Kuchlar tizimini kamaytirish teoremasi:
Mutlaq qattiq jismga ta'sir qiluvchi har qanday kuchlar sistemasi bitta kuch bilan almashtirilishi mumkin R, bu kuchlar tizimining asosiy vektoriga teng va o'zboshimchalik bilan tanlangan markaz O ga qo'llaniladi va moment bilan bir juft kuch L O , O markazga nisbatan kuchlar tizimining asosiy momentiga teng.
Berilgan kuchlar tizimini bunday ekvivalent kuch bilan almashtirish R va bir lahza bilan bir nechta kuchlar L Ey qo'ng'iroq kuchlar tizimini markazga keltirish O.
Bu yerda bir tekislikda joylashgan O markazga yassi kuchlar tizimini keltirishning maxsus holatini ko'rib chiqamiz. Bunday holda, kuchlar tizimi bir kuch va tizim kuchlarining ta'sir tekisligida yotgan bir juft kuch bilan almashtiriladi. Ushbu juft kuchlarning momentini LO algebraik miqdori deb hisoblash mumkin va raqamlarda yoy o'qi bilan tasvirlangan (kuchlar tekis tizimining algebraik asosiy momenti).
Yassi kuchlar tizimini markazga olib kelish natijasida quyidagi holatlar mumkin:
- Agar R = 0, L O = 0, u holda berilgan sistema bo'ladi muvozanat;
- qiymatlardan kamida bittasi bo'lsa R yoki L O nolga teng emas, keyin kuchlar tizimi muvozanatda emas.
Bunda:
16 savol. Muvozanat tenglamasi
Qattiq jismning tekis kuchlar sistemasi ta'sirida muvozanati uchun bu kuchlar sistemasining bosh vektori va uning algebraik bosh momenti nolga teng bo'lishi zarur va yetarli, ya'ni. R\u003d 0, L O \u003d 0, bu erda O - tizim kuchlarining ta'sir tekisligida joylashgan har qanday markaz.
Yassi kuchlar tizimi uchun olingan analitik muvozanat shartlari (muvozanat tenglamalari) quyidagi uchta shaklda shakllantirilishi mumkin:
- Muvozanat tenglamalarining asosiy shakli:
ixtiyoriy planar kuchlar tizimining muvozanati uchun barcha kuchlarning koordinata o'qlarining har biriga proyeksiyalari yig'indisi va ularning algebraik momentlari yig'indisining harakat tekisligida joylashgan har qanday markazga nisbatan bo'lishi zarur va etarlidir. kuchlar nolga teng:
Tuzatish = 0; F iy = 0; M O ( F i) = 0. (I)
- Muvozanat tenglamalarining ikkinchi shakli:
ixtiyoriy planar kuchlar sistemasining muvozanati uchun barcha kuchlarning ikkita A va B markazga nisbatan algebraik momentlari yig’indisi va ularning Ox o’qiga perpendikulyar bo’lmagan Ox o’qidagi proyeksiyalari yig’indisi zarur va yetarlidir. eksa, nolga teng:
Tuzatish = 0; M A ( F i) = 0; M B ( F i) = 0. (II)
- Muvozanat tenglamalarining uchinchi shakli (uch moment tenglamalari):
ixtiyoriy yassi kuchlar tizimining muvozanati uchun bitta to'g'ri chiziqda yotmagan har qanday uchta A, B va C markazlarga nisbatan barcha kuchlarning algebraik momentlari yig'indilari nolga teng bo'lishi zarur va etarli:
M A ( F i) = 0; M B ( F i) = 0; M C ( F i) = 0. (III)
(I) ko'rinishdagi muvozanat tenglamalari asosiy hisoblanadi, chunki ulardan foydalanishda koordinata o'qlari va momentlar markazini tanlashda hech qanday cheklovlar yo'q.
Savol
Varignon teoremasi. Agar ko'rib chiqilayotgan kuchlarning tekis sistemasi natijaga keltirilsa, u holda bu natijaning istalgan nuqtaga nisbatan momenti berilgan tizimning barcha kuchlarining shu nuqtaning o'ziga nisbatan algebraik yig'indisiga teng bo'ladi. Faraz qilaylik, kuchlar sistemasi O nuqtadan o'tuvchi natija R ga keltirildi. Endi qisqarish markazi sifatida yana bir O 1 nuqtani olaylik. Bu nuqtaga nisbatan asosiy moment (5.5) barcha kuchlar momentlari yigʻindisiga teng: M O1Z =åM o1z (F k) (5.11). Boshqa tomondan, biz M O1Z =M Olz (R), (5.12) ga ega bo'lamiz, chunki O qisqarish markazi uchun bosh moment nolga teng (M Oz =0). (5.11) va (5.12) munosabatlarni taqqoslab, M O1z (R)=åM OlZ (F k) ni olamiz; (5.13) h.e.d. Varignon teoremasidan foydalanib, natijaning harakat chizig'i tenglamasini topishingiz mumkin. Natija R 1 koordinatalari x va y bo'lgan O 1 nuqtada qo'llanilsin (5.5-rasm) va bosh vektor F o va koordinata boshida qisqarish markazidagi bosh moment M Oya ma'lum. R 1 \u003d F o bo'lgani uchun, x va y o'qlari bo'ylab natijaning tarkibiy qismlari R lx \u003d F Ox \u003d F Ox i va R ly \u003d F Oy \u003d F oy j bo'ladi. Varignon teoremasiga ko'ra, natijaning kelib chiqishiga nisbatan momenti koordinatadagi qisqarish markazidagi asosiy momentga teng, ya'ni M oz \u003d M Oz (R 1) \u003d xF Oy -yF Ox. (5.14). Natijani qo'llash nuqtasi uning harakat chizig'i bo'ylab harakatlantirilganda M Oz, F Ox va F oy qiymatlari o'zgarmaydi, shuning uchun (5.14) tenglamadagi x va y koordinatalarini joriy koordinatalar sifatida ko'rish mumkin. natijaning harakat chizig'i. Shunday qilib, (5.14) tenglama natijaning harakat chizig'ining tenglamasidir. F ox ≠0 uchun uni y=(F oy /F ox)x–(M oz /F ox) shaklida qayta yozish mumkin.
Savol
tugatish bir tanani boshqasiga (masalan, sobit devorga novda) bu jismning boshqasiga nisbatan harakatlanishi va aylanishiga imkon bermaydi. Tugatish holatida kuch reaktsiyasi R A tana va tayanch o'rtasidagi o'zaro ta'sirning yagona omili emas. Bu kuchga qo'shimcha ravishda, joylashtirish reaktsiyasi M A momenti oldindan noma'lum bo'lgan bir juft kuch bilan ham aniqlanadi. Agar kuch R Uning tarkibiy qismlarini taqdim eting X A , Y A, keyin tugatish reaksiyasini topish uchun uchta noma'lum skalyar miqdorni aniqlash kerak: X A, Y A, M A.
