-sharoitlar. Agar xo nuqta f(x) funksiyaning ekstremum nuqtasi bo'lsa, u holda f ¢(x 0) = 0 yoki f ¢(x 0) mavjud emas. Bunday nuqtalar kritik deb ataladi va funktsiyaning o'zi kritik nuqtada aniqlanadi. Funktsiyaning ekstremalini uning kritik nuqtalari orasidan izlash kerak.
1-chi hosila uchun:
X 0 kritik nuqta bo'lsin. Agar f ¢ (x) nuqtadan o'tayotganda x 0 o'z belgisini plyusdan minusga o'zgartirsa, u holda x 0 nuqtada funktsiya maksimalga, aks holda minimalga ega bo'ladi. Agar hosila kritik nuqtadan o'tganda belgisini o'zgartirmasa, u holda x 0 nuqtada ekstremum yo'q.
Ekstremum uchun zarur shartlar. Agar x 0 nuqta f(x) funksiyaning ekstremum nuqtasi bo'lsa, u holda f ¢(x 0) = 0 yoki f ¢(x 0) mavjud emas. Bunday nuqtalar kritik deb ataladi va funktsiyaning o'zi kritik nuqtada aniqlanadi. Funktsiyaning ekstremalini uning kritik nuqtalari orasidan izlash kerak.
- Funksiya grafigining qavariqligi. Burilish nuqtalari.
Funksiyaning qavariqligi, burilish nuqtalari
f(x) funksiya grafigining M 1 (x 1 , f(x 1)), M 2 (x 2, f(x 2)) nuqtalarini bog‘lovchi akkord funksiya bilan berilgan.
y \u003d L (x, x 1, x 2) \u003d f (x 1) + f (x 2) (*)
Bu o'ng tomonga x 1, x 2 koordinatalarini qo'yish orqali tekshiriladi.
Ta'rif. f(x) funksiyasi "x 1" uchun if yuqoriga konveks deyiladi L(x, x 1 , x 2) = f(x 1) Agar f uzluksiz bo'lsa, (a,b) da ikki marta differensiallansa va (a,b) da f¢¢(x)>0 bo'lsa, f qat'iy pastga qarab qavariq bo'ladi. Isbot. "a£x 1 Ta'rif. Agar x 0 nuqtada tangens bo'lsa va x 0 nuqtaning ba'zi qo'shnilarida f grafigi tangensning qarama-qarshi tomonlarida joylashgan bo'lsa, x 0 nuqtasi f funksiyaning burilish nuqtasi deb ataladi. Segmentdagi funksiyaning eng katta qiymati uning ushbu segmentdagi barcha qiymatlarining eng kattasi, eng kichigi esa barcha qiymatlarining eng kichigidir. Segmentda uzluksiz y=f(x) funksiyani ko'rib chiqaylik. Ma'lumki, bunday funktsiya o'zining maksimal va minimal qiymatlariga segment chegarasida yoki uning ichida erishadi. Agar segmentning ichki nuqtasida funksiyaning maksimal yoki minimal qiymatiga erishilsa, u holda bu qiymat funktsiyaning maksimal yoki minimal qiymati hisoblanadi, ya'ni kritik nuqtalarda erishiladi. Shunday qilib, segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun quyidagi qoidani olamiz: 1. (a, b) oraliqdagi funksiyaning barcha kritik nuqtalarini toping va shu nuqtalardagi funksiya qiymatlarini hisoblang. 2. X = a, x = b uchun segment uchlaridagi funksiya qiymatlarini hisoblang. 3. Olingan barcha qiymatlardan eng kattasini va eng kichikini tanlang. 1 a.Funksiyaning ODZ va uzilish nuqtalarini toping. b.Funksiya grafigining koordinata o`qlari bilan kesishish nuqtalarini toping. 2. Birinchi hosila yordamida funksiyani o‘rganish, ya’ni funksiyaning ekstremum nuqtalari hamda o‘sish va kamayish oraliqlarini toping. 3. Ikkinchi tartibli hosila yordamida funksiyani o‘rganing, ya’ni funksiya grafigining burilish nuqtalari va uning qavariq va botiqlik oraliqlarini toping. 4. Funksiya grafigining asimptotalarini toping: a) vertikal, b) qiya. 5. Tadqiqot asosida funksiya grafigini tuzing. Ta'rif. F (x) funktsiyasi ma'lum oraliqdagi f (x) funktsiyasi uchun antiderivativ deb ataladi, agar berilgan F "(x) \u003d f (x) oraliqdan istalgan x bo'lsa. Misol: 1. F (x) \u003d x 3 - 3x + 1 funktsiyasi f (x) \u003d 3 (x 2 - 1) funktsiyasi uchun antiderivativ ekanligini aniqlang. Yechim: F "(x) \u003d (x 3 - 3x + 1) ' \u003d 3x 2 - 3 \u003d 3 (x 2 - 1) \u003d f (x), ya'ni F "(x) \u003d f ( x) , demak, F(x) f(x) funksiya uchun anti hosiladir. f(x) funksiyaning anti hosilalari to'plami bu funktsiyaning noaniq integrali deb ataladi va belgisi bilan belgilanadi. Yuqoridagilardan kelib chiqqan holda, agar F(x) f(x) funksiyaning qandaydir anti hosilasi bo'lsa, u holda Noaniq integralning to'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan kelib chiqadigan xususiyatlari: Samolyot shakllariga misollar To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi
Dekart koordinatalaridagi tekislikdagi to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi: bu yerda A, B va C ixtiyoriy konstantalar bo‘lib, A va B konstantalari bir vaqtning o‘zida nolga teng emas. Koordinatalari (A,B) bo'lgan vektor normal vektor deb ataladi va chiziqqa perpendikulyar. Koordinatalari (-B,A) yoki (B,-A) bo'lgan vektor yo'nalish vektori deyiladi. Berilgan ikkita tasodifiy nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi
Berilgan ikkita mos kelmaydigan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi va To'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari.
To'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari quyidagicha yozilishi mumkin: To'g'ri chiziqning kanonik tenglamasi
Kanonik tenglama parametrik tenglamalardan bir tenglamani boshqasiga bo'lish yo'li bilan olinadi: Chiziqning yo'naltiruvchi vektorining X va Y koordinatalari, chiziqqa tegishli nuqtaning koordinatalari qayerda. Umumiy tenglama
Ax + By + C (> 0).
Vektor \u003d (A; B) to'g'ri chiziqning normal vektoridir. Maxsus holatlar: 1) By + C = 0 - chiziq Ox o'qiga parallel; 2) Ax + C = 0 - chiziq Oy o'qiga parallel; 3) Axe + By = 0 - chiziq koordinatali nuqtadan o'tadi; 4) y = 0 - o'q Ox; 5) x = 0 - o'qi Oy. Parallel chiziqlarning sharti: k 1 = k 2. Chiziqlarning perpendikulyarlik sharti: k 1 ·k 2 = -1. Tekislikdagi kesishuvchi chiziqlar orasidagi burchak bu chiziqlar kesishmasida hosil bo'lgan burchaklarning eng kichigining daraja o'lchovidir. Bir-biriga mos keladigan yoki parallel chiziqlar orasidagi burchak nolga teng deb hisoblanadi. y=k1x+b1 (birinchi qator) va y=k2x+b2 (ikkinchi chiziq) tenglamalar bilan berilgan ikkita to‘g‘ri chiziq orasidagi a burchagini formula bo‘yicha hisoblash mumkin (burchak 1-chi satrdan 2-chi chiziqgacha soat miliga teskari tomonga sanaladi) : tg(a)=(k2-k1)/(1+k1k2) Teorema. Agar berilgan tekislikda yotmagan chiziq shu tekislikdagi qandaydir chiziqqa parallel bo'lsa, u holda u tekislikning o'ziga parallel bo'ladi. a) chiziq tekislikda yotadi; b) to'g'ri chiziq va tekislikning faqat bitta umumiy nuqtasi bor; v) chiziq va tekislikning bitta umumiy nuqtasi yo'q. Ta'rif. Ikki tekislik umumiy nuqtalari bo'lmasa, parallel deyiladi. Tekisliklarning parallelligi va quyidagicha belgilanadi: || . Ikki tekislikning parallellik belgisini ko'rib chiqing. Teorema. Agar bitta tekislikning ikkita kesishuvchi chizig'i mos ravishda boshqa tekislikning ikkita chizig'iga parallel bo'lsa, bu tekisliklar parallel bo'ladi. Parallel tekisliklarning xossalari: Parallel tekisliklar orasiga o'ralgan parallel chiziqlarning segmentlari tengdir. To'g'ri chiziq va tekislikning parallellik belgilari: 1) Agar tekislikdan tashqarida yotgan chiziq shu tekislikdagi har qanday chiziqqa parallel bo'lsa, u holda bu tekislikka parallel bo'ladi. 2) Agar chiziq va tekislik bir xil chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, ular parallel bo'ladi. Parallel tekisliklarning belgilari: 1) Agar bitta tekislikning ikkita kesishuvchi chizig'i mos ravishda boshqa tekislikning ikkita kesishuvchi chizig'iga parallel bo'lsa, bu tekisliklar parallel bo'ladi. 2) Agar ikkita tekislik bir xil chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, ular parallel bo'ladi. To'g'ri chiziq va tekislikning perpendikulyarligi belgilari: 1) Agar chiziq bir tekislikda yotgan ikkita kesishuvchi chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, u holda u shu tekislikka perpendikulyar bo'ladi. 2) Agar tekislik parallel chiziqlardan biriga perpendikulyar bo'lsa, u boshqasiga ham perpendikulyar