Ikki o'lchovli holatda muammoning bayoni

Bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasini uning umumiy differentsialidan tiklash

9.1. Ikki o'lchovli holatda muammoning bayoni. 72

9.2. Yechim tavsifi. 72

Bu ikkinchi turdagi egri chiziqli integralning qo'llanilishidan biridir.

Ikki o'zgaruvchining funksiyasining to'liq differentsialining ifodasi berilgan:

Funktsiyani toping.

1. Chunki shaklning har bir ifodasi qandaydir funksiyaning to‘liq differensiali emas U(x,y), keyin masala qo'yilishining to'g'riligini tekshirish kerak, ya'ni 2 o'zgaruvchili funktsiya uchun shaklga ega bo'lgan to'liq differentsial uchun zarur va etarli shartni tekshirish kerak. Bu shart oldingi bob teoremasidagi (2) va (3) gaplarning ekvivalentligidan kelib chiqadi. Agar ko'rsatilgan shart bajarilsa, masalaning yechimi, ya'ni funksiyasi bor U(x,y) tiklanishi mumkin; agar shart bajarilmasa, muammoning yechimi yo'q, ya'ni funksiyani tiklab bo'lmaydi.

2. Funksiyani to‘liq differensialiga ko‘ra topish mumkin, masalan, ikkinchi turdagi egri chiziqli integraldan foydalanib, uni qo‘zg‘almas nuqtani tutashtiruvchi chiziq bo‘ylab hisoblash ( x 0 ,y 0) va o'zgaruvchan nuqta ( x;y) (Guruch. 18):

Shunday qilib, umumiy differensialning ikkinchi turdagi egri chiziqli integrali olinadi dU(x,y) funksiya qiymatlari orasidagi farqga teng U(x,y) integratsiya chizig'ining oxirida va boshlang'ich nuqtalarida.

Endi bu natijani bilib, biz o'rniga almashtirishimiz kerak dU egri chiziqli integral ifodaga aylantiring va siniq chiziq bo'ylab integralni hisoblang ( ACB), integratsiya chizig'i shaklidan mustaqilligini hisobga olgan holda:

yoqilgan ( AC): yoqilgan ( SW) :

(1)

Shunday qilib, formula olindi, uning yordamida 2 o'zgaruvchining funktsiyasi uning umumiy differentsialidan tiklanadi.

3. Funksiyani uning umumiy differentsialidan faqat doimiy hadgacha tiklash mumkin, chunki d(U+ const) = dU. Shuning uchun masalani yechish natijasida bir-biridan doimiy had bilan farq qiluvchi funksiyalar to‘plamini olamiz.

Misollar (ikki o'zgaruvchining funktsiyasini uning umumiy differentsialidan tiklash)

1. Toping U(x,y), Agar dU = (x 2 – y 2)dx – 2xydy.

Biz ikkita o'zgaruvchining funktsiyasining umumiy differentsial holatini tekshiramiz:

To'liq differentsialning sharti bajariladi, shuning uchun funktsiya U(x,y) tiklanishi mumkin.

Tekshirish: to'g'ri.

Javob: U(x,y) = x 3 /3 – xy 2 + C.

2. Shunday funksiyani toping

Biz uchta o'zgaruvchili funktsiyani to'liq differentsiallash uchun zarur va etarli shartlarni tekshiramiz: , , , ifoda berilgan bo'lsa.

Muammoni hal qilishda

umumiy differentsialning barcha shartlari qondiriladi, shuning uchun funktsiyani tiklash mumkin (muammo to'g'ri o'rnatilgan).

Biz funktsiyani ikkinchi turdagi egri chiziqli integral yordamida tiklaymiz, uni sobit nuqta va o'zgaruvchan nuqtani bog'laydigan ma'lum bir chiziq bo'ylab hisoblaymiz, chunki .

(bu tenglik ikki o'lchovli holatda bo'lgani kabi hosil bo'ladi).