Keling, parallel taqsimlangan kuchlarning yassi tizimlarini ularning natijaviylari bilan almashtirishga misollar keltiraylik.
Bunday kuchlar tizimi uchun intensivlik doimiy qiymatga ega: q = const.
Statika masalalarini yechishda bu kuchlar tizimini konsentrlangan natijaviy kuch bilan almashtirish mumkin Q, mutlaq qiymatda q intensivligi va segmentining uzunligi AB = a (Q = q · a) mahsulotiga teng va AB segmentining o'rtasida qo'llaniladi.
Bunday kuchlar tizimi uchun intensivlik q chiziqli qonun bo'yicha noldan maksimal qiymat q maxgacha o'zgarib turadigan o'zgaruvchidir.
Natija Q bu kuchlar sistemasi mutlaq qiymatida Q =0,5 a q max ga teng va AB segmentini AK ga nisbatan bo‘luvchi K nuqtada qo‘llaniladi: KB = 2: 1.
19. Kompozit konstruksiyalarni hisoblash
1.1. Jismlar tizimini alohida jismlarga bo'lish bilan hisoblash
1.1.1. Jismlar sistemasi ichki bog`lanish C orqali alohida jismlarga bo`linadi va ularning muvozanati ko`rib chiqiladi.
1.1.2. Har bir jismdan barcha aloqalar o'chiriladi, ularning harakatlarini reaktsiyalar bilan almashtiradi. Berilgan mexanizmlarda quyidagi turdagi ulanishlar qo'llaniladi: qo'zg'almas eksenel menteşe (reaksiya X, Y koordinata o'qlariga parallel bo'lgan komponentlarga parchalanadi); harakatlanuvchi eksenel menteşe (reaktsiya N qo'llab-quvvatlovchi yuzaga perpendikulyar, undan uzoqroqqa yo'naltirilgan); qattiq tugatish (reaktsiya X, Y mahkamlangan ilgaklarning reaktsiyasi va reaktiv kuchlar bilan bir juft kuchlarning birikmasidir.
moment m).Tizimning turli jismlariga ta'sir ko'rsatish va reaksiya printsipiga ko'ra, ichki ilmoq C reaktsiyasining komponentlari mutlaq qiymatda teng va qarama-qarshi yo'naltirilgan. Tarqalgan yuk intervalning o'rtasida qo'llaniladigan va yuk intensivligi q mahsuloti moduliga va intervalning uzunligiga teng bo'lgan konsentrlangan kuch bilan almashtiriladi.
1.1.3. Muvozanat tenglamalarini, shu jumladan standart o'qlarga proyeksiyalar tenglamalarini va momentlar tenglamalarini tuzing (hisoblash va tekshirish). Hisoblangan momentlar tenglamasining markazi noma'lum reaktsiyalarning maksimal sonining ta'sir chiziqlari kesishmasida, tekshirish tenglamasi - ma'lum kuchlarning ta'sir chiziqlari kesishmasida tanlanadi, ular orqali tekshirilmagan noma'lum reaktsiyalarning hech biri sodir bo'lmaydi. o'tadi. Kuchlarni navbatma-navbat hisobga olib, muvozanat tenglamalarini tuzish tavsiya etiladi: kuch chizig'i bilan o'qlardan birining chizig'i orasidagi o'tkir burchak a o'tkir burchakni aniqlang; bu o'qdagi kuch proyeksiyasi cos a ni, ikkinchi o'qda - sin a ni o'z ichiga oladi; agar kuch vektorining o'q bilan tekislanish burchagi o'tkir bo'lsa, proyeksiya musbat, o'tmas bo'lsa manfiy; kuchning yelkasini aniqlang, perpendikulyarni markazdan kuchning ta'sir chizig'iga tushiring va markaz atrofidagi kuch bilan elkaning aylanish yo'nalishidagi moment belgisini (elka soat yo'nalishi bo'yicha aylantirilganda); moment salbiy, soat miliga teskari musbat). Kuchning ixtiyoriy holatida momentni aniqlash uchun u koordinata o'qlariga parallel bo'lgan komponentlarga parchalanadi (ularning kattaliklari kuchning mos keladigan proyeksiyalariga teng) va Varignon yordamida bu komponentlarning momentlari yig'indisi topiladi. teorema.
Shunday qilib, jismlarning har biri uchun 3 ta hisoblangan va 1 ta tekshirish tenglamasi tuziladi.
1.1.4. Noma’lum reaksiyalar uchun 6 ta hisob tenglamalar sistemasini yeching.
Topilgan reaktsiyalar tekshirish tenglamalariga almashtiriladi, natijada olingan yig'indining moduli 0,02 Rav dan oshmasligi kerak, bu erda Rav - sinovdan o'tgan reaktsiyalar modullarining o'rtacha qiymati.
1.2. Qattiqlashuv printsipi yordamida hisoblash
1.2.1. Ichki menteşeni qattiq birikma bilan almashtiring va hosil bo'lgan tananing muvozanatini hisobga oling. Ikkinchisi tizimning organlaridan biri hisoblanadi (1.1.1-band).
1.2.2. Ko'rib chiqilayotgan jismlarning har biri uchun 1.1.2-banddagi kabi chizma tuzing.
1.2.3. Birinchi tana uchun 1.1.3-bandga o'xshash 3 ta hisoblangan va 1 ta tekshirish tenglamalari tuziladi. Ikkinchi jism uchun C markaziga nisbatan kuchlar momentlarining bitta hisob tenglamasi tuzilgan.
1.2.4.4 ta hisob tenglamalari tizimini yeching va 1.1.4-bandga o'xshash tekshiruvni bajaring. 2.
2. Mumkin bo`lgan harakatlar tamoyili yordamida hisoblash.Bog`larning reaksiyalari ularni navbatma-navbat ko`rib chiqish yo`li bilan aniqlanadi.
