1. Heaviside birligi inklyuziya funktsiyasi, Dirac delta funktsiyasi va ularning asosiy xususiyatlari

Heaviside identifikatsiya funktsiyasi

Og'ir tomon funktsiyasi (birlik qadam funktsiyasi, birlik hop funktsiyasi, kiritilgan birlik) argumentning manfiy qiymatlari uchun nolga va ijobiy qiymatlari uchun bittaga teng bo'lakli doimiy funktsiyadir. Nolda bu funktsiya aniqlanmagan, lekin u odatda shu nuqtada ma'lum bir raqam bilan kengaytiriladi, shuning uchun funktsiya sohasi haqiqiy o'qning barcha nuqtalarini o'z ichiga oladi. Ko'pincha, funktsiya nolga teng qiymatni olishi muhim emas, shuning uchun Heaviside funktsiyasining turli xil ta'riflaridan foydalanish mumkin, bu yoki boshqa sabablarga ko'ra qulay, masalan:

Boshqa umumiy ta'rif:

Heaviside funktsiyasi boshqaruv nazariyasi va signallarni qayta ishlash nazariyasining matematik apparatida ma'lum bir vaqtda bir holatdan ikkinchisiga o'tadigan signallarni ifodalash uchun keng qo'llaniladi. Matematik statistikada bu funksiya empirik taqsimot funksiyasini yozish uchun ishlatiladi.

Heaviside funktsiyasi Dirac delta funktsiyasi uchun antiderivativ hisoblanadi, H" = d, buni quyidagicha yozish ham mumkin:

delta funktsiyasi

δ -funktsiya(yokidelta funktsiyasi,δ -Dirac funktsiyasi, Dirac deltasi, birlik impuls funksiyasi) bir nuqtada konsentrlangan yoki qo'llaniladigan jismoniy miqdorning fazoviy zichligini (massa, zaryad, issiqlik manbai intensivligi, kuch va boshqalar) yozish imkonini beradi.

Masalan, bir nuqtada joylashgan birlik nuqta massasining zichligi a Evklid fazosi d-funksiya yordamida d() ko'rinishda yoziladi. x − a). Shuningdek, sirt yoki chiziqlardagi zaryad, massa va boshqalarning taqsimlanishini tavsiflash uchun ham amal qiladi.

d-funksiya umumlashtirilgan funktsiya bo'lib, u differensiallanuvchi funktsiyalar fazosida uzluksiz chiziqli funktsiya sifatida rasmiy ravishda aniqlanganligini anglatadi.

d-funksiya klassik ma'noda funksiya emas, shunga qaramay, d-funksiyaga kuchsiz yaqinlashuvchi oddiy klassik funktsiyalar ketma-ketligini topish qiyin emas.

Bir o'lchovli va ko'p o'lchovli delta funktsiyalarini farqlash mumkin, ammo ikkinchisi ko'p o'lchovli aniqlangan bo'shliqning o'lchamiga teng miqdorda bir o'lchovlilarning mahsuloti sifatida ifodalanishi mumkin.

Xususiyatlari

Bir o'lchovli delta funktsiyasining anti hosilasi Heaviside funktsiyasidir:

Delta funksiyasining filtrlash xususiyati:

2. Filtruch barobar(HPF)- kirish signalining yuqori chastotalaridan o'tuvchi elektron yoki boshqa har qanday filtr, signal chastotalarini kesish chastotasidan pastroq bo'lgan holda. Bostirish darajasi maxsus filtr turiga bog'liq. Passiv filtr - faqat kondensatorlar va rezistorlar kabi passiv komponentlardan tashkil topgan elektron filtr. Passiv filtrlar ishlash uchun hech qanday energiya manbasini talab qilmaydi. Faol filtrlardan farqli o'laroq, passiv filtrlar quvvat jihatidan signalni kuchaytirmaydi. Deyarli har doim passiv filtrlar chiziqli bo'ladi.

Eng oddiy elektron yuqori o'tish filtri ketma-ket ulangan kondansatör va qarshilikdan iborat. Kondensator faqat o'zgaruvchan tokni o'tkazadi va chiqish kuchlanishi qarshilikdan olinadi. Qarshilik va sig'imning mahsuloti (R × C) bunday filtr uchun vaqt doimiysi bo'lib, u gertsdagi kesish chastotasiga teskari proportsionaldir.