bo'ladi. Samolyotga moyil. Tekislikni kesib o'tuvchi va unga perpendikulyar bo'lmagan to'g'ri chiziq tekislikka qiya deyiladi. Uchta perpendikulyar haqida teorema. Tekislikda yotgan va qiya tekislikning shu tekislikka proyeksiyasiga perpendikulyar to'g'ri chiziq ham qiya tekislikning o'ziga perpendikulyar. Kosmosdagi parallel chiziqlarning belgilari: 1) Agar ikkita chiziq bir tekislikka perpendikulyar bo'lsa, ular parallel bo'ladi. 2) Agar kesishuvchi tekisliklardan birida boshqa tekislikka parallel to‘g‘ri chiziq yotsa, u holda tekisliklarning kesishish chizig‘iga parallel bo‘ladi. Tekisliklarning perpendikulyarligi belgisi: agar tekislik boshqa tekislikka perpendikulyar chiziqdan o'tsa, bu tekisliklar perpendikulyar bo'ladi. Ikki egri chiziqqa umumiy perpendikulyar teorema. Har qanday ikkita kesishuvchi chiziq uchun faqat bitta umumiy perpendikulyar mavjud. UCHTA PERPENDİKULYAR HAQIDA TEOREMA. Agar qiya chiziq asosi orqali tekislikda o'tkazilgan to'g'ri chiziq uning proyeksiyasiga perpendikulyar bo'lsa, u holda u qiya chiziqqa perpendikulyar bo'ladi. Va aksincha: Agar tekislikdagi to'g'ri chiziq qiya chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, u qiya chiziqning proyeksiyasiga ham perpendikulyar bo'ladi. Ikki burchakli burchak - bu ikki yarim tekislikdan, ularni chegaralovchi umumiy to'g'ri chiziqdan hosil bo'lgan shakl. Yarim tekisliklar yuzlar deb ataladi va ularni chegaralovchi to'g'ri chiziq dihedral burchakning qirrasi deb ataladi. TAKLIK PERPENDİKULYARLIGI BELGISI. Agar tekislik boshqa tekislikka perpendikulyar chiziqdan o'tsa, bu tekisliklar perpendikulyar bo'ladi. Prizma - ikki yuzi parallel tekisliklarda yotuvchi kongruent (teng) ko'pburchaklar, qolgan yuzlari esa bu ko'pburchaklar bilan umumiy tomonlari bo'lgan parallelogrammalar bo'lgan ko'pburchakdir. Prizma turlari: To'g'ri prizma - barcha yon qirralari asosga perpendikulyar bo'lgan prizma, aks holda prizma qiya deyiladi. To'g'ri prizmaning lateral yuzasining maydoni poydevor perimetri va lateral chetining uzunligi (yoki balandligi) mahsulotiga teng. To'g'ri prizmada yon qirralar balandliklardir. Eğimli prizmaning yon yuzasining maydoni perpendikulyar kesim perimetri va yon qovurg'aning uzunligi mahsulotiga teng. Eğimli prizmaning hajmi perpendikulyar kesma va yon chekka maydonining mahsulotiga teng. Muntazam prizma - asosida muntazam ko'pburchak yotadigan, yon qirralari esa asos tekisliklariga perpendikulyar bo'lgan prizma. Muntazam prizmaning asoslari muntazam ko'pburchaklardir. Muntazam prizmaning yon yuzlari teng to'rtburchaklardir. Muntazam prizmaning lateral qirralari teng. To'g'ri prizma to'g'ri. Yon yuzlari kvadrat (balandligi poydevor tomoniga teng) bo'lgan muntazam prizma yarim muntazam ko'pburchakdir. Ixtiyoriy prizmaning yon yuzasining maydoni, bu erda P - perpendikulyar kesimning perimetri, l - yon chetining uzunligi. Kesilgan piramida - bu ko'pburchak bo'lib, uning cho'qqilari asosning uchlari va uning kesimining uchlari asosga parallel bo'lgan tekislikdir. Prizma hajmi: V = S asoslar H To'g'ri to'rtburchak parallelepipedning hajmi poydevor maydoni va balandligi ko'paytmasiga teng: V= SH= abc Piramidaning hajmi poydevor maydoni va balandligi mahsulotining uchdan biriga teng: bu erda S - poydevorning maydoni, H - piramidaning balandligi. Kesilgan piramidaning V hajmini formula bo'yicha topish mumkin, bu erda H - kesilgan piramidaning balandligi, S1 va S2 - uning asoslari maydoni. Silindr (qadimgi yunoncha Kilinos — rolik, konki) — silindrsimon yuza va uni kesib oʻtuvchi ikkita parallel tekislik bilan chegaralangan geometrik jism. Silindrsimon sirt - to'g'ri chiziqning (generatorning) fazoda shunday translatsion harakati natijasida olingan sirt, generatrixning tanlangan nuqtasi tekis egri chiziq (yo'riqnoma) bo'ylab