20. Tutqichning muvozanat holati.Tug'ilish paytida jismlarning barqarorligi. Tayanch nuqtasidan kuch harakat qiladigan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa bu kuchning yelkasi deb ataladi. F1 va F2 yuklarning yon tomondan tutqichga ta'sir qiluvchi kuchlarni bildirsin (25.2-rasmning o'ng tomonidagi diagrammalarga qarang). Bu kuchlarning yelkalarini mos ravishda l1 va l2 deb belgilaymiz. Bizning tajribalarimiz shuni ko'rsatdiki, agar tutqichga qo'llaniladigan F1 va F2 kuchlari uni qarama-qarshi yo'nalishda aylantirishga moyil bo'lsa va kuchlarning modullari ushbu kuchlarning elkalariga teskari proportsional bo'lsa: F1 / F2 \u003d l2 / l1.Tuzilish paytida jismlarning barqarorligi. Bu turli xil yuk ko'tarish mexanizmlarini loyihalashda va ularning ishlashi uchun xavfsiz sharoitlarni hisoblashda ushbu mexanizmlar bilan ishlash qoidalarida nazarda tutilgan vazifalardir. Yassi kuchlar tizimi uchun bu unchalik qiyin bo'lmagan muammolarni hal qilishning o'ziga xos xususiyati shundaki, ularni echishda muvozanat tenglamalari tuzilmaydi. Alohida ravishda quyidagilar aniqlanadi: a) ag'darish momenti (Mopr) - chizma (tayanch nuqtalari) bo'yicha proyeksiya qilingan ba'zi o'qqa nisbatan ko'rib chiqilayotgan mexanizmni ag'darishga moyil bo'lgan kuchlar momentlarining yig'indisi; v) ushlab turish momenti (Loy) - ag'darishning oldini oluvchi kuchlar momentlarining yig'indisi. Mexanizmning barqaror ishlashi uchun ma'lum bir chegara bilan ushlab turish momenti ag'darilganidan kattaroq bo'lishi kerak. Mud, / Mopr =k nisbati odatda barqarorlik koeffitsienti deb ataladi. K ning qiymati, albatta, birdan katta bo'lishi kerak. Har xil yuk ko'tarish mexanizmlari va ularning ishlashining turli shartlari uchun barqarorlik koeffitsientining qiymati SNiP, TU va boshqa manbalardan aniqlanadi. Ushbu koeffitsientni hisobga olgan holda, hisob-kitoblar qarama-qarshi yukning o'lchami yoki uning mexanizmdagi holati bo'yicha amalga oshiriladi, variantlar hisoblab chiqiladi - bumning qaysi nuqtasida va qanday yuklar bilan ishlash xavfsiz. Barqarorlik muammolaridan birini hal qilish misoli quyida keltirilgan. Mavjud kran uchun maksimal yuk bilan ishlash kerak bo'lganda, ishlab chiqarish sharoitida elementar barqarorlik hisoblarini amalga oshirish ayniqsa muhimdir.
21 Sürgülü ishqalanish. Ishqalanish qonunlari. Ishqalanish koeffitsienti. Tegishli tekislikda harakatlanuvchi jismlar o'rtasida sirpanish ishqalanish kuchi paydo bo'ladi. Bu, birinchi navbatda, aloqa qiladigan yuzalarning pürüzlülüğü va bosilgan jismlarning yopishqoqligi mavjudligi bilan bog'liq. Muhandislik hisoblarida odatda empirik tarzda o'rnatilgan qonuniyatlar qo'llaniladi, ular ishqalanish kuchining ta'sirini ma'lum darajada aniqlik bilan aks ettiradi. Bu naqshlar sirpanish ishqalanish qonunlari (Coulomb) deb ataladi. Ularni quyidagicha shakllantirish mumkin.
1. Bir jismni boshqasiga nisbatan ularning aloqa tekisligida siljitishga harakat qilganda, ishqalanish kuchi F paydo bo'ladi, uning moduli noldan Fmax gacha istalgan qiymatni qabul qilishi mumkin, ya'ni 0.<=F<=Fmax . Сила трения приложена к телу и направлена в сторону, противоположную возможному направлению скорости точки приложения силы.
2. Maksimal ishqalanish kuchi ishqalanish koeffitsienti f va normal bosim kuchi N ko'paytmasiga teng: Fmax=fN.
Ishqalanish koeffitsienti f - o'lchovsiz kattalik bo'lib, u materiallarga va aloqa qiluvchi jismlarning sirtlarining holatiga (pürüzlülük, harorat, namlik va boshqalar) bog'liq. Uni empirik tarzda aniqlang.
Statik ishqalanish va toymasin ishqalanish koeffitsientlari mavjud va ikkinchisi, qoida tariqasida, sirpanish tezligiga ham bog'liq. Statik ishqalanish koeffitsienti shunday maksimal ishqalanish kuchiga mos keladi Fmax , bunda muvozanatning chegara holati mavjud. Tashqi kuchlarning eng kichik o'sishi harakatga olib kelishi mumkin. Statik ishqalanish koeffitsienti odatda toymasin ishqalanish koeffitsientidan biroz kattaroqdir. Sirpanish tezligining oshishi bilan toymasin ishqalanish koeffitsientining qiymati avval biroz pasayadi, so'ngra deyarli o'zgarishsiz qoladi. Ba'zi ishqalanish juftlari uchun ishqalanish koeffitsientlarining qiymatlari quyidagicha: yog'och ustidagi yog'och 0,4-0,7; metalldan metallga 0,15-0,25; muz ustidagi po'lat 0,027.
3. Juda keng diapazondagi maksimal ishqalanish kuchi aloqa yuzalarining maydoniga bog'liq emas.
Sürgülü ishqalanish kuchi ba'zan quruq ishqalanish kuchi deb ataladi.
Burchak va ishqalanish konusi
Haqiqiy (qo'pol) ulanishning reaktsiyasi ikkita komponentdan iborat bo'ladi: normal reaktsiyadan va unga perpendikulyar ishqalanish kuchidan. Shunday qilib, umumiy reaktsiya normaldan sirtga qandaydir burchakka og'adi. Ishqalanish kuchi noldan F pr ga o'zgarganda R kuchi N dan R pr ga o'zgaradi va uning normal bilan burchagi noldan ma'lum chegara qiymatigacha ortadi (26-rasm).
26-rasm
Umumiy qo'pol bog'lanish reaksiyasi normal sirt bilan hosil qiladigan eng katta burchak deyiladi ishqalanish burchagi. Buni chizmadan ko'rish mumkin
Chunki, bu erdan ishqalanish burchagi va ishqalanish koeffitsienti o'rtasidagi quyidagi bog'liqlikni topamiz:
Muvozanat holatida siljish kuchlariga qarab umumiy reaksiya R ishqalanish burchagining istalgan joyida amalga oshishi mumkin. Muvozanat chegaralangan bo'lsa, reaktsiya normaldan burchakka og'adi.
Ishqalanish konusi normal reaksiya yo'nalishi atrofida qo'pol bog'lanishning cheklovchi reaktsiya kuchi bilan tasvirlangan konus deb ataladi.