Boshqa tomondan, umumiy differentsialning ikkinchi turdagi egri chiziqli integrali integratsiya chizig'ining shakliga bog'liq emas, shuning uchun uni koordinata o'qlariga parallel bo'lgan segmentlardan tashkil topgan siniq chiziq bo'ylab hisoblash eng osondir. Shu bilan birga, sobit nuqta sifatida siz shunchaki aniq raqamli koordinatali nuqtani olishingiz mumkin, faqat shu nuqtada va butun integratsiya chizig'ida egri chiziqli integralning mavjud bo'lish sharti qanoatlantirilishini kuzatishingiz mumkin (ya'ni, bu funktsiyalari va uzluksiz bo'lishi). Ushbu eslatmani hisobga olgan holda, bu masalada biz aniq nuqtani olishimiz mumkin, masalan, M 0 nuqtasi. Keyin singan chiziqning har bir havolasida biz bo'lamiz

10.2. Birinchi turdagi sirt integralini hisoblash. 79

10.3. Birinchi turdagi sirt integralining ba'zi ilovalari. 81

ba'zi funktsiyalar. Agar funktsiyani uning umumiy differentsialidan tiklasak, u holda differentsial tenglamaning bosh integrali topiladi. Quyida biz bu haqda gaplashamiz funktsiyani uning umumiy differentsialidan tiklash usuli.

Differensial tenglamaning chap tomoni ba'zi funksiyalarning to'liq differentsialidir U(x, y) = 0 agar shart bajarilsa.

Chunki funktsiyaning to'liq differentsiali U(x, y) = 0 Bu , ya'ni shartlar ostida ular shunday deyishadi.

Keyin, .

Tizimning birinchi tenglamasidan biz olamiz . Funktsiyani tizimning ikkinchi tenglamasidan foydalanib topamiz:

Shunday qilib, biz kerakli funktsiyani topamiz U(x, y) = 0.

Misol.

DE ning umumiy yechimini topamiz .

Yechim.

Bizning misolimizda. Shart bajariladi, chunki:

Keyin, boshlang'ich DE ning chap tomoni ba'zi funksiyalarning umumiy differentsialidir U(x, y) = 0. Biz bu funktsiyani topishimiz kerak.

Chunki funktsiyaning umumiy differensialligidir U(x, y) = 0, degani:

.

Integratsiya tugadi x Sistemaning 1- tenglamasi va ga nisbatan differentsiallanuvchi y natija:

.

Tizimning 2- tenglamasidan biz olamiz. Ma'nosi:

Qayerda BILAN ixtiyoriy doimiydir.

Shunday qilib, berilgan tenglamaning umumiy integrali bo'ladi .

Bir soniya bor Funktsiyani uning umumiy differentsialidan hisoblash usuli. U qo'zg'almas nuqtaning egri chiziqli integralini olishdan iborat (x0, y0) o'zgaruvchan koordinatali nuqtaga (x, y): . Bunday holda, integralning qiymati integrallash yo'liga bog'liq emas. Integratsiya yo'li sifatida bog'lanishlari koordinata o'qlariga parallel bo'lgan siniq chiziqni olish qulay.

Misol.

DE ning umumiy yechimini topamiz .

Yechim.

Biz shartning bajarilishini tekshiramiz:

Shunday qilib, DE ning chap tomoni ba'zi funksiyalarning umumiy differentsialidir U(x, y) = 0. Bu funksiyani nuqtaning egri chiziqli integralini hisoblab topamiz (1; 1) oldin (x, y). Integratsiya yo'li sifatida biz poliliniyani olamiz: biz to'g'ri chiziq bo'ylab poliliniyaning birinchi qismidan o'tamiz y=1 nuqtadan (1, 1) oldin (x, 1), yo'lning ikkinchi qismi sifatida biz nuqtadan to'g'ri chiziq segmentini olamiz (x, 1) oldin (x, y):

Shunday qilib, DE ning umumiy yechimi quyidagicha ko'rinadi: .

Misol.

DE ning umumiy yechimini aniqlaylik.

Yechim.

Chunki , keyin shart bajarilmasa, DE ning chap tomoni funktsiyaning to'liq differentsiali bo'lmaydi va siz ikkinchi hal qilish usulini qo'llashingiz kerak (bu tenglama ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega bo'lgan differentsial tenglama).