harakatlanadi. Tsilindrni o'z o'qiga parallel bo'lgan tekislik kesimi to'rtburchakdir. Eksenel qism silindrning o'qi orqali o'tadigan qismdir. Yon sirt maydoni silindr asos aylanasi va balandligi ko'paytmasiga teng: S=2p rh. umumiy sirt maydoni silindr: Tsilindrning ko'ndalang kesimi. Konus - bu bir nuqtadan (konusning yuqori qismidan) chiqadigan va tekis sirtdan o'tadigan barcha nurlarni birlashtirish natijasida olingan jism. Konus maydoni: Kesilgan konus - bu to'rtburchaklar trapezoidning poydevorlarga perpendikulyar yon tomonda aylanishidan hosil bo'lgan inqilob tanasi. Kesilgan konusning sirt maydoni: S=p(r12+(r1+ r2) l+ r22) To'p - sharsimon sirt bilan chegaralangan jism. Sfera (yun. schaῖra — shar) — berk yuza, fazodagi nuqtalarning joylashuvi, berilgan nuqtadan teng masofada joylashgan, sharning markazi deb ataladi. Sfera maydoni: Sferik sektor sirtining sharsimon qismining maydoni: , bu erda H - segmentning balandligi. Silindr (qadimgi yunoncha Kilinos — rolik, konki) — silindrsimon yuza va uni kesib oʻtuvchi ikkita parallel tekislik bilan chegaralangan geometrik jism. Konus: Kesilgan konus: V=1/3p h(r 2 +r 1 r 2 +r 2 2) Kesilgan konus (1.20-rasm) To'p segmentining hajmi: To'p sektori hajmi: Xususiyatlari: · Parallelepiped diagonalining o'rta nuqtasiga nisbatan simmetrikdir. Parallelepiped yuzasiga tegishli bo'lgan va uning diagonalining o'rtasidan o'tadigan har qanday segment unga yarmiga bo'linadi; xususan, parallelepipedning barcha diagonallari bir nuqtada kesishadi va uni ikkiga bo'ladi. Parallelepipedning qarama-qarshi yuzlari parallel va tengdir. · To‘g‘ri burchakli parallelepiped diagonali uzunligining kvadrati uning uch o‘lchami kvadratlari yig‘indisiga teng. Sahifani navigatsiya qilish. Jadvalning birinchi formulasini chiqarishda biz nuqtadagi funktsiyaning hosilasini aniqlashdan boshlaymiz. ni oling, bu erda x - har qanday haqiqiy son, ya'ni x - funktsiya sohasining istalgan soni. Funktsiya o'sishning argument o'sishiga nisbati chegarasini quyidagicha yozamiz: Shuni ta'kidlash kerakki, ifoda chegara belgisi ostida olinadi, bu emas, chunki numerator cheksiz kichik qiymatni emas, balki nolga teng. Boshqacha qilib aytganda, doimiy funktsiyaning o'sishi har doim nolga teng. Shunday qilib, doimiy funktsiyaning hosilasi ta'rifning butun sohasi bo'yicha nolga teng. Misol. Quyidagi doimiy funksiyalarning hosilalarini toping Yechim. Birinchi holda, bizda 3 natural sonning hosilasi bor, ikkinchi holatda biz har qanday haqiqiy son bo'lishi mumkin bo'lgan a parametrining hosilasini, uchinchisida - irratsional sonning hosilasini olishimiz kerak. to'rtinchi holatda bizda nolning hosilasi bor (nol - butun son), beshinchi holatda - ratsional kasrning hosilasi. Javob: Bu funksiyalarning hosilalari har qanday haqiqiy x uchun nolga teng (butun taʼrif sohasi boʻyicha) Quvvat funksiyasining hosilasi formulasi shaklga ega Avval natural ko'rsatkich formulasini isbotlaymiz, ya'ni p = 1, 2, 3, ... Biz hosila ta'rifidan foydalanamiz. Quvvat funksiyasi ortishining argument ortishiga nisbati chegarasini yozamiz: Numeratordagi ifodani soddalashtirish uchun biz quyidagi formulaga murojaat qilamiz: Demak, Bu tabiiy daraja uchun daraja funksiyasining hosilasi formulasini isbotlaydi. Ikki holatni ko'rib chiqish kerak: ijobiy x va salbiy x uchun. Avval faraz qilaylik. Ushbu holatda . Tenglik logarifmini e asosda olaylik va logarifma xossasini qo‘llaymiz: Bilvosita aniqlangan funktsiyaga keldi. Biz uning hosilasini topamiz: Salbiy x uchun dalilni bajarish qoladi. Agar p ko'rsatkichi juft son bo'lsa, u holda quvvat funktsiyasi uchun ham aniqlanadi va juft bo'ladi (bo'limga qarang). Ya'ni, Agar p ko'rsatkichi toq son bo'lsa, u holda quvvat funksiyasi uchun ham aniqlanadi va toq bo'ladi. Ya'ni, Oxirgi