Agar qo'pol yuzada yotgan jismga normal bilan burchak hosil qiluvchi P kuch qo'llanilsa (27-rasm), u holda tana siljish kuchi Psin kattaroq bo'lgandagina harakatlanadi (og'irlikni e'tiborsiz qoldirib, N=Pcos deb hisoblaymiz) tananing). Lekin faqat uchun qanoatlantiriladigan tengsizlik, ya'ni. da . Shuning uchun ishqalanish burchagidan kichik norma bilan burchak hosil qiladigan hech qanday kuch tanani berilgan sirt bo'ylab harakatlantira olmaydi. Bu jismlarning tiqilib qolishi yoki o'z-o'zidan tormozlanishining taniqli hodisalarini tushuntiradi.
27-rasm
Qattiq jismning qo'pol sirtdagi muvozanati uchun qattiq jismga ta'sir qiluvchi faol kuchlarning natijaviy ta'sir chizig'i ishqalanish konusining ichida yoki uning generatrix bo'ylab uning yuqori qismidan o'tishi zarur va etarli.
Agar uning ta'sir chizig'i ishqalanish konusining ichidan o'tsa, tanani har qanday modul faol kuch bilan muvozanatdan chiqarib bo'lmaydi.
aylanma ishqalanish
Dumalab ishqalanishning kelib chiqishini quyidagicha tasavvur qilish mumkin. To'p yoki silindr boshqa jismning yuzasida aylansa, u bu tananing yuzasiga ozgina bosiladi, o'zi esa biroz siqiladi. Shunday qilib, dumalab turgan jism har doim tepaga dumalab tushadi.
33-rasm
Shu bilan birga, bir sirtning boshqa qismlaridan ajralishi mavjud va bu sirtlar o'rtasida harakat qiluvchi yopishish kuchlari bunga to'sqinlik qiladi. Bu ikkala hodisa ham aylanma ishqalanish kuchlarini keltirib chiqaradi. Sirtlar qanchalik qattiqroq bo'lsa, chuqurchalar kamroq bo'ladi va dumaloq ishqalanish kamroq bo'ladi.
aylanma ishqalanish bir jismning boshqasining yuzasida aylanayotganda yuzaga keladigan qarshilik deyiladi.
Konkida uchish joyi dam olishda; aylanish boshlanganda.
Formulaga kiritilgan chiziqli miqdor k deyiladi dumalab ishqalanish koeffitsienti. K qiymati odatda santimetrda o'lchanadi. K koeffitsientining qiymati jismlarning materialiga bog'liq va empirik tarzda aniqlanadi.
Birinchi yaqinlashishda prokat paytida dumaloq ishqalanish koeffitsienti g'altakning burchak tezligidan va uning tekislik bo'ylab sirpanish tezligidan mustaqil hisoblanishi mumkin.
Rey bo‘ylab vagon g‘ildiragi uchun k=0,5 mm.
Boshqariladigan g'ildirakning harakatini ko'rib chiqing.
QR>M yoki Q>M maks /R=kN/R sharti bajarilganda g‘ildirak burilishi boshlanadi.
Q>F max =fN sharti bajarilganda g'ildirak sirpanishi boshlanadi.
Odatda munosabat va dumaloq siljishdan oldin boshlanadi.
Agar bo'lsa, u holda g'ildirak dumalab ketmasdan, sirt ustida siljiydi.
Ko'pgina materiallar uchun nisbat statik ishqalanish koeffitsientidan ancha past. Bu texnologiyada nima uchun iloji bo'lsa, ular sirpanishni dumalab o'zgartirishga harakat qilishlarini tushuntiradi (g'ildiraklar, rulolar, rulmanlar va boshqalar).
Faraz qilaylik, ixtiyoriy tekis kuchlar sistemasi asosiy vektorga teng bir kuchga va pasayish markaziga tatbiq etiladigan kuchga va asosiy momentga teng momentga ega bo'lgan bir juftga qisqartiriladi. 
(57-rasm, A). Ko'rib chiqilgan ixtiyoriy tekislik kuchlar tizimi bu umumiy holatda natijaviy kuchga qisqarganligini isbotlaylik. 
, uning harakat chizig'i nuqta orqali o'tadi A, tanlangan mos yozuvlar markazidan uzoqda HAQIDA masofada 
. Buning uchun biz juftlikni moment bilan o'zgartiramiz 
shunday qilib, kuchlar 
Va 
, bu juftlikni tashkil etuvchi R" asosiy vektoriga mutlaq qiymat bo'yicha teng bo'lib chiqdi. Bunday holda, siz juftlikning yelkasini tanlashingiz kerak, shunda uning momenti t. 
teng bo'lib qoldi M 0. Buning uchun juftlikning elkasi 
tenglikdan aniqlanishi kerak
.
(1)
Juft har doim o'z harakat tekisligida xohlagancha harakatlanishi mumkinligidan foydalanib, biz juftlikni harakatlantiramiz. 
shuning uchun uning kuchi 
mos yozuvlar markaziga biriktirilgan edi HAQIDA va asosiy vektorga qarama-qarshi 
(57-rasm, b).
Ko'rib chiqilgan ixtiyoriy tekislik tizimi kuchga teng 
va juftlik 
. Kuchlarni orqaga qaytarish 
Va 
muvozanatlashgan holda, biz ko'rib chiqilayotgan barcha kuchlar tizimi bitta kuch bilan almashtirilganligini olamiz 
, shuning uchun bu natijadir. Bunday holda, natijaning harakat chizig'i 
nuqtadan o'tadi A, tanlangan mos yozuvlar markaziga nisbatan pozitsiyasi (1) formula bilan aniqlanadi.
Agar ixtiyoriy planar kuchlar tizimining qisqarishi natijasida ma'lum bo'ladiki, 
, A 
, keyin bu alohida holatda bu kuchlar tizimi darhol bitta kuch bilan almashtiriladi, ya'ni natijada 
, uning harakat chizig'i tanlangan ma'lumotlardan o'tadi.
Vazifa 7. Nuqtalarga IN Va BILAN jismlar mos ravishda mutlaq qiymatda teng va o'zaro perpendikulyar kuchlar qo'llaniladi 
Va 
, nuqtadan uzoqda HAQIDA jismlar teng masofada joylashgan 
. Ushbu kuchlar tizimini nuqtaga keltiring HAQIDA(58-rasm).