(Nima bo'lsa ham)

LPF javobini HPF javobiga aylantiring o'zgaruvchining o'zgarishi yordamida amalga oshirilishi mumkin: bu erda n - LPF o'tish diapazonining kesish chastotasi va

Davralarni passivga aylantirishLC-filtrlar. Kvadrat chastotali javob ifodasida (2.31) va (2.32) o'zgaruvchilarning o'zgarishi |H p (j )| 2 ta past chastotali filtrlar, bu funktsiyani amalga oshirishda, past o'tish davrini yuqori o'tkazuvchan filtr va PF davrlariga aylantirishga olib keladi. Past chastotali filtr j n.h L n.h.ning induktiv qarshiligi chastotalarni (17.31) qarshilikka aylantirganda oʻtadi: yaʼni yuqori chastotali filtr sigʻimiga, bunda C v.ch = 1/ p 2 L n.h.

Kapasitiv o'tkazuvchanlik: induktivlik L yuqori chastotali = 1/ n 2 C past chastotali yuqori o'tkazuvchan filtrning induktiv o'tkazuvchanligiga aylanadi.

O'tkazish funktsiyasi Faol RC filtrlarining transformatsiyasi. Faol RC filtrlarida prototip past chastotali filtrning uzatish funktsiyasidan yuqori o'tkazuvchan filtr va PFning uzatish funktsiyalariga o'tish uchun p murakkab o'zgaruvchini almashtirish kerak. (17.31) dan biz HPF uchun olamiz

yoki (17.34) bunda n.h = n.h/p va v.h = v.h/p.

(Yoki ular tanlovda yozganidek)

DELTA FUNKSIYASI

Ta'rif. delta funktsiyasi

(2.1)

A umumlashtirilgan funktsiya

1-rasm. delta funktsiyasi

Normalizatsiya holati

, . (2.2)

a, 1-rasmda ko'rsatilganidek, b

Funktsiya pariteti(2.1) dan kelib chiqadi

. (2.2a)

, (2.2b)

1-rasmda ko'rsatilganidek, b.

ortonormallik. Ko'p xususiyatlar

DELTA FUNCTION xususiyatlari

filtr xususiyati

olamiz

b, topamiz

, . (2.5)

Ortonormal asos

(2.5) da biz o'rnatamiz

, ,

. (2.7)

Amalga oshirildi

, (2.8)

Isbot

Argumentni soddalashtirish

Funktsiyaning ildizlari bo'lsa , Keyin

. (2.9)

Isbot

Kichik mahallada biz kengaytiramiz Teylor seriyasida

va o'zimizni birinchi ikkita atama bilan cheklaymiz

Biz foydalanamiz (2.8)

Biz integrallarni solishtiramiz va (2.9) ni olamiz.

Konvolyutsiya

Konvolyutsiya ta'rifidan (1.22)

da olamiz

Ishonamizki , va toping

. (2.35a)

va (2.35a) beradi

. (2.35b)

olamiz

. (2.36a)

va (2.36a) bering

. (2.36b)

. (2.37a)

olamiz

. (2.37b)

taroq funktsiyasi

(2.53)

Cheksiz kristall panjara, antenna va boshqa davriy tuzilmalarni modellashtiradi.

Furye transformatsiyasi taroq funktsiyasini taroq funktsiyasiga aylantiradi.

(2.8)

olamiz

. (2.54)

Xususiyatlari

Funktsiya teng

davriy nashr

davri. Delta funksiyalarining filtrlash xususiyati beradi

. (2.55)

Furye konvertatsiyasi

Davrli davriy funktsiya uchun L Furye tasviri Furye koeffitsientlari bilan ifodalanadi

, (1.47)

, (1.49)

Davr bilan taroqsimon funksiyasi uchun biz olamiz

bu erda delta funktsiyasining filtrlash xususiyati hisobga olinadi. (1.47) dan Furye tasvirini topamiz

. (2.56)

Taroq funktsiyasining Furye o'zgarishi taroq funktsiyasidir.

(2.56) dan argumentni masshtablash bo'yicha Furye teoremasi bo'yicha biz olamiz

. (2.59)

Taroq funktsiyasining davrini oshirish ()davrni qisqartiradi va uning spektrining amplitudasini oshiradi .