o'tish, agar p toq son bo'lsa, u holda p-1 juft son yoki nol (p=1 uchun), shuning uchun salbiy x uchun tenglik mumkinligi sababli mumkin. Shunday qilib, daraja funksiyasining hosilasi formulasi har qanday haqiqiy p uchun isbotlangan. Misol. Funksiyalarning hosilalarini toping. Yechim. Birinchi va uchinchi funksiyalarni daraja xossalaridan foydalanib jadval ko‘rinishiga keltiramiz va quvvat funksiyasining hosilasi uchun formulani qo‘llaymiz: Ta'rif asosida hosila formulasini olamiz: Noaniqlikka keldi. Uni kengaytirish uchun biz , va uchun yangi o'zgaruvchini kiritamiz. Keyin. Oxirgi o'tishda biz logarifmning yangi bazasiga o'tish uchun formuladan foydalandik. Dastlabki chegarada almashtirishni amalga oshiramiz: Sinus funktsiyasi uchun hosilaning ta'rifiga ko'ra, biz bor Sinuslar farqi uchun formuladan foydalanamiz: Birinchi ajoyib chegaraga o'tish uchun qoladi: Demak, sin x ning hosilasi cos x dir. Kosinus hosilasi formulasi ham xuddi shunday isbotlangan. Differensiallash masalalarini yechishda biz doimiy ravishda asosiy funksiyalarning hosilalari jadvaliga murojaat qilamiz, aks holda nega uni tuzdik va har bir formulani isbotladik. Ushbu formulalarning barchasini eslab qolishingizni tavsiya qilamiz, kelajakda bu sizga ko'p vaqtni tejaydi. Aqlli talabalar tomonidan mualliflik huquqi Barcha huquqlar himoyalangan. Mavzuni o'rganishda qulaylik va ravshanlik uchun bu erda qisqacha jadval mavjud. Doimiyy=C Quvvat funktsiyasi y = x p (x p)" = p x p - 1 Eksponensial funktsiyay = x (a x)" = a x ln a Xususan, qachona = ebizda ... bor y = e x (e x)" = e x logarifmik funktsiya (log a x) " = 1 x ln a Xususan, qachona = ebizda ... bor y = log x (ln x)" = 1 x Trigonometrik funktsiyalar (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x Teskari trigonometrik funksiyalar (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2 Giperbolik funktsiyalar (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x Keling, ko'rsatilgan jadvalning formulalari qanday olinganligini tahlil qilaylik yoki boshqacha qilib aytganda, har bir funktsiya turi uchun hosilalar uchun formulalar hosil bo'lishini isbotlaymiz. Bu formulani chiqarish uchun funktsiyaning nuqtadagi hosilasi ta'rifini asos qilib olamiz. Biz x 0 = x dan foydalanamiz, bu erda x har qanday haqiqiy sonning qiymatini oladi yoki boshqacha qilib aytganda, x f (x) = C funktsiya sohasining istalgan soni. Funksiya ortishining argument ortishiga nisbati chegarasini ∆ x → 0 shaklida yozamiz: lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0 E'tibor bering, 0 ∆ x ifodasi chegara belgisi ostiga tushadi. Bu "nolning nolga bo'linishi" noaniqligi emas, chunki numerator cheksiz kichik qiymatni emas, balki nolni o'z ichiga oladi. Boshqacha qilib aytganda, doimiy funktsiyaning o'sishi har doim nolga teng. Demak, f (x) = C doimiy funktsiyaning hosilasi butun ta'rif sohasi bo'yicha nolga teng. 1-misol Berilgan doimiy funktsiyalar: f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7 Yechim
Keling, berilgan shartlarni tavsiflaymiz. Birinchi funktsiyada 3 natural sonining hosilasini ko'ramiz. Quyidagi misolda siz ning hosilasini olishingiz kerak A, Qayerda A- har qanday haqiqiy raqam. Uchinchi misol bizga irratsional 4 sonining hosilasini beradi. 13 7 22 , to'rtinchisi - nolning hosilasi (nol butun son). Nihoyat, beshinchi holatda biz ratsional kasrning hosilasiga egamiz - 8 7 . Javob: berilgan funksiyalarning hosilalari har qanday real uchun nolga teng x(butun ta'rif sohasi bo'yicha) f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0 Biz kuch funktsiyasiga va uning hosilasi formulasiga murojaat qilamiz, u quyidagi ko'rinishga ega: (x p) " = p x p - 1, bu erda eksponent p har qanday haqiqiy sondir. Isbot 2 Ko'rsatkich natural son bo'lganda formulaning isboti: p = 1, 2, 3, … Shunga qaramay, biz hosila ta'rifiga tayanamiz. Quvvat funksiyasi ortishining argument ortishiga nisbati chegarasini yozamiz: (x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x Numeratordagi ifodani soddalashtirish uchun Nyutonning binomial formulasidan foydalanamiz: (x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 +. . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p Shunday qilib: (x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + .. + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1) x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + .. + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + ... + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1 Shunday qilib, ko‘rsatkich natural son bo‘lganda daraja funksiyasining hosilasi formulasini isbotladik. Isbot 3 Qachon ish uchun dalil berish p- noldan boshqa har qanday haqiqiy son, biz logarifmik hosiladan foydalanamiz (bu erda biz logarifmik funktsiyaning hosilasidan farqni tushunishimiz kerak). To'liqroq tushunchaga ega bo'lish uchun logarifmik funktsiyaning hosilasini o'rganish va qo'shimcha ravishda aniq berilgan funktsiyaning hosilasi va murakkab funktsiyaning hosilasi bilan shug'ullanish maqsadga muvofiqdir. Ikkita holatni ko'rib chiqing: qachon x ijobiy va qachon x salbiy. Shunday qilib, x > 0. Keyin: x p > 0 . Biz y \u003d x p tengligining logarifmini e asosiga olamiz va logarifmning xususiyatini qo'llaymiz: y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x Ushbu bosqichda aniq belgilangan funktsiya olindi. Keling, uning hosilasini aniqlaymiz: (ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1 Endi biz qachon ishni ko'rib chiqamiz x- manfiy raqam. Agar ko'rsatkich p juft son bo'lsa, u holda quvvat funksiyasi x uchun ham aniqlanadi< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1 Keyin xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную. Agar p toq son bo'lsa, u holda quvvat funksiyasi x uchun aniqlanadi< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции: y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1 Oxirgi o'tish mumkin, chunki agar p demak, bu toq raqam p - 1 juft son yoki nol (p = 1 uchun), shuning uchun salbiy uchun x(- x) p - 1 = x p - 1 tengligi to'g'ri. Shunday qilib, biz har qanday real p uchun darajali funksiya hosilasi formulasini isbotladik. 2-misol Berilgan funktsiyalar: f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12 Ularning hosilalarini aniqlang. Yechim
Berilgan funksiyalarning bir qismini daraja xossalariga asoslanib jadval ko‘rinishiga y = x p ga aylantiramiz va keyin formuladan foydalanamiz: f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84 Ta'rifga asoslanib, hosila uchun formulani olamiz: (a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0 Bizda noaniqlik paydo bo'ldi. Uni kengaytirish uchun z = a ∆ x - 1 yangi o'zgaruvchini yozamiz (z → 0 ∆ x → 0 sifatida). Bu holda a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Oxirgi o'tish uchun logarifmning yangi bazasiga o'tish formulasi qo'llaniladi. Dastlabki chegarada almashtirishni amalga oshiramiz: (a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z) + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z Ikkinchi ajoyib chegarani eslang va keyin eksponensial funktsiyaning hosilasi uchun formulani olamiz: (a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a 3-misol Eksponensial funktsiyalar berilgan: f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x Biz ularning hosilalarini topishimiz kerak. Yechim