Yechim. Keling, kuchlarni o'tkazamiz 
Va 
o'zlariga bir nuqtaga parallel HAQIDA. Bunday uzatish natijasida biz (58-rasm) kuchlarni olamiz 
Va 
, nuqtada qo'llaniladi HAQIDA, va tegishli juftliklar 
Va 
lahzalar bilan bir xil tekislikda yotish 
Va 
(bu juftlarni hosil qiluvchi kuchlar 58-rasmda tire bilan belgilangan). Kuchlarning geometrik qo'shilishidan 
Va 
, bir nuqtada qo'llaniladi HAQIDA, biz ushbu kuchlar tizimining asosiy vektorini olamiz
moduli aniq teng
Biriktirilgan juftlarni qo'shishdan biz natijaviy juftlikni olamiz, uning momenti asosiy momentga teng. 
nuqtaga nisbatan berilgan kuchlar tizimi HAQIDA:
Shuning uchun, bu ikki kuch tizimi 
Va 
natijaga ega
,
nuqtada qo'llaniladi A, bu nuqtadan uzoqda HAQIDA masofada
.
;
,
ya'ni natija ikkala berilgan kuch bilan hosil bo'ladi 
Va 
45 0 da teng burchaklar.
Vazifa 8. Vertikal kuchlar ko'prik fermasiga ta'sir qiladi (59-rasm) 
t va 
t mos ravishda 10 masofada m va 40 m trussning chap uchidan va gorizontal kuchdan 
t trussning yuqori akkordi darajasida, trussning balandligi 6 ga teng m. Etakchi kuchlar tizimi 
,
Va 
eng oddiy turi.
Yechim. Koordinata o'qlarini 59-rasmda ko'rsatilgandek chizamiz, koordinatali nuqtani nuqtadan olamiz A. Berilgan kuchlar sistemasining bosh vektorining tanlangan koordinata sistemasi o‘qlariga proyeksiyalarini topamiz:
bu erda asosiy vektorning modulini topamiz 
:
T 
.
Keling, berilgan kuchlar tizimining kelib chiqishiga nisbatan asosiy momentini topamiz A:
t m 
.
Shuning uchun bu kuchlar tizimi natijaga ega 
, kimning moduli 
T.
Endi biz natijaning harakat chizig'ini topamiz. natijaviy moment 
kelib chiqishiga nisbatan A formula bilan aniqlanadi
,
Qayerda X Va y
- natijaning harakat chizig'ida yotgan nuqtaning koordinatalari. Chunki 
t va 
t, keyin
.
BILAN Boshqa tomondan, Varignon teoremasi bo'yicha natija momentiga (5, § 11) ega bo'lamiz.
Demak,
.
Bu natijaning harakat chizig'ining tenglamasi.
Ushbu tenglamada faraz qilish 
, natijaviy ta'sir chizig'ining kesishish nuqtasi ekanligini topamiz 
yuqori truss kamar bilan masofada joylashgan 
m fermaning chap chetidan. Taxmin qilib 
m, natijaviy ta'sir chizig'ining kesishish nuqtasi ekanligini topamiz 
pastki truss kamar bilan masofada joylashgan 
m fermaning chap chetidan. Shu tarzda aniqlangan bog'lanishlar natijaviy ta'sir chiziqlarining kesishish nuqtalari hisoblanadi 
to'g'ri chiziqdagi yuqori va pastki truss akkordlari bilan biz natijaning harakat chizig'ini topamiz 
.
Biz A, B, C, D nuqtalarida qo'llaniladigan kuchlarning tekis tizimini almashtiramiz:
1) O nuqtada F 1’, F 2’, F 3’, F 4’ kuchlar;
2) kuchlar juftligi:
F 1 F 1 ': M 1 \u003d M o (F 1) \u003d F 1 a 1
F 2 F 2 ': M 2 \u003d M o (F 2) \u003d F 2 a 2
F 3 F 3 ': M 3 \u003d M o (F 3) \u003d F 3 a 3
F 4 F 4 ': M 4 \u003d M o (F 4) \u003d F 4 a 4
O F 1 ', F 2 ', F 3 ', F 4 ' nuqtada yaqinlashuvchi kuchlar bir kuch (natija) F Ch bilan almashtirilishi mumkin:
F ch \u003d F 1 ' + F 2 ' + F 3 ' + F 4 ' \u003d F 1 + F 2 + F 3 + F 4
F Ch kuchlar tizimining asosiy vektori hisoblanadi.
Olingan kuchlar juftligini hosil bo'lgan juftlik bilan almashtirish mumkin, ularning momenti M ch.:
M hl \u003d M 1 + M 2 + M 3 + M 4 \u003d S M i \u003d S M o (F i)
M ch - kamaytirish nuqtasi haqida asosiy nuqta.
Berilgan O nuqtadagi kuchlarning tekis tizimi bir kuch (bosh vektor) va bir juft (bosh moment) dan iborat ekvivalent tizim bilan almashtiriladi.
Natija momenti haqidagi teorema (Varinyon teoremasi)
Ixtiyoriy nuqtaga nisbatan kuchlarning natijaviy tekislik tizimining momenti bir xil nuqtaga nisbatan tashkil etuvchi kuchlar momentlarining algebraik yig'indisiga teng.
M o (F S) \u003d S M o (F i)
Tekis kuchlar sistemasi uchun muvozanat tenglamalari
F GL = 0;
M ch \u003d SM o (F i) \u003d 0.
Asosiy vektorning modulini tizimning barcha kuchlarining koordinata o'qlariga proyeksiyalar orqali aniqlash mumkin.
F GL \u003d (F íx) 2 + (SF íu) 2 \u003d 0 bundan muvozanat tenglamalari kelib chiqadi:
S F ix =0
S F íu =0
S M o (F i)=0
Muvozanat tenglamalarining boshqa shakllari:
S M A (F i) \u003d 0
S M V (F i)=0 (AVS bir xilda yotmaydi
S M C (F i) \u003d 0 bevosita)
S M A (F i) \u003d 0 (x o'qi perpendikulyar emas
S M B (F i) \u003d 0 to'g'ridan-to'g'ri AB)
S F ix =0
Parallel kuchlar tizimi uchun bu kuchlarga parallel bo'lgan proyeksiya o'qlaridan birini (y o'qi), ikkinchisini esa ularga perpendikulyar (x o'qi) tanlab, ikkita muvozanat tenglamasini olamiz:
S F íu =0
S M o (F i)=0
S M A (F i) \u003d 0
S M B (F i) \u003d 0
Muammoni hal qilish algoritmi
1. Muvozanat ob'ektini (tana yoki nuqta) tanlaymiz: muvozanatni ... ga nisbatan ko'rib chiqamiz.
Biz rasmda barcha ta'sir qiluvchi kuchlarni, shu jumladan bog'lanish reaktsiyalarini ko'rsatamiz.