Furye seriyasi

Biz foydalanamiz

Uchun , olamiz

DELTA FUNKSIYASI

Ta'rif. delta funktsiyasi

nuqta buzilishini modellashtiradi va quyidagicha aniqlanadi

(2.1)

Funktsiya barcha nuqtalarda nolga teng, uning argumenti nolga teng bo'lgan va funksiya cheksiz bo'lgan joydan tashqari, rasmda ko'rsatilgan. 1, A. Argument nuqtalarida qiymatlarni belgilash uning cheksizligi sababli noaniqdir, shuning uchun delta funktsiyasi umumlashtirilgan funktsiya , va normalizatsiya shaklida qo'shimcha ta'rifni talab qiladi.

1-rasm. delta funktsiyasi

Normalizatsiya holati

, . (2.2)

Funktsiya grafigi ostidagi maydon nuqtani o'z ichiga olgan har qanday oraliqda bittaga teng a, 1-rasmda ko'rsatilganidek, b. Shuning uchun delta funktsiyasi bitta qiymatning nuqta buzilishini modellashtiradi.

Funktsiya pariteti(2.1) dan kelib chiqadi

. (2.2a)

Bir nuqtaga nisbatan simmetriyadan biz olamiz

, (2.2b)

1-rasmda ko'rsatilganidek, b.

ortonormallik. Ko'p xususiyatlar

ortonormal cheksiz o'lchovli asosni hosil qiladi.

Delta funksiyasi 1882 yilda Kirxgof tomonidan optikada, 1990-yillarda Heaviside tomonidan elektromagnit nazariyada qo'llanilgan.

Gustav Kirchhoff (1824-1887) Oliver Heavisayd (1850-1925)

Oliver Heavisayd vektorlardan birinchi marta fizikada foydalangan, vektor tahlilini ishlab chiqqan, operator tushunchasini kiritgan va differensial tenglamalarni yechish uchun operator usuli bo‘lgan operativ hisobni ishlab chiqqan o‘zini o‘zi o‘qitgan olimdir. U inklyuziya funktsiyasini kiritdi, keyinchalik uning nomi bilan ataldi, nuqta impuls funktsiyasi - delta funktsiyasidan foydalangan. Kompleks sonlarni elektr zanjirlari nazariyasida qo‘llagan. U birinchi marta Maksvell tenglamalarini Maksvellga o‘xshab 20 ta tenglama o‘rniga 4 ta tenglik ko‘rinishida yozdi. Kiritilgan shartlar: o'tkazuvchanlik, impedans, induktivlik, elektret . U uzoq masofalarda telegraf aloqasi nazariyasini ishlab chiqdi, Yer yaqinida ionosfera - Kennelli-Heaviside qatlami mavjudligini bashorat qildi.

Umumlashtirilgan funktsiyalarning matematik nazariyasi 1936 yilda Sergey L'vovich Sobolev tomonidan ishlab chiqilgan. U Novosibirsk Akademigorodokining asoschilaridan biri edi. RAS SB Matematika instituti uning nomi bilan atalgan.

Sergey Lvovich Sobolev (1908-1989)

DELTA FUNCTION xususiyatlari

filtr xususiyati

Uzluksiz silliq funksiya uchun (2.1) dan

olamiz

ni qabul qilish va delta funktsiyasini chegara ko'rinishida ishlatish, rasmda ko'rsatilgan. 1, b, topamiz

Integratsiya filtr xususiyatini integral shaklda beradi

, . (2.5)

Ortonormal asos

(2.5) da biz o'rnatamiz

, ,

va uzluksiz spektrli asos uchun ortonormallik shartini olamiz

. (2.7)

Argumentlarni masshtablash

Amalga oshirildi

, (2.8)

Isbot

Delta funksiyasi mahsulotini oraliqda silliq funksiya bilan birlashtiramiz, bunda:

bu erda o'zgaruvchan almashtirish amalga oshiriladi va filtrlash xususiyati ishlatiladi. Boshlang'ich va yakuniy ifodalarni taqqoslash (2.8) beradi.

Argumentni soddalashtirish

Funktsiyaning ildizlari bo'lsa , Keyin

. (2.9)

Isbot

Funktsiya faqat nuqtalar yaqinida nolga teng emas, bu nuqtalarda u cheksizdir.