Eksponensial funktsiyaning hosilasi va logarifmning xususiyatlari uchun formuladan foydalanamiz: f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x Har qanday logarifmik funktsiyaning hosilasi formulasining isbotini keltiramiz x ta'rif sohasida va logarifmning a asosining har qanday haqiqiy qiymatlari. Loyning ta'rifiga asoslanib, biz quyidagilarni olamiz: (log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a Belgilangan tenglik zanjiridan ko'rish mumkinki, o'zgarishlar logarifm xossasi asosida qurilgan. lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e tengligi ikkinchi ajoyib chegaraga muvofiq to'g'ri. 4-misol Logarifmik funktsiyalar berilgan: f 1 (x) = log log 3 x , f 2 (x) = log x Biz ularning hosilalarini hisoblashimiz kerak. Yechim
Olingan formulani qo'llaymiz: f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x Shunday qilib, natural logarifmning hosilasi bir ga bo'linadi x. Trigonometrik funktsiyaning hosilasi formulasini olish uchun biz ba'zi trigonometrik formulalardan va birinchi ajoyib chegaradan foydalanamiz. Sinus funktsiyasi hosilasining ta'rifiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz: (sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x Sinuslar farqi formulasi bizga quyidagi amallarni bajarishga imkon beradi: (sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 Va nihoyat, biz birinchi ajoyib chegaradan foydalanamiz: sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x Shunday qilib, funktsiyaning hosilasi gunoh x bo'ladi chunki x. Kosinus hosilasi formulasini ham xuddi shunday isbotlaymiz: cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x Bular. cos x funksiyaning hosilasi bo'ladi - sin x. Differensiallash qoidalariga asoslanib tangens va kotangens hosilalari uchun formulalarni olamiz: t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x Teskari funksiyalarning hosilasi bo'limida arksinus, arkkosinus, arktangens va arkkotangens hosilalarining formulalarini isbotlash haqida to'liq ma'lumot berilgan, shuning uchun biz bu erda materialni takrorlamaymiz. Giperbolik sinus, kosinus, tangens va kotangens hosilalari uchun differensiallash qoidasi va eksponensial funktsiya hosilasi formulasidan foydalanib formulalarni olishimiz mumkin: s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing Teskari trigonometrik funksiyalarning hosilalari va ularning formulalarining hosilasi keltirilgan. Yuqori tartibli hosilalarning ifodalari ham berilgan. Formulalar hosilasining batafsilroq taqdimoti bilan sahifalarga havolalar. Shuningdek qarang: Teskari trigonometrik funksiyalar, ularning grafiklari va formulalari
Birinchidan, arksinus hosilasi formulasini olamiz. Mayli Chunki, keyin. Keyin Aynan shu tarzda siz arkkosin hosilasi formulasini olishingiz mumkin. Biroq, undan foydalanish osonroq teskari trigonometrik funktsiyalarga tegishli formula : Batafsil taqdimot sahifada taqdim etilgan " Arksinus va arkkosin hosilalari hosilasi". Berilgan hosilalarni ikki usulda hosil qilish- yuqorida va teskari funktsiyaning hosilasi formulasi bo'yicha ko'rib chiqildi. Xuddi shu tarzda, arktangens va arkkotangensning hosilalarini topamiz. Mayli Teskari tangensning hosilasi: Mayli Ushbu tenglamani differensiallash orqali yuqori tartibli hosilalarni topish mumkin. n-tartibli arksinus hosilasi quyidagi shaklga ega: Polinom differensial tenglamani qanoatlantiradi: Ark kosinasi uchun hosilalar trigonometrik formuladan foydalanib, yoy sinusi uchun hosilalardan olinadi: Mayli. Teskari tangensning birinchi tartibli hosilasini topdik: Kasrni oddiy kasrlarga ajratamiz: Vaqtlarni farqlang va kasrni umumiy maxrajga keltiring: ni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz: Shunday qilib, n-tartibli yoy tangensining hosilasi bir necha usul bilan ifodalanishi mumkin: Keling. Teskari trigonometrik funksiyalarni bog‘lovchi formulani qo‘llaymiz: ni almashtirib, biz quyidagilarni topamiz: Adabiyotlar: 
, bu erda C ixtiyoriy doimiydir. f(x) funksiya odatda integrand, f(x) dx hosilasi integrand deyiladi.