3. Biz koordinata tizimini tanlaymiz - koordinata o'qlarini kerakli kuchlarga parallel yoki perpendikulyar yo'naltirish maqsadga muvofiqdir.
Biz o'rganilayotgan ob'ektning muvozanat tenglamalarini tuzamiz.
S F ix =0
S F íu =0
S M o (F i)=0
Olingan tenglamalardan biz noma'lum miqdorlarni aniqlaymiz (reaksiyalarni aniqlaymiz).
Tenglamalar yechimining to'g'riligini tekshiramiz.
S M p (F i)=0
S M e (F i)=0
5. Nur tizimlarining qo'llab-quvvatlovchi qurilmalari
Aniq qo'llab-quvvatlash
Menteşeli mahkamlangan shakl va qattiq tugatish (chimchilash)
Mavzu:
"Og'irlik markazi.
Yassi kesmalarning geometrik xarakteristikalari"
Reja
1. Parallel kuchlar markazi va uning koordinatalari.
2. Maydonlarning og'irlik markazi. Hududlarning statistik momentlari.
3. Yassi kompozit figuraning og`irlik markazining koordinatalarini aniqlash masalalarini yechish.
4. Polar va eksenel inersiya momentlari.
5. Parallel o'qlarga nisbatan eksenel inersiya momentlari.
6. Oddiy assortiment jadvallari yordamida kompozit kesimlarning inersiya momentlarini aniqlash.
1. Parallel kuchlar markazi va uning koordinatalari
F 1, F 2, F 3, ..., Fn parallel kuchlar sistemasi berilsin; bu kuchlar qo'llanilishining C 1, C2, C3, ..., Cn nuqtalarining koordinatalari ma'lum (42-rasm, b). Qo'llash nuqtasini natijaviy C harfi bilan belgilaymiz, uning koordinatalari x s, y s bilan belgilanadi.
FS = F 1 + F 2 + F 3+…. + Fn = SF i. (1)
FS xc \u003d F 1 x 1 + F 2 x 2 + F 3 x 3 + ... + Fnxn \u003d S F í x í,
x c \u003d F 1 x 1 + F 2 x 2 + F 3 x 3 + ... + Fnxn / FS \u003d S F í x í / FS
FS = F 1+ F 2+ F 3+…+ Fn= S F ix c =
= F 1 x 1 + F 2 x 2 + F 3 x 3 +… + Fnxn / F 1+ F 2+ F 3+…+ Fn= S F í x í / F í (2)
Ma'ruza 3
Xulosa: Ixtiyoriy va tekis kuchlar tizimini markazga olib kelish. Kuchning parallel uzatilishi haqidagi teorema, statikaning bosh teoremasi Kuchlar sistemasini berilgan markazga keltirish Kuchlar sistemasining bosh vektori va bosh momenti. Asosiy momentning markazni tanlashga bog'liqligi. Kuchlar sistemasining bosh vektori va bosh momentining analitik ta’rifi. Majburiy tizim invariantlari. Kuchlar tizimini eng oddiy shaklga keltirish. O'zboshimchalik bilan kuchlar tizimini kamaytirishning maxsus holatlari, dinamik vint. Natija momenti haqidagi Varignon teoremasi.
Berilgan markazga kuch keltirish (Poinsot lemmasi)
Birlashtiruvchi kuchlarning natijaviy tizimi to'g'ridan-to'g'ri parallelogramma qoidasiga ko'ra kuchlarni qo'shish yordamida topiladi. Shubhasiz, shunga o'xshash muammoni ixtiyoriy kuchlar tizimi uchun hal qilish mumkin, agar ular uchun barcha kuchlarni bir nuqtaga o'tkazishga imkon beradigan usul topsak.
Poinsot Lemma kuchlarning parallel uzatilishi haqida. .Qattiq jismga kuch ta'sirini o'zgartirmasdan, uni o'ziga parallel ravishda tananing istalgan nuqtasiga o'tkazish mumkin, bunda momenti yangi qo'llash nuqtasiga nisbatan ushbu kuch momentiga teng bo'lgan juft qo'shiladi. .
A nuqtada kuch qo'llanilsin. B nuqtasida ikkita muvozanatli kuch qo'llanilsa, bu kuchning ta'siri o'zgarmaydi. Natijada paydo bo'lgan uchta kuch tizimi B nuqtasida qo'llaniladigan kuch va momentga ega bo'lgan juftlikdir. Kuchni kuch va juft kuchlar bilan almashtirish jarayoni kuchni berilgan B markazga keltirish deyiladi. ■
Kuchlar tizimini berilgan markazga keltirish.
Quvvat tizimining asosiy vektori bu kuchlarning vektor yig'indisiga teng vektor deyiladi.
Kuchlar tizimining asosiy momenti jismning O nuqtasiga nisbatan sistemaning barcha kuchlarining shu nuqtaga nisbatan momentlarining vektor yig‘indisiga teng vektor deyiladi.
Puinsot teoremasi (statikaning asosiy teoremasi)
Qattiq jismga ta'sir etuvchi kuchlarning ixtiyoriy sistemasi kuch va juft kuchlardan tashkil topgan ekvivalent tizim bilan almashtirilishi mumkin. Kuch kuchlar tizimining asosiy vektoriga teng va o'zboshimchalik bilan tanlangan nuqtada (kamaytirish markazida) qo'llaniladi, juftlik momenti asosiyga teng.
bu nuqtaga nisbatan kuchlar tizimining momenti.
ISLOV.
Nuqta HAQIDA- murojaat markazi. Puinsot lemmasi bo'yicha biz kuchni uzatamiz F1 aynan HAQIDA. Bunday holda, F1 o'rniga biz O nuqtada bir xil F1 'kuchga ega bo'lamiz va qo'shimcha ravishda momenti m1 bo'lgan bir juft kuchga ega bo'lamiz.
Xuddi shunday, biz boshqa barcha kuchlarni o'tkazamiz. Natijada biz yaqinlashuvchi kuchlar tizimini va juft kuchlar tizimini olamiz. Konvergentning natijaviy tizimining mavjudligi haqidagi teorema bo'yicha
kuchlar bir kuch bilan almashtirilishi mumkin R, asosiy vektorga teng. Juftlarni qo'shish teoremasiga ko'ra, juftlar tizimini bir juft bilan almashtirish mumkin, uning momenti asosiy moment Mo ga teng. ■
Statik invariantlar
Statikaning invariantlari - kuchlar tizimining qisqarish markazini tanlashga bog'liq bo'lmagan xususiyatlari.
Birinchi invariant statik - kuchlar tizimining asosiy vektori (ta'rifi bo'yicha).