Cheksizlik kiradigan vaznni topish uchun biz mahsulotni intervalgacha silliq funksiya bilan birlashtiramiz. Hissalar faqat punktlarning mahallalarida nolga teng emas

. , (2.10) .. (2.35a)

Furyening argumentlarning siljishi teoremasi

va (2.35a) beradi

. (2.35b)

(1.1) va integral tasvirdan (2.24)

olamiz

. (2.36a)

Funksiyaning fazaviy siljishi haqidagi Furye teoremasi

va (2.36a) bering

. (2.36b)

(2.35a) va Furye differensiallash teoremasidan

. (2.37a)

(2.36a) dan va argument bilan ko'paytirish bo'yicha Furye teoremasi

olamiz

. (2.37b)

Federal ta'lim agentligi

Oliy kasbiy ta'lim davlat ta'lim muassasasi
Vyatka davlat gumanitar universiteti

Matematika fakulteti

“Matematik tahlil va matematika o‘qitish metodikasi” kafedrasi

Yakuniy malakaviy ish

Dirac funktsiyasi

5-kurs talabasi tomonidan yakunlangan

Matematika fakulteti Prokasheva E.V.

________________________________/imzo/

Ilmiy maslahatchi:

Onchukova L.V.

imzo/

Sharhlovchi:

“Matematik tahlil va MMM” kafedrasi katta o‘qituvchisi Faleleeva S.A.

________________________________/ imzo/

Davlat attestatsiya komissiyasida himoya qilish uchun tasdiqlangan

"___" __________2005 yil bo'lim M.V. Krutixina

Kirish ................................................. . ................................................ .. ...... 3

1-bob. Dirac funksiyasining ta'rifi ...................................... . ............ 4

1.1. Asosiy tushunchalar ................................................... ................................................ 4

1.2. Dirac delta funksiyasini aniqlashga olib keladigan muammolar…………10

1.2.1. Impuls muammosi ……………………………………………….10

1.2.2. Moddiy nuqta zichligi muammosi .........................

1.3. Delta funksiyasining matematik ta’rifi………………………..16

2-BOB. DAAC funktsiyasini qo'llash .........................

2.1. Uzluksiz funksiyalar va ularning hosilalari………………………………….19

2.2. Uzluksiz funksiyalarning hosilalarini topish………………………21

Xulosa…………………………………………………………………………25

Kirish

Fanning rivojlanishi uning nazariy asoslanishi uchun tobora ko'proq "yuqori matematika" ni talab qiladi, uning yutuqlaridan biri umumlashtirilgan funktsiyalar, xususan, Dirak funktsiyasidir. Hozirgi vaqtda umumlashtirilgan funktsiyalar nazariyasi fizika va matematikada dolzarbdir, chunki u klassik matematik tahlilning imkoniyatlarini kengaytiradigan, ko'rib chiqilayotgan muammolar doirasini kengaytiradigan, shuningdek, hisob-kitoblarni, avtomatlashtirishni sezilarli darajada soddalashtirishga olib keladigan bir qator ajoyib xususiyatlarga ega. elementar operatsiyalar.

Ushbu ishning maqsadlari:

1) Dirac funktsiyasi tushunchasini o'rganish;

2) uni aniqlashga fizik-matematik yondashuvlarni ko'rib chiqish;

3) uzluksiz funksiyalarning hosilalarini topish ilovasini ko‘rsating.

Ishning vazifalari: matematika va fizikada delta funktsiyasidan foydalanish imkoniyatlarini ko'rsatish.

Maqolada Dirac delta funksiyasini aniqlash va joriy etishning turli usullari, uning masalalarni yechishda qo‘llanilishi ko‘rsatilgan.

1-bob

Dirac funktsiyasining ta'rifi

1.1. Asosiy tushunchalar.

Matematik tahlilning turli savollarida "funksiya" atamasi turli darajadagi umumiylik bilan tushunilishi kerak. Ba'zan uzluksiz, lekin differentsiallanmaydigan funktsiyalar ko'rib chiqiladi, boshqa savollarda gap bir yoki bir necha marta differentsiallanadigan funktsiyalar haqida ketyapti deb taxmin qilish kerak va hokazo. Biroq, bir qator hollarda funksiyaning klassik kontseptsiyasi, hatto eng keng ma'noda talqin qilingan, ya'ni. ixtiyoriy qoida sifatida har bir x qiymatiga ushbu funktsiya sohasidan ma'lum bir sonni y=f(x) belgilaydi, u etarli emas bo'lib chiqadi.