Ta'rif 8.4. Shaklning differensial tenglamasi

Qayerda
umumiy differensial tenglama deyiladi.

E'tibor bering, bunday tenglamaning chap tomoni qandaydir funktsiyaning to'liq differentsialidir
.

Umumiy holatda (8.4) tenglamani quyidagicha ifodalash mumkin

(8.5) tenglama o'rniga tenglamani ko'rib chiqish mumkin

,

uning yechimi (8.4) tenglamaning bosh integrali. Shunday qilib, (8.4) tenglamani yechish uchun funksiyani topish kerak
. (8.4) tenglamaning ta'rifiga muvofiq, bizda mavjud

(8.6)

Funktsiya
biz ushbu shartlardan birini qanoatlantiradigan funktsiyani qidiramiz (8.6):

Qayerda dan mustaqil ixtiyoriy funktsiyadir .

Funktsiya
ifodaning ikkinchi sharti (8.6) bajariladigan tarzda aniqlanadi

(8.7)

(8.7) ifodadan funksiya aniqlanadi
. Uni uchun ifodasiga almashtirish
va asl tenglamaning umumiy integralini oling.

Muammo 8.3. Tenglamani integrallash

Bu yerga
.

Shuning uchun bu tenglama jami differensiallardagi differensial tenglamalar turiga kiradi. Funktsiya
shaklda qidiramiz

.

Boshqa tomondan,

.

Ba'zi hollarda, vaziyat
bajarilmasligi mumkin.

Keyin bunday tenglamalar umumiy holatda faqat funktsiya bo'lgan integrallashtiruvchi omil deb ataladigan omilga ko'paytirish orqali ko'rib chiqilayotgan turga keltiriladi. yoki .

Agar ba'zi bir tenglama faqat bog'liq bo'lgan integrallashtiruvchi omilga ega bo'lsa , keyin formula bilan aniqlanadi

nisbat qayerda faqat funksiya bo'lishi kerak .

Xuddi shunday, faqat bog'liq integratsiya omil , formula bilan aniqlanadi

nisbat qayerda
faqat funksiya bo'lishi kerak .

Yuqoridagi nisbatlarda, birinchi holda, o'zgaruvchining yo'qligi , ikkinchisida esa - o'zgaruvchi , berilgan tenglama uchun integrallashtiruvchi omil mavjudligining belgisidir.

Muammo 8.4. Ushbu tenglamani umumiy differentsiallardagi tenglamaga keltiring.

.

O'zaro munosabatlarni ko'rib chiqing:

.

8.2-mavzu. Chiziqli differensial tenglamalar

Ta'rif 8.5. Differensial tenglama
kerakli funktsiyaga nisbatan chiziqli bo'lsa, chiziqli deyiladi , uning hosilasi va kerakli funksiyaning hosilasi va uning hosilasini o'z ichiga olmaydi.

Chiziqli differentsial tenglamaning umumiy shakli quyidagi munosabat bilan ifodalanadi:

(8.8)

Agar (8.8) ga nisbatan o'ng tomon
, unda bunday tenglama chiziqli bir jinsli deb ataladi. O'ng tomonda joylashgan holatda
, unda bunday tenglama chiziqli bir hil bo'lmagan deb ataladi.

(8.8) tenglama kvadratlarda integrallanishini ko'rsatamiz.

Birinchi bosqichda biz chiziqli bir hil tenglamani ko'rib chiqamiz.

Bunday tenglama ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega tenglamadir. Haqiqatan ham,

;

/

Oxirgi munosabat chiziqli bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini aniqlaydi.

Chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimini topish uchun doimiyning hosilasini o'zgartirish usuli qo'llaniladi. Usulning g'oyasi shundaki, chiziqli bir hil bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi mos keladigan bir hil tenglamaning echimi bilan bir xil shaklda, ammo ixtiyoriy doimiy ba'zi funksiyalar bilan almashtiriladi
belgilanishi kerak. Shunday qilib, bizda:

(8.9)

(8.8) ga mos keladigan ifodalarni munosabatga almashtirish
Va
, olamiz

Oxirgi ifodani (8.9) munosabatga almashtirib, chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy integrali olinadi.