Ikkinchi invariant statika asosiy vektor va asosiy momentning skalyar mahsulotidir.
Darhaqiqat, asosiy nuqta, shubhasiz, qisqartirish markazini tanlashga bog'liq. Ixtiyoriy kuchlar tizimini ko'rib chiqing 
. Biz uni birinchi navbatda O markaziga, keyin esa O 1 markaziga keltiramiz.
Buni rasmdan ko'rish mumkin 
.Shuning uchun formulasi shaklni oladi
Yoki 
.
Kuchlar tizimining asosiy vektori ekanligini hisobga olib, biz ushbu tenglikning ikkala qismini mos ravishda ko'paytiramiz birinchi invariant statik: . tomonidan
vektorlarning aralash mahsulotining xossasi 
, shuning uchun:
.
Agar biz skaler mahsulotning ta'rifidan foydalansak, ikkinchi invariant uchun yana bitta shaklni olishimiz mumkin:
dan boshlab, oldingi ifoda quyidagi shaklni oladi:
Shunday qilib, asosiy momentning asosiy vektor yo'nalishi bo'yicha proyeksiyasi berilgan kuchlar tizimi uchun doimiy qiymat bo'lib, qisqarish markazini tanlashga bog'liq emas.
O'zboshimchalik bilan kuchlar tizimini eng oddiy shaklga qisqartirishning alohida holatlari
1) Agar kuchlar tizimini markazga keltirishda O 
keyin (6.4) ga asoslanib yozishimiz mumkin
.
natija, kamaytirish markazida qo'llaniladi va asosiy vektor bilan kattaligi va yo'nalishi bo'yicha mos keladi.
2) Agar kuchlar tizimini markazga keltirganda O
keyin elkasi bilan bir juft kuchlar shaklida taqdim etish,
olamiz: .
Bunday holda, kuchlar tizimi kamayadi natija, kattaligi va yo'nalishi bo'yicha asosiy vektorga to'g'ri keladi va natijaning ta'sir chizig'i asosiy vektorning ta'sir chizig'idan masofadan ajratiladi.
3) Agar kuchlar tizimini markazga keltirganda O 
keyin yozishingiz mumkin
, ya'ni kuchlar tizimi ga kamayadi bir juft kuch kuchlar tizimining asosiy momentiga teng moment bilan.
4) Agar kuchlar tizimini markazga keltirganda O 
keyin yozishingiz mumkin
Bular. kuch tizimi mavjud muvozanat.
Ta'rif: Momenti kuchga to'g'ri keladigan (juftning tekisligi kuchning ta'sir chizig'iga perpendikulyar) kuch va kuchlar juftidan iborat sistema deyiladi. dinamo yoki dinamik vint.
Agar kuchlar sistemasi markaz O ga kamaytirilganda ikkinchi invariant nolga teng bo'lmasa, bu kuchlar sistemasi ga kamayadi. dinamo.
Ikki komponentga bo'lingandan so'ng - asosiy vektor bo'ylab va - asosiy vektorga perpendikulyar, va bizda 2-holat bo'ladi) va vektor erkin sifatida o'ziga parallel ravishda O 1 nuqtasiga o'tkazilishi mumkin:
Vektorlar dinamoni ifodalaydi, bu erda 
, 
.
Ko'rib chiqilayotgan kuchlar tizimini kamaytirish holatida asosiy moment minimal qiymatga ega. Ushbu momentning qiymati berilgan kuchlar tizimi asosiy vektor va asosiy momentning ta'sir chizig'ida yotgan har qanday nuqtaga olib kelinganda saqlanib qoladi. Bu chiziqning tenglamasi (kuchlar sistemasining markaziy spiral o'qi) vektorlarning kollinarlik shartidan aniqlanadi va : .
Teorema . KuchF , tanaga o'z ta'sirini o'zgartirmasdan, u tanaga moment bilan bir juft kuch biriktirganda, uni qo'llash nuqtasidan O ning istalgan qisqarish markaziga o'tkazilishi mumkin.M , geometrik jihatdan momentga tengM HAQIDA (F ) bu kuchning mos yozuvlar markaziga nisbatan.
Quvvat berilsin F, OX o'qiga parallel OXY gorizontal tekisligida yotgan (1.41-rasm).
Kuch o'rniga Puinsot usuliga ko'ra F A nuqtada qo'llanilsa, kuch olinadi F 1 , kattaligi kuchga teng F, lekin O nuqtada qo'llaniladi va biriktirilgan kuchlar juftligi , kimning vektor momenti M= M HAQIDA ( F).
Juft kuchlarning ekvivalentligi haqidagi teoremaga ko'ra, biriktirilgan kuchlar juftligi bir xil vektor momentiga ega bo'lgan boshqa har qanday kuchlar juftligi bilan almashtirilishi mumkin.
1.15. Berilgan markazga ixtiyoriy kuchlar tizimini keltirish
Teorema . Jismga ta'sir qiluvchi har qanday ixtiyoriy kuchlar tizimi umumiy holatda kuch va kuchlar juftligiga kamayishi mumkin.
Bu kuchlar tizimini bir kuch va juft kuchlar bilan almashtirish jarayoni deyiladi kuchlar tizimini berilgan markazga olib kelish .
P
Berilgan kuchlar sistemasining har biriga Puinsot usulini ketma-ket qo‘llash orqali biz uni ixtiyoriy markaz O ga keltiramiz. Natijada kuchlar sistemasini olamiz ( F 1 , …, F n) markazda qo'llaniladigan O va moment bilan biriktirilgan kuchlar juftligi M= Σ M HAQIDA ( F i). Kuchlarni qo'shish F 1 , …, F n parallelogramm qoidasi bo'yicha biz ularning natijasini olamiz R* , berilgan kuchlarning geometrik yig'indisiga teng va kamaytirish markazida qo'llaniladi.
Tizimning barcha kuchlarining geometrik yig'indisi deyiladi kuchlar tizimining asosiy vektori va natijadan farqli o'laroq R, belgilang R * .
Vektor M= Σ M HAQIDA ( F Men qo'ng'iroq qilaman qisqarish markaziga nisbatan kuchlar tizimining asosiy momenti.
Ushbu natijani quyidagicha shakllantirish mumkin: kosmosda o'zboshimchalik bilan joylashgan kuchlar ularning asosiy vektoriga teng bir kuchga kamaytirilishi mumkin va kamaytirish markazida va qisqarish markaziga nisbatan barcha kuchlarning asosiy momentiga teng bo'lgan bir juft kuchga qo'llanilishi mumkin.