Mana muhim misol: matematik tahlil apparatini ma'lum masalalarga qo'llashda biz tahlilning muayyan operatsiyalari imkonsiz bo'lib chiqadigan vaziyatga duch kelishimiz kerak; masalan, hosilasi bo'lmagan (ayrim nuqtalarda yoki hatto hamma joyda) funktsiyani, agar hosila elementar funktsiya deb tushunilsa, farqlab bo'lmaydi. Bunday turdagi qiyinchiliklarni faqat analitik funktsiyalarni ko'rib chiqishni cheklash orqali oldini olish mumkin. Biroq, ruxsat etilgan funktsiyalar zaxirasining bunday torayishi ko'p hollarda juda istalmagan. Funksiya tushunchasini yanada kengaytirish zarurati ayniqsa keskinlashdi.

1930 yilda nazariy fizika muammolarini hal qilish uchun eng yirik ingliz nazariyotchi fizigi, kvant mexanikasi asoschilaridan biri P. Dirak klassik matematikaning apparatiga ega emas edi va u "delta funktsiyasi" deb nomlangan yangi ob'ektni kiritdi. funktsiyaning klassik ta'rifidan uzoqda.

P. Dirak “Kvant mexanikasi asoslari” kitobida d(x) delta funksiyasini quyidagicha ta’riflagan:

Bundan tashqari, shart o'rnatiladi:

1-rasmda ko'rsatilganidek, d(x) ga o'xshash funktsiya grafigini vizual tarzda tasvirlashingiz mumkin.

chap va o'ng shoxlar orasidagi chiziq hosil qilish uchun torroq bo'lsa, chiziq maydoni (ya'ni, integral) o'zining 1 qiymatini saqlab qolishi uchun bu chiziq qanchalik baland bo'lishi kerak. holat δ(x) = 0 da x ≠ 0 , funksiya delta funksiyasiga yaqinlashadi.

Bu fikr fizikada umumiy qabul qilingan.

Shuni ta'kidlash kerak δ(x) Bu odatiy ma'noda funktsiya emas, chunki bu ta'rif funktsiya va integralning klassik ta'rifi nuqtai nazaridan mos kelmaydigan shartlarni nazarda tutadi:

Va .

Klassik tahlilda Dirac tomonidan belgilab qo'yilgan xususiyatlarga ega bo'lgan funksiya yo'q. Faqat bir necha yil o'tgach, S.L. asarlarida. Sobolev va L. Shvarts, delta funktsiyasi o'zining matematik dizaynini oldi, lekin oddiy emas, balki umumlashtirilgan funktsiya sifatida.

Dirac funktsiyasini ko'rib chiqishga o'tishdan oldin, bizga kerak bo'ladigan asosiy ta'riflar va teoremalarni kiritamiz:

Ta'rif 1. f(t) yoki L funksiyaning tasviri - berilgan f(t) funksiyaning tasviri tenglik bilan aniqlangan p kompleks o'zgaruvchining funksiyasi:

, Qayerda M Va A ba'zi ijobiy konstantalardir.

Ta'rif 2. Funktsiya f(t) quyidagicha aniqlanadi:

, deyiladi Heaviside identifikatsiya funktsiyasi va bilan belgilanadi. Bu funksiyaning grafigi 2-rasmda keltirilgan

Keling, topamiz L– Heaviside funksiyasining tasviri:

. (1)

t uchun f(t) funksiya bo'lsin<0 тождественно равна нулю (рис.3). Тогда функция f(t-t 0) будет тождественно равна нулю при t

Yordamchi funktsiya yordamida d(x) tasvirini topish uchun kechikish teoremasini ko'rib chiqing:

Teorema 1.AgarF(p) funksiya tasviri mavjudf(t), ya'ni funksiyaning tasvirif(t- t 0 ), ya'ni agarL{ f(t)}= F(p), Bu

Isbot.

Tasvirning ta'rifiga ko'ra, bizda bor

Dirac delta funktsiyasi

Delta funksiyasi (5-funksiya) ingliz fizigi P. A. M. Dirak tomonidan kvant mexanikasining matematik apparatini yaratganida «zaruriyatdan» kiritilgan. Matematiklar uni bir muncha vaqt "tanolmadilar", shundan so'ng ular umumlashtirilgan funktsiyalar nazariyasini yaratdilar, bunda d-funktsiya alohida holatdir.