Agar f(x) uzluksiz va musbat bo'lsa, integral y = 0, x = a, x = b, y = f(x) chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya maydonidir.
yoki umuman
Bu yerda t - hosila parametri, ax, ay - to'g'ri chiziq yo'nalishi vektorining x va y koordinatalari, shu bilan birga.
; 
To'g'ri chiziq va tekislikning o'zaro joylashishi holatlari:
Agar ikkita parallel tekislik uchdan bir qismi bilan kesishsa, ularning kesishish chiziqlari parallel bo'ladi.
Piramida (qadimgi yunoncha pramos turkumi) koʻpburchak boʻlib, asosi koʻpburchak, qolgan yuzlari esa umumiy choʻqqisi boʻlgan uchburchaklardir.
Parallelepiped (yunoncha pralelos — parallel va yunoncha epideon — tekislik) — asosi parallelogramm boʻlgan prizma yoki (ekvivalent) olti yuzli va har biri parallelogramm boʻlgan koʻpburchak.
Doimiy miqdorning hosilasi.
Quvvat funksiyasining hosilasi.
, bu erda p ko'rsatkichi har qanday haqiqiy sondir.
. Bunday holda, isbotni logarifmik hosila nuqtai nazaridan ham ishlatish mumkin.
. Bunday holda, logarifmik hosiladan foydalanish mumkin emas. Formulani isbotlash uchun bu holda siz differentsiallash qoidalari va murakkab funktsiyaning hosilasini topish qoidasidan foydalanishingiz mumkin: 
.
Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi.
.
Mualliflik huquqi qonuni bilan himoyalangan. Saytning biron bir qismi, shu jumladan ichki materiallar va tashqi dizayn, mualliflik huquqi egasining yozma ruxsatisiz har qanday shaklda ko'paytirilishi yoki ishlatilishi mumkin emas.
Konstantaning hosilasi
Isbot 1 Quvvat funksiyasi hosilasi
Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi
Isbot 4 Logarifmik funktsiyaning hosilasi
Isbot 5 Trigonometrik funksiyalarning hosilalari
Isbot 6 Teskari trigonometrik funksiyalarning hosilalari
Giperbolik funksiyalarning hosilalari
Isbot 7
y= arcsin x.
Arksinus sinusning teskarisi bo'lgani uchun, demak
.
Bu yerda y x ning funksiyasi. x ga nisbatan farqlang:
.
Biz murojaat qilamiz:
.
Shunday qilib, biz topdik:
.
.
Va oldingi formula quyidagicha bo'ladi:
. Bu yerdan
.
.
Keyin
.
Arktangens va arkkotangens hosilalarini hosil qilish
y= arctg x.
Arktangent tangensning teskari funktsiyasi:
.
x ga nisbatan farqlang:
.
Murojaat qiling murakkab funksiya hosilasi formulasi :
.
Shunday qilib, biz topdik:
.
.
Arksin hosilalari
.
Biz arksinusning birinchi tartibli hosilasini topdik:
.
Farqlash orqali biz ikkinchi tartibli hosilani topamiz:
;
.
U quyidagi shaklda ham yozilishi mumkin:
.
Bu yerdan biz birinchi va ikkinchi tartibli arksinus hosilalari bilan qanoatlanadigan differentsial tenglamani olamiz:
.
n-tartibli arksinusning hosilasi
,
qayerda darajali polinom. U quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
;
.
Bu yerga .
.
n-tartibdagi arkkosinaning hosilasi
.
Shuning uchun bu funksiyalarning hosilalari faqat belgisi bilan farqlanadi:
.
Ark tangens hosilalari
.
.
Mana xayoliy birlik, .
.
.
n-tartibli yoy tangensining hosilasi
;
.
Teskari tangensning hosilalari
.
U holda yoy tangensidan n-darajali hosila yoy tangensining hosilasidan faqat belgisi bilan farq qiladi:
.
.
N.M. Gyunter, R.O. Kuzmin, Oliy matematika bo'yicha muammolar to'plami, Lan, 2003 yil.