Kamaytirish markazini tanlash modulga va asosiy vektorning yo'nalishiga ta'sir qilmaydi R* , lekin asosiy momentning moduli va yo'nalishiga ta'sir qiladi M. Asosiy vektor R* bepul vektor bo'lib, uni tananing istalgan joyida qo'llash mumkin.
1.16. Tekis ixtiyoriy kuchlar sistemasi uchun analitik muvozanat shartlari
Planar ixtiyoriy kuchlar tizimi – harakat chiziqlari o'zboshimchalik bilan bir tekislikda joylashgan kuchlar tizimi.
Tekis ixtiyoriy kuchlar tizimining ta'sir chiziqlari turli nuqtalarda kesishadi.
H
Har bir kuch uchun Puinsot usulini izchil qo'llash F i, biz OXYZ mos yozuvlar ramkasining A i nuqtalaridan O boshiga kuchlarni parallel ravishda o'tkazishni amalga oshiramiz. Ushbu usulga ko'ra, kuch F men kuchga teng bo'laman F men O nuqtada qo'lladim va moment bilan biriktirilgan kuchlar juftligi M i = M HAQIDA ( F i ) . Bunday holda, M i = ± F i h i, bu erda h i - kuchning qo'li. F i kamaytirish markaziga nisbatan O. Ushbu ishni tugatgandan so'ng, biz kuchlarning yaqinlashuvchi tizimini olamiz ( F men,…, F n) va vektor momentlarining konvergent tizimi M i = M HAQIDA ( F i) qisqarish markazida qo'llaniladigan juft kuchlar. Kuchlar vektorlarini qo'shib, biz boshlarni olamiz
vektor R* = Σ F i va ekvivalent juft kuchlarning asosiy momenti M = Σ M HAQIDA ( F i).
Shunday qilib, tekis ixtiyoriy kuchlar tizimi (F i ,…, F n ) bir kuchga teng R* = S F i va momenti M = S M bo'lgan bir juft kuch HAQIDA (F i ).
Statik masalalarni yechishda kuchlarning koordinata o‘qlariga proyeksiyalari va kuchlarning nuqtaga nisbatan algebraik momentlaridan foydalaniladi.
Shaklda. 1.44 moduli R * = bo'lgan kuchlarning asosiy vektoriga qisqartirilgan tekis ixtiyoriy kuchlar tizimini ko'rsatadi. 
va algebraik momenti M = S M O () bilan teng kuchlar juftligi. F i).
IN
Geometrik muvozanat sharti Har qanday kuchlar sistemasi vektor tengliklari bilan ifodalanadi: R* = Σ F i = 0; M= Σ M HAQIDA ( F i) = 0.
Muammolarni hal qilishda reaktsiyalarni aniqlash talab etiladi R i E mexanik tizimga qo'yilgan tashqi cheklovlar. Shu bilan birga, faol kuchlar F Ushbu tizimga qo'llaniladigan i E ma'lum. Faol kuchlardan beri F i E va bog'lanish reaksiyalari R i E tashqi kuchlar toifasiga kiradi, u holda tashqi kuchlar tizimining geometrik muvozanat holatini vektor tengliklari bilan ifodalash maqsadga muvofiqdir:
Σ F i E + S R i E = 0;
Σ M A( F i E) + S M A( R i E) = 0.
Tashqi kuchlar tizimining muvozanati uchun faol kuchlarning geometrik yig'indisi zarur va etarli. F i E va reaktsiyalar R i E tashqi bog'lanishlar va faol kuchlar momentlarining geometrik yig'indisi M A ( F i E ) va tashqi aloqalarning reaktsiyalari M A ( R i E ) ixtiyoriy A nuqtaga nisbatan nolga teng edi.
Ushbu vektor tengliklarini mos yozuvlar tizimining koordinata o'qlariga proyeksiya qilib, biz olamiz tashqi kuchlar sistemasi muvozanatining analitik shartlari . Tekis ixtiyoriy kuchlar tizimi uchun bu tenglamalar quyidagi shaklni oladi:
Σ 
+ Σ 
= 0;
Σ 
+ Σ 
= 0;
S M A ( F i E) + S M A ( R i E) = 0,
qayerda S 
,
Σ 
- mos ravishda OX, OY koordinata o'qlaridagi faol kuchlarning proyeksiyalari yig'indisi; S 
,
Σ 
tashqi bog’lanish reaksiyalarining OX, OY koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari yig’indisi; S M A ( F i E) faol kuchlarning algebraik momentlari yig’indisi F A nuqtaga nisbatan i E; S M A ( R i E) reaksiyalarning algebraik momentlari yig’indisi R i A nuqtaga nisbatan tashqi havolalar.
Ushbu formulalarning kombinatsiyasi tashqi kuchlarning tekis ixtiyoriy tizimi uchun muvozanat tenglamalarining birinchi (asosiy) shakli .
Shunday qilib , mexanik tizimga tatbiq etilgan yassi ixtiyoriy tashqi kuchlar tizimining muvozanati uchun faol kuchlar proyeksiyalari va tashqi bogʻlanishlarning ikkita koordinata oʻqidagi reaksiyalari yigʻindisi va faol kuchlarning algebraik momentlari yigʻindisi zarur va yetarlidir. va ixtiyoriy A nuqtaga nisbatan tashqi zvenolarning reaksiyalari nolga teng.
Tekis ixtiyoriy kuchlar tizimi uchun muvozanat tenglamalarining boshqa shakllari ham mavjud.
Ikkinchi shakl formulalar to'plami bilan ifodalanadi:
Σ 
+ Σ 
= 0;
S M A ( F i E) + S M A ( R i E) = 0;
S M B ( F i E) + S M V ( R i E) = 0.
Jismga qo'llaniladigan tashqi kuchlarning tekis ixtiyoriy tizimining muvozanati uchun kuchlarning koordinata o'qidagi proyeksiyalari yig'indisi va kuchlarning ixtiyoriy A va B nuqtalariga nisbatan algebraik momentlari yig'indisi teng bo'lishi zarur va etarli. nol.
Uchinchi shakl muvozanat tenglamalari formulalar to'plami bilan ifodalanadi:
S M A ( F i E) + S M A ( R i E) = 0;
S M B ( F i E) + S M V ( R i E) = 0;
S M C ( F i E) + S M S ( R i E) = 0.
Jismga tatbiq etilgan yassi ixtiyoriy tashqi kuchlar sistemasining muvozanati uchun bu kuchlarning ixtiyoriy A, B va C nuqtalariga nisbatan algebraik momentlari yig’indilari nolga teng bo’lishi zarur va yetarlidir.
Muvozanat tenglamalarining uchinchi shaklini qo'llashda A, B va C nuqtalari bir xil chiziqda yotmasligi kerak.