(sodda) ta'rifga ko'ra, d-funktsiya bir nuqtadan tashqari hamma joyda nolga teng, ammo bu funktsiya qamrab olgan maydon bittaga teng:

Bular ziddiyatli

talablarni "muntazam" turdagi funksiya bilan qondirish mumkin emas.

Zeldovich Ya.B. Boshlang'ich fiziklar va texniklar uchun oliy matematika. -M.: Nauka, 1982 yil.

Aslida, differensial kabi dx son emas (nolga teng) va “cheksiz kichik qiymat” iborasini sifat jihatidan tushunish, to‘g‘ri tushunish qiyin. dx son sifatida emas, balki chegara (jarayon) sifatida d-funksiyani chegara (jarayon) sifatida tushunish ham to'g'ri. Shaklda. 3.7.1 va 3.7.2 bir nechta funksiyalarni (parametrga qarab) ko'rsatadi, ularning chegarasi d-funksiyadir. Bunday funktsiyalar cheksiz ko'p - har kim o'zini tanlashi mumkin.

d-funksiya juda ko'p foydali xususiyatlarga ega, xususan, Kronecker belgisining doimiy analogi. dkk

bilan solishtiring

Yana bir hayratlanarli munosabat integratsiyalash orqali qanday farqlash mumkinligini ko'rsatadi:

Qayerda 8 - hosila 8- funktsiyalari.

Guruch. 3.7.1 - d-ga ketma-ket ikkita yaqinlashish

Dirac funktsiyalari. Tasvirlangan funksiya

Guruch. 3.7.2 - Limitda bo'lgan ikkita funktsiya A ->∞ d-funksiyalarni bering:

Nihoyat, d-funksiyaning oralig'iga e'tibor bering:

Qayerda in(x)- og'ir funktsiya,

qadam, nuqtada tanaffus bilan x= 0 .

Fazali o'tishlar

Fazali o'tishlar haqida gapirish uchun fazalar nima ekanligini aniqlash kerak. Fazalar tushunchasi ko'plab hodisalarda uchraydi, shuning uchun biz umumiy ta'rif berish o'rniga (qanchalik umumiy bo'lsa, shunchalik mavhum va ko'rinmas bo'lishi kerak) bir nechta misollar keltiramiz.

Birinchidan, ularning fizikasiga misol. Hayotimizdagi odatiy, eng keng tarqalgan suyuqlik - suv uchun uchta faza ma'lum: suyuq, qattiq (muz) va gazsimon (bug '). Ularning har biri o'ziga xos parametr qiymatlari bilan tavsiflanadi. Tashqi sharoitlar o'zgarganda bir faza (muz) boshqasiga (suyuqlikka) o'tishi juda muhimdir. Nazariychilarning yana bir sevimli ob'ekti - ferromagnit (temir, nikel va boshqa ko'plab sof metallar va qotishmalar). Past haroratlarda (quyida nikel uchun T= 3600 BILAN) nikel namunasi ferromagnitdir; tashqi magnit maydon olib tashlanganida u magnitlangan bo'lib qoladi, ya'ni. doimiy magnit sifatida foydalanish mumkin. Yuqori haroratlarda Ts bu xususiyat yo'qoladi, tashqi magnit maydon o'chirilganda, u paramagnit holatga o'tadi va doimiy magnit emas. Harorat o'zgarganda, o'tish sodir bo'ladi - fazali o'tish - bir fazadan ikkinchisiga.

Perkolatsiya nazariyasidan yana bitta geometrik misol keltiramiz. Tasodifiy tarmoqdan ulanishlarni uzib qo'yish, oxirida qolgan ulanishlar kontsentratsiyasi - R ba'zi qiymatdan kamroq bo'ladi rs, endi panjara bo'ylab "bir uchidan ikkinchisiga" o'tish mumkin bo'lmaydi. Shunday qilib, perkolatsiya holatidan to'r - "oqish" bosqichi "oqish yo'q" fazasi holatiga o'tadi.

Ushbu misollardan ko'rinib turibdiki, ko'rib chiqilayotgan tizimlarning har biri uchun tizimning qaysi bosqichda ekanligini aniqlaydigan tartib parametri mavjud. Ferromagnetizmda tartib parametri nol tashqi maydondagi magnitlanishdir; perkolatsiya nazariyasida bu tarmoq ulanishi yoki, masalan, uning o'tkazuvchanligi yoki cheksiz klasterning zichligi.