Shunday qilib, chiziqli bir jinsli bo‘lmagan tenglamaning umumiy yechimi ikkita kvadratura bilan aniqlanadi: chiziqli bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi va chiziqli bir jinsli bo‘lmagan tenglamaning alohida yechimi.

Muammo 8.5. Tenglamani integrallash

Shunday qilib, dastlabki tenglama chiziqli bir jinsli bo'lmagan differentsial tenglamalar turiga kiradi.

Birinchi bosqichda chiziqli bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini topamiz.

;

Ikkinchi bosqichda biz chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimini aniqlaymiz, bu shaklda izlanadi.

,

Qayerda
aniqlanadigan funksiyadir.

Shunday qilib, bizda:

uchun nisbatlarni almashtirish Va asl chiziqli bir hil bo'lmagan tenglamani olamiz:

;

;

.

Chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha bo'ladi:

.

Standart shaklga ega bo'lgan $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, bunda chap tomoni ba'zi $F funktsiyasining umumiy differentsialidir. \left( x,y\right)$ umumiy differentsialdagi tenglama deyiladi.

Umumiy differensial tenglama har doim $dF\left(x,y\right)=0$ shaklida qayta yozilishi mumkin, bunda $F\left(x,y\right)$ funktsiya shundayki, $dF\left(x, y) \o'ng)=P\left(x,y\o'ng)\cdot dx+Q\left(x,y\o'ng)\cdot dy$.

$dF\left(x,y\right)=0$ tenglamaning ikkala tomonini integrallaymiz: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; nol o'ng tomonning integrali ixtiyoriy doimiy $C$ ga teng. Shunday qilib, bu tenglamaning yashirin ko'rinishdagi umumiy yechimi $F\left(x,y\right)=C$ ko'rinishga ega.

Berilgan differentsial tenglama jami differensiallarda tenglama bo‘lishi uchun $\frac(\qisman P)(\qisman y) =\frac(\qisman Q)(\qisman x) $ sharti bajarilishi zarur va yetarlidir. . Agar bu shart bajarilsa, $F\left(x,y\right)$ funktsiyasi mavjud bo'lib, u uchun biz yozishimiz mumkin: $dF=\frac(\qisman F)(\qisman x) \cdot dx+\frac( \qisman F)(\qisman y) \cdot dy=P\left(x,y\o'ng)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, shundan ikkita munosabat hosil bo'ladi: $\ frac(\ qisman F)(\qisman x) =P\left(x,y\o'ng)$ va $\frac(\qisman F)(\qisman y) =Q\chap(x,y\o'ng)$.

Biz $\frac(\qisman F)(\qisman x) =P\left(x,y\right)$ $x$ ustidan birinchi munosabatni birlashtiramiz va $F\left(x,y\right)=\int ni olamiz. P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, bu yerda $U\left(y\right)$ $y$ ning ixtiyoriy funksiyasi.

Uni shunday tanlaylikki, $\frac(\qisman F)(\qisman y) =Q\left(x,y\right)$ ikkinchi munosabat qanoatlansin. Buning uchun $F\left(x,y\right)$ uchun hosil bo‘lgan munosabatni $y$ ga nisbatan farqlaymiz va natijani $Q\left(x,y\right)$ ga tenglashtiramiz. Biz quyidagilarni olamiz: $\frac(\qisman )(\qisman y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\o'ng)$.

Keyingi yechim:

• oxirgi tenglikdan $U"\left(y\right)$ ni topamiz;
• $U"\left(y\right)$ ni birlashtirib, $U\left(y\right)$ toping;
• $U\left(y\right)$ ni $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ ga almashtiring va nihoyat $F\left(x,y\right)$ funksiyasini olamiz.

\

Biz farqni topamiz:

Biz $U"\left(y\right)$ $y$ ni birlashtiramiz va $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$ ni topamiz.

Natijani toping: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Umumiy yechimni $F\left(x,y\right)=C$ shaklida yozamiz, xususan:

Muayyan yechim toping $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, bu yerda $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Muayyan yechim quyidagi shaklga ega: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.