Fazali o'tishlar har xil bo'ladi. Birinchi turdagi fazali o'tishlar tizimda bir vaqtning o'zida bir nechta fazalar mavjud bo'lishi mumkin bo'lgan o'tishdir. Masalan, 0° haroratda C muz suvda suzadi. Agar tizim termodinamik muvozanatda bo'lsa (issiqlik ta'minoti va olib tashlash bo'lmasa), u holda muz erimaydi va o'smaydi. Ikkinchi turdagi fazaviy o'tishlar uchun bir vaqtning o'zida bir nechta fazalarning mavjudligi mumkin emas. Nikelning bir qismi paramagnit yoki ferromagnit holatda bo'ladi. Tasodifiy kesilgan ulanishlarga ega bo'lgan to'r ulangan yoki ulanmagan.

Ikkinchi turdagi fazaviy o'tish nazariyasini yaratishda hal qiluvchi rol o'ynagan, uning boshlanishi L.D. Landau, buyurtma parametri kiritildi (biz uni belgilaymiz G]) tizim fazasining farqlovchi belgisi sifatida. Fazalarning birida, masalan, paramagnit, r] = 0, ikkinchisida esa ferromagnit, G ^ 0. Magnit hodisalar uchun tartib parametri ] tizimning magnitlanishidir.

Fazali o'tishlarni tavsiflash uchun tizimning holatini belgilaydigan parametrlarning ma'lum bir funktsiyasi kiritiladi - G(n, T,...). Jismoniy tizimlarda bu Gibbs energiyasidir. Har bir hodisada (perkolatsiya, "kichik dunyolar" tarmog'i va boshqalar) bu funktsiya "mustaqil ravishda" aniqlanadi. Ushbu funktsiyaning asosiy xususiyati, L.D.ning birinchi taxmini. Landau - muvozanat holatida bu funktsiya minimal qiymatni oladi:

Jismoniy tizimlarda termodinamik muvozanat, murakkab zanjirlar nazariyasida barqarorlik haqida gapirish mumkin. E'tibor bering, minimallik sharti buyurtma parametrini o'zgartirish orqali aniqlanadi.

L.D.ning ikkinchi taxmini. Landau - fazali transformatsiya paytida n = 0. Ushbu taxminga ko'ra, fazaga o'tish nuqtasi yaqinidagi b(n, T, ...) funktsiyasi n tartib parametrining vakolatlarida ketma-ket kengaytirilishi mumkin:

Bu erda bir fazada n = 0 (paramagnit, agar biz magnitlanish haqida gapiradigan bo'lsak va uzilgan bo'lsa, agar biz panjara haqida gapiradigan bo'lsak) va ikkinchisida n ^ 0 (ferromagnit yoki ulangan).

Shartdan

bu bizga ikkita yechim beradi

Uchun T > Tc n = 0 yechim bo'lishi kerak va uchun T< Тс yechim n ^ 0. Bu ish uchun, agar qondirish mumkin T > Tc va n = 0 tanlang A > 0 . Bunday holda, ikkinchi ildiz yo'q. Va ish uchun T < Ts ikkinchi yechim sodir bo'lishi kerak, ya'ni. amalga oshirilishi kerak A< 0. Shu tarzda:

A > 0 da T > Tc, A< 0 da T< Тс ,

Landauning ikkinchi taxmini A(Tc) = 0 ni talab qiladi. Bu talablarni qanoatlantiradigan A(T) funksiyaning eng oddiy shakli

Kritik indeks deb ataladigan va funksiya C(g], T) shaklni oladi:

Shaklda. 3.8.1 b(n, T) uchun bog'liqlikni ko'rsatadi T > Tc Va T< Тс .

Guruch. 3.8.1 - Parametrli funksiya chizmalari G(n, T) Uchun T > Tc Va T< Тс

Poston T., Styuart I. Falokat nazariyasi va uning qo'llanilishi. - M.: Mir, 1980 yil. Gilmur R. Amaliy falokat nazariyasi. - M.: Mir, 1984 yil.

Parametrlarning sifat jihatdan bog'liqligi G(j], T) buyurtma parametri bo'yicha ] rasmda ko'rsatilgan. 3.8.1 (G0 = 0). Buyurtma parametrining haroratga bog'liqligi ] shaklda ko'rsatilgan. 3.8.2.

Keyinchalik rivojlangan nazariya qachon ekanligini hisobga oladi T > Tc tartib parametri ], juda kichik bo'lsa-da, aniq nolga teng emas.

Bilan tizimning davlatdan o'tishi h = 0 da T > Tc bilan holatda h- 0 kamayganda T va qadriyatlarga erishish T £ Tc pozitsiyasining barqarorligini yo'qotish deb tushunish mumkin h = 0 da T £ Tc. Yaqinda paydo bo'lgan matematik nazariya

ko'plab turli hodisalarni bir nuqtai nazardan tasvirlaydigan "Kafatatlar nazariyasi" degan ajoyib nom bilan. Falokat nazariyasi nuqtai nazaridan, ikkinchi turdagi fazaviy o'tish "montaj falokati" dir.

Guruch. 3.8.2 - Buyurtma parametrlariga bog'liqlik n harorat: at T< Tc va yaqin Tc buyurtma parametri n kuch funktsiyasi kabi o'zini tutadi va qachon T > Tc n = 0

Ta'rif. delta funktsiyasi

nuqta buzilishini modellashtiradi va quyidagicha aniqlanadi

(2.1)

Funktsiyadan tashqari barcha nuqtalarda nolga teng
, bu erda uning argumenti nolga teng va funktsiya cheksiz bo'lsa, rasmda ko'rsatilganidek. 1, A. Mashq qilish
Argument nuqtalaridagi qiymatlar cheksiz bo'lganligi sababli noaniqdir, shuning uchun delta funktsiyasi umumlashtirilgan funktsiya , va normalizatsiya shaklida qo'shimcha ta'rifni talab qiladi.

1-rasm. delta funktsiyasi

Normalizatsiya holati

,
. (2.2)

Funktsiya pariteti(2.1) dan kelib chiqadi

. (2.2a)

Simmetriyadan
nuqtaga nisbatan
olamiz

, (2.2b)

1-rasmda ko'rsatilganidek, b.

ortonormallik. Ko'p xususiyatlar

,
,

ortonormal cheksiz o'lchovli asosni hosil qiladi.

Delta funksiyasi 1882 yilda Kirxgof tomonidan optikada, 1990-yillarda Heaviside tomonidan elektromagnit nazariyada qo'llanilgan.

Gustav Kirchhoff (1824-1887) Oliver Heavisayd (1850-1925)

Oliver Heavisayd vektorlardan birinchi marta fizikada foydalangan, vektor tahlilini ishlab chiqqan, operator tushunchasini kiritgan va differensial tenglamalarni yechish uchun operator usuli bo‘lgan operativ hisobni ishlab chiqqan o‘zini o‘zi o‘qitgan olimdir. U inklyuziya funktsiyasini kiritdi, keyinchalik uning nomi bilan ataldi, nuqta impuls funktsiyasi - delta funktsiyasidan foydalangan. Kompleks sonlarni elektr zanjirlari nazariyasida qo‘llagan. U birinchi marta Maksvell tenglamalarini Maksvellga o‘xshab 20 ta tenglama o‘rniga 4 ta tenglik ko‘rinishida yozdi. Kiritilgan shartlar: o'tkazuvchanlik, impedans, induktivlik, elektret . U uzoq masofalarda telegraf aloqasi nazariyasini ishlab chiqdi, Yer yaqinida ionosfera mavjudligini bashorat qildi - Kennelli-Heaviside qatlami .

Sergey Lvovich Sobolev (1908-1989)

Delta funksiyasi xususiyatlari Filtr xususiyati

Yumshoq funktsiya uchun
uzilishlarga ega bo'lmagan, (2.1) dan

olamiz differensial shakldagi delta funksiyasining filtrlash xususiyati bir nuqtaga ta'sir qiladi
:

Ishonamizki
, va delta funksiyasi uchun chegaradan foydalaning
shaklda ko'rsatilgan. 1, b. topamiz

. (2.4)

Biz (2.3) oraliqda integrallashamiz
, shu jumladan nuqta a, biz (2.2) normallashtirishni hisobga olamiz va olamiz delta funksiyasining integral ko'rinishdagi filtrlash xususiyati

,
. (2.5)

Ortonormal asos

(2.5) da biz o'rnatamiz

,
,

va bazis uchun ortonormallik shartini olamiz
doimiy qiymatlar diapazoni bilan

. (2.7)